ELEKTRODINAMIKA. Pregled formula

Transcript

1 ELEKTRODINAMIKA Pregled formula Velimir Labinac Odjel za fiziku Sveučilište u Rijeci velimir.labinac@ri.ht.hr WWW: Marko Jusup Center of Mathematics for Social Creativity, Hokkaido University, Japan mjusup@gmail.com 14. lipnja 2017.

2 Sadržaj I ELEKTROSTATIKA 6 1 Coulombov zakon. Princip superpozicije Sila izmedu dva točkasta naboja Princip superpozicije Električno polje Električni potencijal Linijska gustoća naboja Plošna gustoća naboja Prostorna gustoća naboja Gaussov zakon Integralni oblik Gaussova zakona Diferencijalni oblik Gaussova zakona Rotor električnog polja Osnovni zakoni elektrostatike Poissonova i Laplaceova jednadžba Rad i energija u elektrostatici. Vodiči Rad Elektrostatska potencijalna energija skupa točkastih naboja Energija kontinuirane raspodjele naboja Vodiči Sila na vodič u električnom polju II METODE ZA PRORAČUN POTENCIJALA 14 4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika Rubni problem Dirichletov problem Neumannov problem Rubni uvjeti u elektrostatici Metoda slika Točkasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine Točkasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadžba u Kartezijevim koordinatama Metoda separacije varijabli Potpun i ortogonalan skup funkcija Ortogonalne funkcije Potpun skup funkcija Relacija potpunosti Funkcije dvije i tri varijable

3 6 Laplaceova jednadžba u sfernim koordinatama Opće rješenje Rješenje za unutrašnjost i vanjštinu sfere Rješenja sa azimutalnom simetrijom Laplaceova jednadžba u cilindričkim koordinatama Dvodimenzionalni problem Problemi sa simetrijom Konačni cilindar: plašt na potencijalu nula Konačni cilindar: baze na potencijalu nula Multipolni razvoj potencijala Adicijski teorem za sferne harmonike Razvoj funkcije 1/ r r u red po sfernim harmonicima Multipolni momenti Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama Ukupni naboj raspodjele Električni dipolni moment Tenzor električnog kvadrupolnog momenta Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordinatama Fizička interpretacija Električni dipol Električni potencijal i polje točkastog dipola Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom električnom polju. 28 III ELEKTRIČNO POLJE U TVARIMA 29 9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednadžbe elektrostatike Izolatori Električni potencijal polarizirane tvari Makroskopske jednadžbe elektrostatike Rubni uvjeti u sredstvima Linearni dielektrici Energija u dielektriku Clausius-Mossottijeva relacija Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima Poissonova i Laplaceova jednadžba Rubni uvjeti IV MAGNETOSTATIKA Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon Struja Plošna gustoća struje Prostorna gustoća struje Jednadžba kontinuiteta Lorenzova sila Biot-Savartov zakon

4 12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio) Temeljne jednadžbe magnetostatike Magnetski vektorski potencijal Tok magnetskog polja Magnetski vektorski potencijal (II dio). Multipolni razvoj vektorskog potencijala Jednadžbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama Jednadžbe za vektorski potencijal u cilindričkim koordinatama Rubni uvjeti u magnetostatici Multipolni razvoj vektorskog potencijala V MAGNETSKO POLJE U TVARIMA Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadžbe magnetostatike Magnetski dipol Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju Dijamagneti, paramagneti i feromagneti Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom Makroskopske jednadžbe magnetostatike Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima Rubni problemi s magnetskim sredstvima Linearna magnetska sredstva Magnetski skalarni potencijal Linearna sredstva Tvrdi feromagneti Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstva VI MAXWELLOVE JEDNADŽBE Ohmov zakon. Faradayev zakon indukcije Ohmov zakon Klasična mikroskopska teorija električne vodljivosti Jouleov zakon Elektromotorni napon. Tok magnetskog polja Faradayevi pokusi Inducirano električno polje Faradayev zakon indukcije Ukupno električno polje Energija magnetskog polja. Kvazistatička aproksimacija Induktivnost strujnih petlji Energija magnetskog polja Struja pomaka Kvazistatička aproksimacija Kvazi-magnetostatička aproksimacija Kvazi-elektrostatička aproksimacija

5 18 Zakoni očuvanja u elektrodinamici Maxwellove jednadžbe Zakon očuvanja naboja Poyntingov teorem Energija elektromagnetskog polja Rad elektromagnetskih sila na naboje Poyntingov vektor Poyntingov teorem i zakon očuvanja energije Maxwellov tenzor naprezanja Integralni oblik izraza za silu Zakon očuvanja impulsa Zakon očuvanja angularnog momenta VII ELEKTROMAGNETSKI VALOVI Ravni EM val. Polarizacija Elektromagnetski valovi u vakuumu Ravni EM val Energija i impuls ravnog EM vala Polarizacija EM vala Stokesovi parametri Elektromagnetski valovi u jednostavnim sredstvima Elektromagnetski valovi u sredstvu Energija i impuls EM vala Rubni uvjeti Refleksija i transmisija ravnog EM vala na granici izmedu dva optička sredstva Fresnelove jednakosti Geomtrijska optika Okomit upad: θ i = Koeficijenti refleksije i transmisije Polarizacija refleksijom Totalna refleksija Grafovi za r,r,t i t za zrak i staklo Disperzija. Apsorpcija Elektromagnetski valovi u vodičima Skin efekt Ovisnost dielektrične konstante o frekvenciji Normalna i anomalna disperzija. Rezonantna apsorpcija Dielektrična konstanta u granici niskih frekvencija. Električna vodljivost Dielektrična konstanta u granici visokih frekvencija. Plazmena frekvencija Valni paket. Grupna i fazna brzina VIII IZVORI I ZRAČENJA ELEKTROMAGNETSKIH VALOVA 69 4

6 22 Retardirani potencijali. Zračenje točkastog naboja Baždarne transformacije Coulombov i Lorentzov izbor Retardirani potencijali i Jefimenkove jednadžbe Liénard-Wiechertovi potencijali Lorentzova sila Snaga zračenja točkastog naboja. Larmorova formula Reakcijska sila zračenja Zračenje električnog dipola. Zračenje električnog kvadrupola i magnetskog dipola 73 IX PRILOZI Diracova delta-funkcija Legendreovi polinomi Pridružene Legendreove funkcije i sferni harmonici Besselove funkcije Modificirane Besselove funkcije Vektorska analiza 80 LITERATURA 85 5

7 I ELEKTROSTATIKA 1 Coulombov zakon. Princip superpozicije 1.1 Sila izmedu dva točkasta naboja q 1 r 1 O r 2 q 2 Slika 1.1 Neka se dva točkasta naboja q 1,q 2 nalaze na položajima r 1, r 2. Coulombska sila F izmedu njih je gdje je permitivnost vakuuma ǫ 0 = 8, C 2 N 1 m Princip superpozicije F = 1 4πǫ 0 q 1 q 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 r 1 r 2, (1.1) q i r i r Q O Slika 1.2 Promotrimo točkaste nabojeq 1,q 2,...,q k na položajima r 1, r 2,..., r k i test-nabojq na položaju r. Ukupna sila kojom naboji djeluju na Q je prema principu superpozicije jednaka vektorskom zbroju sila izmedu naboja q i i Q F Q = F 1 + F F k = k i=1 F i = 1 4πǫ 0 k i=1 q i Q r r i 2 r r i r r i. (1.2) 6

8 1.3 Električno polje q i r i r O Slika 1.3 Ako jednakost (1.2) podijelimo sa Q dobivamo izraz za električno polje E Q u točki r 1.4 Električni potencijal F Q Q E Q = E 1 + E E k = k i=1 E i = 1 4πǫ 0 U izrazu (1.3) polja E i možemo napisati u obliku E i (r) r ( ) i r 1 r i r = 3 r r i Uvodimo novu, skalarnu fizikalnu veličinu, električni potencijal k i=1 q i r r i 2 r r i r r i. (1.3). (1.4) takvu da vrijedi Φ (r) = 1 4πǫ 0 k i=1 q i r r i (1.5) E (r) Φ (r). (1.6) 1.5 Linijska gustoća naboja l' r' r O Slika 1.4 Potencijal i električno polje linijske gustoće naboja λ (r ) dobivamo iz (1.3) i (1.5) zamjenama q q = λ ( r ) l q. (1.7) i 7

9 Imamo dr = dl Φ (r) = 1 λ (r ) dl 4πǫ 0 r r E (r) = 1 4πǫ 0 (r r ) r r 3λ( r ) dl. (1.8) 1.6 Plošna gustoća naboja S' r' r O Slika 1.5 Potencijal i električno polje plošne gustoće naboja σ (r ) uz zamjene postaju 1.7 Prostorna gustoća naboja q q = σ ( r ) S q (1.9) i Φ (r) = 1 σ (r ) ds 4πǫ 0 r r E (r) = 1 4πǫ 0 (r r ) r r 3σ( r ) ds. (1.10) V' r' r O Slika 1.6 8

10 Potencijal i električno polje prostorne gustoće naboja ρ (r ) uz zamjene postaju q q = ρ ( r ) V q (1.11) i Φ (r) = 1 ρ (r ) dv 4πǫ 0 r r E (r) = 1 4πǫ 0 Napomena: umjesto oznake dv često se upotrebljava oznaka d 3 r. (r r ) r r 3ρ( r ) dv. (1.12) 9

11 2 Gaussov zakon 2.1 Integralni oblik Gaussova zakona E = E + E in out r n S O q in q out Integralni oblik Gaussova zakona glasi S Slika 2.1 E ds = q in ǫ 0 (2.1) gdje je q in ukupni naboj koji se nalazi unutar zatvorene plohe S. Vektor n je normala na plohu, a ds = nds. Plošni integral na lijevoj strani jednakosti (2.1) naziva se tok (fluks) električnog polja kroz S. Primijetimo da je tok električnog polja E out naboja q out kroz plohu S jednak nuli, dok je ukupno polje u točki r na plohi S po principu superpozicije jednako E = E in + E out (slika 2.1). Integralni oblik Gaussova zakona osobito je pogodan za računanje električnog polja simetričnih raspodjela naboja. To su, uobičajno, raspodjele sa sfernom, cilindričnom (azimutalnom) ili ravninskom simetrijom. Simetrija naboja ukazuje na simetriju električnog polja, a time dobivamo informaciju o smjeru polja i njegovoj ovisnosti o pojedinim koordinatama. U skladu s informacijama o električnom polju, biramo plohu S u Gaussovu zakonu. 2.2 Diferencijalni oblik Gaussova zakona Uvedemo li gustoću naboja ρ (r), integralni oblik Gaussova zakona možemo promijeniti u diferencijalni oblik E = ρ ǫ 0 (2.2) koji vrijedi u točki prostora. 2.3 Rotor električnog polja d l = tdl C E Slika

12 Jednakost ekvivalentna je tvrdnji da rotor elektrostatskog polje E iščezava E = Φ (2.3) E = 0 (2.4) Upotrebom Stokesovog teorema, iz jednadžbe (2.4) zaključujemo da je krivuljni integral elektrostatskog polja jednak nuli E dl = 0 (2.5) C gdje je dl = tdl. Ovdje je dl diferencijal duljine luka krivulje C, a t tangenta (slika 2.2). Iz (2.3) možemo izračunati potencijal ako je poznato električno polje 2.4 Osnovni zakoni elektrostatike Φ (r 2 ) Φ (r 1 ) = r2 r 1 E dl (2.6) Integralne jednakosti ili diferencijalne jednakosti E ds = q S ǫ 0 E dl = 0 (2.7) C E = ρ ǫ 0 E = 0 (2.8) osnovni su zakoni elektrostatike. Njima je elektrostatsko polje jednoznačno odredeno. 2.5 Poissonova i Laplaceova jednadžba Uvrstimo li (2.3) u (2.2) dobijemo Poissonovu jednadžbu 2 Φ = ρ ǫ 0 (2.9) Pomoću Poissonove jednažbe koja je skalarna, parcijalna, diferencijalna jednadžba drugog reda računamo potencijal Φ. Ovu je jednadžbu lakše riješiti nego sistem vektorskih jednadžbi (2.8), a nakon što smo izračunali potencijal, električno polje dobivamo pomoću (2.3). Partikularno rješenje jednadžbe (2.9) nam je već poznato Φ (r) = 1 4πǫ 0 Za ρ = 0 Poissonova jednadžba prelazi u Laplaceovu V ρ (r ) dv r r (2.10) 2 Φ = 0 (2.11) 11

13 3 Rad i energija u elektrostatici. Vodiči 3.1 Rad Rad sile, po iznosu jednake električnoj, ali suprotnog smjera, kojeg izvršimo pomicanjem naboja Q u električnom polju E, od r 1 do r 2 je W = r2 r 1 F dl = Q r2 r 1 E dl = Q [Φ (r 2 ) Φ (r 1 )] (3.1) Električna sila je konzervativna: rad električne sile ne ovisi o putanji po kojoj se naboj giba. Ako za referentni potencijal u beskonačnosti odaberemo Φ (r 1 = ) = 0 tada je rad jednak W = QΦ (r 2 ) (3.2) Zato potencijalnu energiju električnog polja možemo definirati kao rad potreban za dovodenje naboja iz beskonačnosti u konačnu točku. 3.2 Elektrostatska potencijalna energija skupa točkastih naboja Za točkaste naboje q 1,q 2,...,q k na položajima r 1, r 2,..., r k elektrostatska potencijalna energija skupa točkastih naboja jednaka je radu potrebnom da se naboji iz beskonačnosti dovedu u konačan volumen W = 1 8πǫ 0 k i=1 3.3 Energija kontinuirane raspodjele naboja k q i q j (3.3) ri r j Za zadanu kontinuiranu raspodjelu naboja ρ (r) elektrostatska potencijalna energija glasi W = 1 2 = ǫ 0 2 V j=1 i j ρφdv E 2 dv (3.4) po cijelom prostoru Gustoća energije dana je formulom w = ǫ 0 2 E 2 (3.5) 3.4 Vodiči Savršeni vodiči su materijali sa neograničenim brojem slobodnih elektrona. Sljedeće tvrdnje vrijede za savršene vodiče: Unutar vodiča električno polje jednako je nuli. Ako izolirani, savršeni vodič stavimo u električno polje po njegovoj površini inducira se jednaka količina pozitivnog i negativnog naboja. Takva plošna raspodjela naboja stvara električno polje koje poništava vanjsko polje u unutrašnjosti vodiča. 12

14 E 0 E = 0 Slika 3.1 Iz Gaussovog zakona i E = 0 slijedi ρ ǫ 0 = E = 0 ρ = 0 (3.6) unutar vodiča. Višak naboja, odnosno naboj koji ne pripada vodiču, a kojeg ubacimo u vodič, gotovo trenutno oteče na površinu. Površina vodiča je ekvipotencijalna površina. Slika 3.2 konst. E = En Slika 3.3 Električno polje na površini vodiča ima smjer normale. 3.5 Sila na vodič u električnom polju Stavimo vodič (nabijen ili nenabijen) u električno polje. Po površini vodiča inducira se plošna raspodjela naboja. Pretpostavimo da je ukupna raspodjela naboja po površini vodiča jednaka σ. Sila na vodič je F = 1 σ 2 nds (3.7) 2ǫ 0 S 13

15 II METODE ZA PRORAČUN POTENCIJALA 4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika 4.1 Rubni problem Rubni problem zadan je običnom ili parcijalnom diferencijalnom jednadžbom i rubnim uvjetom. U elektrostatici rješava se Poissonova i Laplaceova jednadžba koje su parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda za električni potencijal Φ. Zadatak je elektrostatike naći rješenje tih jednadžbi u promatranom području P tako da su zadovoljeni unaprijed postavljeni uvjeti za potencijal na rubnoj plohi S Dirichletov problem Ako su zadane vrijednosti potencijala Φ na rubu S govorimo o Dirichletovom rubnom problemu. P V( r) S Slika 4.1 Označimo vrijednosti potencijala na rubu sa V (r). Dirichletov rubni problem zadan je jednadžbama 2 Φ = ρ ǫ 0 ( ili 2 Φ = 0 ) Neumannov problem Φ S = V (r) (4.1) Ako su zadane vrijednosti normalne derivacije potencijala na rubnoj plohi S govorimo o Neumannovom problemu. n g( r) P S Slika

16 Označimo vrijednosti normalne derivacije na rubu S sa g (r). Neumannov rubni problem zadan je jednadžbama 2 Φ = ρ ǫ 0 ( ili 2 Φ = 0 ) gdje je n normala na plohu S na položaju r. 4.2 Rubni uvjeti u elektrostatici Φ n = Φ n S = g(r) (4.2) S E 2 n 2 1 E 1 rubna ploha Slika 4.3 Pri prijelazu iz jednog dijela prostora u drugi, normalna komponenta električnog polja je diskontinuirana ako se po rubnoj plohi koja razdvaja prostore nalazi plošna gustoća naboja σ (r) n (E 2 E 1 ) na rubu = σ ǫ 0 (4.3) Ovdje je n normala na rubnu plohu koja je usmjerena iz dijela 1 u dio 2. Tangencijalna komponenta električnog polja uvijek je kontinuirana n (E 2 E 1 ) na rubu = 0 (4.4) U svim zadacima koje ćemo rješavati umjesto uvjeta (4.4), može se upotrijebiti uvjet 4.3 Metoda slika Točkasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine (Φ 1 Φ 2 ) na rubu = 0 (4.5) q' = q r q z = R d d' z = R z Slika

17 Naboj q postavimo na udaljenost z = R od vodljive i uzemljene ravnine. Rješavamo rubni problem 2 Φ = 1 qδ (x)δ (y)δ(z R) ǫ 0 Φ z=0 = 0 (4.6) u području z > 0. Postavljamo naboj slike q = q u točku z = R. Rješenje problema glasi Φ (r) = 1 4πǫ 0 = q 4πǫ 0 q r d + 1 q 4πǫ 0 r d ( ) 1 1 x 2 +y 2 + (z R) 2 x 2 +y 2 + (z+r) 2 (4.7) Točkasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere r a d' d q' = qa/d q z Slika 4.5 Tražimo rješenje za potencijal u problemu točkastog naboja blizu vodljive i uzemljene sfere u području r a. Rubni problem glasi 2 Φ = 1 q δ (θ)δ (r d) ǫ 0 2πr 2 sinθ Φ r=a = 0 (4.8) Naboj slike q = qa/d postavljamo u točku d = (a 2 /d)e z. Rješenje glasi Φ (r,θ) = 1 4πǫ 0 = q 4πǫ 0 q r d + 1 q 4πǫ 0 r d ( 1 r 2 +d 2 2rd cosθ ) a 1 d r 2 +a 4 /d 2 2r(a 2 /d) cosθ (4.9) 16

18 4.3.3 Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra y b d' d x = R ' x Slika 4.6 Tražimo rješenje za potencijal u problemu linijskog naboja jednolike gustoće τ blizu beskonačnog, vodljivog i uzemljenog cilindra u području ρ b. Linijski naboj paralelan je s osi cilindra i nalazi se na položaju d = Re x. Rubni problem glasi 2 Φ = 1 ǫ 0 τ ρ δ (φ)δ(ρ R) Φ ρ=b = 0 (4.10) Naboj slike τ = τ postavljamo u točku d = (b 2 /R)e x. Rješenje glasi ( ) Φ (ρ,φ) = τ b ρ ln 2 +R 2 2ρR cosφ 2πǫ 0 R ρ 2 +b 4 /R 2 2ρ ( b 2 /R ) cosφ (4.11) 17

19 5 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadžba u Kartezijevim koordinatama 5.1 Metoda separacije varijabli Rubni problem s Laplaceovom jednadžbom glasi 2 Φ = 0 + rubni uvjet (Dirichlet, Neumann) (5.1) Ovisno o obliku rubnih ploha odabrat ćemo koordinate (pravokutne, sferne, cilindričke,...). Laplaceovu jednadžbu rješavat ćemo metodom separacije varijabli. Osnovna ideja te metode je da se rješenje napiše kao produkt funkcija tako da svaka od njih ovisi samo o jednoj koordinati. Na primjer, ako su koordinate (η 1,η 2,η 3 ) rješenje tražimo u obliku Φ (η 1,η 2,η 3 ) = U (η 1 )V (η 2 )Z (η 3 ) (5.2) i nadamo se da se tada Laplaceova jednadžba može separirati po varijablama (η 1,η 2,η 3 ). Za svaku od funkcija U, V, Z dobijemo običnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda. 5.2 Potpun i ortogonalan skup funkcija Ovisno o odabranim koodinatama, tijekom rješavanja Laplaceove jednadžbe metodom separacije varijabli, javit će se potpuni i ortogonalni skupovi funkcija. Na primjer, ako rješavamo Laplaceovu jednadžbu u pravokutnim koordinatama javit će se skup trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus. Ako rješavamo Laplaceovu jednadžbu u sfernim koordinatama javit će se Legendreovi polinomi i sferni harmonici, a kod cilndričnih koordinata javit će se Besselove funkcije. Svi ti skupovi funkcija imaju dva važna svojstva: potpunost i ortogonalnost Ortogonalne funkcije Za dvije funkcije u m,u n kažemo da su ortogonalne na intervalu (a,b) ako vrijedi b a u m (η)u n (η) dη = 0, m n (5.3) gdje * označava kompleksnu konjugaciju. Skup funkcija {u m,m cijeli broj} je ortogonalan ako svojstvo (5.3) vrijedi za bilo koje dvije funkcije iz skupa. Ako za funkcije navedenog skupa vrijedi b a u m u mdη = b a u m 2 dη = 1 (5.4) tada kažemo da su {u m } normalizirane. Svojstva (5.3) i (5.4) mogu se u jednoj jednakosti napisati kao pa govorimo o ortonormiranom skupu funkcija. b a u m (η)u n (η) dη = δ mn (5.5) 18

20 5.2.2 Potpun skup funkcija Skup funkcija {u m (η)} je potpun na intervalu (a,b) ako bilo koju funkciju f (η) možemo razviti u red po skupu {u m (η)} f (η) = a n u n (η) (5.6) n gdje sua n konstantni koeficijenti reda funkcija. Ako je skup{u m (η)} ortonormiran, koeficijentia n mogu se odrediti na sljedeći način: f (η) = b a n u n (η) u m (η) dη n a b a u m fdη = n b a n u m u ndη = a m (5.7) a }{{} δ mn Vidimo da su koeficijenti a n jednaki a n = b u n a (η)f (η) dη (5.8) 5.3 Relacija potpunosti Svojstvo potpunosti često izriče se relacijom u m( η ) u n (η) = δ ( η η ) (5.9) 5.4 Funkcije dvije i tri varijable n Želimo funkciju f (η,ξ) razviti u red po potpunom ortonormiranom skupu funkcija {u m (η),v n (ξ)} na području (a,b) (c,d), gdje je skup {u m (η)} potpun i ortonormiran na (a,b), a {v n (ξ)} potpun i ortonormiran na (c, d). Analogno razmatranju za jednu varijablu imamo f (η,ξ) = a mn u m (η)v n (ξ) m n a mn = b a dη d c dξu m (η)v n (ξ)f (η,ξ) (5.10) Slično, za funkciju tri varijable g (ζ, η, ξ) vrijedi razvoj po potpunom, ortonormiranom skupu funkcija {s l (ζ),u m (η),v n (ξ)} g (ζ,η,ξ) = c lmn s l (ζ)u m (η)v n (ξ) (5.11) l m n gdje su koeficijenti c lmn c lmn = b a dζ d c f dη dξs l (ζ)u m (η)v n (ξ)g (ζ,η,ξ) (5.12) e 19

21 6 Laplaceova jednadžba u sfernim koordinatama 6.1 Opće rješenje z T Sferne koordinate r y x Slika 6.1 Laplaceova jednadžba 2 Φ = 0 u sfernim koordinatama ima oblik 1 2 ( r r (rφ) + 1 sinθ Φ ) 1 2 Φ + 2 r 2 sinθ θ θ r 2 sin 2 θ φ = 0 (6.1) 2 Gornju jednadžbu rješavamo metodom separacije varijabli, a za opće rješenje dobivamo Φ (r,θ,φ) = l ( Alm r l +B lm r (l+1)) Y lm (θ,φ) (6.2) l=0 m= l Funkcije Y lm (θ,φ) nazivaju se sferni harmonici ili kugline funkcije. Koeficijente A lm,b lm odredujemo pomoću rubnih uvjeta. 6.2 Rješenje za unutrašnjost i vanjštinu sfere V z in out R y x Slika 6.2 Zadana ploha je oblika sfere radijusa R po kojoj je specificiran potencijal ili gustoća naboja. Rješenje Laplaceove jednadžbe za unutrašnjost sfere mora biti regularno u ishodištu, pa je u (6.2) koeficijent B lm = 0. U protivnom je rješenje nefizikalno: potencijal je beskonačan u ishodištu. Zar R imamo Φ in (r,θ,φ) = l A lm r l Y lm (θ,φ) (6.3) l=0 m= l 20

22 U području r R, za r potencijal je jednak nuli. Tada koeficijent A lm mora biti jednak nuli, a rješenje glasi l Φ out (r,θ,φ) = B lm r (l+1) Y lm (θ,φ) (6.4) 6.3 Rješenja sa azimutalnom simetrijom l=0 m= l Pretpostavimo da je po sferi r = R raspodjela potencijala ili gustoća naboja cilindrično-simetrična. Ako se os cilindrične simetrije podudara sa z-osi govorimo o azimutalnoj simetriji jer raspodjela ne ovisi o koordinati φ. Očekujemo da ni potencijal neće ovisiti o φ. Tada se rješenja (6.3) i (6.4) pojednostavljuju: za fiksni l, ostaju samo članovi sa indeksom m = 0. Za r R dobivamo Φ in (r,θ) = A l r l P l (cosθ) (6.5) l=0 a za r R Φ out (r,θ) = B l r (l+1) P l (cosθ) (6.6) l=0 Funkcije P l (cosθ) nazivaju se Legendreovi polinomi. 21

23 7 Laplaceova jednadžba u cilindričkim koordinatama 7.1 Dvodimenzionalni problem x Polarne koordinate T y Slika 7.1 Probleme u kojima potencijal ne ovisi od jedne, prostorne koordinate nazivamo dvodimenzionalnim problemima. Kod cilindričnih rubnih ploha, dvodimenzionalan je problem u kojem potencijal ne ovisi o z-koordinati. Ako rješenje za potencijal Φ tražimo metodom separacije varijable u polarnim koordinatama ρ, φ u obliku Φ (ρ, φ) = R (ρ) Ψ (φ), parcijalna diferencijalna jednadžba ( 1 ρ Φ ) Φ ρ ρ ρ ρ 2 φ = 0 (7.1) 2 rastavlja se na dvije obične diferencijalne jednadžbe za R (ρ) i Ψ (φ) čija su rješenja { aρ R (ρ) = ν +bρ ν,ν 0 a 0 +b 0 lnρ,ν = 0 { A sin (νφ) +Bcos (νφ),ν 0 Ψ (φ) = A 0 +B 0 φ,ν = 0 (7.2) Ovdje je ν realan broj, a konstante a,b,a 0,b 0,A,B,A 0,B 0 odredujemo iz rubnih uvjeta. U posebnom slučaju, ako su rubne plohe takve da nema ograničenja za kut φ (drugim riječima, φ je iz intervala 0 do 2π) tada je opće rješenje superpozicija rješenja (7.2) Φ (ρ,φ) = a 0 +b 0 lnρ+ [a n sin (nφ)+b n cos (nφ)]ρ n + [c n sin (nφ) +d n cos (nφ)]ρ n (7.3) gdje ν = n postaje cijeli broj. n= Problemi sa simetrijom Kod zadataka koje rješavamo na vježbama, javljaju se problemi kod kojih je potencijal parna ili neparna funkcija po varijabli φ. Za parna rješenja jednadžba (7.3) postaje n=1 a za neparna Φ (ρ,φ) = a 0 +b 0 lnρ+ a n ρ n cos (nφ) + b n ρ n cos (nφ) (7.4) n=1 n=1 Φ (ρ,φ) = a 0 +b 0 lnρ+ a n ρ n sin (nφ) + b n ρ n sin (nφ) (7.5) n=1 n=1 22

24 7.2 Konačni cilindar: plašt na potencijalu nula z T Cilindriène koordinate z y x Slika 7.2 Rješenje Laplaceove jednadžbe u cilindričkim koordinatama (ρ, φ, z) 2 Φ ρ + 1 Φ 2 ρ ρ Φ ρ 2 φ + 2 Φ 2 z = 0 (7.6) 2 za unutrašnjost kružnog, uspravnog cilindra duljine L i radijusa a kojemu su donja baza i plašt na potencijalu nula, a gornja baza na potencijalu V (ρ, φ), jednako je Φ (ρ,φ,z) = J m (k mn ρ) sinh (k mn z) (A mn sinmφ+b mn cosmφ) m=0 n=1 k mn = x mn ; n = 1, 2,... (7.7) a gdje je x mn n-ta nula Besselove funkcije prve vrste J m (x). Koeficijente A mn i B mn odredujemo iz vrijednosti potencijala na rubu z = L. Oni su jednaki 2 A mn = πa 2 sinh (k mn L)J 2 m+1 (x mn) 2 B mn = πa 2 sinh (k mn L)J 2 m+1 (x mn) 2π 1 B 0n = πa 2 sinh (k 0n L)J 2 1 (x 0n) 0 2π dφ 2π 0 0 a dφ 0 dφ a 0 dρρj m (k mn ρ) sin (mφ)v (ρ,φ) dρρj m (k mn ρ) cos (mφ)v (ρ,φ), m 0 a 0 dρρj 0 (k 0n ρ)v (ρ,φ), m = 0 (7.8) U slučaju da je gornja baza i plašt na potencijalu nula, a donja baza na potencijalu različitom od nule rješenje glasi Φ (ρ,φ,z) = J m (k mn ρ) sinh [k mn (L z)] (A mn sinmφ+b mn cosmφ) (7.9) m=0 n=1 7.3 Konačni cilindar: baze na potencijalu nula Promatramo uspravni, kružni cilindar duljine L i radijusa a kojemu su baze na potencijalu nula, a plašt na potencijalu V (φ, z). Rješenje za unutrašnjost cilindra glasi ( Φ (ρ,φ,z) = I m kp ρ ) sin ( k p z ) (A mp sinmφ+b mp cosmφ) m=0 p=1 k p = pπ,p = 1, 2,... (7.10) L 23

25 Koeficijente A mp i B mp odredujemo iz relacija B mp = A mp = 2 2π ( πli m kp a ) 2 πli m ( kp a ) B 0p = 2π 0 0 dφ 1 πli 0 ( kp a ) dφ L 0 2π 0 L 0 dz sin (mφ) sin ( k p z ) V (ρ,φ) dz cos (mφ) sin ( k p z ) V (ρ,φ),m 0 dφ L 0 dz sin ( k p z ) V (ρ,φ) (7.11) 24

26 8 Multipolni razvoj potencijala 8.1 Adicijski teorem za sferne harmonike Zadana su dva vektora položaja r, r u sfernim koordinatama (r,θ,φ) i (r,θ,φ ). Kut izmedu vektora je γ. Adicijski teorem glasi P l (cosγ) = 4π 2l+1 l m= l 8.2 Razvoj funkcije 1/ r r u red po sfernim harmonicima Razvijmo, najprije, funkciju 1/ r r u Taylorov red kad jer > r Y lm( θ,φ ) Y lm (θ,φ) (8.1) 1 r r = 1 [ ( ) ] = r 2 1/2 r 1+ 2 r r r cosγ l=0 r l r l+1p l (cosγ) (8.2) Zar < r dobivamo 1 r r = 1 ( r ) ] 2 1/2 = r [1+ r 2 r r cosγ l=0 r l r l+1p l (cosγ) (8.3) Primijenimo adicioni teorem za sferne harmonike na funkciju P l (cosγ). Obje formule možemo zapisati u jednoj kao 1 r r = l=0 r< l r> l+1 P l (cosγ) = l l=0 m= l 4π 2l + 1 r< l r> l+1 Y lm( θ,φ ) Y lm (θ,φ) (8.4) gdje je r < (r > ) manja (veća) od varijabli r,r. 8.3 Multipolni momenti Zadana je lokalizirana gustoća naboja ρ (r). Zatvorimo je u sferu radijusa R. Računamo potencijal izvan sfere, u području gdje je r > R. Izraz za potencijal jednak je Φ (r) = 1 ρ (r ) 4πǫ 0 r r dv (8.5) Razvoj za funkciju 1/ r r (8.4) uvrstimo u (8.5). Dobivamo Φ (r) = 1 4πǫ 0 l l=0 m= l V 4π Y lm (θ,φ) q 2l + 1 r l+1 lm (8.6) gdje su q lm multipolni momenti gustoće naboja ρ (r) jednaki q lm = Ylm( θ,φ ) r l ρ ( r ) dv (8.7) Red (8.6) naziva se multipolni razvoj potencijala. V 25

27 8.4 Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama Ako u izrazu (8.6) prijedemo iz sfernih na Kartezijeve koordinate, fizička interpretacija multipolnih momenata postat će jasnija Ukupni naboj raspodjele Član sa indeksima l = 0,m = 0 jednak je q 00 = 1 4π q (8.8) Ovdje jeq ukupni naboj gustoće naboja ρ (r ) Električni dipolni moment Promatramo multipolne momente sa indeksom l = 1 3 ( ) q 1, 1 = px +ip y 8π 3 q 10 = 4π p z 3 ( ) q 11 = px ip y (8.9) 8π U navedenim izrazima p x,p y,p z su komponente električnog dipolnog momenta (kraće: dipolnog momenta) distribucije ρ (r ) p = r ρ ( r ) dv (8.10) Tenzor električnog kvadrupolnog momenta Promatramo multipolne momente sa indeksom l = 2 q 2, 2 = π (Q iQ 12 Q 22 ) q 2, 1 = π (Q 13 +iq 23 ) q 20 = π Q 33 q 21 = π (Q 13 iq 23 ) q 22 = π (Q 11 2iQ 12 Q 22 ) (8.11) Veličine Q ij su matrični elementi tenzora električnog kvadrupolnog momenta Q 11 Q 12 Q 13 Q = Q 21 Q 22 Q 23 (8.12) Q 31 Q 32 Q 33 gdje je Q ij = (3x i x j r 2 δ ij ) ρ ( r ) dv (8.13) 26

28 8.4.4 Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordinatama Prva tri člana multipolnog razvoja potencijala u Kartezijevim koordinatama glase ( ) Φ (r) = 1 q 4πǫ 0 r + r p + 1 x i x j Q r 3 ij r 5 ij (8.14) 8.5 Fizička interpretacija Ako smo jako daleko od raspodjele naboja ρ (r ), u multipolnom razvoju za potencijal (8.6) prevladavat će prvi neiščezavajući član. Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele različit od nule q 0. Tada je q 00 0 i potencijal je za r jednak Φ (r) 1 4π Y 00 (θ,φ) q 00 = 1 q (8.15) 4πǫ 0 r 4πǫ 0 r Vidimo da se na velikim udaljenostima potencijal raspodjele naboja ponaša kao potencijal točkastog naboja. Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele jednak nuli. Tada jeq 00 = 0. Neka je barem jedna od tri komponente dipolnog momentap x,p y,p z različita od nule. Tada je zar prvi neišezavajući član oblika Φ (r) 1 r p (8.16) 4πǫ 0 r 3 Potencijal proizvoljne raspodjele kojoj je ukupni naboj nula, na velikim udaljenostima ponaša se kao potencijal točkastog dipola sa dipolnim momentom p. 8.6 Električni dipol Električni (fizikalni) dipol sastoji se od dva naboja +q, q na razmaku d. Ako potencijal ove raspodjele promatramo na udaljenostima r d tada je on približno jednak prvom neiščezavajućem članu multipolnog razvoja Φ (r) 1 r p (8.17) 4πǫ 0 r 3 gdje je p = qd. U granici d 0,q dobivamo dipolni moment točkastog dipola smješten u ishodištu Električni potencijal i polje točkastog dipola Potencijal točkastog dipola smještenog na položaju r 0 glasi lim qd = p = konačno (8.18) d 0 q Φ (r) = 1 n p (8.19) 4πǫ 0 r r 0 2 a električno polje za r r 0 E (r) = 1 4πǫ 0 3n(p n) p r r 0 3 (8.20) 27

29 U (8.19) i (8.20) jedinični vektor n jednak je (r r 0 )/ r r 0. Ako je dipol smješten u ishodištu, izraze (8.19) i (8.20) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama Φ (r,θ) = 1 4πǫ 0 p cosθ r 2 E (r,θ) = 1 4πǫ 0 2p cosθ r 3 e r + 1 4πǫ 0 p sinθ r 3 e θ (8.21) Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom električnom polju Postavimo dipolni moment p u vanjsko, nehomogeno električno polje E (r). Sila F na dipol i moment sile N jednaki su F = (p E) = (p )E N = p E (8.22) gdje su polje i njegova derivacija izračunati u točki u kojoj je dipol smješten. Potencijalna energija dipola u vanjskom električnom polju glasi W = p E (8.23) Energija interakcije dva dipola, odnosno potencijalna energija jednog dipola u električnom polju drugog iznosi W 12 = p 1 E 2 (r 1 ) = 1 4πǫ 0 p 1 p 2 3(n p 1 )(n p 2 ) r 1 r 2 3 (8.24) gdje su r 1, r 2 položaji na kojima su smješteni dipoli, a n = (r 1 r 2 )/ r 1 r 2. 28

30 III ELEKTRIČNO POLJE U TVARIMA 9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednadžbe elektrostatike 9.1 Izolatori Izolatori su tvari koje, za razliku od vodiča, ne sadrže velik broj slobodnih naboja. Električni naboj u izolatorima vezan je uz atome ili molekule. Ako izolator stavimo u elektrostatsko polje i stvori se elektriˇcna polarizacija P (r), nazivamo ga dielektrikom. Polarizacija je prosječni dipolni moment po jediničnom volumenu. Dva su osnovna načina na koja nastaje polarizacija u dielektriku. Vanjsko električno polje mijenja raspodjelu naboja u atomima. Prvi neiščezavajući članovi u multipolnom razvoju za potencijal u neutralnim atomima ili molekulama su dipolni članovi. Dakle, atomi ili molekule u vanjskom polju postaju dipoli s gotovo jednakim smjerom po cijelom volumenu dielektrika. Vanjsko električno polje usmjerava već postojeće dipolne momente u molekulama. Takve dielektrike nazivamo polarnim sredstvima. Najpoznatije polarno sredstvo je voda čije molekule imaju snažan dipolni moment. Zbog toga je voda odlično otapalo. U oba slučaja pri isključivanju vanjskog polja, dielektrik se vraća u početno stanje u kojem je polarizacija jednaka nuli. Tvari koje imaju polarizaciju i u odsutstvu vanjskog polja nazivaju se feroelektrici. Kod rješavanja zadataka pretpostavit ćemo da vanjsko električno polje ne mijenja polarizaciju feroelektrika. 9.2 Električni potencijal polarizirane tvari Postavimo polariziranu tvar sa polarizacijom P u vakuum, daleko od rubnih ploha, naboja ili vanjskih električnih polja. Električni potencijal je Φ (r) = 1 σ b ds 4πǫ 0 S r r + 1 ρ b dv 4πǫ 0 V r r (9.1) gdje ploha S omeduje volumen V u kojem se nalazi polarizacija. Veličinu σ b nazivamo ploˇsna gustoća vezanog (polariziranog) naboja i definiramo je relacijom σ b P n (9.2) gdje je n normala na plohu S. Veličinu ρ b nazivamo prostorna gustoća vezanog (polariziranog) naboja i definiramo je kao ρ b P (9.3) Izraz (9.1) je rješenje jednadžbe 2 Φ = ρ b (9.3a) ǫ 0 Ako polarizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tada u prvom integralu u (9.1) možemo uzeti S pa je taj integral jednak nuli. 29

31 Ukupan vezani naboj u po volji uzetom volumenu V omedenom plohom S u mediju s polarizacijom P jednak nuli ρ b dv = PdV = P nds = σ b ds ρ b dv + σ b ds = 0 (9.4) 9.3 Makroskopske jednadžbe elektrostatike Osnovne jednadžbe elektrostatike u sredstvima ili makroskopske jednadžbe jesu: D = ρ f E = 0 (9.5) U jednadžbama (9.5) vektor E (r) je prosjeˇcno ili makroskopsko elektriˇcno polje, a ρ f (r) gustoća slobodnog naboja. Vektor elektriˇcnog pomaka D (r) definiran je pomoću jednakosti D ǫ 0 E+P (9.6) SI naziv za vektor D je gustoća elektriˇcnog polja. Primijetimo da druga jednadžba u (9.5) dozvoljava uvodenje električnog potencijala E = Φ. U integralnom obliku jednadžbe (9.5) glase D ds = q f S E dl = 0 (9.7) C U (9.7) unutar zatvorene plohe S nalazi se slobodni naboj q f. Krivulja C je zatvorena. Jednadžbe (9.5) ili (9.7) dobivene su usrednjavanjem Maxwellovih jednadžbi za mikroskopska polja i gustoće naboja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Za donju granicu takvog volumena uzima se m 3 koji još uvijek sadrži veliki broj molekula. Pri tom se pretpostavlja da su valjane jednadžbe oblika (2.2) i (2.4) za mikroskopska elektrostatska polja e i gustoće naboja η. 9.4 Rubni uvjeti u sredstvima Rubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase: (D 2 D 1 ) n = σ f n (E 2 E 1 ) = 0 (9.8) Normala n na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz (9.8) vidimo da je normalna komponenta od D diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji plošna gustoća slobodnog naboja σ f. Ako polarizacija ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tada vrijedi jednakost (P 2 P 1 ) n = σ b (9.9) gdje je σ b plošna gustoća vezanog naboja. Usporedimo li s formulom (9.2) vidimo da se dvije formule poklapaju ako je izvan polarizirane tvari vakuum, odnosno, P 2 = 0. 30

32 9.5 Linearni dielektrici Kod linearnih dielektrika su električno polje i polarizacija proporcionalni. U slučaju homogenog i izotropnog (linearnog) dielektrika vrijedi jednakost P = ǫ 0 χ e E (9.10) Konstanta χ e naziva se elektriˇcna susceptibilnost. Uvrštavanjem (9.10) u (9.6) dobije se gdje smo definirali permitivnost sredstva ǫ formulom D = ǫe (9.11) ǫ = ǫ 0 (1+χ e ) (9.12) Ako je dielektrik nehomogen i anizotropan tada su električna susceptibilnost i permitivnost tenzori drugog ranga čije komponente ovise o vektoru položaja. Relaciju (9.11) tada pišemo u obliku Relativna permitivnost ili dielektriˇcna konstanta definirana je relacijom D i = ǫ ij E j (9.13) ǫ r ǫ ǫ 0 = 1+χ e (9.14) 9.6 Energija u dielektriku Tekst 9.7 Clausius-Mossottijeva relacija Clausius-Mossottijevom relacijom dan je odnos izmedu molekularne polarizabilnosti γ mol i dielektrične konstante ǫ r γ mol = 3 ǫ r 1 N ǫ r + 2 Ovdje je N gustoća (koncentracija) molekula. (9.15) 31

33 10 Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima 10.1 Poissonova i Laplaceova jednadžba Uvrstimo (9.11) u (9.5) te upotrijebimo E = Φ. Ako je dielektrik homogen i izotropan, dobijemo Poissonovu jednadžbu 2 Φ = ρ f (10.1) ǫ i posebno, za ρ f = 0 Laplaceovu jednadžbu Za proračun potencijala koristit ćemo metode iz drugog poglavlja Rubni uvjeti 2 Φ = 0 (10.2) U dielektricima se rubni uvjeti (9.8) pojednostavljuju. Na rubnoj plohi S pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 imamo (ǫ 2 E 2 ǫ 1 E 1 ) n S = σ f n (E 2 E 1 ) S = 0. (10.3) gdje je normala n na plohu S usmjerena od sredstva 1 prema sredstvu 2. Drugi rubni uvjet u (10.3) smijemo zamijeniti jednostavnijim uvjetom (Φ 1 Φ 2 ) S = 0 (10.4) 32

34 IV MAGNETOSTATIKA 11 Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon 11.1 Struja Struja je naboj po jedinici vremena koji prode kroz promatranu točku. Ako je u toj točki linijska gustoća λ, a brzina naboja v tada je struja I = Q t e v = λv (11.1) gdje je e v jednični vektor u smjeru brzine Plošna gustoća struje Plošna gustoća struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz crtu širine l koja je okomita na struju K = I l = σv (11.2) Ovdje je σ plošna gustoća naboja, a v brzina naboja u promatranoj točki Prostorna gustoća struje Gustoća struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz plohu površine S s tim da je ploha okomita na struju J = I S = ρv (11.3) Ovdje je ρ gustoća naboja, a v brzina naboja u promatranoj točki Jednadžba kontinuiteta Jednadžba kontinuiteta u klasičnoj elektrodinamici je matematička formulacija zakona održanja naboja J = ρ t (11.4) U magnetostatici promatramo stacionarne struje koje imaju konstantnu vrijednost i smjer u vremenu u promatranoj točki prostora. Magnetska polja takvih struja su konstantna u vremenu, odnosno magnetostatska. Kod stacionarnih struja, naboj koji ude u volumen V, mora biti jednak naboju koji je izašao iz tog volumena, a tada je ρ/ t = 0 u V. Jednadžba kontinuiteta postaje 11.5 Lorenzova sila J = 0 (11.5) Lorenzova sila na naboj q u električnom i magnetskom polju postulirana je izrazom F = q (E+v B) (11.6) 33

35 gdje su E, B električno i magnetsko polje, a v brzina naboja. Odgovarajući izrazi kod kontinuiranih raspodjela struja u slučaju E = 0 glase F = Idl B F = K BdS F = J BdV (11.7) 11.6 Biot-Savartov zakon Magnetsko polje B stacionarnih struja je B(r) = µ 0 4π Idl (r r ) r r 3 (11.8) Vektor B naziva se još i magnetska indukcija, a SI naziv je gustoća magnetskog toka. Konstanta µ 0 naziva se permeabilnost vakuuma i iznosi Za plošne K (r) i prostorne struje J (r) izraz (11.8) mijenja se u B(r) = µ 0 K (r ) (r r ) ds 4π r r 3 B(r) = µ 0 4π µ 0 = 4π 10 7 N A 2 (11.9) J (r ) (r r ) r r 3 dv (11.10) 34

36 12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio) 12.1 Temeljne jednadžbe magnetostatike Diferencijalne jednadžbe magnetostatike glase B = µ 0 J B = 0 (12.1) Prva od jednadžbi u (12.1) koja povezuje magnetsko polje B i gustoću struje J naziva se Ampereov zakon. Druga jednadžba je matematička formulacija činjenice da magnetski naboj ne postoji. n ds dl S C Integralni oblik jednadžbi (12.1) je C Slika 12.1 B dl = µ 0 S S J ds = µ 0 I B ds = 0 (12.2) U prvoj jednadžbi zatvorena krivulja C omeduje plohu S (slika 12.1), a u drugoj je ploha S zatvorena. Struja I je ukupna struja kroz C. Predznaci pojedinih struja čija je suma jednaka struji I, odreduju se prema pravilu desne ruke i pozitivnoj orijentaciji krivulje C Magnetski vektorski potencijal Zbog jednadžbe B = 0 možemo uvesti vektorski potencijal A (r) na sljedeći način B A (12.3) Ako izraz (12.3) uvrstimo u B = µ 0 J, uz Colombov izbor A = 0, dobivamo 2 A = µ 0 J (12.4) U Kartezijevim koordinatama, gornja jednadžba predstavlja tri nezavisne, Poissonove jednadžbe za svaku od komponenti vektorskog potencijala i struja Partikularno rješenje jednadžbe (12.4) je oblika 2 A x = µ 0 J x 2 A y = µ 0 J y 2 A z = µ 0 J z (12.5) A(r) = µ 0 4π J (r ) r r dv (12.6) 35

37 12.3 Tok magnetskog polja Tok magnetskog polja B kroz plohu S omedenu zatvorenom krivuljom C definiramo relacijom F = B ds = ( A) ds = A dl (12.7) U zadnjoj jednakosti u (12.7) upotrijebljen je Stokesov teorem. S S C 36

38 13 Magnetski vektorski potencijal (II dio). Multipolni razvoj vektorskog potencijala 13.1 Jednadžbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama Pretpostavimo da je vektorski potencijal zadan u sfernim koordintama A = A (r,θ,φ). Laplace vektorskog potencijala u sfernim koordintama glasi 2 A = { 2 A r 2r 2 [ A r θ (sinθa θ) + 1 sinθ sinθ { 2 A θ + 2 [ Ar r 2 + ]} A φ e r φ θ A θ 2 sin 2 θ cosθ sin 2 θ { 2 A φ + 2 r 2 sinθ Jednadžba 2 A = µ 0 J po komponentama glasi 2 A r 2 [ A r 2 r + 1 sinθ θ (sinθa θ) + 1 sinθ 2 A θ + 2 r 2 [ Ar θ A θ 2 A φ + 2 r 2 sinθ ]} A φ e θ φ [ Ar φ A θ 2 sinθ + cotθ A θ φ A φ φ 2 sin 2 θ cosθ sin 2 θ [ Ar φ A θ 2 sinθ + cotθ A θ φ 13.2 Jednadžbe za vektorski potencijal u cilindričkim koordinatama ]} e φ (13.1) ] A φ = µ 0 J r φ ] = µ 0 J θ ] = µ 0 J φ (13.2) Ako vektorski potencijal računamo u cilindričkim koordinatama A = A (ρ, φ, z), Laplace od A glasi ( 2 A = 2 A ρ A ρ ρ 2 ) ( A φ e 2 ρ 2 ρ + 2 A φ A φ φ ρ + 2 ) A ρ e 2 ρ 2 φ + 2 A z e z (13.3) φ Jednadžba 2 A = µ 0 J po komponentama glasi 13.3 Rubni uvjeti u magnetostatici 2 A ρ A ρ ρ 2 2 ρ 2 A φ φ = µ 0J ρ 2 A φ A φ ρ ρ 2 A ρ φ = µ 0J φ 2 A z = µ 0 J z (13.4) B 2 n 2 K 1 B 1 rubna ploha Slika

39 Rubni uvjeti u magnetostatici pri prijelazu iz prostora 1 u prostor 2 glase (B 2 B 1 ) n = 0 n (B 2 B 1 ) = µ 0 K (13.5) Normalna komponenta magnetskog polja je uvijek kontinuirana, dok tangencijalna ima prekid ako po plohi postoji plošna struja. U svim slučajevima koje ćemo razmatrati umjesto prvog uvjeta smije se upotrebljavati uvjet neprekinutosti vektorskog potencijala A 1 = A 2 (13.6) 13.4 Multipolni razvoj vektorskog potencijala Tekst 38

40 V MAGNETSKO POLJE U TVARIMA 14 Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadžbe magnetostatike 14.1 Magnetski dipol Magnetski dipolni moment (kraće: magnetski moment) raspodjele struja J definiramo relacijom m = 1 r J ( r ) dv (14.1) 2 Ako vektorski potencijal promatramo na udaljenostima r d gdje je d karakteristična dimenzija lokalizirane raspodjele struja J tada je on približno jednak prvom članu multipolnog razvoja za vektorski potencijal A (r) µ 0 m r (14.2) 4π r 3 Jednostavan model magnetskog dipola predstavlja strujna petlja površine S koja leži u jednoj ravnini i kroz koju protječe struja I. Njezin magnetski moment je m = ISn, gdje je n normala na ravninu. U granici S 0, I dobivamo magnetski moment točkastog magnetskog dipola koji je smješten u ishodištu Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola Vektorski potencijal točkastog dipola smještenog na položaju r 0 glasi lim ISn = m = konačno (14.3) S 0 I A (r) = µ 0 m (r r 0 ) (14.4) 4π r r 0 3 a magnetsko polje za r r 0 B (r) = µ 0 3n(m n) m (14.5) 4π r r 0 3 U (14.4) i (14.5) jedinični vektor n jednak je (r r 0 )/ r r 0. Ako je dipol smješten u ishodištu, izraze (14.4) i (14.5) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama B (r,θ) = µ 0 4π A (r,θ) = µ 0 4π m sinθ e r 2 φ 2m cosθ r 3 e r + µ 0 4π m sinθ r 3 e θ (14.6) Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju Postavimo dipolni moment m u vanjsko, nehomogeno magnetsko polje B (r). Sila F na dipol i moment sile N jednaki su F = (m B) = (m )B N = m B (14.7) 39

41 gdje su polje i njegova derivacija izračunati u točki u kojoj je dipol smješten. Potencijalna energija dipola u vanjskom magnetskom polju glasi Energija interakcije dva dipola iznosi W 12 = m 1 B 2 (r 1 ) W = m B (14.8) = m 1 m 2 3(n m 1 )(n m 2 ) r 1 r 2 3 (14.9) gdje su r 1, r 2 položaji na kojima su smješteni dipoli, a n = (r 1 r 2 )/ r 1 r Dijamagneti, paramagneti i feromagneti U vanjskom magnetskom polju tvari postaju magnetizirane. Mikroskopske struje naboja u atomima i molekulama stvaraju dipolne momente, a njihov ukupan vektorski zbroj gleda u smjeru ili suprotno smjeru vanjskog polja. Magnetiziranost tvari opisujemo fizikalnom veličinom, magnetizacijom M (r) koja je definirana kao prosječni magnetski dipolni moment po jedničnom volumenu. Razlikujemo dva osnovna načina na koja može nastati magnetizacija: Paramagnetizam - kod paramagneta, vanjsko polje usmjerava spinove nesparenih elektrona u smjeru polja. Dijamagnetizam - kod dijamagneta, vanjsko polje mijenja brzinu gibanja elektrona oko jezge u atomu i time stvara dipolni moment čiji je smjer suprotan vanjskom polju. Isključivanjem vanjskog polja magnetizacija se vraća na početnu vrijednost nula. Tvari koje imaju magnetizaciju i bez uključivanja vanjskog polja nazivaju se feromagneti. Kod rješavanja zadataka pretpostavit ćemo da vanjsko magnetsko polje ne mijenja magnetizaciju feromagneta i tada govorimo o tvrdim feromagnetima Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom Postavimo magnetiziranu tvar s magnetizacijom M u vakuum, daleko od rubnih ploha, struja ili vanjskih magnetskih polja. Vektorski potencijal je A (r) = µ 0 K b (r ) ds 4π S r r + µ 0 J b (r ) dv 4π V r r (14.10) gdje plohas omeduje volumenv u kojem se nalazi magnetizacija. Veličinu K b nazivamo plošna gustoća struje vezanog naboja (kraće: vezana, plošna struja) i definiramo je relacijom K b M n (14.11) gdje je n normala na plohu S. Veličinu J b nazivamo prostorna gustoća struje vezanog naboja (kraće: vezana struja) i definiramo je relacijom J b M (14.12) Ako magnetizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tada u (14.10) možemo uzeti S pa je prvi integral jednak nuli. 40

42 14.4 Makroskopske jednadžbe magnetostatike Osnovne jednadžbe magnetostatike u sredstvima ili makroskopske jednadžbe jesu: H = J f B = 0. (14.13) U jednadžbama (14.13) vektor B (r) je prosječno ili makroskopsko magnetsko polje, a J f (r) struja slobodnog naboja (kraće: slobodna struja). Vektor polja H (r) (SI naziv: jakost magnetskog polja) definiran je pomoću jednakosti H 1 µ 0 B M (14.14) Druga jednadžba u (14.13) dozvoljava uvodenje magnetskog vektorskog potencijala A (r) pomoću relacije B A. U integralnom obliku jednadžbe (14.13) glase H dl = I f C B ds = 0 (14.15) S U (14.15) struja I f prolazi unutar zatvorene krivulje C, a ploha S je zatvorena. Jednadžbe (14.13) ili (14.15) dobivene su usrednjavanjem Maxwellovih jednadžbi za mikroskopska polja i gustoće struja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Pri tome se pretpostavlja da jednadžbe oblika (12.1) valjano opisuju mikroskopska magnetostatska polja b i gustoće struja j Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima Rubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase: n (H 2 H 1 ) = K f (B 2 B 1 ) n = 0 (14.16) Normala n na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz (14.16) vidimo da je tangencijalna komponenta od H diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji slobodna plošna struja K f. Ako tangencijalna komponenta magnetizacije ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tada vrijedi jednakost n (M 2 M 1 ) = K b (14.17) gdje je K b vezana plošna struja. 41