ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (material incomplet, în curs de redactare) Paul GEORGESCU

Transcript

1 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (mteril incomplet, în curs de redctre) Pul GEORGESCU

2 Cuprins PRIMITIVE. Primitive Operţii cu funcţii cre dmit primitive Metode de clcul Metod de integrre prin părţi Prim metodă de schimbre de vribilă A dou metodă de schimbre de vribilă Integrre funcţiilor rţionle Integrle reductibile l integrlele unor funcţii rţionle INTEGRALA DEFINITĂ 3. Definiţi noţiunii de integrlă definită Legătur între integrbilitte şi lte proprietăţi le funcţiilor Formul Leibniz-Newton Operţii cu funcţii integrbile Metode de clcul Metod de integrre prin părţi Prim metodă de schimbre de vribilă A dou metodă de schimbre de vribilă Proprietăţi le integrlei definite Proprietăţi în rport cu intervlul Proprietăţi în rport cu funcţi Integrl definită c funcţie de limit superioră Aplicţii le integrlei definite Ari subgrficului unei funcţii Ari mulţimii mărginite de grficele două funcţii Centrul de msă l plăcilor plne Lungimile grficelor unor funcţii Volumul corpurilor de rotţie

3 .8.6 Ariile suprfeţelor de rotţie INTEGRALE IMPROPRII 5 3. Integrle improprii în rport cu intervlul Convergenţă şi divergenţă. Integrbilitte Convergenţ în sensul vlorii principle Proprietăţi de clcul Criterii de convergenţă Trnsformre într-o serie numerică Convergenţă bsolută Integrle improprii în rport cu funcţi Convergenţă şi divergenţă. Integrbilitte Proprietăţi de clcul Criterii de convergenţă Convergenţă bsolută

4 Cpitolul PRIMITIVE. Primitive Definiţi noţiunii de primitivă Un dintre problemele centrle le clculului diferenţil este ce de determin derivtele (simple su prţile) pentru o funcţie dtă. Clculul integrl se ocupă, printre lte lucruri, cu o problemă de ntură inversă, nume: fiind dtă o funcţie f, se doreşte recuperre" funcţiei F din cre f se obţine prin derivre. Definiţie. Fie f : I R, unde I R este un intervl. Spunem că F : I R este o primitivă lui f pe I dcă F este derivbilă pe I, ir F (x) = f (x) pentru orice x I. Exemple. Funcţi F : R R, F (x) = x este o primitivă lui f : R R, f (x) = x, pe R, deorece (x ) = x, pentru orice x R. Funcţi F : R R, F (x) = sin x este o primitivă lui f : R R, f (x) = cos x, pe R, deorece (sin x) = cos x, pentru orice x R. Funcţi F 3 : (0, ) R, F 3 (x) = ln x este o primitivă lui f 3 : (0, ) R, f 3 (x) = x, pe (0, ), deorece (ln x) = x, pentru orice x (0, ). Primitiv unei funcţii dte nu este unică Totuşi, este uşor de observt că o funcţie dtă pote ve mi mult de o primitivă. Mi precis, nu dor F este o primitivă lui f pe R. Întrucât (x + C) = x, pentru orice x R şi orice constntă C R,

5 Cpitolul PRIMITIVE de fpt orice funcţie de form F : R R, F(x) = x + C este o primitivă lui f pe R. Rămâne de observt, desigur, dcă f mi re şi lte primitive în fră de ceste şi dcă cestă situţie (dunând l o primitivă dtă o constntă orecre obţinem o ltă primitivă) este vlbilă şi pentru lte funcţii. Teorem.. Fie F : I R, unde I R este un intervl. Au loc următorele firmţii.. Dcă F este o primitivă lui f pe I, tunci F + C este de semene o primitivă lui f pe I, pentru orice constntă C R.. Dcă F, F sunt primitive le lui f pe I, tunci ele diferă printr-o constntă. Demonstrţie.. Deorece F este o primitivă lui f pe I, urmeză că F (x) = f (x), pentru orice x I. Fie C R o constntă orecre. Atunci (F + C) (x) = F (x) + C = f (x) + 0 = f (x), pentru orice x I, deci F + C este de semene o primitivă lui f pe I.. Deorece F, F sunt primitive le lui f pe I, urmeză că F, F sunt derivbile pe I, ir F (x) = f (x), F (x) = f (x), pentru orice x I. Atunci F F este derivbilă pe I, ir (F F ) (x) = F (x) F (x) = f (x) f (x) = 0, pentru orice x I, de unde urmeză că F F este constntă pe intervlul I, vând derivt nulă pe cest intervl. Existenţ primitivelor unei funcţii În cele de mi sus, m precizt proprietăţi le primitivelor unei funcţii dte, dmiţând că ceste primitive există. Totuşi, este posibil c cest lucru să nu se întâmple. Mi precis, c să existe o primitivă unei funcţii f, r trebui c f să fie derivt cestei primitive (funcţie derivbilă, conform definiţiei). Remintindu-ne că derivt oricăre funcţii derivbile pe un intervl re propriette lui Drboux pe cel intervl, observăm că, pentru exist o primitivă unei funcţii f pe un intervl I este necesr (dr nu şi suficient) c f să ibă propriette lui Drboux pe I. De ici, obţinem că pentru o funcţie cre nu re propriette lui Drboux nu există primitive. Definiţie. In cele ce urmeză, vom spune că f : I R, I R intervl, dmite primitive dcă există măcr o primitivă lui f pe I.

6 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 3 Definiţie. Fiind dtă f : I R cre dmite primitive, unde I R este un intervl, vom not cu f (x)dx mulţime tuturor primitivelor lui f, numită şi integrl nedefinită lui f. Se foloseşte şi notţi f (x)dx = F(x) + C, unde F este o primitivă orecre lui f, lesă convenbil, ir C reprezintă mulţime funcţiilor constnte pe I. Semnul se numeşte integrlă, ir funcţi f se numeşte integrnd, operţi prin cre se determină primitivele unei funcţii dte numindu-se integrre. De semene, vribil x se numeşte vribilă de integrre. Exemple. cos xdx = sin x + C, e x dx = e x + C, xdx = x + C. S- observt nterior ce fel de funcţii nu u primitive. Mi importnt, rămâne cum să observăm ce fel de funcţii u primitive. În cest sens, se v demonstr în Cpitolul că orice funcţie continuă pe un intervl I dmite primitive pe cel intervl. Operţii cu mulţime funcţiilor constnte Întrucât sum două funcţii constnte este tot o funcţie constntă, respectiv produsul dintre o constntă şi o funcţie constntă este tot o funcţie constntă, u loc proprietăţile C + C = C, λc = C, pentru λ = 0. Legătur între operţiile de integrre şi derivre Ţinând cont de definiţi noţiunii de primitivă, urmeză că, dcă f : I R dmite primitive, ir F : I R este o primitivă s, unde I R este un intervl, tunci F (x) = f (x), pentru orice x I, situţie sistemtizbilă sub următorele forme f integrre F, derivre ir F (x)dx = F(x) + C. f (x)dx = F(x) + C,

7 4 Cpitolul PRIMITIVE Într-un sens orecum imprecis (întrucât integrl lui F nu este F, ci F + C), dr suficient de sugestiv, putem spune că operţiile de integrre şi derivre sunt operţii inverse. Întrucât operţi de integrre nuleză" o singură operţie de derivre, putem observ şi că, dcă F : I R, este de n + ori derivbilă pe intervlul I, tunci F (n+) (x)dx = F (n) (x) + C. Legătur între formulele de integrre şi cele de derivre Întrucât operţiile de integrre şi derivre sunt operţii inverse, oricărei formule de derivre îi corespunde o formulă de integrre, obţinută prin citire în sens invers formulei de derivre. Astfel, (sin x) = cos x = cos xdx = sin x + C, (rctg x) = + x = dx = rctg x + C. + x În plus, corectitudine oricărei operţii de integrre pote fi verifictă derivând rezulttul obţinut. În czul unui clcul corect, după derivre se v obţine funcţi de sub integrl iniţilă. Terminologie Este de observt că denumirile integrlă" şi primitivă" nu sunt interschimbbile, primitivă reprezentând o singură funcţie, ir integrl reprezentând o mulţime de funcţii. Funcţii definite pe reuniune unor intervle Definiţi noţiunii de primitivă se pote extinde pentru funcţii l căror domeniu este lcătuit din reuniune mi multor intervle disjuncte. Totuşi, în cestă situţie, diferenţ dintre două primitive le unei funcţii dte nu mi este nepărt constntă, întrucât pe fiecre intervl din domeniu primitivele pot diferi printr-o ltă constntă. Exemplu. Funcţiile F, F : (0, ) (, 3) R, F (x) = x + 4, x (0, ) x + 5, x (, 3), F (x) = x sunt primitive le funcţiei f : (0, ) (, 3), f (x) = x, dr diferenţ lor

8 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 5 (F F )(x) = 4, x (0, ) 5, x (, 3) nu este constntă. Integrlele unor funcţii uzule În cele ce urmeză vom sistemtiz integrlele unor funcţii uzule, cu unele comentrii. Integrl funcţiei putere x n dx = xn+ + C, x I R, n N; n + x p dx = xp+ + C, x I (0, ), p R, p = ; p + dx = x + C, x I R; dx = ln x + C, x I (0, ) su x I (, 0). x Să notăm că, pentru primele două formule, exponenţii numărătorilor sunt egli cu numitorii, operţi de integrre fiind socită cu o operţie de împărţire. De semene, prin integrre, putere creşte (increses, în limb engleză), în vreme ce prin derivre putere descreşte (decreses, în limb engleză). Integrl funcţiei exponenţile e x dx = e x + C, x I R x dx = x + C, x I R, > 0. ln Din nou, integrre funcţiei exponenţile cu bz diferită de e este socită unei operţii de împărţire. Integrlele funcţiilor sin şi cos şi le unor funcţii în cre intervin sin şi cos sin xdx = cos x + C, cos xdx = sin x + C, sin dx = ctg x + C, x x I R x I R x I (kπ, (k + )π), k Z

9 6 Cpitolul PRIMITIVE cos x dx = tg x + C, x I (kπ + π, (k + )π + π ), k Z. Semnele cu cre pr integrlele funcţiilor sin şi cos sunt inverse semnelor cu cre pr derivtele cestor. Semnul integrlei funcţiei este celşi cu semnul integrlei funcţiei sin. Semnul integrlei funcţiei este celşi cu semnul sin cos integrlei funcţiei cos. Integrlele unor frcţii (I) x + dx = ln(x +»x + ) + C, > 0, x I R x dx = ln x +»x + C, > 0, x I (, ) su x I (, ) Integrlele unor frcţii (II) x + dx = rctg x + C, > 0, x I R x dx = rcsin x + C, > 0, x I (, ) Pentru deosebire integrlelor de mi sus, cu integrnzi destul de semănători, este utilă următore regulă mnemotehnică: dcă după eliminre termenului liber, extrgere rdiclului şi eliminre modulului se obţine x, tunci integrl conţine ln, c şi x dx. Dcă după ceste operţii nu se obţine x, tunci nici integrl nu conţine ln. Integrlele unor frcţii (III) Are loc şi următore formulă, cre nu se conformeză însă regulii mnemotehnice de mi sus x dx = ln x + C, > 0, x I, unde x + I (, ) su I (, ) su I (, ). Oricum, integrlele de cest tip pot fi clculte reltiv uşor c plicţie operţiilor cu funcţii cre dmit primitive, încă o formulă de clcul seprtă pentru cest cz, neconformă cu celellte, nefiind nepărt necesră.

10 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 7. Operţii cu funcţii cre dmit primitive Teorem.. Fie f, g : I R, f, g dmit primitive pe I şi c R, c = 0. Au loc următorele proprietăţi.. funcţiile f + g şi f g dmit primitive pe I, ir ( f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx (integrl sumei este eglă cu sum integrlelor), respectiv ( f (x) g(x))dx = f (x)dx g(x)dx (integrl diferenţei este eglă cu diferenţ integrlelor).. Funcţi c f dmite primitive pe I, ir c f (x)dx = c f (x)dx, (o constntă nenulă cu cre se înmulţeşte pote fi trecută de sub integrlă îninte integrlei). Menţionăm că nu u loc formule semănătore pentru produs şi rport, dică integrl produsului nu este, de regulă, produsul integrlelor şi nici integrl rportului nu este rportul integrlelor. Condenst, formulele de mi sus pot fi scrise sub form Teorem.3. Fie f, g : I R, f, g dmit primitive pe I şi c, c R, c, c = 0. Atunci c f + c g dmite primitive pe I şi (c f (x) + c g(x))dx = c f (x)dx + c g(x)dx Exemplu. Ç 3 x x + 9 å dx = 3 x + 6 dx + 5 = 3 4 rctg x ln Åx + x + 9 dx» ã x + 9.

11 8 Cpitolul PRIMITIVE Exemplu. x dx = (x )(x + ) dx = (x )(x + ) dx = (x + ) (x ) (x )(x + ) dx = Ç å x dx x + dx = (ln x ln x + ) + C = ln x + C. x +.3 Metode de clcul S- observt nterior că integrl produsului nu este, de regulă, produsul integrlelor. Pentru clculul integrlei unui produs, şi în câtev lte situţii, se pote plic metod descrisă mi jos..3. Metod de integrre prin părţi Teorem.4. Fie f, g : I R derivbile, cu f, g continue. Atunci f g şi f g dmit primitive pe I, ir f (x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g (x)dx. Demonstrţie. Întrucât f g şi f g sunt continue, c produse de funcţii continue, ele dmit primitive. Să observăm că ( f g) = f g + f g, conform formulei de derivre unui produs de funcţii, şi tunci î f (x)g(x) + f (x)g (x) ó dx = ( f g) (x)dx = f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx = ( f g)(x) + C = f (x)g(x)dx = f (x)g(x) + C f (x)g (x)dx = f (x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g (x)dx.

12 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 9 Întrucât metod de integrre prin părţi nu reprezintă o metodă de clcul explicit l unei integrle, ci dor o formă de exprimre unei integrle printr-o lt, e se pote plic dor tunci când integrl rezulttă re o formă mi simplă decât integrl iniţilă. Prctic, trebuie mi întâi identifictă sub integrlă funcţi cre se pote scrie c o derivtă ( f ; implicit, trebuie determint şi f ). În membrul drept, c rezultt, mi întâi se elimin integrl, derivt şi dx şi se scriu dor funcţiile rămse, ir poi se mută semnul de derivre de l un dintre funcţii l funcţi celltă. Exemplu.. Fie integrl xe x dx. Întrucât x este o funcţie polinomilă, încercăm să scriem celltă funcţie de sub integrlă c o derivtă (procedând invers m obţine după plicre formulei de integrre prin părţi o funcţie polinomilă de grd mi mre decât ce iniţilă). Cum e x se pote scrie c o derivtă sub form (e x ) = e x, urmeză că xe x dx = x(e x ) dx = xe x = xe x e x + C = e x (x ) + C. (x) e x dx = xe x e x dx. Fie integrl ln xdx, x (0, ). Întrucât ln x este o funcţie inversă, mi greu de scris direct c o derivtă, încercăm să scriem celltă funcţie de sub integrlă (dică funcţi constntă ) c o derivtă. Cum se pote scrie c o derivtă sub form = x, urmeză că ln xdx = x ln xdx = x ln x = x ln x x(ln x) dx = x ln x dx = x ln x x + C = x(ln x ) + C. x x dx.3. Prim metodă de schimbre de vribilă

13 0 Cpitolul PRIMITIVE Teorem.5. Fie I, J intervle şi I proprietăţi u J f R funcţii cre stisfc următorele. u este derivbilă cu derivt continuă pe I;. f dmite primitive pe J; Atunci ( f u)u dmite primitive pe I, ir unde F este o primitivă lui f. ( f u)(x)u (x)dx = (F u)(x) + C, Demonstrţie. Deorece F este o primitivă lui f, urmeză că F este derivbilă, ir F = f. Atunci funcţi compusă F u este derivbilă, fiind compunere două funcţii derivbile, ir (F u) (x) = F (u(x))u (x) = f (u(x))u (x) = ( f u)(x)u (x), ( ) x I, conform formulei de derivre funcţiei compuse. Din cestă eglitte rezultă că ( f u)u dmite primitive pe I, ir o primitivă s este F u, de unde concluzi. Pentru plicre cestei metode, trebuie mi întâi identifictă corect schimbre de vribilă. În cest, scop, se pune mi întâi în evidenţă sub semnul integrl derivt unei funcţii (l nivelul lui dx, nu l numitor, exponent, ş..m.d.) si se observă dc ce funcţie se repetă". Dcă se întâmplă cest lucru, funcţi respectivă pote fi nou vribilă u. Exemple.. Fie integrl I cos x + sin x dx. Cum cos x se scrie c o derivtă sub form cos x = (sin x), urmeză că cos x + sin x dx = (sin x) + sin x dx, observându-se că sin x se repetă sub integrlă. Notăm u = sin x. Atunci du = (sin x) dx = cos xdx.

14 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL Asociem integrlei iniţile integrl J = + u du, obţinută prin înlocuire lui u şi du (cest corespunde determinării lui F din enunţul teoremei). Cum J = rctg u + C (dică F(u) = rctg u), revenind l vribil iniţilă prin înlocuire (clculând explicit (F u)(x)) urmeză că I = rctg(sin x) + C. In cele de mi sus, sociere" se fce dtorită fptului că I şi J reprezintă mulţimi de funcţii depinzând de vribile distincte, posibil definite pe intervle diferite, neputând fi pus semnul de eglitte între I şi J. Polinome de grdul c vribile noi O plicţie imedită este fptul că schimbre de vribilă u = x + b, = 0, pote fi folosită ori de câte ori este nevoie. Într-devăr, fie integrl f (x + b)dx = f (x + b) dx. Cum se scrie c o derivtă sub form = (x + b), urmeză că f (x + b)dx = f (x + b)(x + b) dx, observându-se că x + b se repetă sub integrlă. Notăm u = x + b. Atunci du = (x + b) dx = dx. Asociem integrlei iniţile integrl f (u)du = F(u) + C unde F este o primitivă lui f. Înlocuind u, obţinem f (x + b)dx = F(x + b) + C. Urmeză că formulele precizând integrlele funcţiilor uzule rămân vlbile şi în czul în cre x este înlocuit cu un termen de grdul în x, împărţind însă rezulttul finl prin coeficientul lui x. De exemplu, deorece e x dx = e x + C, cos xdx = sin x + C,

15 Cpitolul PRIMITIVE urmeză că e x+ dx = ex+ + C, cos(4x + )dx = sin(4x + ) + C. 4 Integrlele unor funcţii hiperbolice Remintim definiţiile următorelor funcţii hiperbolice sh : R R, ch : R R, th : R R, cth : R R, sh x = ex e x ch x = ex + e x th x = sh x ch x cth x = ch x sh x împreună cu identitte fundmentlă (sinus hiperbolic) (cosinus hiperbolic) (tngentă hiperbolică) (ch x) (sh x) =, x R. (cotngentă hiperbolică), Atunci sh xdx = ch x + C, x R, ch xdx = sh x + C, x R, ch dx = th x + C, x R, x sh dx = cth x + C, x I (, 0) su x I (0, ). x Într-devăr, sh xdx = = e x e x dx = Äe x e xä dx = Å e x dx Çe x e x å + C = Ä e x + e xä + C = ch x + C, ã e x dx similr clculându-se ce de- dou integrlă. De semene, (th x) = Ç å sh x = (sh x) ch x (ch x) sh x ch x (ch x) = (ch x) (sh x) (ch x) = (ch x),

16 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 3 de unde ch dx = th x + C, x ce de- ptr formulă obţinându-se semănător. Remrcăm fptul că formulele de integrre pentru funcţii hiperbolice sunt semănătore celor pentru funcţiile trigonometrice corespunzătore, cu excepţi bsenţei semnului pentru sh xdx..3.3 A dou metodă de schimbre de vribilă Din punct de vedere prctic, prim metodă de schimbre de vribilă se foloseşte tunci când sub integrlă se pote pune în evidenţă derivt unei funcţii cre, de semene, se repetă" (integrndul pote fi scris în funcţie de cest). Există multe situţii în cre se pote fce o schimbre de vribilă pluzibilă, chir dcă nu pote fi pusă în evidenţă sub integrlă derivt cestei schimbări de vribilă, su cel puţin nu l nivelul lui dx. Un exemplu este integrl dx, x (0, ), + ex în cre schimbre de vribilă u = e x este pluzibilă, deşi u = e x nu pote fi pus în evidenţă l nivelul lui dx. Acestă situţie este trttă cu jutorul următorei teoreme, în cre integrndul este f u, nu ( f u)u, c în prim metodă de schimbre de vribilă. Teorem.6. Fie I, J intervle şi I proprietăţi u J f R funcţii cre stisfc următorele. u este derivbilă şi inversbilă, ir u este derivbilă cu derivt continuă pe J;. f (u ) dmite primitive pe J; Atunci ( f u) dmite primitive pe I, ir unde F este o primitivă lui f (u ). ( f u)(x)dx = (F u)(x) + C, Demonstrţie. Deorece F este o primitivă lui f (u ), urmeză că F este derivbilă, ir F = f (u ). Atunci F u este derivbilă, fiind compunere

17 4 Cpitolul PRIMITIVE două funcţii derivbile, ir (F u) (x) = F (u(x))u (x) = ( f (u ) )(u(x))u (x) = f (u(x))(u ) (u(x))u (x). conform formulei de derivre funcţiei compuse. Deorece urmeză că = x = (u u) (x) = (u ) (u(x))u (x), (F u) (x) = f (u(x)), pentru orice x I, Din cestă eglitte rezultă că f u dmite primitive pe I, ir o primitivă s este F u, de unde concluzi. Exemplu. Fie integrl dx, x (0, ), + ex Schimbre de vribilă, pluzibilă din context, este u = e x, unde u : (0, ) (, ), u(x) = e x este derivbilă şi inversbilă, invers s, u : (, ) (0, ), u (y) = ln y fiind de semene derivbilă, cu (u ) continuă pe (, ), deorece (u ) (y) =, y (, ). y Atunci u = e x = x = ln u (cestă etpă reprezintă inversre lui u), de unde dx = (ln u) du = u du, (cestă etpă include clculul lui (u ) ). Asociem integrl, obţinută prin înlocuire lui e x şi dx, J = + u u du

18 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 5 (cum se clculeză o primitivă pentru f (u ) ). Atunci J = + u u du = + u = u( + u) du u = ln u ln + u + C = ln + C + u + u u u( + u) du = u( + u) du u u( + u) du = u du + u du (s- determint o primitivă F lui f (u ) ). Prin înlocuire lui u (cum se clculeză F u), urmeză că integrl iniţilă este I = ln e x Ç e + e x + C = x ln + e x å + C..4 Integrre funcţiilor rţionle Definiţie. Numim funcţie rţionlă o funcţie f cre se pote scrie sub form (similră unui număr rţionl) unde P, Q sunt funcţii polinomile. f = P Q, Să observăm că denumire de funcţie rţionlă re legătură cu form de rport funcţiei, nefiind necesr c P, Q să ibă coeficienţi rţionli. Astfel, f : R R, f (x) = x x + 3 x + 3x + 7, este o funcţie rţionl, deşi coeficienţii, 3, 7 nu sunt numere rţionle. Descompunere unei funcţii rţionle În cele ce urmeză, vom preciz un mod generl de clcul l primitivelor unei funcţii rţionle. În fpt, clculul unei integrle de form P(x) Q(x) dx se pote reduce l clculul mi multor integrle mi simple, ţinând cont de următorele observţii.

19 6 Cpitolul PRIMITIVE. Dcă grd P grd Q, se pote fce mi întâi împărţire cu rest numărătorului l numitor. Se înlocuieşte poi numărătorul cu expresi s furniztă de cestă împărţire cu rest, ir poi se sepră integrl iniţilă în două integrle, un corespunzătore câtului şi împărţitorului, ir celltă restului.. Dcă numitorul nu este elementr" (putere unei funcţii polinomile cre nu se descompune mi deprte), tunci, după descompunere lui Q, funcţi de integrt Q P se pote scrie c sum unor frcţii cu numitori mi simpli. În cest sens, orice funcţie polinomilă Q se pote descompune c un produs de funcţii polinomile de form (x ) p (puteri le unor funcţii polinomile de grdul ) (x + bx + c) p, cu = b 4c < 0 (puteri le unor funcţii polinomile de grdul cre nu se descompun mi deprte), înmulţite eventul cu o constntă. Exemplu. Fie integrl x 4 x + dx. Cum grdul numărătorului este 4 ir cel l numitorului este, împărţim mi întâi cu rest numărătorul l numitor, obţinând relţi x 4 = (x + )(x 3 x + x ) +. Atunci x 4 (x + )(x x + dx = 3 x + x ) + dx (x + ) (x + )(x = 3 x + x ) dx + (x + ) = (x 3 x + x )dx + ln x + + C = x4 4 x3 3 + x x + ln x + + C. x + dx Pentru descompunere în frcţii mi simple, ţinem semă că Numărătorii vor fi căutţi de grd cu o unitte mi mic decât grdul elementului principl de l numitor.

20 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 7 Astfel Descompunere nu fce slturi", în sensul că odtă cu o putere unui element principl pentru descompunere sunt necesre şi puterile intermedire, chir dcă ceste nu pr în mod explicit de l început. (x + )(x + ) = A x + + B x +. Elementele principle de l numitorul frcţiei iniţile sunt x + şi x + (de grdul ), numărătorii cre le corespund fiind de grdul 0 (constnte). De semene (x + )(x + x + 6) 3 = A x + + Bx + C x + x Elementele principle de l numitorul frcţiei iniţile sunt x + (de grdul ); Dx + E (x + x + 6) + Fx + G (x + x + 6) 3. x + x + 6 (de grdul, cre nu se descompune mi deprte întrucât = 0 < 0). Numărătorii cre le corespund sunt de grdul 0 (constnte), respectiv de grdul. În descompunere, odtă cu putere 3 (ce cre pre explicit) pr şi puterile intermedire şi. Metode de determinre coeficienţilor. Aducere l celşi numitor, identificre coeficienţilor şi rezolvre unui sistem.. Înmulţire cu puterile cele mi mri le elementelor principle de l numitor. 3. (În unele situţii prticulre) Scriere numărătorului cu jutorul diferenţei unor fctori de l numitor Exemplu. Fie integrl x + 3x + dx. Numitorul frcţiei este funcţi polinomilă de grdul l doile x + 3x +. Întrucât = 9 8 > 0, cest se descompune mi deprte. Rezolvând ecuţi x + 3x + = 0, obţinem rădăcinile x = şi x =, şi tunci

21 8 Cpitolul PRIMITIVE x + 3x + se descompune sub form deci x + 3x + = (x ( ))(x ( )) = (x + )(x + ), x + 3x + dx = Integrndul se descompune sub form (x + )(x + ) = A x + + (x + )(x + ) dx. B x +. Rămâne deci să determinăm A şi B. Prin mplificre şi ducere l celşi numitor obţinem (x + )(x + ) = A x + + = B A(x + ) + B(x + ) = x + (x + )(x + ) x(a + B) + (A + B) (x + )(x + ) Întrucât două frcţii echivlente cu numitorii egli u şi numărătorii egli, obţinem de ici = x(a + B) + (A + B), pentru orice x din domeniul de integrre. Prin identificre coeficienţilor, obţinem că A + B = 0 A + B =, sistem cu soluţi A =, B =. Înlocuind ceste vlori colo unde A şi B u părut pentru prim dtă obţinem descompunere De ici, (x + )(x + ) = x + x +. Ç (x + )(x + ) dx = x + å dx = x + = ln x + ln x + + C = ln x + dx x + x + + C. x + dx

22 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 9 Exemplu. Fie integrl (x + )(x + )(x + 3) dx. Integrndul se descompune sub form (x + )(x + )(x + 3) = A x + + B x + + Rămâne deci să determinăm A, B şi C. Înmulţind (*) cu primul numitor, x +, obţinem că (x + )(x + 3) = A + B(x + ) x + + C(x + ) x + 3, C x + 3. (*) de unde, pentru x = (vlore cre nuleză fctorul cu cre s- înmulţit) se obţine că = A. Înmulţind (*) cu l doile numitor, x +, obţinem că (x + )(x + 3) = A(x + ) x + + B + C(x + ) x + 3, de unde, pentru x = (vlore cre nuleză fctorul cu cre s- înmulţit) se obţine că = B. Înmulţind (*) cu l treile numitor, x + 3, obţinem că (x + )(x + ) = A(x + 3) x + + B(x + 3) x + + C, de unde, pentru x = 3 (vlore cre nuleză fctorul cu cre s- înmulţit) se obţine că = C.

23 0 Cpitolul PRIMITIVE Înlocuind ceste vlori colo unde A, B şi C u părut pentru prim dtă obţinem descompunere De ici, (x + )(x + )(x + 3) = (x + )(x + )(x + 3) dx = Ç = x + x + + x + dx x + 3. x + x + + x + 3 x + dx + å dx x + 3 dx = ln x + ln x + + ln x C = Ç å (x + )(x + 3) ln x + + C. Exemplu. Fie integrl (x + )(x + 4) dx. Cum putem scrie (x + 4) (x + ) =, (x + )(x + 4) dx = (x + )(x + 4) dx = = ( x + 4 = Ç x + dx = (x + 4) (x + ) (x + )(x + 4) dx (x + )(x + 4) dx x ) + (x + )(x + 4) dx å x + 4 dx Ç rctg x rctg x å + C

24 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL.5 Integrle reductibile l integrlele unor funcţii rţionle Vom prezent un număr de situţii tip în cre clculul integrlei unor funcţii prent mi complicte se reduce l clculul integrlelor unor funcţii rţionle după schimbări de vribile potrivite. În cele ce urmeză, prin R vom înţelege o funcţie rţionlă orecre. Integrle conţinând exponenţile R( x )dx Se pote folosi schimbre de vribilă u = x (se lege exponenţil c vribilă nouă). Exemplu. Fie integrl Întrucât e x = (e x ), putem scrie I = e x + e x dx = e x dx. + ex Alegând vribil nouă u = e x, urmeză că Asociem integrlei iniţile integrl e x + (e x ) dx. du = (e x ) dx = e x dx. J = + u du, obţinută prin înlocuire lui du şi u (în cestă ordine). Cum J = rctg u + C, obţinem prin înlocuire lui u că I = rctg(e x ) + C. Integrle conţinând rdiclul unei funcţii polinomile de grdul R( n x + b)dx

25 Cpitolul PRIMITIVE Se pote folosi schimbre de vribilă u = n x + b (se lege rdiclul c vribilă nouă). Psul următor este ridicre l putere, pentru eliminre rdiclului. Exemplu. Fie integrl I = 5 x + dx. Alegând vribil nouă u = 5 x +, urmeză că u 5 = x + = x = u5 ( u = dx = 5 ) du = 5 u4 du. Asociem integrlei iniţile integrl J = obţinută prin înlocuire lui du şi u. Cum u 5 u4 du, 5 J = u5 du = 5 obţinem prin înlocuire lui u că u 5 du = 5 u6 6 + C = 5 u6 + C, I = 5 ( 5 x + ) 6 + C. Integrle conţinând mi mulţi rdicli de ordine diferite i unei celeişi expresii de grdul R( n x + b, n x + b,..., n k x + b)dx Se pote folosi schimbre de vribilă u = n x + b, unde n este cel mi mic multiplu comun l rdiclilor existenţi. Psul următor este ridicre l putere, pentru eliminre rdiclului. Clculele sunt similre celor de mi sus. Integrle conţinând rdiclul unui rport de funcţii polinomile de grdul R( n x + b cx + d )dx Se pote folosi schimbre de vribilă u = n x+b cx+d (se lege rdiclul c vribilă nouă). Psul următor este ridicre l putere, pentru eliminre rdiclului.

26 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 3 Clculele sunt similre celor de mi sus. Integrle conţinând rdiclul unei funcţii polinomile de grdul l numitor x + bx + c dx Se pote reduce l un dintre integrlele uzule după ducere trinomului de grdul l doile x + bx + c l form cnonică (punând în evidenţă pătrte perfecte). Exemplu. Fie integrl x 3x + dx Deorece Ç x 3x + = x 3 x + å [Ç = x 3 å ] [Ç = x 3 å ], 4 6 urmeză că x 3x + dx = ï Äx ä òdx = Äx ä dx Cu schimbre de vribilă u = x 3 4, obţinem du = Ç x 3 4å dx = dx. Asociem integrl J = du = ln u 6 u + u 6 + C. Atunci, prin înlocuire lui u, obţinem că Ç x 3x + dx = ln x 3 å + 4 Ã Ç x 3 å C.

27 4 Cpitolul PRIMITIVE Integrle conţinând rdiclul unei funcţii polinomile de grdul» x + dx Se pote clcul utilizând metod de integrre prin părţi. În cest sens, să notăm Observăm că I = I =» x + dx. x»» x + dx = x x +» = x x + x» x( x + ) dx x»x x + dx = x + x x + dx Întrucât numărătorul, x, este semănător cu expresi de l numitor, x +, explotăm cestă semănre scriind numărătorul sub form x = x +. Atunci» x I = x x + +» dx = x x + x +» = x x +»x + dx + x + dx» = x x + I +» ln(x + x + ) + C x + x + dx + x + dx De ici,» I = x I = x + +» ln(x + x + ) + C =» x + +» ò ln(x + x + ) + C ï x În mod semănător se pot clcul şi integrlele» x dx,» x dx.» x + bx + cdx După ducere l form cnonică (formre de pătrte perfecte), problem se reduce l clculul unei din integrlele de mi sus.

28 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 5 Integrle conţinând rdiclul unei funcţii polinomile de grdul într-un cdru generl» R( x + bx + c)dx, = 0 Se pot folosi schimbările de vribilă» x + bx + c = t + x, dcă > 0» x + bx + c = tx + c, dcă c 0» x + bx + c = t(x x ), dcă 0 x fiind o rădăcină ecuţiei x + bx + c = 0. Aceste schimbări de vribilă se mi numesc şi substituţiile lui Euler. Cele trei czuri nu se exclud unul pe celăllt, existând situţii în cre pot fi utilizte tote cele trei schimbări de vribilă. Exemplu. Fie integrl x x 3x + dx. Pot fi plicte tote cele trei schimbări de vribilă, deorece = > 0, c = > 0, ir = > 0. V fi folosită prim dintre ele, Atunci, după ridicre l pătrt, x 3x + = t + tx + x de unde Asociem integrl dx =» x 3x + = t + x. ( t t + 3 = t = x(t + 3) = x = t t + 3, ) dt = ( ) t + 3t + (t + 3) dt. J = = t t+3 ( t + t t+3 t t+3 t +3t+ t+3 ) ( ) t + 3t + (t + 3) dt ( ) t + 3t + (t + 3) dt

29 6 Cpitolul PRIMITIVE = t dt = = t ln t + + C. t dt = ln Prin înlocuire lui t obţinem că I = x 3x + x ln x 3x + x + + C. Integrlele unor funcţii trigonometrice (I) t t + + C R(sin x) cos xdx, R(cos x) sin xdx Întrucât (sin x) = cos x, ir (cos x) = sin x, integrlele de mi sus u în fpt form R(sin x) (sin x) dx, R(cos x) ( cos x) dx. Se vor folosi schimbările de vribilă u = sin x, respectiv u = cos x. Exemplu. Fie integrl Atunci, deorece urmeză că I = I = sin x + sin x dx. sin(x) = sin x cos x, sin x cos x + sin x dx = Cu schimbre de vribilă u = sin x obţinem Asociem integrl J = du = (sin x) dx = cos xdx. u + u du = sin x + sin cos xdx. x u + u du = ( + u ) + u du.

30 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 7 Cu schimbre de vribilă v = + u obţinem dv = ( + u ) du = udu. Asociem integrl J = dv = ln v + C. v Atunci, prin înlocuire lui v obţinem că J = ln + u Ä + C = ln + u ä + C. Prin înlocuire lui u obţinem că integrl iniţilă re vlore I = ln Ä + sin x ä + C. Integrlele unor funcţii trigonometrice (II) sin m cos n xdx, m, n Z. Dcă măcr un dintre puterile m, n le unei din funcţii este impră, celltă funcţie se pote lege c vribilă nouă. Dcă mbele puteri sunt pre, se v trece l unghiul dublu prin folosire formulelor cos x = + cos(x), sin x = cos(x), sin(x) = sin x cos x. Exemplu. Fie integrl I = sin 5 cos 3 xdx. Deorece sin x este ridictă l o putere impră, cos x pote fi lesă c vribilă nouă. Dintr-un motiv similr, şi sin x pote fi lesă c vribilă nouă. Pentru fixre ideilor, vom folosi schimbre de vribilă u = sin x. Atunci du = (sin x) dx = cos xdx. Folosind identitte trigonometrică fundmentlă, sin x + cos x =, obţinem I = sin 5 x cos x cos xdx = sin 5 x( sin x) cos xdx.

31 8 Cpitolul PRIMITIVE Asociem integrl J = u 5 ( u )du = (u 5 u 7 )du = u6 6 u8 8 + C. Prin înlocuire lui u obţinem că I = (sin x)6 6 (sin x)8 8 + C. Integrlele unor funcţii trigonometrice (III) R(sin x, cos x)dx Prin nlogie cu cele de mi sus, dcă R este impră într-un din funcţiile sin x, cos x, dică R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), respectiv R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x), celltă funcţie se lege c schimbre de vribilă. Dcă R este pră tât în sin x cât şi în cos x, fie se trece l unghiul dublu, fie se lege c schimbre de vribilă u = tg x. Clculele sunt similre celor de mi sus. Integrle binome x m (x n + b) p dx, m, n, p Q,, b = 0 Întrucât m, n, p sunt numere rţionle, nu nepărt întregi, integrl de mi sus pote conţine rdicli de diverse forme. Dcă p Z su m + n Z su m + n + p Z, şi numi în ceste czuri, clculul unei integrle de form de mi sus pote fi redus l clculul integrlei unei funcţii rţionle. Sunt posibile următorele situţii.. Dcă p Z, tunci x = t q, unde q este numitorul comun l lui m şi n. Altfel spus, t = N x, unde N este cel mi mic multiplu comun l ordinelor rdiclilor dej existenţi.

32 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 9. Dcă m+ n Z, tunci x n + b = t q, unde q este numitorul lui p. Altfel spus, t = N x n + b, dică se lege c vribilă nouă prntez cu tot cu exponent, eliminând eventulul numărător l exponentului şi eventulul semn. 3. Dcă m+ n + p Z, tunci + b x n = t q, unde q este numitorul lui p. Altfel spus, t = N + b x n, dică se lege c vribilă nouă prntez după un fctor comun forţt, cu tot cu exponent, eliminând eventulul numărător l exponentului şi eventulul semn. Substituţiile de mi sus se numesc şi substituţiile lui Cebâşev. Exemplu. Fie integrl I = x 3 + x dx, x (0, ). Atunci I = x 3 (x + ) dx = m = 3, n =, p =. Observăm că p = Z, dr m+ n = Z. Alegem c vribilă nouă t = (x + ) =»x +, eliminând semnul de l exponent, întrucât expresi + x de sub rdicl nu este ridictă e însăşi l o putere. De ici şi deci» dx = ( t ) dt = Asociem integrl J = t = x + = x = t = x = t (t ) dt = Å» 3 t ã (t ) t t dt =» t, t tdt = t t dt. (t )»t t t t dt

33 30 Cpitolul PRIMITIVE = (t )dt = t3 3 t + C. Prin înlocuire lui t, obţinem că I = ( x + ) 3 3» x + + C.

34 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ. Definiţi noţiunii de integrlă definită Diviziuni le unui intervl Fiind dt un intervl mărginit [, b], numim diviziune s o mulţime ordontă = {x 0, x, x,..., x n }, cu = x 0 < x < x <... < x n = b. Punctele x 0, x, x,..., x n se numesc nodurile diviziunii, ir lungime mximă intervlelor elementre [x 0, x ], [x, x ],..., [x n, x n ] stfel determinte = mx (x i+ x i ), 0 i n se numeşte norm diviziunii. În situţi în cre tote intervlele elementre le diviziunii u ceeşi lungime, eglă cu n (b ), diviziune se numeşte echidistntă. Exemplu. Mulţime 3 35 = 0,,,, este o diviziune intervlului [0, ], cu norm fără fi echidistntă. Notţie = mx 3, 6, 0, = 5 5, Mulţime diviziunilor unui intervl [, b] se noteză D [,b]. 3

35 3 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ Sisteme de puncte intermedire socite Fiind dtă o diviziune = {x 0, x, x,..., x n }, vom numi sistem de puncte intermedire socit diviziunii o mulţime ordontă C = {c, c,..., c n }, stfel încât c i [x i, x i ] pentru i n (în fiecre intervl elementr se flă câte un punct intermedir). Sume Riemnn. Interpretre geometrică Fiind dte o funcţie f : [, b] R, o diviziune = {x 0, x, x,..., x n } intervlului [, b] şi C = {c, c,..., c n } un sistem de puncte intermedire socit diviziunii, vom numi sumă Riemnn socită diviziunii şi sistemului de puncte intermedire C sum σ ( f, C) = n f (c i )(x i x i ) i= = f (c )(x x 0 ) + f (c )(x x ) f (c n )(c n c n ) (vlore funcţiei în fiecre punct intermedir se înmulţeşte cu lungime intervlului din cre punctul intermedir fce prte, dunându-se rezulttele. Definiţie. Fie f : I R. Vom spune că f este integrbilă Riemnn pe [, b] (pe scurt, f este integrbilă pe [, b]) dcă există un număr rel I stfel încât oricre r fi ε > 0 există δ ε > 0 cu propriette că oricre r fi diviziune D [,b] cu < δ ε şi oricre r fi sistemul de puncte C socit lui, re loc ineglitte σ ( f, C) I < ε. Numărul I se numeşte integrl definită, su integrl Riemnn, funcţiei f pe intervlul [, b] şi se noteză b f (x)dx. Numerele şi b se numesc limitele de integrre, ir intervlul [, b] se numeşte intervl de integrre. Diferenţ între integrl nedefinită şi integrl definită unei funcţii Integrl nedefinită unei funcţii f este o mulţime de funcţii, pe când integrl s definită este un număr.

36 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 33 Inversre limitelor de integrre Observăm din cele de mi sus că nu este nepărt necesr c < b. Comprând sumele Riemnn obţinute pentru intervlele [, b] şi [b, ] (şi ceeşi diviziune şi celşi sistem de puncte intermedire C), observăm că dou este opusă primei, întrucât (x i x i ) se trnsformă în (x i x i ) = (x i x i ). Urmeză imedit că b f (x)dx = f (x)dx b (inversre limitelor de integrre re c efect inversre semnului integrlei). Intervl de integrre redus l un punct Prin definiţie (consistentă cu observţi de mi sus şi cu interpretre geometrică integrlei definite) f (x)dx = 0, (dcă lungime intervlului de integrre este 0, tunci şi vlore integrlei este 0). Legătur între integrbilitte şi lte proprietăţi le funcţiilor După definire noţiunii de funcţie integrbilă, este nturl să căutăm legăturile între integrbilitte şi lte proprietăţi uzule le unor funcţii (continuitte, monotonie, mărginire). Ţinând sem de motivţi prctică introducerii noţiunii de integrlă definită (clculul unor rii), r fi nturl c funcţiile continue pe un intervl [, b] să fie şi integrbile. Ţinând sem şi de fptul că integrl definită unei funcţii este, în fpt, limit (finită) unui şir (convergent) de sume Riemnn, cum un şir convergent este mărginit, ne putem ştept prin nlogie c şi o funcţie integrbilă să fie mărginită. Prin celşi gen de nlogie, cum un şir monoton şi mărginit este convergent, ne putem ştept c o funcţie monotonă şi mărginită să fie integrbilă. Teorem.. Fie f : [, b] R, f continuă pe [, b]. Atunci f este integrbilă pe [, b].

37 34 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ Teorem.. Fie f : [, b] R, f integrbilă pe [, b]. Atunci f este mărginită pe [, b]. În fpt, putem preciz o propriette mi generlă, dr cărei prezentre detlită depăşeşte cdrul cestui curs. Teorem.3. Fie f : [, b] R. Atunci f este integrbilă pe [, b] dcă şi numi dcă f este mărginită şi este continuă prope peste tot" pe [, b]. Aici, continuă prope peste tot" însemn fptul că mulţime punctelor de discontinuitte le lui f re măsur Lebesgue 0, în sensul că pote fi coperită cu o reuniune numărbilă de intervle cu sumă lungimilor oricât de mică. Teorem.4. Fie f : [, b] R, f monotonă şi mărginită pe [, b]. Atunci f este integrbilă pe [, b]..3 Formul Leibniz-Newton Formul următore reprezintă legătur dintre noţiunile de integrlă definită, respectiv nedefinită. Teorem.5. Fie f : [, b] R stfel încât f este integrbilă pe [, b] şi dmite primitive pe [, b]. Atunci b f (x)dx = F(b) F() === notţie F(x) b, F fiind o primitivă orecre lui f. Demonstrţie. Să observăm mi întâi că vlore expresiei F(b) F() nu depinde de primitiv F, întrucât două primitive F, F diferă printr-o constntă, F = F + C. Atunci F (b) F () = (F (b) + C) (F () + C) = F (b) F (). Fie F o primitivă lui f. Atunci F este derivbilă pe [, b], ir F (x) = f (x), pentru orice x [, b].

38 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 35 Fie = {x 0, x, x,..., x n } o diviziune intervlului [, b]. Aplicând teorem vlorii medii lui Lgrnge funcţiei F pe fiecre intervl [x i, x i ], i n, obţinem că există c i (x i, x i ) stfel încât F(x i ) F(x i ) = F (c i )(x i x i ) = f (c i )(x i x i ). Sum Riemnn socită funcţiei f, diviziunii şi sistemului de puncte intermedire C = {c, c,..., c n } este tunci σ ( f, C) = n n f (c i )(x i x i ) = [F(x i ) F(x i )] i= i= = [F(x ) F(x 0 )] + [F(x ) F(x )] [F(x n ) F(x n )] = F(x n ) F(x 0 ) = F(b) F(). Fie ε > 0 rbitrr. Conform definiţiei, σ ( f, C) b f (x)dx < ε = F(b) F() b f (x)dx < ε pentru orice cu < δ ε. Cum ε er rbitrr, urmeză că b F(b) F() f (x)dx = 0 = b f (x)dx = F(b) F(). Prin intermediul formulei Leibniz-Newton, numită şi formul fundmentlă clculului integrl, formulelor de clcul l primitivelor pentru functii uzule le corespund formule de clcul pentru integrle definite. Exemplu. deorece π 4 0 π 4 cos dx = tg x = tg( π ) tg 0 =, x 0 4 cos dx = tg x + C, x o primitivă funcţiei cos fiind funcţi tg..4 Operţii cu funcţii integrbile

39 36 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ Teorem.6. Fie f, g : [, b] R, f, g integrbile pe [, b], şi c R. Au loc următoorele proprietăţi.. Funcţiile f + g şi f g sunt integrbile pe [, b], ir b b ( f (x) + g(x))dx = b f (x)dx + g(x)dx (integrl sumei este eglă cu sum integrlelor), respectiv b b ( f (x) g(x))dx = b f (x)dx g(x)dx (integrl diferenţei este eglă cu diferenţ integrlelor).. Funcţi c f este integrbilă pe [, b], ir b c f (x)dx = c b f (x)dx, (o constntă cu cre se înmulţeşte pote fi trecută de sub integrlă îninte integrlei). Menţionăm că nu u loc formule semănătore pentru produs şi rport, dică integrl produsului nu este, de regulă, produsul integrlelor şi nici integrl rportului nu este, de regulă, rportul integrlelor. Condenst, formulele de mi sus pot fi scrise sub form Teorem.7. Fie f, g : [, b] R, f, g integrbile pe [, b] şi c, c R. Atunci c f + c g este integrbilă pe [, b] şi b b (c f (x) + c g(x))dx = c b f (x)dx + c g(x)dx..5 Metode de clcul.5. Metod de integrre prin părţi Teorem.8. Fie f, g : [, b] R derivbile, cu f, g continue. Atunci f g şi f g

40 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 37 sunt integrbile pe [, b], ir b f (x)g(x)dx = f (x)g(x) b b f (x)g (x)dx..5. Prim metodă de schimbre de vribilă Teorem.9. Fie [, b], [c, d] intervle şi [, b] următorele proprietăţi. u este derivbilă cu derivt continuă pe [, b];. f continuă pe [, b]; Atunci ( f u)u este integrbilă pe [, b], ir u [c, d] f R funcţii cre stisfc b u(b) ( f u)(x)u (x)dx = u() f (u)du, Remrcăm fptul că tunci când se schimbă vribil de integrre se schimbă şi limitele de integrre. Exemplu. Fie integrl 0 rctg x + x dx. Atunci rctg x 0 + x dx = rctg x 0 + x dx. Notând u = rctg x, obţinem că du = (rctg x) dx = + x dx. Clculăm noile limite de integrre, înlocuindu-le pe cele vechi în schimbre de vribilă. Astfel, x = 0 = u = rctg 0 = 0 x = = u = rctg = π 4.

41 38 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ Înlocuind du şi u (în cestă ordine), urmeză că π rctg x 0 + x dx = 4 0 udu = u π 4 0 = Å π 4 ã 0 = π A dou metodă de schimbre de vribilă Teorem.0. Fie [, b], [c, d] intervle şi [, b] următorele proprietăţi u [c, d] f R funcţii cre stisfc. u este derivbilă şi inversbilă, ir v = u este derivbilă cu derivt continuă pe [c, d];. f este continuă pe [c, d]; Atunci ( f u) este integrbilă pe [, b], ir b u() ( f u)(x)dx = u(b) f (u) v (u)du..6 Proprietăţi le integrlei definite.6. Proprietăţi în rport cu intervlul Restrângere intervlului de integrre Teorem.. Fie f : [, b] R, f integrbilă pe [, b]. Atunci f este integrbilă pe orice subintervl [c, d] [, b]. Extindere intervlului de integrre. Aditivitte în rport cu intervlul Teorem.. Fie f : [, b] R, c (, b). Dcă f este integrbilă tât pe [, c] cât şi pe [c, b], tunci este integrbilă pe întreg intervlul [, b], ir c b b f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx. c

42 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 39 Integrre funcţiilor pre şi impre Remintim că o funcţie f : [, ] R se numeşte pră dcă f ( x) = f (x), pentru orice x [, ] (semnul dispre, ş cum dispre când este ridict l putere pră). De semene, dcă f ( x) = f (x), pentru orice x [, ] (semnul se păstreză, ş cum se păstreză când este ridict l putere impră), funcţi f se numeşte impră. Teorem.3. Fie [, ] un intervl simetric fţă de origine şi fie f : [, ] R, f integrbilă pe [, ].. Dcă f este impră, tunci f (x)dx = 0.. Dcă f este pră, tunci f (x)dx = f (x)dx. 0 Exemplu. Determinţi» x7 + x dx. Intervlul de integrre, [, ], este simetric fţă de origine. Rămâne să determinăm pritte funcţiei de sub integrlă. Fie Atunci f : [, ] R, f (x) = x 7» + x. f ( x) = ( x) 7» + ( x) = x 7» + x = f (x), x [, ], deci f este impră, ir» x7 + x = 0. Prctic, funcţiile impre păstrând semnul", integrl pe prte negtivă [, 0] intervlului [, ] re semn schimbt fţă de integrl pe prte pozitivă [0, ] intervlului [, ], ir sum lor este 0.

43 40 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ Funcţiile pre eliminând semnul", integrl pe prte negtivă [, 0] intervlului [, ] este eglă cu integrl pe prte pozitivă [0, ] intervlului [, ], sum lor fiind dublul integrlei pe prte pozitivă [0, ]..6. Proprietăţi în rport cu funcţi Păstrre semnului Vom observ în cele ce urmeză că integrl definită păstreză semnul funcţiei de integrt. În plus, ineglitte strictă într-un punct de continuitte funcţiei de integrt trge ineglitte strictă pentru integrlă. Teorem.4. Fie f : [, b] R, f integrbilă pe [, b].. Dcă f (x) 0, pentru orice x [, b], tunci b f (x)dx 0.. Dcă f (x) 0, pentru orice x [, b] şi există x 0 [, b] stfel c f (x 0 ) > 0, ir f este continuă în x 0, b tunci f (x)dx > 0. Păstrre ineglităţilor între funcţii Teorem.5. Fie f, g : [, b] R, f, g integrbile pe [, b].. Dcă f (x) g(x), pentru orice x [, b], tunci b b f (x)dx g(x)dx.. Dcă f (x) g(x), pentru orice x [, b], şi există x 0 [, b] stfel c f (x 0 ) > g(x 0 ), ir f g este continuă în x 0, b tunci b f (x)dx > g(x)dx. Urmeză că integrl definită păstreză ineglitte nestrictă între funcţii. În plus, ineglitte strictă între funcţii într-un punct de continuitte l diferenţei (în prticulr, într-un punct comun de continuitte l funcţiilor) trge ineglitte strictă între integrle.

44 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 4 Exemplu. Fie n N. Cre număr este mi mre, π 0 sin n xdx su π 0 sin n+ xdx? Soluţie. Întrucât integrlele u celşi intervl de integrre, [0, π ], încercăm să stbilim o ineglitte între funcţiile de integrt. Pentru x [0, π ], sin x [0, ], fiind deci pozitiv subunitr. Atunci, sin n x sin n+ x, pentru orice x [0, π ], deorece un număr pozitiv subunitr scde prin ridicre l o putere mi mre. Ineglitte între funcţii se păstreză şi între integrle, deci π 0 sin n xdx π 0 sin n+ xdx. În fpt, deorece mbii integrnzi sunt funcţii continue, ir sin n ( π ( ) n 4 ) = > sin n+ ( π 4 ) = ( ) n+, (există ineglitte strictă într-un punct comun de continuitte) urmeză că π 0 sin n xdx > π 0 sin n+ xdx. Corolr.5.. Fie f : [, b] R, f integrbilă pe [, b]. Dcă tunci m f (x) M, m(b ) b pentru orice x [, b], f (x)dx M(b ). Exemplu. Demonstrţi că 3 5 x x + dx 6.

45 4 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ Soluţie. Întrucât vem de determint vlorile minime şi mxime le unei integrle, încercăm să determinăm vlorile minime şi mxime le funcţiei de sub integrlă. Deorece cestă funcţie este f : [, 5] R, f (x) = x x +, (vlorile funcţiei în fr intervlului de integrre nu intereseză), este necesr să stbilim monotoni funcţiei de sub rdicl, nume g : [, 5] R, g(x) = x x +. Pentru stbili monotoni unei funcţii, putem utiliz semnul derivtei sle. Observăm că g (x) = (x + ) 0, deci g este crescătore pe [, 5], şi l fel este şi f = g. Atunci vlorile minime şi mxime le lui f sunt m = f () = Conform corolrului, urmeză că de unde concluzi. 3, M = f (5) = 3. 5 x 3 (5 ) x + dx (5 ), 3 Corolr.5.. Fie f : [, b] R, f integrbilă pe [, b]. Atunci f este integrbilă pe [, b], ir f (x)dx f (x) dx. b Teorem funcţiei modificte b Teorem.6. Fie f : [, b] R, f integrbilă pe [, b]. Dcă modificăm vlorile lui f într-un număr finit de puncte din [, b], obţinând în cest mod o nouă funcţie g : [, b] R, tunci. g este de semene integrbilă pe [, b];

46 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 43. vlore integrlei sle rămâne ceeşi, dică b b f (x)dx = g(x)dx..7 Integrl definită c funcţie de limit superioră Am firmt în cpitolul precedent că orice funcţie continuă dmite primitive. Pentru dovedi cest lucru, demonstrăm mi întâi următore formulă de derivre integrlei definite c funcţie de limit superioră de integrre (limit inferioră fiind constntă). Teorem.7. Fie f : [, b] R, f continuă pe [, b]. Atunci F : [, b] R, F(x) = x f (t)dt, este derivbilă pe [, b], ir Å x f (t)dtã = f (x), pentru orice x [, b]. Altfel spus, derivre cestui tip de integrlă se relizeză prin înlocuire vribilei x sub integrlă şi poi eliminre reciprocă" lui, şi dx (remintim că integrre şi derivre sunt operţii inverse"). Exemplu. Ç x π å sin tdt = sin x O consecinţă imedită cestei formule este fptul că o primitivă lui f este F : [, b] R, F(x) = x f (x)dx, cest vând în plus şi propriette că F() = f (x)dx = 0. Am demonstrt deci următorul rezultt.

47 44 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ Teorem.8. Fie f : [, b] R, f continuă pe [, b]. Atunci f dmite primitive pe [, b]. Formul de derivre cre fce obiectul Teoremei.7 este vlbilă dor tunci când limit inferioră de integrre este o constntă, ir ce superioră este x, şi nu o ltă funcţie mi complictă. Într-un cz mi generl, funcţioneză următore formulă de derivre unei integrle definite în cre tât limit inferioră de integrre cât şi ce superioră sunt vribile, motivtă de formul de derivre funcţiei compuse. Teorem.9. Fie f : [, b] R o funcţie continuă, ir u, v : [c, d] [, b] funcţii derivbile, cu derivt continuă. Atunci F : [c, d] R, F(x) = v(x) u(x) f (t)dt este derivbilă pe [c, d], ir Ç v(x) u(x) f (t)dtå = f (v(x)) v (x) f (u(x)) u (x). Exemplu. Demonstrţi că funcţi f : [0, π ] R, cos x f (x) = et dt, sin x este strict descrescătore. Soluţie. Pentru studi monotoni funcţiei f, clculăm derivt cestei, observând că f (x) = de unde concluzi. Teorem de medie Å cos x sin x ã et dt = e cos x (cos x) e sin x (sin x) = e cos x sin x e sin x cos x < 0, pentru x [0, π ],

48 ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 45 Teorem.0. Fie f : [, b] R, f continuă pe [, b]. Atunci există c (, b) stfel încât b f (x)dx = f (c)(b )..8 Aplicţii le integrlei definite.8. Ari subgrficului unei funcţii Funcţii cu semn pozitiv Definiţie. Fie f : [, b] R, f (x) 0 pentru orice x [, b]. Vom numi subgrfic l funcţiei f mulţime Γ f definită prin Γ f = {(x, y); x b, 0 y f (x)}, sitută între dreptele verticle x = şi x = b, x Ox şi grficul funcţiei f. Figur.: Subgrficul unei funcţii pozitive f. Teorem.. Fie f : [, b] R, f integrbilă pe [, b], f (x) 0 pentru orice x [, b]. Atunci ri lui Γ f este ri(γ f ) = b f (x)dx.

49 46 Cpitolul INTEGRALA DEFINITĂ Funcţii cu semn orecre Dcă funcţi f nu păstreză semn constnt pozitiv, Γ f se defineşte prin Γ f = {(x, y); x b, 0 y f (x) su 0 y f (x)}, fiind sitută între dreptele verticle x = şi x = b, x Ox şi grficul funcţiei f (cum putându-se fl, prţil su totl şi desupr grficului funcţiei f ). Se pote observ că dcă f păstreză semn constnt pozitiv, tunci definiţi coincide cu ce de mi sus. Ari lui Γ f pote fi clcultă şi în cest cz printr-o formulă semănătore. Figur.: Subgrficul unei funcţii cu semn orecre f. Teorem.. Fie f : [, b] R, f integrbilă pe [, b], cu semn orecre. Atunci ri lui Γ f este ri(γ f ) = b f (x) dx. Desigur, modulul este necesr dtorită fptului că ri clcultă trebuie să fie pozitivă, ir funcţi f nu re, în czul de fţă, cestă propriette..8. Ari mulţimii mărginite de grficele două funcţii Definiţie. Fie f, g : [, b] R, f, g integrbile pe [, b]. Numim mulţime mărginită de grficele funcţiilor f şi g mulţime Γ f,g definită prin Γ f,g = {(x, y); x b, f (x) y g(x) su g(x) y f (x)} sitută între dreptele verticle x =, x = b, şi grficele funcţiilor f, g.