BOG FILOZOFA IZ STAGIRE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BOG FILOZOFA IZ STAGIRE"

Transcript

1 Mr. Željko Kaluđerović UDK: : Filozofski fakultet Originalni naučni rad Novi Sad Primljeno: BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Rezime Autor u ovom radu analizira Aristotelovo specifično poimanje boga, posmatrano, pre svega, iz vizure dvanaeste knjige njegove Metafizike. Bog filozofa iz Stagire, naglašava se, nije nešto što se izdiže iznad sveta u istinsku sferu transcendencije, već je on prezentan u svim vidovima grčkog života i slojevima grčke stvarnosti. Aristotelov bog nije ni stvorio svet, koji je postojao oduvek i postojaće zauvek, nego mu je samo preko pokretanja prvog neba mišljenjem i kroz finalnu uzročnost obezbedio večito kretanje. Bog kao nepokretni pokretač, pokreće sve stvari na taj način što mu one teže, voleći ga. Njegov bog je i potpuno depersonalizovan, te je neopravdano stavljati veliko slovo prilikom prevoda Metafizike, ili bilo kog drugog Stagiraninovog spisa, jer u njegovoj teologici nema mesta za bogočoveka i prava religiozna osećanja. Konačno, Aristotelovo određenje boga kao mišljenja mišljenja samo je dosledno logički izvedena operacija koja sledi iz čina postavljanja mišljenja na pijedestal svega. Ključne reči: bog, nepokretni pokretač, teologika, teleologija, udejstvenost, mišljenje mišljenja. Dvanaesta knjiga Metafizike predstavlja ne samo vrhunac ovog dela, čak ne ni samo vrhunac Aristotelove metafizike, ona predstavlja, možemo slobodno reći, krunu antičke filozofije uopšte. Iako je mnogo puta kroz vekove analizirana, što je čini verovatno najproučavanijim tekstom iz Corpusa Aristotelicuma, ona sve do današnjih dana, kako svojim sadržajem tako i svojom spekulativnom dubinom, vrši neizmeran uticaj na generacije i generacije istraživača. Iz složene i zanimljive problematike deset poglavlja koji čine Lambda knjigu Metafizike, nas će ovde pre svega zanimati njen centralni deo, onaj o nepokretnom pokretaču. Prvih pet poglavlja ove knjige koncizna su rekapitulacija Stagiraninove fizike, i služe kao neka vrsta uvoda u drugu polovinu knjige, onu koja započinje tvrdnjom da mora postojati neko večno i nepokretno bivstvo (Met.1071b4-5). U nastavku se iznosi teza da, ako su sva bivstva propadljiva, onda su i sve stvari propadljive. Ovo Aristotel tvrdi s obzirom na dvostruko prvenstvo bivst(a)va, koje je izloženo nešto ranije, na samom početku

2 dvanaeste knjige. Ipak, dodaje Stagiranin, postoje dve stvari koje su nenastale i nepropadljive, a to su vreme i kretanje. 1 Argument zašto vreme mora biti nenastalo i nepropadljivo je taj da mimo vremena nema ni onoga pre, a ni onoga posle. Ako bismo, dakle, rekli da vreme ima početak ili kraj, onda bismo isto tako morali reći da pre početka ili posle kraja nema vremena, a to bi dakako bilo apsurdno reći. 2 I kretanje mora biti jednako neprekidno kao i vreme, jer je vreme 3 ili isto što i kretanje ili nekakvo njegovo svojstvo. Potom (Met.1071b10-11) se tvrdi da je jedino neprekidno kretanje mesno kretanje, a da je od njega, opet, jedino neprestano kružno kretanje. 4 Ako se vratimo sada osnovnoj Aristotelovoj tezi, uočavamo da je početna namera realizovana. Na osnovu pokazane nenastalosti i nepropadljivosti vremena i kretanja faktički je potvrđena njegova izjava o postojanju večnog i nepokretnog bivstva. Verovatno su i na osnovu ovih misli, kao i na osnovu Aristotelove fizike uopšte, potonji hrišćanski teolozi formulisali vlastiti kosmološki dokaz za postojanje Boga. Iz činjenice da u kosmosu postoji kretanje oni su zaključivali da postoji i "prvi pokretač", a to je, po njima, bio naravno Bog. U Lajbnicovoj verziji ovaj dokaz je bio nešto drugačije formulisan i zvao se a contingentia mundi. On glasi otprilike ovako: ako postoji ma koja stvar, onda mora postojati i neko apsolutno nužno biće. Pretpostavlja se, dalje, da postojanje ma koje stvari ne zavisi od nje same već od nečeg drugog, dakle, da je kontingentna, i da se u istom smislu može pretpostaviti i kontingencija sveta to jest kosmosa. 5 Sledeće što se može pronaći u šestoj glavi dvanaeste knjige Metafizike je da, ipak, nije bilo dovoljno samo pretpostaviti postojanje večnih bivstava. Dotle je, smatra Stagiranin, u svom misaonom razvoju bio dosegao i Platon 1 "A kretanje je nepotpuna usvrhovljenost (onog) pokretljivog" (ἔστι δ ἡ κίνησις ἐντελέχεια κινητοῦ ἀτελής, Phys. 257b8-9). Aristotel, Fizika, Liber, Zagreb 1988, str. 219, p. 257b8-9. Prev. Ž. K. Grčki pojam κίνησις ("kretanje") kod Aristotela pokriva, podsetimo, četiri vrste promena: 1. Promena "po šta" (ili po bivstvu) (κατὰ τὸ τί) nastajanje i nestajanje; 2. Promena "po kvalitetu" (κατὰ τὸ ποιόν) alteracija (ἀλλοίωσις, "preobraženje"); 3. Promena "po kvantitetu" (κατὰ τὸ ποσόν) rašćenje i smanjivanje; 4. Promena "mesta" (κατὰ τὸ ποῦ) kretanje u uobičajenom značenju te reči (Met. 1069b9-13; 1088a31-33). Zajedničko za sve četiri vrste promena je to da se one dešavaju između opreka. 2 Neznatno drugačiji dokaz o večnosti vremena dat je u Phys.251b Vreme je Aristotel u Fizici definisao kao broj kretanja naprama»prije i poslije«(ἀριθµὸς κινήσεως κατὰ τὸ πρότερον καὶ ὕστερον, Phys.219b2). Prev. T. Ladan. A 3 Neznatno drugačiji dokaz o večnosti vremena dat je u Phys.251b Aristotel, Fizika, Liber, Zagreb 1988, str. 114, p. 219b2. Prev. T. Ladan. Večnost kretanja koja je na ovom mestu u Metafizici (1071b9-10) izvedena iz večnosti vremena, na drugim mestima, recimo u Phys. 250b23-251b10, dokazivana je nezavisno od vremena. 4 Prvu tvrdnju Aristotel potkrepljuje u Phys.261a31-261b26 a drugu u Phys. 261b27-263a3 i 264a7-265a12. 5 Kant je kosmološki dokaz osporavao tako što je u njemu otkrivao skrivenu pretpostavku ontološkog dokaza. I. Kant, Kritika čistog uma, BIGZ, Beograd 1990, str

3 svojim učenjem o oblicima (Met.1071b15). Bivstvo, sem što je večno, mora imati u sebi i načelo koje može uzrokovati kretanje, što Platonovi oblici, po Aristotelu, nisu imali. 6 Ni to nije bilo sve: ako je načelo udelovljeno a njegovo bivstvo je mogućnost, tada kretanje neće biti večno, budući da ono koje biva mogućnošću može i ne bivati. Hoće se reći da mora postojati nekakvo načelo čije bivstvo nije mogućnost već jedino udejstvenost. Uz to, ta bivstva moraju biti i bez tvari, jer ona, kao što je već rečeno, moraju biti večna. Ovo se tvrdi, dakako, na temelju Stagiraninovog razumevanja da prisustvo tvari uključuje u sebe i kategoriju mogućnosti, a samim tim i propadljivosti. Stoga zaključak mora biti da ona (bivstva) jesu udejstvenost (ἐνεργείᾳ ἄρα, Met. 1071b22). Shvatanje o višestrukom primatu udejstvenosti u odnosu na mogućnost stoji i u osnovi Stagiraninovog učenja o nepokretnom pokretaču, što se da videti već iz samog početka sedme glave dvanaeste knjige Metafizike. Tamo se navodi da "prvo nebo" mora biti večno, ali da mora postojati i nešto što njega pokreće. Pošto je ono što je pokrenuto, a što istovremeno pokreće "nešto srednje", mora biti, kaže Aristotel, i nečeg "krajnjeg", koje pokreće a da pritom samo nije pokrenuto, i koje je "večno, bivstvo i udejstvenost" (ἀΐδιον, καὶ οὐσία καὶ ἐνέργεια, Met. 1072a25). Kako nešto može uzrokovati kretanje a da samo ne bude pokrenuto? Fizikalno uzrokovanje kretanja podrazumeva uzajamni kontakt pokretača i onog pokrenutog, što takođe podrazumeva i povratno delovanje nečeg pokrenutog na svog pokretača. 7 Jasno je, dakle, da nepokretni pokretač ne uzrokuje kretanje na fizikalni način. Stagiraninovo rešenje je da on pokreće kao ono žuđeno (τὸ ὀρεκτὸν) i kao ono mišljeno 8 (τὸ νοητὸν), a da je sam kao žuđenje i mišljenje, naravno, nepokretan. Kaže se još i da je mišljenje načelo te da se um pokreće od strane onoga što je mišljeno, tako da ono što je mišljeno, a to je takođe mišljenje, pokreće našu misao i ako samo ostaje nepokretno. 9 Nešto kasnije, poistovećujući nepokretnog pokretača sa finalnim uzrokom, što je ujedno i kulminacija njegovog teleološkog pristupa, Aristotel varira način pokretanja onog nepokretnog na sledeći način (Met. 1072b3-4): 6 O tome Aristotel piše i u Met. 988b2-6, 991a8-11, 991b3-9, 992a29-32, 1033b a5. 7 Vid. u Phys. 202a Vid. Met. 1072a Ovde izlazi na videlo Aristotelovo, ali i helensko u celini, temeljno stajalište o odnosu "objektivnog" i "subjektivnog", u kome, dakako, ono "objektivno" ima primat. Izraz "um se pokreće od 'onoga što je mišljeno'" (νοῦς δὲ ὑπὸ τοῦ νοητοῦ κινεῖται, Met. 1072a30), pokazuje da se mišljenje mora razumeti od strane onoga mišljenog, jer ono je radi tog mišljenog, od čega mu i dolazi prvobitni podsticaj

4 Taj (svršni uzrok) pokreće kao «voljeno», dok ostale stvari pokreću pokrenute. 10 κινεῖ δὲ ὡς ἐρώµενον, κινούµενον δὲ τἆλλα κινεῖ. Nepokretni pokretač pokreće, dakle, kao ono koje je voljeno, dok ostale stvari pokreću tako što bivaju i same pokrenute. One, najjednostavnije rečeno, samo prenose kretanje koje je nekako "utisnuto" na njih. Sam prvi pokretač ima još jednu karakteristiku on ne može biti kontingentan. Budući da ne može biti pokretan, a samim tim ni spadati u stvari što nastaju i nestaju, on postoji kao nužan. I kao nužnost on je dobro, 11 a na ovaj način, kao dobro ili ono žuđeno, on je i načelo kretanja svega. Vrhunska spekulativnost 7. glave 12. knjige Metafizike kulminira u onome što možemo okvalifikovati kao centralno mesto ne samo Lambda knjige, već i čitave Metafizike. To mesto gde se večno i nepokretno bivstvo konačno naziva bogom i shvata kao čista udejstvenost i pravi život, oduševljavalo je mnoge filozofe potom, među ostalima i Hegela. Njega je posebno impresionirala teza da udejstveni um jeste život, jer je u ovoj odredbi prepoznao vlastito određenje boga kao pojma, koji nije bio nekakva mrtva i apstraktna stvar već samo načelo života. Ovim citatom bez prevoda, na žalost i bez komentara, Hegel i završava svoju Enciklopediju filozofijskih znanosti. 12 Evo tog poznatog mesta (Met. 1072b13-30): 10 Aristotel, Metafizika, str. 305, p. 1072b3-4. Zanimljivo je da Stagiranin na ovom mestu umesto pojma ὀρεκτόν ("žuđeno") za nepokretnog pokretača, koristi pojam ἐρώµενον ("voljeno", "ljubljeno"), uvodeći tako Platonovu reč za "ljubav". Na prvi pogled bi nam i sintagma ὡς ἐρώµενον ("kao voljeno") mogla zvučati dvosmisleno. Preciznije rečeno, dilema je kako razumeti prilog načina i poređenja ὡς ("kao"): da li da ga shvatimo doslovno, pa da onda rečenica iz teksta znači da nepokretni pokretač pokreće kao ono koje je voljeno, što je i naš stav, ili, što je manje verovatno, da ὡς bude shvaćen analogijski, u smislu da nepokretni pokretač pokreće poput, slično kao onog voljenog. 11 Aristotel u Met. 1015b14-15 kaže da u večnim i nepokretnim stvarima nema ničeg što je prisilno ili što je suprotno njihovoj prirodi. Prvi pokretač, koji ne može biti kontingentan, koji biva udejstvenošću i koji se nikako drugačije ne može ponašati, "jeste dobro" (καλῶς ἔχει), jer mu ništa što je oprečno njegovoj prirodi ni ne može pripadati. A nešto ranije, u knjizi (Met. 1015a22-23) govoreći o pojmu "nužnosti", Stagiranin kaže da se nužnim nazivaju one stvari "bez kojih dobro ne može ni biti ni nastati". U Met. 1072b12 ova odredba nužnosti se gotovo ponavlja jer se kaže da je nužno "ono bez čega ne može biti dobra". 12 G. V. F. Hegel, Enciklopedija filozofijskih znanosti, V. Masleša - Svjetlost, Sarajevo 1987, str

5 Od takvoga dakle počela ovise i nebo i narav. A njegov način života onaj je najbolji, kakav je nama tek malo vremena; jer njemu je uvijek takav (što je pak nama nemoguće), budući da je i užitak njegova djelatnost. (I zbog toga su bdjenje, osjećanje, mišljenje najugodniji, dok su nade i uspomene takve zbog njih.) Mišljenje po sebi samome bavi se onim što je po sebi najbolje, i ono koje je to najviše onim što je takvo najviše. Um samoga sebe «umuje» prema dioništvu u mišljenome. Jer on postaje ono «mišljeno» dodirujući i umujući, tako te je isto um i 'mišljeno'; naime: ono što može primiti mišljeno i bivstvo to je um, koji djeluje posjedujući mišljeno, tako te je ovo više od onoga koje se čini da um ima, pa je misaono promatranje ono što je najugodnije i najbolje. Ako je dakle u stanju takva dobra Bog uvijek, kao što smo mi katkada, divljenja je dostojan; ako je još i više, onda je još dostojniji divljenja. Ali On jest tako. I život je u njemu prisutan; jer djelatnost uma je život, a On je ta djelatnost, i Njegova djelatnost po sebi život je najbolji i vječni. Stoga kažemo da je Bog živ, vječan, najbolji, tako te su život i vrijeme neprekidno i vječno prisutni u Bogu. Jer to jest Bog. 13 ἐκ τοιαύτης ἄρα ἀρχῆς ἤρτηται ὁ οὐρανὸς καὶ ἡ φύσις. διαγωγὴ δ ἐστὶν οἵα ἡ ἀρίστη µικρὸν χρόνον ἡµῖν. οὕτω γὰρ ἀεὶ ἐκεῖνό ἐστιν. ἡµῖν µὲν γὰρ ἀδύνατον, ἐπεὶ καὶ ἡ ἡδονὴ ἐνέργεια τούτου καὶ διὰ τοῦτο ἐγρήγορσις αἴσθησις νόησις ἥδιστον, ἐλπίδες δὲ καὶ µνῆµαι διὰ ταῦτα. ἡ δὲ νόησις ἡ καθ αὑτὴν τοῦ καθ αὑτὸ ἀρίστου, καὶ ἡ µάλιστα τοῦ µάλιστα. αὑτὸν δὲ νοεῖ ὁ νοῦς κατὰ µετάληψιν τοῦ νοητοῦ νοητὸς γὰρ γίγνεται θιγγάνων καὶ νοῶν, ὥστε ταὐτὸν νοῦς καὶ νοητόν. τὸ γὰρ δεκτικὸν τοῦ νοητοῦ καὶ τῆς οὐσίας νοῦς. ἐνεργεῖ δὲ ἔχων. ὥστ ἐκεῖνο µᾶλλον τούτου ὃ δοκεῖ ὁ νοῦς θεῖον ἔχειν, καὶ ἡ θεωρία τὸ ἥδιστον καὶ ἄριστον. εἰ οὖν οὕτως εὖ ἔχει, ὡς ἡµεῖς ποτέ, ὁ θεὸς ἀεί, θαυµαστόν εἰ δὲ µᾶλλον, ἔτι θαυµασιώτερον. ἔχει δὲ ὡδί. καὶ ζωὴ δέ γε ὑπάρχει ἡ γὰρ νοῦ ἐνέργεια ζωή, ἐκεῖνος δὲ ἡ ἐνέργεια ἐνέργεια δὲ ἡ καθ αὑτὴν ἐκείνου ζωὴ ἀρίστη καὶ ἀΐδιος. φαµὲν δὲ τὸν θεὸν εἶναι ζῷον ἀΐδιον ἄριστον, ὥστε ζωὴ καὶ αἰὼν συνεχὴς καὶ ἀΐδιος ὑπάρχει τῷ θεῷ τοῦτο γὰρ ὁ θεός. 13 Aristotel, Metafizika, str. 306 i 307, p. 1072b Nudimo i prevod S. Žunjića: "Od takvog, dakle, načela izvode se i nebo i priroda. A njegov život je onaj najbolji, kakav je nama tek malo vremena; jer njemu je, uvek, osećanje, mišljenje najprijatniji, dok su nade i uspomene takve kroz njih. Mišljenje po sebi samome se bavi onim što je po sebi najbolje, a ono koje je to najviše onim što je najviše takvo. Um sam sebe misli sudelujući u mišljenom. Jer ono postaje ono umno

6 Kada u Met. 1072b15 Aristotel kaže da je najbolji to jest božanski život "nama tek malo vremena", jasno je da je to "malo vremena" onda kada istinski filozofski mislimo ili umujemo. Malo vremena možemo umovati pošto nismo čista energeia, a naša dynamis čini da se možemo i umoriti od umovanja. 14 U Met. 1072b16-17 o prvom pokretaču se kaže "da je i užitak njegova djelatnost" ("pošto je njegova udejstvenost i uživanje", prev. S. Žunjić). Stagiranin na ovom mestu koristi način izražavanja koji je upotrebljen i u EN 1153a12-14, gde se na neki način izjednačavaju zadovoljstvo i udejstvenost. Istina, na drugom mestu (EN 1175a15-16) se, egzaktnije, kaže da zadovoljstvo usavršava udejstvenost, pa i življenje za kojim svi teže. 15 U Met. 1072b18-19 piše da se "mišljenje po sebi samome" bavi "onim što je po sebi najbolje", te se iz ovoga, po Aristotelu, može zaključiti da je tu reč o samom božanskom umu koji je, ranije, već označen kao ono žuđeno (Met. 1072a26), ali i kao ono najbolje (Met. 1072a35). U misaono sažetom izrazu koji potom sledi, καὶ ἡ µάλιστα τοῦ µάλιστα ("i ono najviše onim najvišim", Met.1072b19), a koji je Ladan preveo sa "i ono koje je to najviše onim što je takvo najviše" (slično glasi i prevod S. Žunjića), samo se učvršćuje prethodni stav da ono što je u punom smislu "mišljenje" mora biti "mišljenje" onoga što je u punom smislu "najbolje" to jest prvog pokretača. Na pitanje kako um ili mišljenje postaje "ono mišljeno", Stagiranin je u Met. 1072b20-21 odgovorio sa "dodirujući (naš kurziv, Ž. K.) i umujući, tako te je isto um i 'mišljeno'" ("dodirujući i misleći tako da je isto mišljenje i mišljeno" prev. S. Žunjić). Grčko τὸ θιγεῖν ("dodir") naizgled zbunjuje, ali ono je u ovom kontekstu svakako metafora, i ovim dubokim izrazom poručuju nam se barem dve stvari. Prvo, odsustvo svake mogućnosti pogreške koja je karakteristična za opažanje vlastitim čulima (De an. 430b29-31), i drugo, odsustvo posrednika u slučaju "dodirivanja". Tako da, na koncu, τὸ θιγεῖν najverovatnije označava poimanje koje je nepogrešivo i neposredno. dodirujući i misleći tako da je isto mišljenje i mišljeno; naime, ono što može primiti mišljeno i bivstvo to je um, koji dejstvuje imajući mišljeno, tako da je ovo više božansko od onoga koje se čini da um ima, pa je teorija ono najugodnije i najbolje. Ako je, dakle, bog uvek u takvom stanju dobra, u kome smo mi ponekad, onda je on dostojan divljenja; ako je još i više onda je još dostojniji divljenja. Ali on tako postoji. I život u njemu prebiva; jer udejstvenost uma je život, a on je ta udejstvenost, a njegova udejstvenost je po sebi najbolji i večni život. Stoga kažemo da je bog živ, večan, najbolji, a život i vreme su neprekidno i večno prebivaju u bogu. Jer to jeste bog." S. Žunjić, "Bog filozofa u Antici", u zborniku Pojam boga u filozofiji, Kult. cent. N. Sada i Kated. za filoz. Filozof. fak. u N. Sadu, N. Sad 1996, str O tome vid. i u Met. 1050b U Nikomahovoj etici (EN 1175a4-5) Stagiranin piše da: nijedna ljudska sposobnost ne može neprekidno trajati (πάντα γὰρ τὰ ἀνθρώπεια ἀδυνατεῖ συνεχῶς ἐνεργεῖν.). Aristotel, Nikomahova etika, Hrv. sveuč. nakl., Zagreb 1992, str. 207, p. 1175a4-5. Prev. T. Ladan. 15 Čitava ova veza boga i zadovoljstva upravo je suprotna od onoga što o njoj kaže Platon u svom Filebu 33b. Platon, Teetet i Fileb, Naprijed, Zagreb 1979, str. 142, p.33b

7 U Met. 1072b22-23 još jednom se ukazuje na primat udejstvenosti nad mogućnošću, koja se (udejstvenost) proglašava za božanski element u umu. U Met. 1072b25-30 Ladan u prevodu tačno sedam puta upotrebljava veliko slovo govoreći o bogu Aristotelove filozofije. Velikih slova, naravno, nema u originalu (videti u tom kontekstu prevod S. Žunjića), ali ono što je mnogo gore u ovoj intervenciji, koja je izvršena iz potonje hrišćanske perspektive, jeste da se ovakvim prevođenjem u velikoj meri iskrivljuje smisao Stagiraninove prve filozofije. Naime, skoro svugde, velika početna slova koriste se za vlastita imena pojedinačnih bića, a bog filozofa is Stagire nije nikakvo biće, pa ni najviše moguće biće. Njegov bog je potpuno depersonalizovan i on u svojim radovima sve vreme ostaje u okvirima grčke filozofske teologije to jest teologike, kako je sam imenovao ovu disciplinu. Odmah zatim u Met. 1072b24 se kaže da je "misaono promatranje (kurziv Ž. K.) ono što je najugodnije i najbolje" ("pa je teorija ono najugodnije i najbolje", prev. S. Žunjić). Imenica ženskog roda ἡ θεωρία, koju Ladan prevodi kao "misaono promatranje", uz dosta se dilema prevodi na moderne jezike. Ros je tako prevodi kao "contemplation", 16 Bonic kao "die Betrachtung (theoretische Tätigkeit)", a ni u našem jeziku joj nije lako pronaći odgovarajući ekvivalent. Možda je dovoljno prevesti je kao "teorija", uz stalno podsećanje da Aristotel teoriju razlikuje od ostalih vrsta znanja po svrsi, odnosu prema činjenju i najzad, po predmetu. Teorija je najpre znanje kome se teži radi njega samoga, to jest ona je "znanje radi znanja". Drugo, teorijsko znanje uzdiže čoveka do istinskog ljudskog telosa, jer ono teži istini a ne koristi ili nekakvom učinku. Ono je ispravno ako je istinito, a pogrešno je ako je lažno. I treće, predmet teorije nalaz se i u području bivstvovanja kojim čovek ne raspolaže, i u kome ne odlučuje po svome nahođenju. Predmet teorije je, drugačije rečeno, ono prvo, večno i najviše, to jest bog. Teorija je proglašena za "najugodniju i najbolju" i zbog svoje udejstvenosti. Na nekoliko drugih mesta Aristotel teoriju takođe razmatra kao udejstvenost znanja, nasuprot znanosti (ἐπιστήµη) koja je bila mogućnost znanja. To on čini u samoj Metafizici (Met. 1048a34-35, 1050a12-14), ali i u Fizici (Phys. 255a33-34), pa i u drugim svojim delima (De an. 412a9-11, 412a22-26, 417a28-29; GA 735a10-11; EN 1146b31-35). Premda Aristotel u Met. 1072b26 kaže da je život "u njemu prisutan" ("život u njemu prebiva", prev. S. Žunjić), za primum movens bi ipak prikladnije bilo reći, umesto da on poseduje život, da on jeste život kako i sugeriše nastavak ovog pasusa: "jer djelatnost uma je život, a On je ta djelatnost". 17 I konačno, Met. 1072b Ovaj deo počinje maločas pomenutim: "jer djelatnost uma je život..." ("jer udejstvenost uma je život, a on je ta udejstvenost", 16 Contemplatio je latinski prevod grčke reči theoria. Inače, postoji još jedan latinski termin, speculatio, koji se razvio već kod Boetija. U engleskom jeziku se koristi još i "reflection" i "theory", a u nemačkom "die Erkenntnis" i "die Theorie." 17 Ovaj pasus bi, svakako, trebalo čitati uz znatno opširniju 7. glavu 10. knjige Nikomahove etike

8 prev. S. Žunjić), i predstavlja veličanstveno očitovanje kreda Stagiraninove filozofije. U ova približno četiri reda originalnog teksta ne treba tražiti ni nekakav čisto teološki stav, ali ni ostatke nekog prvobitnog hilozoizma; nego u toj zagonetnoj i čudnoj kvalifikaciji i vezi uma to jest boga i života, treba pre videti jednu logičnu posledicu iskazivanja bitka u njegovom jedinstvu, jedinstvu celine kakva se manifestuje upravo kod onog živog, koje kao celina poseduje sve organe. Na osnovu ovog podužeg navoda (Met. 1072b13-30), ali i ne samo na osnovu njega, dalo bi se zaključiti da je Aristotelova prva filozofija svojevrsna teologika koja se bavi nepokretnim, odvojenim i najvišim bivstvom. Opet, na osnovu svedočanstva iz, recimo, 4. knjige Metafizike (1003a21-24), 18 prva filozofija će pre biti ontologija, u čijem se središtu ispitivanja nalazi ono (sve)opšte. Mnogi filozofi, kao Jeger, Ovens, Diring, davali su prednost, što je pogrešno, jednom od ova dva aspekta prve filozofije ili su, čineći još veću grešku, potpuno raskidali njihovo jedinstvo videći u navedenim mestima izvesne nepodudarnosti, nepremostive teškoće, pa čak i protivrečnosti. Da tu nije reč ni o kakvim aporijama između, s jedne strane, jedne discipline metaphysicae specialis (teologike) i, s druge strane, metaphysicae generalis (ontologije), možemo se uveriti i na osnovu pažljivog čitanja samog Aristotela. Navešćemo sada početak šeste knjige Metafizike, koja se, uz dvanaestu knjigu, obično smatra knjigom prve filozofije kao teologike, nasuprot ontologiji četvrte knjige, i koji potvrđuje našu tezu da su kod Stagiranina teologika i ontologija usko isprepletene i povezane. On glasi (Met. 1025b3-4): Ovdje se istražuju počela i uzroci bića, i bjelodano je njih kao bića. 19 Αἱ ἀρχαὶ καὶ τὰ αἴτια ζητεῖται τῶν ὄντων, δῆλον δὲ ὅτι ᾗ ὄντα. Kada, pri kraju 1. glave 6. knjige, prvu filozofiju nazove "bogoslovljem" (θεολογική), i kada se umesto za načela i uzroke bića kao bića, s početka knjige, počne zanimati za načela i uzroke onog "samostalnog i nepokretnog", Aristotel ovu "najčasniju znanost" ne razmatra kao znanost o nekom posebnom području ili rodu, ili pak kao znanost o nekom najvišem biću, to jest kao pojedinačnu znanost ili jednu disciplinu specijalne metafizike. Reč je tu o nečem drugom; "tražena znanost" ima dvostruku supremaciju nad svim ostalim 18 Reč je o sledećem pasusu: Postoji znanost koja promatra bitak kao bitak i njegove prisutnine po sebi. Ona nije ista ni s jednom od djelomičnih znanosti, jer nijedna od drugih ne proučava bitak uopće i kao bitak, Ἔστιν ἐπιστήµη τις ἣ θεωρεῖ τὸ ὂν ᾗ ὂν καὶ τὰ τούτῳ ὑπάρχοντα καθ αὑτό. αὕτη δ ἐστὶν οὐδεµιᾷ τῶν ἐν µέρει λεγοµένων ἡ αὐτή οὐδεµία γὰρ τῶν ἄλλων ἐπισκοπεῖ καθόλου περὶ τοῦ ὄντος ᾗ ὄν, Aristotel, Metafizika, Liber, str. 75, p. 1003a Aristotel, Metafizika, str. 149, p. 1025b

9 znanostima jer: ona je "prva" i "najviša" (teologika), ali ona je u isti mah i "sveopšta" (ontologija). Stagiranin to kaže na sledeći način (Met. 1026a29-32):...ali ako postoji neko nepokretno εἰ δ ἐστί τις οὐσία ἀκίνητος, αὕτη bivstvo, znanost o njemu bit će προτέρα καὶ φιλοσοφία πρώτη, prvotnija i sveopća, jer je prva. I καὶ καθόλου οὕτως ὅτι πρώτη ona će promatrati bitak kao bitak, te καὶ περὶ τοῦ ὄντος ᾗ ὄν, ταύτης ono što jest i (svojstva) što su mu ἂν εἴη θεωρῆσαι, καὶ τί ἐστι καὶ prisutna kao bitku. 20 τὰ ὑπάρχοντα ᾗ ὄν. Zaključimo: kod Stagiranina je, dakle, reč o izvornom jedinstvu pitanja o samostalnosti i nepokretnosti onog prvog i najvišeg što ga mišljenje misli kao bitak, i pitanja o biću kao biću, to jest biću uopšte. Drugim rečima, u Metafizici je na delu izvorno jedinstvo dva aspekta jedinstvene prve filozofije. Aristotelovo pominjanje boga i nazivanje vlastite prve filozofije imenom θεολογική ne znači, kao što smo videli i kao što su potonji komentatori to tvrdili, da on pod ovim pojmovima podrazumeva razmatranje nekakvog najvišeg bića. Bog filozofa, a osobito bog iz 12. knjige Metafizike, prethodi svim bićima kao njihova izvorna priroda i bivstvo. Stagiranin pod njim misli, pre svega, na bitak, to jest na onaj svrhoviti uzrok koji pokreće "kao voljeno", a ne kao osoba, demijurg ili nekakav drugi kreator. Ako je to tako, onda je jasno da Aristotel u svojoj prvoj filozofiji, po prvi put, dolazi do tzv. ontološke diferencije između bitka i bića, diferencije koju, potom, svaka metafizika ili ontologija implicitno ili eksplicitno pretpostavlja. Martin Hajdeger je bio među onim filozofima koji su, vekovima kasnije, naglašavali da se ontologija zasniva na razlikovanju bitka i bića, i još pride dodavao da ukazivanje na ontološku diferenciju imenuje osnovu i "fundament" svake onto-logije, a time i svake metafizike. Svoj odnos prema tradicionalnoj filozofiji Hajdeger je pritom video kao "korak nazad", odnosno kao pokušaj ekspliciranja osnovne pretpostavke na kojoj počiva onto-teološko ustrojstvo metafizike. 21 Ono, po Hajdegeru, nemišljeno u samoj metafizici, ono što je kao takvu omogućava, on je video kao "stvar" vlastitog mišljenja, a to je spominjana diferencija između bitka i bića. Centralni pojam metafizike, pojam bitka, nije smeo, po njemu, pasti u "zaborav" - što se, smatra on, desilo već na samom početku evropskog filozofiranja. Preciznije rečeno, metafizika je, po Hajdegeru, mislila bitak ali samo polazeći 20 Aristotel, Metafizika, str. 152, p. 1026a U prvoj rečenici Aristotel kaže da će se znanost o nepokretnom bivstvu zvati prva filozofija (φιλοσοφία πρώτη - Met. 1026a30), što je prevodilac T. Ladan izostavio. I u drugoj rečenici, kao što to povremeno i neselektivno čini, Ladan imenicu srednjeg roda (τὸ ὄν - "biće") koja je nastala od participa prezenta indikativa radikalnog glagola µι konjugacije εἰµί ("jesam", "biti"), prevodi iz, nama nerazumljivih razloga, kao "bitak". "Bitak" (τὸ εἶναι) je glagolska imenica srednjeg roda koja je nastala od infinitiva istog glagola (εἰµί), i ona, kao što se vidi iz originala, u ovoj rečenici nije upotrebljena (slično vid. i u Met. 1003a21-24, tj. u fusnoti 18). 21 O tome na 25 stranica teksta pod nazivom "Onto-teo-loško ustrojstvo metafizike" on detaljnije i piše. M. Hajdeger, Mišljenje i pevanje, Nolit, Beograd 1982, str

10 od bića, predstavljajući biće kao bitak, a zaboravljajući bitak sam. Stoga je on predlagao "povratak u temelj metafizike" i to, pre svega, uz pomoć presokratovaca. Mišljenja smo da je traženi "povratak" Hajdeger mogao pronaći: još bolje, najpre ga je mogao pronaći u izvornim Aristotelovim spisima, dakako oslobođenim svakog aristotelizma i potonje viševekovne devastacije i prekrajanja. Posebno ga je mogao pronaći u Stagiraninovom poimanju boga, to jest mišljenja mišljenja, na čijem primeru je mogao uočiti da se bitak kod najvećeg filozofa Antike ne određuje i ne misli na način bića već, nasuprot tome, u evidentnoj razlici spram bića. Što se samog Aristotela tiče, on se, naglasimo to još jednom, bio dovoljno postarao da vlastito filozofsko istraživanje i započne i kontinuirano održava u stalnoj prezentnosti ontološke diferencije između bitka i bića. U poslednjem pasusu 7. glave 12. knjige Metafizike Aristotel rekapitulira dotad izrečeno, konstatujući nekoliko stvari. Najpre, on smatra da je evidentno da postoji neko bivstvo koje je večno, nepokretno i odvojeno od čulnih stvari. To bivstvo, dalje, nema nikakve veličine već je bez delova i nedeljivo. Ovu nisku atributa božanskog bivstva Stagiranin završava govoreći da je ono i netrpno i nepromenljivo (Met.1073a3-13). Ako zbog prirode našeg istraživanja zanemarimo osmu glavu, koja ispituje broj večnih pokretačkih načela i koja je sasvim verovatno pisana znatno kasnije od ostatka Lambda knjige, pretpostavlja se negde između 330. i 325. godine pre n.e., i desetu glavu, koja ispituje kako dobro postoji u svemiru i koje se teškoće pojavljuju u gledištima prethodnih filozofa, te se usredsredimo na 9. glavu 12. knjige Metafizike, videćemo da se Aristotel u njoj vraća ispitivanju uma, razmatrajući načine postojanja uma ako se on već smatra za najbožanskiju stvar na svetu. Na početku Stagiranin kaže da tvrdnja da je um nešto najbožanskije ipak izaziva određene poteškoće i nedoumice koje treba razjasniti. U Met. 1074b17-18 piše da mi um ne možemo opisati kao da on ni o čemu ne misli, jer bi to od njega napravilo ništa više do nerealizovanu mogućnost, a znamo da je na nekoliko mesta ranije rečeno da prvi pokretač može biti samo čista udejstvenost ili, kako pri kraju osme glave piše (Met.1074a36), usvrhovljenost. U Met. 1074b18-21 se potom kaže da ne smemo reći ni da um misli, ali da ga nešto drugo određuje da misli. Um će u tom slučaju biti tek mogućnost i stoga ne više i najbolje bivstvo. Zatim, u Met. 1074b21-27 piše da um, bez obzira da li je njegovo bivstvo mogućnost mišljenja ili udejstvenost mišljenja, može misliti: 1. ili samog sebe, 2. ili nešto drugo. Ako misli nešto drugo, onda je u pitanju ili 2.a. uvek ista stvar, ili 2.b. različite stvari u različitim vremenima. Pošto u Aristotelovoj filozofiji postoji ontološki primat onog mišljenog, iz toga proizlazi da predmet mišljenja uma mora biti ono što je najbožanskije i najčasnije, a to opet znači da ne mogu biti različite stvari u različitim vremenima. Svaka promena je, naravno, zato promena na gore. I mimo ove diskusije je, istina, još iz 7. glave 12. knjige, jasno da je ono najviše i prvo, to jest bog, i nepromenljivo i nepokretno. Stagiranin se nakon toga, u Met. 1074b28 i dalje, vraća na drugu poteškoću koja se spominje u Met.1074b18-21, da bi je dodatno pojasnio. Ako je um samo mogućnost mišljenja, onda će mu

11 neprekidnost mišljenja biti naporna, 22 što je dakako apsurdno reći za nešto sa toliko i takvih vrhunskih atributa. Osim toga, postoji još jedan problem ako bi um bio samo mogućnost mišljenja. Predmet njegovog mišljenja, koji je nešto najbožanskije, bio bi časniji od samog uma, jer ako je um samo mogućnost, on je onda mogućnost i nečeg oprečnog, pa bi bilo moguće da se udelovi kao mišljenje nečeg najgoreg, tako da njegova udejstvenost, u tom slučaju, ne bi morala biti ono najbolje. Sve ovo nagnalo je Aristotela da napusti ne samo nagoveštaje da bi um mogao biti mogućnost, nego i ranije izrečenu pretpostavku da on može misliti bilo šta drugo mimo sebe samog. Konačno, s obzirom da je um ono najbožanskije i da je predmet njegovog umovanja takođe najbožanskiji, i najčasniji, um mora biti predmet vlastitog umovanja. I njegovo mišljenje je, u stvari, mišljenje mišljenja. Aristotelovim rečima kazano (Met. 1074b33-35): Stoga um misli sebe samoga, ako jest αὑτὸν ἄρα νοεῖ, εἴπερ ἐστὶ τὸ ono što je najbolje, i njegovo je κράτιστον, καὶ ἔστιν ἡ νόησις mišljenje mišljenje mišljenja. 23 νοήσεως νόησις. Reči "ako (um, prim. Ž. K.) jest ono što je najbolje" (εἴπερ ἐστὶ τὸ κράτιστον), imajući u vidu i belešku u Met. 1072a5-6 gde se kaže da i Anaksagora svedoči o primatu udejstvenosti nad mogućnošću svojim viđenjem uma kao udejstvenosti, po svoj prilici ukazuju na podatak da je Aristotel dobro proučio Anaksagorino učenje o umu. U Klazomenjaninovom fragmentu br. 12 (DK 59B12) kaže se, između ostalog, da "nad svima njima vlada um" (πάντων νοῦς κρατεῖ), što samo ide u prilog gornjoj tezi o stanovitom uticaju Anaksagore na Aristotela. Za deo "i njegovo je mišljenje mišljenje mišljenja (καὶ ἔστιν ἡ νόησις νοήσεως νόησις), Ladan nudi i alternativni prevod koji glasi: "i njegovo je umovanje umovanje umovanja". 24 Ovaj drugi prevod hoće samo da otkloni eventualne interpretativne poteškoće koje bi mogle nastati pogrešnim tumačenjem prvospomenute verzije. Verzija prevoda sa "umovanjem" hoće i na taj način da naglasi da od Platona pa nadalje u grčkoj filozofiji postoji razlika između pojmova "umovanja" (νόησις) i "razumevanja" (διάνοια), kao razlika, najjednostavnije rečeno, intuitivnog i diskurzivnog akta. Prevod "mišljenje" nekoga bi možda mogao da zavede da pomisli kako je na datom mestu reč o diskurzivnoj, a ne o intuitivnoj delatnosti. Sled misli ovakve argumentacije bi, dakako, doveo do toga da bi i sintagma "mišljenje mišljenja" mogla, naravno pogrešno, da bude protumačena tako da je u pitanju refleksija ljudskog samospoznavanja u smislu novovekovne filozofije subjektivnosti, svesti i samosvesti, što je zasigurno daleko od Aristotela i njegove namere. 22 O tome Aristotel piše i u Met. 1050b Aristotel, Metafizika, str. 314, p. 1074b Rosov prevod pomenutog pasusa iz Metafizike glasi: "Therefore it must be itself that thought thinks (since it is the most excellent of things), and its thinking is a thinking on thinking." The Complete Works of Aristotle, Ed. by J. Barnes, volume two, trans. W. D. Ross, Princeton 1991, p Bonicov prevod istog mesta (Met.1074b33-35) je: "Sich selbst also erkennt die Vernunft, wenn anders sie das Beste ist, und die Vernunfterkenntnis (bzw. tätigkeit) ist Erkenntnis ihrer Erkentnis (- tätigkeit)." H. Bonitz, Aristoteles' Metaphysik II, Hamburg 1984, s

12 Ovde treba još dodati da je νόησις, sem što ga možemo analizirati iz "subjektivnog" ugla, kao delatni supstantiv "umske udejstvenosti", takođe i ontološki aspekt umske udejstvenosti, to jest "objekt" umovanja. Kada se sve sabere, sintagma νοήσεως νόησις kazuje da je božanska umska bit kao čista i potpuna udejstvenost, u isti mah i vrhunska spoznajna delatnost i najviši predmet spoznavanja. Utvrđujući ovo Aristotel će nam još dati i odgovor na pitanje kada je bitak mišljenju i onom mišljenom isti, i zašto. Ovako to on kaže (Met. 1075a3-5): οὐχ ἑτέρου οὖν ὄντος Budući se dakle ne razlikuju 'mišljeno' i um τοῦ νουµένου καὶ τοῦ νοῦ, u onih stvari koje nemaju tvari, one će biti isto, ὅσα µὴ ὕλην ἔχει τὸ αὐτὸ i mišljenje će biti jedno s mišljenim. 25 ἔσται, καὶ ἡ νόησις τοῦ ν ουµένου µία. Mišljenje i ono mišljeno biće identični, dakle, samo kod onih stvari koje nemaju tvari. Kada se u Met. 1075a7-9 kaže da je čovečiji summum bonum nešto što je drugačije od njega samoga, to je zato što je čovek σύνθετον 26 (nešto "sastavljeno"), a to dakako podrazumeva i mnoštvo nerealizovanih mogućnosti, pa i vreme potrebno za njihovu realizaciju. Nasuprot tome, bog, bivajući čista udejstvenost, "mišljenje o samom sebi" (αὐτὴ αὑτῆς ἡ νόησις), nema «dobro» samo ovog ili onog trenutka, nego u nekom celom vremenu poseduje ono «najbolje», i tako se ponaša "kroz čitavu večnost"(τὸν ἅπαντα αἰῶνα - Met. 1075a10). Aristotelovo određenje boga kao mišljenja mišljenja, sumirajmo na kraju, samo je dosledno izvedeno iz njegovog postavljanja mišljenja na pijedestal svega. Jer ako se sve kretanje na kraju svodi na prvog pokretača, koji je nepokretan i nepromenljiv, i koji u čistoj udejstvenosti obavlja najvišu moguću delatnost, a to je čisto mišljenje, onda je i predmet njegovog mišljenja ponovo ono najbolje i najviše, naime mišljenje, tako da je on, u konačnom, ništa drugo do mišljenje samoga sebe, to jest mišljenja Aristotel, Metafizika, Liber, str. 314, p. 1075a3-5. Ladan kaže da bi se νοῦ ("um") iz Met.1075a4 moglo prevesti i kao 'misao', što, po nama, više odgovara kontekstu date rečenice. On sam je, verovatno, sledio Bonica, čiji prevod date reči je "die Vernunft." Zanimljivo je i da deo τὸ αὐτὸ ἔσται ("one će biti isto" - Met.1075a4), Ros prevodi tako da precizira da je tu reč o božanskom mišljenju i onome što je predmet njegovog mišljenja ("the divine thought and its object will be the same"), to jest da će oni biti isto. 26 Kako Aristotel upoređuje τὸ σύνθετον, ono što je pola božansko a pola životinjsko, sa bogom može se videti i u EN 1177b28-29 i 1178a I Hegel smatra da se "glavni momenat u Aristotelovoj filozofiji sastoji... u tvrđenju da su mišljenje i ono što se zamišlja identični" (G. V. F. Hegel, Istorija filozofije II, Kultura, Beograd 1964, str. 271). Reč je, dakako, o onom poznatom načelu identiteta mišljenja i bitka, na kojem je počivala ne samo Aristotelova metafizika, kao najviši oblik teorijskih znanosti, nego i antičko filozofsko mišljenje u celini

13 LITERATURA Aristotel, Fizika, Liber, Zagreb Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb Aristotel, Nikomahova etika, Hrv. sveuč. nakl., Zagreb Bonitz, H., Seidl, H., Aristoteles' Metaphysik II, Hamburg Hajdeger, M., "Onto-teo-loško ustrojstvo metafizike," u: Mišljenje i pevanje, Nolit, Beograd Hegel, G. V. F., Enciklopedija filozofijskih znanosti, V. Masleša - Svjetlost, Sarajevo Hegel, G. V. F., Istorija filozofije II, Kultura, Beograd Kant, I., Kritika čistog uma, BIGZ, Beograd Platon, Teetet i Fileb, Naprijed, Zagreb The Complete Works of Aristotle, Ed. by J. Barnes, vol. two, trans. W. D. Ross, Princeton Žunjić, S., "Bog filozofa u Antici", u zborn. Pojam boga u filozofiji, Kult. cent. N. Sada i Kated. za filoz. Filozof. fak. u N. Sadu, N. Sad Željko Kaluđerović Faculty of philosophy Novi Sad The God of the Stagira Philosopher Abstract In this paper the author analyzes Aristotle s specific understanding of God, primarily from the perspective of the twelfth book of the Metaphysics. The God of the Stagira philosopher, it is emphasized, is not something truly transcending the world, but present in all aspects of Greek life and slates of Greek reality. Aristotle s God did not even create the world, which has always been and always will be, it has only provided the eternal movement through the movement of the first heaven by thinking and through final cause. The Unmoved Mover, as the object of desire moves all things by being loved. His God is also totally depersonalized which makes it unjustified to put a capital letter when translating the Metaphysics, or any other of Stagirites writings, since in his theology there is no room for the Incarnation and real religious feelings. Eventually, Aristotle s definition of God as the thinking of thinking is only a consequently logical operation which results from the act of placing the thinking on the pedestal of all. Key words: God, Unmoved Mover, theology, teleology, actuality, thinking of thinking

14 - 28 -

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu Filozofski fakultet, Novi Sad Odsek za filozofiju Stagiraninova aitiologija Sažetak: Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir pre svega

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Aristotelov nepokretni pokreta~

Aristotelov nepokretni pokreta~ ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ @EQKO KALU\EROVI] UDK 111 Filozofski fakultet Novi Sad Aristotelov nepokretni pokreta~ Kqu~ne re~i: bog, nepokretni pokreta~, teologika, teleologija, udejstvenost, usvrhovqenost,

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet - Odsjek za filozofiju Rezime Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir prije svega Stagiraninove

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI

STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Arhe XIV, 27/2017 UDK 1 Aristoteles 111 Originalni naučni rad Original Scientific Article ŽELJKO KALUĐEROVIĆ 1 Filozofski fakultet, Univerzitet u Novom Sadu STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Sažetak: Autor

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα 2: Αριστοτέλης ΙΙ Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

ORGANON ARISTOTELES. Naslov originala: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΟΡΓΑΝΟΝ

ORGANON ARISTOTELES. Naslov originala: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΟΡΓΑΝΟΝ Naslov originala: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΟΡΓΑΝΟΝ Graece ex recensione Immanuelis Bekkeri Edidit Academia regia Borussica. vol. I II. Berolini 1831. ARISTOTELES ORGANON SA STAROGRČKOG PREVELA dr KSENIJA ATANASIJEVIC

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

1 pojam- ono bitno, što čini to što jeste tim što jeste 2 ono što je sve i ništa, što izmiče našoj spoznaji tako da se na pitanje šta je bitak uvijek

1 pojam- ono bitno, što čini to što jeste tim što jeste 2 ono što je sve i ništa, što izmiče našoj spoznaji tako da se na pitanje šta je bitak uvijek I Vježba Pročitaj tekst i navedi svoje mišljenje da li svaki početak mora biti na ovaj način ispitan, sa ovom formom zapitanosti šta? Pošto je dat odgovor na to šta, usmjeri svoju misao o istom na druge

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα