TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU ELEKTROTEHNIČKI ODJEL KREŠIMIR MEŠTROVIĆ, prof.v.šk. PREKIDANJE STRUJE
|
|
- Κύμα Ζαΐμης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU ELEKTROTEHNIČKI ODJEL KREŠIMIR MEŠTROVIĆ, prof.v.šk. PREKIDANJE STRUJE
2 OSNOVE TEORIJE PREKIDANJA STRUJE Većina sklopnih aparata koji se danas rabe za prekidanje struje spadaju u skupinu mehaničkih sklopnih aparata, odnosno do prekidanja strujnog kruga dolazi mehaničkim razdvajanjem kontakata. Prilikom razdvajanja kontakata između njih se uvijek pali električni luk. Način gašenja električnog luka istosmjerne i izmjenične struje bitno se razlikuje. Ukoliko se radi o izmjeničnom strujnom krugu, upravo električni luk osigurava da se struja ne prekine trenutno (što bi izazvalo velike prenapone u krugu), nego da prirodno, po sinusoidi dođe u nulu. U trenutku kada struja prolazi kroz nulu, luk se sam gasi i potrebno je osigurati da se ponovo ne upali. Nasuprot tome istosmjerna struja nikada sama ne dolazi u nulu, pa je za uspješno gašenje luka potrebno stalno povećavati otpor luka kako bi se struja u krugu smanjila ispod nekog minimalnog iznosa potrebnog za održavanje stabilnog luka.
3 POJMOVI I DEFINICIJE Prekidna struja je efektivna vrijednost simetrične komponente struje u trenutku galvanskog razdvajanja kontakata. I p Ism = 2 [ka] Prekidna moć sklopnog aparata je najveća vrijednost prekidne struje I p koju on može prekinuti uz određeni napon i pod danim pogonskim uvjetima, a izražava se također u ka. Prekidna moć predstavlja osnovnu karakteristiku prekidača. Prekidač mora biti sposoban da isklopi bilo koju struju kratkog spoja sa simetričnom komponentom manjom od prekidne moći prekidača, i istosmjernom komponentom manjom od vrijednosti određene na osnovu slijedeće slike.
4 Određivanje istosmjerne komponente struje prema IEC-u τ = 45 ms Za postrojenja neposredno uz elektrane s velikom instaliranom snagom vremenska konstanta iznosi približno τ =100 ms, za postrojenja uz elektrane s prosječnom instaliranom snagom τ =45 ms, a za postrojenja udaljena od generatora τ =25 ms.
5 Prekidna snaga je produkt prekidne struje I p [ka] i linijskog povratnog napona U p [kv]. S p = k I p U p [MVA] k = 1 k = 3 - za jednofazni sustav - za trofazni sustav Izbor prekidača obično se vrši s obzirom na prekidnu snagu. Izračuna se struja kratkog spoja (odnosno prekidna snaga) na mjestu ugradnje prekidača, te se iz kataloga proizvođača odabere odgovarajući prekidač. Prekidači konstruirani za određeni nazivni napon (U n1 ) mogu se upotrijebiti i za niže nazivne napone (U n2 ), ali sa manjom prekidnom snagom (S P2 ). S = S P2 P1 Za viši nazivni napon prekidač se ne smije upotrijebiti bez obzira na prekidnu snagu. U U n2 n1
6 Uklopna struja je tjemena vrijednost struje u trenutku galvanskog dodira kontakata. Uklopna moć sklopnog aparata je najveća tjemena vrijednost struje koju on može uklopiti uz određeni napon i pod danim pogonskim uvjetima. Povratni napon (PN) je napon koji se javlja na stezaljkama sklopnog aparata neposredno nakon gašenja električnog luka. Prijelazni povratni napon (PPN) je povratni napon u vremenskom intervalu (od nekoliko milisekundi nakon gašenja el. luka) u kojem ima izrazito prijelazni karakter. Početni prijelazni povratni napon (PPPN) je povratni napon u vremenskom intervalu od nekoliko mikrosekundi nakon gašenja el. luka.
7 POVRATNI NAPON 1 () t ua() t = it () dt= Em itr () + Ldi C dt t τ ua() t = Em 1 e cosωo t u A 1 () t () t = it () dt= Em itr () + Ldi C dt t τ ua() t = Em 1 e cosωo t τ = 2L/R - vremenska konstanta strujnog kruga [s] 1 ω o = - kružna frekvencija povratnog napona [Hz] E m LC - tjemena vrijednost napona izvora [V]
8 ISPITNI POVRATNI NAPON Oblik povratnog napona ovisi o strujnom krugu. U nekim slučajevima, praktički u sistemima s nazivnim naponom 100 kv, povratni napon je karakteriziran početnom velikom strminom porasta, a kasnije malom. U takvom slučaju ispitni povratni napon se definira četveroparametarskom krivuljom (b). U ostalim slučajevima, praktički u sistemima s nazivnim naponom < 100 kv, ispitni povratni napon se definira dvoparametarskom krivuljom (a). a) b)
9 POČETNI PRIJELAZNI POVRATNI NAPON Uzrokovan je početnom oscilacijom male amplitude zbog refleksije od prvog većeg diskontinuiteta na sabirnicama. Da bi se uzelo u obzir i usporavanje početne strmine prijelaznog povratnog napona, uzrokovano lokalnim kapacitetima na strani izvora, uvodi se i linija kašnjenja.
10 Faktor prvog pola Kod prekidanja struje u trofaznom strujnom krugu električni luk se nikada ne gasi istovremeno u sve tri faze. Da bi se uzelo u obzir veće naprezanje koje se zbog toga javlja na polu prekidača koji prvi prekida struju, uvodi se pojam faktor prvog pola. Faktor prvog pola za prekidače nazivnog napona < 245 kv iznosi 1.5, a za prekidače nazivnog napona 245 kv iznosi 1.3. Faktor snage svakog pola jednak je kosinusu kuta ϕ, koji predstavlja fazni pomak između struje i napona u trenutku razdvajanja kontakata. cosϕ= arctg X R X R - reaktancija strujnog kruga [Ω] - djelatni otpor strujnog kruga [Ω]
11 STRUJA KRATKOG SPOJA i a i d -izmjenična komponenta struje KS [ka] - istosmjerna komponenta struje KS [ka]
12 t t " ' " ' τd ' τd ik() t = 2 ( IK IK) e + ( IK IK) e + IK sin( ωt+ ψ ϕ) + ( ψ ϕ) " + 2 I sin K e Rωt " X + X d n ( ψ ϕ) i = 2 I " sin e d K " ' ( K K) ' ( ) 2I I e 2I I e K K R ωt " X + X τ = X K /(ωr K ) d t τ " d t τ ' 2I K " ' X, X, X d d d d " ' τ, τ, τ I K '' d d d Z = R + X 2 2 K K K - istosmjerna komponenta struje kratkog spoja -početna komponenta struje kratkog spoja - prijelazna komponenta struje kratkog spoja - stacionarna komponenta struje kratkog spoja -početna,prijelazna i stacionarna reaktancija sinkronog generatora [Ω] -početna, prijelazna i stacionarna vremenska konstanta kruga - vremenska konstanta strujnog kruga [s] = U/Z K - efekt. vrijednost početne simetrične struje kratkog spoja [A] U n - impedancija kratkog spoja [Ω] - linijski napon generatora [V] ϕ = arctg(x K /R K ) - fazni kut između napona i struje [rad] ψ -električni kut napona u trenutku nastanka kratkog spoja [rad] ω = 2πf - kružna frekvencija [rad s -1 ]
13 Početne komponente struje kratkog spoja traje vrlo kratko, pa se ona, po isteku vlastitog vremena otvaranja prekidača, dakle u trenutku paljenja električnog luka, može zanemariti. Prijelazna komponenta struje kratkog spoja u intervalu gorenja luka (koji iznosi nekoliko poluperioda) relativno se malo promjeni zbog velike vrijednosti pripadne vremenske konstante, pa ju u tom intervalu možemo smatrati periodičnom funkcijom iste amplitude. Istosmjerna komponenta struje kratkog spoja također se smanji, pa ju u tom intervalu možemo svesti na funkciju prijelazne komponente struje kratkog spoja.
14 ( ) ( ) ( ) i t = i t + i t K a d ik t Io t e ( ) τ = sin( ω + ψ ϕ) sin( ψ ϕ) t I o = 2 I '' K -početna vrijednost istosmjerne komponente struje kratkog spoja [A] Maksimalna vrijednost asimetrične struje kratkog spoja dobije se uz ψ = 0 (odnosno ako u trenutku nastanka kratkog spoja napon prolazi kroz nulu), t i ( t) I ( t ) τ Kmax. = o sin ω ϕ + e sinϕ Maksimalna vrijednost istosmjerne komponente javlja se uz ψ = ϕ - π/2, a ukoliko je ψ = ϕ tada uopće nema istosmjerne komponente struje kratkog spoja. Ako se uvrsti ϕ = π/2 - δ i ψ = 0 dobija se izraz za struju kratkog spoja koja se najčešće javlja u praksi, t i ( t) I e ( t ) Kmax. = τ o cosδ cos ω + δ Još jednostavniji izraz za računanje struje kratkog spoja dobije se ako se uvrsti ϕ = π/2 - δ i ψ = -δ, t i ( t) Kmax. = Io e τ cosωt Ako se zanemari prigušenje, R = 0, izraz se još više pojednostavljuje, ( ) [ ] i t = I 1 cosωt Kmax. o
15 STRUJA KS U BLIZINI GENERATORA
16 U slučaju kratkog spoja u blizini prethodno kapacitivno opterećenog generatora izmjenična komponenta struje kratkog spoja prigušuje se mnogo sporije nego u slučaju neopterećenog ili čisto induktivno opterećenog generatora, pa se može desiti da asimetrična struja kratkog spoja u blizini generatora, tokom nekoliko perioda, ne prolazi kroz prirodnu nulu. Kod velikih generatora ovi uvjeti postoje također i za kratki spoj na sabirnicama iza blok spoja generator-trafo snage > 400 MVA. Izraz za struju kratkog spoja, ukoliko je generator prethodno opterećen kapacitivnom strujom I C glasi: t i ( t) τ K = Io ( 1+ IC) e cosωt
17 ODREĐIVANJE PREKIDNE STRUJE prema IEC-u Prekidna struja Udarna struja Termička struja AA' BB' Početna snaga kratkog spoja I I I p u t =μ I '' K =κ 2 I '' =λi n K S = 3 U I '' '' K n K AA' BB' BX CC' DD' EE' I MC I AC I AC 2 I DC I DC I x100 AC - anvelopa strujnog vala - nulta linija - pomak nulte linije strujnog vala u bilo kojem trenutku - efektivna vrijednost izmjenične komponente struje - trenutak razdvajanja kontakata (trenutak paljenja električnog luka) - uklopna struja - vršna vrijednost izmjenične komponente struje u trenutku EE' - efektivna vrijednost izmjenične komponente struje u trenutku EE' - istosmjerna komponenta struje u trenutku EE' - postotak istosmjerne komponente Prekidna snaga S = 3 U I p n p
18 PREKIDANJE STRUJE IDEALNI PREKIDAČ U trenutku prolaza struje kroz nulu kontakti se trenutno otvaraju na potreban razmak. Otpor između kontakata se u trenutku prekidanja struje trenutno mijenja od vrijednosti R A = 0 na vrijednost R A =. Probojni napon između kontakata se u trenutku prekidanja struje trenutno mijenja od vrijednosti u d = 0 na vrijednost u d = U d. U tom slučaju električni luk se uopće nebi upalio.
19 IDELNI i REALNI PREKIDAČ
20 SLEPIANOVA TEORIJA UTRKE Za uspješno prekidanje struje potreban je tako brz porast probojnog napona da krivulja probojnog napona u d bude neprestano iznad krivulje povratnog napona p A. Ako krivulja u d dostigne krivulju p A, električni luk se ponovo pali. IDEALNI PREKIDAČ REALNI PREKIDAČ uspješno prekidanje neuspješno prekidanje
21 NAPON PODRUČJE MAKSIMALNOG DIELEKTRIČNOG NAPREZANJA PODRUČJE TERMIČKOG NAPREZANJA VRIJEME
22 USPJEŠNO PREKIDANJE i TERMIČKI PROBOJ
23 USPJEŠNO PREKIDANJE i DIELEKTRIČNI PROBOJ
24 PREKIDANJE STRUJE U ČISTO OMSKOM STRUJNOM KRUGU Električni luk se gasi u prvoj nul točki struje nakon otvaranja kontakata. U tom trenutku i napon izvora također dolazi u nulu, pa se na prekidaču javlja povratni napon industrijske frekvencije.
25 PREKIDANJE STRUJE U ČISTO INDUKTIVNOM STRUJNOM KRUGU U trenutku gašenja električnog luka, npr. t = 3π/2, napon izvora iznosi E, pa povratni napon na prekidaču praktički trenutno mora poprimiti tu vrijednost, dakle povratni napon ima praktički beskonačno veliku strminu porasta.
26 PREKIDANJE STRUJE U ČISTO KAPACITIVNOM STRUJNOM KRUGU
27 U trenutku gašenja električnog luka, npr. t = 3π/2, napon izvora iznosi -E, pa kondenzator ostaje nabijen na taj napon, uc( t)= E Za napon izvora sada možemo napisati da se mijenja po slijedećem izrazu, et () = Ecosωt Povratni napon na stezaljkama aparata jednak je razlici napona izvora i napona na kapacitetu, u () t = e() t u () t = E( 1 cos ωt) A Povratni napon pomaknuta je kosinus funkcija. U trenutku nule struje, povratni napon na prekidaču jetakođer nula. Nakon pola periode, povratni napon poprima vrijednost 2E, i ako još uvijek nije postignuta puna dielektrična čvrstoća međukontaktnog razmaka može doći do proboja, odnosno do ponovnog paljenja električnog luka. c
28 PREKIDANJE STRUJE U MJEŠOVITIM STRUJNIM KRUGOVIMA Povratni napon, a time i težina prekidanja, za dani faktor snage ovise o udjelu serijskih i paralelnih elemenata. Ako je serijska komponenta impedancije veća u odnosu na paralelnu komponentu, povratni napon će imativeću strminu i prekidanje struje će biti teže. Nasuprot tome, ako je veći udio paralelne grane u ukupnoj impedanciji tada će povratni napon imati približno oblik kao na ovoj slici i prekidanje će biti lakše.
29 PREKIDANJE STRUJE KOD OPOZICIJE FAZA
30 PREKIDANJE STRUJE U TROFAZNOM STRUJNOM KRUGU Povratni napon na prvom polu koji prekida struju: Povratni napon na drugom polu koji prekida struju: U AR U AS 3 Zo = E 2 Z + Z o = 3 E d 2 2 ( Z + Z Z + Z ) d d o o 2 Z d + Z o
31 Za tropolni kratki spoj s istovremenim spojem sa zemljom u mrežama sa direktno uzemljenom nul-točkom vrijedi Z d = Z o, pa je povratni napon na polu koji prvi prekida struju jednak E. Odnosno povratni napon na polu koji drugi prekida struju iznosi također E. Za tropolni kratki spoj bez spoja sa zemljom, ili za mreže sa izoliranom nul-točkom vrijedi Z o >> Z d, pa je povratni napon na polu koji prvi prekida struju jednak 1.5E. U ovom slučaju struja u preostala dva pola prekida se istovremeno, a povratni napon po polu iznosi 0.866E. Za kratki spoj u kojem je uključena i zemlja, povratni napon na trećem polu, ukoliko on ne prekine struju istovremeno s drugim polom, iznosi E, pošto je to jedini napon izvora koji još djeluje u krugu. Iz ovih razmatranja očitojedase najveći povratni napon javlja na polu prekidača koji prvi prekida struju, pa se to povećeno naprezanje obično uzima u obzir s faktorom prvog pola (K I ).
32 Faktor prvog pola ovisi o vrsti kratkog spoja, i za najčešće tipove kratkog spoja u elektroenergetskom sustavu (ako sa Z d,z i i Z o označimo direktnu, inverznu i nultu impedanciju strane izvora, a sa Z d,z i iz o označimo direktnu, inverznu i nultu impedanciju strane voda) računa se iz slijedećih izraza: Tropolni kratki spoj bez spoja sa zemljom (u ispitnoj stanici) Pošto ne postoji vod iza prekidača, vrijedi da je direktna impedancija strane tereta jednake nuli Z d = 0, a nulta impedancija je beskonačana Z o =. U AI Z d I K3 K I UAI = " = ZI d K povratni napon na polu koji prvi prekida struju - direktna impedancija strane izvora - struja tropolnog kratkog spoja
33 Tropolni kratki spoj bez spoja sa zemljom (u realnoj mreži) I ovdje vrijedi Z d = 0, ali nulta impedancija nije beskonačna. Naime pošto su tri faze međusobno spojene, Z o je jednako impedanciji voda iza mjesta kvara. K I UAI = " = ZI d K3 3 2 ( ' Z ) o + Zo ( ' + ) + Z Z Z o o d Z o Z o - nulta impedancija strane izvora - nulta impedancija strane tereta (voda) Tropolni kratki spoj sa spojem sa zemljom U ovom slučaju vrijedi Z o = Z d = 0. K I UAI = " = ZI d K3 3 Z o ( 2 Z + Z ) o d
34 Jednopolni kratki spoj sa zemljom (treći pol koji prekida struju) U ovom slučaju vrijedi Z o = Z d = 0. K I UAIII = " = ZI d K1 Z o + 2 Z 3Z d d I K1 - početna struja jednopolnog kratkog spoja
35 PREKIDANJE STRUJE KRATKOG SPOJA - SABIRNIČKI KS (kratki spoj na stezaljkama prekidača) - BLISKI KS (kilometrički kvar)
36 SABIRNIČKI KRATKI SPOJ Kratki spoj u neposrednoj blizini prekidača, odnosno u neposrednoj blizini sinkronog generatora (npr. na sabirnicama rasklopnog postrojenja u elektrani). Zbog male udaljenosti od sinkronog generatora do mjesta kvara, odnosno male impedancije u strujnom krugu javlja se vrlo velika struja kratkog spoja. Upravo zbog velike struje koju prekidač mora prekinuti, ali i zbog velike amplitude povratnog napona, ova vrsta kvara predstavlja jedno od najtežih pogonskih stanja za prekidač.
37 Nadomjesna shema 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 2 = t i rlc R LC dt t di rc L R dt t i d c c c Rješenje ( ) sin cos ) ( = + = + = rc L R LC rc L R t K t K e t i o o o t c ω κ ω ω κ tdt e C K tdt e C K t u o t o t A ω ω κ κ sin cos ) ( =
38 Povratni napon ( ) t o o o Ao m m A e t t U E E t u κ ω ω ω κ + + = cos sin ) ( ( ) m t g m m m e U E E U κ + + = Maksimalna vrijednost povratnog napona Ao m m U E U + = 2 Teoretski najveća moguća vrijednost povratnog napona o o m f t 2 1 = = ω π 1 ; 1 ; 2 = = o t o e e LC L R m κ ω κ Ukoliko prekidač nije opremljen paralelnim otpornikom, r =
39 BLISKI KRATKI SPOJ (KILOMETRIČKI KVAR) Kratki spoj nastao na određenoj udaljenosti (obično nekoliko kilometara) od prekidača. Iako se radi o manjem iznosu struje, u odnosu na struju koju prekidač prekida u slučaju sabirničkog kratkog spoja, može se desiti da prekidač ne uspije prekinuti tu struju. Razlog tome leži prvenstveno u velikoj strmini povratnog napona.
40 Napon na strani voda, u v (t) ima pilasti oblik, a posljedica je refleksije naponskih putnih valova na vodu. Što se tiće naprezanja prekidača kod prekidanja bliskog kratkog spoja presudnu ulogu ima upravo strmina napona na strani voda.
41 Nadomjesna shema ) ( ) ( ) ( t u t u t u v g A = Povratni napon ( ) t g g g vo Ao m m g e t t U U E E t u κ ω ω ω κ + + = cos sin ) ( t I L dt t di L t u t I t i K v K v v K K ω ω ω cos 2 ) ( ) ( sin 2 ) ( = =
42 Prva amplituda povratnog napona U 2 U = 2 l X 2 I A vo 1 K Strmina početnog dijela povratnog napona s A UA = vx1 2 T A I Odnosno ako ju izrazimo preko konstanti voda sa Zv ω 2 IK K 1 v =, Zv = LC 1 1 L C 1 1 Kritična udaljenost l krit E. = X I v P I P I I K K E - efektivna vrijednost faznog napona X V - reaktancija voda I P - prekidna struja - struja kratkog spoja I K
43 SKLAPANJE MALIH KAPACITIVNIH STRUJA Sklapanje kapacitivnih struja je normalni pogonski zadatak za mnoge srednjenaponske i visokonaponske prekidače i sklopke. Tipični primjeri su sklapanje kondenzatorskih baterija te neopterećenih vodova ili kabela. U mnogim slučajevima radi se o velikom broju sklopnih ciklusa, npr. ukoliko se kondenzatorska baterija koristi za dinamičku kompenzaciju jalove snage. Kod prekidanju kapacitivnih struja vrijede praktički sva razmatranja o čisto kapacitivnom strujnom krugu. Povratni napon na otvorenom prekidaču ima u principu 1-cos oblik (na koji se superponira i početni naponski skok) i napreže sklopni aparat sa maksimalnim naponom E+U C, što je otprilike 2 p.u. (1p.u. = E).
44 Nadomjesna shema Napon između stezaljke prekidača i zemlje V 1 je zbog rezonantnog efekta viši od napona izvora V 0 V 1 = V 2 = V ω = 2πf ν 2 = 1/(L S C) C S << C C = V 0 ω 1 ν 2 - kružna frekvencija (f=50 Hz) - kružna frekvencija potezne struje Kapacitivna struja koja teće kroz prekidač i C = V C ωc
45 1 početni skok napona na strani izvora 2 napon na kondenzatoru 3 povratni napon na sklopnom aparatu
46 Velika naponska naprezanja pri prekidanju kapacitivnih struja (kondenzatorske baterije ili voda u praznom hodu) vrlo lako uzrokuju ponovni dielektrički preskok između kontakata.
47 Za ograničenje povratnih napona pri prekidanju kapacitivnih struja najčešće se koriste isklopni otpornici. U trenutku t = 1 otvaraju glavni kontakti, čime se isklopni otpornik R uključuje u seriju sa kapacitetom C. Pomoćni kontakti otvaraju se u trenutku t = 2 i na taj način se prekida RC strujni krug. Na slici (b) prikazan je napon izvora i struju koja se prekida. Sve do t = 1 struja je jednaka normalnoj kapacitivnoj struji. U trenutku t = 1 uključuje se u krug omski otpor koji se normalno odabire tako da je njegov iznos jednak 0.4 XC, pa se iznos i fazni kut struje vrlo malo mijenja njegovim uključenjem. U trenutku t = 2 otvaraju se pomoćni kontakti i struja normalno dolazi u nulu. Slika (c) pokazuje napon na kapacitetu. Ponovo se vidi da je promjena napona u trenutku uključenja otpora u krug vrlo mala upravo zbog male vrijednosti otpora.u trenutku t = 2 krug se prekida i na kapacitetu ostaje napon -1 p.u. U međuvremenu, povratni napon, slika (c) je vrlo je mali nakon t = 1, pošto se radi samo o padu napona na otporu R. U trenutku t = 2 javlja se povratni napon oblika (1 - cos). Ukoliko se desi preskok, recimo u trenutku t = 3, dolazi do velikog prigušenja kroz otpornik R. Očito je da se u ovakvom krugu može javiti prenapon iznosa manjeg od 2.0 p.u.
48 U Z Z s A ( E ϕ U ) I m = E m + m cos ZI + ru a) 0 Z l r u r U Z X 1 + E = 0 u I m U 0 napon voda A I Z s A II r u Z l b) Ograničavanje prenapona prilikom uklapanja neopterećenih dugih vodova moguće je izvesti višestepenim uklapanjem pomoću uklopnih otpornika. Najprije se pomoćnim kontaktom A I uklopi vod preko serijskog otpora r u. Pri tome na vodu nastaje prenapon (krivulja I) kojemu visina ovisi o veličini otpora r u. Glavni kontakt prekidača A II zatvara se malo poslije i na njemu se javlja drugi prenapon (krivulja II). Da bi faktor sklopnih prenapona k = U m /U f bio ispod dopuštene vrijednosti izolacije k, uklopni otpor r u može imati bilo koju vrijednost između r u1 i r u2.
49 SKLAPANJE MALIH INDUKTIVNIH STRUJA U trenutku prekidanja struja ima vrijednost I r, pa se magnetska energija akumulirana u induktivitetu transformatora, W LI 2 r L = 2 i trenutna elektrostatska energija, pretvaraju u elektrostatsku energiju koja se mora akumulirati u kapacitetu C na stezaljkama transformatora, Maksimalni povratni napon iznosi: 2 2 ( + ) W CU U m C = 2 W= W W CU L + C = 2 U r 2 m L = C I + U 2 2 m r r
50 Ukoliko je povratni napon veći od podnosivog napona, dolazi do ponovnog paljenja električkog luka. Razlika napona izvora i napona tereta protjera visokofrekventnu struju. Neki tipovi sklopnih aparata (npr. vakuumski) imaju sposobnost prekidanja struja čija je frekvencija daleko veća od industrijske. Dakle, prilikom prolaza ove visokofrekventne struje kroz nulu, sklopni aparat prekida tu struju, i strujni krug se ponovo raspada na dva dijela i ponovo dolazi do titranja svake strane za sebe. Ako pri tome na kapacitetu tereta ostane velika razlika napona u odnosu na stranu izvora, može se javiti visoki prijelazni povratni napon koji može izazvati ponovna paljenja, pri čemu se napon postepeno povećava pri svakom ponovnom paljenju zbog povećanja akumulirane energije na strani tereta. Ova pojava naziva se eskalacija napona.
51 EVOLUTIVNI KVAR Prilikom prekidanja npr. male induktivne struje neopterećenog transformatora može se javiti visoki prenapon koji obično dovodi do proboja zaštitnog iskrišta, ili preskoka na provodnom izolatoru transformatora. U velikom broju slučajeva ovaj preskok se ograničava na jednostavno pražnjenje u kapacitetu transformatora, ali isto tako se može dogoditi da povećani napon na kontaktima prekidača istovremeno izazove ponovni preskok i između kontakata. U tom slučaju ovaj dvostruki preskok dovodi do zemnog spoja pri čemu kroz prekidač može poteći značajna struja, naročito ukoliko se radi o mrežama sa direktno uzemljenim zvjezdištem. Pošto obično u tom trenutku više nema prisilnog strujanja plina za gašenje, prekidač ne može prekinuti tu struju i u najvećem broju slučajeva dolazi do njegove eksplozije.
52 PREKIDANJE ISTOSMJERNE STRUJE u L = L di = ( E ir) u dt Za uspješno prekidanje istosmjerne struje potrebno je osigurati da se struja nakon otvaranja kontakata neprestano smanjuje. To znači da derivacija struje di/dt, a prema tome i pad napona na induktivitetu u L, u cijelom području prekidnih struja mora biti < 0. A Taj uvjet je poznat pod nazivom kriterij nestabilnosti luka. ( ) u > E ir u A L < 0
53 Za uspješno prekidanje potrebno je da pad napona na aparatu u A u čitavom radnom području bude iznad pravca (E-iR), jer jedino ukoliko je taj uvjet ispunjen struja će se smanjivati do nule. Točka 1 se naziva labilna točka gorenja luka, a točka 2 naziva se stabilna točka gorenja luka.
54 Trajanje luka će bitikraće što je brzina opadanja struje veća. Pri tome je važno naglasiti da vremenska konstanta kruga (τ = L/R ) direktno utjeće na vrijeme trajanja luka. Povećanje otpora R Ako povećamo otpor od R 1 na R 2 (R 2 > R 1 ), a induktivitet ostane nepromijenjen, pri nekoj zadanoj vrijednosti struje točka B se spušta u točku C, a time i induktivni pad napona L di/dt rasteodiznosaab na iznos AC. Pošto je L = konst. mora se di/dt povećati. Smanjenje induktiviteta L Ako se uz konstantan otpor R 2 = R 1 = konst. poveća induktivitet od L 1 na L 2 (L 2 < L 1 ), pad napona na induktivitetu se ne mijenja, odnosno L di/dt = AB = konst. Da bi to bilo ispunjeno mora uz manji L biti di/dt veće. Trajanje el. luka će biti kraće što je vremenska konstanta kruga manja.
55 ENERGETSKI PROBLEMI Energija luka W = u () t i() t dt A t A 0 A u A (t) = r A (t) i(t) i(t) r A (t) t A - napon luka - struja luka - otpor luka - vrijeme gorenja luka
56 Energija uklapanja t A W E t [ a v t] Aukl. = A () k i() t dt o E A (t) l A (t) a v k t A = a/v k - gradijent luka - duljina luka - probojni razmak - brzina gibanja kontakata - vrijeme gorenja luka U krugovima izmjenične struje trajanje luka potrebno je ograničiti na manje od četvrtine periode (t A <<1/4f) tako da u slučaju uklapanja na kratki spoj uklapanje završi prije nego što struja naraste na vrijednost udarne struje kratkog spoja. Brzina uklapanja mora biti v k >>4af!
57 Energija prekidanja Prekidanje istosmjerne struje t A t A W = 2 Apr. ra () t i () t dt = ( E R i()) t i() t dt + = L i() t di 0 0 Čak i u slučaju trenutnog prekidanja (t A =0) energija prekidanja je jednaka magnetskoj energiji kruga, LI 2 /2. 0 I Prekidanje izmjenične struje t A t A 2 WApr. = = ra () t i () t dt= ( E R i()) t i() t dt+ L i() t di 0 0 Gašenje izmjeničnog luka u odnosu na gašenje istosmjernog luka je olakšano jer se u njemu ne oslobađa akumulirana magnetska energija (posljednji član u gornjem izrazu jednak je nuli). 0 I
58 TEHNIKE PREKIDANJE STRUJE Prekidna Prekidna Napon energija tehnika zrak ulje komp.zrak 0.1 SF6 vakuum 0.02 poluvodiči
59 PREKIDANJE STRUJE U ZRAKU ATMOSFERSKOG TLAKA Povijesno gledano to je prva tehnika prekidanja struje primjenjena u sklopnim aparatima. Kontakti se jednostavno rastave i luk se izdužuje dok se ne ugasi. Za uspješno prekidanje struje u zraku atmosferskog tlaka potrebno je povećati otpor luka, odnosno napon luka tako da on postane veći od napona izvora. U trenutku kada napon luka premaši napon izvora, toplinska energija koju izvor predaje luku postaje manja od energije hlađenja koja se predaje iz luka u okolinu pa se električni luk vrlo brzo gasi. Otpor luka može se povećati na jedan od slijedećih načina: - povećanjem duljine luka, -hlađenjem luka, i - razbijanjem luka u više serijski spojenih lukova. Većina modernih komora za gašenje luka koristi kombinaciju barem dva od gore navedenih načina.
60 KOMORA S IZOLIRANIM PLOČAMA Električni luk intenzivno se rasteže i hladi u dodiru sa zrakom i sa posebno oblikovanim pločama od vatrostalnog materijala
61 KOMORA S METALNIM PLOČAMA El. luk se razbija na više serijski spojenih lukova koji se onda intenzivno hlade kretanjem kroz zrak i kondukcijom u izravnom dodiru sa hladnim metalnim pločama.
62 KOMORE SA CIK - CAK STAZOM U slučaju visokog napona, produljenje luka mora biti značajno veće, ali pri tome je važno naglasiti kako nije poželjno da se to produljenje pojavi prerano, tj. onda kada je iznos struje još uvijek velik, jer dolazi do bespotrebnog gubitka energije koji može biti čak i štetan. U praksi, komora za gašenje je napravljena tako da se luk, što dulje traje, sve više produljuje i dolazi u sve uže raspore. To se postiže odgovarajućim različitim poprečnim presjecima i posebnim oblikom (cik-cak) staze kojom prolazi luk unutar komore za gašenje,
63 Otpor luka kod zračnog prekidača nije beskonačan nego ostaje relativno mali, povratni napon se sve više i više prigušuje sa porastom vlastite strmine, te se može toliko modificirati da više ne stvara nikave probleme u mreži. Zračni prekidač ima jednostavnu konstrukciju, dugi vijek trajanja, jednostavan je za održavanje, ne stvara sklopne prenapone i vrlo je pouzdan. Na visokim naponima glavni nedostatak ove tehnike je u velikim dimenzijama koje diktiraju dimenzije komore za gašenje luka i izolacijski razmaci u zraku, pa ova tehnika nije nikada naišla na širu primjenu.
64 PREKIDANJE STRUJE U ULJU Dio ulja, u neposrednom kontaktu sa električnim lukom, ispari i oko luka se stvara plinski mjehur, tako da luk u stvari gori u plinu (pretežno vodiku). Količina isparenog plina određuje se pomoću Bauerove relacije: V = C W o o A V o - volumen oslobođenog plina i pare reduciran na T o = 20 0 C i p o =10 5 Pa, [m 3 ] W A - energija luka [J] C o - Bauerov koeficijent (za ulje iznosi 60 [cm 3 /kw s])
65 OSNOVNI TIPOVI ULJNIH PREKIDAČA a,b c prekidač s metalnim uzemljenim kučištem (engl. live tank) prekidač sa kučištem izoliranim od zemlje (engl. dead tank)
66 OSNOVNI TIPOVI KOMORA ULJNIH PREKIDAČA a b c komora s uzdužnim strujanjem plina komora s poprečnim strujanjem plina kombinirana komora
67 VISOKONAPONSKI PARALELNI KONDENZATORI»»
68 Raspodjela povratnog napona na serijski spojenim komorama ovisi o impedancijama otvorenih komora, odnosno o njihovim kapacitivnim otporima. Pošto su prekidne komore jednake, vrijedi C 1 = C 2 i C Z»C 1 = C = C, te u 2 slučaju kratkog spoja npr. na stezaljki B vrijedi: 1 U1 ωc = =2 U 1 2 2ωC Dakle na komori koja se nalazi na strani napajanja kratkog spoja javlja se gotovo dvostruko veći povratni napon (67% ukupnog napona) nego na prekidnoj komori na čijoj strani je nastao kratki spoj. Da bi se prilikom prekidanja struje osigurala jednolika raspodjela povratnog napona na obje prekidne komore, potrebno je paralelno sa prekidnim komorama spojiti visokonaponski kondenzator. Na taj način smanjuje se utjecaj dozemnog kapaciteta (C VN >> C 1 ), odnosno poboljšava raspodjela povratnog napona sa 67% na otprilike 53%.
69 PREKIDANJE STRUJE U STLAČENOM ZRAKU Kao i svi stlačeni plinovi i stlačeni zrak ima dielektrička i termička svojstva bolja od zraka pod atmosferskim tlakom. Glavni razlog tome leži u povećanoj molekularnoj gustoći plina. Pošto je toplinska vodljivost zraka relativno mala, glavnu ulogu u procesu uspostavljanja dielektrične čvrstoće međukontaktnog prostora ima mehaničko istiskivanje preostale plazme uz pomoć snažne i brze struje hladnog zraka.
70 OSNOVNI TIPOVI PNEUMATSKIH PREKIDAČA Izvedba (a) predstavlja jednu od najpopularnijih izvedbi na srednjem naponu (metalni zračni spremnik je na potencijalu zemlje i može preuzeti na sebe ulogu potpornog nosača), međutim na visokom naponu velika udaljenost rezervoara od komore za gašenje značajno utjeće na vrijeme kašnjenja pri prekidanju. Izvedbe (b...d) međusobno su vrlo slične, prednost im je u gotovo idealnim uvjetima strujanja te izbjegavanju šupljih potpornih izolatora otpornih na veliki tlak. Glavni nedostatak ovih izvedbi je u visokom težištu i velikoj površini pod naponom. Izvedba (e) predstavlja tehnički gledano najpovoljnije rješenje, međutim sa tehnološkog i ekonomskog stajališta vrlo ju je teško izvesti pošto je zračni spremnik od izolacijskog materijala.
71 OSNOVNI TIPOVI KOMORA PNEUMATSKIH PREKIDAČA Postoje samo dva načina na koji se može stlačeni zrak usmjeriti na luk: poprečnim strujanjem i uzdužnim strujanjem. Danas, svi moderni pneumatski prekidači koriste samo uzdužno strujanje, i to u principu tako da se prisili luk da gori u osi koja se podudara sa osi sapnice. Općenito postoje dvije osnovne izvedbe sapnica: izvedba s jednom izoliranom sapnicom (a) i izvedba s dvije metalne sapnice (b)
72 PREKIDANJE STRUJE U PLINU SF 6 Zahvaljujući odličnim dielektričnim i deionizacijskim svojstvima plin SF 6 je danas praktički istisnuo iz upotrebe sve ostale medije za gašenje luka u prekidačima visokog napona. SF 6 ima čitav niz dobrih svojstava: nije otrovan, nije zapaljiv, nije eksplozivan, nije kemijski agresivan. Međutim osnovna svojstva koja su mu omogućila upotrebu i osigurala vodeće mjesto u prekidačima visokog napona jesu: 1) velika gustoća, 2) elektronegativnost, 3) dobra toplinska vodljivost, i 4) mala vremenska konstanta luka. Svojstva 1) i 2) osiguravaju plinu SF 6 izuzetne dielektrične karakteristike, a svojstva 2), 3) i 4) osiguravaju mu izuzetne deionizacijske karakteristike, tako da se ovaj plin gotovo približio idealnom mediju za gašenje luka.
73
74 OSNOVNI TIPOVI KOMORA SF 6 PREKIDAČA 1. izvedba s dvije metalne sapnice 2. izvedba s jednom izoliranom sapnicom
75 PREKIDANJE STRUJE U VAKUUMU Glavna karakteristika električnog luka u vakuumu su katodne mrlje koje se gibaju vrlo brzo i praktički nasumce po površini katode. Kod vakuumskog luka glavni nositelji struje su elektroni, a ne ioni kao što je to slučaj npr. kod zraka ili plina SF6. Električni luk u vakuumu, ovisno o veličini struje koja se prekida, može poprimiti dva oblika: difuzni luk (struje < 10 ka) i koncentrirani luk (struje > 10 ka). Koncentrirani luk se pod utjecajem elektromagnetskih sila giba samo po rubu elektroda i generira veliku količinu metalnih para, odnosno značajno oštećuje obje elektrode. Smanjeno trošenje kontakata osigurava se difuznim oblikom luka bez obzira na prekidnu struju. U tu svrhu sve današnje vakuumske komore koriste čeoni tip kontakata, te djelovanje magnetskog polja na električni luk između kontakata. Najčešće se koristi radijalno magnetsko polje vlastitih strujnih petlji formiranih posebnom geometrijom kontakata, ali i djelovanje uzdužnog (aksijalnog) magnetskog polja.
76 OSNOVNI TIPOVI KOMORA VAKUUMSKIH PREKIDAČA A izolacijsko tijelo B čeoni kontakti C, D zasloni E elastični metalni mijeh
77 OSNOVNI TIPOVI KONTAKATA RADIJALNO MAGN. POLJE AKSIJALNO MAGN. POLJE
78 BEZLUČNO PREKIDANJE Prekidanje struje uz pomoć poluvodiča vrlo je slično prekidanju idealnim prekidačem i to zahvaljujući prvenstveno odsustvu vanjskih efekata luka. Na žalost poluvodiči imaju vrlo malu toplinsku konstantu, pa nisu podesni za velike struje tereta (čak ni u slučaju vrlo kratkih vremena). U krugu izmjenične struje otvara se kontakt A u trenutku kada struja ima pozitivan polaritet. Na kontaktu A nema pojave luka pošto opterećenje preuzima na sebe poluvodički ispravljač (diode) u paralelnoj grani. Upotrebom kontakta A, čije otvaranje je pravilno sinkronizirano sa trenutkom neposredno prije prolaska struje kroz nulu, moguće je reducirati vrijeme protjecanja i efektivnu vrijednost struje kroz diode, a time naravno i značajno ograničiti termičko naprezanje dioda, na mali trokutasti oblik (prikazan šrafirano). Kontakt B potrebno je otvoriti prije nego što se promjeni polaritet povratnog napona, odnosno dok se dioda nalazi u zapornom području. I kontakt B se prema tome otvara bez pojave luka.
79 PREKIDANJE ISTOSMJERNE STRUJE Sisteme za gašenje istosmjernog luka dijelimo na prirodne i prisilne. Kod prirodnih sistema električni luka se gasi pomoću mehaničkog ili elektromagnetskog razvlačenja i relativnog kretanja luka kroz zrak. Pri tome se pretpostavlja da se elektromagnetsko razvlačenje ostvaruje vlastitim elektromagnetskim poljem struje luka. Kod prisilnih sistema koristi se obično magnetsko polje, stvoreno prolazom prekidne struje kroz svitak za gašenje, za otpuhivanje luka u posebno oblikovanu komoru za gašenje luka.
80 PREKIDANJE ISTOSMJERNE STRUJE NA NISKOM NAPONU PRIRODNI SISTEMI PRISILNI SISTEMI DEION REŠETKA MAGNETSKO GAŠENJE U USKIM RASPORIMA
81 PREKIDANJE ISTOSMJERNE STRUJE NA VISOKOM NAPONU Struja se prisilno dovodi u nulu uz pomoć injektirane struje suprotnog polariteta. Prekidanje struje pri prvom prolazu kroz nulu praktički je nemoguće zbog ogromne strmine struje, struja se prekida kod slijedećeg prolaza kroz nulu i to prekidačem za izmjeničnu struju. Kondenzator se nabija na onaj polaritet koji će proizvest injektiranu struju suprotnog polariteta od struje koja se prekida. Otpornik služi za ograničenje amplitude injektirane struje na vrijednost malo veću od vrijednosti struje koja se prekida. POLAGANO VRAĆANJE STRUJE NA VRIJEDNOST + I TRENUTAK PREKIDANJA
82 IZVEDBE VISOKONAPONSKIH PREKIDAČA ULJNI PREKIDAČ (40 kv, 300 A) ZRAČNI DEION PREKIDAČ ZRAČNI PREKIDAČ S MAGNETSKIM PUHANJEM HIDROMATSKI PREKIDAČ PNEUMATSKI PREKIDAČ MALOULJNI PREKIDAČ (u Europi) SF6 PREKIDAČ (115 kv, 5 ka) KOMPRESIJSKI SF6 PREKIDAČ SF6 DVOTLAČNI dead tank PREKIDAČ (230 kv, 37.6 ka) 3 komore VAKUUMSKI PREKIDAČ SF6 PREKIDAČ 1 komora 245 kv, 4 komore 800 kv
83 PRVI VISOKONAPONSKI PREKIDAČ - u pogonu od do kv, 300 A - smjesa vode i ulja
84 ULJNI PREKIDAČ 66 kv NEPOMIČNI KONTAKT POMIČNI KONTAKT
85 MALOULJNI PREKIDAČ 132 kv NEPOMIČNI KONTAKT KOMORA S PREGRADAMA POMIČNI KONTAKT
86 ZRAČNI PREKIDAČ 110 kv POMIČNI KONTAKT NEPOMIČNI KONTAKT NOŽ RASTAVLJAČA OPRUGA SPREMNIK ZRAKA
87 PNEUMATSKI PREKIDAČ 123 kv ISKLOPNI OTPORNIK POMOĆNA KOMORA ISPUH POMIČNI KONTAKT ZRAK NEPOMIČNI KONTAKT
88 PNEUMATSKI PREKIDAČ 230 i 420 kv
89 VISOKONAPONSKI SF 6 PREKIDAČI 1. GENERACIJA DVOTLAČNI PREKIDAČI PLIN SF6 NALAZI SE U VISOKOTLAČNOM SPREMNIKU POD TLAKOM 1 do 1.6 MPa (slično kao kod pneumatskih prekidača). ZA VRIJEME GAŠENJA EL. LUKA PLIN SF6 STRUJI IZ VISOKOTLAČNOG SPREMNIKA U PREKIDNU KOMORU U KOJOJ JE NISKI TLAK. NEDOSTATAK: Kod tlaka od 1 do 1.6 MPa potrebnog za uspješno gašenje el. luka plin SF6 se ukapljuje kod temperatura i iznad 0 0 C. Zbog toga ovi prekidači zahtijevaju intenzivno grijanje! 2. GENERACIJA JEDNOTLAČNI, KOMPRESIJSKI PREKIDAČI TLAK PLINA SF6 U PREKIDAČU IZNOSI 0.5 DO 0.8 MPa. VISOKI TLAK POTREBAN ZA GAŠENJE EL. LUKA STVARA SE SAMO ZA VRIJEME PROCESA PREKIDANJA STRUJE NA TAJ NAČIN DA POMIČNI KOMPRESIJSKI CILINDAR TLAČI PLIN U PREKIDNOJ KOMORI. NEDOSTATAK: Pogonski mehanizam mora osigurati energiju i za gibanje kontakta i za stvaranje visokog tlaka potrebnog za gašenje el. luka. Pogonski mehanizmi su izuzetno kompleksni i snažni, a reakcijske sile na postolju iznimno velike. 3. GENERACIJA AUTOKOMPRESIJSKI PREKIDAČI (KORIŠTENJE TOPLINSKE ENERGIJE EL. LUKA) ZA VRIJEME PREKIDANJA STRUJE EL. LUK SAM STVARA ENERGIJU POTREBNU ZA POSTIZANJE VISOKOG TLAKA U PREKIDNOJ KOMORI. POGONSKI MEHANIZAM SLUŽI SAMO ZA OSIGURAVNJE ENERGIJE POTREBNE ZA GIBANJE KONTAKTA. ZBOG DRASTIČNOG SMANJENJA POTREBNE ENERGIJE OMOGUČENA JE UPOTREBA MALIH, POUZDANIH OPRUŽNIH MEHANIZAMA.
90 AUTOKOMPRESIJSKI SF 6 PREKIDAČ 1 FIKSNI LUČNI KONTAKT 2 IZOLACIJSKA SAPNICA 3 GLAVNI KONTAKT 4 POMIČNI LUČNI KONTAKT 5 GLAVNI KONTAKT 6 PREKIDNA KOMORA 7 GLAVNI KONTAKT 8 TLAČNI VENTIL 9 POMOČNA TLAČNA KOMORA 10 KOMPRESIJSKI CILINDAR 11 TLAČNI VENTIL a UKLOPLJEN b PREKIDANJE STRUJE KS c PREKIDANJE MALIH STRUJA d ISKLOPLJEN
91
92 SF 6 PREKIDAČ S DVOSTRUKIM POMIČNIM KONTAKTNIM SISTEMOM 1 FIKSNI GORNJI KONTAKTNI SISTEM 2 POMIČNI GORNJI KONTAKTNI SISTEM 3 TLAČNA KOMORA 4 KOMPRESIJSKI STAP 5 DOLJNJI KONTAKTNI SISTEM VD VOLUMEN TLAČNE KOMORE V H VOLUMEN POMOČNE KOMORE Energija pogonskog mehanizma je proporcionalna kvadratu brzine, E = ½ mv 2. Gibanjem oba kontaktna sistema brzina je reducirana za pola, a da se nisu promjenili ostali tehnički parametri (vrijeme uklopa i isklopa). Zahvaljujući principu dvostrukog pomičnog kontaktnog sistema, energija pogonskog mehanizma reducirana je za 65 %.
93
94 SF 6 PREKIDAČ S DVOSTRUKOM BRZINOM KONTAKATA Prvi dio vodilice je kvadratičan i paralelan i omogučuje konstantnu brzinu oba kontakata u prvoj fazi isklopa (a). KVADRATIČNA VODILICA ZAKRIVLJENA VODILICA Zakrivljeni dio vodilice počinje gibanje 10 ms nakon razdvajanja kontakata zbog čega dolazi do ubrzanja doljnjeg kontakta (b i c), a zatim kvadratični dio vodilice ponovo izjednačava njihove brzine. Ovakvom izvedbom posebno oblikovane vodilice potrebna je ista energija kao i kod izvedbe prekidača s dva pomična kontakta.
95 DIGITALNO KONTROLIRANI SERVO MOTOR DIREKTNO POKREĆE KONTAKTE PREKIDAČA
96
97 SINKRONI PREKIDAČ U početku smatralo se da je moguće principom sinkronog sklapanja čak potpuno eliminirati el. luk tako da se kontakti prekidača otvaraju u prvoj prirodnoj nul-točki struje nakon isklopne komande, i to takvom brzinom da je probojni napon između kontakata neprestano veći od povratnog napona. Ovakav princip prekidanja zahtijeva vrlo veliku mehaničku preciznost i golemu brzinu otvaranja, što u praksi nije moguće realizirati. Danas pod pojmom "sinkronog sklapanja" smatramo svako sklapanje kod kojeg se "gađa" trenutak uklopa ili isklopa u odnosu na sinusoidu struje (ili napona). Glavne prednosti sinkronog sklapanja dolaze do izražaja prilikom sklapanja malih induktivnih i kapacitivnih struja, te uklapanja dugih vodova.tako npr. kod sinkronog uklapanja kondenzatorskih baterija dolazi do značajnog reduciranja potezne (inrush) struje (više od 60%) i prenapona (manji su od 1.7 pu). Kod sinkronog uklapanja transformatora potezna struja se reducira više od 50%, a kod sinkronog uklapanja dugih vodova prenaponi se reduciraju na manje od 1.5 pu.
98
99 Uklapanje 72 kv kondenzatorske baterije a trenutak uklopa se podudara s maksimumom napona izvora b sinkrono uklapanje u trenutku kada je napon izvora = 0
100 ODABIR PREKIDAČA Odabir se vrši na osnovu nazivnih karakteristika propisanih odgovarajućim normama (IEC i IEC ): Osnovne nazivne karakteristike prekidača visokog napona su: - Nazivni napon - Nazivni izolacijski nivo - Nazivna frekvencija - Nazivna trajna struja - Nazivna kratkotrajno podnosiva struja - Nazivna tjemena (vršna) vrijednost kratkotrajne struje - Nazivno trajanje kratkog spoja - Nazivni napon upravljačkih i pomoćnih krugova - Nazivna frekvencija upravljačkih i pomoćnih krugova - Nazivni tlak komprimiranog plina za pogon i prekidanje
101 - Nazivna prekidna moć - Nazivni povratni napon za kratki spoj na stezaljkama aparata - Nazivna uklopna moć - Nazivni sklopni ciklus Prekidači namijenjeni za specijalne pogonske uvjete rada: - Nazivne karakteristike za bliski kratki spoj (samo za tropolne prekidače nazivnog napona većeg od 52 kv i prekidne moći veće od12.5 ka, namijenjene za direktan priključak s nadzemnim vodom) - Nazivna kapacitivna struja nadzemnog voda (samo za tropolne prekidače namijenjene za sklapanje nadzemnih vodova nazivnog napona 72.5 kv i više)
102 Na specijalni zahtijev korisnika prekidač može imati i slijedeće karakteristike: - Nazivna prekidna struja kod opozicije faza - Nazivna kapacitivna struja kabela - Nazivna kapacitivna struja jedinstvene kondenzatorske baterije - Nazivna kapacitivna struja složene kondenzatorske baterije - Nazivna potezna struja kondenzatorske baterije - Nazivna mala induktivna struja Prilikom odabira prekidača potrebno je još uzeti u obzir i slijedeće parametre: - lokalne atmosferske i klimatske uvjete - nadmorska visina - vremena otvaranja -učestalost sklapanja
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Iz zadatka se uočava da je doslo do tropolnog kratkog spoja na sabirnicama B, pa je zamjenska šema,
. Na slici je jednopolno prikazan trofazni EES sa svim potrebnim parametrima. U režimu rada neposredno prije nastanka KS kroz prekidač protiče struja (168-j140)A u naznačenom smjeru. Fazni stav struje
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Glavni elementi postrojenja Rastavljači
Rastavljači dvostupni rastavljač sa središnjim rastavljanjem (U n 60-400 kv) eng. (no load breaking) disconnecting switch Rastavljači služe da vidljivo odvoje dio rasklopnog postrojenja koji nije pod naponom
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Snage u kolima naizmjenične struje
Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna
Unipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
= 6.25 Ω I B1 = 3U =529 Ω I B2 = 3U = 1905 Ω I B3G = 3U
1. Za EES dat na slici: a) odrediti bazne struje i impedanse elemenata ako je S B = 100 MVA, a naponi jednaki nominalnim vrijednostima napona pojedinih naponskih nivoa, b) Nacrtati ekvivalentne šeme direktnog,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Priprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu E L E K T R I Č N A S T R U J A 1. Poprečnim presjekom vodiča za 0,1 s proteče 3,125 10¹⁴ elektrona. Kolika je jakost struje koja teče vodičem? A. 0,5 ma B. 5 ma C. 0,5 A D.
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul.
Zadaci uz predavanja iz EK 500 god Zadatak Trofazno trošilo spojeno je u zvijezdu i priključeno na trofaznu simetričnu mrežu napona direktnog redoslijeda faza Pokazivanja sva tri idealna ampermetra priključena
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Trofazni sustav. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi
tranica: X - 1 tranica: X - 2 rofazni sustav inijski i fazni naponi i struje poj zvijezda poj trokut imetrično i nesimetrično opterećenje naga trofaznog sustava Uvodni pojmovi rofazni sustav napajanja
Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji
Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Električna shema temeljnog spoja Električna shema fizički realiziranog uzlaznog pretvarača +E L E p V 2 P 2 3 4 6 2 1 1 10
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Snaga izmjenične sinusne struje
1 11 1 13 14 15 16 17 18 r t h Snaga izmjenične sinusne struje n e Izmjenična sinusna struja i napon Djelatna snaga Induktivna jalova snaga Kapacitivna jalova snaga Snaga serijskog RLC spoja Snaga paralelnog
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)
šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.
OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Elektronički Elementi i Sklopovi
Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Induktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V?
Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? a) b) c) d) e) Odgovor: a), c), d) Objašnjenje: [1] Ohmov zakon: U R =I R; ako je U R 0 (za neki realni, ne ekstremno
Klizni otpornik. Ampermetar. Slika 2.1 Jednostavni strujni krug
1. LMNT STOSMJNOG STJNOG KGA Jednostavan strujni krug (Slika 1.1) sastoji se od sljedećih elemenata: 1 Trošilo Aktivni elementi naponski i strujni izvori Pasivni elementi trošilo (u istosmjernom strujnom
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo
Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI. Prof. dr Vladan Radulović
FAKULTET ZA POMORSTVO OSNOVNE STUDIJE BRODOMAŠINSTVA BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI Prof. dr Vladan Radulović ELEKTRIČNA ENERGIJA Električni sistem na brodu obuhvata: Proizvodnja Distribucija Potrošnja Sistemi
ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE
veučilište u ijeci TEHNIČKI FAKULTET veučilišni preddiplomki tudij elektrotehnike ELEKTOOTONI OGONI - AUDITONE VJEŽBE Ainkroni motor Ainkroni motor inkrona obodna brzina inkrona brzina okretanja Odno n
Reaktancije transformatora (1) Dvonamotni transformatori
Reaktancije transformatora (1) Dvonamotni transformatori Nadomjesna shema (T-shema): 1 k1 / ' k1 / n1 / n V n1 m V n1 ' V n Reaktancija k1 dobiva se mjerenjem u pokusu kratkog spoja: V k1 I n1 I n V k1
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
6. TEHNIČKE MJERE SIGURNOSTI U IZVEDBI ELEKTROENERGETSKIH VODOVA
SIGURNOST U PRIMJENI ELEKTRIČNE ENERGIJE 6. TEHNIČKE MJERE SIGURNOSTI U IZVEDBI ELEKTROENERGETSKIH VODOVA Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. 1/14 SADRŽAJ: 6.1 Sigurnosni razmaci i sigurnosne visine
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala