STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI"

Transcript

1 Arhe XIV, 27/2017 UDK 1 Aristoteles 111 Originalni naučni rad Original Scientific Article ŽELJKO KALUĐEROVIĆ 1 Filozofski fakultet, Univerzitet u Novom Sadu STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Sažetak: Autor ispitivanje Aristotelovog određenja, ali i nastanka i cilja, mudrosti započinje rečenicom koja otvara Metafiziku ( Svi ljudi po prirodi teže saznavanju ), koja je ključna za razumevanje čitavog ovog spisa, i koja istovremeno otkriva motiv celokupnog stvaralaštva filozofa iz Stagire. Ova samorazumljiva ljudska žudnja za saznavanjem je, po Aristotelu, zbog svoje prirodne utemeljenosti nezavisna od bilo kakvih pragmatičnih i utilitarnih namera. U tekstu se, zatim, analiziraju različiti tipovi saznavanja, koje Stagiranin gradira od najnižeg opažanja, preko sećanja, pamćenja i predstavljanja, iskustva i umeća, do mudrosti, koja se nalazi na vrhu lestvice načina saznavanja. Pojam mudrosti, prema ovim razmatranjima, baziran je prevashodno na znanju uzroka. Moglo bi se reći da što se viši i opštiji uzroci znaju, tim se neko ima smatrati mudrijim. Ovaj najviši tip saznavanja treba, dakle, da demonstrira šta stvari jesu i zašto jesu. Autor je istraživanjem, primarno Α knjige Metafizike, utvrdio da mudrost, osim što je znanost o opštem, predstavlja najtežu i najtačniju znanost, koja se može potpunije poučavati i koja dominira nad svim ostalim znanostima. Konačno, jedino mudrost, metafizika, znanost prvih principa potpuno odgovara pojmu znanosti koja teži istini i čija je svrha znanje radi znanja. Ključne reči: Aristotel, određenje, mudrost, saznavanje, načela, uzroci, znanost, metafizika Prva rečenica prve knjige Metafizike, Svi ljudi po prirodi teže saznavanju 2 (Πάντες ἄνθρωποι τοῦ εἰδέναι ὀρέγονται φύσει), ključna je za razumevanje čitavog ovog spisa, istovremeno, ona otkriva i motiv celokupnog Aristotelovog stvaralaštva. Ova, po Stagiraninu, samorazumljiva ljudska žudnja za saznavanjem je zbog svoje prirodne utemeljenosti nezavisna od bilo kakvih pragmatičnih i utilitarnih namera. Kao ilustracija ove tvrdnje navodi se aktivnost čula koja se, iako donose i neposrednu korist, vole, pre svega, zbog njih sa- 1 adresa autora: zeljko.kaludjerovic@ff.uns.ac.rs 2 Prev. Ž. Kaluđerović. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 3, 980a21. Ladanov prevod iste rečenice je: Svi ljudi teže znanju po naravi (Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb 1988, str. 1, 980a21). Grčko εἰδέναι ( saznavanje ) u neposrednoj je vezi sa terminima εἴδω, ὁράω, εἶδον, οἶδα, u smislu videti, gledati, ali i uvideti, sagledati, razumeti, znati, sazna(va)ti (Detaljnije videti u: H. G. Liddell, R. Scott, H. S. Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford University Press, Oxford 1996, p. 483). Ovom čuvenom rečenicom Hankinson (R. J. Hankinson) započinje istraživanje strukture aristotelovski pojmljene nauke, u članku pod nazivom Filozofija nauke (R. J. Hankinson, «Philosophy of Science», u: The Cambridge Companion to ARISTOTLE, Cambridge University Press, Cambridge 1995, p. 109). 101

2 102 ARHE XIV, 27/2017 mih, a naročito najvažnije među njima, čulo vida. Ovo čulo (prev. Ž. Kaluđerović) mnoge razlike pokazuje (πολλὰς δηλοῖ διαφοράς) i najviše omogućava spoznaju (μάλιστα ποιεῖ γνωρίζειν). 3 Nakon uvodnog razmatranja Stagiranin prelazi na određivanje različitih tipova saznavanja. 4 Na dnu lestvice je čulnost odnosno opažanje (αἴσθησις), koje se može odrediti kao neposredna datost pojedinačnih čulnih stvari u njihovoj pojedinačnosti. Ovo svojstvo je odlika kako ljudi tako i životinja. Neke životinje sudeluju i u višem tipu saznavanja koji Aristotel označava kao sećanje, pamćenje (μνήμη) i predstavljanje (φαντασία), 5 na osnovu čega se vrši dodatna diferencijacija među životinjama na manje i više razborite (φρόνιμα, φρονιμώτερα). 6 Pamćenje dopušta zadržavanje čulno doživljenog, te njegovim povremenim predstavljanjem omogućava učenje. 3 Nešto dalje u tekstu (Met.981b11-13), Aristotel će, bez mnogo dvoumljenja, reći da nijedno od čula nije mudrost, i dodati da ona ne govore zašto nešto jeste već samo da jeste. U spisu O opažanju i o opažajnom (Περί αισθήσεως και αισθητών) 437a3-5, Stagiranin ponavlja svoju tezu o superiornosti vida u odnosu na ostala čula, naglašavajući da se to dešava spram onog nužnog i po sebi (προς τας ανάγκας... και καθ εαυτήν). U istoj rečenici on, istina, dodaje da je čulo sluha bolje u odnosu na um i po pridolazećem (προς... νουν, κατά συμβεβηκός). 4 Vid. i An. Post.100a3-9. U ovom stepenovanju saznavanja kod Aristotela, teško da može biti govora o fenomenologiji svesti. Stagiranin jeste svest u njenoj osnovnoj strukturi shvatio na jedan relativno reflektovan način. No, suština svesti kao samootkrivanje onoga što jeste u svesti je dijalektičko-spekulativni proces, gde tek kada je svest razumljena u njenoj duhovnoj biti moguće je njeno imanentno kretanje ka vlastitim višim oblicima. Drugačije rečeno, filozofsko dokazivanje nužnosti razvitka svesti koje vodi do najviše forme svesti, apsolutnog znanja, to jest do filozofske biti svesti, nije moguće ukoliko se svest ne shvati kao duh. Ovakvo nešto ostvarivo je tek kod Hegela (G. W. F. Hegel), gde filozofija svoj metafizički početak obrazlaže posredstvom fenomenologije duha, to jest filozofskog dokazivanja nužnosti razvitka svesti u njenoj istoriji, razvitka koji vodi ka, već pomenutoj, najvišoj formi svesti. 5 Pri kraju trećeg poglavlja sedme knjige Nikomahove etike (1147b4-5), Stagiranin beleži da životinje nemaju opštih zamisli ili pretpostavki (καθόλου ὑπόληψιν), nego samo predstavu i pamćenje pojedinosti (καθ ἕκαστα φαντασίαν καὶ μνήμην). 6 Upotreba reči φρόνιμος na dva mesta u Α knjizi Metafizike (980b21-25), a u vezi životinja, pobuđivala je asocijacije na razboritost koja, na osnovu pasaža iz EN1140b20-21, po nužnosti mora biti sposobnost činjenja ljudskih dobara, istinski i prema razumu. Phronesis je pojam koji se mnogostruko iskazuje (πολλαχῶς λεγομένων), pa njegovo prisustvo kod životinja treba da se razmatra u širem smislu, i on kod njih ne podrazumeva nikakvo prisustvo logosa. Ovaj širi aspekt razmatranja razboritosti određuje se u razlici njenog poimanja kod ljudi i životinja. U EN1141a22-28, Aristotel napominje da svaka vrsta naziva razboritim onoga ko dobro razmatra ono što se tiče nje same, stoga i neke životinje mogu biti razmatrane kao razborite ukoliko imaju moć predviđanja stvari koje se tiču njihovih života. Aristotelovo generalno stanovište je da životinje nemaju verovanja (πίστις), mnenja (δόξα), rasuđivanja (λογισμός), mišljenja (λόγος), razuma (διάνοια) i uma (νοῦς). Ovakvu tezu Stagiranin brani u mnogim spisima: O duši (404b4-6, 414b18-19 sa i 415a7-8, 428a19-24, 433a12, 434a5-11), O delovima životinja (641b7), Eudemova etika (1224a27), Politika (1332b5), Nikomahova etika (1098a3-4), Metafizika (980b28), Pamćenje i sećanje (450a16). Detaljnije videti u autorovom tekstu. Ž. Kalu-

3 STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI 103 Čovek je, s druge strane, u posedu jedne više moći saznavanja, koja nastaje iz (prev. Ž. Kaluđerović) mnoštva pamćenja jedne te iste stvari (πολλαὶ μνῆμαι τοῦ αὐτοῦ πράγματος) i koju Aristotel naziva iskustvo (ἐμπειρία). Iskustvo je neposredno i konkretno znanje, znanje koje, ipak, daje informaciju samo o pojedinačnoj stvari, pa se ono i ne može poučavati. Potom dolazi umeće (τέχνη), u čijoj osnovi je opštost znanja. 7 Stagiranin, kao što to često čini, daje primer iz medicine. Pretpostaviti kako je Kaliji obolelom od određene bolesti pomogao odgovarajući lek, i kako Sokratu i brojnim drugim pojedincima obolelim od iste bolesti pomaže isti taj lek, pripada iskustvu. Znati, pak, da taj lek pomaže svima koji su oboleli od dotične bolesti jeste stvar umeća. Noseće reči u tekstu su καθ ἕκαστον (Met.981a9), koje znače svaki pojedini, i koje pokazuju da je osnovna karakteristika iskustva spoznaja pojedinačnosti, i κατ εἶδος (Met.981a10), što u datom kontekstu znači prema vrsti, i što govori da je umeće spoznaja opštosti. Umeće se može, modernije rečeno, odrediti i kao znati kako. Čovek umeća, umešnik, jeste onaj koji zna kako da uradi odgovarajuće stvari, onaj koji zna koja sredstva treba upotrebiti da bi se postigli željeni rezultati. Umeće se, stoga, može i poučavati. Aristotel, istina, kaže da se često može desiti da čovek iskustva bude veštiji i sposobniji od čoveka umeća, i to baš zbog svog boljeg poznavanja pojedinačnih slučajeva. U konačnom zbiru, oni koji poseduju umeće imaju se smatrati mudrijim od onih koji poseduju samo iskustvo. Razlog tome je, kako navodi Stagiranin, što umeće daje znanje uzroka, dok iskustvo ne. Oni koji deluju pomoću iskustva znaju ὅτι (činjenice, doslovno šta ), dok oni koji deluju pomoću umeća znaju διότι (razloge, doslovno zašto ) (Met.981a28-30). 8 đerović, Aristotelovo razmatranje logosa, volje i odgovornosti kod životinja, u: Filozofska istraživanja, 122, god. 31, sv. 2, Zagreb 2011, str O tome Aristotel piše na više mesta u svojim delima: Met.981a5-7, 981a16; Phys.247b5-248a2; An. Post.99b20-100a14. 8 Nakon analize prve knjige Nikomahove etike moglo bi se konstatovati da je Stagiraninova praktička filozofija egzistencijalistička, jer ona polazi od onoga što jeste, od činjenica (ὅτι), dok je teorijska filozofija u bitnom smislu esencijalistička, pošto ona nužno polazi od načela, od razloga (διότι) (Dodatno konsultovati i: M. A. Perović, Filozofija morala, Cenzura, Novi Sad 2013, str ). U parafraziranom delu teksta iz Metafizike mogu se registrovati određene aporije. Aristotel, na primer, kaže (prev. Ž. Kaluđerović) da je umeće u većoj meri od iskustva znanost (τέχνην τῆς ἐμπειρίας ἡγούμεθα μᾶλλον ἐπιστήμην εἶναι) (Met.981b8-9). Na ovom mestu, sledeći samog Stagiranina, nije umesno upotrebljavati bilo kakvu komparaciju, jer ako umeće i jeste znanost onda to iskustvo zasigurno nije. Na stranu to što, recimo u EN1139b a23, Aristotel oštro razdvaja znanost i umeće. Drugi primer je kada Stagiranin nešto kasnije (Met.981b23-24) govori o matematičkim umećima kod egipatskih sveštenika. Čitajući nakon ovoga dalje Aristotela, uočava se da je za matematiku uvek rezervisan status znanosti (ἐπιστήμη), a ne umeća (τέχνη). Umeće se kasnije vezuje za svoju tradicionalnu sferu i zadrža-

4 104 ARHE XIV, 27/2017 Na vrhu lestvice načina saznavanja nalazi se mudrost (σοφία). 9 Pojam mudrosti, prema ovim razmatranjima, baziran je pre svega na znanju uzroka. Moglo bi se reći da što se viši i opštiji uzroci znaju, tim se neko ima smatrati mudrijim. Ovaj najviši tip saznavanja treba da demonstrira šta stvari jesu i zašto jesu. Jedino mudrost, metafizika, znanost prvih principa, potpuno odgovara pojmu znanosti koja teži istini i čija je svrha znanje radi znanja. 10 Pošto je evidentno da je mudrost znanost o određenim načelima i uzrocima, Aristotela je zanimalo o kojim i kakvim je uzrocima i načelima reč. Pre nego što odgovori na to pitanje, on će prethodno navesti šta je to što karakteriše znanje mudraca. Prvo, mudrac zna sve koliko god je to moguće iako pri tom ne poseduje znanje baš o svakoj pojedinosti. Mudrac, dalje, zna teške stvari odnosno ono što čoveku nije lako da spozna. On je i tačniji u izlaganju. On je, takođe, sposoban da poučava o uzrocima. Njegovo je znanje radi samog znanja. I poslednje, njegovo nije da sluša tj. da se pokorava nego da zapoveda (Met.982a6-19). 11 va prevashodno osobinu spoznajne moći koja je vezana za poietička znanja, dok znanost postaje spoznajna moć karakteristična za, najviše rangirana, teorijska znanja u koja spada i pomenuta matematika. Ove i još neke druge nedoumice samo ukazuju da je Aristotel razvijao i usavršavao svoju filozofsku terminologiju, te da se na pojedinim mestima Α knjige njegove Metafizike nalaze u upotrebi i neki tradicionalni, u uobičajenoj komunikaciji korišćeni, termini bez striktno filozofskog značenja. 9 Iako prvo poglavlje prve knjige Metafizike počinje bez pominjanja mudrosti, na njegovom kraju (Met.981b27-29) uočava se namera da se pokaže da svi pretpostavljaju da se σοφία odnosi na prve uzroke i načela (πρῶτα αἴτια καὶ... ἀρχὰς). Slično tvrdi i Alan (D. J. Allan), dodajući da Stagiraninovu sophiu odlikuje velika spekulativnost, poput one Anaksagorine (D. J. Allan, The Philosophy of Aristotle, Oxford University Press, Oxford 1979, p. 70). Jeger (W. Jaeger) je napisao da su prvo i drugo poglavlje Α knjige Metafizike, u stvari, detaljnija razrada onoga što Aristotel pominje u svom Protreptikosu (Nagovoru na filozofiju) (npr. u 53. fragmentu) (W. Jaeger, Aristoteles Grundlegung einer Geschichte seiner Entwicklung, Weidmann, Zürich 1985, s. 68 i dalje). 10 U kasnijim podelama, uz metafiziku, ta počast pripašće i fizici i matematici (Met.1025b a23, 1064a b6; Top.145a15-18; EN1139a26-33). U Nikomahovoj etici Aristotel znanost (ἐπιστήμη), zajedno sa umom (umnošću) (νοῦς), mudrošću (σοφία), razboritošću (φρόνησις) i umećem (τέχνη), shvata kao pet načina kojima duša postiže istinu pomoću potvrđivanja ili poricanja. Potom se ἐπιστήμη, νοῦς i σοφία grupišu kao sposobnosti saznavanja (τὸ ἐπιστημονικόν), koje imaju teorijski karakter, budući da su okrenute nužnim i nepromenljivim stvarima. Na drugoj strani ostaju φρόνησις i τέχνη kao sposobnosti prosuđivanja (τὸ λογιστικόν), koje zadržavaju praktičko-poietički karakter zato što uvek imaju posla sa propadljivim stvarima koje nisu nužne. Znanost je ovde shvaćena kao teorijska disciplina koja se bavi nužnim i večnim stvarima koja se želi zbog nje same. U Ζ knjizi Nikomahove etike (1139b31-32), ἐπιστήμη je određena kao sposobnost dokazivanja (ἕξις ἀποδεικτική), koja postupa apodiktički, demonstrativno, gradeći dokaze na osnovu već pretpostavljenih istinitih premisa, načela, ne pitajući pri tom o samim ovim načelima. 11 Premda na početku ovog pasusa, i još jednom nešto kasnije, Aristotel skromno izjavljuje

5 STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI 105 Stagiranin, zatim, daje određenje mudrosti 12 (Met.982a19-982b7): Takve su zamisli i toliko ih je, dakle, koje imamo o mudrosti i o mudracima. A od ovih [odlika], znanje svega nužno pripada onome ko najviše poseduje sveopšte znanje. Jer taj, na neki način, zna svo podležeće, a upravo je to i najteže ljudima da saznaju, ono najopštije, jer ono je najudaljenije od opažanja. Najtačnije, pak, od znanosti su one koje se najviše odnose na ono što je prvo. Tačnije su one [znanosti] koje se izvode iz manje [načela] od onih koje obuhvataju dodatke, kao što je aritmetika [tačnija] od geometrije. Osim toga, poučnija je ona [znanost] koja motri uzroke, jer poučavaju oni koji navode uzroke svake pojedinosti. A saznavanje i razumevanje sebe radi, najviše pripadaju znanosti o onom što je najviše saznatljivo. Jer onaj koji izabira saznanje radi njega samog, ponajpre će izabrati najvišu znanost, a takva je ona o tome što je najviše saznatljivo; a najsaznatljivije je ono prvo i uzroci. Jer kroz njih i iz njih saznaje se sve ostalo, a ne ono preko podležećeg. Od svih znanosti je najpodobnija da vlada, i podobnija je od njoj podređenih, ona koja zna zbog čega treba učiniti svaku pojedinost; a to je dobro svake pojedinosti, uopšte, ono najbolje u celokupnoj prirodi τὰς μὲν οὖν ὑπολήψεις τοιαύτας καὶ τοσαύτας ἔχομεν περὶ τῆς σοφίας καὶ τῶν σοφῶν, τούτων δὲ τὸ μὲν πάντα ἐπίστασθαι τῷ μάλιστα ἔχοντι τὴν καθόλου ἐπιστήμην ἀναγκαῖον ὑπάρχειν οὗτος γὰρ οἶδέ πως πάντα τὰ ὑποκείμενα. σχεδὸν δὲ καὶ χαλεπώτατα ταῦτα γνωρίζειν τοῖς ἀνθρώποις, τὰ μάλιστα καθόλου πορρωτάτω γὰρ τῶν αἰσθήσεώς ἐστιν. ἀκριβέσταται δὲ τῶν ἐπιστημῶν αἳ μάλιστα τῶν πρώτων εἰσίν αἱ γὰρ ἐξ ἐλαττόνων ἀκριβέστεραι τῶν ἐκ προσθέσεως λαμβανομένων, οἷον ἀριθμητικὴ γεωμετρίας. ἀλλὰ μὴν καὶ διδασκαλική γε ἡ τῶν αἰτιῶν θεωρητικὴ μᾶλλον οὗτοι γὰρ διδάσκουσιν οἱ τὰς αἰτίας λέγοντες περὶ ἕκαστον. τὸ δ εἰδέναι καὶ τὸ ἐπίστασθαι αὐτῶν ἕνεκα μάλισθ ὑπάρχει τῇ τοῦ μάλιστα ἐπιστητοῦ ἐπιστήμῃ. ὁ γὰρ τὸ ἐπίστασθαι δι ἑαυτὸ αἱρούμενος τὴν μάλιστα ἐπιστήμην μάλιστα αἱρήσεται, τοιαύτη δ ἐστὶν ἡ τοῦ μάλιστα ἐπιστητοῦ, μάλιστα δ ἐπιστητὰ τὰ πρῶτα καὶ τὰ αἴτια διὰ γὰρ ταῦτα καὶ ἐκ τούτων τἆλλα γνωρίζεται, ἀλλ οὐ ταῦτα διὰ τῶν ὑποκειμένων. ἀρχικωτάτη δὲ τῶν ἐπιστημῶν, καὶ μᾶλλον ἀρχικὴ τῆς ὑπηρετούσης, ἡ γρωρίζουσα τίνος ἕνεκέν ἐστι πρακτέον ἕκαστον τοῦτο δ ἐστὶ τἀγαθὸν ἐν ἑκάστοις, ὅλως δὲ τὸ ἄριστον ἐν τῇ φύσει πάσῃ. da će samo pretpostaviti (ὑπολήψεις) šta je to što karakteriše mudraca, iz daljeg toka izlaganja uočava se, ipak, mnogo veća uverenost u ono što se izlaže od pukog pretpostavljanja. 12 U dijalogu O filozofiji (fr. 8) Aristotel piše o različitim primenama i značenjima sophie, u kontekstu oporavka ljudskog roda od katastrofa koje ga periodično pogađaju. Sophia, tako, evoluira od jednostavnog postignuća gajenja žita, preko arhitektoničkih umeća i uspostavljanja političkih i zakonskih normi i poredaka, do bavljenja prirodom i, na koncu, motrenja nepromenljivih i nepropadljivih božanskih stvari. Detaljnije videti u: W. K. C. Guthrie, A History of Greek Philosophy VI, Cambridge University Press, Cambridge 1981, pp Prev. Ž. Kaluđerović. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 6-7, 982a19-982b7. Ladanov prevod glasi: Dakle, takve su i tolike pretpostavke koje imamo o mudrosti i

6 106 ARHE XIV, 27/2017 Iz ovog opširnog određenja mudrosti tj. prve filozofije, koja je potom nazvana metafizika, 14 kasniji komentatori najčešće izvode sledeće teze: 1. Mudrost je znanost o (sve)opštem; ona se proteže na sve strane odnosno na svo podležeće (πάντα τὰ ὑποκείμενα). 2. Mudrost je najteža znanost, jer se bavi najopštijim stvarima koje su najviše udaljene od čulnog opažanja, pa se samim tim i najteže spoznaju Mudrost je najtačnija znanost jer radi sa onim prvim (τὰ πρῶτα). Tačnija je ona znanost čiji je predmet manje složen odnosno određen manjim brojem načela. Tako je, verovatno, i aritmetika jer ne proučava dimenzije jednostavnija, a samim tim i tačnija od geometrije Mudrost se može i potpunije poučavati, jer ona saznaje uzroke stvari, pa time poseduje i sposobnost poučavanja u većoj meri. 5. Mudrost je znanje radi znanja, štaviše ona je najviša znanost i znanost o najvišem. Ona je znanje radi sebe same i ima posla sa onim što je najsaznatljivije. Ona razmatra prva načela i uzroke, a kroz njih sve ostalo biva saznatljivo. mudracima. Među tima značajka o spoznaji svega nužno mora pripadati onomu tko najviše posjeduje znanost o sveopćem, jer taj nekako već zna sve podmete, a upravo je te stvari ljudima najteže shvatiti, one koje su najopćenitije, jer su najudaljenije od sjetila. A najtočnije od znanosti su one koje se bave prvim počelima; i one što se zasnivaju na manje (počela) točnije su od onih koje ih imaju i po dodatku, kao što je računstvo točnije od zemljomjerstva. Uz to je i poučnija znanost koja razmatra uzroke, jer poučavaju oni koji izlažu uzroke o svakoj pojedinosti. I znanje i razumijeće koji su poradi sebe samih najviše se nalaze u znanosti o onome što je najspoznatljivije. Jer onaj koji izabire znanje radi njega samoga, izabrat će najviše i najvišu znanost, a to je o onome što je najspoznatljivije; najspoznatljiviji su prva počela i uzroci, jer s pomoću njih i iz njih spoznaju se ostale stvari, ali ne i one same s pomoću podmeta; a od svih je znanosti najpodobnija vladati (i podobnija je vladati od neke podređene) ona koja zna poradi čega treba činiti svaku stvar; a to je Dobro svake pojedinosti, i u cijelosti ono Najbolje u cjelokupnoj naravi (Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb 1988, str. 6-7, 982a19-982b7). 14 Koplston (F. Copleston) piše: Metafizika je, dakle, prema Aristotelu, mudrost par excellence, a filozof ili ljubitelj mudrosti jeste onaj koji želi znanje o krajnjem uzroku i prirodi stvarnosti, a želi to znanje radi njega samog (Prev. S. Žunjić. F. Koplston, Istorija filozofije Grčka i Rim, Beograd: BIGZ, Beograd 1991, str. 324). 15 Aristotel uobičajeno opisuje znanost kao put od partikularnog, koje je bliže čulima, do univerzalnog, koje je najudaljenije od opažanja (Met.982a23-25) (o ovome će detaljnije biti govora u nastavku rada). Na jednom mestu u Fizici (184a21-184b14) on tvrdi (naizgled) drugačije, naime, da treba napredovati od onoga što je opšte ka pojedinačnom. Gatri (W. K. C. Guthrie) smatra da je ključ razumevanja ove prividne protivrečnosti u Stagiraninovim spisima u tome što se ono opšte, uopšte, sasvim (τὸ καθόλου) odnosi na različite stvari u različitim delima (W. K. C. Guthrie, A History of Greek Philosophy VI, Cambridge University Press, Cambridge 1981, p. 200). 16 To Stagiranin i piše u Drugoj analitici 87a31-35.

7 STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Mudrost je znanost koja dominira nad svim ostalim znanostima, takoreći vladarska znanost. Ona daje svim drugim znanostima načela, ali i ih sama ne prima od njih. Mudrost zna svrhu svih ostalih znanosti kao i to zašto svaka stvar mora biti učinjena. Svrha je dobro svake stvari, a dobro (τἀγαθόν) i ono zbog čega (οὗ ἕνεκα) su za Aristotela jedan od uzroka, i to onaj finalni. Postoji li možda protivrečnost između druge i pete odrednice? Da li je moguće da nešto istovremeno bude i najsaznatljivije i najteže saznatljivo? Ono što je najsaznatljivije (μάλιστα ἐπιστητά) jesu prva načela i uzroci. Superlativ (μάλιστα), u stvari, sugeriše da oni treba da budu razumljeni u najvišem smislu, potom, da baš oni treba da budu saznati ili da, pre svega, oni treba da budu saznati, čak i da najbolje moguće treba da budu shvaćeni. Mudrost je najdostojnija saznanja jer se bavi prvim načelima i uzrocima svih stvari, a ta načela i uzroci su istinitije saznatljivi po sebi, nego po svojoj primeni (jer primena zavisi od njih, a obrnuto ne vredi), i u tom smislu se oni mogu razmatrati kao, najsaznatljiviji. To, dakako, ne znači da su prva načela i uzroci najsaznatljiviji u odnosu na nas. Oni su, naprotiv, najteži za saznavanje, jer naše saznanje nužno započinje čulnim datostima, a za prelazak od onoga što je neposredno poznato ka krajnjim načelima potreban je veliki misaoni napor. Zato do njih stižu samo retki, koji se, potom, ocenjuju kao izvrsniji od ostalih. Autor ovog rada nakon, u helenskom duhu rečeno, davanja razloga (λόγον διδόναι), smatra da nema i da ne mora biti kontradikcije između gore navedenih tvrdnji. U prvom delu Α knjige Metafizike, priroda tražene znanosti bila je određivana na, unekoliko, empirijski način. Aristotelov istraživački hod teče od najelementarnijih čulnih opažaja pa sve do ispitivanja najviših uzroka. Njegov metod nije se sastojao u uzimanju npr. ideje mudrosti i dedukovanju iz te ideje šta bi mudrost trebala da bude i koji su njeni uslovi. On čini upravo suprotno. Ma koliko u Stagiraninovom korpusu postojalo mesta koja idu u prilog tezi da se njegova filozofija zasniva na empiriji, i ma kako se tvrdilo da je on učinio principom znanja i saznanja ono što se naziva iskustvom, to nije sva istina o njemu. Hegel, takođe, priznaje postojanje empirijske crte u Aristotelovom radu, ali i dodaje: Može se reći da je Aristotel jedan savršeni empiričar, naime jedan empiričar koju u isto vreme misli Njegova empirija je upravo totalna. 17 Stagiraninova filozofija, sem empirijske crte, u isto vreme sadrži i najdublje pojmove, 18 te je sigurno da u pogledu spekulativne dubine Aristotel prevazilazi sve svoje prethodnike, uključujući i Platona. On je, dodaje Hegel: 17 Prev. N. M. Popović. G. V. F. Hegel, Istorija filozofije II, Kultura, Beograd 1964, str Na delu je, u stvari, jedinstvo empirijskog i spekulativnog uvida.

8 108 ARHE XIV, 27/2017 Tako obiman i spekulativan kao niko drugi. 19 Stagiranin gotovo uvek sintetizuje razmatrano empirijsko i dovodi ga do pojma, i to je trajna zasluga njegovih sačuvanih spisa. Ne treba zaboraviti da mudrost, po Aristotelu, ne cilja na, recimo, prijatnost života, već ova znanost kulminira u kontemplaciji najviših uzroka, i to, kao što je napomenuto, zbog sebe same. Treće poglavlje prve knjige Metafizike (983a24-32) otvara Stagiraninovo izlaganje o uzrocima: 20 Sad je jasno da treba steći znanost o prvobitnim uzrocima (jer kažemo da znamo svaku pojedinu [stvar] [samo] [onda] kad mislimo da poznajemo njen prvi uzrok), a o uzrocima se govori četvorostruko. U jednom [smislu] kažemo da uzrok jeste bivstvo i ono što bejaše biti (jer se ono zašto konačno svodi na pojam [stvari], a ono prvo zašto jeste uzrok i načelo), u drugom [smislu] [uzrok] je tvar i podležeće, u trećem, odakle je načelo kretanja, i u četvrtom, uzrok koji je oprečan ovom, zbog čega i dobro (jer to je cilj svega nastajanja i kretanja) Ἐπεὶ δὲ φανερὸν ὅτι τῶν ἐξ ἀρχῆς αἰτίων δεῖ λαβεῖν ἐπιστήμην (τότε γὰρ εἰδέναι φαμὲν ἕκαστον, ὅταν τὴν πρώτην αἰτίαν οἰώμεθα γνωρίζειν), τὰ δ αἴτια λέγεται τετραχῶς, ὧν μίαν μὲν αἰτίαν φαμὲν εἶαι τὴν οὐσίαν καὶ τὸ τί ἦν εἶναι (ἀνάγεται γὰρ τὸ διὰ τί εἰς τὸν λόγον ἔσχατον, αἴτιον δὲ καὶ ἀρχὴ τὸ διὰ τί πρῶτον), ἑτέραν δὲ τὴν ὕλην καὶ τὸ ὑποκείμενον, τρίτην δὲ ὅθεν ἡ ἀρχὴ τῆς κινήσεως, τετάρτην δὲ τὴν αντικειμένην αἰτίαν ταύτῃ, τὸ οὗ ἕνεκα καὶ τἀγαθόν τέλος γὰρ γενέσεως καὶ κινήσεως πάσης τοῦτ ἐστίν. Mnogi filozofi pokušali su da pojme odakle vodi poreklo Stagiraninovo učenje o četiri uzroka. Jeger, u pominjanoj knjizi o temeljima povesti razvoja Aristotela, 22 kaže da Stagiranin uopšte ne iznosi argumente na osnovu ko- 19 Prev. N. M. Popović. G. V. F. Hegel, Istorija filozofije II, Kultura, Beograd 1964, str Deo teksta koji sledi preuzet je, sa izvesnim modifikacijama u komentarima i vlastitim prevodom, iz uvodnog dela autorovog članka o Aristotelovom učenju o uzrocima. Videti: Ž. Kaluđerović, Stagiraninova aitiologija, u: Znakovi vremena, God. XVI, broj 59, Sarajevo 2013, str Prev. Ž. Kaluđerović. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 9, 983a Ladan na sledeći način prevodi ovo mesto: Sad je bjelodano kako valja steći znanost o prvotnim uzrocima (jer kažemo kako znamo kakvu pojedinost kad mislimo da spoznajemo njezin prvotni uzrok), a govori se o četiri vrste uzroka, od kojih je kažemo jedan bivstvo i bit (jer zašto napokon se svodi na pojam stvari, dok je prvotno zašto uzrok i počelo), drugi je uzrok tvar i podmet, treći je počelo kretanja, a četvrti je njemu oprečan uzrok, naime: poradi čega i Dobro (jer to je svrha svega nastajanja i kretanja (Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb 1988, str. 9-10, 983a24-32). O Aristotelovom učenju o uzrocima konsultovati i: Met.1013a b3; An. Post.94a20-23; GA715a 3-7; Phys.194b23-35, 198a Detaljnije videti kod Bonica (H. Bonitz) u njegovom Indexu. H. Bonitz, Index aristotelicus (Vol. 5), Walter de Gruyter & Co, Berlin 1975, 22b12-23a W. Jaeger, Aristoteles Grundlegung einer Geschichte seiner Entwicklung, Weidmann,

9 STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI 109 jih izlaže pomenutu klasifikaciju. Ovaj autor 23 dodaje da teleološka doktrina o uzrocima na kojoj Aristotel bazira sopstvenu metafiziku leži u osnovi cele prve knjige Metafizike, te da bi čitava koncepcija ove knjige 24 kolapsirala ako aitiologija Fizike ne bi bila u pozadini svakog napisanog reda. Nešto ranije u knjizi Jeger, istina, nudi odgovor na pomenutu dilemu o poreklu Aristotelove doktrine. On kaže da je svojevrsna novina to što Stagiranin svoje učenje o uzrocima genetički razvija iz istorije ranije filozofije. Ros (W. D. Ross), još jedan veliki autoritet za Aristotela, u svojim iscrpnim komentarima Fizike, 25 tvrdi kako nije poznato kako je Stagiranin dosegao do učenja o uzrocima. Ono se prosto zatiče u Aristotelovim spisima kao nešto poznato i samorazumljivo. On je do tog učenja mogao stići, smatra Ros, reflektovanjem čina umetničkog proizvođenja, kao i praćenjem toka prirodnih procesa. Ako se to desilo na taj način, onda su na Stagiraninov rad morala ostaviti traga i razmatranja koja su vršili njegovi prethodnici. Činjenica je da, ni na citiranom mestu niti bilo gde drugo u svom bogatom opusu, Aristotel ne pokušava da dedukuje uzroke, čak ne nagoveštava ni neke međukorake postupka zasnivanja vlastitog učenja. On, jednostavno, uvodi pomenuta četiri uzroka ne podrazumevajući neke druge. Podsećanje na delove Druge analitike verovatno će pojasniti zašto je tako. Na jednom mestu (An. Post.72b18-25) Aristotel napominje da nisu sve znanosti apodiktičke i da postoji i tzv. ne-apodiktička znanost. Mada na dotičnom mestu Stagiranin ne kazuje ništa pobliže o datoj znanosti, na čega je mislio naslućuje se kada se pročita poslednji pasus Druge analitike (100b5-17). Iz ovog pasusa najpre se saznaje kako nema (ili doslovno neće biti ) znanosti o načelima, da bi se potom saznalo i kako to ne znači da isti neće biti i shvatljivi, već da će načela biti dosegnuta duhovnim zrenjem, intuicijom, neposrednim dodirom uma. 26 Aristotel će sve to potkrepiti tvrdnjom kako načelo dokaza nije dokaz, Zürich 1985, s Jeger je, po enciklopediji Britanika (Encyclopedia Britannica), autor jedne od dve najuticajnije knjige napisane o Aristotelu tokom čitavog dvadesetog veka. Autor druge knjige, spomenut u Britanici, jeste Černis (H. Cherniss). 24 O strukturi i kompoziciji pojedinih knjiga Metafizike, pa i poglavlja unutar samih knjiga, pisali su brojni autori. Videti: W. Jaeger, Aristoteles Grundlegung einer Geschichte seiner Entwicklung, Weidmann, Zürich 1985, s , ; W. D. Ross, Aristotle s Metaphysics I, Oxford 1997, pp. XIII-XXXIII; C. Kirwan, Aristotle Metaphysics Books Γ, Δ, and Ε, Clarendon Press, Oxford 1993, pp ; S. Makin, Aristotle Metaphysics Book Θ, Clarendon Press, Oxford 2006, pp. XI-XXII; J. Annas, Aristotle s Metaphysics Books Μ and Ν, Clarendon Press, Oxford 2003, pp W. D. Ross, Aristotle s Physics, Oxford University Press, Oxford 1998, p Na pitanje kako um postaje umstven, Stagiranin je u Met.1072b20-21 odgovorio sa (prev. Ž. Kaluđerović): dodirujući i misleći tako da su isto mišljenje i mišljeno (θιγγάνων καὶ

10 110 ARHE XIV, 27/2017 kao što ni znanost nije načelo znanosti. On će, zatim, staviti um, noetičko mišljenje, da bude načelo znanosti, koji time popunjava mesto ranije neobjašnjene ne-apodiktičke znanosti. U poslednjem delu Druge analitike filozof iz Stagire kaže kako ne samo da je um načelo znanosti, nego je on, što je važnije, i načelo načela, i dodaje, kako se znanost kao celina odnosi prema celini stvari jednako onako kako se i um odnosi prema načelu. Načela su aksiomatska, samoizvesna i nisu predmet silogističkog dokazivanja. Bez takvih osnovnih i nedokazivih istina postojao bi ili regres u beskonačnost ili rđavi krug, a napredovanje u samim znanostima bilo bi nemoguće. Nakon ovoga već je izvesnije zašto Aristotel ne istražuje, recimo, ideju uzroka 27 iz koje bi potom a priori dedukovao njenu podelu na odgovarajuće vrste. Očekivano je, stoga, što se Aristotel u nastavku Α knjige Metafizike usmerio na ispitivanje učenja svojih prethodnika, 28 želeći da utvrdi da li se kod njih može pronaći neka druga vrsta uzroka. Ako se ne pronađe ni jedna druga, smatrao je Stagiranin, plodnost istraživanja ogledaće se u tome što će se posedovati veća pouzdanost i poverenje u rezultate vlastitog rada, izloženog najpre u Fizici. Još jedno pitanje bilo je predmet istraživanja potonjih komentatora Aristotelovih dela, a to je da li postoji dublji smisao u redosledu kojim on navodi svoje uzroke. Na maločas citiranom mestu u Metafizici (983a24-32) reνοῶν, ὥστε ταὐτὸν νοῦς καὶ νοητόν). Grčko θιγγάνω ( dotaći, dirati ) na prvi pogled zbunjuje zbog svojih čulnih asocijacija. Ono je u datom kontekstu svakako metafora, i ovim specifičnim izrazom misli se barem na dve stvari. Prvo, na odsustvo svake mogućnosti pogreške koja je karakteristična za opažanje vlastitim čulima (De an.430b29-31), i drugo, na odsustvo posrednika u slučaju dodirivanja. Tako da τὸ θιγεῖν, najverovatnije, označava poimanje koje je nepogrešivo i neposredno. 27 Grčku reč αἴτιον kod Aristotela teško je razlučiti od reči ἀρχή. On sam ih vrlo često upotrebljava u paru, prva načela i uzroci, pa zato i kaže na jednom mestu da su načelo i uzrok jedna priroda (μιὰ φύσις) (Met.1003b23), i da ovo dvoje slede jedno drugo bez obzira na to da li su ili ne objašnjeni istim pojmom. U Δ knjizi Metafizike na samom kraju kazivanja o načelu, Stagiranin još eksplicitnije poručuje da se u isto toliko značenja govori o uzrocima koliko je govoreno o načelima, i zaključuje (prev. Ž. Kaluđerović): Jer svi su uzroci načela (πάντα γὰρ τὰ αἴτια ἀρχαί) (Met.1013a17). 28 Za Stagiranina je filozofska tradicija temelj na koji se on oslanja, te iz mnogih stranica njegovih spisa izbija respekt spram preteča. Aristotel stalno traži ono zrnce istine koje će biti luča koja će se prenositi na naredne generacije, i zato je zahvalan starima nezavisno od toga da li je saglasan sa njihovim stavovima (Met.993b11-19) (u sličnom tonu Stagiranin piše i u SE183b17-26). Može se reći da je Aristotelu tradicijski niz od teologa preko fisiologa, pa sve do Platona, omogućio utemeljenje metafizike u A knjizi Metafizike. Detaljnije videti u autorovom radu. Ž. Kaluđerović, Aristotel kao istoričar filozofije, u: Zeničke sveske, broj 23/16, Zenica jun 2016, str

11 STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI 111 dosled je sledeći: formalni, materijalni, eficijentni i finalni uzrok. 29 U Fizici (194b23-35, 198a22-24) postoji jedna izmena u nabrajanju. Na prvo mesto stavljen je materijalni uzrok, a potom slede formalni, eficijentni i finalni. Da li je ova razlika puka koincidencija ili u sebi nosi neku skrivenu poruku koju treba odgonetnuti? Da li zaista navođenje formalnog uzroka kao prvog u Metafizici smera da istakne njegovu vodeću ulogu u Aristotelovom razumevanju metafizike? Da li je ta njegova naglašena uloga još pojačana umetnutom opaskom koja ide neposredno nakon pominjanja bivstva (οὐσίαν) i onoga što bejaše biti (τὸ τί ἦν εἶναι) ( jer se ono zašto konačno svodi na pojam [stvari], a ono prvo zašto jeste uzrok i načelo (ἀνάγεται γὰρ τὸ διὰ τί εἰς τὸν λόγον ἔσχατον, αἴτιον δὲ καὶ ἀρχὴ τὸ διὰ τί πρῶτον)? Da li je, s druge strane, redosled u Fizici takav, zbog toga što je prilikom klasifikovanja znanosti fizici pripala uloga discipline koja se, iako teorijska, bavi onim što je pokretno i neodvojivo od tvari, pa tu činjenicu treba istaći i prilikom nabrajanja uzroka? Ili jednostavno zato što će se onaj drugi, formalni, uzrok izučavati negde drugo podrobnije, pa mu drugo mesto u Fizici sasvim i pristaje? Autorovo mišljenje je da je premalo objašnjenja i uputa na osnovu kojih bi se, makar i implicitno, zaključilo da ima nečeg sudbonosnog u ovom Aristotelovom okretanju redosleda formalnog i materijalnog uzroka na navedenim mestima u Metafizici i Fizici. Da sled uzroka ne predstavlja nikakav misteriozni ključ za neko novo čitanje problema kauzalnosti, biće pokazano navođenjem nekih mesta iz Stagiraninovog corpusa koji obrađuju pomenutu problematiku. U Met.1013a b3 redosled izgleda ovako: materijalni, formalni, eficijentni i finalni uzrok, a u Met.1044a b1 on je sledeći: materijalni, eficijentni, formalni i finalni. I u Fizici postoji mesto gde je redosled neočekivan, naravno za one koji veruju u viši smisao ređanja uzroka. To je pasus u Phys.198a16-21, a uzroci su navedeni ovim redom: formalni, eficijentni, finalni i materijalni. U spisu Usnulo i budno stanje (Περὶ ὕπνου καὶ ἐγρηγόρσεως) 455b14-16, redosled uzroka je: finalni, eficijentni, materijalni i formalni uzrok. Za kraj ovog nabrajanja evo kako redosled uzroka izgleda u delu O rađanju životinja (Περὶ ζῴων γενέσεως) 715a4-7. Prvo je naveden finalni, za njim formalni, potom materijalni, i na kraju eficijentni uzrok. Na osnovu ovih navođenja iz Aristotelovih spisa može se uočiti da ne postoji nikakva zakonitost u ređanju ni jednog od uzroka, te da se samo na osnovu redosleda uzroka ne mogu povlačiti nikakve dalje implikacije o većoj ili manjoj važnosti pojedinih uzroka u celini Aristotelovog filozofskog stvaralaštva. 29 Autor je detaljno položio računa o sva četiri uzroka u, već pominjanom, radu o Aristotelovoj kauzalnoj shematici. Videti: Ž. Kaluđerović, Stagiraninova aitiologija, u: Znakovi vremena, God. XVI, broj 59, Sarajevo 2013, str

12 112 ARHE XIV, 27/2017 Osim podele na pomenute četiri vrste (εἴδη) uzroka, 30 Stagiranin u Metafizici i Fizici uvodi i njihovu dodatnu diferencijaciju, govoreći da se uzroci mogu razlikovati i u načinu (τρόπος), pri čemu se u svakom od ovih razlikuju po dva smisla (Met.1013b a25; Phys.195a27-195b21). Sumarno prikazana ova dva mesta izgledala bi ovako: Postoji šest načina uzroka: 1.) pojedinačni uzrok, 2.) rodni, 3.) pridolazeći, 4.) rodno-pridolazeći, 5.) spoj pojedinačnog i pridolazećeg, i 6.) spoj rodnog i rodno-pridolazećeg. Pored toga, uzroci mogu biti prikazani svojstveno (οἰκείως) i prema pridolazećem (κατὰ συμβεβηκός). Konačno, svaki od šest navedenih načina može biti razmatran u dva smisla, bilo kao udejstven (ἐνεργοῦντα) bilo kao moguć (δυνάμενα). 31 Pojašnjenje bi, na Aristotelovom tragu, moglo glasiti: Uzrok odgovarajuće statue može biti: 1.) pojedinačni uzrok, svojstveno (ili po sebi ), tj. vajar, 2.) rod pojedinačnog uzroka po sebi, tj. umetnik, 3.) pojedinačni pridolazeći uzrok, tj. Poliklet, 4.) rod pojedinačnog pridolazećeg uzroka, tj. čovek, 5.) spoj pojedinačnog uzroka po sebi i pojedinačnog pridolazećeg uzroka, tj. vajar Poliklet, i 6.) spoj roda pojedinačnog uzroka po sebi i roda pojedinačnog pridolazećeg uzroka, tj. umetnik-čovek (u stvari umetnički čovek ). I na ovom mestu pokazuje se koliko se obazrivo moraju razmatrati fundamentalni Stagiraninovi pojmovi, kao što je pojam uzroka. 32 Ne sme se povoditi za pukom istovetnošću jezičkog izraza i pritom prenebregnuti višeznačnost grčkog αἴτιον. 33 Zato jeste, između ostalog, i predmet istraživanja u 30 Za koje Lojd (G. E. R. Lloyd), u knjizi o razvoju i strukturi Aristotelovog mišljenja, kaže da su uvek razlučivi u logičkom smislu, ali ne i u stvarnosti. On piše da je tvar često kontrastirana sa ostala tri uzroka uzeta u celini (G. E. R. Lloyd, Aristotle: the Growth and Structure of his Thought, Cambridge University Press, Cambridge 1977, p. 60). Stejs (W. T. Stace), u osobenoj kritičkoj istoriji grčke filozofije, konstatuje da se formalni, eficijentni i finalni uzrok stapaju u jedinstveni pojam koji Aristotel zove oblikom stvari. Pošto je materijalni uzrok nesvodiv na bilo koji od preostala tri uzroka, Stejs zaključuje da se treba suočiti sa jednom jedinom antitezom, onom tvari i oblika (W. T. Stace, A Critical History of Greek Philosophy, MACMI- LLAN AND CO., LIMITED, London 1950, p. 274). I Vindelband (W. Windelband), slično kao i Stejs, beleži da su, nasuprot tvari, tri ostala principa samo različiti izrazi za istu stvar, s obzirom da (prev. N. Šašel, D. Grlić, D. Pejović) oblik stvara ne samo uzrok, nego i rezultat događanja, precizirajući da se ovo pre svega odnosi na slučaj organskog događanja (V. Vindelband, Istorija filozofije, BOOK & MARSO, Beograd 2007, str. 107). 31 O originalnosti Aristotelovog doprinosa rešenju aporije nastajanja posredstvom slojevitih pojmova mogućnost (δύναμις) i udejstvenost (ἐνέργεια), odnosno usvrhovljenost (ἐντελέχεια), detaljnije videti u autorovom tekstu. Ž. Kaluđerović, Mogućnost, udejstvenost i usvrhovljenost, u: Filozofski godišnjak, god. VIII, br. 8, Banja Luka 2012, str Aristotel je bio prvi koji je posvetio posebnu pažnju samom pojmu uzroka, premda kod njega nema formalne definicije uzroka uopšte. Umesto toga, kao što je navedeno, pokazano je da pojam uzroka može imati četiri vrste, šest načina, dva pripisivanja i dva smisla. 33 Imenica ženskog roda αἰτία, kao i njen na ovom mestu navedeni pandan u srednjem rodu

13 STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI 113 Δ knjizi Metafizike, koja razmatra mnogoznačno iskazane to jest jednakoimene stvari. U devetom poglavlju prve knjige Metafizike Aristotel, štaviše, zaključuje da je opšta pogreška njegovih prethodnika bila upravo u tome što su hteli da istraže elemente bića, ne razlikujući pritom osnovna značenja odgovarajućih filozofskih pojmova. Ovo ne znači da Stagiranin težište filozofskog istraživanja sa ontologije prebacuje na semantiku, kako bi se moglo, eventualno, zaključiti. Sve vreme mora se imati na umu da iza ove jezičke višeznačnosti i podela leži jedinstvo pojma i stvari, pri čemu je sama stvar i dalje u prvom planu. Povratak na drugo poglavlje Α knjige Metafizike pokazuje da Aristotel želi da pokaže da mudrost, u svom najtemeljnijem smislu, nije poietička disciplina. Prilikom izlaganja njenog nepoietičkog karaktera, Stagiranin daje i kratak pregled nastanka i cilja ove znanosti. Filozofija počinje čuđenjem (Met.982b11-21). 34 Preciznije rečeno, filozofiranje počinje sa čuđenjem oko očitih aporija, ide preko većih stvari poput nebeskih tela, pa stiže sve do nastanka čitavog univerzuma. Čuđenje, svakako, sadržava u sebi i dimenziju neznanja. Neznanje, napominje Aristotel, jeste neznanje uzroka. Ljudi se uvek čude kada vide posledicu a ne mogu da uoče uzrok njenog događanja. Svesnost ovog neznanja najčešće nastupa u trenutku kada čovek zaključi da se nešto odigrava na način koji je suprotan od uobičajenog. Primer koji se navodi su marionete od kojih niko ne očekuje da se kreću ili čak da igraju uz odgovarajuću muziku. Tada postaje jasno da postoji neki skriveni uzrok. Čovekova prirodna težnja za znanjem potpomognuta i nekom vrstom bojazni od neznanja, kao i neophodnom dozom drskosti, nagoni ljude da traže uzroke pomenutih pojava. Slični procesi dešavaju se i prilikom rešavanja geometrijskih, astronomskih ili bilo kojih drugih problema. Traženje uzroka odgovarajućih događaja Stagiranin je već nagovestio da će obaviti uz pomoć mudrosti, te se njegovo interesovanje u nastavku teksta αἴτιον, imaju najmanje dve grupe značenja. Osnovno je ono koje referira na uzrok, povod, razlog, početak, izvor, osnov. U drugom smislu reč je o krivici zbog prekršaja nekog reda stvari i tužbi, prigovoru. Ros kaže da od četiri Aristotelova uzroka samo dva, eficijentni i finalni, odgovaraju uobičajenom značenju uzroka u engleskom jeziku (W. D. Ross, Aristotle, METHUEN & CO LTD, BARNES & NOBLE INC, London, New York 1966, p. 73). 34 O čuđenju kao onome što pokreće na filozofiranje Aristotel piše i u spisu O nebu 294a11-28, ali i na drugim mestima (Vid. H. Bonitz, Index aristotelicus (Vol. 5), Walter de Gruyter & Co, Berlin 1975, 323a45-59). O istoj temi piše i Platon, na primer u Teetetu 155d i Filebu 14ce. Kod Platona čuđenje je pre svega usmereno na ideje (Parmenid 129c), dok je kod Aristotela to slučaj sa čulnim svetom (što je vidljivo i iz njegove beleške u PA645a5-17, gde na kraju pasusa (PA645a16-17) navodi (prev. Ž. Kaluđerović): Jer u svim prirodnim [bićima] postoji nešto začuđujuće (ἐν πᾶσι γὰρ τοῖς φυσικοῖς ἔνεστί τι θαυμαστόν). Aristotel, O delovima životinja (u O delovima životinja. O kretanju životinja. O hodu životinja), PAIDEIA, Beograd 2011, str , 645a Grčka reč θαυμάζειν, inače, sem čuđenja znači i zadivljenost, pa i poštovanje.

14 114 ARHE XIV, 27/2017 prve knjige Metafizike ponovo usmerava ka ovoj znanosti. Novi kvalitet mudrosti, koji on pominje (Met.982b25-28), jeste da je ona jedina uporediva sa slobodnim čovekom, a kako je slobodan jedino onaj čovek koji (prev. Ž. Kaluđerović) postoji zbog sebe, a ne zbog nekog drugog (ὁ αὑτοῦ ἕνεκα καὶ μὴ ἄλλου ὤν), tako je i mudrost jedina slobodna među znanostima, jer (prev. Ž. Kaluđerović) jedina je ona radi sebe same (μόνη γὰρ αὕτη αὑτῆς ἕνεκέν ἐστιν). Mudrost je i najdostojnija poštovanja i božanska je u dvostrukom smislu: prvo jer je jedino bog, 35 ili on ponajviše, može posedovati, i drugo, zato što je predmet ove znanosti bog, jer se on, kaže Aristotel, svima čini nekakvim uzrokom i načelom. Stagiranin ovaj segment razmatranja mudrosti zaključuje poznatom konstatacijom da su sve druge znanosti nužnije od mudrosti, ali da bolja nije nijedna (Met.983a10-11). Sažeto izlaganje prethodnih Aristotelovih stavova izgledalo bi ovako: polazna tačka ispitivanja bila je situirana u stvarima čulnog univerzuma. Postupak koji je sledio objašnjavanje je ovih stvari preko njihovih uzroka. A cilj koji treba dostići su prva načela i uzroci, koji će obezbediti potpuno zadovoljavajući odgovor na probleme oko kojih su se ljudi čudili. Stagiranin (Met.983a20-23) na koncu jednostavno kaže: 35 To što Aristotel koristi član za muški rod (ὁ ) uz imenicu θεός ( bog ), npr. u Met.983a6 i u 7. glavi Λ knjige Metafizike, nije, kao što su neki komentatori tvrdili, nikakav nagoveštaj monoteizma to jest personalnog Boga. Iz 8. glave iste Λ knjige može se, recimo, uočiti da broj nepokretnih pokretača o kojima se govori ne samo da nije jedan, nego čak varira između 47 i 55 (Met.1074a10-14). Na više mesta u Nikomahovoj etici (1101b19, 1101b23, 1122b20, 1123a10, 1123b18, 1134b28, 1137a28, 1145a23, 1158b35, 1159a7, 1160a24, 1162a5, 1164b5, 1178b8, 1179a24, 1179a25, 1179a30), naprosto se koristi množina i govori o bogovima (οἱ θεοί), što samo pokazuje da Aristotel, kao ni većina Grka, nije bio mnogo zainteresovan za određenje broja bogova. U spisu Velika Etika (1208b26-32), Stagiranin izričito kaže da greše oni koji misle da može postojati prijateljstvo prema bogu, jer niti za njegovog boga ima smisla reći da može biti predmet ljubavi, niti bi takav bog mogao da uzvrati našu ljubav. Kao što i u drugoj knjizi spisa O filozofiji, s pravom poriče svrsishodnost prinošenja žrtava i odavanja bilo kakvih drugih sličnih počasti bogovima. Bog filozofa iz Stagire nije nešto što se izdiže iznad sveta u istinsku sferu transcendencije, već je on prezentan u svim vidovima grčkog života i slojevima grčke stvarnosti. Aristotelov bog nije ni stvorio svet, koji je postojao oduvek i postojaće zauvek, nego mu je samo preko pokretanja prvog neba mišljenjem i kroz finalnu uzročnost obezbedio večito kretanje. Bog kao nepokrenuti pokretač, pokreće sve stvari na taj način što mu one teže, voleći ga. Njegov bog je i potpuno depersonalizovan, te je neopravdano stavljati veliko slovo prilikom prevoda Metafizike, ili bilo kog drugog Stagiraninovog spisa, jer u njegovoj teologici nema mesta za bogočoveka i prava religiozna osećanja. Aristotelovo određenje boga kao mišljenja mišljenja, konačno, samo je dosledno logički izvedena operacija koja sledi iz čina postavljanja mišljenja na pijedestal svega. Detaljnije o Stagiraninovom poimanju boga videti u autorovom radu. Ž. Kaluđerović, Aristotelov nepokretni pokretač, u: Filozofski godišnjak, god. VI, br. 6, Banja Luka 2009, str

15 STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI 115 Rečeno je dakle kakva je priroda tražene znanosti, i šta je cilj koji treba da postigne naše traženje i čitavo istraživanje. 36 τίς μὲν οὖν ἡ φύσις τῆς ἐπιστήμης τῆς ζητουμένης, εἴρηται, καὶ τίς ὁ σκοπὸς οὗ δεῖ τυγχάνειν τὴν ζήτησιν καὶ τὴν ὅλην μέθοδον. 36 LITERATURA Allan, D. J., The Philosophy of Aristotle, Oxford University Press, Oxford Annas, J., Aristotle s Metaphysics Books Μ and Ν, Clarendon Press, Oxford Arhe, Časopis za filozofiju, god I, br. 2, Filozofski fakultet, Odsek za filozofiju, Novi Sad Aristotel, Analitika I-II. Kategorije. O izrazu, PAIDEIA, Beograd Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd Aristotel, Nikomahova etika, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb Aristotel, O delovima životinja. O kretanju životinja. O hodu životinja, PAIDEIA, Beograd Aristotel, O duši. Nagovor na filozofiju, Naprijed, Zagreb Aristotel, O duši. Parva naturalia, PAIDEIA, Beograd Aristotel, Politika, Liber, Zagreb Aristotel, O rađanju životinja, PAIDEIA, Beograd Aristotel, O nebu. O postajanju i propadanju, PAIDEIA, Beograd Aristotel, Topika. Sofistička opovrgavanja, PAIDEIA, Beograd Aristotel, Fizika, PAIDEIA, Beograd Aristotelis Opera, ex. rec. Immanuelis Bekkeri, ed. Acad. Regia Borrusica, I-V, Berlin Novo izdanje je pripremio O. Gigon, Berlin Svi Aristotelovi navodi sravnjivani su prema ovom izdanju. Bonitz, H., Seidl, H., Aristoteles Metaphysik I-II, Felix Meiner Verlag, Hammburg Bonitz, H., Index aristotelicus (Vol. 5), Walter de Gruyter & Co, Berlin Cherniss, H., Aristotle s Criticism of Plato and the Academy, The Johns Hopkins Press, Baltimore Guthrie, W. K. C., A History of Greek Philosophy VI, Cambridge University Press, Cambridge Prev. Ž. Kaluđerović. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 9, 983a Ladanov prevod je: Time je dakle rečeno što je narav tražene znanosti i što je cilj koji treba postići naše traženje i cjelokupno istraživanje (Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb 1988, str. 9). Pojam σοφία kod Aristotela može biti razumljen u širem smislu, recimo u Nikomahovoj etici (1141a24, 1141b2-3) ili u pominjanom dijalogu De philosophia, gde se navodi pet različitih primena sophie, kao što i na nekim mestima u Metafizici (982a12-14) mudrost nije obeležje neke specifične znanosti, već izvrsnosti u bilo kojoj. Upoređujući, međutim, niz beleški iz prva dva poglavlja Α knjige Metafizike (982a2-3, 982a14-16, 982a25-28, 982b4, 982b7-8, 983a6), utvrđeno je, ipak, da Stagiranin misli na sasvim određenu znanost odnosno na metafiziku.

16 116 ARHE XIV, 27/2017 Hankinson, R. J., Philosophy of Science, u: The Cambridge Companion to ARI- STOTLE, Cambridge University Press, Cambridge Hegel, G. V. F., Istorija filozofije II, Kultura, Beograd Jaeger, W., Aristoteles Grundlegung einer Geschichte seiner Entwicklung, Weidmann, Zürich Kaluđerović, Ž., Aristotel kao istoričar filozofije, u: Zeničke sveske, broj 23/16, Zenica jun Kaluđerović, Ž., Aristotelov nepokretni pokretač, u: Filozofski godišnjak, god. VI, br. 6, Banja Luka Kaluđerović, Ž., Aristotelovo razmatranje logosa, volje i odgovornosti kod životinja, u: Filozofska istraživanja, 122, god. 31, sv. 2, Zagreb Kaluđerović, Ž., Mogućnost, udejstvenost i usvrhovljenost, u: Filozofski godišnjak, god. VIII, br. 8, Banja Luka Kaluđerović, Ž., Stagiraninova aitiologija, u: Znakovi vremena, God. XVI, broj 59, Sarajevo Kirwan, C., Aristotle Metaphysics Books Γ, Δ, and Ε, Clarendon Press, Oxford Koplston, F., Istorija filozofije Grčka i Rim, BIGZ, Beograd Liddell, H. G., Scott, R., Jones, H. S., A Greek-English Lexicon, Oxford University Press, Oxford Lloyd, G. E. R., Aristotle: the Growth and Structure of his Thought, Cambridge University Press, Cambridge Makin, S., Aristotle Metaphysics Book Θ, Clarendon Press, Oxford Perović, M. A., Filozofija morala, Cenzura, Novi Sad Platon, Fileb, u: Meneksen. Fileb. Kritija, BIGZ, Beograd Platon, Parmenid, Kultura, Beograd Platon, Teetet, u: Kratil. Teetet. Sofist. Državnik, ΠΛΑΤΩ, Beograd Ross, W. D., Aristotle, METHUEN & CO LTD, BARNES & NOBLE INC, London, New York Ross, W. D., Aristotle s Metaphysics I, Oxford University Press, Oxford Ross, W. D., Aristotle s Physics, Oxford University Press, Oxford Ross, W. D., The development of Aristotle s thought, u: I. Düring, G. E. L. Owen (eds.), Aristotle and Plato in the mid-fourth century, ELANDERS BOKTRYC- KERI AKTIEBOLAG, Göteborg Sedley, D. (ed.), The Cambridge Companion to Greek and Roman Philosophy, Cambridge University Press, Cambridge Stace, W. T., A Critical History of Greek Philosophy, MACMILLAN AND CO., LI- MITED, London Vindelband, V., Istorija filozofije, BOOK & MARSO, Beograd 2007.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu Filozofski fakultet, Novi Sad Odsek za filozofiju Stagiraninova aitiologija Sažetak: Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir pre svega

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet - Odsjek za filozofiju Rezime Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir prije svega Stagiraninove

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Mr. Željko Kaluđerović UDK: 2-549.3:27-144 Filozofski fakultet Originalni naučni rad Novi Sad Primljeno: 16.09.2005. BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Rezime Autor u ovom radu analizira Aristotelovo specifično poimanje

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα 3: Είναι - Συνειδέναι Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ARISTOTELOVA ARETOLOGIJA 1

ARISTOTELOVA ARETOLOGIJA 1 Годишњак Филозофског факултета у Новом Саду, Књига XXXIX-1 (2014) Annual Review of the Faculty of Philosophy, Novi Sad, Volume XXXIX-1 (2014) UDK 1 ARISTOTEL Filozofski fakultet 17 Univerziteta u Novom

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Aristotelovo razmatranje logosa,»volje«i odgovornosti kod životinja

Aristotelovo razmatranje logosa,»volje«i odgovornosti kod životinja Izvorni članak UDK 179.3:591.551Aristotel Primljeno 16. 8. 2010. Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, dr Zorana Đinđića 2, RS 21000 Novi Sad zeljko.kaludjerovic@gmail.com Aristotelovo

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα