Právna logika alebo aplikácia logiky v práve?

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Právna logika alebo aplikácia logiky v práve?"

Transcript

1 Právna logika alebo aplikácia logiky v práve? Analytické metódy v práve AMESH FiF UK Bratislava 3. december 2015 prof. PhDr. František Gahér, CSc. Katedra logiky a metodológie vied Filozofická fakulta Univerzity Komenského Bratislava frantisek.gaher@uniba.sk 1

2 Obsah 1. Aká logika sa používa v právnej praxi? 2. Aká logika sa ponúka pre právnu teóriu u nás? 3. Akú úlohu prisudzovali logike právnici? 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema 5. Rossov paradox 6. Predmetom príkazov sú činnosti alebo stavy vecí? 7. Deontická logika ako problémové dieťa? 8. Fakty/normy (zákony): empirické 9. Fakty/normy (zákony): analytické 10. Fakty/normy (zákony): sociálne 2

3 Obsah 11.Právne systémy ako sústavy explicitných sociálnych konštitutívnych noriem 12.Prepojenia E-faktov a S-faktov 13.Čas platnosti verzus čas splnenia S-normy 14.Dve konštrukcie zostavy operátorov ak-tak-inak 15.Logická štruktúra právnej normy 16.Druhé čítanie ak-tak-inak 17.Záver 3

4 1. Aká logika sa používa v právnej praxi? Je to empirická otázka. Môj názor (domnienka) je, že ak odhliadneme od účelovej argumentácie, externých (politických, korupčných a pod.) vplyvov, tak v právnej praxi prevláda prakticky správne usudzovanie a zdravý rozum. Myslím si, že aj tí, ktorí robia chybné, účelové rozhodnutia, v zásade vedia alebo si namýšľajú, že vedia, ako by to správne malo byť, čo vyplýva z noriem a daných okolností. 4

5 2. Aká logika sa ponúka pre právnu teóriu? Horšia situácia s logikou a logickou sémantikou je v právnej teórii - učebnice právnej logiky a niektoré časti učebníc teórie práva sú často karikatúrou logiky. Jiří Raclavský o učebnici Knapp - Gerloch (2000): Logika v právním myšlení obor právní logika je coby logika ve zbídačelém stavu. Práca Perelman: Právna logika. Nová rétorika nie je druhom logiky: úlohu logiky v pôvodnom zmysle ako teóriu dedukcie vlastne odmieta a nahrádza subjektívnou argumentáciou na báze rétoriky. 5

6 2. Aká logika sa ponúkala pre právnu teóriu? Jedna z prvých špeciálnych prác o nariadeniach sa pripisuje stoickému logikovi Chryssipovi ide o spis O príkazoch (dve knihy). Žiaľ, z jeho prác sa ani táto nezachovala. Je známe, že tvorcovia rímskeho práva, ktoré je kolískou moderného európskeho práva, sa opierali o logiku, ktorú v časoch helenizmu úspešne rozvíjali najmä stoici. V r je publikovaná práca Gottloba Fregeho Pojmové písmo (Begriffsschrift), ktorá je prelomovou prácou modernej logiky. Jej výsledky sa sprostredkovane dostanú k teoretikom práva až po 50tich rokoch v 30-tych rokoch 20. storočia. 6

7 2. Aká logika sa ponúkala pre právnu teóriu? Na pôde európskych fakúlt práva v tom čase vznikajú učebnice logiky, v ktorých ide ešte o tradičné spracovanie problematiky so zameraním na kritické myslenie a teóriu argumentácie v nadväznosti na základy modernej metodológie práva z pera vynikajúceho nemeckého odborníka na rímske právo Friedricha Carla von Savigny. V tomto trende pokračujú do prvej polovica 20. storočia (alebo až dodnes). 7

8 3. Akú úlohu prisudzovali logike právnici? Na pôde amerických fakúlt práva prichádza k zásadnej zmene metódy výučby práva. Významný modernizátor výučby práva v USA Christopher Columbus Langdell, ktorý bol v období 1870 až 1895 dekanom Právnickej fakulty na Harvardovej univerzite, zdôrazňoval význam logiky pre právo. Langdell zaviedol nový spôsob výučby práva formou prípadových štúdií, kde ťažiskom uvažovania bola logická argumentácia za a proti určitému rozhodnutiu išlo o sokratovskú dialogickú metódu hľadania zdôvodnení. 8

9 3. Akú úlohu prisudzovali logike právnici? Langdell považoval teóriu práva (jurisprudenciu) za vedu. V tej dobe bol totiž rozšírený názor, že právo je istý druh remesla, na zvládnutie ktorého záujemca nepotrebuje teoretickú prípravu. Úlohou právnej vedy bolo podľa Langdella identifikovať všeobecné právne princípy stelesnené v usudzovaní a rozhodovaní početných prípadov, klasifikovať ich a usporiadať ich, čiže objasniť ich ako časti určitého systému. Logické usudzovanie z pravdivých predpokladov na závery z nich vyplývajúce je zákonom práva. Toto presvedčenie o dôležitosti logického usudzovania ho viedlo k odmietaniu výnimiek. 9

10 3. Akú úlohu prisudzovali logike právnici? V roku 1880 Oliver Wendell Holmes, Jr., (neskôr jeden z najvplyvnejších právnych expertov USA začiatku 20. storočia, známy sudca Najvyššieho súdu USA (v rokoch 1902 až 1932), kritik právneho formalizmu a zakladateľ školy právneho realizmu či právneho modernizmu v recenzii knihy Langdella Summary of the Law of Contracts urobil obrat o 180 : Životom práva nie je logika, ale skúsenosť. 10

11 3. Akú úlohu prisudzovali logike právnici? Dnešní pokračovatelia Holmesovej školy odmietli ním jednostranne zdôrazňovanú pragmatizáciu práva a našli k tomu podklad i u samého otca školy - Holmesa: "The training of lawyers is a training in logic. The processes of analogy, discrimination, and deduction are those in which they are most at home. The language of judicial decision is the language of logic. Nový slogan: Životom práva sú obe logika presiaknutá skúsenosťou a skúsenosť vystužená logikou. 11

12 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Vráťme sa na začiatok 20-teho storočia. Holmes vlastne nespochybnil principiálnu možnosť aplikácie logiky v práve. Takýto postoj však prezentoval francúzsky fyzik, matematik a filozof Henri Poincaré. V roku 1913 demonštroval nemožnosť založenia morálky a etiky na vedeckých základoch v nasledujúcom zmysle: 12

13 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Všetky vedecké vety sú v oznamovacom spôsobe, zatiaľ čo všetky vety morálky sú v rozkazovacom spôsobe. Avšak z viet v oznamovacom spôsobe sú logicky odvoditeľné len vety, ktoré sú tiež v oznamovacom spôsobe. Preto je nemožné odvodiť vety morálky z vedeckých viet, akokoľvek by sme s obsiahnutými pojmami manipulovali. Zrejme to však nemalo priamy dopad na otázku možnosti aplikácie logiky v práve či právnej logiky právni teoretici si to nevšímali a písali ďalej klasické učebnice právnej logiky. 13

14 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema!na pôde teórie práva výrazom logika sa myslelo stále čosi ako umenie myslieť, všeobecne (nielen deduktívne správne) argumentovať a vládol tu i metodologický náhľad Savinyho, ktorý pod logickou interpretáciou v práve rozumel genetické zobrazenie myšlienok vyslovených v zákone čosi ako ontogenézu ideí zákona. To bolo v dobe Savinyho prevládajúca paradigma (dialektika vývoja poznania), avšak značne odlišné nielen od moderného, ale aj antického chápania logiky ako analytickej teórie vyplývania. 14

15 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Medzi teoretikmi práva a v povedomí praktických právnikov prevládalo jednoznačné presvedčenie o potrebe používania logiky v právnej teórii i praxi, hoci chápanie logiky bolo zastarané. Drvivá väčšina z nich nepochybovala o prospešnosti logiky pre právo a nevidela zásadnejšie prekážky vo využití logiky. 15

16 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Zlom v otázke principiálnej možnosti aplikácie logiky v práve nastal až po preniknutí logického pozitivizmu do širšieho okruhu skúmateľov aplikácie logiky v práve. Použitie princípu verifikácie (empirickej testovateľnosti) ako jediného kritéria pre identifikáciu vedeckého poznania viedlo k spochybneniu možnosti vedeckého narábania s príkazmi, a tým i špeciálne s právnymi normami. Týkalo sa to aj morálky, pretože podľa predstaviteľa logického pozitivizmu a Fregeho žiaka Rudolfa Carnapa medzi formuláciou Zabíjanie je zlé. a Nezabíjaj! je len štylistický rozdiel. 16

17 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Úsvit modernej logiky aplikovanej na problematiku normatívnych disciplín, akou je aj právo, je spájaný so zakladateľskou prácou rakúskeho Brentanovho žiaka filozofa Ernsta Mallyho, v ktorej skúmal vety typu Má byť A. Túto logiku nazval aj deontickou logikou (z gréckeho deón povinnosť). Neskôr sa týmto názvom označujú logiky, ktoré majú širší záber a zaoberajú sa nielen príkazmi (nariadeniami, predpismi preskripciami), ale aj zákazmi (proskripciami), dovoleniami (a zmocneniami). 17

18 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Moderná filozofia práva a deontické logiky sa zvyknú odvolávať na Huma, ktorý mal ako prvý sformulovať tézu o nepreklenuteľnej priepasti medzi tým, čo je (is) a tým čo má byť (ought). Podľa Huma (téza) z faktuálnych premís nikdy nemôžeme (racionálne) odvodiť morálne závery, navyše rýdzo racionálne princípy nemôžu byť nikdy motívmi konania. Na druhej strane Hume nepochyboval o potrebe používania rozumu (logiky) v morálke: V morálke tak, ako aj v iných oblastiach, kde hľadáme za hranicami zmyslovej skúsenosti, rozum je a má byť otrokom citov. 18

19 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Keďže v bežnej i právnej praxi sa dennodenne pracovalo aj s vetami, ktorých významy patrili do kategórie sollen (ought), hľadali sa vysvetlenia, ako je možné, že to funguje. Nemecký logik a metodológ Walter Dubislav (1937) prišiel s ideou, že vzťah vyplývania medzi dvomi povinnosťami platí vtedy, keď platí medzi vetami, ktoré opisujú ich splnenie. Inak povedané vyplývanie medzi imperatívmi parazituje na vyplývaní medzi paralelnými deskriptívnymi vetami o ich splnení (Dubislavov trik). Keďže na odvodenie nejakého príkazu potrebujeme aspoň jeden predpoklad v tvare príkazu, vedecká etika v duchu logického pozitivizmu (predpokladmi môžu byť iba empirické fakty/zákony) nie je možná. 19

20 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Dánsky logik Jørgen Jørgensen (1937/38) ukázal, že existuje rozpor medzi všeobecne uznávanou definíciou (logického) vyplývania a bežnou praxou usudzovania s rozkazovacími vetami. Jadro rozporu spočívalo v otázke pravdivosti noriem. Logici definujú vyplývanie ako takú reláciu medzi premisami a záverom, ktorá zachováva prenos pravdivosti z premís na záver. V úsudkoch, kde by niektorá z premís, prípadne záver boli vyjadreniami príkazov či zákazov v tvare imperatívu, by sme nemohli hovoriť o vyplývaní, pretože o imperatívnych vetách nehovoríme, že sú pravdivé alebo nepravdivé. 20

21 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Ako príklad uvádza úsudok so zmiešanými premisami (heterogénny): (U) Plň svoje sľuby! Toto je tvoj sľub. Plň tento sľub! Takéto intuitívne správne úsudky by nemali byť podľa definície správne (dilema). 21

22 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Jørgensenova trilema JD1: Predpisy nie sú pravdivé alebo nepravdivé. JD2: Úsudky, ktorých záver nemá pravdivostnú hodnotu, nemôžu byť správne. JD3: Niektoré úsudky, v ktorých premisách a záver je predpis, sú logicky správne. Všetky tézy sa zdajú byť prijateľné. Ako celok sú však tieto tézy zjavne nezlučiteľné a aspoň jedna (alebo dve) musia byť odmietnuté. 22

23 4. Humeova téza a Jørgensenova dilema Jørgensen navrhuje okrem iného tieto riešenia: I. Rozčlenenie imperatívu na dva faktory a manipulovať len s deskriptívnym faktorom a nepotrebujeme špeciálnu logiku imperatívov. Denormativizácia. II: Jazyk ako špecifická trieda foriem správania mohol vzniknúť ako nástroj na kontrolu faktov v hovorcovom okolí. Potom by imperatívy boli najzákladnejšie jazykové výpovede, z ktorých sa oznamovacie vety rozvinuli. Na začiatku boli príkazy, nie oznamy. Vo vzťahu ku zvieratám to tak je. Zmena sémantickej paradigmy. (B. F. Poršnev (1979): O začiatkoch ľudských dejín; Robert Brandom: the meaning of linguistic items in terms of their socially 23 norm-governed use... )

24 5. Rossov paradox Iný dánsky právnik a filozof Alf Ross (1941) preskúmal možnosť riešenia dilemy, vychádzajúc z návrhu I.: paralelizmus + platnosť/neplatnosť príkazov Môžeme nazvať tieto hodnoty (príkazov) platnosť a neplatnosť a zmeniť doterajšiu symboliku pre logické hodnoty T and F na V (valid) a I (invalid). Príklad: I(A) > S(A) vyplývanie deskriptívny koreň I(A v B) < S(A v B) deskriptívny koreň 24

25 5. Rossov paradox!a Hoď tento list do schránky!!(a v B) Hoď tento list do schránky alebo ho spáľ! Ross tento záver považoval za neprijateľný:rossov paradox. Fínsky logik Georg Henrik von Wright navrhol v článku 'Deontic Logic' (1951) jedno z riešení. Operátory '0' (obligation povinnosť) a 'P' (permissibility dovolenie) predstavovali všeobecné výrazy, ktoré sa nevzťahovali k vetám, propozičným výrazom, ale vzťahovali sa k druhu činnosti. 25

26 6. Predmetom príkazov sú činnosti alebo stavy vecí? Geach: To, že tieto operátory sa dali spájať vetnými logickými operátormi neznamenalo, že sú propozíciami. Išlo len o zrejmú analógiu: O(A a B) reprezentuje, čo má daný agent vykonať vtedy a len vtedy, keď má vykonať oba druhy činností reprezentovaných ako A a ako B. 26

27 6. Predmetom príkazov sú činnosti alebo stavy vecí? V r Nicholas Rescher (americký logik nemeckého pôvodu) konštatuje v práci Logika príkazov :...v skutočnosti neexistuje ani jediný bod z danej oblasti, o ktorom by bola dosiahnutá trvalá zhoda. Oxy(A) X prikazuje Y-onu urobiť A, kde A je určitá činnosť, aktivita. 27

28 6. Predmetom príkazov sú činnosti alebo stavy vecí? Pod vplyvom práce Artura Priora z r začali neskôr logici považovať operátory O,P priamo za vetné operátory. Tento posun, ktorý urobili logici takmer jednotne a ktorý hodnotil Peter Geach (1991) za fatálne chybný krok, viedol k vpusteniu obrovského množstva vyjadrení, ktoré nedávajú zmysel. 28

29 6. Predmetom príkazov sú činnosti alebo stavy vecí? Je prikázané, aby 2+2 bolo 4. Je prikázané, aby svietilo slnko. Korekcia v komentároch sa to vysvetľuje tak, že môže ísť iba o aktivity v dosahu adresáta príkazu, ním ovplyvniteľné a čerpá sa napríklad z vysvetlení z práce Reschera. To však v symbolickej štruktúre vôbec nevystupuje - propozícia chápaná ako neštruktúrovaný stav vecí to nijako nezachytáva. 29

30 6. Predmetom príkazov sú činnosti alebo stavy vecí? Geach ukazuje, že dvom odlišným príkazom (1) Tom má zbiť Jána. (2) Ján má byť zbitý Tomom. zodpovedá jeden stav vecí. To nie je intuitívne - medzi tým, čo má urobiť Ján a tým, čo má strpieť Tom, nie je logická väzba. Paradoxy deontickej logiky podľa Geacha vznikajú preto, lebo: a) v popredí je uvažovanie o sein a sollen (bez uvedenia agenta) namiesto uvažovania o povinnostiach agenta; b) zabudlo sa, že povinnosti vznikajú a zanikajú v čase. 30

31 7. Deontická logika ako problémové dieťa? Wright si v článku s príznačným názvom Existuje logika noriem? (1991) posťažoval, že jeho cesta krajinou deontickej logiky je plná obratov a zmien názorov. Keď začínal s deontickou logikou (1951), tak filozofické otázky možnosti takejto logiky ho netrápili. Opieral sa najmä o analógiu modálnych a deontických pojmov. Skoro sa však začalo toto podujatie ukazovať problematickým. Dve interpretácie deontických viet deskriptívna a preskriptívna ho viedli k určitej definícii pojmu konzistentnosti a vyplývania. 31

32 7. Deontická logika ako problémové dieťa? Po kritike jeho teórie uznal (1963) neudržateľnosť definícii týchto pojmov a odmietol možnosť deontickej logiky rovnako ako neskorý Kelsen. V r sa oblúkom vrátil k pôvodným názorom, ktoré zjemnil a prepracoval. Základnou ideou zostala idea istej podoby paralelizmu možnosť posunu (shift) výrokových spojok z formulácii noriem na ich deskriptívny obsah. 32

33 8. Fakty/zákony: empirické Skúsenostné (empirické) fakty: sú objektívne - nezávislé od ktoréhokoľvek skúmateľa a spoločnosti, nezávislé od ktoréhokoľvek jazyka, v ktorom môžu byť opísané; Sú závislé od situácie, od stavu vecí, ktorý sa vo všeobecnosti mení. (V1) Prší. Či veta (V1) vyjadruje skutočný fakt (pravdu) závisí od miesta a času ide o náhodnú pravdu, overiteľnú empiricky. Budeme ich označovať ako E-fakty. 33

34 8. Fakty/zákony: empirické Zaujímavé sa ukazovali prepojenia medzi E-faktami, na základe ktorých z pravdivosti jedných (tmavé mraky, vietor) sa môže predvídať budúci stav vecí (búrka) a podľa toho plánovať svoju činnosť (napr. lov či zber plodov a pod.). Vedecké poznanie takýchto prepojení - prírodné zákonitosti označujeme ako príčinné (kauzálne) väzby. Formulovanie prírodných zákonov vo forme všeobecných tvrdení o závislosti E faktov - E-zákony. 34

35 (E-zákon1) 8. Fakty/zákony: empirické Ak je teleso ponorené do kvapaliny, tak je nadľahčované silou, ktorá sa rovná tiaži kvapaliny telesom vytlačenej. Uvedený zákon má tvar všeobecného podmienkové súvetia, kde v podmieňujúcej vete sa hovorí o komplexnom E1-fakte a podmieňovacom súvetí o jeho účinku o E2-fakte. Práve na základe takýchto zákonov môžeme robiť vedecké predpovede (predikcie) budúcich udalostí, navrhnúť napríklad vhodné plavidlá, technologické postupy účinnej výroby strojov, liečiť choroby a pod., ale aj vysvetľovať minulé javy (retrodikcie). 35

36 9. Fakty/zákony: analytické So vznikom jazyka sa stala dostupná nová oblasť faktov, na skúmanie ktorých sme nepotrebovali otvoriť okno a pozrieť sa na stav vecí. Najzaujímavejšie fakty, ktoré boli nezávislé aj od skúmateľa aj od používaného jazyka, boli fakty, ktoré sa týkali samých významov výrazov jazyka či vzťahov medzi významami. Skladaním jednoduchších významov podľa určitých pravidiel môžeme získať zložené významy a logickou analýzou zloženého významu zas môžeme získať jeho zložky a takto metódami skladania a rozkladu určiť z hľadiska poznania dôležité analytické (významové) fakty. 36

37 9. Fakty/zákony: analytické Spomedzi analytických právd boli význačné logické pravdy. Sú to propozície pravdivé v každom stave vecí, bez ohľadu na konkrétny jazyk, a to len vďaka logickej štruktúre významu vety vďaka spôsobu poskladania významu súvetia z významov podviet (podvýrazov) (bez ohľadu na ich pravdivosť či nepravdivosť) : A-fakt: ((A B) A) B Jedným z najzaujímavejších vzťahov medzi významami výrazov je vzťah logického vyplývania, ktorý má rôzne podoby. 37

38 9. Fakty/zákony: analytické Do vzťahu logického vyplývania môžu byť zapojené okrem E - faktov aj E-zákony. Napríklad v úsudku (U2) je zachytený prípad vyplývania: (U2) Ak je niekto človek, tak je smrteľný. Sokrates je človek. Sokrates je smrteľný. Takéto logické fakty (L-fakty ako druh A-faktov) o prepojení predpokladov a záveru, aké sú vyjadrené úsudkom (U2), sú nezávislé od ktoréhokoľvek skúmateľa i použitého jazyka a sú pravdivé nezávisle od akéhokoľvek náhodne vybraného stavu vecí hovoríme, že sú nutne (vždy za každých okolností) pravdivé. 38

39 9. Fakty/zákony: analytické Hoci empirická informatívnosť záveru je menšia ako informatívnosť predpokladu, predsa a to je rozhodujúce z predpokladov sa pravdivosť prenáša na záver. Logické vyplývanie je vzťah, ktorý zachováva pravdivosť a obohacuje naše poznanie o nové pravdy, ktoré získame logickým dolovaním v štruktúre predpokladov. 39

40 9. Fakty/zákony: analytické Všetky úsudky, ktoré majú rovnakú logickú štruktúru ako (U2), tiež vyjadrujú logické fakty. To môžeme vyjadriť jednou všeobecnou úsudkovou schémou (USch). Takéto schémy vyjadrujú logické pravidlá, zákony (L-zákony). (USch2) P(x) Q(x) P(i) Q(i) P, Q zastupujú predikáty, x je indivíduová premenná a i je indivíduová konštanta, je implikácia. 40

41 10. Fakty/zákony: sociálne Spoločnosť je nejako organizovaná, v jej štruktúre majú jej členovia určité postavenie, sociálnu rolu, a podľa toho aj dodržiavajú alebo porušujú určité pravidlá správania. Sféra sociálnej skutočnosti, ktorú spontánne či z donútenia spoluvytvárajú členovia spoločnosti, môže byť pre život jednotlivca určujúca (gramatika spoločnosti). Budeme tento spoločenský mikrokozmos označovať ako oblasť S-faktov a ustálené všeobecné pravidlá správania sa ako S-normy, S-pravidlá. Takéto normy predpokladáme, keď hovoríme o pravidlách slušného správania sa, keď niekomu hovoríme, že to a to sa patrí, a zas niečo iné sa nepatrí. 41

42 10. Fakty/zákony: sociálne Za sociálne fakty nepovažujeme tzv. inštitucionálne fakty empiricky zistiteľné skutočnosti, ktoré sú však podmienené existenciou inštitúcii, kreovaných celou spoločnosťou alebo len obmedzeným spoločenstvom ľudí. Podľa týchto inštitucionálnych faktov sa nedá konať. S-fakt bude označovať pravidlo na určité konanie tohoktorého konkrétneho jednotlivca. S-norma či S-pravidlo bude označovať pravidlo na určité konanie, ktoré sa vzťahuje na konanie ktoréhokoľvek (každého) jednotlivca danej skupiny, prípadne celej spoločnosti. Niekedy tento rozdiel nebude dôležitý a nebudeme medzi S-faktami a S-pravidlami rozlišovať. 42

43 10. Fakty/zákony: sociálne S-fakty nie sú pravdivé alebo nepravdivé v takom istom zmysle, ako sú pravdivé/nepravdivé E-fakty alebo A- fakty. E-fakty sú náhodne (niekedy) pravdivé, A-fakty sú nutne (vždy) pravdivé, ale všetky sú nezávislé nielen od ktoréhokoľvek jednotlivca a jeho názorov, ale aj od spoločnosti vôbec i od ľubovoľného jazyka, v ktorom by boli vyjadrené. Naproti tomu sú S-fakty závislé od tej ktorej spoločenskej skupiny, spoločenstva či celej spoločnosti. Vo vzťahu k jednotlivcovi však S-fakty a S-normy pôsobia ako nezávislé a objektívne, podobne ako E-fakty a E-zákony či A-fakty a A-zákony. 43

44 10. Fakty/zákony: sociálne Keďže S-fakty a S-normy platia rovnako objektívne, môžeme ich v tomto zmysle považovať za svojím spôsobom pravdivé - platné pre danú spoločnosť v danom čase. Veta o ne/platnosti nejakého S-faktu však vyjadruje E- fakt, nie S-fakt. Okrem závislosti od spoločnosti je tu ešte jeden dôležitý rozdiel: na rozdiel od E-zákonov môžu byť sociálne normy porušované či nedodržiavané. Formulácie typu Bol porušený prírodný zákon či konkrétnejšie Bol porušený zákon gravitácie nedávajú zmysel (nemôžu byť pravdivé), na druhej strane formulácie typu Bol porušený zákon o rodine, Bolo porušené pravidlo slušného správania sú zmysluplné a často používané (vyjadrujú E-fakty). 44

45 11. Právne systémy ako sústavy explicitných konštitutívnych sociálnych noriem Sociálne normy sa môžu týkať len určitých sociálnych skupín, kde v úlohe autority vystupujú len niektorí jednotlivci (vodca bandy) či skupiny jednotlivcov ako celok. Náš záujem však smeruje k najdôležitejším systémom sociálnych noriem, ktoré sa týkajú celého spoločenstva či celej spoločnosti a v ktorých v úlohe autority vystupuje celé spoločenstvo či celá spoločnosť. Takéto normy označujeme ako konštitutívne sociálne normy. Tento názor si osvojil napr. Vladimír Svoboda: Logika pro Pány, Otroky a Kibice (2013, 104). 45

46 11. Právne systémy ako sústavy explicitných konštitutívnych sociálnych noriem Ide o sústavy noriem, ktoré boli v jazyku výslovne vyjadrené, napísané a regulovali určitý dôležitý výsek či oblasť spoločenských aktivít aj pomocou na to vytvorených špeciálnych inštitúcií, ktoré mali hlavné kompetencie písomne vymedzené. Typickými právnymi normami sú všeobecné podmienkové spojenia E-faktu a S-faktu, čiže heterogénne normy. Normy, ktoré obsahujú aspoň jednu rýdzu S-normu (kategorickú), budeme tiež nazývať S-norma. V takejto norme však rýdza S-norma nie je aktivovaná až splnenie E-podmienky ju uvedie do aktívneho stavu, aktívnej platnosti. 46

47 11. Právne systémy ako sústavy explicitných sociálnych konštitutívnych noriem Právne systémy: 1. Systémami primárnych formálnych príkazov (preskripcie), zákazov (proskripcie), dovolení a zmocnení; 2. Sú utvorené, predpísané a vyžadované (sankcionované) celou spoločnosťou ako vonkajšou autoritou prostredníctvom sústavy inštitúcií a ich administrovania stanovenými postupmi a podnetmi (sekundárnymi normami). To, že takéto heterogénne S-normy/fakty sú zachytené v jazyku a sú faktami svojho druhu (sui generis), nám umožňuje hovoriť o sémantike tých viet, ktoré ich vyjadrujú a primerane aplikovať poznatky zo sémantiky, najmä poznatky o sémanticky definovanom vzťahu vyplývania, aj na právne systémy. 47

48 12. Prepojenia E-faktov a S-faktov Schémou A Φ označujeme zloženú štruktúru súvetí, kde význam prvej vety (E-fakt) je vo vzťahu dostatočnej podmienky k významu druhej vety (S-fakt právna regulácia). Takýto most od E-faktu k S-faktu je arbitrárny (ako celok je to konvenčná pravda) a má podobu logickej väzby. Ak niekto nájde stratenú vec, tak (ten) je povinný ju vydať vlastníkovi. Drvivú väčšinu právnych regulácií (dokonca aj kategorické normy) môžeme preformulovať do takejto podmienkovej štruktúry ako základnej. Druhou základnou schémou právnych noriem je vyjadrenie nutnej podmienky (A) právnej regulácie Φ: (Φ A). Nutná podmienka býva súčasťou komplexnej podmienky právnej regulácie. 48

49 13. Čas platnosti verzus čas splnenia S-normy Úprimný sľub je platný okamihom jeho vyhlásenia a môžeme sa pýtať jeho aktéra, či vyhlásil sľub pravdivo a či ho považuje za platný či sa stal prvkom ríše S-faktov. A práve v tomto zmysle je jeho platnosť podobná pravdivosti deskriptívnych viet, pretože konštatovanie splnenia sľubu je už konštatovanie empirického faktu, nie S-faktu. Vyhodnotenie sľubu ako splneného sa viaže na uskutočnenie želanej aktivity s následným dosiahnutím želaného stavu vecí empirického faktu. 49

50 13. Čas platnosti verzus čas splnenia S-normy A t Φ t / t+k Časový okamih t je okamih, od ktorého platí vlastný S- fakt (právna regulácia) je totožný s okamihom splnenia podmienky E1-faktu. Nástup platnosti S-faktu je v zásade okamžitý v tomto zmysle je S-fakt aktivovaný empirickou iniciačnou podmienkou. Na to, aby bolo vykonaná (nevykonaná pri zákazoch) aktivita, ktorá vedie k dosiahnutiu želaného stavu, ktorý je v S-fakte indikovaný, býva zväčša daná časová lehota k 0, pretože k tomu stavu vedie len konanie agenta, ktoré sa deje v čase (nekonanie sa tiež deje v čase). 50

51 14. Dve konštrukcie zostavy operátorov ak-tak-inak (1) Ak sa dlžník dozvie o skutočnosti, ktorá robí plnenie nemožným, tak je povinný oznámiť to bez zbytočného odkladu veriteľovi, inak zodpovedá za škodu, ktorá vznikne veriteľovi tým, že nebol včas o nemožnosti upovedomený. (2) Ak odsúdený viedol v skúšobnej dobe riadny život a riadne vykonal iné uložené sankcie a plnil uložené obmedzenia a povinnosti, (tak) súd vysloví, že sa osvedčil; inak nariadi nepodmienečný trest odňatia slobody, a to prípadne už v priebehu skúšobnej doby. 51

52 14. Dve konštrukcie zostavy operátorov ak-tak-inak Dohoda označovania: E-fakty: A, B, C; S-fakty: Φ, Ψ. V programovaní (Φ, Ψ sú príkazy, inštrukcie) sa vetná zostava Ak A, tak Φ, inak Ψ (if-then-else) číta ako dvojkroková vstup-výstup procedúra: 1. Ak A, tak Φ; 2. Ak nona, tak Ψ. 52

53 14. Dve konštrukcie zostavy operátorov ak-tak-inak 1. Ak A, tak Φ; Ak sa dlžník dozvie o skutočnosti, ktorá robí plnenie nemožným, tak je povinný oznámiť to bez zbytočného odkladu veriteľovi 2. Ak nona, tak Ψ. Ak sa dlžník nedozvie o skutočnosti, ktorá robí plnenie nemožným, tak zodpovedá za škodu, ktorá vznikne veriteľovi tým, že nebol včas o nemožnosti upovedomený. To zrejme nebolo zamýšľané... 53

54 1. A Φ 14. Dve konštrukcie zostavy operátorov ak-tak-inak {Ak A, tak Φ}, inak Ψ 2. {A Φ} Ψ Zákon negovania implikácie: Non(A impl B)= (A a nonb) 2. {A Φ} Ψ (1*) Ak sa dlžník dozvie o skutočnosti, ktorá robí plnenie nemožným a nie je povinný oznámiť to bez zbytočného odkladu veriteľovi, tak zodpovedá za škodu, ktorá vznikne veriteľovi tým, že nebol včas o nemožnosti upovedomený. Takto zrekonštruovaná norma tiež nedáva rozumný zmysel. 54

55 15. Logická štruktúra perfektnej právnej normy Problematický je predmet negácie: zámer nebolo negovať povinnosť, ale vyhodnotiť situáciu, keď adresát normy nesplnil povinnosť. Modifikované znenie: (1**) Ak sa dlžník dozvie o skutočnosti, ktorá robí plnenie nemožným a neoznámil to bez zbytočného odkladu veriteľovi, tak zodpovedá za škodu, ktorá vznikne veriteľovi tým, že nebol včas o nemožnosti upovedomený. nonφ*: Dlžník nie je povinný oznámiť to bez zbytočného odkladu veriteľovi. S-fakt (právna regulácia - dovolenie) non(f (Φ)): Dlžník to neoznámil bez zbytočného odkladu veriteľovi. konštatácia E-faktu 55

56 15. Logická štruktúra perfektnej právnej normy Otáznou bolo ne/vykonanie (exekúcia, aplikácia) právnej regulácie (nie negácia právnej regulácie) a takéto konštatovanie je empirický fakt. Tou transformačnou funkciou bola funkcia vykonania: non(exeφ): Dlžník nevykonal povinnosť oznámiť to bez zbytočného odkladu veriteľovi. To však je už E-fakt, ktorý bol generovaný relevantným S-faktom jeho nevykonaním. Na druhej strane v ríši E-faktov môžeme identifikovať prosociálne E-fakty: ide o druh E-faktov, ktoré podmieňujú, iniciujú (alebo inhibujú) vznik S-faktov. 56

57 15. Logická štruktúra perfektnej právnej normy Stimulujúci E-fakt: Dlžník sa dozvedel o skutočnosti, ktorá robí plnenie nemožným. Stimulovaný S-fakt: Dlžník je povinný oznámiť to bez zbytočného odkladu veriteľovi. 57

58 15. Logická štruktúra perfektnej právnej normy Na druhej strane vo svete S-faktov/noriem môžeme nájsť proempirické S-fakty: ide o druh S-faktov, ktoré generujú (prohibujú), regulujú činnosť, konanie adresáta S-normy tak, že po ich splnení, vykonaní nastanú relevantné E-fakty dosiahne sa želaným konaním indikovaný stav vecí (alebo nekonaním adresáta nenastane neželaný stav vecí). Stimulovaný S-fakt je proempirickým generuje nový E-fakt: Dlžník je povinný oznámiť to bez zbytočného odkladu veriteľovi. Ním generovaný E-fakt: (Exe(Φ)): Dlžník vykonal povinnosť oznámiť to bez zbytočného odkladu veriteľovi. 58

59 15. Logická štruktúra perfektnej právnej normy Iniciovanie 1.: E-fakty iniciujú primárne S-fakty (primárne regulácie). E1-fakt S1-fakt logická relácia (podmieňovanie) Generovanie 1.: Primárne S1-fakty generujú svojím ne/vykonaním sekundárne E-fakty. S1-fakt E2-fakt relácia vykonania Iniciovanie 2.: Sekundárne E-fakty iniciujú sekundárne S-fakty. (sekundárne regulácie napr. sankcie). E2-fakt S2-fakt logická relácia (podmienka) Generovanie rekurzia 59

60 15. Logická štruktúra perfektnej právnej normy Ak Hypotéza, tak Dispozícia, inak Sankcia 1. Ak Hypotéza, tak Dispozícia 2. Ak Hypotéza a nevykonaná Dispozícia, tak Sankcia (H D) ((H Exe(D)) S) Exe(D) už nie je dispozíciou, ale sekundárnou hypotézou (jej zložkou) a ňou implikovaná sankcia sa potom nazýva sekundárna dispozícia. 60

61 15. Logická štruktúra perfektnej právnej normy 1. Ak A, tak Φ; 2. Ak A a non (Exe Φ), tak Ψ. kde non(exe Φ) je už E-fakt. Ak A, tak Φ, inak Ψ. Poznámka: adresátom sekundárnej regulácie už nie je adresát primárnej regulácie ten sa stáva recipientom sankcie. Vo všetkých mne dostupných učebniciach teórie práva (ČR, SR) sú uvedené chybné schémy logickej štruktúry perfektnej právnej normy miesto non (Exe Φ) uvádzajú nonφ. V komentároch však správne hovoria o nesplnení dispozície. 61

62 16. Druhé čítanie ak-tak-inak Príklad na druhé čítanie ak-tak-inak (ako v programovaní). Indikátor: nie je zamýšľaná operácia ne/vykonania právnej regulácie: Ak odsúdený viedol v skúšobnej dobe riadny život, súd vysloví, že sa osvedčil; inak nariadi nepodmienečný trest odňatia slobody. 1. Ak RŽ, tak Osv. Ak E-fakt, tak S 1 -fakt. 2. Ak nonrž, tak Trest. Ak none-fakt, tak S 2 -fakt Poznámka: E-fakt: Odsúdený viedol v skúšobnej dobe riadny život (RŽ). bol generovaný predtým skôr platným S-faktom: Odsúdený musí v skúšobnej dobe viesť riadny život. 62

63 17. Záver Chyby pri budovaní deontických logík 1.Predmetom príkazov/zákazov nie sú priamo stavy vecí (propozície), ale konanie/nekonanie adresáta regulácie, ktoré sa deje v čase a smeruje k stavu vecí, ktorý je indikovaný v právnej regulácii. Deontické operátory nie sú vetnými operátormi, iba sa to tak zdá. 2.Ne/vykonanie regulácie nie je logická operácia patrí do skúmania (analytickej) teórie konania, ktorú právo v určitom zmysle využíva. Priamočiary logický paralelizmus medzi príkazom a jeho splnením je chybný od príkazu k jeho vykonaniu (splneniu) nie je logická, ale praxeologická cesta. 63

64 17. Záver Chyby pri budovaní deontických logík 3. Precenená podobnosť deontických modalít s aletickými modalitami vedie do slepej uličky. 4. Málo pozornosti sa venuje tomu, že príkazy sú skôr podobné predikciám alebo súvetiam s posunom času, ako oznamovacím vetám. Málo pozornosti bolo venované času ako parametru regulácií. 64

65 17. Záver Dôsledným rozlíšením empirických a sociálnych faktov (zákonov), akceptáciou sociálnych faktov ako svojím spôsobom pravdivých (platných) a rozlíšením logickej a praxeologickej väzby medzi nimi vieme vysvetliť známe paradoxy a ponúknuť v praxi použiteľnú logiku pre právnu teóriu a prax. Nepotrebujeme špeciálnu logiku príkazov, tak ako nepotrebujeme špeciálnu logiku domnienok, obvinení a pod. Takýto záver by vysvetľoval fakt, že právnici, ktorí žiadnu takú špeciálnu logiku neštudovali, dokážu robiť v zásade správne úsudky. 65

66 17. Záver Logika doplnená praxeológiou? Právnici vedia s praktickou presnosťou používať logické a praxeologické pravidlá pre explicitné disjunktívne, vylučujúce a kumulatívne právne regulácie. Stálo by za to lepšie preskúmať analytickú teóriu konania ( vrátiť sa napr. k línii, ktorá začala prácou Tadeusza Kotarbinského Praxeológia, ktorý túto teóriu ju vo svojej učebnici logiky pre právnikov charakterizoval ako vedu o účinnom konaní. Neskôr iní (Oskar Lange) navrhli jej definíciu ako vedu o racionálnom konaní ). 66

67 17. Záver Logika doplnená praxeológiou? Možno by v analytickej teórii konania platili nasledovné princípy: 1. Presupozícia regulácie: stav, ktorý sa má dosiahnuť vykonaním príkazu, nie je ešte dosiahnutý (Otvor okno! je nesplniteľné, ak je okno otvorené). Stav, ktorý sa zakazuje dosiahnuť určitým konaním, nie je už uskutočnený (Zákaz Nezatvor okno! je v situácii, keď je okno zatvorené nezmyselný). 67

68 17. Záver Logika doplnená praxeológiou? 2. Cieľový stav regulácie je konaním agenta reálne usktočniteľný je reálny a je v jeho moci ho svojím konaním dosiahnuť. 3. Sprievodné aktivity agenta nesmú brániť vykonaniu regulácie. 4. Agent má vykonať aj všetky sprievodné aktivity, ktoré nie sú vyslovené, ale sú nutné na dosiahnutie cieľového stavu opísaného v príkaze, pokiaľ nie sú v rozpore s iným predpisom. 68

69 Úplne na záver Nepotrebujeme špeciálnu právnu logiku. Stačí nám logika aplikovaná na právnu problematiku doplnená o praxeológiu. 69

70 Ďakujem za pozornosť 70

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1

3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1 3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika

VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika Matematická logika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori:

Διαβάστε περισσότερα

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda.

3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda. 3. Výroková logika Výroková logika patrí do klasickej logiky - do jednej z dvoch oblastí, na ktoré môžeme rozdeliť súčasnú logiku. 22 Sochor (2011, 21) prirovnáva výrokovú logiku ku gramatickému rozboru

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Vyhlásenie o parametroch stavebného výrobku StoPox GH 205 S

Vyhlásenie o parametroch stavebného výrobku StoPox GH 205 S 1 / 5 Vyhlásenie o parametroch stavebného výrobku StoPox GH 205 S Identifikačný kód typu výrobku PROD2141 StoPox GH 205 S Účel použitia EN 1504-2: Výrobok slúžiaci na ochranu povrchov povrchová úprava

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A. 7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.

Διαβάστε περισσότερα

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom 0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera

LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera LR0) syntaktické analyzátory doc. RNDr. Ľubomír Dedera Učebné otázky LR0) automat a jeho konštrukcia Konštrukcia tabuliek ACION a GOO LR0) syntaktického analyzátora LR0) syntaktický analyzátor Sám osebe

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška 1. Logika, usudzovanie a teória dôkazu

Prednáška 1. Logika, usudzovanie a teória dôkazu Prednáška 1 Logika, usudzovanie a teória dôkazu Logika je charakterizovaná ako analýza metód používaných v ľudskom myslení alebo uvažovaní. Logika nie je dôležitá len v matematike a informatike, ale aj

Διαβάστε περισσότερα

Vladimír Kvasnička. Úvod do logiky pre informatikov

Vladimír Kvasnička. Úvod do logiky pre informatikov Vladimír Kvasnička Úvod do logiky pre informatikov Ústav aplikovanej informatiky Fakulta informatiky a informačných technológií Slovenská technická univerzita v Bratislave 202 2 Úvod V tejto knihe, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika

VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori: doc. PhDr. Ján Šefránek,

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

ÚVAHA NAD KNIHOU MARIÁNA ZOUHARA Základy logiky pre spoločenskovedné a humanitné odbory

ÚVAHA NAD KNIHOU MARIÁNA ZOUHARA Základy logiky pre spoločenskovedné a humanitné odbory FILOZOFIA ÚVAHY ESEJE Roč. 64, 2009, č. 7 ÚVAHA NAD KNIHOU MARIÁNA ZOUHARA Základy logiky pre spoločenskovedné a humanitné odbory PAVEL CMOREJ, Filozofický ústav SAV, Bratislava Koncom minulého roku sa

Διαβάστε περισσότερα

Teória pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti 2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy

Διαβάστε περισσότερα

Predikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy. 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku

Predikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy. 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku 6. kapitola Predikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku Jednoduché rozšírenie metódy prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku uskutočníme

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie, Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia

ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia 1. VÝROKY Pod pojmom "výrok" rozumieme v bežnom živote čosi ako VÝsledok ROKovania ( napr. súdu, alebo komisie

Διαβάστε περισσότερα

LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA

LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA 1 LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA Termíny výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý výrok, nepravdivý výrok, zložený výrok označujú základné pojmy logiky. Význam slov každý,

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak

2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak 2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 20. septembra 2011 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Predhovor...................................... 5 1.2 Sylaby a literatúra................................. 6 1.2.1 Literatúra..................................

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore. Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.

Διαβάστε περισσότερα

9. kapitola. Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika. priesvitka

9. kapitola. Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika. priesvitka 9. kapitola Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika 1 Úvodné poznámky o viachodnotových logikách V klasickej logike existujú prípady, keď dichotomický pravdivostný

Διαβάστε περισσότερα

Analýza údajov. W bozóny.

Analýza údajov. W bozóny. Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy 1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,

Διαβάστε περισσότερα

5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky

5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky 5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky Priesvitka 1 Gottlob Frege (1848-1925) Bertrand Russell (1872-1970) Priesvitka 2 Intuitívny prechod od výrokovej logiky k predikátovej logike

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie

Διαβάστε περισσότερα

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Riešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},

Riešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5}, Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..

Διαβάστε περισσότερα

Vybrané partie z logiky

Vybrané partie z logiky FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,

Διαβάστε περισσότερα