Aristotelovo razmatranje logosa,»volje«i odgovornosti kod životinja

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Aristotelovo razmatranje logosa,»volje«i odgovornosti kod životinja"

Transcript

1 Izvorni članak UDK 179.3: Aristotel Primljeno Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, dr Zorana Đinđića 2, RS Novi Sad zeljko.kaludjerovic@gmail.com Aristotelovo razmatranje logosa,»volje«i odgovornosti kod životinja Sažetak U radu se analizira Aristotelovo razmatranje životinja, a u središtu autorovog istraživanja su tri pitanja: prisustvo logosa kod životinja, mogu li životinje djelovati voljno i jesu li životinje odgovorne za ono što čine. Aristotelov generalni stav je da životinje nemaju vjerovanja, mnijenja, rasuđivanja, mišljenja, razuma i uma. Proučavanjem Stagiraninovih spisa utvrđeno je, zatim, da životinje mogu djelovati voljno. Odgovor na dilemu jesu li životinje odgovorne za ono što čine ovisi o razumijevanju pojma odgovornosti kod Aristotela. Ako se odgovornost razumije kao reguliranje svih onih aktivnosti koje su učinjene hotimično, tj. voljno, životinje se tada mogu smatrati odgovornima. S druge strane, ako se opseg odgovornosti ograniči na moralnu evaluaciju nečijeg djelanja, u koju je uključena aktivnost logosa, životinje će biti izuzete iz ovako razumljenog pojma odgovornosti. Autor je, na Aristotelovom tragu, zaključio da, budući da životinje mogu imati phantasiu da je ono što rade ispravno ili pogrešno, one za svoje čine trebaju biti nagrađene odnosno kažnjene. Ključne riječi Aristotel, razmatranje, životinje, logos,»volja«, odgovornost, nagrada, kazna Aristotelov generalni stav je da životinje nemaju vjerovanja (πίστις), mnijenja (δόξα), rasuđivanja (λογισμός), mišljenja (λόγος), razuma (διάνοια) i uma (νοῦς). Ovakvu tezu Stagiranin brani u mnogim svojim spisima: O duši, O dijelovima životinja, Eudemova etika, Politika, Nikomahova etika, Metafizika, Pamćenje i sjećanje. 1 Istina, u nekim drugim ili čak u istim Aristotelovim spisima mogu se pronaći mjesta koja, na prvi pogled, relativiziraju prethodno izrečeni stav. U 8. i 9. knjizi djela Historija životinja, na primjer, životinje se dovode u vezu s određenim tehničkim znanjima i misaonim aktivnostima. U paragrafu 616a4 ovog djela kaže se da je gnijezdo ptice sjenice napravljeno s velikim umijećem (τεχνικῶς). U HA620b10 11 stoji da se kod bića koja žive u moru mogu uočiti mnoge domišljate tvorevine (τεχνικὰ) koje su prilagođene njihovom načinu života. U HA612b20 Aristotel, zatim, piše da ptice koje grade gnijezda koriste razum (διανοίας). Konačno, u HA610b22, govoreći o karakteristikama različitih životinja, Stagiranin kaže da se one razlikuju po plašljivosti, nježnosti, hrabrosti, pitomosti, gluposti i umnosti (νοῦν). Ne treba žuriti sa zaključkom pa reći da ipak postoje mjesta u Historiji životinja u kojima Aristotel pripisuje određene specifično ljudske sposobnosti životinjama, nego 1 De An.404b4 6, 414b18 19 sa i 415a7 8, 428a19 24, 433a12, 434a5 11; PA641b7; EE1224a27; Pol.1332b5; EN1098a 3 4; Met.980b28; Mem.450a16.

2 312 ove tehničke termine radije treba sagledavati u kontekstu programatskih upozorenja koje Stagiranin daje na početku osme i devete knjige samog spisa. Osim toga, Aristotel u Historiji životinja dodaje informaciju, izrečenu u kondicionalu, da slični termini vrijede za delfine, ako oni uopće računaju ili razmišljaju (ἀναλογισάμενοι) o tome koliko duboko trebaju udahnuti prije nego što zarone. 2 Aristotelovo određenje s početka Metafizike još češće je, od navedenih riječi iz Historije životinja, apostrofirano u smislu pripisivanja životinjama nekih logoskih 3 sposobnosti. Stagiranin smatra da se životinje po prirodi rađaju obdarene opažanjem, ali da jedne na osnovu njega ne dospijevaju do pamćenja dok druge dospijevaju (Met.980b21 25): Upravo zato su te pametnije i lakše uče od onih koje nisu sposobne da pamte: razumne su bez učenja one koje ne mogu da čuju zvuke (kao na primjer, pčela i možda još neki drugi rod životinja), a uče one koje pored pamćenja imaju još i to čulo. 4 καὶ διὰ τοῦτο ταῦτα φρονιμώτερα καὶ μαθητικώτερα τῶν μὴ δυναμένων μνημονεύειν ἐστί, φρόνιμα μὲν ἄνευ τοῦ μανθάνειν ὅσα μὴ δύναται τῶν ψόφων ἀκούειν ὁἷον μέλιττα κἂν εἴ τι τοιοῦτον ἄλλο γένος ζῴων ἔστἰ, μανθάνει δ ὅσα πρὸς τῇ μνήμῃ καὶ ταύτην ἔχει τὴν αἴσθησιν. Sve ostale životinje, prema Aristotelu, žive po predodžbama i sjećanjima i njihov udio u iskustvu je neznatan. Upotreba riječi φρόνιμος na dva mjesta u Metafizici pobuđivala je asocijacije na razboritost koja, na osnovu odlomka iz EN1140b20 21, po nužnosti mora biti sposobnost činjenja ljudskih dobara, istinski i prema razumu. Phronesis je pojam koji se mnogostruko iskazuje (πολλαχῶς λεγομένων) pa se njegovo prisustvo kod životinja mora razmatrati u širem smislu, i on kod njih ne podrazumijeva nikakvo prisustvo logosa. Ovaj širi aspekt razmatranja razboritosti određuje se u razlici njenog poimanja kod ljudi i životinja. U EN1141a22 28 Aristotel napominje da svaka vrsta naziva razboritim onoga tko dobro razmatra ono što se tiče nje same, pa stoga i neke životinje mogu biti razmatrane kao razborite, ukoliko imaju moć predviđanja stvari koje se tiču njihovih života. Aristotelov gradualizam u biologiji pažljivo je uspostavljen tako da omogućuje distingviranje između životinja i ljudi. Ova postupnost u nastajanju najpotpunije je izražena u spisima O dijelovima životinja i Historija životinja. Kada se bolje promotri, u PA681a12 28 se, u stvari, govori o liniji koja razdvaja biljke i životinje, dok u HA588a18 31 Aristotel razmatra granicu između životinja i ljudi. U prvom poglavlju osme knjige Historije životinja, postupnost u razvoju vrsta ne pripisuje se njihovom razumu, već njihovoj prirodi i načinu ishrane. Kada se kaže da većina životinja ima tragove (ἴχνη) ljudskih karakteristika, to je ilustrirano primjerima njihove sličnosti s ljudima u nekim duševnim svojstvima. Ali kada se prijeđe na govor o intelektualnim mogućnostima, spominje se jedino sličnost (ὁμοιότητες) životinja s razumijevanjem odnosno rasuđivanjem. Dalje, dok su neke razlike između životinja i ljudi samo kvantitativne prirode, druge su izraženije jer su povezane jedino po analogiji. Razlike po analogiji pokazane su na primjerima umijeća, mudrosti i rasuđivanja, koje su svojstvene ljudima, dok su srodne druge prirodne sposobnosti osobene određenim životinjama. Ovo je standardno prikazivanje analogije kod Aristotela i ono u danom slučaju podrazumijeva da životinje imaju neke druge sposobnosti mimo umijeća, mudrosti i rasuđivanja. Postoji, drugačije rečeno, kontinuitet u pitanju duševnih karakteristika između životinja i ljudi, dok se u stvarima logosa može govoriti jedino o analogiji.

3 313 Stanovište koje je izloženo na početku devete knjige Historije životinja ima sličnu konotaciju. Sposobnosti koje se pripisuju životinjama dovode se u vezu sa strastima (παθημάτων) duše. One, dakako, nisu logoske prirode, premda se spominje i razboritost (φρόνησιν) kao jedna od njih. Dodaje se također da neke životinje posjeduju moć primanja ili davanja instrukcija zbog toga što mogu razlikovati ne samo zvukove već i znakove (σημείων). Većina ovoga rečena je i u analiziranom odlomku iz Metafizike (980b21 25), dok je o sposobnosti da se koriste znakovi posvjedočeno u spisima O duši (420b32) i Politika (1253a9 14). U spisu O duši glas se, naime, određuje kao značenjski (σημαντικὸς) zvuk, dok se u Politici razgraničava govor (λόγον), koji je svojstven jedino ljudima, i glas (φωνὴ), koji je znak (σημεῖον) bola, pa ga posjeduju sve ostale životinje i mogu ga označiti (σημαίνειν) jedne drugima. Poricanje spomenutih logoskih sposobnosti životinja nije nikakva usputna stvar u različitim Aristotelovim spisima, nego činjenica od krucijalne važnosti u njegovim razmatranjima. 5 Ono je provedeno u Stagiraninovom corpusu na dvojak način. Direktno, negiranjem životinjama da imaju bilo koju od ovih sposobnosti, i indirektno, naglašavanjem da se logoske sposobnosti mogu pripisivati isključivo ljudima. Prva verzija može se pronaći npr. u trećem poglavlju treće knjige spisa O duši, gdje Aristotel, raspravljajući o različitim aspektima predočavanja kaže da predodžba (φαντασία) nije opažanje (αἴσθησις), nije znanje (ἐπιστήμη) i nije umovanje (νοῦς). Da predodžba nije ni mnijenje (δόξα) obrazlaže se u De An.428a19 24: 2 HA631a27. 3 Kada je u pitanju λόγος, dovoljno je reći da bi bilo teško čak i nabrojati sva moguća značenja ove imenice muškog roda u grčkom jeziku, kao i varijacije njenih prijevoda na moderne jezike. Jedan običan školski rječnik, Grčkohrvatski rječnik koji je priredio S. Senc, sadrži, poredano u dvije grupe, oko 80 značenja logosa. Za ovaj ključni pojam Heraklitovog mišljenja i jedan od središnjih pojmova grčke filozofije uopće, važnije je znati njegova specifična značenja u djelima konkretnih autora nego neselektivno nabrajati sva moguća, kako nefilozofska tako i filozofska, značenja. Na ovom mjestu bit će spomenuto samo da je logos u svom dugom misaonom hodu kroz antičku epohu evoluirao od riječ, govor, učenje, preko razum, dokaz, definicija, pojam, iskaz, do božji um i božja riječ. 4 Prev. S. U. Blagojević. Aristotel, Metafizika, Paideia, Beograd 2007., str. 3, 980b Blagojević je φρονιμώτερα preveo sa pametnije, a φρόνιμα sa razumne. Premda ovakav prijevod nije netočan, autor je na stanovištu da je prikladnije φρονιμώτερα prevesti sa razboritije, a φρόνιμα sa razborite, kako sugerira i T. Ladan u svom prijevodu ovog mjesta iz Metafizike. kod Platona (Symp.207a c; Rep.441a b; Nom.963e) i nekih predsokratovaca. U Kratilu 399c Platon, etimologizirajući riječ čovjek, kaže da je od svih životinja jedino čovjek bio ispravno nazvan ἄνθρωπος, budući da ono što je vidio, čovjek to pomno i ispituje (ἀναθρῶν ἃ ὄπωπε). Na početku samog pasusa Atinjanin piše da su sve ostale zvijeri»nesposobne da o viđenom razmišljaju, da predmnijevaju i natenane razglabaju (anathoréo)«. Prev. D. Štambuk. Platon, Kratil. Teetet. Sofist. Državnik, ΠΛΑΤΩ, Beograd 2000., str. 37, 399c. Predsokratovac Alkmeon iz Krotona u svom prvom fragmentu (DK24B1a) slično kaže: Čovjek se od drugih (živih bića) razlikuje po tome što on jedini razumije, dok druga (živa bića) primaju osjete, ali ne razumiju. ἄνθρωπον γάρ φησι τῶν ἄλλων διαφέρειν ὅτι μόνον ξυνίησι, τὰ δ ἄλλα αἰσθάνεται μέν, οὐ ξυνίησι δέ. Prev. D. Novaković. H. Diels, Predsokratovci: fragmenti I, Naprijed, Zagreb 1983., str. 190, B1a. Njem. izd. H. Diels, W. Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker I, Weidmann 1985., str. 215, B1a. 5 Tragove ovog poricanja Aristotel je mogao pronaći i kod svojih prethodnika, recimo

4 314 No s mnijenjem je spojeno uvjerenje (nije naime moguće da onaj koji misli ne vjeruje onome što misli). Nijedna životinja nema uvjerenja, a predodžbu imaju mnoge. (I nadalje, svako mnijenje prati uvjerenje, a uvjerenje nagovor, a nagovor razum. U nekih životinja postoji predodžba a razum ne.) 6 ἀλλὰ δόξῃ μὲν ἕπεται πίστις (οὐκ ἐνδέχεται γὰρ δοξάζοντα οἷς δοκεῖ μὴ πιστεύειν), τῶν δὲ θηρίων οὐθενὶ ὑπάρχει πίστις, φαντασία δὲ πολλοῖς. ἔτι πάσῃ μὲν δόξῃ ἀκολουθεῖ πίστις, πίστει δὲ τὸ πεπεῖσθαι, πειθοῖ δὲ λόγος τῶν δὲ θηρίων ἐνίοις φαντασία μὲν ὑπάρχει, λόγος δ οὔ. Stagiranin u EN1095a17 19 govori da formalno promatrano postoji jedno najviše dobro koje se zove blaženstvo (εὐδαιμονία), 7 dodajući da problemi nastaju onog trenutka kada se bude trebalo sadržinski odrediti što ono jest. I kod njega samog ostaje diskutabilno znači li sadržinsko određenje blaženstva djelatno dobro ili dobro samodovoljnosti teorijskog života, premda se prednost uglavnom daje ovom potonjem. U svakom slučaju, bez obzira je li riječ o razboritosti ili umnosti, za blažen život čovjeka potrebno je nešto što je osobeno za njega samog, a ne nešto što je zajedničko za sva živa bića. Vođen ovom niti vodiljom, Aristotel u trećem poglavlju druge knjige spisa O duši razgraničava duše biljaka, životinja i ljudi i paralelno s tim pravi razliku između sposobnosti da se koristi hrana, da se osjeća, želi, kreće u mjestu i misli. Da ne bi bilo mnogo dileme, odmah zatim on dodaje da jedino ljudi imaju sposobnost mišljenja (διανοητικόν), um (νοῦς), rasuđivanje (λογισμὸν) i razum (διάνοιαν). 8 Distinkcija koja je u prvoj glavi prve knjige Metafizike napravljena između ljudskih i životinjskih sposobnosti dovela je u drugoj glavi prve knjige ovog spisa do tvrdnje da je jedino mudrost (filozofija) usporediva sa slobodnim čovjekom, a kako je slobodan jedino onaj čovjek koji je»zbog sebe, a ne radi koga drugoga«, tako je i mudrost jedina slobodna među znanostima, jer»jedina je ona zbog sebe same«. 9 Mudrost je i najdostojnija poštovanja i božanska je u dvostrukom smislu: prvo jer je jedino bog, ili on ponajviše, može posjedovati, i drugo, zato što je predmet ove znanosti bog, budući da se on, prema Aristotelu, svima čini nekakvim uzrokom i načelom. Filozofija, dakle, kao specifično ljudska djelatnost dovodi čovjeka u najveću moguću blizinu bogovima. Tvrdnjom da jedino čovjek ima»govor među [svim] životinjama«, Aristotel naglašava razliku između ljudi i životinja i u segmentu organizirane zajednice za život. 10 Određenjem čovjeka kao jedinog živog bića koje ima govor, Stagiranin je na početku Politike, u stvari, izložio jedno od njegova tri poznata izvorna određenja čovjeka. Drugo određenje čovjeka je da je on jedino živo biće koje je sposobno za razlikovanje dobra i zla odnosno pravednog i nepravednog. Treće, i svakako najpoznatije, Stagiraninovo određenje čovjeka je da je on po prirodi društvena ili politička životinja (ἄνθρωπος φύσει πολιτικὸν ζῷον, Pol.1253a1 3). Čovjek je»po prirodi«odnosno po svom izvornom ustrojstvu koje ga razlikuje od ostalih prirodnih vrsta, biće koje vlastitu ljudskost može realizirati samo u zajednici s drugim ljudima. Ova zajedničnost ljudi nije identična sa zajedničnošću mrava, pčela ili nekih drugih životinja koje također žive u organiziranim formama življenja. Ljudi vlastitu zajedničnost temelje na logosu u zajednici kao zajednici, uređujući je dogovorenim i prihvaćenim pravilima, običajima i zakonima. U paradigmatičnom paragrafu iz jedanaeste glave osme knjige Nikomahove etike, Stagiranin piše da nema prijateljstva ni pravde između onoga koji vlada i onoga nad kojim se vlada, a kao primjere navodi zanatliju i oruđe, dušu i tijelo, gospodara i roba. Aristotel dodaje i da su oruđa, tijela i robovi od ko-

5 315 risti onima koji se njima služe, govoreći da nema prijateljstva ni onoga što je pravedno prema neživim stvarima (EN1161b2 3): I nema toga ni prema konju ili volu, niti pak prema robu kao robu. 11 ἀλλ οὐδὲ πρὸς ἵππον ἢ βοῦν, οὐδὲ πρὸς δοῦλον ᾗ δοῦλος. Razlog zašto nema pravde prema konjima i volovima, tj. prema životinjama, je zato što ljudi s njima nemaju ničeg zajedničkog. 12 Proturječi li ovom izjavom Aristotel vlastitim riječima iz Politike (1256b23 26) da se u lovu na divlje životinje treba voditi pravedan rat protiv njih? Ne nužno, budući da on ne smatra da čovjek pravedno kažnjava divlje životinje ratujući protiv njih, već ljudi imaju pravo da love životinje jer su one po prirodi stvorene za čovjeka. Priroda je, prema Aristotelu, u osnovi hijerarhizirana prema stupnju prisustva odnosno odsustva logosa (Pol.1256b15 22): Tako te se bjelodano može postaviti, pošto se one rode, kako su biljke poradi životinja, i sve druge životinje poradi čovjeka, one pitome i za uporabu i zbog hrane, dočim one divlje ako već ne sve a ono barem većina i zbog hrane i drukčije koristi, da bi se od njih izrađivala odjeća i različita oruđa. Ako dakle narav ništa ne čini ni nesavršeno ni uzalud, onda je nuždno narav sve to načinila poradi ljudi. 13 ὥστε ὁμοίως δῆλον ὅτι καὶ γενομένοις οἰητέον τά τε φυτὰ τῶν ζῴων ἕνεκεν εἶναι καὶ τὰ ἄλλα ζῷα τῶν ἀνθρώπων χάριν, τὰ μὲν ἥμερα καὶ διὰ τὴν χρῆσιν καὶ διὰ τὴν τροφήν, τῶν δ ἀγρίων, εἰ μὴ πάντα, ἀλλὰ τά γε πλεῖστα τῆς τροφῆς καὶ ἄλλης βοηθείας ἕνεκεν, ἵνα καὶ ἐσθὴς καὶ ἄλλα ὄργανα γίνηται ἐξ αὐτῶν. εἰ οὖν ἡ φύσις μηθὲν μήτε ἀτελὲς ποιεῖ μήτε μάτην, ἀναγκαῖον τῶν ἀνθρώπων ἕνεκεν αὐτὰ πάντα πεποιηκέναι τὴν φύσιν. Aristotelovo mišljenje je da pitome životinje imaju bolju prirodu od divljih životinja i da je za njih bolje da čovjek nad njima vlada, jer ih tako štiti i održava u životu. Ova nadređenost ljudi prema životinjama nije Aristotelu potrebna zbog uspostavljanja pravde, nego zbog toga što je takva dominacija ljudi prirodna i obostrano korisna. Duša vlada nad tijelom vlašću gospodara, a um nad žudnjom drugačijom vrstom vlasti, državničkom i kraljevskom (Pol.1254b6 10): 6 Prev. M. Sironić. Aristotel, O duši, Naprijed, Zagreb 1987., str. 74, 428a U nastavku paragrafa Stagiranin konstatira da predodžba nije ni kombinacija opažanja i mnijenja (De An.428a24 428b9), ali da ona pretpostavlja opažanje i da nastaje kao rezultat opažanja (De An.428b10 17). 7 Karakteristično je određenje blaženstva iz X knjige Nikomahove etike (1177a12 13): Ako je blaženstvo dejstvo prema vrlini, razumno je da [će to biti dejstvo] prema najvećoj [vrlini], a to bi bila [vrlina] najboljeg [u nama]. Εἰ δ ἐστὶν ἡ εὐδαιμονία κατ ἀρετὴν ἐνέργεια, εὔλογον κατὰ τὴν κρατίστην αὕτη δ ἂν εἴη τοῦ ἀρίστου. Prev. Ž. Kaluđerović. Aristotel, Nikomahova etika, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb 1992., str. 212, 1177a De An.414b18 19, 415a Met.982b Pol.1253a b EN1161b3. Demokrit misli nešto drugačije od Aristotela. U njegovim fragmentima 258 (DK68B258) i 259 (DK68B259) navodi se da životinje, kao i ljudi, mogu»nepravedno nanositi štetu«i da je zato stvar pravde»ubijati ih po svaku cijenu«. 13 Prev. T. Ladan. Aristotel, Politika, Liber, Zagreb 1988., str. 16, 1256b15 22.

6 316 Po tima je stvarima bjelodano kako je i prema naravi i probitačna vladavina duše nad tijelom, te uma i razumnog dijela nad čuvstvenim dijelom, dočim njihova jednaka ili obrnuta vladavina štetna je svima. A isto je tako i s čovjekom i ostalim životinjama. 14 ἐν οἷς φανερόν ἐστιν ὅτι κατὰ φύσιν καὶ συμφέρον τὸ ἄρχεσθαι τῷ σώματι ὑπὸ τῆς ψυχῆς, καὶ τῷ παθητικῷ μορίῳ ὑπὸ τοῦ νοῦ καὶ τοῦ μορίου τοῦ λόγον ἔχοντος, τὸ δ ἐξ ἴσου ἢ ἀνάπαλιν βλαβερὸν πᾶσιν. πάλιν ἐν ἀνθρώπῳ καὶ τοῖς ἄλλοις ζῴοις ὡσαύτως. Iako Aristotel rezonira da životinje nemaju logosa i da prema njima ne može biti odnosa prijateljstva niti pravde, on ipak smatra da one mogu djelovati voljno (ἑκούσιος). Aristotel to utvrđuje u postupku osporavanja Platonove teze o protivvoljnosti onoga što je uzrokovano srdžbom ili žudnjom, 15 budući da ona isključuje cjelinu motivacionog polja voljnosti (EN1111a25 26): Tako pak, prvo, ni jedno od drugih živih bića ne bi djelovalo voljno, a ne bi ni djeca. 16 πρῶτον μὲν γὰρ οὐδὲν ἔτι τῶν ἄλλων ζῴων ἑκουσίως πράξει, οὐδ οἱ παῖδες. Na samom početku rasprave o voljnosti u 3. knjizi Nikomahove etike Stagiranin naglašava da je razdvajanje voljnog i protivvoljnog 17 (ἀκούσιος) nužno za one koji proučavaju vrlinu, a da je korisno zakonodavcima pri odmjeravanju počasti ili kazne. 18 Hipoteza koja se treba razmotriti je jesu li životinjski akti, budući da su okvalificirani kao voljni, samim tim i podložni odgovornosti, a da se pritom zadrži ranije usvojeni stav da životinje nemaju logoskih sposobnosti. Ono što je evidentno je da Stagiranin smatra da za voljnost nije potreban logos, već neke druge sposobnosti koje su nižeg ontološkog ranga od samog logosa. 19 Kada se prouče Nikomahova i Eudemova etika, uočava se da Aristotel apostrofira nekoliko aspekata voljnosti. Najprije, Stagiranin podrazumijeva da arche nekog činjenja treba biti imanentan činitelju. To je moguće da bude i nečija ljutnja ili žudnja, ali uvijek svojstvena činitelju, prije nego da je to nekakav vanjski uzrok. 20 Drugi aspekt voljnosti tiče se znanja odnosno neznanja. Naime, u različitim definicijama voljnosti spominje se da onaj koji nešto čini zna sve pojedinosti svog djelanja, tj. da ono što čini čini znajući a ne neznajući. U devetoj glavi druge knjige Eudemove etike u određenju voljnosti kaže se da je u nečijoj moći, osim da čini nešto, i da se suzdrži od činjenja, kao i da je voljno ono što je učinjeno ne-u-neznanju. U narednoj, desetoj, glavi druge knjige Eudemove etike Aristotel piše da, budući da netko ne-pomoćuneznanja čini ili apstinira od onoga što je u njegovoj moći da čini, on tada čini ili se suzdržava od činjenja na voljan način. Treći aspekt voljnosti koji Stagiranin ističe ponekad je uključen u njeno određenje, 21 dok ponekad predstavlja implikaciju samog unutrašnjeg zahtjeva. 22 To je zahtjev da činjenje bude do onoga koji čini ili da jest u njegovoj moći (ἐφ αὑτῷ, ἐφ ἑαυτῷ, ἐφ ἡμῖν). Aristotel često naglašava da je čovjek načelo ili roditelj onoga što čini jednako kao što je i roditelj svoje djece. On zaključuje da činovi čije je načelo u čovjeku ne mogu biti svođeni na neka druga načela, nego da su oni u ljudskoj moći a samim tim i voljni. Aristotel ne kaže da ova ovisnost o onome tko čini pretpostavlja racionalnog djelatnika. Naprotiv, Stagiranin smatra da činjenje može biti proizvedeno i od ne-racionalnih životinja, jer, kao što je navedeno, činjenje životinja je voljno odnosno hotimično. Zaključak koji se može izvesti je da postoji izvorna mogućnost za drugačije djelovanje životinja, i da ono ovisi o samim životinjama. Gdje onda, prema Aristotelu, logos stupa na scenu? Jedino s pojmom izbora (προαίρεσις). Komentatorima Aristotela pojam προαίρεσις zadavao je prilično

7 317 poteškoća, primarno zbog širine njegovog semantičkog polja. Proairesis, osim izbor, može značiti i volja, odluka, sklonost, započet pravac, mišljenje ; namjera, uloga, razlozi, značaj ; težnja, zanimanje, uopće put, smjer. Birati, prema Aristotelu, naravno ne znači naprosto izabrati između postojećih mogućnosti, nego birati»ono što treba izabrati prije drugih stvari«. 23 Bližem određenju pojma izbora pripada da je njegov genus proximum pojam voljnosti. Međutim, pojam voljnosti širi je od pojma izbora jer je voljnost šira od biranja. Izbor je uvijek voljan, ali voljnost ne znači uvijek izabrano djelanje, budući da je moguća kod djece i životinja. Aristotel to kaže sljedećim riječima (EN1111b6 9): Izbor se čini nečim voljnim, ali nije isto što i to, jer je voljno ono šire; naime, voljno je zajedničko djeci i ostalim životinjama, a izbor nije. 24 ἡ προαίρεσις δὴ ἑκούσιον μὲν φαίνεται, οὐ ταὐτὸν δέ, ἀλλ ἐπὶ πλέον τὸ ἑκούσιον τοῦ μὲν γὰρ ἑκουσίου καὶ παῖδες καὶ τἆλλα ζῷα κοινωνεῖ, προαιρέσεως δ οὔ. 14 Prev. T. Ladan. Aristotel, Politika, 1254b Nom.863b a U radu O kretanju životinja 703b3 4, Aristotel kaže da je i kretanje životinja voljno. 17 Nešto kasnije uvodi se i pojam nevoljnog (οὐχ ἑκούσιον). Cjelokupna Aristotelova diskusija o voljnom, protivvoljnom i nevoljnom djelanju predstavlja direktan pokušaj usuglašavanja sa sokratovskim i platonovskim diktumom o izjednačavanju vrline i znanja i tezom da je neznanje uzrok lošeg činjenja. Aristotel na nekoliko mjesta ponavlja da je Sokrat rekao ili mislio da su vrline znanja, ili u singularu da je vrlina znanje, što je komentarano i na poznatom mjestu iz Nikomahove etike 1144b18 21: Pa je i Sokrat dijelom ispravno a dijelom pogrešno istraživao: pogriješio je mnijući kako su sve kreposti-razboritosti, ali je ispravno smatrao da ih nema bez razboritosti. καὶ Σωκράτης τῇ μὲν ὀρθῶς ἐζήτει τῇ δ ἡμάρτανεν ὅτι μὲν γὰρ φρονήσεις ᾤετο εἶναι πάσας τὰς ἀρετάς, ἡμάρτανεν, ὅτι δ οὐκ ἄνευ φρονήσεως, καλῶς ἔλεγεν. 1144b Aristotelova kritika ovog mjesta nije usmjerena protiv Sokratovog razumijevanja znanja kao nužnog uvjeta vrline, odnosno uvjeta stjecanja pojma vrline, koje istovremeno predstavlja i sam pojam vrline. Ono što Stagiranin komentira je Sokratovo zapostavljanje učešća alogičke strane duše u vrlini, jer određujući vrlinu kao znanje, Sokrat nije shvatio da u njenom postizanju, osim znanja, djeluju i pathos i ethos. Aristotel smatra, drugačije rečeno, da bez intelektualnog pregnuća nije moguće živjeti čestito i da je spoznaja ono što uspostavlja vrlinu, ali da vrlina nije samo znanje, nego da je potrebno i djelovanje sklonosti i strasti (»volje«), kao i djelovanje običaja. 18 EN1109b30 35, 1135a U EE1223a11 Aristotel naglašava da se ne kažnjavaju čini koji su se dogodili po nužnosti, ili slučajno, ili naprosto po prirodi, već jedino oni kojima je uzrok u činitelju. 19 Koje ponešto variraju od knjige od knjige, o čemu treba konzultirati, osim prvih pet poglavlja treće knjige Nikomahove etike, i osmo poglavlje pete knjige EN, te treće poglavlje sedme knjige EN, kao i šesto, sedmo, osmo i deveto poglavlje druge knjige Eudemove etike. 20 Aristotel navodi primjer snažnog vjetra koji uzrokuje hotimično bacanje tereta s brodova (EN1110a8 9). 21 EN1135a24; EE1225b8, 1226b EN1110a15 18, 1113b19 23, 1114a EN1112a Ova Aristotelova odrednica ima veze s činjenicom da je προαίρεσις povezano sa πρὸ ἑτέρων αἱρετόν b6 9. O ovoj temi Aristotel piše i u EE1223b a4, 1225a37, 1226b30.

8 318 U EN1111a25 26 navedeno je da su životinje i djeca potaknuti na djelovanje srdžbom i žudnjom i da je njihovo djelovanje voljno. Razlog zašto životinje i djeca ne mogu djelovati posredstvom izbora je u tome što oni ne promišljaju. Na Aristotelovom tragu može se reći da životinje ne promišljaju ni mogućnošću, pa samim tim ni djelatnošću odnosno usvrhovljenošću, dok djeca možda ne promišljaju djelatno, tj. usvrhovljeno, ali imaju mogućnost za promišljanje, koja će se u danom životnom trenutku udjeloviti odnosno usvrhoviti. Činjenje i djelanje životinja i djece, stoga, nije usmjereno ka generalnim i relativno udaljenim ciljevima pretpostavljenim u promišljanju, već ka neposrednim i samim tim bližim zadacima predstavljenim srdžbom i žudnjom. Preciznost pojma izbora Aristotel je utvrdio tako što ga je dodatno diferencirao od pojmova žudnje (ἐπιθυμία), srdžbe (θυμός), želje (βούλησις) i mnijenja (δόξα). Izbor je, prema Aristotelu, par excellence ljudska stvar, dok žudnja i srdžba, maločas je napomenuto, pripadaju i životinjama i djeci. Žudnja se odnosi na ugodu i bol dok se izbor ne tiče ni ugode ni bola. Izbor također nije ni srdžba, tj. postupci u srdžbi»najmanje su prema izboru«. 25 Ni želja nije izbor, a ono što ih razdvaja je podatak da postoji želja za nemogućim stvarima poput besmrtnosti, dok se izbor ne odnosi na nemogućnosti. Želja se odnosi i na nekog drugog, kao što je želja da pobijedi neki glumac ili sportaš na natjecanju, dok se kod izbora uvijek radi o stvarima koje su u samom čovjeku. Želja se više tiče svrhe, a izbor sredstava koje služe svrsi, i onih stvari koje su u ljudskoj moći. 26 Izbor konačno nije ni mnijenje, jer se ono odnosi na sve stvari, kako vječne i nemoguće tako i one koje su u ljudskoj moći. Mnijenje se razlučuje po istini i laži, dok se izbor razlučuje po dobrom i lošem. Izbor se tiče nastojanja i izbjegavanja i pohvaljuje se zbog onoga što treba učiniti, a mnijenje se odnosi na utvrđivanja što je neka stvar, budući da ono traži sklad s istinom. Izbor nije moguć bez naglašene intelektualne komponente, bez onoga što Aristotel naziva mišljenje (λόγος) i razum (διάνοια). Kao što je poznato, Stagiranin smatra da se o božanskim, fizičkim i matematičkim stvarima ne može promišljati u smislu odlučivati, jer su one pod zakonom nužnosti ili slučajnosti, ali ni o svim praktičkim stvarima, budući da ni one sve nisu u ljudskoj moći. Promišljanja može biti o onome što jest u ljudskoj moći, odnosno o onome što»može biti i ne biti«. Svako promišljanje je neko istraživanje, iako svako istraživanje nije promišljanje, a zaključak koji iz njega proizlazi je određujući u izboru: ono izabrano je promišljanjem učinjeno takvim, odnosno uspostavljeno je kao sinteza promišljanja i žudnje. Aristotel dodaje (EN1113a9 12): Budući je birano a po nama samima ono što promislivši žudimo, i izbor će biti promišljena žudnja za stvarima koje su u našoj moći. Jer sudeći pošto smo promislili, žudimo u skladu s promišljanjem. 27 ὄντος δὲ τοῦ προαιρετοῦ βουλευτοῦ ὀρεκτοῦ τῶν ἐφ ἡμῖν, καὶ ἡ προαίρεσις ἂν εἴη βουλευτικὴ ὄρεξις τῶν ἐφ ἡμῖν ἐκ τοῦ βουλεύσασθαι γὰρ κρίναντες ὀρεγόμεθα κατὰ τὴν βούλευσιν. Izbor je moguć u cjelovitom korpusu vrlina i poroka, odnosno u onom praktičkom i hotimičnom. Izbor je Stagiraninu potreban i zato što je preduvjet za vrlinu, a u nekim slučajevima i za porok. 28 U EN1105a30 33 Aristotel piše da je za postupke koji nastaju u skladu s vrlinom potrebno, između ostalog, da se čine s promišljenim izborom. U EN1106a3 4 zatim se eksplicitno kaže da vrline jesu nekakvi izbori ili da barem one nisu bez izbora. U centralnoj definiciji vrline samo se potvrđuje ova duboka veza vrline i izbora (1106b a2):

9 319 Dakle, krepost je stanje s izborom, zapravo srednost u odnosu prema nama, a određena načelom, naime onim kojim bi je odredio razborit čovjek. 29 Ἔστιν ἄρα ἡ ἀρετὴ ἕξις προαιρετική, ἐν μεσότητι οὖσα τῇ πρὸς ἡμᾶς, ὡρισμένη λόγῳ καὶ ὡς ἂν ὁ φρόνιμος ὁρίσειεν. Načelo djelatnosti je izbor, dok je načelo izbora žudnja i logos, ali u vezi svrhe. Izbora, prema Aristotelu, osim bez onog misaonog, nema ni bez odgovarajućeg karaktera (ἠθικῆς). Samo mišljenje pritom nije ono pokrećuće, niti je to etičko stanje, nego je to ono što je u želji željeno. Sve ljudsko, jednako kao i životinjsko, jest pokrenuto onim što je pathosko. Međutim, specifično ljudski karakter ljudskog ostvaruje se samo ako je ono pathosko posredovano svojevrsnom sintezom mišljenja i karaktera. Pathosko mora biti promišljeno, tj. odlučeno iz kultiviranog ljudskog karaktera da se ono što je u želji željeno izrazi kao dobro djelanje, da bude djelatno izabrano i provedeno, i to u svakom posebnom slučaju. Načelo praxisa u punom smislu jest, dakle, izbor, za razliku od voljnih aktivnosti životinja. 30 Ovo zapažanje je važno zato što označava da Aristotel poričući mogućnost praktičkog djelanja životinjama ne negira da one mogu biti nagrađivane ili kažnjavane za ono što čine. I obrnuto, dopuštajući da njihovo ponašanje bude voljno, 31 on im ne dopušta djelanje u punom smislu. Zato Aristotel i kaže u EN1139a17 20: U duši postoji troje koje gospodari djelatnošću i istinom: sjetilo, um, žudnja. Od tih sjetilo nije počelo nikakve djelatnosti, što je bjelodano u zvijeri, koje posjeduju sjetilo, ali nemaju dioništva u djelatnosti. 32 τρία δή ἐστιν ἐν τῇ ψυχῇ τὰ κύρια πράξεως καὶ ἀληθείας, αἴσθησις νοῦς ὄρεξις. τούτων δ ἡ αἴσθησις οὐδεμιᾶς ἀρχὴ πράξεως δῆλον δὲ τῷ τὰ θηρία αἴσθησιν μὲν ἔχειν πράξεως δὲ μὴ κοινωνεῖν. Može li se, na koncu, reći, slijedeći Aristotela, da su životinje odgovorne za ono što čine? Odgovor na ovo pitanje ovisit će o razumijevanju pojma od- 25 EN1111b O nekim nedoumicama u vezi ovakvih Aristotelovih tvrdnji pisao je Guthrie u svojoj knjizi. W. K. C. Guthrie, A History of Greek Philosophy VI, Cambridge, 1981, str a EE1234a25; EN1110b31 32, 1135b25, 1148a17, 1150a20, 1150b30, 1151a b a2. Prevod Ž. Kaluđerovića glasi:»dakle, vrlina je stanje s izborom, koja se nalazi u sredini u odnosu na nas, određena logosom, i to tako kako bi odredio razborit čovjek.«kod prevoditelja i tumača postoji dilema kako prenijeti grčku višeznačnicu λόγῳ na moderne jezike. Osim prijedloga načelo, postoje i natuknice da bi λόγος na ovom mjestu mogao značiti pravilo, razum, um, pamet. Rjeđe postoje nesuglasice oko prijevoda riječi ἕξις, u smislu da li je treba razumjeti kao sposobnost ili, što je češće prihvaćeno, kao stanje. Aristotel o vezi vrline i izbora piše i u EN1113b3 7, 1139a22 23, 1144a EN1139a31; EE1224a25 30, 1222b18 20; Phys.197b Premda ponašanje ne-racionalnih životinja nije bazirano na izboru, jer one nemaju izbora baš zato što nemaju logosa, ono što jest na njima i do njih je nesumnjivo voljnost. Filolog Klodije, ili možda Heraklid Pontski, drugačije od Aristotela, ideju pravednog rata protiv divljih zvijeri opravdava argumentom da one napadaju čovjeka (svoje)voljno (Ap. Porphyrium Abst. 1.14) a17 20.

10 320 govornosti u Stagiraninovim spisima. Ako se protumači da se odgovornost kod Aristotela tiče prvenstveno moralne evaluacije nečijeg djelanja, u koju je uključena aktivnost logosa, nesumnjivo je da će onda životinje biti izuzete iz ovako razumljenog pojma odgovornosti. S druge strane, ako se odgovornost razumije kao reguliranje svih onih aktivnosti koje su učinjene hotimično, tj. voljno, životinje se tada mogu smatrati odgovornima. Nema razloga zašto Aristotel ne bi smatrao npr. psa odgovornim za ujedanje čovjeka ili nekog drugog živog bića. Budući da pas može, u najmanju ruku, imati phantasiu da je ono što radi ispravno ili pogrešno, on stoga treba za svoje čini biti nagrađen odnosno kažnjen. To bi se slagalo i s onim što je tvrdio Demokrit 33 prije Aristotela ili Heraklid Pontski poslije njega. Štoviše, sam Stagiranin eksplicitno povezuje voljnost s nagrađivanjem i kažnjavanjem. Evo, za sam kraj, tog spominjanog mjesta s početka treće knjige njegove Nikomahove etike (1109b30 35): Budući se krepost bavi čuvstvima i djelatnostima, od kojih se oni voljni hvale i kude, dok se protuvoljni opraštaju pa i žale, nužno je razlučiti voljno i protuvoljno onima koji proučavaju krepost, a korisno je zakonodavcima pri dodjeli bilo počasti bilo kazne. 34 Τῆς ἀρετῆς δὴ περὶ πάθη τε καὶ πράξεις οὔσης, καὶ ἐπὶ μὲν τοῖς ἑκουσίοις ἐπαίνων καὶ ψόγων γινομένων, ἐπὶ δὲ τοῖς ἀκουσίοις συγγνώμης, ἐνίοτε δὲ καὶ ἐλέου, τὸ ἑκούσιον καὶ τὸ ἀκούσιον ἀναγκαῖον ἴσως διορίσαι τοῖς περὶ ἀρετῆς ἐπισκοποῦσι, χρήσιμον δὲ καὶ τοῖς νομοθετοῦσι πρός τε τὰς τιμὰς καὶ τὰς κολάσεις. Literatura Aristotel, Fizika, Paideia, Beograd Aristotel, Metafizika, Paideia, Beograd Aristotel, Nikomahova etika, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb Aristotel, O duši. Nagovor na filozofiju, Naprijed, Zagreb Aristotel, Politika, Liber, Zagreb Aristotel, Retorika, Naprijed, Zagreb Aristotelis Opera, ex. rec. Immanuelis Bekkeri, ed. Acad. Regia Borrusica, I V, Berlin (Novo izdanje je pripremio O. Gigon, Berlin ) Svi Aristotelovi navodi usklađeni su s ovim izdanjem. Barnes, J., The Complete Works of Aristotle I II, Princeton Bošnjak, B., Logos i dijalektika, Naprijed, Zagreb Cifrić, I., Bioetička ekumena, Pergamena, Zagreb Čović, A.,»Biotička zajednica kao temelj odgovornosti za ne-ljudska živa bića«, u: A. Čović, N. Gosić, L. Tomašević (ur.), Od nove medicinska etike do integrativne bioetike, Pergamena Hrvatsko bioetičko društvo, Zagreb Čović, A., Gosić, N., Tomašević L., (ur.), Od nove medicinske etike do integrativne bioetike, Pergamena Hrvatsko bioetičko društvo, Zagreb Diels, H., Kranz, W., Die Fragmente der Vorsokratiker I III, Weidmann Diels, H., Predsokratovci: fragmenti I II, Naprijed, Zagreb Dunayer, J., Specizam, D. D. Čakovec, Institut za etnologiju i folkloristiku, Zagreb Čakovec Guthrie, W. K. C, A History of Greek Philosophy I, Cambridge 1962.

11 321 Guthrie, W. K. C, A History of Greek Philosophy VI, Cambridge Milankov, V., Biološka evolucija, PMF, Departman za biologiju i ekologiju, Novi Sad Platon, Ijon. Gozba. Fedar, Kultura, Beograd Platon, Kratil. Teetet. Sofist. Državnik, ΠΛΑΤΩ, Beograd Platon, Zakoni, Dereta, Beograd Platon, Država, BIGZ, Beograd Singer, P., Writings on an Ethical Life, Fourth Estate, New York Sober, E., Filozofija biologije, ΠΛΑΤΩ, Beograd Visković, N., Kulturna zoologija, Jesenski i Turk, Zagreb Žarden, Dž. R. de., Ekološka etika, Službeni glasnik, Beograd Željko Kaluđerović Aristotle s Treatment of Logos, Will and Responsibility of Animals Abstract This paper analyzes Aristotle s treatment of animals and the author s research focuses on three issues: the presence of logos in animals, if animals can act voluntarily and if animals are responsible for what they do. Aristotle s general standing point is that animals do not have beliefs, opinions, calculations, thoughts, thinking and reason. By studying Stagirites volumes it has been determined, subsequently, that animals can act voluntarily. Resolution to the dilemma whether animals are responsible for what they do depends on the understanding of the Aristotle s concept of responsibility. If responsibility is understood as regulating all of those activities which were undertaken on purpose i.e. voluntarily, animals can be considered responsible. On the other hand, if the scope of responsibility is limited to the moral evaluation of acts, including the activity of logos, animals will be excluded from thus understood concept of responsibility. The author has, following Aristotle s footsteps, concluded that since animals can have phantasia that what they do is right or wrong, they should be either rewarded or punished for their acts. Key words Aristotle, treatment, animals, logos, will, responsibility, reward, punishment 33 Rudimentarnu verziju ideje da su životinje odgovorne Aristotel je mogao pronaći u Demokritovim fragmentima. U 257. fragmentu (DK68B257) Abderićanin piše: Kaže također i ovo:»a o tome koje se životinje mogu, a koje ne smiju ubijati, stvar stoji ovako: onaj koji ubija životinje koje nanose i hoće nanijeti štetu, (neka ostane) nekažnjen. Dobru stanju više pridonosi ako se to čini, nego ako se ne čini.«τοῦ αὐτοῦ. κατὰ δὲ ζώιων ἔστιν ὧν φόνου καὶ μὴ φόνου ὧδε ἔχει τὰ ἀδικέοντα καὶ θέλοντα ἀδικεῖν ἀθῶιος ὁ κτείνων, καὶ πρὸς εὐεστοῦν τοῦτο ἔρδειν μᾶλλον ἢ μή. Prev. D. Novaković. H. Diels, Predsokratovci: fragmenti II, Naprijed, Zagreb 1983., str. 182, B257. Njem. izd. H. Diels, W. Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker II, Weidmann 1985., str. 197, B257. Riječ koja zasigurno zahtjeva najviše pozornosti u ovom fragmentu je θέλοντα. Grčka imenica srednjeg roda θέλημα ili ženskog roda θέλησις označava volju, zapovijest, želju, zadovoljstvo. U fragmentu se kazuje da će ostati nekažnjen onaj koji ubija životinje koje nanose štetu i koje hoće (θέλοντα) nanijeti štetu, što ukazuje da je Demokrit mislio da barem neke životinje imaju volju i da su odgovorne za ono što čine b30 35.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Studije. Željko Kaluđerović. Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, dr Zorana Đinđića 2, RS Novi Sad

Studije. Željko Kaluđerović. Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, dr Zorana Đinđića 2, RS Novi Sad Studije Izvorni članak UDK 165.7:[128:591.511](38) Primljeno 17. 12. 2013. Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, dr Zorana Đinđića 2, RS 21000 Novi Sad zeljko.kaludjerovic@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

ARISTOTELOVA ARETOLOGIJA 1

ARISTOTELOVA ARETOLOGIJA 1 Годишњак Филозофског факултета у Новом Саду, Књига XXXIX-1 (2014) Annual Review of the Faculty of Philosophy, Novi Sad, Volume XXXIX-1 (2014) UDK 1 ARISTOTEL Filozofski fakultet 17 Univerziteta u Novom

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet - Odsjek za filozofiju Rezime Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir prije svega Stagiraninove

Διαβάστε περισσότερα

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Mr. Željko Kaluđerović UDK: 2-549.3:27-144 Filozofski fakultet Originalni naučni rad Novi Sad Primljeno: 16.09.2005. BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Rezime Autor u ovom radu analizira Aristotelovo specifično poimanje

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI

STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Arhe XIV, 27/2017 UDK 1 Aristoteles 111 Originalni naučni rad Original Scientific Article ŽELJKO KALUĐEROVIĆ 1 Filozofski fakultet, Univerzitet u Novom Sadu STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Sažetak: Autor

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu Filozofski fakultet, Novi Sad Odsek za filozofiju Stagiraninova aitiologija Sažetak: Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir pre svega

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα 3: Είναι - Συνειδέναι Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

ARISTOTEL: O DUŠI. fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan

ARISTOTEL: O DUŠI. fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan Broj 1-4 (2009)/1-2 (2010) ARISTOTEL: O DUŠI fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan Uvod Predstavljamo danas Aristotelovo djelo koje se naziva περι ψυχης; latinski je naziv De anima, a hrvatski O duši. Da

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ARISTOTELOVA PRAKTIČNA FILOZOFIJA I ETIKA

ARISTOTELOVA PRAKTIČNA FILOZOFIJA I ETIKA Naslov izvornika ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΟΥΣ ΗΘΙΚΑ ΝΙΚΟΜΑΧΕΙΑ Predložak grčkog teksta prema izdanju: Aristotelis ETHICA NICOMACHEA Recognivit brevique adnotatione critica instruxit I. Bywater MCMLXX ARISTOTELOVA PRAKTIČNA

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Željko Kaluđerović. Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, Dr. Zorana Đinđića 2, RS Novi Sad

Željko Kaluđerović. Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, Dr. Zorana Đinđića 2, RS Novi Sad Izvorni članak UDK 128:141.141(091)Tales Primljeno 21. 1. 2015. Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, Dr. Zorana Đinđića 2, RS 21000 Novi Sad zeljko.kaludjerovic@gmail.com Talesov

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα