Transformari de imagini - probleme rezolvate - I. Transformari sinusoidale transformata Fourier:

Transcript

1 ransormari d imagini - problm rzolvat - I ransormari sinusoidal transormata ourir: i următorul bloc d pixli dintr-o imagin digitală: a) Dducţi matrica transormati ourir, [ ], ncsară transormării bidimnsional a acstui bloc d imagin { ( k, n) }, ( k, n) k,,,; n,,, kn, b) Să s calculz transormata ourir bidimnsională unitară a blocului c) Cum arată matrica spctrului d amplitudin a transormati ourir bidimnsional unitar a blocului? d) P matrica transormati ourir bidimnsional a blocului, dmonstraţi consrvara nrgii în domniul transormat şi xaminaţi compactara nrgii în domniul transormat aţă d domniul original Rzolvar: a) Ecuaţia matricii transormati ourir unitar n urnizază modul d calcul a coicinţilor din matrica pntru oric lini k şi coloană n a matricii, k,,, şi n,,, Pntru rducra volumului d calcul d ralizat, obsrvăm că matrica transormării ourir st simtrică, adică: ( k, n) ( n, k) (din comutativitata produsului algbric) kn nk Est suicint atunci să calculăm lmntl până la diagonala principală (inclusiv cl d p diagonală) pntru a ava matrica transormării complt cunoscută Cu alt cuvint, trbui să calculăm trmnii: (, n), n,,, ; (, n), n,, ; (, n), n,; (,) Pntru k, indirnt d valoara lui n, produsul algbric kn, dci avm (, n) ; pntru, obţinm (, n), n,,, Pntru k, obţinm pntru cl tri lmnt (n, sau ):

2 ( ) sin cos, ( ) ( ) sin cos, ( ) sin cos, 6 6 Pntru k, obţinm pntru cl două lmnt (n sau ): ( ) ( ) sin cos, ( ) ( ) sin cos, În in, pntru k, obţinm (,): ( ) sin cos sin cos, Ca urmar, lmntl matricii transormării ourir unitar sunt: b) ransormata ourir bidimnsională unitară a blocului s poat calcula olosind xprsia gnrală a transormărilor bidimnsional unitar d imagini în ormă matricială, ţinând cont d aptul că blocul d pixli st o matric pătratică d dimnsiun pixli şi olosind ca matric a transormării matrica, corspunzătoar transormati ourir În acst condiţii, ormula d calcul a transormati ourir bidimnsional unitar a blocului (car conduc la blocul transormat [ ] d coicinţi ourir) st: Cum matrica transormării ourir,, st simtrică,, dci cuaţia d calcul a transormati dirct dvin: Înlocuind cu valoril din matricil şi, obţinm:

3 c) Matrica spctrului d amplitudin a transormati ourir bidimnsional unitar a blocului st dată d modull coicinţilor din blocul, notat aici simbolic prin [ ] Ramintim că modulul unui număr complx z d orma: b a z, st dat d xprsia: b a z Atunci matrica car rprzintă spctrul d amplitudin a transormati ourir bidimnsional unitar a blocului d imagin va conţin coicinţii: Obsrvăm că în spctrul d amplitudin al transormati ourir bidimnsional unitar a blocului, avm coicinţi nnuli doar p prima lini, car corspund unor rcvnţ spaţial orizontal nnul (rcvnţl spaţial vrtical iind zro, apt xplicabil dacă xaminăm variaţia luminanţi p icar coloană din blocul : luminanţa st constantă p icar dintr coloanl din blocul, ca urmar nu xistă dloc tranziţii d luminanţă în dircţi vrticală, dci nici coicinţi d rcvnţă corspunzători p liniil a doua, tria şi a patra din blocul şi din spctrul d amplitunin, doar p prima lini car corspund unor rcvnţ spaţial orizontal nnul dar rcvnţ vrtical zro) Dacă orma tranziţii luminanţi p icar lini în part din blocul ar i ost d orma unui smnal sinusoidal sau porţiuni d sinusoidă, am i obţinut un singur coicint nnul, corspunzător rcvnţi orizontal a sinusoidi dat d una din liniil matricii transormati ourir

4 Cum acsta nu a ost cazul, a ost ncsară utilizara tuturor coicinţilor ourir d p prima lini (d rcvnţă orizontală nnulă şi rcvnţă vrticală zro) pntru dscrira compltă, ără pirdr d inormaţi, a blocului d) Consrvara nrgii blocului în rprzntara sa prin coicinţii transormati sal ourir bidimnsional,, poat i dmonstrată i indirct olosind proprităţil transormărilor ortogonal bidimnsional unitar, i dirct prin calculul nrgiilor din blocul, notată prin E, rspctiv din blocul, notată prin E, şi vriicara galităţii clor două nrgii Dacă cl două nrgii sunt gal, vidnt concluzia st că în urma transormării ourir bidimnsional unitar a blocului, s consrvă nrgia blocului în rprzntara sa în domniul transormat În gnral, nrgia unui bloc d imagin s calculaza ca suma pătratlor valorilor luminanţlor din bloc, iar nrgia blocului transormat ca suma pătratlor modullor coicinţilor Ca urmar, putm calcula nrgia E în blocul d imagin original şi nrgia E în blocul d imagin rprzntat în domniul transormat cu cuaţiil: E u ( m, n), m n und u(m,n) luminanţa pixlului d p linia m şi coloana n din blocul, rspctiv: E v( k, l), k l und v(k,l) valoara coicintului d p linia k şi coloana l din blocul transormat umric, calculăm: E u ( m, n) m n E v( k, l) 76 5 k l Ca urmar, E E, dci s consrvă nrgia blocului în urma transormării (transormara st cu consrvar a nrgii, ca c n indică aptul că putm rconstitui oricând prin transormar invrsă ără distorsiuni, blocul original d pixli din rprzntara sa în domniul transormat) Compactara nrgii blocului în domniul transormat, în comparaţi cu distribuţia nrgii blocului în domniul original, st dată d numărul d coicinţi nuli sau oart mici în comparaţi cu coicinţii din blocul original În blocul original, nu avm nici un coicint nul, ca urmar putm stima nrgia ncompactată dloc (ci distribuită rlativ uniorm într ci 6 trmni) Dacă xaminăm blocul, obsrvăm ca doar patru coicinţi sunt nnuli Ca urmar, nrgia st compactată în domniul transormat în din totalul d 6 coicinţi ai

5 blocului Avm o compactar a nrgii în /6 din coicinţi, adică in 5% din coicinţi dci putm spun că transormara a ost dstul d icintă din prspctiva compactării nrgii blocului (nu oart icintă icinţa maximă atingându-s atunci când am ava un număr minim d coicinţi nnuli un singur coicint, adică, dar totuşi dstul d icintă, dat iind că 75% din coicinţi nu mai trbui stocaţi/transmişi) i blocul d pixli dintr-o imagin digitală, în car icar pixl st rprzntat prin luminanţa sa o valoar întragă în mulţima {,,,55}: a) Calculaţi transormata ourir bidimnsională unitară a blocului, olosind matrica transormati ourir unitar d dimnsiun : b) Calculaţi spctrul d amplitudin al blocului C valori au: coicintul d cc; coicinţii d ca introduşi d muchiil orizontal din bloc; coicinţii d ca introduşi d muchiil vrtical din bloc? C alţi coicinţi d ca apar, şi cum xplicaţi prznţa lor? c) Proictaţi o mască d coicinţi G sub orma uni matrici d linii şi coloan, cu autorul căria să ralizaţi o iltrar a blocului în domniul rcvnţă, astl încât în urma iltrării să s păstrz în bloc doar muchiil vrtical, liminând cu totul cllalt dtalii din bloc şi componnta continuă (coicintul d curnt continuu) Opraţia d iltrar cu masca G în domniul coicinţilor transormati ourir bidimnsional unitar a imaginii va i considrată a i dinită d cuaţia: v ( k, l) g( k, l) v( k, l), k,,,; l,,,, und: ( k, l) lmntul d p linia k şi coloana l din matrica d coicinţi a v blocului iltrat în domniul transormati ourir bidimnsional, [ ]; g( k, l) lmntul d p linia k şi coloana l din matrica G[ ]; v( k, l) lmntul d p linia k şi coloana l din matrica d coicinţi a transormati ourir bidimnsional a blocului [ ], notat prin [ ]

6 Rzolvar: a) ransormata ourir bidimnsională unitară a blocului s poat calcula olosind xprsia gnrală a transormărilor bidimnsional unitar d imagini în ormă matricială, ţinând cont d aptul că blocul d pixli st o matric pătratică d dimnsiun pixli şi olosind ca matric a transormării matrica, corspunzătoar transormati ourir Cum matrica transormării ourir,, st simtrică,, cuaţia d calcul a transormati dirct bidimnsional unitar a blocului (car conduc la blocul transormat [ ] d coicinţi ourir) st: Înlocuind cu valoril numric din matricil şi, obţinm: S poat obsrva că, datorită distribuţii luminanţlor din blocul, car nu s potrivşt pra bin cu orma şi aza uncţiilor d bază din matrica (imaginaţi-vă uncţiil din matrica p linii rspctiv p coloan rprzntat ca şi uncţii - D, rspctiv similar, liniil şi coloanl rprzntat ca uncţii -D), compactara nrgii blocului în urma rprzntării sal în domniul transormat nu st pra bună (avm doar coicinţi nuli în domniul transormat din totalul d 6), dar totuşi, o cantitat mai mar din nrgia imaginii st împachtată în coicinţii d p prima coloană (prima, a doua şi a patra lini), corspunzător luminanţi mdii a blocului şi unui număr mai mar d tranziţii d luminanţă p coloan dcât p liniil blocului (avm tri tranziţii d luminanţă p coloan şi doar două tranziţii d luminanţă p linii în blocul ) b) Spctrul d amplitudin al blocului st dat d matrica car conţin modull coicinţilor transormati ourir bidimnsional unitar a blocului, matric notată, ca şi în problma antrioară, prin [ ] Coicinţii iind numr complx, modulul lor st calculat ca radical din suma pătratlor părţii ral şi părţii imaginar,

7 ca c conduc la următoarl valori numric în spctrul d amplitudin al blocului: 5 5 Coicintul d cc al blocului st cl car corspund rcvnţlor spaţial zro, adică, coicintul din spctrul d amplitudin d p prima lini şi prima coloană a blocului El corspund uni mdiri a luminanţlor din bloc, iind obţinut prin înmulţira cu linia d valori şi coloana d valori din matrica aloara coicintului d cc st d 5 9 Dacă xaminăm acastă valoar prin comparaţi cu mdia luminanţlor din blocul d pixli, obsrvăm că st d ori mai mar dcât luminanţa mdi (luminanţa mdi iind ( 76 )/696/65, adică, 9/) aptul că valoara coicintului d cc st d ori mai mar dcât luminanţa mdi a blocului original d pixli s datorază olosirii transormati ourir bidimnsional unitar, în car coicintul cu car s multiplică matrica transormării olosit în calculul transormati dirct st, şi nu ca în transormata ourir uzuală (dar nunitară) (ca urmar, şi actorul prin car s împart coicinţii st (/) (/), în loc d (/) (/), dci d ori mai mic) Coicinţii d ca introduşi d muchiil orizontal din bloc: muchiil orizontal sunt dscris d tranziţiil d luminanţă p coloanl blocului, car apar aliniat p linii, adică, apar p xact acaşi poziţi a linii din blocul, p coloan succsiv Ca urmar, o muchi orizontală va corspund unor rcvnţ spaţial vrtical nnul şi rcvnţ spaţial orizontal nul (va introduc în spctrul d amplitudin, coicinţi nnuli p prima coloană din blocul spctrului d amplitudin d rcvnţă spaţială orizontală zro şi p liniil a doua, a tria şi/sau a patra din blocul spctrului d amplitudin, linii car corspund unor rcvnţ vrtical nnul) Coicinţii d ca car dscriu muchiil orizontal (în cazul nostru, singura muchi orizontală, dintr priml două şi ultiml două linii al blocului, apărută în drptul ultimlor tri coloan al blocului ) sunt ci d p prima coloană din blocul, d p a doua şi a patra poziţi a acsti coloan:, p icar din cl două poziţii Coicinţii d ca introduşi d muchiil vtical din bloc: muchiil vrtical sunt dscris d tranziţiil d luminanţă p liniil blocului, car apar aliniat p coloan, adică, apar p xact acaşi poziţi a coloani din blocul, p linii succsiv Ca urmar, o muchi vrticală va corspund unor rcvnţ spaţial orizontal nnul şi rcvnţ spaţial vrtical nul (va introduc în spctrul d amplitudin, coicinţi nnuli p prima lini din blocul spctrului d amplitudin d rcvnţă spaţială vrticală zro şi p coloanl a doua, a tria şi/sau a patra din blocul spctrului d amplitudin, coloan car corspund unor rcvnţ orizontal nnul) Coicinţii d ca car dscriu muchiil vrtical (în cazul nostru, singura muchi vrticală, dintr prima coloană şi a doua coloană al blocului, apărută în drptul primlor două linii al blocului ) sunt ci d p prima lini din blocul, d p ultiml tri poziţii d p lini:, p icar din cl tri poziţii P lângă coicinţii d ca introduşi d muchiil orizontal şi vrtical din blocul d luminanţ, mai avm un st d coicinţi d ca corspunzători unor rcvnţ spaţial orizontal şi vrtical simultan nnul, şi anum, coicinţii d ca din

8 blocul spctrului d amplitudin d p a doua lini şi coloanl a doua, tria şi a patra, rspctiv d p ultima lini şi coloanl a doua, tria şi a patra (coicinţi car au toţi acaşi valoar numrică, ) Ei pot i xplicaţi prin prznţa colţului d la intrscţia cli d a doua linii şi a doua coloan din blocul d luminanţ (car corspund unor rcvnţ spaţial orizontal şi vrtical simultan nnul) c) Dacă dorim să proictăm o mască G car, înmulţită lmnt cu lmnt cu transormata ourir bidimnsională unitară a blocului d pixli, să conducă la o nouă imagin iltrată (a cări transormată ourir unitară bidimnsională va i ), [ ], în car să i prznt doar muchiil vrtical car apărau în blocul, dar să dispară muchiil orizontal şi colţul, iar componnta d curnt continuu să i nulă, atunci însamnă că va trbui să liminăm toţi coicinţii d ca din blocul car rlctă muchiil orizontal şi oric alt dtalii d rcvnţ spaţial orizontală şi vrticală simultan nnul, şi să liminăm dasmna coicintul d cc Cum lmntl din masca G oacă rol d pondri d multiplicar lmnt cu lmnt cu matrica transormati ourir bidimnsional, pntru liminara coicinţilor ndoriţi, trbui ca lmntl d p poziţiil corspunzătoar din masca G să aibă valoara (dând ca rzultat al produsului algbric ), iar coicinţii d ca car dorim să rămână în imagina iltrată rprzntată în domniul transormati ourir bidimnsional unitar trbui să aibă ca şi coicinţi corspunzători valori în masca G Pntru a păstra muchiil vrtical (în cazul nostru, muchia vrticală) din blocul original în xact acaşi poziţi spaţială (într prima şi a doua coloană din ), trbui să păstrăm nmodiicaţi toţi coicinţii d ca rsponsabili d rprzntara acsti muchii, adică, toţi coicinţii d rcvnţă vrticală nulă şi orizontală nnulă ci d p prima lini din blocul transormati ourir bidimnsional unitar, d p coloanl a doua, tria şi a patra din Binînţls, liminara tuturor clorlalt tranziţii d luminanţă va ac ca muchia vrticală să s xtindă, în blocul iltrat răcut prin transormată ourir unitară invrsă, p toat cl linii al blocului (d sus până os în bloc) Masca G car satisac condiţiil d mai sus va ava coicinţii: G Rzultatul iltrării, în conormitat cu cuaţia dată în nunţ, va conduc la blocul d coicinţi complcşi în domniul transormati ourir bidimnsional unitar, notat prin, cu lmntl v (k,l), k,,,, l,,,, d mai os: 5 ransormara ourir bidimnsională unitară invrsă a blocului, car n prmit să vriicăm prznţa muchii vrtical în blocul iltrat rprzntat în domniul spaţial, st dată d cuaţia:

9 Cum (conorm torii) matrica st unitară şi simtrică, a satisac rlaţia: Ca urmar, ormula transormati ourir bidimnsional unitar invrs a blocului iltrat (în xprimar matricială) dvin:, und st matrica complx conugată a matricii, obţinută prin conugara coicinţilor individuali din, adică: Înlocuind acum în cuaţia transormării ourir bidimnsional unitar invrs xprsiil şi, obţinm blocul iltrat rprzntat în domniul spaţial, : Obsrvăm că s conirmă, în blocul iltrat rprzntat în domniul spaţial, prznţa uni singur muchii vrtical, p acaşi poziţi spaţială în car apăra acastă muchi în blocul înaint d iltrar, adică, într prima şi a doua coloană Componnta continuă a blocului iltrat st zro, dat iind că mdia aritmtică a valorilor din bloc st zro ( ) Ca urmar iltrara a îndplinit crinţl din nunţ II ransormari rctangular transormata adamard: i urmatorul bloc d pixli dintr-o imagin digitală, în car icar pixl st rprzntat prin luminanţa sa o valoar întragă în mulţima {,,,55}:

10 a) Calculaţi transormata adamard -D a blocului, olosind matrica transormati adamard onată, d dimnsiun,, [ ] b) Dmonstraţi consrvara nrgii în domniul transormat c) Examinaţi compactara nrgii blocului în domniul transormat, în comparaţi cu distribuţia nrgii blocului în domniul original Rzolvar: a) Matrica transormării adamard d dimnsiun, pntru o putr a lui oarcar, n, cu n întrg pozitiv supraunitar, s obţin rcursiv din matrica d in imdiat inrior -, conorm cuaţii:, / / / / pntru > (rspctiv, st pntru ) Acasta st xprsia matrici transormării adamard în orma sa nonată În orma onată, s obţin matrica transormării, prin raranara liniilor matricii în in crscătoar a nr d schimbări d smn p lini (scvnţi liniilor) Atunci, pntru, obţinm: Cum numărul d schimbări d smn în st în prima lini, în a -a lini, în a -a lini şi în ultima lini,, s obţin prin mutara linii p a -a poziţi, mutara linii p a -a poziţi şi mutara linii p ultima poziţi:, ransormata adamard -D onată a blocului s obţin din înmulţira matricială (car dinşt orma gnrală a transormării dirct a unui bloc d imagin, xprimată sub orma matricială):,, Matrica transormării adamard (in oricar din orm, onata sau nonata) st simtrica,,, (s poat obsrva ca prima lini si

11 prima coloana sunt idntic, a doua lini si a doua coloana sunt idntic, a tria lini si a tria coloana sunt idntic, si la l, a patra lini si a patra coloana) Ca urmar, transormara dircta s poat rscri sub orma:,, Putm calcula intai oricar din produsl matricial din cuatia d mai sus, urmand sa inmultim rzultatul inca o data (i la stanga, i la drapta, in uncti d ina alasa) cu matrica, D xmplu, daca algm sa calculam intai,, obtinm:, 5 Apoi, inmultind acst rzultat la drapta cu,, obtinm blocul transormat cu coicintii:,, b) Dmonstrara consrvarii nrgii in domniul transormat insamna vriicara aptului ca nrgia blocului s rgasst in totalitat in varianta sa transormata În gnral, nrgia unui bloc d imagin s calculaza ca suma patratlor valorilor luminantlor din bloc, iar nrgia blocului transormat ca suma patratlor modullor coicintilor (idntic cu patratl coicintilor pntru transormari ral) Ca urmar, putm calcula nrgia E in blocul d imagin original si nrgia E in blocul d imagin rprzntat in domniul transormat cu cuatiil: E u ( m, n), m n und u(m,n) luminanta pixlului d p linia m si coloana n din blocul, rspctiv: E v ( k, l), k l und v(k,l) valoara coicintului d p linia k si coloana l din blocul transormat riicara consrvarii nrgii insamna vriicara rspctarii rlatii E E (cuatia consrvarii nrgii blocului in urma transormarii) umric, calculăm:

12 E u ( m, n) m n E v ( k, l) 76 k l Ca urmar, E E, dci s consrva nrgia blocului in urma transormarii (transormara st cu consrvar a nrgii, ca c n indica aptul ca putm rconstitui oricand prin transormar invrsa ara distorsiuni, blocul original d pixli din rprzntara sa in domniul transormat) Obsrvati: O modalitat altrnativa d dmonstrar a consrvarii nrgii st ca bazată p propritata transormărilor unitar d a consrva nrgia blocurilor p car l transormă Ca urmar, dacă putm dmonstra că matrica transormării, st unitară, olosind propritata mnţionată, va i dmonstrată automat şi consrvara nrgii O matric st unitară dacă invrsa sa st gală cu complx conugata transpusi sal na dintr proprităţil transormării adamard st aptul că matrica transormării st unitară, ca urmar acst lucru garantază consrvara nrgii imaginii în domniul transormat c) Compactara nrgii blocului in domniul transormat, in comparati cu distributia nrgii blocului in domniul original, st data d numarul d coicinti nuli sau oart mici in comparati cu coicintii din blocul original In blocul original, nu avm nici un coicint nul, ca urmar putm stima nrgia ncompactata dloc (ci distribuita intr ci 6 coicinti) Daca xaminam in schimb blocul, obsrvam ca doar doi coicinti sunt nnuli (si mai mari dsigur dcat coicintii/luminantl din blocul original ) Ca urmar, nrgia st compactata in domniul transormat in din totalul d 6 coicinti ai blocului Avm dci prin transormar o compactar a nrgii in /6 din coicinti, adica in 5% din coicinti dci putm spun ca transormara a ost icinta din prspctiva compactarii nrgii Car dintr următoarl matrici pot i olosit pntru transormara bidimnsională unitară sparabilă rctangulară a unui bloc d imagin d dimnsiun pixli, cu pixlii rprzntaţi prin luminanţl lor? Justiicaţi răspunsul A ; A ; A ; A Rzolvar:

13 Sub ormă matricială, oric transormar bidimnsională sparabilă a unui bloc d imagin dscris d o matric pătratică (cu pixlii săi rprzntaţi prin valori scalar luminanţ), bloc [ ], s dscri prin cuaţia:, A A und A st matrica transormării, car trbui să aibă acaşi dimnsiun ca şi blocul, în cazul unui bloc pătratic (cu număr gal d linii şi coloan), adică A[ ] În cazul nostru, dimnsiuna blocului iind pixli,, dci matrica A trbui să i d dimnsiun pntru a puta implmnta transormara bidimnsională sparabilă dscrisă d cuaţia matricială antrioară Matricil A, A şi A satisac acastă condiţi; singura matric car nu satisac condiţia st A Dacă transormara trbui să i şi unitară, atunci matrica A trbui să i unitară, adică invrsa i trbui să i complx conugata transpusă,, I A A A A Ca urmar, pntru matricil rămas posibil candidat pntru implmntara transormării bidimnsional unitar sparabil, trbui să vriicăm dacă l satisac condiţia d a i unitar sau nu (rspctiv, car dintr l st unitară) oat cl tri matrici d dimnsiun sunt ral, ca urmar, complx conugara nu ar ct, adică, ; A A ; A A A A om calcula pntru icar din cl tri matrici produsul : A A I A A Ca urmar, matrica A st unitară, dci poat i olosită pntru implmntara uni transormări unitar bidimnsional I A A Ca urmar, matrica A nu st unitară, dci nu poat i olosită pntru implmntara uni transormări unitar bidimnsional I A A Ca urmar, şi matrica A st unitară, dci şi a poat i olosită pntru implmntara uni transormări unitar bidimnsional

14 Ambl matrici A şi A au p liniil lor uncţii rctangular discrt (liniil acstor matrici sunt d tip smnal drptunghiular), ca urmar oricar din l îndplinsc toat condiţiil ncsar pntru a implmnta o transormar bidimnsională unitară sparabilă rctangulară a unui bloc d imagin d dimnsiun pixli i blocul d pixli dintr-o imagin digitală, în car icar pixl st rprzntat prin luminanţa sa în domniul {,,,55}, şi i matrica transormării adamard [ ], dinit prin: ; 6 6 a) Cum arată matrica transormării adamard onat după numărul d schimbări d smn? Dmonstraţi că acastă matric st unitară b) Calculaţi transormata adamard bidimnsională a blocului, olosind i matrica transormării adamard onat, i ca dată în nunţ c) Dmonstraţi consrvara nrgii imaginii prin acastă transormar şi xaminaţi compactara nrgii imaginii în domniul transormat aţă d cl original, prin stimara numărului d coicinţi nnuli din imagina rprzntată în domniul transormat comparativ la numărul total d pixli din imagin Rzolvar: a) Matrica transormării adamard dat în nunţ przintă: - zro schimbări d smn p prima lini; - tri schimbări d smn p a doua lini; - o schimbar d smn p a tria lini; - două schimbări d smn p ultima lini, dci nu ar liniil onat crscător ca şi număr d schimbări d smn p lini (scvnţă a linii, sau, rcvnţă a smnallor (vctorilor) d bază) Pntru obţinra matricii transormării adamard onat după numărul d schimbări d smn p linii, trbui ronat liniil prin: - mutara linii doi din d mai sus p poziţia patru (dvin ultima lini în matrica onată); - mutara linii tri din d mai sus p poziţia doi (dvin a doua lini în matrica onată); - mutara linii patru din p poziţia tri (dvin a tria lini în matrica onată) Obţinm astl matrica onată după numărul d schimbări d smn p linii notată prin [ ]:

15 Dmonstrara aptului că st unitară s rduc la a dmonstra că:, I Matrica st rală, ca urmar În plus, st şi simtrică (prima lini gală cu prima coloană; a doua lini gală cu a doua coloană; a tria lini gală cu a tria coloană; a patra lini gală cu a patra coloană), dci Atunci, trbui să dmonstrăm că, I pntru ca să i unitară Calculăm acst produs matricial: I Produsul iind matrica idntitat d dimnsiun, însamnă că matrica transormării dată mai sus st unitară b) ransormata adamard -D a blocului s obţin din înmulţira matricială (car dinşt orma gnrală a transormării dirct a unui bloc d imagin, xprimată sub orma matricială) i cu, i cu Algm aici să lucrăm cu : Putm calcula iniţial oricar din produsl matricial din cuaţia d mai sus, iar apoi înmulţim rzultatul înca o data (i la stanga, i la drapta, în uncţi d ina alasă) cu matrica D xmplu, dacă algm să calculăm iniţial, obţinm: Acum înmulţim rzultatul la stanga cu şi obţinm blocul transormat : c) Dmonstrara consrvării nrgii în domniul transormat însamnă vriicara aptului că nrgia blocului s rgăsşt în totalitat în rprzntara sa în domniul transormat, adică în blocul În gnral, nrgia unui bloc d imagin s calculază ca suma pătratlor valorilor luminanţlor din bloc, iar nrgia blocului transormat ca suma pătratlor modullor coicinţilor (idntic cu pătratl coicinţilor pntru

16 transormări ral) Ca urmar, putm calcula nrgia E în blocul d imagin original şi nrgia E în blocul d imagin rprzntat în domniul transormat cu cuaţiil: E u ( m, n) m n E v ( k, l) k l S obsrvă, din datl numric obţinut, că s vriică rlaţia E E (cuaţia consrvării nrgii blocului în urma transormării), ca urmar nrgia blocului s consrvă prin transormar Compactara nrgii blocului în domniul transormat, in comparaţi cu distribuţia nrgii blocului în domniul original, poat i stimată prin numărul d coicinţi nnuli din blocul transormat în car s împachtază nrgia imaginii În blocul original, toţi coicinţii sunt nnuli, dar în blocul transormat doar din ci 6 coicinţi sunt nnuli; ca urmar, nrgia în urma transormării s împachtază în din ci 6 coicinţi Oricum compactara nrgii st mai slabă comparativ cu cazul blocului din problma, datorită spciicului imaginii (în problma, blocul conţina o singură muchi vrticală, car s potriva prct cu vctorul d bază d p a doua lini/a doua coloană a matricii transormării adamard, în timp c în blocul din acastă problmă, avm orm al liniilor şi car ncsită practic utilizara tuturor vctorilor d bază, cu pondri corspunzătoar, pntru aproximara acstor orm d smnal drptunghiular, car przintă tranziţii numai p ultimul şantion) Avm dci prin transormar o compactar a nrgii în /6 din coicinţi, adică în 65% din coicinţi nu oart icintă a) Pntru blocul d imagin din problma antrioară, proictaţi o mască G[ ] în domniul coicinţilor transormării adamard onat cu autorul căria să s ralizz o iltrar a blocului, astl încât în urma iltrării şi transormării invrs a blocului iltrat în domniul spaţial, în blocul iltrat [ ], să avm przntă doar o singură muchi orizontală (să dispară cu totul muchia vrticală şi colţul din bloc) Cum arată blocul răcut în domniul spaţial în urma iltrării? iltrara s va raliza prin opraţia liniară d multiplicar într coicinţii matricii G şi coicinţii blocului transormat [ ], conducând la blocul iltrat în domniul transormat [ ]: v ( k, l) g( k, l) v( k, l), k,,,; l,,,, und: v ( k, l) lmntul d p linia k şi coloana l din matrica [ ]; g( k, l) v( k, l) lmntul d p linia k şi coloana l din matrica G[ ]; lmntul d p linia k şi coloana l din matrica [ ] b) Car va i ctul iltrării blocului în domniul transormati adamard onat, olosind o mască d iltrar G[ ] în domniul coicinţilor

17 transormării adamard onat cu următorii coicinţi, aplicată conorm cuaţii liniar d mai sus? G Rzolvar: a) Considrăm că avm calculată (conorm rzolvării din problma ) matrica coicinţilor în domniul transormati adamard onat a blocului d imagin, sub orma blocului [ ]: Cunoaştm din toria transormărilor bidimnsional unitar sparabil (în particular, pntru transormata adamard onată) smniicaţia corspondnţi într liniil, coloanl matricii coicinţilor în domniul transormat şi rcvnţl spaţial orizontală, rspctiv vrticală, pntru uncţii d bază drptunghiular: - colţul stânga sus al blocului transormat cu autorul transormării adamard bidimnsional onat corspund coicintului d curnt continuu (rcvnţlor zro p orizontală şi vrticală) (pntru o imagin coicintul d curnt continuu rprzintă luminanţa mdi a blocului); - indicl linii blocului st o măsură a rcvnţi spaţial vrtical, iar indicl coloani blocului o măsură a rcvnţi spaţial orizontal Prima lini (linia ) rprzintă rcvnţa spaţială vrticală zro; ca urmar, mrgând p prima lini d la stânga la drapta, avm coicinţii car rlctă prznţa unor tranziţii d tip drptunghiular (salturi d luminanţă) cu rcvnţă vrticală nulă şi rcvnţă orizontală din c în c mai mar (mrgând d la coloana până la coloana ) Acst salturi având rcvnţă orizontală mar, rprzintă salturi d luminanţă p lini d pixli (p linii din ), dar nînsoţit d salturi p coloană (d rcvnţ vrticală mar), dci vor corspund muchiilor vrtical din bloc Prima coloană (coloana ) rprzintă dimpotrivă rcvnţa spaţială orizontală zro; ca urmar, mrgând p prima coloană d sus în os, avm coicinţii car rlctă prznţa unor tranziţii d tip drptunghiular (salturi d luminanţă) cu rcvnţă orizontală nulă şi rcvnţă vrticală din c în c mai mar (mrgând d la linia până la linia ) Acst salturi având rcvnţă vrticală mar, rprzintă salturi d luminanţă p coloană d pixli (p coloanl din ), dar nînsoţit d salturi p lini (d rcvnţă orizontală mar), dci vor corspund muchiilor orizontal din bloc Coicinţii nnuli d p linii şi coloan oarcar (d p o lini k şi coloană l oarcar, k> şi l>) vor corspund prznţi, într-o poziţi spaţială din blocul d pixli, unor salturi bruşt d luminanţă atât p

18 lini, cât şi p coloană (adică, unor colţuri), doarc przintă simultan o componntă d rcvnţă vrticală şi orizontală umărul d coicinţi nnuli, valoara lor şi poziţia lor p linii şi coloan va dpind atât d numărul d muchii orizontal, vrtical şi colţuri, cât şi d poziţia lor în blocul d pixli Ca c putm şti cu siguranţă st că: - pntru un bloc d pixli car nu conţin dloc tranziţii d luminanţă (ar luminanţa prct uniormă), vom ava un singur coicint nnul în matrica coicinţilor transormati sal adamard onat, în colţul stânga sus al matricii (p linia şi coloana ) - pntru un bloc d pixli car conţin doar muchii prct orizontal (tranziţii d luminanţă p coloan prct aliniat spaţial salturi bruşt d luminanţă la xact acaşi lini din p toat coloanl), vom ava în matrica coicinţilor transormati sal adamard onat, coicinţi nnuli doar p prima coloană, toţi coicinţii d p cllalt coloan iind nuli () - pntru un bloc d pixli car conţin doar muchii prct vrtical (tranziţii d luminanţă p linii prct aliniat spaţial salturi bruşt d luminanţă la xact acaşi coloană din p toat liniil), vom ava în matrica coicinţilor transormati sal adamard onat, coicinţi nnuli doar p prima lini, toţi coicinţii d p cllalt linii iind nuli () În alt situaţii, n putm aştpta la coicinţi nnuli oriund în matrica coicinţilor transormati adamard onat a blocului Analizând matrica a coicinţilor în domniul transormati adamard onat a blocului d imagin d mai sus, comparativ cu distribuţia luminanţlor din blocul, obsrvăm că: - avm un coicint d curnt continuu nnul (d aştptat d altl, dat d mdia luminanţlor din blocul d imagin ) - avm un singur coicint nnul p prima coloană (coloana, corspunzătoar rcvnţlor vrtical nnul şi rcvnţi orizontal zro), d valoar -96; l trbui să corspundă muchii orizontal d la milocul blocului, dintr priml două şi ultiml două linii din bloc, muchi car s xtind însă doar p priml tri coloan (dci nu st o muchi xclusiv orizontală przntă în tot blocul), d und şi coicinţii nnuli car apar p a doua lini şi ultiml tri coloan din blocul (dat d colţul din imagina, localizat p a tria lini şi a tria coloană) - avm tri coicinţi nnuli p prima lini (linia, corspunzătoar rcvnţlor orizontal nnul şi rcvnţi vrtical zro), d valori, - şi rspctiv ; i trbui să corspundă porţiunii d muchi vrticală d p ultiml două linii din blocul d pixli, dintr pnultima şi ultima coloană a blocului În conormitat cu acastă analiză, dacă dorim acum să iltrăm blocul printr-o opraţi d prlucrar a coicinţilor transormării adamard onat (modiicând astl corspunzător prlucrării şi blocul d pixli ), astl încât în urma iltrării şi transormării invrs a blocului iltrat în domniul spaţial, în blocul iltrat [ ], să avm przntă doar o singură muchi orizontală (să dispară cu totul muchia vrticală şi colţul din bloc), însamnă că va trbui să rţinm din coicinţii blocului, doar p ci rsponsabili d introducra muchii orizontal şi să stăm toţi cilalţi coicinţi la (să-i ştrgm ); muchia orizontală s va xtind p tot blocul d

19 pixli iltraţi Avm un singur coicint în blocul car rdă prznţa muchii orizontal, şi anum, coicintul d valoar -96 prznt p prima coloană şi a doua lini a blocului Ca urmar, masca d iltrar G[ ] (car arată cu c valori s înmulţsc coicinţii transormării adamard onat a blocului pntru ralizara iltrării) poat i d orma: G, sau G, dat iind că oricum, dintr toţi coicinţii d p prima coloană din blocul, doar coicintul d p prima lini st nnul, dci cllalt valori al G p prima coloană nu au ct asupra iltrării blocului Cu acastă dinir a coicinţilor măştii d iltrar, găsim valoril coicinţilor blocului iltrat în domniul transormării adamard bidimnsional cu xprsia: adică: v ( k, l) g( k, l) v( k, l), k,,,; l,,,, Blocul răcut în domniul spaţial în urma iltrării, notat prin [ ], s dtrmină prin aplicara transormării adamard onat invrs asupra blocului d coicinţi iltrat [ ]: ; Cum matrica transormării adamard onat st unitară, rală şi simtrică (v tori, rspctiv dmonstraţi la problma ), Ca urmar, ormula d calcul a transormati adamard invrs bidimnsional s simpliică la orma: Înlocuind cu xprsiil matricii şi matricii, obţinm:

20 Obsrvăm că priml două linii din blocul sunt idntic cu priml două linii din blocul original, înaint d iltrar, Apar într-advăr în urma iltrării în blocul o singură muchi orizontală, dispărând oric tranziţi d luminanţă p liniil blocului iltrat (oric muchi vrticală sau colţ) Obsrvăm dasmna că luminanţl p ultiml două linii din blocul iltrat sunt sub (valoara d luminanţă d p ultiml două linii p poziţia primlor tri coloan din blocul ), dar pst 6 (valoara d luminanţă d p ultiml două linii p poziţia ultimi coloan din blocul ); la o xaminar mai atntă, valoara noii luminanţ p oricar poziţi din ultiml două linii din matrica iltrată st mdia luminanţi p icar din ultiml două linii din blocul niltrat (corspunzător iltrării trc os p dircţia rcvnţlor spaţial orizontal iltrar car a ost chivalntă uni mdiri spaţial p acastă dircţi): ( 6)/ b) Ectul iltrării blocului în domniul transormati adamard onat, olosind masca d iltrar G în domniul coicinţilor transormării adamard onat, poat i stimat analizând componnţa acsti măşti, în conormitat cu discuţia d la pct a) Obsrvăm că în masca G, toat lmntl sunt zro cu xcpţia clor d p prima lini doar d la a doua până la ultima coloană, adică: - masca va tăia componntl d rcvnţă vrticală sau mixt vrticalăorizontală; - masca va tăia componnta continuă (luminanţa mdi) din imagin, coicintul d rcvnţ spaţial zro (d p prima lini şi prima coloană) având ca actor d multiplicar în masca G o valoar nulă; - masca lasă nmodiicat doar componntl d rcvnţă orizontală pur (car corspund muchiilor strict vrtical din blocul d imagin) Ca urmar, ctul aplicării măştii G cu lmntl d mai sus asupra blocului d imagin st d iltrar trc sus p dircţi strict orizontală Dat iind că luminanţa mdi (dscrisă d coicintul d curnt continuu) st stată la zro în urma iltrării cu masca G, prin anulara coicintului d curnt continuu în urma iltrării, n aştptăm ca în blocul iltrat, rprzntat în domniul spaţial, valoril rzultat în icar poziţi spaţială (pixl) să nu i luminanţ în domniul {,,,55}, ci valori pozitiv şi ngativ, pntru a da pr ansamblu o valoar mdi nulă Acsta st motivul pntru car un bloc d imagin iltrat trc sus (în domniul rcvnţă sau spaţial) nu poat i aişat p cran în orma în car rzultă prin iltrar, iind ncsară i o translaţi a valorilor (d obici cu nivlul d gri mdiu, 7 sau ) car să l aducă în domniul d valori strict pozitiv (cu limitara lor la 55 dacă dpăşsc în urma translaţii acastă valoar), i o rprzntar a valorilor blocului iltrat în

21 modul (caz în car translaţia nu mai st ncsară), car prmit aişara, dar pird binînţls o part din inormaţi (smnul) (iind astl utilă pntru vizualizar, dar unori insuicintă pntru prlucrări ultrioar complt) Aplicând (cu opraţia liniară dscrisă la punctul a)) acastă mască d iltrar G în domniul transormati adamard onat, obţinm coicinţii transormati adamard bidimnsional corspunzători blocului iltrat [ ]: ( ) ( ) ( ),,,,,,,;,,,, l k l k v l k g l k v Rprzntara blocului iltrat în domniul spaţial [ ] s obţin prin transormara adamard bidimnsională onată invrsă, dată d cuaţia (v pct a)): Înlocuind cu xprsiil matricii şi matricii, obţinm: Aşa cum ra d aştptat, valoara mdi a blocului iltrat st zro (( - )/6 (96-96)/6), dat iind că iltrara st strict trc sus; mai mult, iltrara liminând oric rcvnţ spaţial cu xcpţia clor strict orizontal, avm przntă în blocul iltrat rprzntat în domniul spaţial doar o muchi strict vrticală (p acaşi poziţi ca şi coloană p car ra przntă şi muchia vrticală în blocul original, niltrat, doar că acum a s xtind p toată înălţima blocului, iind singura catgori d rcvnţ spaţial rămasă în imagin) III ransormari unitar bidimnsional sparabil în gnral: i blocul d imagin d dimnsiun pixli d mai os, car rprzintă o porţiun dintr-o imagin tip tablă d şah, în car icar pixl st rprzntat prin luminanţa sa Dorim să aplicăm o transormar unitară asupra blocului astl încât să s consrv, în urma transormării, în totalitat nrgia blocului, dar în aclaşi timp, să s compactz într-un număr mult mai mic d coicinţi nnuli dcât numărul coicinţilor nnuli din blocul rprzntat în domniul spaţial a) Dacă matricil transormărilor p car l avm la dispoziţi sunt: matrica transormării adamard unitară onată, [ ] ; matrica

22 transormării cosinus discrt, C [ ]; matrica transormării ourir discrt unitar, [ ], p car dintr l aţi alg-o pntru a asigura atât consrvara cât şi compactara nrgii? Justiicaţi răspunsul b) Cum arată blocul d imagin [ ] în domniul transormat, olosind matrica transormării alasă? (S va raliza o transormar bidimnsională a imaginii) Dmonstraţi consrvara nrgii blocului în urma transormării şi stimaţi compactara nrgii blocului obţinută prin transormar ; C ; Rzolvar: a) oat cl tri transormări bidimnsional d imagini: transormara adamard unitară onată, transormara cosinus discrtă şi transormara ourir discrtă unitară asigură principiul consrvării nrgii, dat iind că l sunt toat rprzntat prin matrici unitar al transormărilor (conorm torii, oric transormar unitară bidimnsională garantază consrvara nrgia imaginii în domniul transormat) Putm vriica aptul că toat cl matrici al transormărilor sunt unitar, vriicând proprităţil: I I

23 I C C C C C C I C C C C I I În plus, toat cl tri matrici au dimnsiuna corspunzătoar aplicării lor pntru calculul transormării bidimnsional unitar a blocului d dimnsiun pixli, iind d dimnsiun Dci, din acastă prspctivă, oricar din cl tri matrici poat i olosită pntru transormara bidimnsională a blocului, asigurând consrvara nrgii în urma transormării Singurl critrii d slcţi a uni transormări aţă d alta rămân: icinţa în compactara nrgii (număr minim d coicinţi nnuli în car să s rprzint toată nrgia blocului în domniul transormat); icinţa numrică (complxitat minimă d calcul a transormării) Din punctul d vdr al icinţi numric, ca mai icintă par transormata adamard, car ncsită doar opraţii d adunar şi scădr într luminanţl blocului ransormata ourir implică şi calcul cu numr complx, iar transormata cosinus, dşi prsupun numai calcul cu valori ral, ar coicinţi car ncsită înmulţiri cu două zcimal (în plus, aproximăril numric ăcut prin trunchira coicinţilor din matrica C la două zcimal nu garantază dcât aproximativ consrvara nrgii) Din punctul d vdr al compactării nrgii, obsrvăm că smnall d p liniil matricii d luminanţ samănă prct ca distribuţi a luminanţlor cu a doua coloană din matrica, iar smnall d p coloanl matricii d luminanţ samănă prct ca distribuţi a luminanţlor cu ultima lini din matrica (cu xcpţia uni translatări a luminanţlor blocului la valori strict pozitiv, comparativ cu

24 valoril din matrica car sunt simtric aţă d zro; st d aştptat ca acastă translatar să s rlct doar într-un coicint d curnt continuu nnul) În schimb, potrivira distribuţii luminanţlor p liniil blocului cu coloanl sau liniil matricilor şi C nu st atât d bună Ca urmar st d aştptat o compactar a nrgii mai bună când s olosşt pntru transormara bidimnsională unitară sparabilă a blocului matrica transormării adamard onat, dcât în cazul olosirii clorlat două transormărica mai slabă compactar st d aştptat în cazul olosirii transormati cosinus discrt, a cări ormă d variaţi a coicinţilor diră cl mai mult aţă d varianţa luminanţlor din (în cazul matricii transormati ourir unitar, obsrvăm că a tria lini rdă oart bin orma d variaţi a luminanţlor p coloanl lui, apt car nu st valabil pntru nici unl din liniil şi coloanl matricii transormati cosinus discrt, C ) Obs Discuţia antrioară s-a bazat p intrprtara transormărilor unitar d imagini din prspctiva capacităţii lor d a dscri imaginil prin dscompunra în sumă pondrată d vctori d bază (pntru cazul transormării unidimnsional), rspctiv imagini d bază (pntru cazul transormării bidimnsional) Cu cât numărul d vctori d bază, rspctiv imagini d bază ncsar pntru dscompunra imaginii rprzntat spaţial în sumă liniară pondrată st mai mic, cu atât numărul d pondri nnul coicinţi ai transormati nnuli st mai mic, dci compactara nrgii st mai bună Spunm aşadar că transormara optimă pntru un bloc d imagin dat (rprzntat spaţial prin luminanţl sal) st ca car ar ca vctori d bază în matrica transormării, vctori car s potrivsc cât mai bin ca ormă cu smnall d p liniil şi rspctiv coloanl blocului (distribuţia/variaţia luminanţi d p liniil şi coloanl blocului), pntru că atunci vctorii d bază ci mai potriviţi distribuţii luminanţi p linii/coloan vor i suicinţi în însumara pondrată, iar pondril lor vor i coicinţii transormati (singurii nnuli, car trbui mmoraţi sau transmişi) În conormitat cu obsrvaţiil d mai sus, putm stima că ca mai convnabilă transormar unitară bidimnsională sparabilă pntru blocul d luminanţ d tip tablă d şah va i transormata adamard onată, dscrisă d matrica transormării atât din punctul d vdr al compactării nrgii, cât şi din punctul d vdr al complxităţii minim d cacul (asigurând binînţls şi consrvara compltă a nrgii în domniul transormat) om vriica airmaţia ăcută calculând transormatl dirct bidimnsional obţinut cu icar din cl tri matrici, pntru blocul : A ransormata adamard bidimnsională onată: Înlocuind numric, obţinm:

25 După cum n aştptam, compactara nrgii st oart bună; cum liniil din matrica d luminanţ s potrivau prct cu a doua coloană din, iar coloanl din s potrivau prct cu a patra lini din, apar un singur coicint d ca nnul în domniul transormat, p ultima lini şi a doua coloană din blocul d coicinţi ai transormati adamard bidimnsional unitar onat a blocului În plus, tot d aştptat, mai avm nnul coicintul d curnt continuu (v comntariil d mai sus asupra componnti continu a blocului ) B ransormata ourir discrtă bidimnsională unitară: Înlocuind numric, obţinm: Aşa cum n aştptam, compactara nrgii nu st atât d bună ca şi în cazul transormării adamard onat bidimnsional; avm nvoi d doi coicinţi nnuli d ca şi un coicint d cc pntru rprzntara blocului în domniul transormat C ransormata cosinus discrtă bidimnsională: C C C Înlocuind numric, obţinm:

26 C C C Aşa cum n aştptam, compactara nrgii st mai slabă şi dcât în cazul transormati ourir bidimnsional unitar, şi cu atât mai mult aţă d transormara adamard onată bidimnsională; avm nvoi (chiar cu aproximări numric) d 6 coicinţi d ca şi d coicintul d cc pntru rprzntara blocului în domniul transormat, dată iind potrivira ca mai slabă într orma d variaţi (d tip salturi drptunghiular) a smnalului d luminanţă p liniil şi coloanl din blocul şi orma d variaţi d tip cosinusoidal a smnallor p liniil şi coloanl matricii transormati cosinus discrt C dat în nunţ S conirmă (prin calcul) obsrvaţiil din discuţia iniţială: ca mai bună algr pntru blocul cu variaţia d luminanţă d tip tablă d şah st transormata adamard, capabilă să asigur consrvara nrgii, să împachtz (compactz) nrgia într-un număr minim d coicinţi şi prrată adsa şi pntru simplitata calcullor implicat, în imagini cu astl d variaţi a luminanţi b) Blocul d imagin [ ] în domniul transormat, olosind oricar din matricil transormărilor, st calculat la pct antrior Consrvara nrgii blocului a ost dmonstrată indirct; considrând transormara optimă transormara adamard, şi algând în conormitat matrica transormării, putm dmonstra şi dirct p blocuril şi astl calculat consrvara nrgii, calculând nrgiil clor două blocuri în part şi dmonstrând că sunt gal: E u ( m, n) m n E v ( k, l) k l Cum E E, avm dmonstrată consrvara nrgii blocului Compactara nrgii blocului obţinută prin transormar st în doar din totalul d 6 coicinţi, dci avm o compactar a nrgii în 5% din coicinţii transormati maximul d compactar posibilă pntru acst bloc d imagin cu matricil transormărilor disponibil