Praktikum iz biokemije

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Praktikum iz biokemije"

Transcript

1 Praktikum iz biokemije Ivica Strelec Tihomir Kovač Osijek, 2013.

2 Izdavač: Urednici: Recenzent: Prehrambeno tehnološki fakultet Osijek Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Ivica Strelec Tihomir Kovač Drago Bešlo Osijek, 2013.

3 Sadržaj Metode određivanja koncentracije proteina... 1 Vježba 1. Određivanje koncentracije proteina UV metodom... 4 Vježba 2. Određivanje koncentracije proteina Lowryjevom metodom... 6 Vježba 3. Određivanje koncentracije proteina Bradfordičinom metodom... 9 Metode određivanja aktivnosti enzima Vježba 4. Određivanje aktivnosti katalaze kontinuiranim spektrofotometrijskim testom Vježba 5. Određivanje aktivnosti pepsina testom fiksnog vremena Vježba 6. Određivanje aktivnosti ureaze testom fiksnog vremena Pretraživanje proteinskih i enzimskih baza podataka Vježba 7. Pretraživanje enzimske baze podataka BRENDA Enzimska kinetika Vježba 8. Vremenski tijek reakcije Vježba 9. Utjecaj ph na brzinu enzimske reakcije Vježba 10. Utjecaj koncentracije supstrata na brzinu enzimske reakcije Organizacija eukariotske DNA u više stukture Vježba 11. Izolacija DNA iz kivija Uvod u metabolizam probava hrane Vježba 12. Simulacija probave proteina u želucu... 51

4 Metode određivanja koncentracije proteina Određivanje koncentracije proteina jedan je od uvriježenih postupaka, odnosno koraka u biokemijskim analizama različitih vodenih ili puferskih ekstrakata organa, tkiva ili stanica. Pri tome nam na raspolaganju stoji čitav niz metoda, no najčešće korištene su Lowryjeva i Bradfordičina metoda. Uz navedene svakako treba istaknuti i UV metodu (UV, eng. Ultra Violet; hrv. ultraljubičasti dio spektra) koja se prije svega koristi za određivanje koncentracije proteina u otopinama čistih proteina. Sve ove metode spadaju u skupinu takozvanih indirektnih metoda određivanja koncentracije proteina, što podrazumijeva mjerenje apsorbancije otopine proteina pomoću spektrofotometra, i potom preračunavanje vrijednosti izmjerene apsorbancije u količinu proteina pomoću baždarnog dijagrama. Postavlja se pitanje što je to apsorbancija? Apsorbancija (A) predstavlja logaritam omjera intenziteta upadnog zračenja (I 0) i propuštenog zračenja (I) kroz uzorak, odnosno otopinu proteina: = log O čemu se zapravo radi? Izložimo li otopinu proteina ili bilo kojih drugih molekula elektromagnetskom zračenju točno određene valne duljine, tada molekule u otopini apsorbiraju dio tog zračenja, a dio zračenja prolazi kroz kivetu sa otopinom molekula te biva detektiran (izmjeren) na detektoru (Slika 1). Pri tome ukoliko molekule u otopini apsorbiraju elektromagnetsko zračenje u području svih valnih duljina vidljivog dijela spektra ( nm), uzorak izgleda crn, odnosno ukoliko molekule u otopini ne apsorbiraju EM zračenje u području vidljivog dijela spektra uzorak izgleda proziran. Slika 1. Princip mjerenja apsorbancije na spektrofotometru Izvor elektromagnetskog zračenja odašilje EM zračenje širokog spektra koje ulazi u monokromator (prizmu). Monokromator potom propušta EM zračenje samo točno određene valne duljine koje prolazi kroz uzorak u kiveti duljine puta (l). Uzorak apsorbira dio EM zračenja, a količina apsorbiranog zračenja je proporcionalna koncentraciji uzorka. Dio zračenja koji nije apsorbiran prolazi kroz uzorak (propušteno EM zračenje) i mjeri se na detektoru te najčešće izražava kao apsorbancija (A). 1

5 Koji je to dio molekule, odnosno atoma u molekuli odgovoran za apsorpciju elektromagnetskog zračenja određene valne duljine? To su elektroni, i to prije svega elektroni dvostrukih veza ( elektroni) te nespareni elektronski parovi (prisjetite se da kisik i duših imaju nespareni elektronski par). Naime, kada se neka molekula u otopini izloži EM zračenju određene valne duljine, tada ovi elektroni u molekuli apsorbiraju dio tog zračenja, te prelaze iz osnovnog u pobuđeno stanje, a neapsorbirani dio EM zračenja prolazi kroz uzorak i biva detektiran na detektoru. Ovisnost količine apsorbiranog zračenja definirana je Lambert Beerovim zakonom: log = = gdje je I 0 intenzitet ulaznog EM zračenja, I intenzitet propuštenog EM zračenja, a logaritam njihova omjera predstavlja apsorbanciju (A) koja je ujedno jednaka umnošku molarnog apsorpcijskog koeficijenta, (L/mol cm), koncentracije molekula u uzorku, c (mol/l) i duljine puta kroz kivetu, l (cm). Iz navedne formule slijedi da je količina elektromagnetskog zračenja kojeg molekule apsorbiraju ovisna je o debljini sloja otopine kroz koji zračenje prolazi (tzv. duljina puta kroz kivetu), te o koncentraciji molekula u otopini, i što su one veće to je i količina apsorbiranog zračenja veća. Stoga, ukoliko se mjerenje apsorbancije provodi pri konstantnoj duljini puta kroz kivetu (što je najčešća pojava budući su spektrofotometri i kivete standardizirani; l = 1 cm), tada je izmjerena apsorbancija proporcionalna koncentraciji molekula u otopini. Štoviše, ukoliko nam je poznat molarni apsorpcijski koeficijent ( ) za ispitivanu molekulu, koristeći se gore navedenom formulom možemo na osnovi izmjerene apsorbancije odrediti koncentraciju molekula u uzorku, odnosno ukoliko nam je poznata koncentracija molekula u otopini, tada možemo odrediti molarni apsorpcijski koeficijent ispitivane molekule. Upravo ćemo u prvoj vježbi koristiti gore navedenu formulu, te na osnovi poznatog molarnog apsorpcijskog koeficijenta i izmjerene apsorbancije odrediti koncentraciju proteina u otopini čistog proteina nepoznate koncentracije. Sljedeće pitanje koje nam se postavlja je što je to baždarni dijagram? Baždardni dijagram je dijagram ovisnosti intenziteta apsorbancije otopine molekula o koncentraciji ili količini molekula u otopini (Slika 2). Kada govorimo o proteinima, tada baždardni dijagram predstavlja dijagram ovisnosti intenziteta apsorbancije o količini (koncentraciji) proteina u otopini. Slika 2. Baždarni dijagram Ukoliko se koristite računalnim programom (najčešće Excel) dijagram možete linearizirati primjenom opcije trendline (linija trenda) i izraziti najčešće pomoću jednadžbe pravca koja se potom koristi za preračun izmjerene apsorbancije otopine nepoznate koncentracije uzorka u koncentraciju ili količinu tvari prisutne u otopini. 2

6 Kako se to priprema baždarni dijagram za određivanje koncentracije proteina? Baždarni dijagram se priprema na takav način da se napravi niz otopina nekog standardnog proteina poznate koncentracije (Slika 3), a najčešće korišteni standardni protein je goveđi serumski albumin (BSA, eng. Bovine Serum Albumin). Potom se u pripremljene otopine dodaje specifični reagens koji stupa u reakciju s proteinima i dovodi do nastanka obojene reakcije, nakon čega se intenzitet obojenja mjeri pri određenoj valnoj duljini na spektrofotometru (vidljivi dio spektra, VIS). Ukoliko se mjerenje apsorbancije pripremljenih otopina standardnog proteina provodi u UV području, tada otopinama nije potrebno dodati nikakav reagens, nego se pripremljenim otopinama samo izmjeri apsorbancija. Rezultati mjerenja apsorbancije, bilo u UV ili VIS području se potom najčešće računalno obrađuju, a obradom se dobije baždarni dijagram sličan dijagramu prikazanom na Slici 2. Slika 3. Shematski prikaz sastava reakcijske smjese Zamijetite da je volumen reakcijske smjese uvijek isti. Volumen otopine proteina (standard proteina + voda) je također uvijek isti, zato što se smanjuje volumen dodane vode za toliko za koliko se više doda volumena otopine proteina standarda. Tek pošto je baždarni dijagram napravljen, moguće je apsorbanciju otopine nepoznatog uzorka preračunati u količinu proteina. Upravo će se vježbe 2 i 3 temeljiti na pripremi baždarnog dijagrama, te izračunu koncentracije ili količine proteina u nepoznatom uzorku. 3

7 Vježba 1. Određivanje koncentracije proteina UV-metodom Svrha vježbe: Upoznati se sa načinom određivanja koncentracije proteina u otopinama standardnih proteina pomoću UV metode. UV metoda je prije svega namijenjena određivanju koncentracije proteina u otopinama čistih proteina ili standardnim otopinama proteina pripravljenim otapanjem određene količine čistog proteina (proteina standarda) u vodi ili puferu. Određivanje koncentracije proteina ovom metodom provodi se mjerenjem apsorbancije otopine proteina pri 280 nm, i potom preračunom vrijednosti apsorbancije u količinu proteina pomoću formule Lambert Beerovog zakona uz poznati molarni apsorpcijski koeficijent čistog proteina ( ): log = = Alternativno, koncentraciju proteina u otopini moguće je provesti mjerenjem apsorbancije pri dvije valne duljine, 260 i 280 nm, i potom izračunati pomoću opće formule za izračun masene koncentracije proteina: ( )( ) = 1,55 0,76 gdje se apsorbancija izmjerena pri 280 nm umanjuje za određeni iznos apsorbancije izmjerene pri 260 nm. Pri tome apsorbancija otopine pri 280 nm odražava koncentraciju proteina u otopini, a apsorbancija pri 260 nm prisustvo određene količine nukleinskih kiselina. Postavlja se pitanje, koji su to elektroni u molekuli proteina odgovorni za apsorpciju EM zračenja pri 280 nm? To su elektroni dvostrukih veza u bočnim ograncima aromatskih aminokiselina tirozina (Tyr), triptofana (Trp) i fenilalanina (Phe). Stoga, možemo reći da se mjerenje apsorbancije otopine proteina pri 280 nm temelji na sposobnosti bočnih ogranaka aromatskih aminokiselina Tyr, Trp i Phe u proteinu da maksimalno apsorbiraju UV zračenje pri valnim duljinama oko 280 nm (Slika 4). Slika 4. Apsorpcijski maksimum aromatskih aminokiselina 4

8 Zadatak vježbe: Odrediti koncentraciju proteina u nepoznatom uzorku UV metodom mjerenjem apsorbancije pri 280 nm. Reagensi Otopina goveđeg serumskog albumina (BSA) nepoznate koncentracije (Uzorak X);, % = 0,66 Pribor UV/VIS spektrofotometar UV kivete Stalak za UV kivete Postupak Sadržaj plastične epruvetice sa uzorkom X preliti u UV kivetu, te izmjeriti apsorbanciju pri 280 nm. Nakon mjerenja, uzorak preliti iz kivete nazad u plastičnu epruveticu, te čuvati za sljedeću vježbu. Vrijednost apsorbancije preračunati u koncentraciju proteina koristeći se izvodom formule Lambert Beerovog zakona: ( )( ) =, % REZULTATI MJERENJA Uzorak A 280 Izračun koncentracije proteina u nepoznatom uzorku Zaključak Pregledano Potpis nastavnika 5

9 Vježba 2. Određivanje koncentracije proteina Lowryjevom metodom Svrha vježbe: Upoznati se sa pripravom i uporabom baždardnog dijagrama prilikom određivanja koncentracije proteina Lowryjevom metodom. Lowryjeva metoda određivanja koncentracije proteina se temelji na reakciji bakrenih iona koordinativno vezanih za amino skupine peptidnih veza u proteinu i fenolne skupine bočnog ogranka aminokiseline Tyr u proteinu sa Folin Ciocalteau reagensom, pri čemu nastaje kompleks plavoljubičastog obojenja sa maksimumom apsorbancije pri 660 nm (Slika 5). Slika 5. Princip određivanja koncentracije proteina Lowry metodom Bakreni ioni koordinativno vezani na amino skupine peptidne veze i fenolna skupina tirozina (Tyr) reduciraju fosfovolfram i fosfomolibden kiselinu Folinovog reagensa u volfram i molibden plavilo. Folin Ciocalteau (Folinov) reagens sadrži fosfovolfram i fosfomolibden kiselinu koje bakreni ioni koordinirano vezani na amino skupine peptidne veze i fenolna skupina tirozina (Tyr) reduciraju u volfram i molibden plavilo. Zadatak vježbe: Iz otopine standardnog proteina (BSA) pripremiti baždarni dijagram te na osnovi baždarnog dijagrama odrediti koncentraciju proteina u nepoznatom uzorku. Reagensi Otopina goveđeg serumskog albumina, (BSA) = 1 mg/ml Alkalna otopina I (2% Na2CO3 u 0,1 M NaOH) Alkalna otopina II (0,5% CuSO4 u 1% K Na tartaratu) Folin Ciocalteau reagens (komercijalni reagens razrijeđen s vodom u omjeru 1:1) Pribor UV/VIS spektrofotometar Vodena kupelj Vortex mješalica Pipetor dispenzor (5 ml) Epruvete 10 ml Stalak za epruvete 6

10 Mikropipete ; L PMMA kivete Stalak za kivete Postupak Iz otopine goveđeg serumskog albumina BSA, (BSA) = 1 mg/ml, u epruvetama pripremiti niz otopina proteina poznate koncentracije (standardni niz) volumena 100 L prema sljedećoj shemi : Standardni niz S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 g proteina Izračun volumena standardne otopine proteina i priprema standardnog niza Koristeći se formulom za masenu koncentraciju izračunati koliko je L otopine proteina masene koncentracije = 1 mg/ml potrebno dodati u reakcijsku smjesu određenog uzorka standardnog niza kako bi se postigla željena količina (masa) proteina, i potom izračunati koliko je L H 20 potrebno dodati kako bi ukupni volumen reakcijske smjese iznosio 100 µl. Tablica standardnog niza g proteina V(BSA 1mg/mL) [ L] V(H 2O) [ L] Izračun volumena nepoznatog uzorka i priprema Koristeći se formulom za masenu koncentraciju izračunati koliko je L nepoznate otopine proteina (uzorka X) potrebno dodati u reakcijsku smjesu, kako biste bili u sredini standardnog niza, i potom izračunati koliko je L H 20 potrebno dodati kako bi ukupni volumen reakcijske smjese iznosio 100 µl. Napomena: uzorku X ste odredili masenu koncentraciju u vježbi 1. Izračun volumena nepoznatog uzorka g proteina V(uzorka) [ L] V(H 2O) [ L] Nakon pripreme standardnog niza kao i nepoznatog uzorka, u epruvete dodati po 1 ml alkalne otopine, smjesu promiješati na vortex miješalici i ostaviti stajati 10 minuta na sobnoj temperaturi. Nakon 10 minuta, dodati po 100 µl Folin Ciocalteau reagensa, smjesu dobro promiješati na vortex 7

11 miješalici te termostatirati u vodenoj kupelji 15 minuta pri 37 C. Po isteku termostatiranja očitati apsorbanciju otopina standardnog niza i otopine proteina nepoznate koncentracije pri valnoj duljini 660 nm, uz zeroiranje instrumenta slijepom probom (S0). Na osnovi rezultata mjerenja u programu Excel napraviti baždarni dijagram te linearnom regresijom odrediti proračunsku formulu. Proračunsku formulu koristiti za izračun količine proteina. REZULTATI MJERENJA Izmjerene vrijednosti apsorbancije g proteina ΔA 660nm Formula iz baždarnog dijagrama Formula za izračun količine proteina 100 Nepoznati uzorak Izračun količine proteina u nepoznatom uzorku Uzorak Volumen uzorka [ L] ΔA 660nm g BSA g/ L Nepoznati uzorak Zaključak Objasnite princip određivanja koncentracije proteina metodom po Lowryju. Pregledano Potpis nastavnika 8

12 Vježba 3. Određivanje koncentracije proteina Bradfordičinom metodom Svrha vježbe: Upoznati se sa pripravom i uporabom baždardnog dijagrama prilikom određivanja koncentracije proteina Bradfordičinom metodom. Bradfordičina metoda se temelji na nespecifičnom vezanju anionskog oblika boje Coomassie Briliant Blue G 250 za bazične i aromatske bočne ogranke proteina, uslijed čega dolazi do stvaranja kompleksa protein:boja, koji u kiselom mediju pokazuje maksimum apsorbancije pri 595 nm (Slika 6). Slika 6. Princip određivanja koncentracije proteina Bradfordičinom metodom Zadatak vježbe: Iz otopine standardnog proteina (BSA) pripremiti baždarni dijagram te na osnovi baždarnog dijagrama odrediti koncentraciju proteina u nepoznatom uzorku. Reagensi Otopina goveđeg serumskog albumina, (BSA) = 1 mg/ml Bradfordičin reagens Pribor UV/VIS spektrofotometar Vortex mješalica Pipetor dispenzor (5 ml) Stalak za kivete Mikropipete ; L PMMA kivete Postupak Iz otopine goveđeg serumskog albumina BSA, (BSA) = 1 mg/ml, u kivetama pripremiti niz otopina proteina poznate koncentracije (standardni niz) volumena 100 L prema sljedećoj shemi : 9

13 Standardni niz S0 S1 S2 S3 S4 S5 g proteina Izračun volumena standardne otopine proteina i priprema standardnog niza Koristeći se formulom za masenu koncentraciju izračunati koliko je L otopine proteina masene koncentracije = 1 mg/ml potrebno dodati u reakcijsku smjesu određenog uzorka standardnog niza kako bi se postigla željena količina (masa) proteina, i potom izračunati koliko je L H 20 potrebno dodati kako bi ukupni volumen reakcijske smjese iznosio 100 µl. Tablica standardnog niza g proteina V(BSA 1mg/mL) [ L] V(H 2O) [ L] Izračun volumena nepoznatog uzorka i priprema Koristeći se formulom za masenu koncentraciju izračunati koliko je L nepoznate otopine proteina (uzorka X) potrebno dodati u reakcijsku smjesu, kako biste bili u sredini standardnog niza, i potom izračunati koliko je L H 20 potrebno dodati kako bi ukupni volumen reakcijske smjese iznosio 100 µl. Napomena: uzorku X ste odredili masenu koncentraciju u vježbi 1. Izračun volumena nepoznatog uzorka g proteina V(uzorka) [ L] V(H 2O) [ L] Nakon pripreme standardnog niza kao i nepoznatog uzorka, u kivete dodati po 2 ml Bradfordičinog reagensa te ostaviti stajati na sobnoj temperaturi tijekom 5 minuta. Po isteku vremena očitati apsorbanciju otopina standardnog niza i otopine proteina nepoznate koncentracije pri valnoj duljini 595 nm, uz zeroiranje instrumenta slijepom probom (S0). Na osnovi rezultata mjerenja u programu Excel napraviti baždarni dijagram te linearnom regresijom odrediti proračunsku formulu. Proračunsku formulu koristiti za izračun količine proteina. 10

14 REZULTATI MJERENJA Izmjerene vrijednosti apsorbancije g proteina ΔA 595nm Formula iz baždarnog dijagrama Formula za izračun količine proteina 50 Nepoznati uzorak Izračun količine proteina u nepoznatom uzorku Uzorak Volumen uzorka [ L] ΔA 595nm g BSA g/ L Nepoznati uzorak Zaključak Objasnite princip određivanja koncentracije proteina metodom po Bradfordici. Pregledano Potpis nastavnika 11

15 Metode određivanja aktivnosti enzima Enzimi su proteini koji ubrzavaju biokemijske reakcije u organizmu. To čine na takav način da snižavaju Gibbsovu slobodnu energiju aktivacije potrebnu da bi se reaktant (supstrat) preveo u produkt (Slika 7), odnosno stupaju u reakciju sa supstratom te tvore kratkoživući enzim supstrat kompleks koji se potom raspada u enzim i produkt, i na taj način stvaraju novi reakcijski put sa nižom energijom aktivacije. Slika 7. Reakcijski tok nekatalizirane i katalizirane reakcije Vrlo često se u analizi prihvatljivosti sirovina za proizvodnju određenih prehrambenih proizvoda ili u kontroli određenih proizvodnih procesa provodi mjerenje aktivnosti specifičnih enzima. Tako na primjer određivanje aktivnosti enzima amilaze indirektno preko broja padanja služi kao pokazatelj amilolitičke aktivnosti ovog enzima u brašnu, a time i prihvatljivosti brašna u proizvodnji kruha. Određivanje aktivnosti katalaze ili peroksidaze služi kao pokazatelj termičkog tretmana proizvoda ili sirovine, određivanje aktivnosti polifenol oksidaze kao indikator prihvatljivosti brašna za proizvodnju tjestenine, a određivanje aktivnosti ureaze kao indikator pravilnog termičkog tretmana soje. Određivanje aktivnosti enzima podrazumijeva mjerenje promjene količine supstrata ili produkta u određenom vremenskom razdoblju. Pri tome se aktivnost enzima može mjeriti direktno ukoliko su supstrat ili produkt jednostavno mjerljivi, ili indirektno ukoliko se ne mogu direktno izmjeriti. U tom slučaju se količina utrošenog supstrata ili nastalog produkta detektira dodatkom određenog reagensa koji s njima reagira te dovodi do nastanka obojene otopine. 12

16 Ukoliko se promjena količine supstrata ili produkta tijekom enzimske reakcije može mjeriti direktno, tada će se za mjerenje aktivnosti enzima najčešće koristiti kontinuirani test. Kontinuirani test podrazumijeva praćenje promjene koncentracije supstrata ili produkta u kratkim vremenskim intervalima tijekom određenog vremena. Za razliku od kontinuiranog testa, aktivnost enzima moguće je odrediti i testom fiksnog vremena. Test fiksnog vremena podrazumijeva da enzimsku reakciju pustimo da se odvija neko vrijeme, te je zatim prekinemo bilo inhibicijom bilo denaturacijom enzima, nakon čega odredimo količinu nastalog produkta ili utrošenog supstrata. Ovaj oblik testa se najčešće koristi u slučaju kada promjenu koncentracije supstrata ili produkta nije moguće pratiti direktno. Upravo se vježbama 4, 5 i 6 učimo načinima određivanja aktivnosti enzima. U vježbi 4 učimo odrediti aktivnost enzima kontinuiranim testom, a u vježbama 5 i 6 testom fiksnog vremena. Vježba 4. Određivanje aktivnosti katalaze kontinuiranim spektrofotometrijskim testom Svrha vježbe: Upoznati se sa postupkom izoliranja i ekstrakcije enzima iz biološkog uzorka primjenom ultrazvučnog razbijanja, postupkom određivanja aktivnosti enzima kontinuiranim testom te načinima izražavanja enzimske aktivnosti. Katalaza (EC ) je enzim široko rasprostranjen u prokariota i eukariota koji ima značajnu ulogu u antioksidacijskoj obrani organizma. Katalaza provodi enzimsku razgradnju za organizam štetnog vodikova peroksida u vodu i kisik. 2H2O2 2H2O + O2 Određivanje aktivnosti ovog enzima se najčešće provodi kontinuiranim UVspektrofotometrijskim testom. Test se temelji na praćenju sniženja apsorbancije reakcijske smjese pri 240 nm (UV područje), nastale kao rezultat enzimske razgradnje vodikova peroksida koji pokazuje maksimum apsorbancije pri 240 nm (ε mm =0,0436). Da bismo mogli ispitati aktivnost katalaze, prvo je potrebno izolirati enzim iz pileće jetre. Katalazu ćemo izolirati i ekstrahirati razbijanjem stanica jetre pomoću ultrazvuka, a potom je odvojiti od ostatka razbijenih staničnih struktura centrifugiranjem. Stoga ćemo ukratko pojasniti ultrazvučnu homogenizaciju i centrifugiranje, da bismo shvatili kako ćemo to ultrazvukom razbiti stanice, te kako ćemo centrifugiranjem odvojiti enzim od ostatka razbijenih staničnih struktura. Znatno detaljnije o načinima razbijanja stanica, kao i metodama centrifugiranja možete pročitati u popratnim materijalima uz predavanja iz biokemije Metode izolacije i pročišćavanja proteina, dostupnim na web stranici. 13

17 Ultrazvuk je zvučni val frekvencije od 20 khz do 10 MHz nečujan ljudskom uhu. Kada suspenziju stanica ili komadića tkiva izložimo djelovanju ultrazvučnih valova, širenje utrazvučnih valova kroz suspenziju dovodi do stvaranja izmjeničnih pritisaka i ekspanzijskih vrtloga koji uzrokuju stvaranje negativnog tlaka te nastanak sitnih mjehurića pare. Nastali mjehurići (tzv. kavitacije) snažno osciliraju te nakon brojnih ciklusa ekspanzije (širenja) i kompresije (skupljanja) implodiraju (Slika 8), uslijed čega se oslobađa velika sila pritiska koje djeluje na komadiće tkiva ili stanice i uzrokuje razaranje komadića tkiva, pucanje stanica i oslobađanje unutarstaničnog sadržaja. Slika 8. Nastanak kavitacije uslijed djelovanja ultrazvučnih valova Ekstrahirane proteine (u našem slučaju enzim katalazu) potrebno je odvojiti od razbijenih staničnih struktura i za to odvajanje ćemo koristiti centrifugiranje. Postavlja se pitanje što je to centrifugiranje? Centrifugiranje je proces razdvajanja tvari na osnovu molekulske mase, oblika, veličine i gustoće čestica primjenom centrifugalnog polja. Laički rečeno, centrifugiranje možemo smatrati taloženjem pod djelovanjem umjetne sile teže. O čemu se zapravo radi? Ukoliko na česticu određene mase (razbijene stanične strukture) primjenimo kružno gibanje, tada na tu česticu djeluje sila koja je pokušava radijalno izbaciti van, centrifugalna sila (F c). S druge strane, gibanju čestice pod djelovanjem centrifugalne sile opire se okolna tekućina koeficijentom trenja (f), svojom gustoćom i djelovanjem uzgona (Slika 9). Osim toga, na česticu djeluje i zemljina sila teža (g). Stoga kretanje čestice u primjenjenom centrifugalnom polju (taloženje) predstavlja sveukupni vektorski zbroj sila koje djeluju na tu česticu dajući joj brzinu i smjer kretanja (v). Slika 9. Sveukupni zbroj sila koje djeluju na česticu u primijenjenom centrifugalnom polju Ukupan vektorski zbroj sila daje brzinu kretanja (taloženja) čestice v, u primijenjenom centrifugalnom polju Za odvajanje ekstrahirane katalaze od ostatka razbijenih staničnih struktura služiti ćemo se tzv. diferencijalnim centrifugiranjem. Pri diferencijalnom centrifugiranju uzorak se razdjeljuje u dvije 14

18 frakcije: talog (sediment) i tzv. supernatant (frakcija koja nije sedimentirala, bistri tekući dio iznad taloga), a nakon centrifugiranja se frakcije mogu odijeliti jedna od druge dekantiranjem. Postavlja se pitanje, kako ćemo biti sigurni da smo odvojili naš enzim od ostataka razbijenih staničnih struktura? Kao prvo, koristiti ćemo poznate uvjete da bismo odvojili naš enzim od tih struktura (Tablica 1), a osim toga uvjerit ćemo se vizualno nakon centrifugiranja supernatant će biti bistar. Tablica 1. Uvjeti sedimentacije (taloženja) različitih staničnih frakcija Frakcija koja se sedimentira (taloži) RCF (x g)* Vrijeme (min) Stanice (eukariota) Kloroplasti, stanične membrane, jezgra Mitohondriji, bakterijske stanice Lizozomi, bakterijske membrane Ribosomi * RCF relativna centrifugalna sila Zadatak vježbe: Iz pileće jetre izolirati i ekstrahirati katalazu te joj kontinuiranim UV testom odrediti aktivnost. Aktivnost enzima izraziti u µmol/min ml, U/mL, µmol/min mg i U/mg. Uzorak i reagensi Pileća jetra 50 mm fosfatni pufer ph 7,0 sa 5 mm EDTA 20 mm otopina vodikova peroksida u 50 mm fosfatnom puferu ph 7,0 50 mm fosfatni pufer ph 7,0 Pribor Ultrazvučni homogenizator Labsonic M Mikser sjeckalica Centrifuga Plastične epruvetice UV/VIS spektrofotometar Mikropipete ; L UV kivete Stalak za kivete Štoperica Postupak Pileću jetru narezati na tanke ploške, a ploške na kockice i potom izvagati 150 mg tako usitnjene jetre u plastične epruvetice za centrifugiranje volumena 2 ml. Zatim dodati 1,5 ml 50 mm fosfatnog pufera ph 7,0 sa 5 mm EDTA i suspenziju blago promiješati na vortex mješalici. Uzorak potom razbiti ultrazvukom pri punom ciklusu (C = 1) i amplitudi (A = 100%) u 4 intervala po 30 sekundi, uz stalno hlađenje uzorka na ledu. Između intervala razbijanja praviti pauzu od 10 sekundi. Nakon razbijanja ekstrakt izbistriti centrifugiranjem (15000 g, 4 C, 10 min). Bistri ekstrakt odliti i koristiti za određivanje aktivnosti katalaze i proteina. 15

19 Za određivanje koncentracije proteina i aktivnosti katalaze bistri ekstrakt je potrebno razrijediti 100 puta u 50 mm fosfatnom puferu ph 7,0. Izračunajte volumen bistrog ekstrakta koji je potreban da biste pripremili 2 ml 100 puta razrijeđenog uzorka, te koliko trebate još dodati 50 mm fosfatnog pufera ph 7,0 da bi ukupni volumen iznosio 2 ml. Izračun Aktivnost katalaze odrediti prema sljedećoj shemi: Otopine SP* (µl) GP** (µl) 20 mm H 2O mm KH 2PO 4 ph 7, Uzorak 100 Promućkati inverzijom i mjeriti promjenu apsorbancije pri 240 nm svakih 10 s tijekom 100 s*** * SP slijepa proba reakcijska smjesa za kontrolu spontanog raspada vodikova peroksida ** GP glavna proba reakcijska smjesa za određivanje enzimske aktivnosti *** U slučaju glavne probe po dodatku enzima (uzorka) reakcijsku smjesu u roku od 30 s promućkati inverzijom i započeti mjerenje apsorbancije U kivetu otpipetirati otopine redoslijedom prikazanim u gornjoj tablici. Kivetu prekriti parafilmom, promućkati inverzijom, te potom mjeriti promjenu apsorbancije pri 240 nm u spektrofotometru svakih 10 s tijekom 100 s. Iz dobivenih podataka izračunati promjenu apsorbancije za glavnu i slijepu probu prema sljedećoj formuli: A 240nm = A 240nm(t=0 s) A 240nm(t=100 s) te izraziti promjenu apsorbancije po minuti prema sljedećoj formuli: A 240nm/min = A 240nm 60 s/100s Napomena: Za izračun promjene apsorbancije bitno je da je krivulja ovisnosti promjene apsorbancije o vremenu linearna. Aktivnost enzima potom izračunati prema sljedećoj formuli: Aktivnost katalaze (U ml) = gdje je: d faktor razrijeđenja uzorka V volumen enzima dodanog u reakciju (ml) 1 ukupni volumen reakcijske smjese 0,0436 molarni apsorpcijski koeficijent vodikova peroksida / min( ) / min( ) d 1 0,0436 Napomena: Internacionalna jedinica (U) je jedinica enzimske aktivnosti koja predstavlja onu količinu enzima koja razgradi 1 µmol supstrata po 1 minuti (U = µmol/min). Znači izračunom aktivnosti katalaze u U/mL već ste izračunali i aktivnost enzima u µmol/min ml. 16

20 Aktivnost enzima potom preračunati u specifičnu akitvnost (SA) prema sljedećoj formuli: odnosno Aktivnost (U ml) Aktivnost katalaze (U mg) = Koncentracija proteina (mg ml) Aktivnost (μmol min ml) Aktivnost katalaze (μmol min mg) = Koncentracija proteina (mg ml) REZULTATI MJERENJA Određivanje koncentracije proteina Bradfordičinom metodom Uzorak Paralela 1 Paralela 2 Paralela 3 Srednja vrijednost ( ) ΔA 595nm Izračun količine proteina u nepoznatom uzorku Uzorak V(uzorka)/ L g BSA R* g/ L Ekstrakt pileće jetre * R = razrijeđenje; upisati koliko je puta uzorak azrijeđen Izmjerene vrijednosti apsorbancije pri 240 nm Apsorbancija pri 240 nm t/s SP GP t = 0 s t = 100 s Izračun A A/min Izračun aktivnosti enzima 17

21 Aktivnost katalaze U/mL µmol/min ml U/mg µmol/min mg Zaključak Definirajte što je to U. Pregledano Potpis nastavnika 18

22 Vježba 5. Određivanje aktivnosti pepsina testom fiksnog vremena Svrha vježbe: Upoznati se sa postupkom određivanja aktivnosti enzima testom fiksnog vremena te načinima izražavanja enzimske aktivnosti. Pepsin, EC , je enzim probavnog trakta, kojeg u želudac luče stanice stjenke želuca u obliku inaktivnog preteče pepsinogena, a koji potom u želucu pod djelovanjem niskog ph (1,2 3) prelazi u aktivni oblik (pepsin). Ovaj enzim cijepa peptidnu vezu unutar polipeptidnog lanca na amino i karboksilnoj strani aromatskih i alifatskih aminokiselina preferirajući aminokiseline Tyr, Phe i Leu (Slika 10). Slika 10. Hidrolitička aktivnost pepsina Određivanje aktivnosti pepsina najčešće se provodi indirektno, spektrofotometrijskim određivanjem količine oslobođenih amino skupina nakon određenog vremena enzimske reakcije (test fiksnog vremena). U ovoj će se vježbi za određivanje slobodnih amino skupina koristiti OPA reagens. Zadatak vježbe: Testom fiksnog vremena odrediti aktivnost pepsina. Aktivnost enzima izraziti u nmol/min ml te nmol/min mg. Reagensi Otopina pepsina pepsin otopljen u 0,05 M HCl ph = 1,5, (proteina) = 0,66 mg/ml Otopina hemoglobina hemoglobin otopljen u 0,05 M HCl ph = 1,5, (proteina) = 20 mg/ml 4 % otopina trikloroctene kiseline Destilirana voda Otopina natrijeva tetraborata (c = 0,1 mol/l; ph = 11) OPA reagens (0,8 mg/ml o-ftaldialdehid, 1 mg/ml ditiotreitol, 2 % metanol, 1 % natrijev dodecil-sulfat u 0,1 M natrijevom tetraborat dodekahidratu, ph=9,7-10) Pribor Centrifuga Epruvete za centrifugiranje (10 ml) Stalak za epruvete UV/VIS spektrofotometar Mikropipete ; L, 1 5 ml PMMA kivete Stalak za kivete Štoperica 19

23 Postupak U epruvetama za centrifugiranje (10 ml) pripremiti reakcijsku smjesu u nultoj minuti i glavnu probu prema dolje prikazanoj tablici te inkubirati 10 minuta na sobnoj temperaturi: Otopine RSNM* (µl) GP** (µl) Otopina hemoglobina ( = 20 mg/ml) % trikloroctena kiselina 2000 Otopina pepsina ( = 0.66 mg/ml) Inkubirati na sobnoj temperaturi 10 minuta 4 % trikloroctena kiselina 2000 Destilirana voda * RSNM reakcijska smjesa u nultoj minuti (često se zove i slijepa proba) ** GP glavna proba reakcijska smjesa za određivanje enzimske aktivnosti Po isteku zadanog vremena inkubacije, u glavnoj probi prekinuti reakciju dodatkom 4 % trikloroctene kiseline, te uzorke centrifugirati pri 5000 obrtaja/min (rpm) tijekom 10 minuta pri sobnoj temperaturi. Bistri ekstrakt potom odvojiti od taloga dekantiranjem u staklenu epruvetu, te koristiti za određivanje količine slobodnih amino skupina. Prije određivanja slobodnih amino skupina potrebno je pripremiti željeno razrijeđenje uzorka (bistrog ekstrakta) u 0,1 M otopini natrijeva tetraborata prema sljedećoj tablici: Otopine RSNM (µl) GP (µl) Bistri ekstrakt ,1 M natrijev tetraborat Tako razrijeđeni ekstrakt potom koristiti za određivanje slobodnih amino skupina. U kivete otpipetirati otopine redoslijedom prikazanim u donjoj tablici. Kivetu prekriti parafilmom, promućkati inverzijom, te nakon 2 minute izmjeriti apsorbanciju pri 340 nm. Otopine SP* (µl) RSNM (µl) GP 1 (µl) GP 2 (µl) GP 3 (µl) 0,1 M natrijev tetraborat 100 Razrijeđeni bistri ekstrakt OPA reagens** Promiješati inverzijom i nakon 2 minute inkubacije na sobnoj temperaturi izmjeriti apsorbanciju otopine pri 340 nm * SP slijepa proba služi za zeroiranje spektrofotometra ** OPA reagens je potrebno dodati uz razmak od 15 s između kiveta Iz dobivenih podataka prvo izračunati razliku apsorbancije između glavne probe i reakcijske smjese u nultoj minuti prema sljedećoj formuli: A 340nm = A 340nm(GP) A 340nm(RSNM) te izraziti promjenu apsorbancije po minuti prema sljedećoj formuli: A 340nm/min = A 340nm /10 min 20

24 Aktivnost enzima potom izračunati prema sljedećoj formuli: A / min 2 1,1 5 2,437 Aktivnost pepsina (nmol min ml) = V gdje je: 2 faktor razrijeđenja uzorka V volumen enzima dodanog u reakciju (ml) 5 ukupni volumen reakcijske smjese 1,1 ukupni volumen u kiveti 2,437 faktor za izračun količine slobodnih amino skupina Aktivnost enzima potom preračunati u specifičnu akitvnost (SA) prema sljedećoj formuli: Aktivnost (nmol min ml Aktivnost pepsina (nmol min mg) = ) Koncentracija pepsina (mg ml) REZULTATI MJERENJA Izmjerene vrijednosti apsorbancije Uzorak A 340nm A340nm A340nm/min RSNM GP 1 GP 2 GP 3 Srednja vrijednost glavne probe ( ) Izračun aktivnosti pepsina 21

25 Aktivnost pepsina nmol/min ml nmol/min mg Zaključak Pregledano Potpis nastavnika 22

26 Vježba 6. Određivanje aktivnosti ureaze testom fiksnog vremena Svrha vježbe: Upoznati se sa postupkom određivanja aktivnosti enzima testom fiksnog vremena te načinima izražavanja enzimske aktivnosti. Ureaza, sistematskog naziva urea amidohidrolaza, EC , hidrolitički je enzim visoke specifičnosti koji katalizira reakciju hidrolize uree na amonijak i karbamat. Nastali karbamat zatim spontano hidrolizira dajući još jednu molekulu amonijaka i karbonatne kiseline (Slika 11). Slika 11. Enzimska hidroliza uree Karbonatna kiselina i 2 molekule amonijaka u otopini uspostavljaju ravnotežu svojih protoniranih i disociranih oblika, što dovodi do povišenja ph vrijednosti otopine iz neutralnog u lužnato. Upravo se ovo povišenje ph otopine, nastalo kao rezultat oslobađanja amonijaka tijekom enzimske hidrolize uree koristi za indirektno određivanje aktivnosti ureaze titracijom reakcijske smjese nakon prekida enzimske reakcije. Reakcijska smjesa se titrira pomoću kloridne kiseline, te se na osnovi utroška kloridne kiseline određuje količina nastalog amonijaka i računa enzimska aktivnost. Zadatak vježbe: Pripremiti otopinu ureaze masene koncentracije 3 mg/ml u 100 mm Tris HCl puferu ph 7,6 sa 30 mm EDTA i 0,1 % Triton X 100. Testom fiksnog vremena odrediti aktivnost ureaze. Aktivnost enzima izraziti u µmol/min ml, U/mL, µmol/min mg i U/mg. Reagensi Ureaza 100 mm Tris HCl pufer ph 7,6 sa 30 mm EDTA i 0,1 % Triton X mm urea u 25 mm Tris HCl puferu ph 7,0 25 mm HCl 2 % otopina HgCl2 Tashiro indikator 23

27 Pribor Laboratorijska vaga Lađica za vaganje Špatula Reagens boca s navojem i čepom (10 ml) Elektromagnetska mješalica Pipeta od 1 i 10 ml Automatska bireta Erlenmeyer tikvice 25 ml Postupak Određenu količinu ureaze koja je potrebna da bi se pripremilo 10 ml otopine ureaze masene koncentracije 3 mg/ml, izvagati u plastičnoj lađici, kvantitativno prenijeti u reagens bočicu te dodati 10 ml 100 mm Tris HCl pufera ph 7,6 sa 30 mm EDTA i 0,1 % Triton X 100. Enzim otopiti miješanjem na elektromagnetskoj mješalici te koristiti za određivanje aktivnosti. Izračun potrebne odvage ureaze U erlenmeyerovim tikvicama (25 ml) pripremiti reakcijsku smjesu u nultoj minuti (RSNM) i glavne probe prema dolje prikazanoj tablici te inkubirati 15 minuta na sobnoj temperaturi: Otopine RSNM GP 1 GP 2 GP 3 50 mm urea u 25 mm Tris-HCl puferu ph 7,0/mL % otopina HgCl 2/kapi 5 Otopina ureaze ( = 3 mg/ml)/ml Inkubirati na sobnoj temperaturi 15 minuta 2 % otopina HgCl 2/kapi Po završetku inkubacije u glavnim probama prekinuti reakciju dodatkom 5 kapi 2 % otopine HgCl 2. Potom u tikvice dodati 5 kapi Tashiro indikatora (indikator dodati samo u tikvicu koja se titrira), te titracijom s 25 mm HCl odrediti količinu razvijenog amonijaka. Po dodatku Tashiro indikatora boja u tikvicama je zelenkasta. Titracija se provodi do promjene boje iz zelene u ljubičastu. Rezultate korigirati za vrijednost reakcijske smjese u nultoj minuti, te izračunati aktivnost enzima u µmol/min ml, U/mL, µmol/min mg i U/mg. 24

28 REZULTATI MJERENJA Količina utrošenog HCl Uzorak V(25 mm HCl)/mL ΔV(25 mm HCl)/mL* n(nh 3)/ mol** RSNM GP 1 GP 2 GP 3 Srednja vrijednost glavne probe ( ) * V izračunati oduzimanjem volumena utrošenog HCl za RSNM od volumena utrošenog HCl za svaku glavnu probu. ** n(nh3) izračunati koristeći se vrijednostima V. Paziti na jedinice!!!! Izračun aktivnosti enzima Uzorak V(enzima)/mL (ureaze)/ (mg/ml) n(nh 3)/ mol µmol/min ml* µmol/min mg** * Za izračun enzimske aktivnosti podijeliti vrijednost n(nh3) sa volumenom enzima dodanog u reakcijsku smjesu i vremenom inkubacije. ** Za izračun podijeliti aktivnost enzima izraženu u µmol/min ml sa masenom koncentracijom enzima. Izračun aktivnosti enzima prikazati izračun za podatke u gornjoj tablici Aktivnost ureaze U/mL µmol/min ml U/mg µmol/min mg Zaključak Pregledano Potpis nastavnika 25

29 Pretraživanje proteinskih i enzimskih baza podataka U planiranju istraživanja, kao i pri planiranju i izradi završnih te diplomskih radova, često je neophodno uz osnovnu literaturu i dostupne znanstvene radove pretražiti i različite baze podataka, kako bi se dobila cjelokupna informacija o predmetu istraživanja. Ukoliko je predmet istraživanja nekakav enzim ili protein, ili nekakav metabolički ciklus onda nam na raspolaganju stoje 3 vrlo značajne baze podataka sa sveobuhvatnim informacijama. To su baze podataka: BRENDA, KEGG te Uniprot. BRENDA (BRaunschweig ENzyme DAtabase) je enzimska baza podataka koja sadrži skup informacija o metaboličkim enzimima (Slika 12). Baza podataka sadrži podatke o najmanje različitih enzima iz različitih organizama, razvrstanih u približno skupina na osnovu klasifikacijskih brojeva enzima (EC). BRENDA uključuje biokemijske i molekularne informacije o enzimima, njihove reakcije i specifičnosti, funkcionalna svojstva enzima, primjenu enzima, enzimsku stabilnost pri različitim uvjetima, informacije o izolaciji i pročišćavanju enzima, kao i poveznice na literaturu te druge baze podataka. Enzimska baza podataka BRENDA je dostupna na internet adresi enzymes.org. Slika 12. Početna web stranica baze podataka BRENDA 26

30 KEGG (Kyoto Encyclopedia of Genes and Genomes) je baza podataka koja sadrži genomske informacije neophodne za razumijevanje funkcioniranja stanica (Slika 13). Sastoji se od genomskih, kemijskih i mrežnih informacija. Povezana je sa različitim vanjskim bazama podataka, a sve zajedno daju informacije potrebne za različite visokospecifične molekularno biološke analize koje dovode do razumijevanja bioloških funkcija. Ukratko, ova baza podataka pomaže pri razumijevanju metaboličkih puteva. Baza podataka KEGG je dostupna na internet adresi Slika 13. Početna web stranica baze podataka KEGG UniProt (The Universal Protein Resource) je baza podataka sa sveobuhvatnim i sistematskim pristupom informacijama o proteinima, njihovim sekvencama i biološkim funkcijama (Slika 14). Baza podataka UniProt je dostupna na internet adresi 27

31 Slika 14. Početna web stranica baze podataka Uniprot Osnove pretraživanja gore navedenih baza podataka proći ćemo na vježbi 7 u kojoj ćemo detaljnije naučiti pretraživati enzimsku bazu podataka BRENDA. 28

32 Vježba 7. Pretraživanje enzimske baze podataka BRENDA Svrha vježbe: Upoznati se mogućnostima pretraživanja informacija o enzimima u enzimskoj bazi podataka BRENDA. Zadatak vježbe: Koristeći se enzimskom bazom podataka BRENDA prikupiti informacije i podatke o svojstvima enzima ureaze (urea amidohidrolaze) izolirane iz zrna soje (Glycine max). REZULTATI PRETRAŽIVANJA BAZE PODATAKA BRENDA Enzimska nomenklatura EC broj Preporučeno ime enzima Sistematsko ime enzima Interakcija enzim-ligand Substrat Inhibitori (najmanje 3 inhibitora) Kinetički i funkcionalni parametri Km Vm Specifična aktivnost ph optimum Optimalna temperatura Molekularna masa Pregledano Potpis nastavnika 29

33 Enzimska kinetika Početkom 20 tog stoljeća Leonor Michaelis i Maud Menten analizirali su kinetiku enzimske reakcije na osnovu jednostavne pretpostavke da za nastanak produkta molekula enzima (E) i molekula supstrata (S) moraju doći u međusoban dodir prije nego dođe do reakcije, odnosno da se supstrat (S) mora vezati u aktivno mjesto enzima (E) pri čemu nastaje kratkoživući enzim supstrat kompleks (ES). Ovaj kompleks mogu zadesiti dvije sudbine: može disocirati nazad u E i S uz konstantu reakcije (k 1) ili može prijeći u produkt reakcije (P) uz konstantu (k 2): Michaelis Mentenin model pretpostavlja mjerenje početne (tzv. inicijalne) brzine enzimske reakcije (v 0), pri kojoj je koncentracija produkta zanemarivo mala te je povratna reakcija pretvorbe produkta u ES kompleks zanemariva, odnosno pri kojoj se povratna reakcija pretvorbe produkta u ES kompleks gotovo i ne dešava (k 2 << k 2): U takvom jednostavnom slučaju početna brzina enzimske reakcije proporcionalna je koncentraciji ES kompleksa: v = k ES Kako je cilj Michaelis Menteninog modela naći izraz koji povezuje brzine pojedinih reakcija sa poznatom koncentracijom enzima i supstrata, to je potrebno definirati izraze za koncentraciju enzima i supstrata. Koncentraciju enzima možemo izraziti sljedećom formulom: gdje je: E0 ukupna koncentracija enzima, E koncentracija slobodnog enzima, a ES koncentracija enzim supstrat kompleksa. E = E + ES Budući je koncentracija supstrata znantno znatno veća od koncentracije enzima, a time i ES kompleksa, za koncentraciju supstrata (S) pretpostavljamo da je približno jednaka početnoj koncentraciji supstrata (S S 0). Obzirom na postavljene uvjete modela: koncentracija produkta (P) zanemarivo mala, a koncentracija supstrata približno jednaka početnoj koncentraciji supstrata (S S 0), proizlazi da se inicijalna brzina mjeri u području ustaljenog stanja enzimske reakcije kojeg karakterizira nepromjenjivost koncentracije ES kompleksa: = 0 30

34 Da bi ovaj izraz bio zadovoljen brzine nastajanja (v f) i brzine disocijacije ES kompleksa (v d) moraju biti uravnotežene (v f = v d). Promotrimo li opću formulu enzimske reakcije: vidljivo je da je brzina nastajanja ES kompleksa (v f) jednaka: a brzina disocijacije ES kompleksa (v d) jednaka: v = k E S v = k ES + k ES Izjednačimo li ove dvije jednadžbe, odnosno prihvatimo pretpostavku da brzine nastajanja (v f) i brzine disocijacije ES kompleksa (v d) moraju biti uravnotežene (v f = v d), tada dobijamo izraz: k E S = k čijim preuređivanjem dobijemo jednadžbu: E = k + k k ES + k ES 1 S ES Tri konstante brzine reakcije (k 1, k 1, k 2) u gornjoj jednadžbi mogu se izraziti novom konstantom koju nazivamo Michaelisova konstanta (K m): te se jednadžba onda može pisati: K = k + k k E = K 1 S ES Uvrstimo li ovu jednadžbu u izraz za ukupnu količinu enzima (E = E + ES) dobijemo jednadžbu: E = K 1 S ES + ES = ES 1 + K S Ukoliko iz ove jednadžbe izrazimo koncentraciju ES kompleksa, dobijemo jednadžbu: ES = E 1 + K S = E S + K S Uvrstimo li ovu jednadžbu u izraz za početnu brzinu enzimske reakcije (v = k ES), dobijemo jednadžbu: = k E S + K S = k E S S + K čijim preuređivanjem dobijemo Michaelis Menteninu jednadžbu za brzinu enzimske reakcije (v): gdje je: Vm maksimalna brzina enzimske reakcije (V ukupne koncentracije enzima (E0), Km Michaelisova konstanta, a S koncentracija supstrata. = + = k E ) izražena kao umnožak konstante brzine reakcije (k2) i 31

35 Krivulja koja opisuje Michaelis Menteninu jednadžbu je hiperbola, i velik dio enzima za koji se određuje ovisnost brzine enzimske reakcije o koncentraciji supstrata pokazuje upravo ovakav oblik krivulje (Slika 15). Slika 15. Dijagram ovisnosti brzine enzimske reakcije o koncentraciji supstrata Michaelis Mentenin dijagram Iz slike je vidljivo da pri niskim koncentracijama S, kada je koncentracija supstrata znatno manja od vrijednosti Michaelisove konstante (S<<Km) brzina enzimske reakcije raste proporcionalo sa povećanjem koncentracije supstrata, dok pri visokim koncentracijama supstrata, kada je S>>Km, brzina ne ovisi o koncentraciji supstrata, već dostiže maksimalnu vrijednost Određivanje kinetičkih parametara K m i V m bitno je za opisivanje enzimski kataliziranih reakcija. Međutim, kako se iz hiperbole ne mogu baš najpreciznije očitati, niti iz jednadžbe hiperbole vrlo jednostavno izračunati vrijednosti tih dviju konstanti, uveden je mnogo prikladniji način za izračun i/ili očitanje ovih dviju parametara, a to je linearizacija hiperbole. Promotrimo li Michaelis Menteninu jednadžbu, kao i njen grafički prikaz (Slika 15): v = V K tada možemo uočiti da su V m i K m konstante, a v i S promijenjivi parametri te ih možemo promatrati kao vrijednosti ordinate (y = v) i apscise (x = S). Da bismo ovu jednadžbu linearizirali potrebno je riješiti se zbroja u nazivniku (K m + S), a to ćemo najjednostavnije postići inverzijom čitave jednadžbe pri čemu se dobije sljedeći izraz v = V K 1 v = K V S + S S + S + S S čijim daljnim preuređivanjem dobijemo izraz za jednadžbu pravca: = K V S + S V S = + koji nam daje linearnu ovisnost recipročne vrijednosti brzine enzimske reakcije o recipročnoj vrijednosti koncentracije supstrata. 32

36 Grafički prikaz ove jednadžbe nazivamo dvostruko recipročni ili Lineveawer Burkov dijagram (Slika 16). Slika 16. Dvostruko recipročni (Lineveawer Burk) dijagram Iz odsječka na ordinati može se očitati recipročna vrijednost maksimalne brzine (1/Vm), a iz nagiba pravca omjer Michaelisove konstante i maksimalne brzine (Km/Vm) Upravo ćemo u vježbi 10 određivati kinetičke parametre (K m i V m) za enzim ureazu i to tako da ćemo mjeriti brzinu enzimske reakcije pri različitim koncentracijama supstrata. Dobivene rezultate mjerenja prikazati ćemo Michaelis Menteninim i Lineweaver Burkovim dijagramom, iz kojih ćemo očitati i/ili izračunati vrijednosti K m i V m. Međutim, prije kinetičkih mjerenja biti će potrebno ispitivanjem utjecaja vremena na brzinu enzimske reakcije utvrditi vremenski period u kojem se enzimska reakcija nalazi u ustaljenom stanju, odnosno stanju dinamičke ravnoteže, te ispitivanjem utjecaja ph na brzinu enzimske reakcije odrediti optimalni ph djelovanja ureaze. Ova dva utjecaja na brzinu enzimske reakcije provest ćemo vježbama 8 i 9. 33

37 Vježba 8. Vremenski tijek reakcije Svrha vježbe: Upoznati se sa načinom određivanja ustaljenog stanja enzimske reakcije. Kako je već prije rečeno, za određivanje kinetičkih parametara enzima potrebno je mjerenje brzine enzimske reakcije provoditi pri ustaljenom stanju, odnosno stanju dinamičke ravnoteže. Ustaljeno stanje enzimske reakcije karakterizira nepromjenjivost koncentracije ES kompleksa. Međutim, kako je ES kompleks kratkoživući (svega nekoliko nanosekundi), njegovu koncentraciju je vrlo teško odrediti pri standardnom mjerenju u laboratoriju. Stoga se postavlja pitanje kako ćemo biti sigurni da se nalazimo u ustaljenom stanju enzimske reakcije, odnosno postoji li još kakav pokazatelj koji nam može pomoći da budemo sigurni da se nalazimo u ustaljenom stanju? Postoji, jedan od pokazatelja ustaljenog stanja enzimske reakcije je i linearni porast koncentracije produkta u jedinici vremena: dp dt = α t Što to zapravo znači? To znači da grafički prikaz ovisnosti brzine enzimske reakcije (količine nastalog produkta) o vremenu treba biti pravac određenog nagiba. Upravo ćemo ovom vježbom ustanoviti koliko to dugo možemo provoditi enzimsku reakciju a da nam ovisnost količine nastalog produkta o vremenu bude linearna, odnosno da se nalazimo u ustaljenom stanju enzimske reakcije. Zadatak vježbe: Odrediti vremenski period u kojem se enzimska hidrolize uree nalazi u ustaljenom stanju, odnosno stanju dinamičke ravnoteže. Reagensi Otopina ureaze ( = 3 mg/ml) 50 mm urea u 25 mm Tris HCl puferu ph 7,0 25 mm HCl 2 % otopina HgCl2 Tashiro indikator Pribor Pipeta od 1 i 10 ml Automatska bireta Erlenmeyer tikvice 25 ml 34

38 Postupak U erlenmeyerovim tikvicama (25 ml) pripremiti reakcijsku smjesu u nultoj minuti (RSNM) i glavne probe prema dolje prikazanoj tablici te inkubirati određeno vrijeme na sobnoj temperaturi: Otopine RSNM GP 1 GP 2 GP 3 GP 4 GP 5 50 mm urea u 25 mm Tris-HCl puferu ph 7,0/mL % otopina HgCl 2/kapi 5 Otopina ureaze ( = 3 mg/ml)/ml Vrijeme inkubacije % otopina HgCl 2/kapi Po završetku inkubacije u glavnim probama prekinuti reakciju dodatkom 5 kapi 2 % otopine HgCl 2. Potom u tikvice dodati 5 kapi Tashiro indikatora, te titracijom s 25 mm HCl odrediti količinu razvijenog amonijaka. Po dodatku Tashiro indikatora boja u tikvicama je zelenkasta. Titracija se provodi do promjene boje iz zelene u ljubičastu. Rezultate korigirati za vrijednost reakcijske smjese u nultoj minuti, te izračunati aktivnost enzima u µmol/min ml, U/mL, µmol/min mg i U/mg. Grafički prikazati ovisnost količine nastalog amonijaka o vremenu, te ovisnost enzimske aktivnosti (U/mL) o vremenu. Na osnovi grafičkih prikaza odrediti vremenski period ustaljenog stanja enzimske reakcije. REZULTATI MJERENJA Uvjeti provođenja enzimske reakcije (ureaze)/(mg/ml) c(uree)/mmol ph otopine uree T/ C Količina utrošenog HCl Uzorak t/min V(25 mm HCl)/mL ΔV(25 mm HCl)/mL* n(nh 3)/mmol** RSNM GP 1 GP 2 GP 3 GP 4 GP 5 * V izračunati oduzimanjem volumena utrošenog HCl za RSNM od volumena utrošenog HCl za svaku glavnu probu. ** n(nh3) izračunati koristeći se vrijednostima V. Paziti na jedinice!!!! 35

39 Izračun aktivnosti enzima t/min V(enzima)/mL (ureaze)/ (mg/ml) n(nh 3)/mmol µmol/min ml* µmol/min mg** 25 * Za izračun enzimske aktivnosti podijeliti vrijednost n(nh3) sa volumenom enzima dodanog u reakcijsku smjesu i vremenom inkubacije. **Za izračun podijeliti aktivnost enzima izraženu u µmol/min ml sa masenom koncentracijom enzima. Aktivnost ureaze t/min U/mL µmol/min ml U/mg µmol/min mg Grafički prikaz ovisnosti količine nastalog amonijaka o vremenu inkubacije 36

40 Grafički prikaz ovisnosti enzimske aktivnosti o vremenu inkubacije Zaključak Pregledano Potpis nastavnika 37

41 Vježba 9. Utjecaj ph na brzinu enzimske reakcije Svrha vježbe: Upoznati se sa načinom određivanja optimalnog ph djelovanja enzima. Kako je već prije rečeno, za određivanje kinetičkih parametara enzima potrebno je mjerenje brzine enzimske reakcije provoditi pri optimalnom ph. Optimalni ph je onaj ph pri kojem enzim pokazuje maksimalnu aktivnost. Naime, svaki enzim posjeduje optimalni ph pri kojem je najaktivniji, odnosno postiže maksimalnu aktivnost uz određeni supstrat, a koja se sniženjem ili povišenjem ph značajno smanjuje (Slika 17). Ovisnost enzimske aktivnosti o ph posljedica je utjecaja ph otopine na ionizacijsko stanje bočnih ogranaka aminokiselina u afinitetnom i katalitičkom mjestu enzima, te ionizacije i naboja ionizacijskih skupina supstrata. Slika 17. Ovisnost brzine enzimske reakcije o ph otopine U ovoj ćemo vježbi odrediti optimalni ph enzimske hidrolize uree. Zadatak vježbe: Odrediti utjecaj ph na aktivnost ureaze, te definirati optimalni ph djelovanja ovog enzima. Reagensi Otopina ureaze ( = 3 mg/ml) 50 mm urea u 25 mm Tris HCl puferu ph 5, 6, 7, 8 i 9 25 mm HCl 2 % otopina HgCl2 Tashiro indikator Pribor Pipeta od 1 i 10 ml Automatska bireta Erlenmeyer tikvice 25 ml 38

42 Postupak U erlenmeyerovim tikvicama (25 ml) pripremiti reakcijske smjese u nultoj minuti i glavne probe prema dolje prikazanoj tablici te inkubirati određeno vrijeme na sobnoj temperaturi: Otopine RSN M1 GP 1 50 mm urea u 25 mm Tris-HCl puferu /ml ph otopine uree % otopina HgCl 2/kapi Otopina ureaze ( = 3 mg/ml)/ml RSN M2 GP 2 RSN M3 GP 3 Inkubirati na sobnoj temperaturi određeno vrijeme* 2 % otopina HgCl 2/kapi * vrijeme inkubacije je određeno u vježbi 8. Po završetku inkubacije, u glavnim probama prekinuti reakciju dodatkom 5 kapi 2 % otopine HgCl 2. Potom u tikvice dodati 5 kapi Tashiro indikatora, te titracijom s 25 mm HCl odrediti količinu razvijenog amonijaka. Rezultate korigirati za vrijednost reakcijskih smjesa u nultoj minuti, te izračunati aktivnost enzima u µmol/min ml, U/mL, µmol/min mg i U/mg. Grafički prikazati ovisnost enzimske aktivnosti (U/mL) o ph, te odrediti optimalni ph djelovanja enzima. RSN M4 GP 4 RSN M5 GP 5 REZULTATI MJERENJA Uvjeti provođenja enzimske reakcije (ureaze)/(mg/ml) c(uree)/mmol T/ C t/min Količina utrošenog HCl Uzorak ph V(25 mm HCl)/mL ΔV(25 mm HCl)/mL n(nh 3)/mmol GP 1 RSNM 1 GP 2 RSNM 2 GP 3 RSNM 3 GP 4 RSNM 4 GP 5 RSNM 5 39

43 Izračun aktivnosti enzima ph V(enzima)/mL (ureaze)/ (mg/ml) n(nh 3)/mmol µmol/min ml µmol/min mg Aktivnost ureaze ph U/mL µmol/min ml U/mg µmol/min mg Grafički prikaz ovisnosti enzimske aktivnosti o ph Zaključak* * pri pisanju zaključka usporediti optimalni ph dobiven vježbom, sa optimalnim ph pronađenim za ureazu pretraživanjem enzimske baze podataka BRENDA u vježbi 7. Pregledano Potpis nastavnika 40

44 Vježba 10. Utjecaj koncentracije supstrata na brzinu enzimske reakcije Svrha vježbe: Upoznati se sa načinima određivanja kinetičkih parametara enzima: maksimalne brzine enzimske reakcije i Michaelisove konstante. Zadatak vježbe: Odrediti kinetičke parametre enzimske hidrolize uree maksimalnu brzinu (V m) i Michaelisovu konstantu (K m). Reagensi Otopina ureaze ( = 3 mg/ml) Otopine ureee (5, 10, 20, 40, 50 mm) u 25 mm Tris HCl puferu ph 7 25 mm HCl 2 % otopina HgCl2 Tashiro indikator Pribor Pipeta od 1 i 10 ml Automatska bireta Erlenmeyer tikvice 25 ml Postupak U erlenmeyerovim tikvicama (25 ml) pripremiti reakcijske smjese u nultoj minuti i glavne probe prema dolje prikazanoj tablici te inkubirati određeno vrijeme na sobnoj temperaturi: Otopine RSN M1 GP 1 urea u 25 mm Tris-HCl puferu/ml koncentracija uree/mm % otopina HgCl 2/kapi Otopina ureaze ( = 3 mg/ml)/ml RSN M2 GP 2 RSN M3 GP 3 Inkubirati na sobnoj temperaturi određeno vrijeme* 2 % otopina HgCl 2/kapi * vrijeme inkubacije je određeno u vježbi 8. Po završetku inkubacije u glavnim probama prekinuti reakciju dodatkom 5 kapi 2 % otopine HgCl 2. Potom u tikvice dodati 5 kapi Tashiro indikatora te titracijom s 25 mm HCl odrediti količinu razvijenog amonijaka. Rezultate korigirati za vrijednost reakcijskih smjesa u nultoj minuti, te izračunati aktivnost enzima u µmol/min ml, U/mL, µmol/min mg i U/mg. Grafički prikazati ovisnost enzimske aktivnosti (U/mL) o koncentraciji supstrata Michaelis Menteninim i Lineweaver Burkovim dijagramom. Iz oba dijagrama očitati ili izračunati vrijednosti K m i V m. Način očitavanja proučiti na slikama 15 i 16. RSN M4 GP 4 RSN M5 GP 5 41

45 Linearnom regresijom podataka u dvostruko recipročnom dijagramu odrediti jednadžbu pravca te iz jednadžbe pravca izračunati vrijednosti K m i V m. REZULTATI MJERENJA Uvjeti provođenja enzimske reakcije (ureaze)/(mg/ml) ph otopine uree T/ C t/min Količina utrošenog HCl Uzorak c(urea)/mm V(25 mm HCl)/mL ΔV(25 mm HCl)/mL n(nh 3)/mmol GP 1 RSNM 1 GP 2 RSNM 2 GP 3 RSNM 3 GP 4 RSNM 4 GP 5 RSNM 5 Izračun aktivnosti enzima c(urea)/m M V(enzima)/ ml (ureaze)/ (mg/ml) n(nh 3)/mmol µmol/min ml µmol/min mg Aktivnost ureaze c(urea)/mm U/mL µmol/min ml U/mg µmol/min mg 42

46 Grafički prikaz ovisnosti brzine enzimske reakcije o koncentraciji supstrata K m V m Dvostruko recipročni dijagram ovisnosti brzine enzimske reakcije o koncentraciji supstrata K m V m 43

47 Izračun K m i V m vrijednosti iz jednadžbe pravca K m V m Zaključak* * pri pisanju zaključka usporediti Km i Vm vrijednosti dobivene vježbom sa vrijednostima pronađenim tijekom pretraživanja enzimske baze podataka BRENDA u vježbi 7. Pregledano Potpis nastavnika 44

48 Organizacija eukariotske DNA u više stukture Deoksiribonukleinska kiselina (DNA) je molekula nasljeđa (molekula života) našeg i svih živih organizama, a njena osnovna funkcija je pohrana i prijenos genetske informacije. Naime, svaka molekula DNA sadrži potpuni set instrukcija neophodnih za upravljanje stanicom, kao i set instrukcija za formiranje nove stanice, odnosno novog organizma, koji se u toj molekuli nalazi zapisan u obliku slijeda nukleotida. Takav jedan set instrukcija za formiranje novog organizma, kao i upravljanje stanicom u svoj njegovoj složenosti očito mora biti poprilično velik. Da je to tako pokazuju istraživanja genoma brojnih organizama, tako i ljudi. Istraživanja ljudskog genoma pokazala su da gotovo svaka ljudska stanica sadrži DNA molekulu sastavljenu od 3 milijarde parova baza ( bp). Uz poznavanje osnovnih strukturnih karakteristika molekule DNA, odnosno znanje da je molekula DNA dvostruka uzvojnica sastavljena od dva deoksiribonukleotidna lanca međusobno obmotana oko zajedničke osi u spiralnu strukturu, te znanje da jedan puni zavoj u spiralnoj molekuli DNA iznosi 3,4 nm, a čini ga 10 bp, vrlo lako možemo izračunati dužinu DNA molekule. Naime, ako 10 bp čini jedan puni zavoj u DNA, a dužina punog zavoja iznosi 3,4 nm, tada možemo reći da jedan par baza (1 bp) ima dužinu od 0,34 nm. Obzirom da znamo broj parova baza u ljudskoj DNA, tada vrlo lako možemo izračunati dužinu molekule DNA u stanici: bp 0,34 nm/bp = nm = µm = mm = 1,02 m Znači, svaka ljudska stanica sadrži DNA molekulu dužine 1,02 m. I sad se postavlja očigledno pitanje, kako to molekula DNA dužine 1,02 m može stati u ljudsku stanicu čija je prosječna veličina, odnosno dužina svega 100 µm, što zapravo predstavlja 1/5 promjera mine za tehničku olovku? Štoviše, situacija se dodatno komplicira našim znanjem da je DNA molekula smještena u jezgri koja čini oko 1/5 čitave stanice, što znači da još manje prostora stoji na raspolaganju za smještanje 1 m DNA. Odgovor leži u organizaciji DNA u više strukture (Slika 18). Naime, DNA molekula se obmata oko malih bazičnih proteina histona u organiziraniju strukturu zvanu nukleosom, a potom se nukleosomi dodatno omataju jedni oko drugih tvoreći složenije strukture koje se još dodatno umataju i na takav način se DNA molekula dužine jednog metra spakuje u vrlo mali prostor jezgre. 45

49 Slika 18. Organizacija DNA u više strukture Obzirom da ovaj proces umatanja, odnosno organiziranja DNA molekule u složene strukture ne možemo vidjeti golim okom, u vježbi 11 ćemo se poslužiti obrnutim procesom. Razmotat ćemo DNA molekule iz stanica na pahuljičastu tvorevinu tankih i dugih niti koje ćemo moći vidjeti u epruveti. Pri tome ćemo kao izvor iz kojeg ćemo izolirati DNA molekule koristiti kivi. Vježba 11. Izolacija DNA iz kivija Svrha vježbe: Upoznati se sa načinom izolacije DNA iz biološkog uzorka, te načinom provjere čistoće izolirane DNA. Da bismo molekule DNA kivija mogli vidjeti kao tanke paučinaste niti, DNA ćemo morati izolirati iz stanica kivija, a to ćemo postići kroz nekoliko koraka. Prvo ćemo razbiti stanice kivija djelovanjem mehaničke sile (štapni mikser), a potom ćemo DNA molekule osloboditi iz stanične jezgre primjenom pufera za ekstrakciju DNA. Naime, pufer za ekstrakciju DNA sadrži anionski deterdžent natrij dodecil sulfat koji će otopiti membrane jezgre i na takav način omogućiti oslobađanje DNA molekule, a ioni natrijeva klorida prisutni u puferu omogućiti će odvajanje DNA molekule od histona i njenu stabilizaciju u vodenoj otopini. Sve to biti će pospješeno povišenom temperaturom ekstrakcije (45 C), koja će i pogodovati djelovanju proteolitičkih enzima kivija koji će djelomično razgrađivati histone i druge proteine kivija te na takav način omogućiti lakše odvajanje molekula DNA od ostalih staničnih sastojaka u narednim koracima izolacije. Za odvajanje oslobođenih DNA molekula od ostalih staničnih sastojaka u ekstraktu, pomiješat ćemo dio dobivenog ekstrakta sa etanolom, pri čemu će se molekule DNA u obliku pahuljičaste tvorevine dugih i tankih niti koncentrirati na granici faza između donjeg vodenog i gornjeg etanolnog sloja (Slika 19). Glavni razlog koncentriranja DNA molekula na granici faza su jake elektrostatske odbijajuće interakcije između negativno nabijenih DNA molekula i negativno nabijenih molekula natrijeva dodecil sulfata, koje zapravo guraju molekule DNA iz vodenog sloja ka granici faza. 46

50 Slika 19. Razdjeljivanje molekula DNA na granici faza između donjeg vodenog i gornjeg etanolnog sloja Daljnje pročišćavanje DNA molekula provest će se kroz nekoliko koraka otapanja i taloženja, a sve u svrhu dodatnog uklanjanja eventualno zaostalih proteina. Na kraju ćemo čistoću pročišćene DNA odrediti mjerenjem odnosa apsorbancije otopine DNA pri 260 i 280 nm. Naime što je vrijednost omjera apsorbancije pri 260 i 280 nm veća, to je DNA pročišćenija, a kada taj omjer iznosi više od 2, možemo smatrati da smo vrlo dobro pročistili DNA. Zadatak vježbe: Izolirati DNA iz kivija te odrediti čistoću izolirane DNA. Reagensi Kivi Fiziološka otopina (0,9 % otopina NaCl) Pufer za ekstrakciju DNA (100 mm Tris HCl pufer, ph 8,8, koji sadrži 150 mm NaCl i 1 % natrij dodecil sulfat) 95 % etanol 70 % etanol Pufer za otapanje DNA (0,34 M natrijev citrat ph 7,4, koji sadrži 3 M NaCl) Pribor Štapni mikser Menzura 25, 50 i 200 ml Staklena čaša 400 ml Kivete za centrifugiranje 50 ml Vodena kupelj Stakleni lijevak Nabrani filter papir Centrifuga Kapalica Vortex mješalica Mikropipeta 100 i 1000 µl UV kivete Spektrofotometar Postupak Kivi oguliti i narezati na tanke ploške, a ploške na kockice te prenijeti u staklenu čašu i pomiješati sa 20 ml fiziološke otopine. Suspenziju homogenizirati 30 s štapnim mikserom pri čemu se djelovanjem mehaničke sile stanice kivija razbijaju. 47

51 Homogeniziranoj suspenziji potom dodati 130 ml pufera za ekstrakciju DNA, smjesu promiješati te prenijeti u kivete za centrifugiranje od 50 ml. Kivete potom postaviti u vodenu kupelj zagrijanu na 45 C i inkubirati 30 minuta tijekom kojih se molekule DNA oslobađuju iz stanične jezgre djelovanjem natrijeva dodecil sulfata, a histoni odvajaju od molekula DNA zbog djelovanja natrijeva klorida i djelomične razgradnje histona proteolitičkim enzimima kivija. Po isteku vremena inkubacije smjesu preko nabranog filter papira profiltrirati u menzuru. Filtrat prenijeti u čiste kivete za centrifugiranje te izbistriti centrifugiranjem 5 minuta pri 3900 o/min. Bistri ekstrakt odvojiti od taloga dekantiranjem. 20 ml bistrog ekstrakta prenijeti u kivetu za centrifugiranje i nadliti sa 20 ml hladnog 95 % tnog etanola polaganim lijevanjem uz stjenku kivete. Smjesu inkubirati 5 minuta pri 20 C tijekom kojih se DNA molekule izdvajaju na granici faza. Po isteku vremena gornji etanolni sloj odvaditi kapalicom i odbaciti, i potom molekule DNA kapalicom prenijeti u čiste kivete za centrifugiranje. DNA molekulama u kiveti dodati 10 ml pufera za otapanje DNA i 10 ml ledeno hladnog 95 % tnog etanola, smjesu blago promiješati inverzijom kivete, i potom inkubirati pri 20 C tijekom 5 minuta u svrhu taloženja DNA. Po isteku vremena DNA molekule odvojiti od supernatanta centrifugiranjem pri 3900 o/min tijekom 5 minuta, a potom odbaciti supernatant dekantiranjem. Talogu DNA molekula dodati 20 ml 70 % tnog etanola i smjesu promiješati na vortex mješalici 30 s. Suspenziju izbistriti centrifugiranjem 5 minuta pri 3900 o/min, a supernatant odbaciti dekantiranjem. Talog molekula DNA prosušiti otparavanjem etanola u sušioniku pri 55 C tijekom 5 minuta. Prosušenom talogu molekula DNA potom dodati 10 ml destilirane vode i 50 µl pufera za otapanje DNA, te DNA molekule otopiti miješanjem na vortex mješalici, i ovu otopinu koristiti za mjerenje apsorbancije pri 260 i 280 nm. U UV kivetu otpipetirati 250 µl otopine DNA i 750 µl destilirane vode, promućkati inverzijom te izmjeriti apsorbancije otopine pri 260 i 280 nm uz baždarenje spektrofotometra destiliranom vodom. REZULTATI MJERENJA Vrijednosti izmjerene apsorbancije otopine DNA Uzorak ΔA 260nm ΔA 280nm ΔA 260nm/ΔA 280nm Paralela 1 Paralela 2 Paralela 3 Srednja vrijednost Zaključak Pregledano Potpis nastavnika 48

52 Uvod u metabolizam probava hrane Osnovne biološke funkcije našeg i svih ostalih živih organizama su rast, razvoj i razmnožavanje (davanje potomstva), te da bi to mogao provesti naš organizam treba energiju i molekule za izgradnju vlastitih složenih molekula. Postavlja se pitanje odakle to našem organizmu energija i molekule za izgradnju vlastitih složenih molekula? Naš se organizam snabdijeva energijom i potrebitim molekulama putem hrane koju pojedemo, i to tako da složene molekule hrane razgradi na jednostavne molekule, a potom te jednostavne molekule koristi za izgradnju vlastitih složenih molekula ili ih potpuno oksidira do CO 2. Tijekom oksidacije molekula hrane, energiju sadržanu u kemijskim vezama molekula hrane naš organizam skuplja u reduciranim koenzimima (NADH i FADH 2) i potom koristi za dobivanje energije neophodne za održavanje organizma u obliku ATP a. Razgradnja molekula hrane započinje u probavnom traktu gdje se složene molekule hrane razgrađuju na jednostavne molekule, koje se potom apsorbiraju i krvlju prenose do stanica u našem organizmu, a u stanicama se te jednostavne molekule koriste za izgradnju složenih molekula stanice ili za dobivanje energije u obliku ATP a (Slika 20). Slika 20. Oksidacija molekula hrane 49

53 Kako se to hrana razgrađuje u probavnom traktu? Molekule hrane razgrađuju se djelovanjem enzima koji se nalaze u probavnim sokovima. Tako u ustima započinje razgradnja škroba djelovanjem enzima amilaze prisutne u slini, dok se u želucu molekule hrane denaturiraju djelovanjem kloridne kiseline u sastavu želučanih sokova, a proteini hrane djelomično razgrađuju uslijed djelovanja enzima pepsina. Glavnina razgradnje molekula hrane dešava se u tankom crijevu gdje se djelomično razgrađene molekule škroba razgrađuju do glukoze, složeni oligosaharidi na monosaharide, a djelomično razgrađene molekule proteina razgrađuju do di i tri peptida ili do aminokiselina djelovanjem probavnih sokova gušterače koji sadrže enzime za njihovu razgradnju. Osim navedenih u tankom se crijevu masti razgrađuju na monoacilglicerole i masne kiseline djelovanjem lipaza iz probavnih sokova gušterače, a nukleinske kiseline na nukleotide djelovanjem nukleaza. Nakon što su molekule hrane razgrađene na jednostavne molekule (dipeptidi, tripeptidi, aminokiseline, glukoza i drugi jednostavni monosaharidi, monoacilgliceroli i masne kiseline, nukleotidi) u tankom crijevu se apsorbiraju i krvlju transportiraju do stanica unutar organizma. Kako bismo pospješili naše znanje o probavi u vježbi 12 ćemo simulirati probavu proteina u želucu tako što ćemo hrenovku pomiješati sa otopinom kloridne kiseline i enzimom pepsinom i potom tijekom 100 minuta pratiti povećanje količine slobodnih amino skupina nastalih kao rezultat djelomične razgradnje proteina enzimom pepsinom. 50

54 Vježba 12. Simulacija probave proteina u želucu Svrha vježbe: Upoznati se sa razgradnjom proteina u želucu djelovanjem pepsina. Pepsin je enzim probavnog trakta, kojeg u želudac luče stanice stjenke želuca u obliku inaktivnog preteče pepsinogena, a koji potom u želucu pod utjecajem niskog ph (1,2 3) želučanog soka prelazi u aktivni oblik (pepsin). Ovaj enzim cijepa peptidnu vezu unutar polipeptidnog lanca pri čemu se proteini razgrađuju na manje fragmente. Cijepanje peptidne veze i nastanak manjih fragmenata proteina rezultira povećanjem broja slobodnih amino skupina u smjesi, budući svaki fragment proteina nastao cijepanjem peptidne veze sadrži novu slobodnu amino skupinu (Slika 21). Slika 21. Povećanje broja slobodnih amino skupina nastalo zbog razgradnje proteina na manje fragmente djelovanjem pepsina Upravo ovo povećanje broja slobodnih amino skupina koje ćemo odrediti OPA reagensom biti će nam pokazatelj razgradnje proteina hrenovke. Zadatak vježbe: U nizu epruveta provesti simulaciju probave proteina koja se dešava u želucu. Reagensi Hrenovka 100 mm HCl koja sadrži 15 mm NaCl Otopina pepsina pepsin otopljen u 0,05 M HCl ph = 1,5, (pepsina) = 10 mg/ml 10 % otopina trikloroctene kiseline Otopina natrijeva tetraborata (c = 0,1 M; ph = 11) OPA reagens (sastav reagensa vidjeti u vježbi 5) 51

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Praktikum iz biokemije

Praktikum iz biokemije Praktikum iz biokemije Interna skripta STUDENT MB INDEKSA Praktikum iz biokemije L i s t o p a d 2 0 0 9 Pripremio: Dr. sc. Ivica Strelec, doc. Sveuč ilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Prehrambeno-tehnološki

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA

Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Relativna skala masa elemenata: atomska jedinica mase 1/12 mase atoma ugljika C-12. Unificirana jedinica atomske mase (u)

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Osnove biokemije Enzimska kinetika. Boris Mildner. Kinetika proučava brzine reakcija

Osnove biokemije Enzimska kinetika. Boris Mildner. Kinetika proučava brzine reakcija Osnove biokemije Enzimska kinetika Boris Mildner Kinetika proučava brzine reakcija Za reakciju: A P Brzina reakcije v je: v = - d[a]/dt = d[p]/dt (1) pri čemu d označava smanjenje koncentracije supstrata,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

KEMIJSKA RAVNOTEŽA II

KEMIJSKA RAVNOTEŽA II Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 09 EMIJSA RAVNOTEŽA II Ravnoteže u otopinama elektrolita 2 dr. s. Biserka Tkalče dr. s. Lidija Furač EMIJSA RAVNOTEŽA II ONJUGIRANE

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija

Διαβάστε περισσότερα

ODREĐIVANJE KONCENTRACIJE PROTEINA FIZIKALNO-KEMIJSKIM METODAMA

ODREĐIVANJE KONCENTRACIJE PROTEINA FIZIKALNO-KEMIJSKIM METODAMA ODREĐIVANJE KONCENTRACIJE PROTEINA FIZIKALNO-KEMIJSKIM METODAMA Izbor metode za određivanje koncentracije u pojedinom slučaju ovisi o količini kojom se raspolaže, njihovoj koncentraciji, prisutnosti različitih

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

ODREĐIVANJE AKTIVNOSTI KATALAZE SPEKTROFOTOMETRIJSKOM METODOM (CAT100)

ODREĐIVANJE AKTIVNOSTI KATALAZE SPEKTROFOTOMETRIJSKOM METODOM (CAT100) ODREĐIVANJE AKTIVNOSTI KATALAZE SPEKTROFOTOMETRIJSKOM METODOM (CAT100) 1. TEORETSKI DIO Katalaza je široko rasprostanjen enzim i sreće se kod prokariaota i eukariota. Predstavlja dio antioksidativne zaštite

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJENA ENZIMA ZA ANALIZU MOŠTA I VINA

PRIMJENA ENZIMA ZA ANALIZU MOŠTA I VINA PRIMJENA ENZIMA ZA ANALIZU MOŠTA I VINA Primjena enzimskih preparata u proizvodnji vina započela je još 30-ih godina 20. stoljeća. Međutim preduvjeti za komercijalnu proizvodnju enzima za analitičke svrhe

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

KATALIZA I KATALIZATORI i REAKCIJSKO INŽENJERSTVO I KATALIZA

KATALIZA I KATALIZATORI i REAKCIJSKO INŽENJERSTVO I KATALIZA FKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTV I TEHNOLOGIJE Zavod za reakcijsko inženjerstvo i katalizu Savska c. 16, 10000 Zagreb KTLIZ I KTLIZTORI i REKCIJSKO INŽENJERSTVO I KTLIZ Skripta za laboratorijske vježbe Zagreb,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove biokemije Seminar 2

Osnove biokemije Seminar 2 Osnove biokemije Seminar 2 B. Mildner Rješenje zadaće 1.(zadaća od 4. 3. 2014) 1. D 11. C 2. C 12. B 3. B 13. C 4. B 14. B 5. C 15. D 6. D 16. A 7. A 17. C 8. B 18. D 9. D 19. A 10. C 20. C 1 1. Za vodu

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα