VJEŽBE IZ ELEKTRODINAMIKE
|
|
- Βασιλική Γεωργίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VJEŽBE IZ ELEKTRODINAMIKE Pregled formula Velimir Labinac Odsjek za fiziku, Filozofski fakultet-rijeka WWW: free-ri.t-com.hr/velimirlabinac 10. studenog 2006.
2 Sadržaj I ELEKTROSTATIKA 4 1 Coulombov zakon. Princip superpozicije Sila izmedu dva točkasta naboja Princip superpozicije Električno polje Električni potencijal Linijska gustoća naboja Plošna gustoća naboja Prostorna gustoća naboja Gaussov zakon Integralni oblik Gaussova zakona Diferencijalni oblik Gaussova zakona Rotor električnog polja Osnovni zakoni elektrostatike Poissonova i Laplaceova jednadžba Rad i energija u elektrostatici. Vodiči Rad Elektrostatska potencijalna energija skupa točkastih naboja Energija kontinuirane raspodjele naboja Vodiči Sila na vodič u električnom polju II METODE ZA PRORAČUN POTENCIJALA 12 4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika Rubni problem Dirichletov problem Neumannov problem Rubni uvjeti u elektrostatici Metoda slika Točkasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine Točkasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadžba u Kartezijevim koordinatama Metoda separacije varijabli Potpun i ortogonalan skup funkcija Ortogonalne funkcije Potpun skup funkcija Relacija potpunosti Funkcije dvije i tri varijable
3 6 Laplaceova jednadžba u sfernim koordinatama Opće rješenje Rješenje za unutrašnjost i vanjštinu sfere Rješenja sa azimutalnom simetrijom Laplaceova jednadžba u cilindričnim koordinatama Dvodimenzionalni problem Problemi sa simetrijom Konačni cilindar: plašt na potencijalu nula Konačni cilindar: baze na potencijalu nula Multipolni razvoj potencijala Adicijski teorem za sferne harmonike Razvoj funkcije 1/ r r u red po sfernim harmonicima Multipolni momenti Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama Ukupni naboj raspodjele Električni dipolni moment Tenzor električnog kvadrupolnog momenta Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordinatama Fizikalna interpretacija Električni dipol Električni potencijal i polje točkastog dipola Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom električnom polju. 26 III ELEKTRIČNO POLJE U TVARIMA 27 9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednadžbe elektrostatike Izolatori Električni potencijal polarizirane tvari Makroskopske jednadžbe elektrostatike Rubni uvjeti u sredstvima Dielektrici Clausius-Mossottijeva relacija Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima Poissonova i Laplaceova jednadžba Rubni uvjeti IV MAGNETOSTATIKA Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon Struja Plošna gustoća struje Prostorna gustoća struje Lorenzova sila Jednadžba kontinuiteta Ohmov zakon Biot-Savartov zakon
4 12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio) Magnetski vektorski potencijal Tok magnetskog polja Magnetski vektorski potencijal (II dio) Jednadžbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama Jednadžbe za vektorski potencijal u cilindričnim koordinatama Rubni uvjeti u magnetostatici V MAGNETSKO POLJE U TVARIMA Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadžbe magnetostatike Magnetski dipol Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju Dijamagneti, paramagneti i feromagneti Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom Makroskopske jednadžbe magnetostatike Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima Rubni problemi s magnetskim sredstvima Linearna magnetska sredstva Magnetski skalarni potencijal Linearna sredstva Tvrdi feromagneti Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstva VI PRILOZI Diracova delta-funkcija Legendrovi polinomi Pridružene Legendrove funkcije i sferni harmonici Besselove funkcije Modificirane Besselove funkcije Vektorska analiza 47 LITERATURA 52 3
5 I ELEKTROSTATIKA 1 Coulombov zakon. Princip superpozicije 1.1 Sila izmedu dva točkasta naboja q 1 r 1 O r 2 q 2 Slika 1.1 Neka se dva točkasta naboja q 1,q 2 nalaze na položajima r 1, r 2. Coulombska sila F izmedu njih je F = 1 4πǫ 0 q 1 q 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 r 1 r 2 (1.1) 1.2 Princip superpozicije q i r i r Q O Slika 1.2 Promotrimo točkaste nabojeq 1,q 2,...,q k na položajima r 1, r 2,..., r k i test-nabojq na položaju r. Ukupna sila kojom naboji djeluju na Q je prema principu superpozicije jednaka vektorskom zbroju sila izmedu naboja q i iq F Q = F 1 + F F k = k i=1 F i = 1 4πǫ 0 k i=1 q i Q r r i 2 r r i r r i (1.2) 4
6 1.3 Električno polje q i r i r O Slika 1.3 Ako jednakost (1.2) podijelimo sa Q dobivamo izraz za električno polje E Q u točki r F Q Q E Q = E 1 + E E k = k i=1 E i = 1 4πǫ 0 k i=1 q i r r i 2 r r i r r i (1.3) 1.4 Električni potencijal U izrazu (1.3) polja E i možemo napisati u obliku E i (r) r ( ) i r 1 r i r = 3 r r i Uvodimo novu, skalarnu fizikalnu veličinu, električni potencijal (1.4) takvu da vrijedi Φ (r) = 1 4πǫ 0 k i=1 q i r r i (1.5) E (r) Φ (r) (1.6) 1.5 Linijska gustoća naboja l' r' r O Slika 1.4 Potencijal i električno polje linijske gustoće naboja λ (r ) dobivamo iz (1.3) i (1.5) zamjenama q q = λ ( r ) l q (1.7) i 5
7 Imamo dr = dl Φ (r) = 1 λ (r ) dl 4πǫ 0 r r E (r) = 1 4πǫ 0 (r r ) r r 3λ( r ) dl (1.8) 1.6 Plošna gustoća naboja S' r' r O Slika 1.5 Potencijal i električno polje plošne gustoće naboja σ (r ) uz zamjene postaju 1.7 Prostorna gustoća naboja q q = σ ( r ) S q (1.9) i Φ (r) = 1 σ (r ) ds 4πǫ 0 r r E (r) = 1 4πǫ 0 (r r ) r r 3σ( r ) ds (1.10) V' r' r O Slika 1.6 6
8 Potencijal i električno polje prostorne gustoće naboja σ (r ) uz zamjene postaju q q = ρ ( r ) V q (1.11) i Φ (r) = 1 ρ (r ) dv 4πǫ 0 r r E (r) = 1 4πǫ 0 Napomena: umjesto oznake dv često se upotrebljava oznaka d 3 r. (r r ) r r 3ρ( r ) dv (1.12) 7
9 2 Gaussov zakon 2.1 Integralni oblik Gaussova zakona E = E + E in out r n S O q in q out Integralni oblik Gaussova zakona glasi S Slika 2.1 E ds = q in ǫ 0 (2.1) gdje je q in ukupni naboj koji se nalazi unutar zatvorene plohe S. Vektor n je normala na plohu, a ds = nds. Plošni integral na lijevoj strani jednakosti (2.1) naziva se tok (fluks) električnog polja kroz S. Primijetimo da je tok električnog polja E out naboja q out kroz plohu S jednak nuli, dok je ukupno polje u točki r na plohi S po principu superpozicije jednako E = E in + E out (Slika 2.1). Integralni oblik Gaussova zakona osobito je pogodan za računanje električnog polja simetričnih raspodjela naboja. To su, uobičajno, raspodjele sa sfernom, cilindričnom (azimutalnom) ili ravninskom simetrijom. Simetrija naboja ukazuje na simetriju električnog polja, a time dobivamo informaciju o smjeru polja i njegovoj ovisnosti o pojedinim koordinatama. U skladu s informacijama o električnom polju, biramo plohu S u Gaussovu zakonu. 2.2 Diferencijalni oblik Gaussova zakona Uvedemo li gustoću naboja ρ (r), integralni oblik Gaussova zakona možemo promijeniti u diferencijalni oblik E = ρ ǫ 0 (2.2) koji vrijedi u točki prostora. 2.3 Rotor električnog polja d l = tdl C E Slika 2.2 8
10 Jednakost ekvivalentna je tvrdnji da rotor elektrostatskog polje E iščezava E = Φ (2.3) E = 0 (2.4) Upotrebom Stokesovog teorema, iz jednadžbe (2.4) zaključujemo da je krivuljni integral elekrostatskog polja jednak nuli E dl = 0 (2.5) C gdje je dl = tdl. Ovdje je dl diferencijal duljina luka krivulje C, a t tangenta (Slika 2.2). Iz (2.3) možemo izračunati potencijal ako je poznato električno polje 2.4 Osnovni zakoni elektrostatike Φ (r 2 ) Φ (r 1 ) = r2 r 1 E dl (2.6) Integralne jednakosti ili diferencijalne jednakosti E ds = q S ǫ 0 E dl = 0 (2.7) C E = ρ ǫ 0 E = 0 (2.8) osnovni su zakoni elektrostatike. Njima je elektrostatsko polje jednoznačno odredeno. 2.5 Poissonova i Laplaceova jednadžba Uvrstimo li (2.3) u (2.2) dobijemo Poissonovu jednadžbu 2 Φ = ρ ǫ 0 (2.9) Pomoću Poissonove jednažbe koja je skalarna, parcijalna, diferencijalna jednadžba drugog reda računamo potencijal Φ. Ovu je jednadžbu lakše riješiti nego sistem vektorskih jednadžbi (2.8), a nakon što smo izračunali potencijal, električno polje dobivamo pomoću (2.3). Partikularno rješenje jednadžbe (2.9) nam je već poznato Φ (r) = 1 4πǫ 0 Za ρ = 0 Poissonova jednadžba prelazi u Laplaceovu V ρ (r ) dv r r (2.10) 2 Φ = 0 (2.11) 9
11 3 Rad i energija u elektrostatici. Vodiči 3.1 Rad Rad sile, po iznosu jednake električnoj, ali suprotnog smjera, kojeg izvršimo pomicanjem naboja Q u električnom polju E, od r 1 do r 2 je W = r2 r 1 F dl = Q r2 r 1 E dl = Q [Φ (r 2 ) Φ (r 1 )] (3.1) Električna sila je konzervativna: rad električne sile ne ovisi o putanji po kojoj se naboj giba. Ako za referentni potencijal u beskonačnosti odaberemo V (r 1 = ) = 0 tada je rad jednak W = QΦ (r 2 ) (3.2) Zato potencijalnu energiju električnog polja možemo definirati kao rad potreban za dovodenje naboja iz beskonačnosti u konačnu točku. 3.2 Elektrostatska potencijalna energija skupa točkastih naboja Za točkaste naboje q 1,q 2,...,q k na položajima r 1, r 2,..., r k elektrostatska potencijalna energija skupa točkastih naboja jednaka je radu potrebnom da se naboji iz beskonačnosti dovedu u konačan volumen W = 1 8πǫ 0 k i=1 3.3 Energija kontinuirane raspodjele naboja k q i q j (3.3) ri r j Za zadanu kontinuiranu raspodjelu naboja ρ (r) elektrostatska potencijalna energija glasi 3.4 Vodiči W = 1 2 = ǫ 0 2 V j=1 i j ρφdv E 2 dv (3.4) po cijelom prostoru Savršeni vodiči su materijali sa neograničenim brojem slobodnih elektrona. Sljedeće tvrdnje vrijede za savršene vodiče: Unutar vodiča električno polje jednako je nuli. Ako izolirani, savršeni vodič stavimo u električno polje po njegovoj površini inducira se jednaka količina pozitivnog i negativnog naboja. Takva plošna raspodjela naboja stvara električno polje koje poništava vanjsko polje u unutrašnjosti vodiča. E 0 E = 0 10
12 Slika 3.1 Iz Gaussovog zakona i E = 0 slijedi ρ ǫ 0 = E = 0 ρ = 0 (3.5) unutar vodiča. Višak naboja, odnosno naboj koji ne pripada vodiču, a kojeg ubacimo u vodič, gotovo trenutno oteče na površinu. Površina vodiča je ekvipotencijalna površina. Slika 3.2 konst. E = En Slika 3.3 Električno polje na površini vodiča ima smjer normale. 3.5 Sila na vodič u električnom polju Stavimo vodič (nabijen ili nenabijen) u električno polje. Po površini vodiča inducira se plošna raspodjela naboja. Pretpostavimo da je ukupna raspodjela naboja po površini vodiča jednaka σ. Sila na vodič je F = 1 σ 2 nds (3.6) 2ǫ 0 S 11
13 II METODE ZA PRORAČUN POTENCIJALA 4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika 4.1 Rubni problem Rubni problem zadan je običnom ili parcijalnom diferencijalnom jednadžbom i rubnim uvjetom. U elektrostatici rješava se Poissonova i Laplaceova jednadžba koje su parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda za električni potencijal Φ. Zadatak je elektrostatike naći rješenje tih jednadžbi u promatranom području P tako da su zadovoljeni unaprijed postavljeni uvjeti za potencijal na rubnoj plohi S Dirichletov problem Ako su zadane vrijednosti potencijala Φ na rubu S govorimo o Dirichletovom rubnom problemu. P V( r) S Slika 4.1 Označimo vrijednosti potencijala na rubu sa V (r). Dirichletov rubni problem zadan je jednadžbama 2 Φ = ρ ǫ 0 ( ili 2 Φ = 0 ) Neumannov problem Φ S = V (r) (4.1) Ako su zadane vrijednosti normalne derivacije potencijala na rubnoj plohi S govorimo o Neumannovom problemu. n g( r) P S Slika
14 Označimo vrijednosti normalne derivacije na rubu S sa g (r). Neumannov rubni problem zadan je jednadžbama 2 Φ = ρ ǫ 0 ( ili 2 Φ = 0 ) gdje je n normala na plohu S na položaju r. 4.2 Rubni uvjeti u elektrostatici Φ n = Φ n S = g(r) (4.2) S E 2 n 2 1 E 1 rubna ploha Slika 4.3 Pri prijelazu iz jednog dijela prostora u drugi, normalna komponenta električnog polja je diskontinuirana ako se po rubnoj plohi koja razdvaja prostore nalazi plošna gustoća naboja σ (r) n (E 2 E 1 ) na rubu = σ ǫ 0 (4.3) Ovdje je n normala na rubnu plohu koja je usmjerena iz dijela 1 u dio 2. Tangencijalna komponenta električnog polja uvijek je kontinuirana n (E 2 E 1 ) na rubu = 0 (4.4) U svim zadacima koje ćemo rješavati umjesto uvjeta (4.4), može se upotrijebiti uvjet 4.3 Metoda slika Točkasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine (Φ 1 Φ 2 ) na rubu = 0 (4.5) q' = q r q z = R d d' z = R z Slika
15 Naboj q postavimo na udaljenost z = R od vodljive i uzemljene ravnine. Rješavamo rubni problem 2 Φ = 1 qδ (x)δ (y)δ(z R) ǫ 0 Φ z=0 = 0 (4.6) u području z > 0. Postavljamo naboj slike q = q u točku z = R. Rješenje problema glasi Φ (r) = 1 4πǫ 0 = q 4πǫ 0 q r d + 1 q 4πǫ 0 r d ( ) 1 1 x 2 +y 2 + (z R) 2 x 2 +y 2 + (z+r) 2 (4.7) Točkasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere r a d' d q' = qa/d q z Slika 4.5 Tražimo rješenje za potencijal u problemu točkastog naboja blizu vodljive i uzemljene sfere u području r a. Rubni problem glasi 2 Φ = 1 q δ (θ)δ (r d) ǫ 0 2πr 2 sinθ Φ r=a = 0 (4.8) Naboj slike q = qa/d postavljamo u točku d = (a 2 /d)e z. Rješenje glasi Φ (r,θ) = 1 4πǫ 0 = q 4πǫ 0 q r d + 1 q 4πǫ 0 r d ( 1 r 2 +d 2 2rd cosθ ) a 1 d r 2 +a 4 /d 2 2r(a 2 /d) cosθ (4.9) 14
16 4.3.3 Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra y b d' d x = R ' x Slika 4.6 Tražimo rješenje za potencijal u problemu linijskog naboja jednolike gustoće τ blizu beskonačnog, vodljivog i uzemljenog cilindra u području ρ b. Linijski naboj paralelan je s osi cilindra i nalazi se na položaju d = Re x. Rubni problem glasi 2 Φ = 1 ǫ 0 τ ρ δ (ϕ)δ(ρ R) Φ ρ=b = 0 (4.10) Naboj slike τ = τ postavljamo u točku d = (b 2 /R)e x. Rješenje glasi ( ) Φ (ρ,ϕ) = τ b ρ ln 2 +R 2 2ρR cosϕ 2πǫ 0 R ρ 2 +b 4 /R 2 2ρ ( b 2 /R ) cosϕ (4.11) 15
17 5 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadžba u Kartezijevim koordinatama 5.1 Metoda separacije varijabli Rubni problem s Laplaceovom jednadžbom glasi 2 Φ = 0 + rubni uvjet (Dirichlet, Neumann) (5.1) Ovisno o obliku rubnih ploha odabrat ćemo koordinate (pravokutne, sferne, cilindrične,...). Laplaceovu jednadžbu rješavat ćemo metodom separacije varijabli. Osnovna ideja te metode je da se rješenje napiše kao produkt funkcija tako da svaka od njih ovisi samo o jednoj koordinati. Na primjer, ako su koordinate (η 1,η 2,η 3 ) rješenje tražimo u obliku Φ (η 1,η 2,η 3 ) = U (η 1 )V (η 2 )Z (η 3 ) (5.2) i nadamo se da se tada Laplaceova jednadžba može separirati po varijablama (η 1,η 2,η 3 ). Za svaku od funkcija U, V, Z dobijemo običnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda. 5.2 Potpun i ortogonalan skup funkcija Ovisno o odabranim koodinatama, tijekom rješavanja Laplaceove jednadžbe metodom separacije varijabli, javit će se potpuni i ortogonalni skupovi funkcija. Na primjer, ako rješavamo Laplaceovu jednadžbu u pravokutnim koordinatama javit će se skup trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus. Ako rješavamo Laplaceovu jednadžbu u sfernim koordinatama javit će se Legendrovi polinomi i sferni harmonici, a kod cilndričnih koordinata javit će se Besselove funkcije. Svi ti skupovi funkcija imaju dva važna svojstva: potpunost i ortogonalnost Ortogonalne funkcije Za dvije funkcije u m,u n kažemo da su ortogonalne na intervalu (a,b) ako vrijedi b a u m (η)u n (η) dη = 0, m n (5.3) gdje * označava kompleksnu konjugaciju. Skup funkcija {u m,m cijeli broj} je ortogonalan ako svojstvo (5.3) vrijedi za bilo koje dvije funkcije iz skupa. Ako za funkcije navedenog skupa vrijedi b a u m u mdη = b a u m 2 dη = 1 (5.4) tada kažemo da su {u m } normalizirane. Svojstva (5.3) i (5.4) mogu se u jednoj jednakosti napisati kao pa govorimo o ortonormiranom skupu funkcija. b a u m (η)u n (η) dη = δ mn (5.5) 16
18 5.2.2 Potpun skup funkcija Skup funkcija {u m (η)} je potpun na intervalu (a,b) ako bilo koju funkciju f (η) možemo razviti u red po skupu {u m (η)} f (η) = a n u n (η) (5.6) n gdje sua n konstantni koeficijenti reda funkcija. Ako je skup{u m (η)} ortonormiran, koeficijentia n mogu se odrediti na sljedeći način: f (η) = b a n u n (η) u m (η) dη n a b a u m fdη = n b a n u m u ndη = a m (5.7) a }{{} δ mn Vidimo da su koeficijenti a n jednaki a n = b u n a (η)f (η) dη (5.8) 5.3 Relacija potpunosti Svojstvo potpunosti često izriče se relacijom u m( η ) u n (η) = δ ( η η ) (5.9) 5.4 Funkcije dvije i tri varijable n Želimo funkciju f (η,ξ) razviti u red po potpunom ortonormiranom skupu funkcija {u m (η),v n (ξ)} na području (a,b) (c,d), gdje je skup {u m (η)} potpun i ortonormiran na (a,b), a {v n (ξ)} potpun i ortonormiran na (c, d). Analogno razmatranju za jednu varijablu imamo f (η,ξ) = a mn u m (η)v n (ξ) m n a mn = b a dη d c dξu m (η)v n (ξ)f (η,ξ) (5.10) Slično, za funkciju tri varijable g (ζ, η, ξ) vrijedi razvoj po potpunom, ortonormiranom skupu funkcija {s l (ζ),u m (η),v n (ξ)} g (ζ,η,ξ) = c lmn s l (ζ)u m (η)v n (ξ) (5.11) l m n gdje su koeficijenti c lmn c lmn = b a dζ d c f dη dξs l (ζ)u m (η)v n (ξ)g (ζ,η,ξ) (5.12) e 17
19 6 Laplaceova jednadžba u sfernim koordinatama 6.1 Opće rješenje z T Sferne koordinate r y x Slika 6.1 Laplaceova jednadžba 2 Φ = 0 u sfernim koordinatama ima oblik 1 2 ( r r (rφ)+ 1 sinθ Φ ) 1 2 Φ + 2 r 2 sinθ θ θ r 2 sin 2 θ ϕ = 0 (6.1) 2 Gornju jednadžbu rješavamo metodom separacije varijabli, a za opće rješenje dobivamo Φ (r,θ,ϕ) = l ( Alm r l +B lm r (l+1)) Y lm (θ,ϕ) (6.2) l=0 m= l Funkcije Y lm (θ,ϕ) nazivaju se sferni harmonici ili kugline funkcije. Koeficijente A lm,b lm odredujemo pomoću rubnih uvjeta. 6.2 Rješenje za unutrašnjost i vanjštinu sfere V z in out R y x Slika 6.2 Zadana ploha je oblika sfere radijusa R po kojoj je specificiran potencijal ili gustoća naboja. Rješenje Laplaceove jednadžbe za unutrašnjost sfere mora biti regularno u ishodištu, pa je u (6.2) koeficijent B lm = 0. U protivnom je rješenje nefizikalno: potencijal je beskonačan u ishodištu. Zar R imamo Φ in (r,θ,ϕ) = l A lm r l Y lm (θ,ϕ) (6.3) l=0 m= l 18
20 U području r R, za r potencijal je jednak nuli. Tada koeficijent A lm mora biti jednak nuli, a rješenje glasi l Φ out (r,θ,ϕ) = B lm r (l+1) Y lm (θ,ϕ) (6.4) 6.3 Rješenja sa azimutalnom simetrijom l=0 m= l Pretpostavimo da je po sferi r = R raspodjela potencijala ili gustoća naboja cilindrično-simetrična. Ako se os cilindrične simetrije podudara sa z-osi govorimo o azimutalnoj simetriji jer raspodjela ne ovisi o koordinati ϕ. Očekujemo da ni potencijal neće ovisiti o ϕ. Tada se rješenja (6.3) i (6.4) pojednostavljuju: za fiksni l, ostaju samo članovi sa indeksom m = 0. Za r R dobivamo Φ in (r,θ) = A l r l P l (cosθ) (6.5) l=0 a za r R Φ out (r,θ) = B l r (l+1) P l (cosθ) (6.6) l=0 Funkcije P l (cosθ) nazivaju se Legendrovi polinomi. 19
21 7 Laplaceova jednadžba u cilindričnim koordinatama 7.1 Dvodimenzionalni problem x Polarne koordinate T y Slika 7.1 Probleme u kojima potencijal ne ovisi od jedne, prostorne koordinate nazivamo dvodimenzionalnim problemima. Kod cilindričnih rubnih ploha, dvodimenzionalan je problem u kojem potencijal ne ovisi o z-koordinati. Ako rješenje za potencijal Φ tražimo metodom separacije varijable u polarnim koordinatama ρ, ϕ u obliku Φ (ρ, ϕ) = R (ρ) Ψ (ϕ), parcijalna diferencijalna jednadžba ( 1 ρ Φ ) Φ ρ ρ ρ ρ 2 ϕ = 0 (7.1) 2 rastavlja se na dvije obične diferencijalne jednadžbe za R (ρ) i Ψ (ϕ) čija su rješenja { aρ R (ρ) = ν +bρ ν,ν 0 a 0 +b 0 lnρ,ν = 0 { A sin (νϕ)+bcos (νϕ),ν 0 Ψ (ϕ) = A 0 +B 0 ϕ,ν = 0 (7.2) Ovdje je ν realan broj, a konstante a,b,a 0,b 0,A,B,A 0,B 0 odredujemo iz rubnih uvjeta. U posebnom slučaju, ako su rubne plohe takve da nema ograničenja za kut ϕ (drugim riječima, ϕ je iz intervala 0 do 2π) tada je opće rješenje superpozicija rješenja (7.2) Φ (ρ,ϕ) = a 0 +b 0 lnρ+ [a n sin (nϕ)+b n cos (nϕ)]ρ n + [c n sin (nϕ)+d n cos (nϕ)]ρ n (7.3) n=1 gdje ν = n postaje cijeli broj Problemi sa simetrijom Kod zadataka koje rješavamo na vježbama, javljaju se problemi kod kojih je potencijal parna ili neparna funkcija po varijabli ϕ. Za parna rješenja jednadžba (7.3) postaje n=1 a za neparna Φ (ρ,ϕ) = a 0 +b 0 lnρ+ a n ρ n cos (nϕ)+ b n ρ n cos (nϕ) (7.4) n=1 n=1 Φ (ρ,ϕ) = a 0 +b 0 lnρ+ a n ρ n sin (nϕ)+ b n ρ n sin (nϕ) (7.5) n=1 n=1 20
22 7.2 Konačni cilindar: plašt na potencijalu nula z T Cilindriène koordinate z y x Slika 7.2 Rješenje Laplaceove jednadžbe u cilindričnim koordinatama (ρ, ϕ, z) 2 Φ ρ + 1 Φ 2 ρ ρ Φ ρ 2 ϕ + 2 Φ 2 z = 0 (7.6) 2 za unutrašnjost kružnog, uspravnog cilindra duljine L i radijusa a kojemu su donja baza i plašt na potencijalu nula, a gornja baza na potencijalu V (ρ, ϕ), jednako je Φ (ρ,ϕ,z) = J m (k mn ρ) sinh (k mn z) (A mn sinmϕ+b mn cosmϕ) m=0 n=1 k mn = x mn ;n = 1, 2,... (7.7) a gdje je x mn n-ta nula Besselove funkcije prve vrste J m (x). Koeficijente A mn i B mn odredujemo iz vrijednosti potencijala na rubu z = L. Oni su jednaki 2 A mn = πa 2 sinh (k mn L)J 2 m+1 (x mn) 2 B mn = πa 2 sinh (k mn L)J 2 m+1 (x mn) 2π 1 B 0n = πa 2 sinh (k 0n L)J 2 1 (x 0n) 0 2π dϕ 2π 0 0 a dϕ 0 dϕ a 0 dρρj m (k mn ρ) sin (mϕ)v (ρ,ϕ) dρρj m (k mn ρ) cos (mϕ)v (ρ,ϕ), m 0 a 0 dρρj 0 (k 0n ρ)v (ρ,ϕ), m = 0 (7.8) U slučaju da je gornja baza i plašt na potencijalu nula, a donja baza na potencijalu različitom od nule rješenje glasi Φ (ρ,ϕ,z) = J m (k mn ρ) sinh [k mn (L z)] (A mn sinmϕ+b mn cosmϕ) (7.9) m=0 n=1 7.3 Konačni cilindar: baze na potencijalu nula Promatramo uspravni, kružni cilindar duljine L i radijusa a kojemu su baze na potencijalu nula, a plašt na potencijalu V (ϕ, z). Rješenje za unutrašnjost cilindra glasi ( Φ (ρ,ϕ,z) = I m kp ρ ) sin ( k p z ) (A mp sinmϕ+b mp cosmϕ) m=0 p=1 k p = pπ,p = 1, 2,... (7.10) L 21
23 Koeficijente A mp ib mp odredujemo iz relacija B mp = A mp = 2 2π ( πli m kp a ) 2 πli m ( kp a ) B 0p = 2π 0 0 dϕ 1 πli 0 ( kp a ) dϕ L 0 2π 0 L 0 dz sin (mϕ) sin ( k p z ) V (ρ,ϕ) dz cos (mϕ) sin ( k p z ) V (ρ,ϕ),m 0 dϕ L 0 dz sin ( k p z ) V (ρ,ϕ) (7.11) 22
24 8 Multipolni razvoj potencijala 8.1 Adicijski teorem za sferne harmonike Zadana su dva vektora položaja r, r u sfernim koordinatama (r,θ,ϕ) i (r,θ,ϕ ). Kut izmedu vektora je γ. Adicijski teorem glasi P l (cosγ) = 4π 2l+1 l m= l 8.2 Razvoj funkcije 1/ r r u red po sfernim harmonicima Razvijmo, najprije, funkciju 1/ r r u Taylorov red kad jer > r Zar < r dobivamo 1 r r = 1 [ ( ) ] = r 2 1/2 r 1+ 2 r r r cosγ l=0 1 r r = 1 ( r ) ] = 2 1/2 r [1+ r 2 r r cosγ l=0 Y lm( θ,ϕ ) Y lm (θ,ϕ) (8.1) r l r l+1p l (cosγ) (8.2) r l r l+1p l (cosγ) (8.3) Primijenimo adicioni teorem za sferne harmonike na funkciju P l (cosγ). Obje formule možemo zapisati u jednoj kao 1 r r = l=0 r< l r> l+1 P l (cosγ) = l=0 l m= l 4π 2l + 1 r< l r> l+1 Y lm( θ,ϕ ) Y lm (θ,ϕ) (8.4) gdje je r < (r > ) manja (veća) od varijabli r,r. 8.3 Multipolni momenti Zadana je lokalizirana gustoća naboja ρ (r). Zatvorimo je u sferu radijusa R. Računamo potencijal izvan sfere, u području gdje je r > R. Izraz za potencijal jednak je Φ (r) = 1 ρ (r ) 4πǫ 0 r r dv (8.5) Razvoj za funkciju 1/ r r (8.4) uvrstimo u (8.5). Dobivamo Φ (r) = 1 4πǫ 0 l l=0 m= l V 4π Y lm (θ,ϕ) q 2l+ 1 r l+1 lm (8.6) gdje su q lm multipolni momenti gustoće naboja ρ (r) jednaki q lm = Ylm( θ,ϕ ) r l ρ ( r ) dv (8.7) Red (8.6) naziva se multipolni razvoj potencijala. V 23
25 8.4 Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama Ako u izrazu (8.6) prijedemo iz sfernih na Kartezijeve koordinate, fizikalna interpretacija multipolnih momenata postat će jasnija Ukupni naboj raspodjele Član sa indeksima l = 0,m = 0 jednak je q 00 = 1 4π q (8.8) Ovdje jeq ukupni naboj gustoće naboja ρ (r ) Električni dipolni moment Promatramo multipolne momente sa indeksom l = 1 3 ( ) q 1, 1 = px +ip y 8π 3 q 10 = 4π p z 3 ( ) q 11 = px ip y (8.9) 8π U navedenim izrazima p x,p y,p z su komponente električnog dipolnog momenta (kraće: dipolnog momenta) distribucije ρ (r ) p = r ρ ( r ) dv (8.10) Tenzor električnog kvadrupolnog momenta Promatramo multipolne momente sa indeksom l = 2 q 2, 2 = π (Q iQ 12 Q 22 ) q 2, 1 = π (Q 13 +iq 23 ) q 20 = π Q 33 q 21 = π (Q 13 iq 23 ) q 22 = π (Q 11 2iQ 12 Q 22 ) (8.11) Veličine Q ij su matrični elementi tenzora električnog kvadrupolnog momenta Q 11 Q 12 Q 13 Q = Q 21 Q 22 Q 23 (8.12) Q 31 Q 32 Q 33 gdje je Q ij = (3x i x j r 2 δ ij ) ρ ( r ) dv (8.13) 24
26 8.4.4 Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordinatama Prva tri člana multipolnog razvoja potencijala u Kartezijevim koordinatama glase ( ) Φ (r) = 1 q 4πǫ 0 r + r p + 1 x i x j Q r 3 ij r 5 ij (8.14) 8.5 Fizikalna interpretacija Ako smo jako daleko od raspodjele naboja ρ (r ) u multipolnom razvoju za potencijal (8.6) prevladavat će prvi neiščezavajući član. Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele različit od nule q 0. Tada je q 00 0 i potencijal je za r jednak Φ (r) 1 4π Y 00 (θ,ϕ) q 00 = 1 q (8.15) 4πǫ 0 r 4πǫ 0 r Vidimo da se na velikim udaljenostima potencijal raspodjele naboja ponaša kao potencijal točkastog naboja. Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele jednak nuli. Tada jeq 00 = 0. Neka je barem jedna od tri komponente dipolnog momentap x,p y,p z različita od nule. Tada je zar prvi neišezavajući član oblika Φ (r) 1 r p (8.16) 4πǫ 0 r 3 Potencijal proizvoljne raspodjele kojoj je ukupni naboj nula, na velikim udaljenostima ponaša se kao potencijal točkastog dipola sa dipolnim momentom p. 8.6 Električni dipol Električni (fizikalni) dipol sastoji se od dva naboja +q, q na razmaku d. Ako potencijal ove raspodjele promatramo na udaljenostima r d tada je on približno jednak prvom neiščezavajućem članu multipolnog razvoja Φ (r) 1 r p (8.17) 4πǫ 0 r 3 gdje je p = qd. U granici d 0,q dobivamo dipolni moment točkastog dipola smješten u ishodištu Električni potencijal i polje točkastog dipola Potencijal točkastog dipola smještenog na položaju r 0 glasi limqd = p = konačno (8.18) Φ (r) = 1 n p (8.19) 4πǫ 0 r r 0 2 a električno polje za r r 0 E (r) = 1 4πǫ 0 3n(p n) p r r 0 3 (8.20) 25
27 U (8.19) i (8.20) jedinični vektor n jednak je (r r 0 )/ r r 0. Ako je dipol smješten u ishodištu, izraze (8.19) i (8.20) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama Φ (r,θ) = 1 4πǫ 0 p cosθ r 2 E (r,θ) = 1 4πǫ 0 2p cosθ r 3 e r + 1 4πǫ 0 p sinθ r 3 e θ (8.21) Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom električnom polju Postavimo dipolni moment p u vanjsko, nehomogeno električno polje E (r). Sila F na dipol i moment sile N jednaki su F = (p E) N = p E (8.22) gdje su polje i njegova derivacija izračunati u točki u kojoj je dipol smješten. Potencijalna energija dipola u vanjskom električnom polju glasi W = p E (8.23) Energija interakcije dva dipola, odnosno potencijalna energija jednog dipola u električnom polju drugog iznosi W 12 = p 1 E 2 (r 1 ) = 1 4πǫ 0 p 1 p 2 3(n p 1 )(n p 2 ) r 1 r 2 3 (8.24) gdje su r 1, r 2 položaji na kojima su smješteni dipoli, a n = (r 1 r 2 )/ r 1 r 2. 26
28 III ELEKTRIČNO POLJE U TVARIMA 9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednadžbe elektrostatike 9.1 Izolatori Izolatori su tvari koje, za razliku od vodiča, ne sadrže velik broj slobodnih naboja. Električni naboj u izolatorima vezan je uz atome ili molekule. Kad izolator stavimo u elektrostatsko polje, stvara se elektriˇcna polarizacija P (r). Polarizacija je prosječni dipolni moment po jediničnom volumenu. Dva su osnovna načina na koja nastaje polarizacija u izolatoru. Vanjsko električno polje mijenja raspodjelu naboja u atomima. Prvi neiščezavajući članovi u multipolnom razvoju za potencijal u neutralnim atomima ili molekulama su dipolni članovi. Dakle, atomi ili molekule u vanjskom polju postaju dipoli sa gotovo jednakim smjerom po cijelom volumenu izolatora. Vanjsko električno polje usmjerava već postojeće dipolne momente u molekulama. Takve izolatore nazivamo polarnim sredstvima. Najpoznatije polarno sredstvo je voda čije molekule imaju snažan dipolni moment. Zbog toga je voda odlično otapalo. U oba slučaja pri isključivanju vanjskog polja, izolator se vraća u početno stanje u kojem je polarizacija jednaka nuli. Tvari koje imaju polarizaciju i u odsutstvu vanjskog polja nazivaju se feroelektrici. Kod rješavanja zadataka pretpostavit ćemo da vanjsko električno polje ne mijenja polarizaciju feroelektrika. 9.2 Električni potencijal polarizirane tvari Postavimo polariziranu tvar sa polarizacijom P u vakuum, daleko od rubnih ploha, naboja ili vanjskih električnih polja. Električni potencijal je Φ (r) = 1 σ b ds 4πǫ 0 S r r + 1 ρ b dv 4πǫ 0 V r r (9.1) gdje ploha S omeduje volumen V u kojem se nalazi polarizacija. Veličinu σ b nazivamo ploˇsna gustoća vezanog (polariziranog) naboja i definiramo je relacijom σ b P n (9.2) gdje je n normala na plohu S. Veličinu ρ b nazivamo prostorna gustoća vezanog (polariziranog) naboja i definiramo je kao ρ b P (9.3) Izraz (9.1) je rješenje jednadžbe 2 Φ = ρ b (9.3a) ǫ 0 Ako polarizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tada u prvom integralu u (9.1) možemo uzeti S pa je taj integral jednak nuli. 27
29 Ukupan vezani naboj u po volji uzetom volumenu V omedenom plohom S u mediju s polarizacijom P jednak nuli ρ b dv = PdV = P nds = σ b ds ρ b dv + σ b ds = 0 (9.4) 9.3 Makroskopske jednadžbe elektrostatike Osnovne jednadžbe elektrostatike u sredstvima ili makroskopske jednadžbe jesu: D = ρ f E = 0 (9.5) U jednadžbama (9.5) vektor E (r) je prosjeˇcno ili makroskopsko elektriˇcno polje, a ρ f (r) gustoća slobodnog naboja. Vektor elektriˇcnog pomaka D (r) definiran je pomoću jednakosti D ǫ 0 E+P (9.6) SI naziv za vektor D je gustoća elektriˇcnog polja. Primijetimo da druga jednadžba u (9.5) dozvoljava uvodenje električnog potencijala E = Φ. U integralnom obliku jednadžbe (9.5) glase D ds = q f S E dl = 0 (9.7) C U (9.7) unutar zatvorene plohe S nalazi se slobodni naboj q f. Krivulja C je zatvorena. Jednadžbe (9.5) ili (9.7) dobivene su usrednjavanjem Maxwellovih jednadžbi za mikroskopska polja i gustoće naboja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Za donju granicu takvog volumena uzima se m 3 koji još uvijek sadrži veliki broj molekula. Pri tom se pretpostavlja da su valjane mikroskopske jednadžbe oblika (2.2) i (2.4). 9.4 Rubni uvjeti u sredstvima Rubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase: (D 2 D 1 ) n = σ f n (E 2 E 1 ) = 0 (9.8) Normala n na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz (9.8) vidimo da je normalna komponenta od D diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji plošna gustoća slobodnog naboja σ f. Ako polarizacija ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tada vrijedi jednakost (P 2 P 1 ) n = σ b (9.9) gdje je σ b plošna gustoća vezanog naboja. Usporedimo li s formulom (9.2) vidimo da se dvije formule poklapaju ako je izvan polarizirane tvari vakuum, odnosno, P 2 = 0. 28
30 9.5 Dielektrici Kod dielektrika su električno polje i polarizacija proporcionalni. U slučaju homogenog i izotropnog dielektrika vrijedi jednakost P = ǫ 0 χ e E (9.10) Konstanta χ e naziva se elektriˇcna susceptibilnost. Uvrštavanjem (9.10) u (9.6) dobije se gdje smo definirali dielektriˇcnu konstantu ǫ formulom D = ǫe (9.11) ǫ = ǫ 0 (1+χ e ) (9.12) Ako je dielektrik nehomogen i anizotropan tada su električna susceptibilnost i dielektrična konstanta tenzori drugog ranga čije komponente ovise o vektoru položaja. Relaciju (9.11) tada pišemo u obliku Relativna dielektriˇcna konstanta definirana je relacijom D i = ǫ ij E j (9.13) ǫ r ǫ ǫ 0 = 1+χ e (9.14) 9.6 Clausius-Mossottijeva relacija Clausius-Mossottijevom relacijom dan je odnos izmedu molekularne polarizabilnosti γ mol i dielektrične konstante ǫ γ mol = 3 ǫ/ǫ 0 1 (9.15) N ǫ/ǫ Ovdje je N gustoća (koncentracija) molekula. 29
31 10 Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima 10.1 Poissonova i Laplaceova jednadžba Uvrstimo (9.11) u (9.5) te upotrijebimo E = Φ. Ako je dielektrik homogen i izotropan, dobijemo Poissonovu jednadžbu 2 Φ = ρ f (10.1) ǫ i posebno, za ρ f = 0 Laplaceovu jednadžbu Za proračun potencijala koristit ćemo metode iz drugog poglavlja Rubni uvjeti 2 Φ = 0 (10.2) U dielektricima se rubni uvjeti (9.8) pojednostavljuju. Na rubnoj plohi S pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 imamo (ǫ 2 E 2 ǫ 1 E 1 ) n S = σ f n (E 2 E 1 ) S = 0. (10.3) gdje je normala n na plohu S usmjerena od sredstva 1 prema sredstvu 2. Drugi rubni uvjet u (10.3) smijemo zamijeniti jednostavnijim uvjetom (Φ 1 Φ 2 ) S = 0 (10.4) 30
32 IV MAGNETOSTATIKA 11 Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon 11.1 Struja Struja je naboj po jedinici vremena koji prode kroz promatranu točku. Ako je u toj točki linijska gustoća λ, a brzina naboja v tada je struja I = Q t e v = λv (11.1) gdje je e v jednični vektor u smjeru brzine Plošna gustoća struje Plošna gustoća struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz crtu širine l koja je okomita na struju K = I l = σv (11.2) Ovdje je σ plošna gustoća naboja, a v brzina naboja u promatranoj točki Prostorna gustoća struje Gustoća struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz plohu površine S s tim da je ploha okomita na struju J = I S = ρv (11.3) Ovdje je ρ gustoća naboja, a v brzina naboja u promatranoj točki. Napomena: relacije (11.1) do (11.3) odnose se na konvekcijske struje (na primjer, gibanje elektrona u vakuumskoj cijevi). Gornji izrazi, općenito, ne vrijede za kondukcijske struje u vodičima. Za takve struje vrijedi Ohmov zakon (11.8) Lorenzova sila Lorenzova sila na naboj q u električnom i magnetskom polju postulirana je izrazom F = q (E+v B) (11.4) gdje su E, B električno i magnetsko polje, a v brzina naboja. Odgovarajući izrazi kod kontinuiranih raspodjela struja u slučaju E = 0 glase F = Idl B F = K BdS F = J BdV (11.5) 31
33 11.5 Jednadžba kontinuiteta Jednadžba kontinuiteta u klasičnoj elektrodinamici je matematička formulacija zakona održanja naboja J = ρ t (11.6) U magnetostatici promatramo stacionarne struje koje imaju konstantnu vrijednost i smjer u vremenu u promatranoj točki prostora. Magnetska polja takvih struja su konstantna u vremenu, odnosno magnetostatska. Kod stacionarnih struja, naboj koji ude u volumen V, mora biti jednak naboju koji je izašao iz tog volumena, a tada je ρ/ t = 0 u V. Jednadžba kontinuiteta postaje 11.6 Ohmov zakon J = 0 (11.7) U vodičima je gustoća struje proporcionalna električnom polju na velikom intervalu temperatura J = σ e E (11.8) Ovaj se eksperimentalno dobiveni izraz naziva Ohmov zakon. Veličina σ e je električna provodnost Biot-Savartov zakon Magnetsko polje B stacionarnih struja je B(r) = µ 0 4π Idl (r r ) r r 3 (11.9) Vektor B naziva se još i magnetska indukcija, a SI naziv je gustoća magnetskog toka. Konstanta µ 0 naziva se permeabilnost vakuuma i iznosi Za plošne i prostorne struje gornji se izraz mijenja B(r) = µ 0 K (r ) (r r ) ds 4π r r 3 B(r) = µ 0 4π µ 0 = 4π 10 7 N A 2 (11.10) J (r ) (r r ) r r 3 dv (11.11) 32
34 12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio) Temeljne jednadžbe magnetostatike Diferencijalne jednadžbe magnetostatike glase B = µ 0 J B = 0 (12.1) Prva od jednadžbi u (12.1) koja povezuje magnetsko polje B i gustoću struje J naziva se Ampereov zakon. n ds dl S C Integralni oblik gornjih jednadžbi je C Slika 12.1 B dl = µ 0 S S J ds B ds = 0 (12.2) U prvoj jednadžbi zatvorena krivulja C omeduje plohu S (slika 12-1), a u drugoj je ploha S zatvorena. Druga jednadžba je matematička formulacija činjenice da ne postoji magnetski naboj Magnetski vektorski potencijal Zbog jednadžbe B = 0 možemo uvesti vektorski potencijal A (r) na sljedeći način B A (12.3) Ako ovu jednadžbu uvrstimo u B = µ 0 J, uz Colombov izbor A = 0, dobivamo 2 A = µ 0 J (12.4) U Kartezijevim koordinatama, gornja jednadžba predstavlja tri nezavisne, Poissonove jednadžbe za svaku od komponenti vektorskog potencijala i struja Partikularno rješenje jednadžbe (12.4) je oblika 2 A x = µ 0 J x 2 A y = µ 0 J y 2 A z = µ 0 J z (12.5) A(r) = µ 0 4π J (r ) r r dv (12.6) 33
35 12.2 Tok magnetskog polja Tok magnetskog polja B kroz plohu S omedenu zatvorenom krivuljom C definiramo relacijom F = B ds = ( A) ds = A dl (12.7) U zadnjoj jednakosti u (12.7) upotrijebljen je Stokesov toerem. S S C 34
36 13 Magnetski vektorski potencijal (II dio) 13.1 Jednadžbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama Pretpostavimo da je vektorski potencijal zadan u sfernim koordintama A = A (r,θ,ϕ). Laplace vektorskog potencijala u sfernim koordintama glasi 2 A = { 2 A r 2r 2 [ A r θ (sinθa θ)+ 1 sinθ sinθ { 2 A θ + 2 [ Ar r 2 + ]} A ϕ e r ϕ θ A θ 2 sin 2 θ cosθ sin 2 θ { 2 A ϕ + 2 r 2 sinθ Jednadžba 2 A = µ 0 J po komponentama glasi 2 A r 2 [ A r 2 r + 1 sinθ θ (sinθa θ)+ 1 sinθ 2 A θ + 2 r 2 [ Ar θ A θ 2 A ϕ + 2 r 2 sinθ ]} A ϕ e θ ϕ [ Ar ϕ A θ 2 sinθ + cotθ A θ ϕ A ϕ ϕ 2 sin 2 θ cosθ sin 2 θ [ Ar ϕ A θ 2 sinθ + cotθ A θ ϕ 13.2 Jednadžbe za vektorski potencijal u cilindričnim koordinatama ]} e ϕ (13.1) ] A ϕ = µ 0 J r ϕ ] = µ 0 J θ ] = µ 0 J ϕ (13.2) Ako vektorski potencijal računamo u cilindričnim koordinatama A = A (ρ, ϕ, z), Laplace od A glasi ( 2 A = 2 A ρ A ρ ρ 2 ) ( A ϕ e 2 ρ 2 ρ + 2 A ϕ A ϕ ϕ ρ + 2 ) A ρ e 2 ρ 2 ϕ + 2 A z e z (13.3) ϕ Jednadžba 2 A = µ 0 J po komponentama glasi 13.3 Rubni uvjeti u magnetostatici 2 A ρ A ρ ρ 2 2 ρ 2 A ϕ ϕ = µ 0J ρ 2 A ϕ A ϕ ρ ρ 2 A ρ ϕ = µ 0J ϕ 2 A z = µ 0 J z (13.4) B 2 n 2 K 1 B 1 rubna ploha Slika
37 Rubni uvjeti u magnetostatici pri prijelazu iz prostora 1 u prostor 2 glase (B 2 B 1 ) n = 0 n (B 2 B 1 ) = µ 0 K (13.5) Normalna komponenta magnetskog polja je uvijek kontinuirana, dok tangencijalna ima prekid ako po plohi postoji plošna struja. U svim slučajevima koje ćemo razmatrati umjesto prvog uvjeta smije se upotrebljavati uvjet kontinuiranosti vektorskog potencijala A 1 = A 2 (13.6) 36
38 V MAGNETSKO POLJE U TVARIMA 14 Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadžbe magnetostatike 14.1 Magnetski dipol Magnetski dipolni moment (kraće: magnetski moment) raspodjele struja J definiramo relacijom m = 1 r J ( r ) dv (14.1) 2 Ako vektorski potencijal ove raspodjele promatramo na udaljenostima r d gdje je d karakteristična dimenzija lokalizirane raspodjele struja J tada je on približno jednak prvom članu multipolnog razvoja za vektorski potencijal A (r) µ 0 m r (14.2) 4π r 3 Jednostavan model magnetskog dipola predstavlja strujna petlja površine S koja leži u jednoj ravnini i kroz koju protječe struja I. Njezin magnetski moment je m = ISn, gdje je n normala na ravninu. U granici S 0, I dobivamo magnetski moment točkastog magnetskog dipola koji je smješten u ishodištu Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola Vektorski potencijal točkastog dipola smještenog na položaju r 0 glasi limisn = m = konačno (14.3) A (r) = µ 0 m (r r 0 ) (14.4) 4π r r 0 3 a magnetsko polje za r r 0 B (r) = µ 0 3n(m n) m (14.5) 4π r r 0 3 U (14.4) i (14.5) jedinični vektor n jednak je (r r 0 )/ r r 0. Ako je dipol smješten u ishodištu, izraze (14.4) i (14.5) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama B (r,θ) = µ 0 4π A (r,θ) = µ 0 m sinθ 4π r 2 2m cosθ e r 3 r + µ 0 4π e ϕ m sinθ r 3 e θ (14.6) Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju Postavimo dipolni moment m u vanjsko, nehomogeno magnetsko polje B (r). Sila F na dipol i moment sile N jednaki su F = (m B) N = m B (14.7) 37
39 gdje su polje i njegova derivacija izračunati u točki u kojoj je dipol smješten. Potencijalna energija dipola u vanjskom magnetskom polju glasi Energija interakcije dva dipola iznosi W 12 = m 1 B 2 (r 1 ) W = m B (14.8) = m 1 m 2 3(n m 1 )(n m 2 ) r 1 r 2 3 (14.9) gdje su r 1, r 2 položaji na kojima su smješteni dipoli, a n = (r 1 r 2 )/ r 1 r Dijamagneti, paramagneti i feromagneti U vanjskom magnetskom polju, tvari postaju magnetizirane. Mikroskopske struje naboja u atomima i molekulama stvaraju dipolne momente, a njihov ukupan vektorski zbroj gleda u smjeru ili suprotno smjeru vanjskog polja. Magnetiziranost tvari opisujemo posebnom fizikalnom veličinom, magnetizacijom M (r) koja je definirana kao magnetski dipolni moment po jednici volumena. Razlikujemo dva osnovna načina na koja može nastati magnetizacija: Paramagnetizam - kod paramagneta, vanjsko polje usmjerava spinove nesparenih elektrona u smjeru polja. Dijamagnetizam - kod dijamagneta, vanjsko polje mijenja brzinu gibanja elektrona oko jezge u atomu i time stvara dipolni moment čiji je smjer suprotan vanjskom polju. Isključivanjem vanjskog polja magnetizacija se vraća na početnu vrijednost nula. Tvari koje imaju magnetizaciju i bez uključivanja vanjskog polja nazivaju se feromagneti. Kod rješavanja zadataka pretpostavit ćemo da vanjsko magnetsko polje ne mijenja magnetizaciju feromagneta i tada govorimo o tvrdim feromagnetima Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom Postavimo magnetiziranu tvar s magnetizacijom M u vakuum, daleko od rubnih ploha, struja ili vanjskih magnetskih polja. Vektorski potencijal je A (r) = µ 0 K b (r ) ds 4π S r r + µ 0 J b (r ) dv 4π V r r (14.10) gdje plohas omeduje volumenv u kojem se nalazi magnetizacija. Veličinu K b nazivamo plošna gustoća struje vezanog naboja (kraće: vezana, plošna struja) i definiramo je relacijom K b M n (14.11) gdje je n normala na plohu S. Veličinu J b nazivamo prostorna gustoća struje vezanog naboja (kraće: vezana struja) i definiramo je relacijom J b M (14.12) Ako magnetizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tada za prvi integral u (14.10) možemo uzeti S pa je on jednak nuli. 38
40 14.4 Makroskopske jednadžbe magnetostatike Osnovne jednadžbe magnetostatike u sredstvima ili makroskopske jednadžbe jesu: H = J f B = 0. (14.13) U jednadžbama (14.13) vektor B (r) je prosječno ili makroskopsko magnetsko polje, a J f (r) struja slobodnog naboja (kraće: slobodna struja). Vektor polja H (r) (SI naziv: jakost magnetskog polja) definiran je pomoću jednakosti H 1 µ 0 B M (14.14) Druga jednadžba u (14.13) dozvoljava uvodenje magnetskog vektorskog potencijala A (r) pomoću relacije B A. U integralnom obliku jednadžbe (14.13) glase H dl = I f C B ds = 0 (14.15) S U (14.15) struja I f prolazi unutar zatvorene krivulje C, a ploha S je zatvorena. Jednadžbe (14.13) ili (14.15) dobivene su usrednjavanjem Maxwellovih jednadžbi za mikroskopska polja i gustoće struja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Pri tome se pretpostavlja da jednadžbe (12.1) valjano opisuju mikroskopska magnetska polja Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima Rubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase: n (H 2 H 1 ) = K f (B 2 B 1 ) n = 0 (14.16) Normala n na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz (14.16) vidimo da je tangencijalna komponenta od H diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji slobodna plošna struja K f. Ako tangencijalna komponenta magnetizacije ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tada vrijedi jednakost n (M 2 M 1 ) = K b (14.17) gdje je K b vezana plošna struja. 39
41 15 Rubni problemi s magnetskim sredstvima 15.1 Linearna magnetska sredstva Kod većine paramagneta i dijamagneta magnetizacija M proporcionalna je polju H M = χ m H (15.1) Konstanta χ m naziva se magnetska susceptibilnost. Zbog relacije (15.1) kažemo da su takva sredstva linearna. U homogenim i izotropnim sredstvima χ m je konstanta proporcionalnosti. Općenito, u nehomogenim i anizotropnim magnetskim sredstvima χ m je tenzor i ovisi o vektoru položaja. Kod paramagneta jeχ m > 0, a kod dijamagneta χ m < 0. Uvrstimo (15.1) u (14.14). Dobijemo B = µh (15.2) gdje smo definirali magnetsku permeabilnost µ izrazom Definicija relativne magnetske permeabilnosti glasi µ µ 0 (1+χ m ) (15.3) µ r µ µ 0 = 1+χ m (15.4) 15.2 Magnetski skalarni potencijal U području gdje je gustoća struje jednaka nuli, makroskopske jednadžbe dobivaju oblik H = 0 B = 0 (15.5) Na osnovi prve jednadžbe u (15.5) uvodimo magnetski skalarni potencijal Φ M (r) H Φ M (15.6) Napomena: defincija (15.6) odreduje magnetski skalarni potencijal kao jednoznačnu funkciju samo na jednostruko povezanom području. Ako je područje na kojem je definiran magnetski potencijal višestruko povezano, tada je on višeznačan Linearna sredstva Kod linearnih magnetskih sredstava, uvrštavanje (15.2) i (15.6) u drugu jedandžbu u (15.5) daje 2 Φ M = 0 (15.7) Ta je jednadžba Laplaceovog tipa i tehnike za njeno rješavanje navedene su u drugom poglavlju Tvrdi feromagneti Iz jednadžbe B = 0 i definicijske jednadžbe (14.14) za polje H slijedi H = M (15.8) Definiramo li novu fizikalnu veličinu, efektivnu gustoću magnetskog naboja ρ M (r) ρ M M (15.9) 40
42 jednadžbe (15.5) mijenjaju se u H = 0 H = ρ M (15.10) Te su jednadžbe po obliku jednake elektrostatskim jednadžbama (2.2) i (2.4), pa nije teško zaključiti da će za magnetski skalarni potencijal vrijediti jednadžba 2 Φ M = ρ M (15.11) slična onoj iz elektrostatike. Takoder, na osnovi analogije sa elektrostatikom, možemo zaključiti da će rješenje jednadžbe (15.11) u rubnom problemu bez rubnih ploha za lokaliziranu raspodjelu magnetizacije, općenito glasiti Φ M (r) = 1 4π V ρ M (r ) dv r r + 1 σ M (r ) ds 4π S r r Ovdje smo sa σ M označili efektivnu plošnu gustoću magnetskog naboja (15.12) σ M M n (15.13) Napomenimo da su veličine (15.9) i (15.13) uvedene isključivo na temelju analogije sa elektrostatikom i nemaju nikakve fizikalne osnove: postojanje magnetskog naboja nije eksperimantalno potvrdeno. Usporedimo rješenja (15.12) za magnetski skalarni potencijal i (14.10) za magnetski vektorski potencijal. Izraz (15.12) je rješenje jednadžbe (15.11), a formula (14.10) je rješenje jednadžbe 2 A = µ 0 J M (15.14) za lokaliziranu raspodjelu magnetizacije u prostoru bez makroskopskih struja i rubnih ploha Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstva Na rubnoj plohi, pri prijelazu iz jednog linearnog sredstva u drugo polje H zadovoljava sljedeće uvjete: (µ 2 H 2 µ 1 H 1 ) n S = 0 n (H 2 H 1 ) S = K f (15.15) gdje je S rubna ploha. Ako je K f = 0 umjesto drugog uvjeta u (15.15) smijemo upotrebljavati na rubnoj plohi. Φ (1) M = Φ(2) M (15.16) 41
43 VI PRILOZI 16 Diracova delta-funkcija Definicija I δ (x a) = 0, x a { 1, a iz intervala I δ (x a) dx = 0, a nije iz I (16.1) Svojstva 1. f (x)δ(x a) dx = f (a) (16.2) 2. f (x)δ (x a) dx = f (a) (16.3) 3. gdje sux i nule funkcije f (x). δ [f (x)] = i δ (x x i ) df dx x=xi (16.4) gdje je θ (x) step-funkcija definirana izrazom δ (kx) = 1 δ (x) (16.5) k δ ( x) = δ (x) (16.6) xδ (x) = δ (x) (16.7) θ (x) = δ (x) (16.8) θ (x) = { 1, x > 0 0, x 0 (16.9) 8. Diracova delta-funkcija u tri dimenzije definirana je izrazima V δ (r R) = 0, r R { 1, R unutar V δ (r R) dv = 0, R izvan V gdje jeδ (r R) = δ (x X)δ(y Y)δ (z Z). (16.10) 42
44 9. Skup točkastih naboja opisujemo gustoćom naboja ρ (x) = i q i δ (r r i ) (16.11) 10. U ortogonalnom koordinatnom sustavu (u, v, w) delta funkcija glasi δ ( r r ) 1 = ( ) δ ( u u ) δ ( v v ) δ ( w w ) (16.12) x,y,z J u,v,w gdje jej ( x,y,z u,v,w) Jacobijan transformacije koordinatax = x (u,v,w),y = y (u,v,w),z = z (u,v,w). 17 Legendrovi polinomi Diferencijalna jednadžba Legendrovi polinomi P l su rješenja diferencijalne jednadžbe [ d (1 x 2 ) ] dp l (x) +l(l+1)p l (x) = 0 (17.1) dx dx Može se pokazati da konačna rješenja na intervalu [ 1, 1] (uključuje točke x = ±1) možemo dobiti samo ako je indeks l nenegativan cijeli broj l = 0, 1, 2,... (17.2) a tada su funkcije P (x) polinomi stupnja l. Obilježavamo ih sap l (x). Nekoliko prvih Legendrovih polinoma l = 0, P 0 = 1 l = 1, P 1 = x l = 2, P 2 = 1 ( 2 3x 2 1 ) (17.3) l = 3, P 3 = 1 ( 2 5x 3 3x ) Relacija ortogonalnosti Zax = cosθ gornja relacija postaje Potpunost skupa {P l (x)} π P l (x)p l (x) dx = P l (cosθ)p l (cosθ) sinθdθ = 2 2l + 1 δ l l (17.4) 2 2l + 1 δ l l (17.5) Funkcije {P l (x)} čine potpun, ortogonalan skup na intervalu [ 1, 1]. Zadanu funkciju f(x) možemo razviti u red po Legendrovim polinomima f(x) = a l P l (x) (17.6) gdje su a l = 2l l=0 1 P l (x)f (x) dx (17.7) 43
ELEKTRODINAMIKA. Pregled formula
ELEKTRODINAMIKA Pregled formula Velimir Labinac Odjel za fiziku Sveučilište u Rijeci E-mail: velimir.labinac@ri.ht.hr WWW: http://www.phy.uniri.hr/~vlabinac Marko Jusup Center of Mathematics for Social
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραV(x,y,z) razmatrane povrsi S
1. Napisati izraz koji omogucuje izracunavanje skalarne funkcije elektricnog potencijala V(x,y,z) u elektrostaskom polju, ako nema prostornoo rasporedjenih elekricnih naboja. Laplaceova diferencijalna
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραPopis oznaka. Elektrotehnički fakultet Osijek Stručni studij. Osnove elektrotehnike I. A el A meh. a a 1 a 2 a v a v. a v. B 1n. B 1t. B 2t.
Popis oznaka A el A meh A a a 1 a 2 a a a x a y - rad u električnom dijelu sustaa [Ws] - mehanički rad; rad u mehaničkom dijelu sustaa [Nm], [J], [Ws] - mehanički rad [Nm], [J], [Ws] - polumjer kugle;
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα#6 Istosmjerne struje
#6 Istosmjerne struje I Jednadžbe za istosmjerne struje II Gibbsov potencijal u vodičima predavanja 20** Drudeov model za vodljive elektrone Jouleov zakon Makroskopske jednadžbe za istosmjerne struje Gibbsov
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDielektrik u elektrostatskom polju
Seučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij ielektrik u elektrostatskom polju Polarizacija dielektrika snoe elektrotehnike I Jedno od osnonih sojstaa dielektrika
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα1. Vektorske i skalarne funkcije
VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 1 1. Vektorske i skalarne funkcije 1.1. Što su to skalarne i vektorske funkcije? Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo broj, ili drugim riječima skalar zadali
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Vježbe 2017/ lipnja 2018.
Matematika Vježbe 17/18. 3. lipnja 18. Predgovor Ova neslužbena i nedovršena skripta prati auditorne vježbe iz kolegija Matematika koje se u ljetnom semestru ak. god. 17/18. na Gradevinskom fakultetu u
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραEkstremi funkcije jedne varijable
maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα