Verovatnoa i raspodele verovatnoa (sluajno promenljivih veliina)

Transcript

1 Verovatnoa i raspodele verovatnoa (sluajno promenljivih veliina) Jelena Marinkovi oktobar, godine

2 Sadržaj Verovatnoa objektivna a priori a posteriori subjektivna Osnovne osobine verovatnoe Operacije sa verovatnoom Tipovi verovatnoe uslovna verovatnoa Bajesova teorema Promenljive veliine (varijable),sluajno promenljive veliine Raspodele verovatnoa sluajno promenljivih veliina ina Klasifikacija I: prekidne (diskontinuirane) binomna raspodela, itd. neprekidne (kontinuirane) normalna raspodela, itd. Klasifikacija II: teorijske binomna, normalna, itd. uzorake normalna, t, hi-kvadrat, F, itd.

3 Literatura Udžbenik strane delimino , , (uzorake raspodele) ne Web lokacija Medicinskog fakulteta u/?sid=712

4 Verovatnoa i... kolokvijalni jezik pogled na svet primena u medicini postavljanje dijagnoze ili izbor terapije; poreenje grupa korišenjem uslovnih verovatnoa relativni rizik, odnos šansi itd.

5 Verovatnoa i statistika Statistika: Imajui informaciju o onom u ruci (uzorku), šta je u kofi (osnovnom skupu)? Verovatnoa: Imajui informaciju o onom u kofi (osnovnom skupu), šta je u ruci (uzorku)?

6 Šta je verovatnoa? Definicije: Formalni nain merenja neizvesnosti. Mera sluajnosti dogaaja. Iskazuje se kao razlomak, kolinik ili procenat. Izraunava se kao: objektivni / frekvencionistiki pristup prebrojavanje broja jednako verovatnih ishoda (a priori) relativna frekvencija nejednako verovatnih ishoda (a posteriori) subjektivni / Bajesovski pristup

7 Osobine verovatnoe Verovatnoa dogaaja, recimo dogaaja A, oznaava se sa P(A). Sve verovatnoe su izmeu 0 i 1. Zbir verovatnoa svih moguih iskljuivih ishoda je jednak 1.

8 Operacije sa verovatnoom Zakon adicije (meusobna iskljuivost dogaaja=?) DA! - P(A U B) = P(A) + P(B) NE! - P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) Zakon multiplikacije (nezavisnost dogaaja=?) DA! - P(A B) = P(A) x P(B) NE! - P(A B) = P(A) x P(A/B)

9 Tipovi verovatnoe marginalne P(A) verovatnoa unije P(A ili B) verovatnoa a preseka P(A i B) uslovna verovatnoa P(A/B)

10 Uslovna verovatnoa Verovatnoa da e se dogaaj A pojaviti, ako se dogaaj B ve desio. Oznaava se sa P(A/B). Izraunava se kao: P(A/B) = P(A B) P(B)

11 Bajesova teorema (manuskript)

12 Bajesova teorema Znajui: tada je: Konano, uzimajui da je i zamenjujui ukupnu verovatnou u imeniocu:

13 Zašto je Bajesova teorema zanimljiva i medicinarima? Naješe imamo kauzalno znanje tipa: P(simptom/bolest)... a želimo da rasuujemo na osnovu dokaza: P (bolest/simptom)

14 Od verovatnoe do raspodele verovatnoa sluajno promenjive veliine

15 Jedan eksperiment i ponavljanje eksperimenata; elementarni i složeni dogaaji

16 Sluajno promenljiva veliina Promenljiva veliina (varijabla) može uzeti bilo koju od specifikovanog skupa vrednosti. Kada je numerika vrednost varijable ishod sluajnog dogaaja aja ta promenljiva veliina ina zove se sluajnom. prekidna (diskretna) ima konaan i prebrojiv skup moguih vrednosti broj devojica roenih istog dana u jednom malom porodilištu neprekidna (kontinuirana) uzima sve vrednosti u definisanom intervalu - telesna masa beba roenih u ovom porodilištu

17 Diskretno ili neprekidno? broj spontanih pobaaja koliina vode koja se potroši u jednoj opštini u toku jednog dana koliko se kasni na poetak predavanja broj bakterija u uzorku vode koliina CO koja nastane prilikom sagorevanja 10 l bezolovnog benzina vaša težina dužina ekanja u ordinaciji lekara opšte medicine

18 Raspodela verovatnoa sluajno promenljive veliine Tabela, grafikon ili jednaina koja povezuje svaku moguu vrednost koju ta promenljiva može dobiti sa verovatnoom njenog pojavljivanja. prekidne raspodele verovatnoa broj devojica, X verovatnoa P(X) p(x) 1 Σ p(x) = 1

19 Raspodela verovatnoa neprekidne sluajno promenljive veliine (funkcija gustine verovatnoa) verovatnoa nekog dogaaja je površina ispod funkcije gustine verovatnoa i iznad vrednosti sluajno promenljve X koje formiraju dogaaj Površina = P(A) Dogaaj A

20 Verovatnoa neprekidne sluajno promenljive veliine Verovatnoa je površina ispod krive! P( c x d) = f( x ) dx f(x) d c c d X

21 Opisivanje raspodela verovatnoa - prekidne SPV mere centralne tendencije sredina ili oekivana vrednost E(X) = x = [ x i * P(x i ) ] x i i mere varijabiliteta varijansa 2 = [ x i E(x) ] 2 * P(x i )

22 Najpoznatija diskretna i najpoznatija neprekidna raspodela verovatnoa

23 Binomna raspodela verovatnoa Bernulijevi eksperimenti samo dva meusobno iskljuiva ishoda u svakom eksperimentu (jedan je arbitrarno oznaen kao uspeh, a drugi neuspeh) verovatnoa uspeha P(Uspeha) = p je ista u svakom eksperimentu (ekvivalentno, verovatnoa neuspeha P(Neuspeha)= 1 P(Uspeha) = 1 p = q, je ista u svakom eksperimentu) eksperimenti su nezavisni

24 Binomna raspodela verovatnoa (2) n = fiksiran broj Bernulijevih eksperimenata p = verovatnoa uspeha u svakom eksperimentu X = broj uspeha u eksperimentima binomna raspodela verovatnoa p( x) = n p x x q n x = n! x!( n x)! p x (1 p) n x

25 Binomna raspodela verovatnoa (3) Binomna raspodela verovatnoa sa n eksperimenata i verovatnoom uspeha p ima: aritmetiku sredinu varijansu standardnu devijaciju np 2 σ = np 1 ( p) 2 σ = σ = np 1 ( p)

26 Binomna raspodela verovatnoa sa n=5 i p= n= C

27 Binomna raspodela verovatnoa sa n=10 i p= n= C

28 Binomna raspodela verovatnoa sa n=30 i p= n= C

29 Binomna raspodela verovatnoa sa p=0.2 n=5 n= n=5 0.2 n= C C n=30 n= C

30 Normalna raspodela verovatnoa Za sluajno promenljivu veliinu X kaže se da ima normalnu raspodelu ako je podruje njenih vrednosti (-, + ), a funkcija verovatnoe e oblika: f 1 ( x µ ) ( x) = e 2σ σ 2 π 2 2

31 Znaaj normalne raspodele Opisuje veinu sluajnih procesa ili neprekidnih fenomena Koristi se kao aproksimacija diskretnih raspodela verovatnoa, npr. binomne Osnova za statistiko zakljuivanje

32 Normalna raspodela zvonasta i simetrina f(x) aritm.sr., medijana i mod su jednaki slu. prom. ima beskonaan opseg Aritmet. sredina Medijana Mod X

33 Efekat variranja parametara (µ i σ) f(x) B A C X

34 Verovatnoa normalne raspodele Verovatnoa je površina ispod krive! = c P( c x d) f ( x) dx d? f(x) c d x

35 Beskonaan broj tablica Normalne raspodele razlikuju se po vrednostima svojih aritmetikih sredina i standardnih devijacija f(x) X

36 Beskonaan broj tablica Normalne raspodele razlikuju se po vrednostima svojih aritmetikih sredina i standardnih devijacija f(x) Svaka raspodela zahtevala bi svoju sopstvenu tablicu. To je beskonaan broj! X

37 Rešenje! Standardizuju normalnu raspodelu!

38 Standardizuj normalnu raspodelu! Normalna raspodela σ µ X

39 Standardizuj normalnu raspodelu! Normalna raspodela σ Z = X µ σ Standardizovana Normalna rasp. σ = 1 µ X µ = 0 Z Jedna tablica!

40 Primer za standardizaciju Normalna raspodela σ = 10 µ= X

41 Nastavak Z = X σ µ = =. 12 Normalna raspodela σ = 10 µ= X

42 Nastavak Normalna raspodela Z = X σ µ = =. 12 Standardizovana Normalna rasp. σ = 10 σ = 1 µ= X µ= 0.12 Z

43 Nai verovatnoe! Tablica (izvadak izvadak) Z verovatnoe σ = µ= 0.12 Z zasenena površina

44 Kumulativne verovatnoe za neke važne z vrednosti P( Z >1.65)=.10 P( Z >1.96) =.05 P( Z >2.59) =.01

45 99.7% 95% 68% f(x) P(Z>=2.0) = P(-2<=Z<=+2) = 1 2x = P(Z>=1.96) = P(-1.96<=Z<=+1.96) = 1 2x0.025 = 0.95

46 Teorijske i uzorake raspodele verovatnoa

47 Uzorake raspodele - Populacija i uzorak

48

49 Oznaava se (malim) slovima abecede.

50

51 Populacija aritmetika sredina = 3 SD = 1.22 uestalost uzorake aritmetike sredine

52 Centralna granina teorema Ako je veliina uzorka (n) dovoljno velika X ima normalnu raspodelu bez obzira na tip populacione raspodele i to sa parametrima: µ = µ x σ σ = x n

53 Šta je dovoljno veliki uzorak?! X n 30! X X " # $

54 Studentova t-raspodela raspodela verovatnoa kada je veliina uzorka mala William Gosset, 1908 g., pseudonim Student tipina kada je populaciona standardna devijacija nepoznata pa se ocenjuje na osnovu uzorakih podataka X

55 Studentova t - raspodela!, n=2, df=1, n=10, df=9, n=30, df=29

56 χ 2 (hi-kvadrat) raspodela uzoraka raspodela varijanse 2 χ ν s ( N 1) s = = 2 2 σ σ 2 2 ν=9 ν=29 ν=99 p(χ 2 ) χ 2

57 Edgar Degas: Gospoa Valpincon sa hrizantemama,1865