ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu

Transcript

1 @

2

3 ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvte Mirce Oltenu

4

5 Cuprins Integrle improprii şi cu prmetri 5. Noţiuni teoretice Integrle improprii Integrle cu prmetri Integrle duble şi triple 5. Noţiuni teoretice Integrle duble Integrle triple Integrle curbilinii şi de suprfţă Noţiuni teoretice Integrle curbilinii Integrle de suprfţă Formule integrle Noţiuni teoretice Formul Green-Riemnn Formul Guss-Ostrogrdski Formul lui Stokes

6

7 Cpitolul Integrle improprii şi cu prmetri. Noţiuni teoretice Integrle improprii Fie, b R şi fie f : [, b) R o funcţie locl integrbilă integrbilă pe orice intervl compct [u, v] [, b)). Integrl improprie în b) se numeşte convergentă dcă limit t lim t b fx)dx există şi este finită; ltfel, integrl se numeşte divergentă. că f : [, ) R este locl integrbilă, tunci integrl improprie l ) există şi este finită. Integrl improprie fx)dx b pote fi şi ) se numeşte bsolut convergentă dcă integrl Exemple fx)dx se numeşte convergentă dcă limit b b t lim fx)dx t b fx)dx fx) dx este convergentă.. Fie, ) şi α R. Atunci integrl 5 dx este convergentă dcă şi xα

8 6 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI numi dcă α >. b. Fie, b R, < b şi α R. Atunci integrl dx este conver- b x) α gentă dcă şi numi dcă α <. emonstrţie. Fie α ; tunci: b ) t t α lim dx = lim t xα t α α < dcă şi numi dcă α >. α că α =, tunci: b. Anlog. Criterii de convergenţă Criteriul lui Cuchy t lim dx = lim ln t ln ) =. t x t Fie f : [, b) R, locl integrbilă; tunci integrl b ft)dt este convergentă dcă şi numi dcă ε >, b ε [, b) stfel încât x, y b ε, b) să y rezulte ft)dt < ε. x Criteriul de comprţie Fie f, g : [, b) R, b pote fi şi ) stfel încât f g; i. dcă integrl este convergentă. ii. dcă integrl b b gx)dx este convergentă, tunci şi integrl fx)dx este divergentă, tunci şi integrl este divergentă. Criteriul de comprţie l limită Fie f, g : [, b) [, ) stfel încât există limit: i. că l [, ) şi convergentă. ii. b că l, ) su l = şi l = lim x b fx) gx). gx)dx este convergentă, tunci şi b b b b fx)dx gx)dx fx)dx este gx)dx este divergentă, tunci şi

9 .. NOŢIUNI TEORETICE 7 b fx)dx este divergentă. Criteriul de comprţie cu x α Fie R şi f : [, ) [, ), locl integrbilă stfel încât există i. că α > şi l <, tunci ii. că α şi < l, tunci l = lim x xα fx). fx)dx este convergentă. fx)dx este divergentă. Criteriul de comprţie cu b x) α Fie < b şi f : [, b) [, ), locl integrbilă stfel încât există i. că α < şi l <, tunci ii. că α şi < l, tunci l = lim x b b x) α fx). b b Criteriul lui Abel Fie f, g : [, ) R cu proprietăţile: f este de clsă C, lim fx) =, x g este continuă, ir funcţi Gx) = Atunci integrl x fx)gx)dx este convergentă. fx)dx este convergentă. fx)dx este convergentă. f x)dx bsolut convergentă, ft)dt este mărginită pe [, ). Integrle cu prmetri Fie A şi [, b] R un intervl compct. Fie f : [, b] A R o funcţie de două vribile rele) stfel încât pentru orice y A plicţi [, b] x fx, y) R este integrbilă Riemnn. Funcţi definită prin: F : A R, F y) = b fx, y)dx,

10 8 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI se numeşte integrlă cu prmetru. Continuitte integrlei cu prmetru că f : [, b] A R este continuă, tunci integrl cu prmetru F y) = b fx, y)dx este funcţie continuă. Formul lui Leibniz de derivre Fie f : [, b] c, d) R o funcţie continuă stfel încât derivt prţilă f există şi este continuă pe [, b] c, d). Atunci integrl cu prmetru y F y) = b fx, y)dx este derivbilă şi F y) = b f x, y)dx, y c, d). y Formul generlă de derivre Fie f : [, b] c, d) R o funcţie continuă stfel încât derivt prţilă f y există şi este continuă pe [, b] c, d) şi fie ϕ, φ : c, d) [, b) două funcţii de clsă C. Atunci funcţi Gy) = G y) = φy) ϕy) φy) ϕy) fx, y)dx este derivbilă şi: f y x, y)dx + fφy), y)φ y) fϕy), y)ϕ y), y c, d). Schimbre ordinei de integrre Fie f : [, b] [c, d] R o funcţie continuă; tunci: b d c fx, y)dy ) dx = d b c fx, y)dx ) dy. Integrle improprii cu prmetri Fie f : [, b) A R o funcţie cu propriette că pentru orice y A, plicţi [, b) x fx, y) R este locl integrbilă şi integrl improprie) b fx, y)dx converge. Se pote defini în cest cz funcţi F x, y) = b fx, y)dx,

11 .. NOŢIUNI TEORETICE 9 numită integrlă improprie cu prmetru. Integrl b mulţime A dcă fx, y)dx se numeşte uniform convergentă în rport cu y) pe ε >, b ε, b) stfel încât b fx, y)dx t < ε, t b ε, b), y A. Continuitte integrlei improprii cu prmetru că f : [, b) A R este continuă şi dcă integrl uniform convergentă pe A, tunci funcţi F : A R, F y) = b fx, y)dx este b fx, y)dx este continuă. erivre integrlei improprii cu prmetru Fie f : [, b) c, d) R o funcţie continuă stfel încât derivt prţilă f există şi este continuă pe [, b) c, d) şi pentru orice y c, d) fixt y b b f integrl fx, y)dx este convergentă. că integrl x, y)dx este y uniform convergentă pe c, d), tunci integrl improprie cu prmetru F y) = b fx, y)dx este derivbilă şi F y) = b f x, y)dx, y c, d). y Schimbre ordinei de integrre în integrl improprie că f : [, b) [c, d] R este continuă şi dcă integrl uniform convergentă pe c, d), tunci : d ) b fx, y)dx dy = c b d c fx, y)dy ) b dx. fx, y)dx este Criterii de uniform convergenţă Criteriul lui Cuchy Fie f : [, b) A R o funcţie cu propriette că pentru orice y A, plicţi [, b) x fx, y) R este locl integrbilă. Atunci următorele firmţii sunt echivlente: i. integrl improprie b fx, y)dx este uniform convergentă pe A.

12 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI ii. ε >, b ε, b) stfel încât pentru orice u, v b ε, b) rezultă v fx, y)dx < ε, y A. u Criteriul de comprţie Fie f : [, b) A R o funcţie cu propriette că pentru orice y A, plicţi [, b) x fx, y) R este locl integrbilă şi fie g : [, b) R stfel încât fx, y) gx), x [, b), y A. că integrl este convergentă, tunci integrl b Funcţiile lui Euler Fie şi B funcţiile integrlele) lui Euler: Bp, q) = α) = b gx)dx fx, y)dx este uniform convergentă. x α e x dx, α >, x p x) q dx, p >, q >. Proprietăţile uzule le funcţiilor şi B. ) =. b. α + ) = αα). c. Bp, q) = Bq, p). π d. α) α) =, α, ). sinαπ) e. Bp, q) = p)q) p + q). f. Bp, q) = y p dy. + y) p+q g. n) = n )!, n N. h. ) = π. i. n + ) = n ) n π.. Integrle improprii Aplicnd criteriile de comprţie cu x α şi, să se studieze b x) α ntur integrlelor următore exerciţiile -):

13 .. INTEGRALE IMPROPRII. dx x +. lim x x x =, deci integrl este divergentă. +. x x dx. lim x) x = x x, deci integrl este convergentă. 3. sin x x dx. sin x x) lim x = sin x, deci integrl este divergentă. Următorele integrle sunt improprii în mbele cpete. 4. lim x x x x 3 dx. x x 3 este convergentă). 5. =, deci integrl este divergentă, deşi în x = integrl ln x x 3 dx. Integrl este convergentă: lim x 6. dx x x. ln x x 3 =, lim x x, ln x x 3 =. lim x 3 x x =, deci integrl este convergentă l infinit, dr este divergentă în x = : lim x ) x x x x = 3, deci integrl este divergentă.

14 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI 7. x n e x dx, n N. + x Integrl este convergentă pentru orice n N: lim + x) x n e x = e, x + x lim x x xn e x =. + x 8. dx xln x) α, α >. Cu schimbre de vribilă ln x = u, obţinem integrl du, cre este di- uα vergentă pentru orice α >. 9. x m dx, m N {}. ln x Integrl este convergentă: lim x x m x ln x =, lim x ) x m x ln x =.. rctgx) x m dx, >, m N {}. că m =, integrl este divergentă; dcă m >, integrl este convergentă.. Să se rte că integrl bsolut convergentă. sin x dx este convergentă, dr nu este x

15 .3. INTEGRALE CU PARAMETRI 3 Convergenţ l ) rezultă plicând criteriul lui Abel: fx) = x şi sin x gx) = sin x. În integrl este convergentă deorece funcţi x se pote prelungi prin continuitte. Presupunem cum prin bsurd c integrl dx r fi bsolut convergentă. Atunci, din ineglitte: sin x x cos x = sin x sin x, r rezult plicând criteriul de comprţie) că integrl este convergentă; de ici, r rezult întrucât integrl convergentă, conform criteriului lui Abel), că şi integrl dx r fi con- x vergentă, cee ce constituie o contrdiţie. cos x x cos x x dx dx este.3 Integrle cu prmetri. Să se studieze continuitte funcţiei F y) = sin xy dx, y R. + x sin xy Fie fx, y) =, x, y) [, ) R. Evident, f este funcţie continuă. +x emonstrăm cum că integrl improprie) cu prmetru fx, y)dx este uniform convergentă în rport cu y pe R şi deci funcţi F este continuă. Evident, re loc ineglitte: fx, y), x, y) [, ) R. + x

16 4 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI Integrl improprie dx este convergentă şi deci, conform criteriu- + x lui de comprţie, integrl dtă este uniform convergentă. 3. Fie f : [, ], ) R, fx, y) = x e ) x y y şi fie integrl prmetru F y) = fx, y) dx. Să se clculeze: i. lim fx, y), y ii. lim fx, y) dx. y i. Pentru orice y >, vem: F y) = În consecinţă, rezultă: lim ii. Pe de ltă prte: fx, y)dx = ) e x y y fx, y)=. = e y. lim fx, y) dx = dx =. y { ln x + y dcă x, y) [, ], ) ln x dcă x, y), ] {} 4. Fie fx, y) = fx, y)dx dcă y > şi fie F y) = dcă y = i. Să se demonstreze că funcţi F este continuă. ii. Să se clculeze F ). iii. Să se clculeze f x, ) dx. y i. Pentru orice y >, integrând prin părţi, obţinem: F y) = Pentru y =, obţinem F ) = fx, y)dx = x ln x + y x x + y dx = = ln + y + y rctg y. fx, )dx = )dx =.

17 .3. INTEGRALE CU PARAMETRI 5 Funcţi F este continuă în : lim F y) = lim ln + y + y rctg y + y + y =. ii. erivt F ) se clculeză cu definiţi: F F y) F ) ) = lim = lim y + y y + y ln + y + rctg ) = π y. iii. Pentru orice x, ], vem: Rezultă f ln x x, ) = lim + y ln x ln + y x = lim y y + y y + f x, )dx =. y ) y x) y x =. 5. Fie f : [, ) [, ] R, fx, y) = ye xy şi fie integrl cu prmetru F y) = fx, y)dx, y [, ]. Să se studieze continuitte funcţiei F. Evident, F ) = ; pentru orice y, ], vem: F y) = deci F nu este continuă în. 6. Fie α >. Să se clculeze ye xy dx = e xy =, sin αx x dx. Considerăm integrl cu prmetrul y > ): F y) = yx sin x e x dx. Sunt verificte ipotezele teoremei de derivre sub integrlă şi obţinem: F y) = e yx sin xdx = y +.

18 6 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI Rezultă deci F y) = rctgy + π ; în concluzie: sin x x dx = lim F y) = π y. Se rtă simplu printr-o schimbre de vribilă) că: sinαx) dx = π x, α >. sin αx Anlog, dcă α <, tunci x dx = π. sin αx cos βx 7. Fie α, β R; să se clculeze dx. x Se trnsformă produsul sin αx cos βx în sumă şi poi se plică rezulttul din exerciţiul nterior. 8. Să se clculeze integrl J = prmetru F α) = α ln + αx) + x dx, α >. Prin derivre în rport cu α, obţinem: F α) = ln + α ) + α ) + α + α rctgα. ln + x) dx, folosind integrl cu + x Primitivele cestei funcţii sunt: rctg α ln+α )+k, k R. r F ) = şi deci k =. Rezultă J = F ) = π 8 ln. 9. Să se clculeze integrl: F y) = π că y =, tunci, evident, F ) =. Fie y >, y ; tunci: F y) = π lncos x + y sin x)dx, y >. y sin π x cos x + y sin x dx = y tg x + y tg x dx =

19 .3. INTEGRALE CU PARAMETRI 7 = y y = y u + y u ) + u ) du = + y u + u ) = π + y. Rezultă F y) = π ln + y) + k, unde k este o constntă ce se determină din condiţi F ) = ; se obţine k = π ln, şi deci F y) = π ln +y.. Pentru orice >, b >, să se clculeze J = Integrl J se pote scrie şi sub form: J = x b x ln x x b x ) b ln x cosln x)dx = cosln x) x y dy dx = = b Vom clcul mi întâi integrl: J = ) x y cosln x)dx dy. de vribilă: t = ln x ;obţinem: J = y+ +y+). Să se clculeze integrlele: Jα) = J α) = π π rctgαtgx) dx, α >, α şi I = tgx cosln x)dx. x y cosln x)dx, folosind schimbre, şi deci J = π x tgx dx. ln +b+) ++). dx + α tg. Pentru clcul ultim integrl fcem schimbre x de vribilă t = tgx ; în finl obţinem Jα) = π ln + α) şi I = π ln.. Să se clculeze integrlele: π + cos x ln cos x. F ) = b. G) = rctgx) x + x ) ) dx, <. cos x dx, R,.

20 8 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI. F ) = F ) = π şi deci F ) = π rcsin. b. G ) = cos dx; cu schimbre de vribilă t = tgx, obţinem: x t + ) dt = rctg t dx + x ) + x ) = π + ) şi deci G) = π 3. Să se clculeze integrlele:. J, b) = b. F ) = ln + x ) b + x dx, >, b >, b. ln x ) x dx, <. x. erivând în rport cu, obţinem: = J = + x )b + x ) dx = b + x b + x )dx = π b + b). = π, ln + ). Rezultă deci J = π b ln + b) + Kb). Pentru clcul Kb), clculăm Jb, b) = lnb + x ) b + x dx = π π lnb + b tg t) b + b tg b + tg t)dt = t b cos t dt = π b ln b π ln cos tdt. b = ln b Ultim integrlă se pote clcul cu schimbre de vribilă t = π y şi se obţine π ln cos tdt = π ln. Rezultă Jb, b) = π b lnb) şi deci Kb) =. b. erivând în rport cu, obţinem: F ) = x ) x dx =

21 .3. INTEGRALE CU PARAMETRI 9 = π sin dt = t du u + = π, ) deci F ) = π + k ; dr F ) =, deci F ) = π ). 4. Să se clculeze integrl: erivt funcţiei J este: Rezultă: J ) = J) = dx + x ) x = = rctg x) x dx, R. x π du + + ) u = π +. J) = π ln + + ) + C, cos t + sin t) cos t dt = constnt C clculându-se din J) =. În finl se obţine: J) = ln + ) +. 5.Formul lui Froullni Fie < < b şi fie f : [, ) R o funcţie continuă şi mărginită stfel încât integrl ft) dt este convergentă. Să se demonstreze eglitte: t Vom demonstr mi întâi eglitte: u fbx) fx) dx = f) ln x b. fbx) fx) dx = x u bu ft) dt, u >. ) t Fie u > ; cu schimbre de vribilă bx = t, obţinem: u fbx) x dx = bu ft) dt. t

22 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI Anlog, se demonstreză şi eglitte: u fx) x dx = u ft) dt. t Prin scădere membru cu membru celor două eglităţi rezultă eglitte ). emonstrăm cum formul lui Froullni; folosind eglitte ), vem: fbx) fx) dx = lim x u u fbx) fx) u dx = lim x u bu Pentru clcul ultim integrlă considerăm funcţi hu) = sup ft) f). t [u,bu] in continuitte funcţiei f, rezultă lim u hu) =. Evident, vem: u bu ft) u dt = t bu Prim integrlă tinde l pentru u : În concluzie: u bu u bu ft) f) t ft) f) u dt + t bu u dt hu) dt = hu) ln t b fbx) fx) u dx = lim x u bu bu f) dt. t ft) f) dt t tunci când u. ft) u dt = lim t u bu ft) dt. t f) dt = f) ln t b. 6. Fie < < b; să se clculeze integrlele: e x e bx. dx. x cos x cos bx b. dx. x Se plică formul lui Froullni.

23 .3. INTEGRALE CU PARAMETRI. b. c. 7. Să se clculeze, folosind funcţiile şi B, integrlele: e xp dx, p >. x 4 x + ) dx. dx x 3 + dx.. Cu schimbre de vribilă x p = y,obţinem: e xp dx = p y p p e y dy = ) p p În czul prticulr p =, obţinem: 3 π e x dx = = ). b. Folosind proprietăţile funcţiilor lui Euler, obţinem: x 4 5 x + ) dx = B 4, 3 ) 4 ) ) 3 4 = 5 4 ) c. Cu schimbre de vribilă x 3 = y,obţinem: dx x 3 + = 3 = 4 4 y 3 + y dy = 3 B 3, ) 3 ) = p +. ) 3 = 4) π 4. = 3π. 9. b. c. 8. Să se clculeze integrlele: π sin p x cos q x dx, p >, q >. x p+ x m ) q dx, p >, q >, m >. x p e xq dx, p >, q >.

24 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI d. ln p x ) dx, p >. dx e., n N. x n ) n. Cu schimbre de vribilă sin x = y, obţinem: π sin p x cos q xdx = y p q p + y) dy = B, q + ). b. Cu schimbre de vribilă x m = y, obţinem: x p+ x m ) q dx = ) p + m B m, q. c. Cu schimbre de vribilă x q = y, obţinem: x p e xq dx = q y p+ q e y dy = p + q q d. Cu schimbre de vribilă ln x ) = y, obţinem: ) ln p dx = y p e y dy = p + ). x e. Cu schimbre de vribiă x n = y, obţinem: dx = y x n ) n y) n dy = n n n B n, ) n ). = π n sin π. n 9. Să se clculeze integrl e x cos xdx. Folosind dezvoltre în serie de puteri în jurul lui ) funcţiei cos şi teorem de integrre termen cu termen seriilor de puteri, obţinem: = n ) n n)! e x cos xdx = n ) n n)! e x x n dx = yn e y dy = ) n n n)! + ) = n

25 .3. INTEGRALE CU PARAMETRI 3 = n ) n n)! n ) π π = n+ n π = n! 4) e 4. n 3. Să se clculeze în funcţie de B integrlele: I = dx x 3 şi J = dx x 3. Pentru I se fce schimbre de vribilă x = t 3 ; rezultă: I = 3 t 3 t) dt = 3 B 3, ). Pentru clculul lui J se fce schimbre de vribilă x. = t 3 ; rezultă: J = 3 t 5 6 t) dt = 3 B 6, ). 3. Să se clculeze integrlele lui Fresnel: I = cos x dx şi J = sin x dx. Convergenţ celor două integrle rezultă din criteriul lui Abel şi cu schimbre de vribilă x = y. Clculăm cum: J ii = e ix dx. Cu schimbre de vribilă x = it şi folosind relţi ) =, obţinem I = J = π.

26 4 CAPITOLUL. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRI

27 Cpitolul Integrle duble şi triple. Noţiuni teoretice Măsur Lebesgue Fie R k spţiul euclidin k-dimensionl şi fie i b i, i =,..., k. Un prlelipiped în R k este orice mulţime de form: P = {x, x,..., x k ) i x i b i, i =,,..., k}. Ineglităţile nestricte pot fi înlocuite şi de ineglităţi stricte. Prin definiţie, mulţime vidă şi R k sunt prlelipipede. Măsur Lebesgue) unui prlelipiped este definită prin: µ P ) = Π n i=b i i ). În czurile prticulre k =,, 3 se obţin noţiunile uzule de lungime, rie, volum. O submulţime E R k se numeşte elementră dcă există P, P,..., P n n prlelipipede stfel încât E = P i. i= Notăm cu E fmili mulţimilor elementre din R k. Orice mulţime elementră se pote scrie c reuniune de prlelipipede disjuncte două câte două. că E = P i este o stfel de descompunere, n i= n tunci măsur Lebesgue lui E este: µe) = µp i ). Se pote răt că i= µe) nu depinde de descompunere considertă. 5

28 6 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE Proprietăţile plicţiei µ pe fmili mulţimilor elementre sunt: i. dcă A, B E tunci A B, A B, A \ B sunt mulţimi elementre. ii. dcă A, B E stfel încât A B = tunci µa B) = µa) + µb). iii. pentru orice A E şi ε > există F, G E, F închisă şi G deschisă stfel încât: F A G µg) ε < µa) < µf ) + ε. Aplicţi µ se prelungeşte l tote părţile lui R k ; fie A R k şi fie µ A) = inf{ µa n ) A A n, A n E, A n deschisă n N}. n N n N Aplicţi µ se numeşte măsură exterioră; principlele proprietăţi sunt: i. µ A), A R k. ii. dcă A A tunci µ A ) µ A ). iii. dcă E E ) tunci µ E) = µe). iv. µ A n µ A n ), A n R k. n N n N Se demonstreză că există o σ-lgebră de părţi le lui R k, nottă M stfel încât restricţi µ : M [, ] este măsură. Măsur stfel obţinută nottă µ) se numeşte măsur Lebesgue în R k ), ir elementele lui M se numesc mulţimi măsurbile Lebesgue. ) Principlele proprietăţi le spţiului cu măsură R k, M, µ sunt: i. M conţine mulţimile Boreliene. ii. dcă A M tunci µa) = inf{µ) deschisă şi A}. iii. dcă A M tunci µa) = sup{µk) K compctă şi K A}. iv orice mulţime compctă re măsură Lebesgue finită. v. dcă A M, µa) = şi B A tunci B M şi µb) =. vi. dcă A M tunci pentru orice x R k mulţime trnslttă) A + x = { + x A} este măsurbilă Lebesgue şi µa + x) = µa). Integrl Lebesgue că f este o funcţie integrbilă în rport cu măsur Lebesgue în R k ), tunci integrl corespunzătore pe o mulţime A) se noteză fx, x,..., x k )dx dx...dx k. A În czurile prticulre uzule) k =,, 3 se folosesc notţiile: fx)dx, fx, y)dxdy, fx, y, z)dxdydz. A A A

29 .. NOŢIUNI TEORETICE 7 Legătur cu integrbilitte în sens Riemnn i. că f : [, b] R este o funcţie integrbilă Riemnn pe intervlul compct [, b]), tunci f este şi integrbilă în rport cu măsur Lebesgue şi cele două integrle sunt egle. ii. că f : [, b] R este o funcţie mărginită tunci e este integrbilă Riemnn dcă şi numi dcă mulţime punctelor sle de discontinuitte re măsur Lebesgue nulă se spune că f este continuă.p.t.). iii. Există funcţii cre sunt integrbile Lebesgue dr nu sunt integrbile Riemnn; de exemplu, funcţi lui irichlet pe intervlul [, ]) nu este integrbilă Riemnn dr este integrbilă Lebesgue integrl s este, pentru că funcţi este nulă.p.t.). iv. că b fx)dx este o integrlă Riemnn improprie bsolut convergentă tunci f este integrbilă Lebesgue şi integrlele sunt egle. Există însă integrle Riemnn improprii convergente b fx)dx dr nu bsolut convergente) pentru cre funcţi f nu este integrbilă Lebesgue; de exemplu fx) = sin x x pe intervlul, ). Teorem lui Fubini În continure notăm x, y) R k+p, măsur Lebesgue în R k cu dx, măsur Lebesgue în R p cu dy şi măsur Lebesgue în R k+p cu dxdy. Fie f : R k+p R o funcţie integrbilă Lebesgue; tunci: R k ) fx, y)dy = fx, y)dxdy = R p R k+p R p ) fx, y)dx dy. R k Următorele czuri prticulre le rezulttului de mi sus sunt frecvent utilizte în plicţii. i. Fie ϕ, φ : [, b] R două funcţii continue stfel încât ϕ φ şi fie mulţime K = {x, y) R x [, b], ϕx) y φx)}. că f : K R este o funcţie continuă, tunci f este integrbilă Lebesgue pe K şi: b ) φx) fx, y)dxdy = fx, y)dy dx. În prticulr, ri mulţimii K este: K µk) = K dxdy = b ϕx) φx) ϕx)) dx.

30 8 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE ii. Fie R o mulţime compctă, fie ϕ, φ : R două funcţii continue stfel încât ϕ φ şi fie Ω = {x, y, z) R 3 x, y), ϕx, y) z φx, y)}. că f : Ω R este o funcţie continuă, tunci f este integrbilă Lebesgue pe Ω şi: ) φx,y) fx, y, z)dxdydz = fx, y, z)dz dxdy. Ω În prticulr, volumul lui Ω este: µω) = dxdydz = Ω ϕx,y) φx, y) ϕx, y)) dxdy. Formul schimbării de vribile Fie A R n o mulţime deschisă şi fie Λ : A ΛA) R n un difeomorfism. Pentru orice funcţie continuă f : ΛA) R, vem: fx)dx = f Λ)y) J Λ y) dy, ΛA) unde J Λ este icobinul difeomorfismului Λ. A. Integrle duble. Săse clculeze următorele integrle duble:. xy dxdy, unde = [, ] [, 3]. b. xydxdy, unde = {x, y) R ; y [, ], y x y}. c. ydxdy, unde = {x, y) R ; x ) + y }.. b. c. xy dxdy = xydxdy = ydxdy = y 3 3 dx xy dy = xydx = y x ) dx ydy =. x ) 9 3 x dx = 9 6. y 3 y 5) dy = 4.

31 .. INTEGRALE UBLE 9. b. c.. Să se clculeze integrlele duble: x+3y)dxdy, fiind mulţime plnă mărginită de curbele de ecuţii y = x +, y = x, x =, x = 3. e x+y dxdy, fiind mulţime plnă măginită de curbele de ecuţii x + y = 3, x + y = 3, y =, y = 3. xdxdy, fiind mulţime plnă mărginită de curb de ecuţie Soluţii. x + 3y)dxdy = 3 x + y = 9, x. x + dx x + 3y)dy. x b. Fie = {x, y) ; x + y } şi = \. Atunci = şi: c. e x+y dxdy = e x y dxdy + e x+y dxdy = = xdxdy = y 3 3 y dy e x y dx + dy e x+y dx. 3 y y 9 y dy xdx. 3. Folosind coordontele polre, să se clculeze integrlele:. e x +y dxdy, = {x, y) R ; x + y }. ) b. + x + y dxdy, = {x, y) R ; x + y y, x }. c. ln + x + y )dxdy, fiind mărginit de curbele de ecuţii x + y = e, y = x 3, x = y 3, x. Coordontele polre sunt x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, icobinul este ρ, ir domeniul mxim pentru coordontele ρ şi ϕ este ρ, ϕ) [, ) [.π).

32 3 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE. In coordonte polre domeniul de integrre este dreptunghiul ρ, ϕ) [, π) [, ], şi deci: e x +y dxdy = π dϕ ρe ρ dρ = π e ρ dϕ = πe ). b. Înlocuind pe x şi y în condiţiile ce definesc domeniul, obţinem ρ sin ϕ, cos ϕ şi deci ϕ [, π ), ρ [, sin ϕ]. Rezultă: ) π + x + y sin ϕ dxdy = dϕ ρ + ρ)dρ = π c. omeniul de integrre în coordonte polre este dreptunghiul ρ, ϕ) [, e] [ π 6, π 3 ], deci: ln + x + y )dxdy = = π + e ) e π 3 dρ ρ ln + ρ )dϕ = π 6 ) ln + e ) + π. 4. Să se clculeze cu o erore mi mică decât integrlele: dxdy. A + xy, A = [, ] [, ]. lnx + y ) b., dxdy, unde: B x + y )x + y ) Soluţii. = A B = {x, y) ; x + y e ) }. dxdy + xy = dx dy + xy = ln + xy) x dx = ln + x) ) n dx = x n + xn dx = ) n n + ) n n n+ =

33 .. INTEGRALE UBLE 3 b. Folosim coordontele polre: B lnx + y ) x + y )x + y ) = 4π e e = 4π ln + u) e du = 4π u = 4π n n ) n e ) n+ n + ). ln ρ ρ dρ = ) n n + ρn dρ = În continure se proximeză sum seriei lternte obţinute. 5. Fie R şi fie f : [, ) o funcţie continuă. Să se clculeze volumul mulţimii Ω = {x, y, z) R 3 ; x, y), z fx, y)}, în următorele czuri:. = {x, y) R ; x + y y}, fx, y) = x + y. b. = {x, y) R ; x + y x, y > }, fx, y) = xy. c. = {x, y) R ; x + y x + y }, fx, y) = y. Volumul mulţimii Ω este dt de formul volω) = fx, y)dxdy. Trecând l coordonte polre, se obţine: volω) = x + y )dxdy = b. Cu ceeşi metodă, se obţine: volω) = xydxdy = c. Cu schimbre de vribile: π π sin ϕ dϕ ρ 3 dρ = 3 π. cos ϕ dϕ ρ 3 cos ϕ sin ϕ dρ = 4. x = + ρ cos ϕ, y = + ρ sin ϕ, ρ, ϕ) [, ] [.π), rezultă: volω) = ydxdy = π dϕ ρ + ρ sin ϕ)dρ = π.

34 3 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE 6. Să se clculeze riile mulţimilor plne mărginite de curbele de ecuţii:. x + y =, şi b fiind două constnte pozitive. b b. x + y ) = x y ), x >, fiind o constntă pozitivă. c. x + y ) = xy, fiind o constntă pozitivă. Soluţii. Ecuţi elipsei în coordonte polre generlizte, x = ρ cos ϕ, y = bρ sin ϕ, este ρ = şi deci obţinem: π ri) = dxdy = dϕ bρdρ = πb. b. Ecuţi curbei în coordonte polre este ρ = cos ϕ sin ϕ), su ρ = cos ϕ, şi deci domeniul de integrre în coordonte polre este ϕ π 4, π ), ρ, cos ϕ). 4 Rezultă: ri) = dxdy = π 4 π 4 cos ϕ dϕ ρdρ =. c. Ecuţi lemnisctei în coordonte polre este ρ = cos ϕ sin ϕ. omeniul de integrre este ϕ, π ) π, 3π ), ρ, sin ϕ); obţinem: π sin ϕ ri) = dxdy = dϕ ρdρ =. 7. Fie α R şi fie discul unitte închis. Să se clculeze integrlele: dxdy. I = x + y ) α dxdy b. J = R \ x + y ) α. I = J = π π dϕ dϕ { dρ π ρ α = α dcă α < dcă α dρ ρ α = { π α dcă α > dcă α

35 .3. INTEGRALE TRIPLE 33.3 Integrle triple 8. Fie mulţime: Ω = {x, y, z) R 3 ; x + y 4, x + y, x, y, z 5} yz Să se clculeze integrl dxdydz prin două metode: Ω x + y. proiectând Ω pe plnul xoy şi b. folosind coordontele cilindrice.. Proiecţi mulţimii Ω pe plnul xoy este Obţinem: = {x, y) R ; x [, ], x y x } Ω yz x + y dxdydz = = 5 5 yz dxdy x + y dz = y x + y dxdy, integrlă cre se clculeză folosind coordonte polre. b. Coordontele cilindrice sunt x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, domeniul mxim fiind ρ, ϕ, z) [, ) [, π) R, ir icobinul J = ρ. Pentru Ω, domeniul de integrre în coordonte cilindrice este z [, 5], ϕ [, π ], ρ [, ] şi deci: Ω 3 cos ϕ+ yz 5 x + y dxdydz = = 5 π 3 cos ϕ) 3 cos ϕ + 9. Să se clculeze integrlele:. y x) dxdydz, π dz dϕ = {x, y, z) R 3 ; x + y + z, y > } ) 3 b. x y 9 z dxdydz, 4 Ω 3 cos ϕ+ sin ϕ dϕ = π 9). Ω = {x, y, z) R 3 ; y, z, x + y 9 + z 4 }. zρ sin ϕ ρ dρ = ρ

36 34 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE c. Π z dxdydz, Π = {x, y, z) R 3 ; x + y + z ) }. Coordontele sferice sunt domeniul mxim fiind: x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ, ρ, θ, ϕ) [, ) [, π] [, π), ir icobinul J = ρ sin θ.. Pentru, domeniul în coordonte sferice este şi vem: ρ [, ], θ [, π], ϕ [, π] y x)dxdydz = π π = dρ dθ ρ 3 sin θsin ϕ cos ϕ)dϕ = π 4. b. Coordontele sferice generlizte sunt: x = ρ sin θ cos ϕ, y = bρ sin θ sin ϕ, z = cρ cos θ, vând celşi domeniu mxim c mi sus şi icobinul J = bcρ sin θ. Pentru domeniul Ω vom lu =, b = 3, c =, şi onţinem: = = π = 3π π π dρ dθ = 6π π Ω u 3 + u ) 3 ) 3 x y 9 z dxdydz = 4 6ρ ρ ) 3 sin θdϕ = 6π sin t cos 4 t dt = 6π du + u ) + u ρ ρ ) 3 dρ = + u ) 4 du = ) du 3 + u ) 3 = π ) = 3 4 π u + u ) 3 du du + u ) 3 = du + u ) = 3 6 π.

37 .3. INTEGRALE TRIPLE 35 c. Pentru Π, domeniul în coordonte sferice este ϕ [, π), θ [, π ], ρ [, cos θ) şi deci: Π zdxdydz = π π cos θ dϕ dθ ρ 3 sin θ cos θ dρ = π 8π cos 5 θ sin θ dθ = 4 3 π.. Fie < k < R; să se clculeze volumul mulţimii: Ω = {x, y, z) R 3 x + y + z R, z k}. Mulţime Ω este interiorul clotei sferice situte desupr plnului z = k. Pentru clcul volumul, trecem l coordonte sferice. Fie θ [, π ] stfel încât R cos θ = k, deci cos θ = k R ; rezultă domeniul pentru coordontele sferice): k ϕ [, π), θ [, θ ], ρ [ cos θ, R]. Se obţine: π 3 θ Ω R 3 dxdydz = ) k3 cos 3 θ = π 3 π dϕ dθ = π 3 θ dθ R k cos θ R 3 cos θ R 3 3 r k + k3 ρ sin θ dρ = ) k3 cos θ. Să se clculeze volumele mulţimilor Ω mărginite de suprfeţele de ecuţii:. x + y + z =, x + y z =, z. b. z = x + y, z = x y. c. z = 4 x y, z = 5 + x + y. d. x + y =, z = x + y, z. e. x + y = 4, x + y y =, x + y + z = 3, x, z,, ). f. x + y + z =, y + z = x, x. ). θ =

38 36 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE. Curb de intersecţie dintre elipsoid şi con este elips de ecuţii 4x + y =, z =. Proiecţi pe plnul xoy lui Ω este Rezultă: = volω) = = π dρ = {x, y) ; 4x + y }. Ω dxdydz = x y dxdy x +y dz = ) x y x + y dxdy = ρ ) ρ ρ dϕ = π 3 ). b. Curb de intersecţie celor doi prboloizi este cercul de ecuţii Proiecţi pe plnul xoy lui Ω este şi deci obţinem: volω) = x + y = 3, z =. = {x, y) ; x + y 3 }, = Ω dxdydz = 3 π dρ 3 ρ )ρ dϕ. x y dxdy dz = x +y c. Curb de intersecţie dintre cei doi prboloizi este cercul x + y = situt în plnul z = 3. Notând cu = {x, y) R x + y }, rezultă: volω) = Ω dxdydz = 4 x y dxdy dz = +x +y )

39 .3. INTEGRALE TRIPLE 37 = 3 x y ) dxdy = 3 π dρ ρ )ρ dϕ = 3 4 π. d. Curb de intersecţie dintre cilindru şi con este cercul x + y = situt în plnul z =. Notând cu = {x, y) R x + y }, rezultă: volω) = dxdydz = dxdy dz = x +y = Ω ) x + y dxdy = e. Proiecţi lui Ω pe plnul xoy este dρ π ρ) ρ dϕ = π 3. = {x, y) ; x + y 4, x + y ), x > }, şi deci obţinem: volω) = = π Ω dxdydz = 3 x y dxdy dz = dϕ ρ3 ρ cos ϕ ρ sin ϕ) dρ. sin ϕ f. Curb de intersecţie dintre sferă şi con este cercul y + z =, situt în plnul x =. Proiecţi mulţimii Ω pe plnul yoz este discul = {y, z) R y + z }; rezultă: = vol = Ω dxdydz = y + z ) dydz = 4 π dydz dx = y +z π dρ ρ dϕ = π.. Să se clculeze volumele mulţimilor Ω mărginite de suprfeţele de ecuţii:. x + y + z ) 3 = x. b. x + y ) 3 = z, z =, z = 8. c. x + y b = z, z c, >, b >, c >. c. Folosim coordontele sferice. Obţinem domeniul: θ [, π], ϕ [ π, π ], ρ [, 5 sin θ cos ϕ] şi deci: volω) = Ω dxdydz = π π 5 sin θ cos ϕ dθ dϕ ρ sin θ dρ = π

40 38 CAPITOLUL. INTEGRALE UBLE ŞI TRIPLE = π π dθ sin θ sin 3 3 π ) π 5 θ cos 5 ϕ dϕ = sin 8 5 θ dθ 3 π 3 π Clculăm prim integrlă; mi întâi, observăm că: π sin 8 5 θ dθ = π sin 8 5 θ dθ + π π sin 8 5 θ dθ = π sin 8 5 θ dθ, cos 3 5 ϕ dϕ ) cu schimre de vribilă t = θ π în dou integrlă. Vom clcul cum integrl π sin 8 5 θ dθ folosind funcţi B lui Euler se vede şi exerciţiul 8) din cpitolul 5). Cu schimbre de vribilă sin θ = y, rezultă: = π Clculăm cum integrl rezultă: π π sin 8 5 θ dθ = y 3 y) dy = π π cos 3 5 ϕ dϕ = π = În concluzie, volumul cerut este: y 4 5 y y dy = 3 B, ). cos 3 5 ϕ dϕ cu ceeşi metodă: fie sin ϕ = y; cos 3 5 ϕ dϕ = y) 5 y dy = B 4 5, volω) = B y) 3 y y dy = ). 3, ) 4 + B 5,. ) b. Folosim coordontele cilindrice; obţinem: 8 volω) = dxdydz = dz Ω π c. Folosim coordonte cilindrice generlizte: şi obţinem: volω) = x = ρ cos ϕ, y = bρ sin ϕ, z = z Ω dxdydz = c π dz dϕ 3 z dϕ ρ dρ = 3π. z c bρ dρ = π 3 bc..

41 Cpitolul 3 Integrle curbilinii şi de suprfţă 3. Noţiuni teoretice rumuri prmetrizte Fie J un intervl rel; se numeşte drum prmetrizt pe J cu vlori în R n orice plicţie continuă γ : J R n. că notăm γt) = γ t), γ t),..., γ n t)), tunci relţiile x = γ t), x = γ t),..., x n = γ n t) se numesc ecuţiile prmetrice le drumului γ. că J = [, b], tunci γ) şi γb) se numesc cpetele extremităţile) drumului. rumul se numeşte închis dcă γ) = γb). Opusul drumului γ : [, b] R n este, prin definiţie, γ : [, b] R n, γ t) = γ + b t). Evident, γ şi γ u ceeşi imgine. că γ : [, b] R n şi γ : [b, c] R n sunt două drumuri prmetrizte, tunci drumul conctent γ γ : [, c] R n este definit prin γ γ t) = { γ t), t [, b] γ t), t [b, c] Imgine lui γ γ este reuniune imginilor drumurilor γ şi γ. 39

42 4 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ Un drum γ : J R n se numeşte neted dcă plicţi γ este de clsă C şi γ t), t J. Un drum se numeşte neted pe porţiuni dcă este conctenre unui număr finit de drumuri netede. ouă drumuri γ : I R n şi γ : J R n se numesc echivlente cu ceeşi orientre notăm γ γ ) dcă există un difeomorfism strict crescător φ : I J stfel încât γ = γ φ. că difeomorfismul de mi sus este strict descrescător, tunci cele două drumuri se numesc echivlente cu orientări opuse. În czurile prticulre n = pln) şi n = 3 spţiu) notţiile uzule sunt γt) = xt), yt)) şi respectiv γt) = xt), yt), zt)). Lungime unui drum neted γ : [, b] R 3 este: Lγ) = b x t)) + y t)) + z t)) dt. Integrl curbilinie de prim speţă Fie γ : [, b] R 3 un drum neted şi fie f : R o funcţie continuă stfel încât γ[, b]). Integrl curbilinie de prim speţă funcţiei f pe drumul γ este, prin definiţie: γ fx, y, z)ds = b fxt), yt), zt)) x t)) + y t)) + z t)) dt. că γ şi γ sunt două drumuri prmetrizte echivlente indiferent de orientre) tunci fds = γ fds. γ Aplicţii i. că f este funcţi constntă, tunci se obţine lungime drumului γ. ii. că imgine lui γ este un fir mteril vând densitte f, tunci ms M şi coordontele centrului de greutte G sunt dte de formulele: x G = M M = γ xfds, y G = M γ fds, γ yfds, z G = M γ zfds.

43 3.. NOŢIUNI TEORETICE 4 Integrl curbilinie de speţ dou Fie α = P dx+qdy +Rdz o -formă diferenţilă cu funcţiile P, Q, R continue pe un deschis R 3 şi fie γ : [, b] R 3, γt) = xt), yt), zt)) un drum prmetrizt neted cu imgine inclusă în. Integrl curbilinie formei diferenţile α de- lungul drumului γ este, prin definiţie: b α = P γt))x t) + Qγt))y t) + Rγt))z t) ) dt. γ efiniţi se generlizeză evident l n vribile. e exemplu, în două vribile: b P dx + Qdy = P γt))x t) + Qγt))y t) ) dt. γ că γ şi γ sunt două drumuri prmetrizte echivlente cu ceeşi orientre, tunci integrlele corespunzătore sunt egle: α = α. γ γ γ că cele două drumuri prmetrizte sunt echivlente dr cu orientări opuse, tunci integrlele corespunzătore diferă prin semn. Notţii vectorile Unei -forme diferenţile α = P dx + Qdy + Rdz i se sociză în mod cnonic) câmpul de vectori V : R 3, V = P, Q, R). că γ este un drum prmetrizt neted cu imgine inclusă în ) tunci integrl α se γ mi noteză şi V dr, numindu-se circulţi câmpului V de- lungul dru- mului γ. În prticulr, dcă V = F este un câmp de forţe, tunci circulţi F dr este lucrul mecnic efectut de forţ F pe drumul γ. γ Forme diferenţile excte O -formă diferenţilă α = P dx+qdy+rdz se numeşte exctă pe mulţime dcă există f o funcţie numită potenţil sclr su primitivă) de clsă C ) stfel încât f = α, su, echivlent: f f = P, x y = Q, f z = R, în orice punct din. Câmpul de vectori V = P, Q, R) socit formei diferenţile α se numeşte în cest cz câmp de grdienţi.

44 4 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ O -formă diferenţilă α = P dx + Qdy + Rdz se numeşte închisă pe dcă sunt verificte în orice punct din ) eglităţile: P y = Q x, Q z = R y, R x = P z. efiniţiile de mi sus se generlizeză în mod evident l n vribile. Importnţ formelor diferenţile excte este dtă de următorul rezultt: Independenţ de drum integrlei curbilinii Fie α = f o -formă diferenţilă exctă pe şi fie γ un drum prmetrizt neted cu imgine inclusă în vând extremităţile p, q ; tunci: i. f = fq) fp). γ ii. dcă în plus drumul γ este închis, tunci f =. in teorem de simetrie lui Schwrz rezultă că orice formă diferenţilă exctă cu potenţilul sclr de clsă C ) este în mod necesr şi închisă; reciproc cestei firmţii este, în generl, flsă. e exemplu, form diferenţilă α = y x + y dx + x x + y dy este închisă pe R \ {, )} dr nu este exctă pe cestă mulţime. Are loc totuşi următorul rezultt fundmentl: Teorem lui Poincre Fie α o -formă diferenţilă de clsă C inchisă pe deschisul R n. Atunci pentru orice x există o vecinătte deschisă s U şi o funcţie f C stfel încât f = α pe U. Într-o formulre succintă teorem firmă că orice -formă diferenţilă închisă este locl exctă. Există mulţimi pe cre teorem de mi sus este devărtă globl. e exemplu, dcă mulţime este steltă dică există un punct x cu propriette că segmentul [x, x], x ) tunci orice -formă diferenţilă închisă pe este exctă pe. Pânze prmetrizte Fie R o mulţime deschisă şi conexă; o pânză prmetriztă pe este orice plicţie de clsă C, Φ : R 3. Pânz prmetriztă Φ se numeşte simplă dcă plicţi Φ este injectivă. ouă pânze prmetrizte Φ : R 3 şi Φ : R 3 se numesc echivlente dcă există un difeomorfism θ : stfel încât Φ = Φ θ. γ

45 3.. NOŢIUNI TEORETICE 43 Se spune că difeomorfismul θ păstreză orientre dcă icobinul său este pozitiv; în cest cz se spune Φ şi Φ u ceeşi orientre; în cz contrr se spune că pânzele prmetrizte u orientări opuse. Evident, două pânze prmetrizte echivlente u ceeşi imgine în R 3 ), numită simplu pânză su porţiune de suprfţă). Fie Φ : R 3, Φu, v) = Xu, v), Y u, v), Zu, v)) o pânză prmetriztă; pânz Φ se numeşte regultă dcă vectorii Φ Φ şi u v sunt liniri independenţi în orice punct din. În cest cz plnul genert de ei se numeşte plnul tngent l pânză în punctul respectiv); vectorul norml l pânză în punctul Φu, v) indus de prmetrizre Φ este: N Φ u, v) = Φ u Φ v. că Φ şi Φ sunt două pânze prmetrizte simple, regulte echivlente cu ceeşi orientre, tunci versorii normlelor induse coincid: n Φ u, v) = N Φ u, v) N Φ u, v) = N Φ u, v) N Φ u, v) = n Φ u, v). Integrl de suprfţă de prim speţă Fie Φ : R 3 o pânză prmetriztă, fie = Φ) imgine ei şi fie F : U R o funcţie continuă pe imgine pânzei. Integrl de suprfţă de prim speţă lui F pe este, prin definiţie: F x, y, z)dσ = F Φu, v)) Φ u Φ v dudv. că pânz este prmetriztă crtezin, z = fx, y), x, y) R, tunci formul de mi sus devine: f ) ) f F x, y, z)dσ = F x, y, fx, y)) + dxdy. x y că Φ şi Φ sunt două prmetrizări echivlente nu nepărt cu ceeşi orientre) tunci integrlele corespunzătore sunt egle. Aplicţii i. În czul prticulr F = se obţine ri suprfeţei : ri ) = dσ.

46 44 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ ii. că F reprezintă densitte unei plăci, tunci ms ei este: M = F dσ, ir coordontele centrului de greutte sunt: x G = xf dσ, y G = yf dσ, z G = M M M zf dσ. iii. Fie V un câmp vectoril şi fie n versorul normlei indus de pânz prmetriztă fixtă; fluxul câmpului V prin suprfţ în rport cu orientre lesă dtă de versorul n) este, prin definiţie: F V ) = V n dσ. Integrl de suprfţă de speţ dou Prin definiţie, dcă este o -formă diferenţilă şi ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy Φ : R 3, Φu, v) = Xu, v), Y u, v), Zu, v)) este o pânză prmetriztă, tunci integrl pe suprfţ orienttă) formei diferenţile ω este: ) Y, Z) X) Y ) ω = P Φ) + Q Φ)Z, + R Φ)X, dudv, u, v) u, v) u, v) Y, Z) Z, X) unde,, u, v) u, v), X, Y ) sunt icobienii funcţiilor X, Y, Z în rport cu vribilele u şi v. u, v) că Φ şi Φ sunt două pânze prmetrizte echivlente cu ceeşi orientre, tunci integrlele corespunzătore sunt egle; dcă prmetrizările u orientări opuse, tunci integrlele diferă prin semn. Notţii vectorile Unei -forme diferenţile ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy i se sociză în mod cnonic) câmpul de vectori V = P, Q, R); dcă Φ : R 3 este o pânză prmetriztă cu imgine orienttă cu versorul normlei n), tunci: ω = V n dσ.

47 3.. INTEGRALE CURBILINII Integrle curbilinii. Fie R şi fie P, Q : R R, P x, y) = x + 6y, Qx, y) = 3x 4y. Să se fle stfel încât ω = P dx + Qdy să fie o -formă diferenţilă exctă pe R şi poi să se determine f C R ) cu propriette df = ω. Spţiul R este mulţime steltă, deci este suficient c ω să fie -formă diferenţilă închisă, dică P y = Q ; rezultă =. O primitivă potenţil x sclr) lui ω se clculeză fie integrând sistemul f f = P, = Q, fie x y direct cu formul x y fx, y) = P x, y o )dx + Qx, y)dy, unde x o şi y o sunt rbitrri fixţi; x o y o obţinem fx, y) = x xy y + k, k R.. Fie P, Q : R R, definite prin: P x, y) = x + y x, Qx, y) = x + y + x şi fie ω = P dx + Qdy. Să se găsescă un domeniu mximl pe cre form diferenţilă ω să fie exctă. Funcţiile P şi Q sunt de clsă C pe R \ {, )} şi: Q x = x + x + y, P x + y y = y Q y x. Mulţime = {x, y) R ; y > } este steltă şi Q x = P y este mximlă cu ceste proprietăţi. pe ; evident, 3. Folosind definiţi, să se clculeze următorele integrle curbilinii orientre curbei nu este preciztă):. x + y)dx + x y)dy, = {x, y) x + y = 4, y }. y b. dx + dy, este triunghiul ABC, A, ), B, ), C, ). x + c. xdy ydx, = {x, y) x + y b = }.

48 46 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ. Cu prmetrizre xt) = cos t, yt) = sin t, t [, π] obţinem: x + y)dx + x y)dy = π 4 cos t 4 sin t) =. b. = [AC] [CB] [BA]; prmetrizăm fiecre segment: obţinem: [AC] : xt) = t, yt) = t, t [, ] [CB] : xt) =, yt) = t, t [, ] [BA] : xt) = t, yt) =, t [, ]; y x + dx + dy = ) t t 3 + dt dt = 3 ln 3. c. Prmetrizre cnonică elipsei de semixe şi b este xt) = cos t, yt) = b sin t, t [, π); obţinem: xdy ydx = π bdt = πb. 4. Fie P x, y) = e x +y cosxy), Qx, y) = e x +y sinxy) şi fie. Să se rte că ω = P dx + Qdy. ω = pentru orice curbă închisă. b. Fie α R. Să se clculeze integrl e t cosαt)dt, plicând rezulttul de l punctul dreptunghiului = ABC, unde A, ), B, ), C, α),, α).. eorece P y = Q, rezultă că ω este -formă diferenţilă închisă pe R x

49 3.. INTEGRALE CURBILINII 47 şi deci şi exctă; în consecinţă, ω =, pentru orice curbă închisă. b. Prmetrizând = [AB] [BC] [C] [A], obţinem: α = ω = e t dt + e +t sint)dt e t +α cosαt)dt. Pentru, obţinem: e t cosαt)dt = π e α, deorece π α e t dt = şi lim e +t sinαt)dt =. 5. Să se clculeze ω în următorele czuri:. ω = x yzdx + xy zdy + xyz dz, ir este intersecţi suprfeţelor x =, y + z =. b. ω = zz y)dx + xzdy xydz, = 3, unde, şi 3 sunt intersecţiile conului x + y = z ) cu plnele x =, y =, şi, respectiv, z =, cu restricţiile x, y, z. c. ω = y z)dx + x z)dy + x y)dz, fiind intersecţi suprfeţelor x + y + z = r, x y + z =. d. ω = ydx + x + z)dy + x dz, fiind intersecţi suprfeţelor x + y x =, x + z = 4. Integrlele se clculeză cu definiţi.. este un cerc situt în plnul x = ; o prmetrizre este: Rezultă: ω = x =, y = cos t, z = sin t, t [, π). π ) cos t sin t + cos t sin t dt =. b. În plnul x = obţinem drept de ecuţie y + z =, în plnul y = obţinem drept x + z =, ir în plnul z = obţinem sfertul de cerc

50 48 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ x + y =, x >, y >. Rezultă prmetrizările: : xt) =, yt) = t, zt) = t, t [, ]. : xt) = t, yt) =, zt) = t, t [, ]. 3 : xt) = cos t, yt) = sin t, zt) =, t [, π ). În continure se plică definiţi. c. Curb este o elipsă sitută în plnul x y + z = ; înlocuind z = y x în ecuţi sferei obţinem: x +y +y x) = r. Pentru duce ecuţi cestei conice l form cnonică, fcem schimbre de vribile: x y = u, x+y = v; obţinem ecuţi: u ) + v ) =. 3 r r Rezultă prmetrizre: ut) = xt) yt) = r cos t, 3 Se obţine: vt) = xt) + yt) = r sin t, zt) = yt) xt) = r cos t, t [, π). 3 xt) = r 3 cos t + ) sin t, yt) = ) r sin t 3 cos t, zt) = 3 r cos t, t [, π). În continure se plică definiţi. d. Ecuţi cnonică cilindrului este x ) + y = şi deci xt) = cos t, yt) = sin t, zt) = 3 cos t, t [, π). În continure se plică definiţi. 6. Să se clculeze ydx+xdy pe un drum cu cpetele A, ) şi B, 3). Form diferenţilă α = ydx + xdy este închisă pe R şi deci este exctă. Rezultă că integrl este independentă de drumul prticulr cre uneşte

51 3.. INTEGRALE CURBILINII 49 punctele A şi B. Integrl se clculeză pe un drum prticulr, de exemplu pe segmentul [AB], cărui prmetrizre este: xt) = 5 t, yt) = t, t [, 3]. O ltă metodă constă în determin un potenţil sclr f pentru -form diferenţilă α: fx, y) = x x y dx + y y xdy = xy + k, k fiind o constntă rbitrră. Integrl cerută în enunţ este: α = fb) fa) =, fiind un drum rbitrr vând cpetele A şi B. 7. Fie P, Q, R : Ω = {x, y, z) ; y >, z } R, P x, y, z) = x yz + Qx, y, z) = y zx Rx, y, z) = z xy. y x + y, x x + y, Notând cu ω = P dx + Qdy + Rdz, să se clculeze ω, unde este un drum prmetrizt rbitrr inclus în Ω) ce uneşte punctele A,, ) şi B,, ). Observăm că ω este o -formă diferenţilă închisă: P y = x y x + y ) z = Q x, R x Q z = y = P z, = x = R y. omeniul Ω este stelt, şdr ω este exctă pe Ω. Rezultă că ω nu depinde de drumul prmetrizt, ci dor de extremităţile A şi B şi de

52 5 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ orientre de l A către B). Fie prmetrizre xt) = t, yt) =, zt) =, t [, ]; obţinem: ω = t + ) t dt = + 3 π. Să mi fcem observţi că rţionmentul de mi sus nu mi este corect dcă drumul nu r fi inclus în Ω, deorece, pe un stfel de domeniu ω nu r mi fi exctă şi deci integrl nu r mi fi independentă de drum. e exemplu, să considerăm punctele C,, ),,, ) şi drumul formt prin conctenre segmentelor orientte) [AC] [C] [B]. Atunci ω ω. Într-devăr, cu prmetrizre: [AC] : xt) =, yt) = t, zt) =, t [, ], [C] : xt) t, yt) =, zt) =, t [, ], [B] : xt) =, yt) = t, zt) =, t [, ]. se obţine: ω = π 3 + π 3 + π + 3 = 3 + 3π. 8. Fie P, Q : R \ {x, y) xy = } R, P x, y) = y x, Qx, y) = + xy + xy şi fie α = P dx + Qdy. Să se clculeze integrl α, unde este un drum rbitrr vând cpetele A, ) şi B3, 3) şi nu intersecteză hiperbol xy =. Form diferenţilă α este închisă: P y = + xy) = Q x, x, y) R, xy. Mulţime Ω = {x, y) R xy > } este steltă, deci pe Ω α este exctă. Rezultă că integrl este independentă de drumul prticulr inclus în Ω) cre uneşte punctele A şi B. Un potenţil sclr pentru α pe mulţime Ω este: fx, y) = x y dx + x + xy y y x dy = ln + xy) + k, xy >, + xy

53 3.. INTEGRALE CURBILINII 5 şi deci integrl este: α = fb) fa) = ln Să se clculeze circulţi câmpului de vectori V de- lungul curbei în următorele czuri:. V = x + y )i x y )j, = {x, y) R ; x +y = 4, y < } {x, y) R ; x +y x =, y }. b. V = xi + xyj + xyzk, = {x, y, z) R 3 ; x + y = } {x, y, z) R 3 ; x + z = 3}. Câmpului de vectori V = P i + Qj + Rk i se sociză, prin definiţie, -form diferenţilă ω = P dx + Qdy + Rdz; circulţi lui V de- lungul lui este, prin definiţie integrl curbilinie: V dr = ω.. Notăm: = {x, y) R ; x + y = 4, y < }, = {x, y) R ; x + y x =, y }. O prmetrizre în sens trigonometric pozitiv) pentru se obţine stfel: : xt) = cos t, yt) = sin t, t [π, π), : xt) = + cos t, yt) = sin t, t [, π]. b. Prmetrizre este: xt) = cos t, yt) = sin t, zt) = 3 cos t, t [, π).. Să se clculeze următorele integrle curbilinii de prim speţă:. yds, : xt) = lnsin t) sin t, yt) = sin t, t [ π 6, π 4 ]. b. xyds, : xt) = t, yt) = t, t [, ]. c. x y, : xt) = cos t, yt) = sin t, t [, π].. Cu definiţi, obţinem: yds = π 4 π 6 sin t ctgt sin t) + cos t dt = = π 4 π 6 cos t ) sin tdt = 3 5.

54 5 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ b. Integrl se descompune într-o sumă de două integrle: xyds = tdt + tdt =. c. Aplicând definiţi, obţinem: π x y ds = cos t sin t dt = 4 ).. Să se clculeze lungime L rcului de prbolă x = p y, y [ p, p]. p Cu prmetrizre vem: Rezultă: = p L = p yt) = t, xt) = p t, t [ p, p ], p ds = p p + t p dt = p p t + p p t + p dt = p dt t + p + p = 4p ln + ) = 4p ln + ) + t p p + t p p t + p p t + p dt = p t t + p dt = ) L = p + ln + ). t t + p dt = ) t + p dt.. Să se clculeze coordontele centrului de greutte l unui rc de cerc de rză R şi de măsură α, π), presupus omogen. Coordontele centrului de greutte G le unei curbe plne omogene sunt: x G = xds, y G = ds, L L unde L este lungime firului. Considerăm origine xelor de coordonte în centrul cercului şi fie A şi B două puncte simetrice fţă de x Ox cu măsur

55 3.. INTEGRALE CURBILINII 53 rcului AB eglă cu α. Cu prmetrizre xt) = R cos t, yt) = R sin t, t α, α ), obţinem: x G = α α α R cos tdt = R α sin α, y G =. 3. Să se clculeze ms firului mteril de ecuţii prmetrice: xt) = t, yt) = t, zt) = 3 t3, t [, ], şi vând densitte F x, y, z) = y. Conform formulei msei: M = = = 3 F x, y, z)ds = t + t + t 4 dt = u u = du = 3 8 = 3 u 8 ln + u + 3 4) 3 3 y ds = 3 t + t + t 4 ) dt = t t + ) dt = u du = du + u u u Ultim integrlă este M, deci după clcule) se obţine: M = 3 8 ln u u ) 3. du = u du. 4. Să se clculeze ms şi coordontele centrului de greutte le firului mteril cu prmetrizre: xt) = t, yt) = cht, t [, ]

56 54 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ şi densitte fx, y) = y. Ms firului este: M = yds = = + cht) dt = Coordontele centrului de greutte: = M cht + sh t dt = ch tdt = t + ) sht = + sh). 4 x G = t ch tdt = t + t cht) dt = M M t + t sht shtdt = 3 + sh ch). 8M y G = ch 3 tdt = M M = sht + ) M 3 sh3 t = M ) + sh t shtdt = sh + ) 3 sh Integrle de suprfţă 5. În fiecre din exemplele următore se dă o pânză prmetriztă u, v) Φu, v) = Xu, v), Y u, v), Zu, v)) R 3. Să se clculeze vectorii tngenţi l suprfţă şi versorul normlei l suprfţă. Să se găsescă în fiecre cz şi ecuţi în coordonte crteziene.. Sfer; fie R > ; Φ : [, π] [, π) R 3, Φθ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ). b. Prboloidul; fie >, h > ; Φ : [, h] [, π) R 3, Φu, v) = u cos v, u sin v, u ). c. Elipsoidul; fie >, b >, c > ; Φ : [, π] [, π) R 3, Φθ, ϕ) = sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ).

57 3.3. INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 55 d. Conul; fie h > ; Φ : [, π) [, h] R 3, Φu, v) = v cos u, v sin u, v). e. Cilindrul; fie >, h h ; Φ : [, π) [h, h ] R 3, Φϕ, z) = cos ϕ, sin ϕ, z). f. Prmetrizre crtezină; fie R şi fie f : R, f C ). Φ : R 3, Φx, y) = x, y, fx, y)). g. Suprfţă de rotţie în jurul xei Oz: Fie < r < r şi fie f : [r, r ] R, f C ). Φ : [r, r ] [, π) R 3, Φr, ϕ) = r cos ϕ, r sin ϕ, fr)). h. Torul; fie < < b; Φ : [, π) [, π) R 3, Φu, v) = + b cos u) cos v, + b cos u) sin v, b sin u). Vectorii tngenţi l suprfţă sunt Φ u Φ Φ u Φ v u Φ v. Φ şi, ir versorul normlei este v 6. În continure, ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy este o -formă diferenţilă ir este imgine unei pânze prmetrizte; să se clculeze integrl de suprfţă ω.. ω = ydy dz + zdz dx + xdx dy, : Xu, v) = u cos v, Y u, v) = u sin v, Zu, v) = cv, u, v) [, b] [, π). b. ω = xdy dz + ydz dx + zdx dy, : x + y + z = R. c. ω = yzdy dz + zxdz dx + xydx dy, : x + y b + z c =. d. ω = xdy dz + ydz dx, : x + y = z, z [, ]. e. ω = y + z)dy dz + x + y)dx dy, : x + y =, z [, ].

58 56 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ Aplicăm definiţi integrlei de suprfţă de speţ dou.. Icobienii: Y, Z) u, v) = c sin v, Z, X) u, v) = c cos v, X, Y ) u, v) = u, şi deci: ω = b π ) du cu sin v c v cos v + u cos v dv = b πc ) b. Prmetrizăm sfer de centru O şi rză R: Xθ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, Y θ, ϕ) = R sin θ sin ϕ, Zθ, ϕ) = R cos θ, domeniul prmetrizării θ, ϕ) = [, π] [, π). Rezultă ω = 4πR 3. Y, Z) θ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, Z, X) θ, ϕ) = R sin θ sin ϕ, X, Y ) θ, ϕ) = R sin θ cos θ c. Prmetrizre cnonică elipsoidului este: Xθ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, Y θ, ϕ) = br sin θ sin ϕ, Zθ, ϕ) = cr cos θ, θ [, π], ϕ [, π). În continure clculul este semănător cu cel de l punctul nterior. d. Prmetrizre cnonică conului este: Icobienii: Xu, v) = v cos u, Y u, v) = v sin u, Zu, v) = v, u, v) = [, π) [, ]. Y, Z) u, v) = v cos u, Z, X) u, v) = v sin u, X, Y ) u, v) = v.

59 3.3. INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 57 Rezultă integrl: ω = ) v cos u + v sin u dudv = 4 3 π. e. Prmetrizre cnonică cilindrului este: ϕ, z) = [, π) [, ], Icobienii: Xϕ, z) = cos ϕ, Y ϕ, z) = sin ϕ, Zϕ, z) = z,. Y, Z) ϕ, z) = cos ϕ, Z, X) ϕ, z) = sin ϕ, X, Y ) ϕ, z) =. Rezultă integrl: ω = sin ϕ + z) cos ϕ dϕdz =. 7. Să se clculeze integrlele de suprfţă:. xzdy dz + yzdz dx + x + y)dx dy, = {x, y, z) ; x + y =, x >, y >, < z < h}. b. xdy dz + ydz dx + zdx dy, = {x, y, z) ; x + y + z = R, x >, y >, z > }.. Prmetrizre lui o submulţime unui cilindru) este: Xϕ, z) = cos ϕ, Y ϕ, z) = sin ϕ, Zϕ, z) = z, domeniul prmetrizării fiind ϕ, z) =, π ), h). Rezultă: xzdy dz + yzdz dx + x + y)dx dy = b. Porţiune de sferă re prmetrizre: zdϕdz = h 4 π. Xθ, ϕ) = R sin θ cos ϕ, Y θ, ϕ) = R sin θ sin ϕ, Zθ, ϕ) = R cos θ, domeniul prmetrizării θ, ϕ) = [, π ] [, π ). În continure clculul este similr cu cel din exerciţiul nterior punctul b).

60 58 CAPITOLUL 3. INTEGRALE CURBILINII ŞI E SUPRAFAŢĂ 8. Să se clculeze integrl de suprfţă de prim speţă F x, y, z)dσ în următorele czuri:. F x, y, z) = xyz, : z = x + y, z [, ]. b. F x, y, z) = y z, : x + y = 6z, z [, ]. x + y, x + y 6y.}. c. F x, y, z) = z, = {x, y, z) ; z = Se plică definiţi integrlei de suprfţă de prim speţă.. Prmetrizre crtezină conului este: Rezultă: z = fx, y) = xyz dσ = x + y, = {x, y) ; x + y }. xy x + y + x x + y + y x + y dxdy = = xy x + y dxdy = 4 5. b. Prmetrizre crtezină prboloidului este: Rezultă: z = fx, y) = 6 x + y ), = {x, y) R x + y }. y zdσ = = 6 π y 6 x + y ) + 9 x + y ) dxdy = dϕ ρ 3 + ρ 9 sin ϕ =. c. Cu prmetrizre crtezină z = x + y, x, y) = {x, y) x + y 6y}. rezultă: = z dσ = π dϕ 6 sin ϕ x + y )dxdy = ρ 3 dρ = 43 π.