SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD OSIJEK, MARKO ČUKIĆ

2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD TEMA: GEOFIZIČKI ISTRAŽNI RADOVI ZA POTREBE SANACIJE GIMNAZIJE U VUKOVARU OSIJEK, MARKO ČUKIĆ (ime i prezime, potpis)

3 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: TEHNIČKE ZNANOSTI GRAĐEVINARSTVO GEOTEHNIKA GEOFIZIČKI ISTRAŽNI RADOVI U GEOTEHNICI PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: MARKO ČUKIĆ PREDDIPLOMSKI STRUČNI STUDIJ TEKST TEME: U okviru završnog rada potrebno je obraditi primjenu geofizičkih metoda za potrebe rješavanja geotehničih problema. Potrebno je opisati vrste geofizičkih istraživanja te uloge i način primjene geofizičkih istraživanja u geotehnici. Na primjeru konkretnog problema potrebno je prikazati provedbu geofizičkih istražnih radova različitim metodama: sezimička refrakcija, geoelektrična tomografija te MASW te je potrebno prikazati i komentirati rezultate provedenih istraživanja. Rad treba sadržavati SAŽETAK na izvornom jeziku. Rad treba izraditi u 3 primjerka (original+2 kopije), spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek, Mentor: Doc.dr.sc. Krunoslav Minažek, dipl.ing.građ. Predsjednik/ica za završne i diplomske radove: Izv.prof.dr.sc. Mirjana Bošnjak Klečina, dipl.ing.građ.

4 SAŽETAK: U okviru ovog rada u poglavljima koji slijede prikazan je provedeni proces i rezultati geofizičkih istraživanja odrađenih u okviru geotehničkih istražnih radova na Gimnaziji u Vukovaru. Završnim radom obuhvaćen je kratki povijesni razvoj geofizike kao i samih geofizičkih istraživanja. Navedene su vrste geofizičkih istraživanja te su opisane uloge i način primjene geofizičkih istraživanja provedenih na lokaciji Vukovarske Gimnazije. U konačnici su priloženi dobiveni rezultati provedenih istraživanja. Rezultati su pobliže opisani zajedno s dobivenom klasifikacijom tla koja se nalazi na lokaciji Vukovarske Gimnazije. 4

5 SADRŽAJ NASLOVNA STRANICA STRANICA 1. UVOD OPĆENITO O GEOFIZICI PRIMIJENJENA GEOFIZIKA GEOFIZIČKE METODE GEOELEKTRIKA METODA MJERENJA ELEKTRIČNE OTPORNOST GEOELEKTRIČNA TOMOGRAFIJA SEIZMIKA REFRAKCIJSKA SEIZMIKA MASW SEIZMIČKA METODA GEOFIZIČKI ISTRAŽNI RADOVI NA OBJEKTU GIMNAZIJE U VUKOVARU OPĆENITO O PROBLEMU TEMELJENJA GIMNAZIJE U VUKOVARU GEOELEKTRIČNA TOMOGRAFIJA REFRAKCIJSKA SEIZMIKA MASW SEIZMIČKA METODA ZAKLJUČAK LITERATURA I IZVORI

6 1.UVOD Tema ovog završnog rada su geofizički istražni radovi. U sklopu završnog rada uz teorijski dio, odrađen je i praktični terenski dio. Terenski dio obuhvaća prikaz različitih geofizičkih metoda koje se primjenjuju u geotehnici, dok je praktični primjer primjene tih metoda prikazan na objektu vukovarske gimnazije. Za potrebe projektiranja sanacije temeljenja Vukovarske Gimnazije, u okviru geotehničkih istražnih radova primjenjeno je nekoliko geofizičkih metoda. Terenske radove i obradu izvela je geofizička ekipa, Odjela za geološko inženjerstvo i geofiziku, Instituta IGH. Svrha istražnih radova bila je generalna klasifikacija temeljnog tla, pronalaženje šupljina i podruma, te određivanje njihovog položaja. Zbog kompleksnosti zahvata odlučeno je da će se provesti geofizičke metode istraživanja. Opći dio sadrži opis odabranih geofizičkih metoda korištenih pri ispitivanju, točnije 2D i 3D metode geoelektričnog mjerenja otpornosti (geoelektrične tomografije), refrakcijske seizmike, i seizmičke MASW metode. Nabrojane su njihove specifičnosti i oprema koja je potrebna za njihovo provođenje, te način prikazivanja i obrade rezultata istraživanja. Naglasak je stavljen na praktični dio završnog rada, odnosno dio proveden na terenu, u kojemu je prikazana provedba ispitivanja na terenu, prikazani su objedinjeni podatci provedenih geofizičkih istraživanja i opisani su dobiveni rezultati za profil na zadanoj lokaciji. 6

7 1.1. OPĆENITO O GEOFIZICI Geofizika predstavlja znanost o fizičkim svojstvima Zemlje, iako se u novije vrijeme spektar njezine primjene proširio i na druge planete. Geofizika se kao samostalna znanstvena disciplina pojavljuje tek u 19. stoljeću, te kao takva obuhvaća niz disciplina kod kojih je bitno razlikovati je li predmet njihovog proučavanja čvrsta zemlja, voda ili zrak. Na temelju tih osobina geofizičke discipline razvrstavamo na tri osnovne skupine od kojih je građevinskoj struci interesantna prva skupina geofizičkih disciplina jer ona svoju primjenu pronalazi u inženjerskoj struci. Prva skupina bavi se istraživanjem polja sile teže i oblika Zemlje, Zemljinog magnetskog polja, potresa i strukture Zemljine unutrašnjosti [1]. Primjenom prve skupine geofizike u inženjerstvu možemo istraživati fizička svojstva sredina na kojima ćemo realizirati određene radove na stijeni ili tlu PRIMIJENJENA GEOFIZIKA Razvoj primijenjene geofizike započinje u 19. stoljeću kada je za otkrivanje željeznih ruda korišten magnetni teodolit. Početkom 20. stoljeća zbog sve veće potražnje za rudama i naftom dolazi do ubrzanog razvoja geofizičkih istražnih metoda, a pionirima u geofizici navode se Francuska i SAD. Posljednjih nekoliko desetljeća primijenjena se geofizika proširila i na građevinarstvo [2]. Zbog konstantnog porasta pouzdanosti geofizičkih metoda, u interesu je same struke povećanje korištenja i brži razvoj geofizičkih metoda. Pouzdanost određene geofizičke metode ovisi o razlikama u pojedinim fizičkim osobinama tla ili stijena [3]. Što je razlika u određenim fizičkim osobinama veća, veća je i uspješnost same geofizičke metode, te je zbog toga od velike važnosti odabrati odgovarajuću metodu koja je osjetljiva na fizičke karakteristike kakve posjeduje okolina koja se ispituje. 7

8 2. GEOFIZIČKE METODE Geofizičke istražne metode mogu se ugrubo podijeliti u dvije skupine: pasivne i aktivne. Pasivne metode kao što su gravimetrija i magnetometrija svode se na pronalaženje i točno mjerenje odstupanja u Zemljinim prirodno nastalim magnetnim i gravitacijskim poljima, s ciljem otkrivanja što ta odstupanja uzrokuje [3]. Češće korištene su aktivne metode, koje su nabrojane u Tablici 1, a uglavnom uključuju usmjeravanje nekakvog oblika energije u tlo ili inženjersku konstrukciju i mjerenje povratnih signala na primjerenoj lokaciji [3]. Geofizička istražne metode spadaju u skupinu nerazornih istražnih metoda, što znači da njihovom provedbom ne razaramo okolni teren, a to ih ujedno i čini uštedom u vidu novca i vremena. Tablica 1. Aktivne geofizičke metode [5] Geoelektrične metode Geomagnetske metode Seizmičke metode Geoelektrično profiliranje Metoda odašiljačkog prstena Seizmička refrakcija Geoelektrično sondiranje Metoda TURAM SASW metoda Geoelektrično tomografija Metoda pomičnog odašiljača MASW metoda Metoda vlastitog potencijala Metoda AFMAG Hibridna seizmička metoda Metoda ekvipotencijalnih linija Seizmička refleksija Metoda omjera pada potencijala Refrakcija mikrotremora Metoda inducirane polarizacije Širenje seizmičkih valova kroz bušotinu Metoda telurskih struja Vertikalno seizmičko profiliranje Magnetotelurska metoda Detaljna seizmička tomografija Metoda prijelaznih struja Sam proces primjene geofizičkih metoda je složen i sastavljen od nekoliko faza. Za početak je potrebno procijeniti uočeni problem, a zatim odrediti vrstu geofizičke metode koja je pogodna za istraživanje nastalog problema. Potrebno je uzeti u obzir i veličinu istražnog prostora na kojemu provodimo geofizička istraživanja, te na temelju toga prilagoditi način na koji ćemo prikupljati, analizirati i interpretirati podatke [5]. Geofizičke metode ne bi smjele u potpunosti zamijeniti klasične metode jer interpretacija geofizičkih istražnih rezultata uglavnom zahtjeva prijašnje znanje o geološkoj strukturi tla kojeg ispitujemo. Zbog toga se geofizička istraživanja često kombiniraju s klasičnim geotehničkim istraživanjima i tako se zadržava direktna kontrola nad istraživanjem putem sondažnih bušotina [4]. 8

9 2.1. GEOELEKTRIKA Geoelektrične metode koriste se kao jedan od više tipova geofizičkih istraživanja u geotehnici. Kako je i prije spomenuto, da bi određena geofizička metoda bila uspješna zahtjeva postojanje određenih fizikalnih anomalija u samome tlu koje se ispituje. Geoelektrične metode potrebne anomalije pronalaze mjerenjem toka struje kroz podzemlje. Dvije su osnovne skupine mjerenja kod geoelektrike. Prva skupina bavi se mjerenjem prirodnih polja Zemlje (metoda spontanog potencijala, telurska i magnetotelurska metoda), dok druga skupina metoda mjeri umjetno izazvana električna polja (metoda električne otpornosti, metoda utvrđivanja električnih ekvipotencijalnih linija, elektromagnetne metode) [7] METODA MJERENJA ELEKTRIČNE OTPORNOSTI Metoda mjerenja električne otpornosti je u praksi najčešće korištena geoelektrična metoda. Pomoću metode moguće je klasificirati teren, pronaći rasjedne i pukotinske zone, te odrediti otpornost podzemlja. Otpornost podzemlja ovisi o različitim geološkim parametrima kako pokazuje Tablica 1. Neki od parametara koji utječu na otpornost su mineralni sastav, razlomljenost, porozitet, ispuna pukotina, sadržaj fluida, stupanj saturacije vodom, koncentracija otopljenih soli i temperatura [6]. Tablica 2. Specifične otpornosti nekih materijala,kemikalija i vode [5] Redni broj Materijal/Kemikalije/Voda Specifična otpornost ( m) 1. Granit, gabro, dijabaz, bazalt Vapnenac (raspucan do kompaktan) 3. Šljunak Pijesak Lapor Glina, ilovača Svježa podzemna voda Željezo 9,074x Kalijev klorid 0, Natrijev klorid 0,843 9

10 Pojednostavljeni prikaz metode mjerenja otpornosti prikazan je na Slici 1, gdje je bitno uočiti dvije strujne elektrode (C1,C2) te dvije potencijalne elektrode (P1,P2). Slika 1. Shematski prikaz mjerenja otpornosti [6] Raspored električnog potencijala između strujnih elektroda ovisi o rasporedu samog električnog otpora u materijalu. Ispitivanje na terenu se izvodi tako da se između dvije strujne elektrode uspostavi tok istosmjerne električne struje nakon čega se mjeri razlika potencijala između druge dvije potencijalne elektrode pokretanjem programa za automatsko prikupljanje podataka. Iako su sva mjerenja danas automatizirana, matematički se prividna otpornost računa prema formuli (1) gdje je ρ prividna otpornost, k geometrijski faktor koji se računa po formuli (2), a r je udaljenost između elektroda [6]. ρ = k x ( ΔΦ I ) (1) 2π k = ( 1 rc1p1 + 1 rc2p1 + 1 rc1p2 + 1 ) (2) rc2p2 10

11 Pri korištenju metode mjerenja otpornosti bitno nam je procijeniti složenost geološkog modela, te na temelju složenosti odabrati primjeren raspored elektroda. Ovisno o elektrodnom rasporedu i metodi, moguće je ostvariti različite jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i trodimenzionalne modele rezultata. Za 1D modele ispitivanja koriste se geoelektrično profiliranje i geoelektrično sondiranje, a za 2D i 3D modele ispitivanja koristi se geoelektrična tomografija [5]. Geoelektrično profiliranje je metoda mjerenja prividne otpornosti tla kod koje se uzastopnim razmicanjem cijelog elektrodnog rasporeda duž nekog profila zahvaća uvijek ista dubina [5]. Geoelektrično sondiranje je metoda mjerenja otpornosti kojom se uzastopnim razmicanjem strujnih elektroda zahvaća sve veća masa tla i stijena u podzemlju pri čemu središnja točka mjerenja ostaje nepromijenjena. Tako se prodire u sve veće dubine i dobivaju iznosi promjena otpornosti po dubini za središnju točku elektrodnog rasporeda [6]. Dakle geoelektrično sondiranje i profiliranje mogu se primijeniti gdje su potrebni jednodimenzionalni geološki modeli, no tu se pretpostavlja da nema promjene u ostale dvije dimenzije. U izrazito velikim i kompliciranim geološkim modelima najbolje bi bilo primijeniti postupak 2D i 3D snimanja budući da ona daju precizniji model podzemlja nego 1D istraživanja (Slika 2.) [7]. Slika 2. Prikaz jednodimenzionalnog (1D), dvodimenzionalnog (2D) i trodimenzionalnog (3D) modela. [7] 11

12 POSTUPAK DVODIMENZIONALNOG I TRODIMENZIONALNOG ELEKTRIČNOG SNIMANJA/GEOELEKTRIČNA TOMOGRAFIJA Geoelektrična tomografija predstavlja metodu 2D i 3D mjerenja otpornosti. Za razliku od 1D ispitivanja, kod geoelektrične tomografije uvodimo strujni tok u podzemlje pomoću većeg broja elektroda. Slika 3. Rasporedi elektroda za 2D i 3D mjerenja s izračunatim geometrijskim faktorom [14] Kod 2D mjerenja otpornosti možemo koristiti Wennerov, Wenner-Schlumbergerov, dvoelektrodni, dipolni i troelektrodni raspored elektroda, a prikupljene rezultate na terenu obrađujemo u programu za 2D inverzno modeliranje. Kod 3D mjerenje koristimo dvoelektrodni, troelektrodni i ekvatorijalni dipolni raspored elektroda kojeg postavljamo u pravokutnu ili kvadratnu mrežu, a prikupljene podatke obrađujemo u programu za 3D inverzno modeliranje. Osim toga, 3D mjerenja mogu se izvesti pomoću 2D rasporeda elektroda mjerenjem nekoliko paralelnih presjeka nakon čega se izmjereni presjeci prilagode za obradu u računalnom programu za 3D inverziju [6]. 12

13 Inverzno modeliranje prikazano je na Slici 4, koristi se za pronalazak modela otpornosti u podzemlju koji najbolje odgovara izmjerenim prividnim otpornostima. Raspodjela otpornosti u podzemlju prikazuje se u presjeku gdje je na apscisi položaj mjernih točaka na površini terena, a na ordinati nadmorska visina [9]. Slika 4. Prikaz modeliranja i inverzije u 2D-električnoj tomografiji [7] Opreme za 2D i 3D mjerenja metodom otpornosti sastoji se od uređaja za mjerenje otpora u tlu, selektora elektroda, kabela za elektrode, elektroda od nehrđajućeg čelika s vezicama do kabla i spojnicama između kabela. 13

14 2.2. SEIZMIKA Seizmičke metode koriste se kao jedan od više tipova geofizičkih istraživanja u geotehnici. Seizmičke geofizičke metode se temelje na stvaranju seizmičkih valova dinamičkim opterećenjem na površini terena ili u bušotini. Polazna točka seizmičkih istraživanja je mjerenje vremena potrebnog seizmičkim valovima da putuju od izvora kroz tlo do nekih geoloških granica. Ondje se valovi reflektiraju ili refraktiraju, te vraćaju natrag do geofona postavljenih na površini (MASW, SASW metoda) ili u bušotini (cross hole, down hole) [8] REFRAKCIJSKA SEIZMIKA Refrakcijska seizmika najzastupljenija je seizmička metoda koja zbog svojeg korištenja fizikalno-mehaničkih svojstava podzemlja svoju primjenu pronalazi u području geomehanike, geologiji i hidrogeologiji. Brzina i smjer seizmičkih valova direktno ovise o litološkim svojstvima podzemnih slojeva (Tablica 3), a pračenjem istih možemo odrediti tlačnu čvrstoću, koja ovisi o brzinama uzdužnih P valova, te posmičnu čvrstoću tla, koja ovisi o brzinama posmičnih S valova [11]. Na temelju toga provodi se klasifikacija građe podzemlja, litološki sastav, debljine trošnih zona, te se pronalaze plitko smještene kaverne, rasjedi i pukotinski sustavi [5]. Tablica 3. Prosječne brzine P i S vaova i gustoće nekih geomedija [8] Vrsta geomedija Brzina P valova Vp (m/s) Brzina S valova Vs Gustoća (Mg/m 3 ) (m/s) Zrak Čista voda ,00 Granit ,67 Pješčenjak ,45 Vapnenac ,65 Glina ,40 Pijesak šljunak ,70 Lapori ,35 Bazalt ,00 14

15 Metoda refrakcijske seizmike snima nailaske prvih umjetno proizvedenih seizmičkih valova dok sve kasnije nailaske zanemaruje. Ako je poznato da podzemlje nije homogeno, a seizmičke brzine ovise o građi, litologiji i stanju naslaga, može se zaključiti da se granice promjene brzine seizmičkih valova podudaraju s geološkim granicama. Tako se može na osnovi brzina konstruirati geološki model podzemlja [11]. Kao impulsni izvor može se koristiti čekić, bacanje utega ili neki drugi impulsni izvor, dok se za veće dubine koriste eksploziv ili vibratori velike mase [9]. Slika 5. Prikaz seizmičkog 12 kanalnog dispozitiva sa smjerovima prostiranja direktnih i refraktiranih valova kroz tlo i temeljnu stijenu; ac - kritični kut [9] Provedba metode prikazana je na Slici 5. Metoda polazi od toga da seizmički valovi aktivirani na površini terena, započinju svoje širenje slojem 1 određenom brzinom V1. Nakon što valovi dođu do granice slojeva, valovi se refraktiraju. Val koji se refraktira pod kritičnim kutem ili kutem totalne refrakcije širi se uz granicu slojeva brzinom drugog sloja V2, te se vraća na površinu terena gdje aktivira geofone. Na temelju toga formiraju se s-t dromokrone, gdje je s-udaljenost, a t-vrijeme. Pomoću njih je moguće odrediti dubinu i elastične razlike slojeva [9]. Da bi metoda bila uspješna mora vrijediti: V1 < V2 15

16 Nakon provedene seizmičke refrakcije, rezultati se prikazuju u obliku seizmičkih presjeka. Presjeci sadrže seizmičke snimke dobivene inverznom Delta t-v metodom koja se potom nadopunjuje metodom WET tomografije. Na taj način dobije se kvalitetnija slika podzemlja [9]. Slika 6. Primjer refrakcijskog dubinskog seizmičkog presjeka dobivenog kombinacijom Delta t-v metode i WET tomografije[9] Slika 7. prikazuje metodu 2D prikaza Kriging kojom se obrađuje i prikazuje rezultat uglavnom kod izrade inženjersko-geoloških profila [9]. Slika 7. Primjer dubinskog presjeka dobiven interpretacijom seizmičkog refrakcijskog profila Delta t-v metodom-kriging [9] 16

17 Također se na seizmičkim dubinskim presjecima kod geotehničkog projektiranja koristi prikaz putem modificirane Delaunayove triangulacije. Na njoj se bolje vide stjenski blokovi koji posjeduju slične fizičko-mehaničke karakteristike [9]. Slika 8. Primjer dubinskog presjeka dobiven interpretacijom seizmičkog refrakcijskog profila Delta t-v metodom-delaunayove triangulacije [9] Oprema se za mjerenja metodom refrakcijske seizmike sastoji od seizmografa, impulsnog izvora seizmičke energije, kabela koji povezuje impulsni izvor i seizmograf preko kojeg dobijemo nulto vrijeme odnosno početak mjerenja., kabela koji povezuje geofone sa seizmografom, a koji ima izlaz za geofone s konstantnim razmakom između izlaza, te geofona s vezicama do kabla. 17

18 MASW METODA Masw višekanalna analiza je geofizička metoda koja pomoću površinskih i posmičnih S valova (Rayleighevi valovi) određuje tvrdoću i stišljivost tla i stijena. Sama metoda se može koristiti u raznim oblicima i to u jednoj, dvije ili tri dimenzije, ovisno o problemu [11]. Masw metoda se sastoji od tri osnovna koraka: prikupljanje podataka, disperzijska analiza i modeliranje profila s različitim parametrima ( Vs, Vp, h...). Površinski valovi se očitavaju pomoću geofona, a rezultat iz dobivenih podataka je krivulja disperzije [5]. Krivulje disperzije prikazuju odnos brzina i frekvencije, a služe nam da modeliramo 1-D presjeke. Konačni rezultat istraživanja je dubinski presjek gdje je na ordinati prikazana dubina, a na apscisi brzina S valova (Slika 9) [10]. Slika 9. Primjer 1D MASW [15] 18

19 3. GEOFIZIČKI ISTRAŽNI RADOVI NA OBJEKTU GIMNAZIJE U VUKOVARU 3.1. OPĆENITO O PROBLEMU TEMELJENJA GIMNAZIJE U VUKOVARU Zgrada Gimnazije u Vukovaru izgrađena je godine, a sadašnje stanje dobiveno je nakon proširenja godine. Prva rekonstrukcija zgrade provedena je 60-tih godina 20. stoljeća nakon potresa koji je pogodio područje Vukovara. Sam objekt zgrade temeljen je na lesnom platou, a za vrijeme Domovinskog rata zgrada je zadobila teška oštećenja kako pokazuje Slika 9 [12]. Slika 10. Zgrada Gimnazije u Vukovaru nakon Domovinskog rata [16] Nakon rata krenulo se u sanaciju zgrade, ali odvodnja tokom nje nije bila adekvatno riješena, što je zajedno sa zarušavanjem podruma u podnožju platoa dovelo do slijeganja temelja i nastanka pukotina na objektu (Slika 11.). Slika 11. Slika prikazuje pukotine na Gimnaziji u Vukovaru 19

20 Izrada projekta sanacije temelja, godine povjerena je Građevinskom fakultetu Osijek. Godine zapunjeni su podrumi u podnožju platoa samorazlijevajućim betonom, te je provedeno poduhvaćanje temelja mlazno-injektiranim stupnjacima (6 i 9 m). Raspored provedenih sanacija godine prikazan je na Slici 11. Nakon toga izvedena je mlazno-injekcijska zavjesa od pilota između zgrade gimnazije i potpornog zida na jugozapadnom rubu objekta [13]. Slika 12. Situacijski prikaz lokacije pilota izvedenih u sklopu projekta sanacije temeljenja [13] Kako se navodi u [13] raspucala konstrukcija objekta gimnazije nije sanirana, a plato ispod same zgrade gimnazije jednim je dijelom i dalje pridržan starim nesaniranim potpornim zidom. Na mjestu spremnika za gorivo tijekom rekonstrukcije došlo je do zarušavanja dijela tla. Zarušavanje je nastalo zbog spomenute loše površinske odvodnje, a sanirano je prilikom gradnje zidova. Zidovi u podnožju gimnazije danas su većim dijelom rekonstruirani i izgrađeni iznova. Podrumi u podnožju platoa nepoznatog su položaja i duljine, a njihovi ulazi su zatvoreni tijekom rekonstrukcije potpornih zidova. Zbog mogućeg utjecaja na pomake tla i nastanak pukotina na zgradi gimnazije potrebno je utvrditi njihov položaj i duljinu [13]. Zbog navedenih problema tla provedene su metode seizmičke refrakcije, MASW metode, te metode geoelektrične tomografije za potrebe sanacije temelja zgrade gimnazije. 20

21 3.1. GEOELEKTRIČNA TOMOGRAFIJA Na istražnoj lokaciji Gimnazije u Vukovaru provedena su ispitivanja geoelektrične tomografije na dva profila na zadanim mikrolokacijama, a njihov raspored prikazan je na Slici 13. Profil GT_VU-01 duž jugozapadne strane zgrade gimnazije, paralelno s pružanjem potpornog zida dužine je 160 metara, a profil GT_VU-02 duž sjeveroistočne strane zgrade gimnazije paralelno s potpornim zidom prema ulici Šamac dužine je 80 metara [10]. Slika 13. Situacijski prikaz lokacije profila izvedenih u sklopu geofizičkih istraživanja [10] 21

22 U okviru završnog rada provedeno je vrijeme na lokaciji objekta prilikom provedbe geofizičkih istražnih radova, te sudjelovanje u njihovoj provedbi. Ovaj završni rad sadrži rezultate ispitivanja provedene na mikrolokaciji profila GT_VU-01, a provedba samog postupka kao i izgled profila vidljiva je na Slikama Položaj profila geoelektrične tomografije vidi na Slici 13. Slika 14. Prikaz profila na jugozapadnoj strani zgrade gimnazije, paralelno s pružanjem potpornog zida sa pogledom na Franjevačku crkvu 22

23 Slika 15. Prikaz profila na jugozapadnoj strani zgrade gimnazije, paralelno s pružanjem potpornog zida Slika 16. Prikaz profila na jugozapadnoj strani zgrade gimnazije, paralelno s pružanjem potpornog zida 23

24 Prilikom izvođenja ispitivanja korištena je oprema za 2D mjerenje metodom otpornosti koja se sastoji od uređaja za mjerenje otpora u tlu ABEM Terrametar SAS 4000 (Slika 17.), selektora elektroda ABEM Electrode Selector ES (Slika 18.), četiri kabela za elektrode od kojih svaki ima 21 izlaz za elektrode s konstantnim razmakom od 2 metra između izlaza za elektroda (Slika 19.), elektroda od nehrđajućeg čelika s vezicama do kabla i spojnicama između kabela (Slika 20.) [10]. Slika 17. Uređaj za mjerenje otpora u tlu ABEM Terrametar SAS 4000 Slika 18. Selektorelektroda ABEM Electrode Selector ES

25 Slika 19. Kabel za elektrode Slika 20. Elektrode od nehrđajućeg čelika s vezicama do kabela 25

26 Rezultati geoelektrične tomografije prikazani su je kroz 2D dubinski presjek (Slika 21). Presjek je obrađen programom za 2D inverzno modeliranje RE2DINV. Na temelju dobivenih iznosa električne otpornosti na profilu GT_VU-01 prognozirane su naslage vlažnog lesa; gline prahovite; i praha glinovitog u područjima otpornosti naslaga do 20 ohmm, a prikazane su plavom bojom. Ta područja predstavljaju materijal lošije kvalitete, te se ujedno javlja potencijalna opasnost od pojave klizanja. U područjima naslaga od 20 do 100 ohmm prognozirane su naslage prahovite gline i glinovitog praha. Na površini gdje je otpornost naslaga bila veća od 100 ohmm prognozirana je naslaga suhog lesa [10]. Slika 21. Prikaz dubinskog presjeka geoelektrične tomografije za Gimnaziju u Vukovaru [10] Na Slici 21. od 40 do 60 metara profila prikazan je položaj zarušenih podruma na dubini od 5 metara, a od 80 do 120 metara profila prikazana je zona klizanja na dubini od 10 metara. Također se pretpostavlja da rasjedna pukotinska zona smjera jugozapad-sjeveroistok presijeca profil na 73 metra, te da kroz tu zonu dolazi do prodiranja i cirkuliranja vode [10]. 26

27 3.1. REFRAKCIJSKA SEIZMIKA Ispitivanja refrakcijske seizmike na istražnoj lokaciji Gimnazije u Vukovaru provedena su na četiri profila na zadanim mikrolokacijama koje je moguće vidjeti na situaciji (Slika 13) Profil RF_VU-01 s jugozapadne strane zgrade gimnazije, paralelno s potpornim zidom dužine je 69 metara (Slika 14-16). Profil RF_VU-2 na prostoru bivšeg rezervoara (Slika 22-23). Profil RF_VU-3 između zgrade gimnazije, sportske dvorane i igrališta dužine je 46 metara (Slika 24) [10]. Slika 22. Prikaz profila na prostoru bivšeg rezervoara, između zgrade gimnazije, sportske dvorane i igrališta 27

28 Slika 23. Prikaz profila na prostoru bivšeg rezervoara, između zgrade gimnazije, sportske dvorane i igrališta Slika 24. Prikaz profila na prostoru bivšeg rezervoara, između zgrade gimnazije, sportske dvorane i igrališta 28

29 Profil RF_VU-4, sa sjeveroistočne strane zgrade gimnazije paralelno s potpornim zidom prema ulici Šamac dužine je 69 metara (Slika 25-26). Slika 25. Prikaz profila sa sjeveroistočne strane zgrade gimnazije paralelno sa potpornim zidom prema ulici Šamac Slika 26. Prikaz profila sa sjeveroistočne strane zgrade gimnazije paralelno sa potpornim zidom prema ulici Šamac 29

30 Ovaj završni rad sadrži rezultate ispitivanja provedene na mikrolokaciji profila RF_VU-01. Položaj profila refrakcijske seizmike vidi na situaciji na Slici 13. Snimanje brzina uzdužnih valova izvršeno je digitalnim 24 kanalnim seizmografom TERRALOC ABEM MARK6 (Slika 27), a kao impulsni izvor (paljenje) korišteno je udaranje čekićem po metalnoj ploči (Slika 30). Broj točaka paljenja bio je 17, a za prijem signala služili su vertikalni geofoni SENZOR SM 4 (Slika 29). Oprema također uključuje kabel koji povezuje geofone sa seizmografom (Slika 28) i kabele koji povezuje čekić sa seizmografom preko kojeg dobijemo nulto vrijeme, odnosno početak mjerenja [10]. Slika 27. Uređaj za snimanje brzina 24 kanalni seizmograf TERRALOC ABEM MARK6 Slika 28. Kabel za geofone 30

31 Slika 29. Vertikalni geofon SENZOR SM 4 rezonantne frekvencije 4.5 Hz Slika 30. Čekić kao impulsni izvor za paljenje korišten za udaranje po metalnoj ploči 31

32 Rezultat seizmičke refrakcije prikazan je u obliku 2D dubinskog refrakcijskog presjeka (Slika 31). Presjek je obrađen pomoću kombinacije Delta t-v metode i WET tomografije. Prikaz je izvršen primjenom modificirane Delaunayove triangulacije, a prikazuje brzine kompresivnih P valova u podlozi. Pri brzinama P valova manjim od 1000 m/s prognoziran je materijal u obliku glinastog praha i praha, te prašinaste gline. Ondje gdje su brzine valova bile iznad 1000 m/s prognozirano je tlo u obliku glinastog praha, prašinaste gline i praha, te jako slabe stijene ili glinjaka [10]. Slika 31. Prikaz dubinskog seizmičkog presjeka za profil RF_VU-1 [10] U nastavku je dan karakteristični model tla i uvjetna kategorizacija u obliku grafičkih prikaza koji predstavljaju analizu odnosa brzina P valova, modula stišljivosti (Slika 32) i jednoosne tlačne čvrstoće po dubini (Slika 34), te histogram frekvencija pojave brzina P valova (Slika 33). 32

33 Slika 32. Usporedni prikaz rasporeda brzina P-valova i dinamičkog modula stišljivosti po dubini za profil RF_VU-01 [10] Slika 33. Histogram frekvencija pojave brzina P valova za profil RF_VU-1 [10] 33

34 Slika 34. Usporedni prikaz rasporeda brzina P-valova i jednoosne tlačne čvrstoće po dubini [10] 34

35 3.3. MASW SEIZMIČKA METODA Na istražnoj lokaciji Gimnazije u Vukovaru provedena su ispitivanja MASW višekanalne analize i ReMi refrakcijskog mikrotremora, na jednom profilu paralelno s refrakcijskim presjekom, Profil nosi oznaku ReMi_MASW_RF_VU-1, a nalazi se duž jugozapadne strane zgrade gimnazije, paralelno s pružanjem potpornog zida, te je dužine 69 metara (Slika 13). Rezultat MASW višekanalne analize prikazan je kroz 1D modele rasporeda brzina S-valova i dubine. Prvih trideset metara naslaga zahvaćenih istraživanjem može se prema kriteriju VS,30 > 180 m/s kategorizirati kao: VS,30 - MASW_REMI_RF_VU-01, Vs = 201 m/s, IBC site class 'D' (Slika 35), te MODEL D, u klasi "D" po U.S. kodu UBC97 i tipu tla "C" po Eurokodu 8 (Slika 36) [13]. Slika 35. Prikaz 1D modela rasporeda brzina S-valova i dubine prema VS,30 - MASW_REMI_RF_VU-01, Vs = 201 m/s, IBC site class 'D' [10] 35

36 Slika 36. Prikaz 1D modela rasporeda brzina S-valova i dubine prema MODEL D, u klasi "D" po U.S. kodu UBC97 i tipu tla "C" po Eurokodu 8 [10] 36

37 4. ZAKLJUČAK Geofizičke metode koriste se kao odgovarajuća alternativa i nadopuna klasičnim metodama istraživanja tla. Uz opsežne klasične geotehničke istražne radove koji su podrazumijevali izvedbu istražnih bušotina i terenska i laboratorijska ispitivanja tla na lokaciji Gimnazije u Vukovaru zbog prirode geotehničkog problema primjenjene su i geofizičke metode. Provedena su istraživanja različitim metodama: 2D geoelektrične tomografija, refrakcijska seizmika i seizmička MASW metoda. Istražni radovi dali su nam generalnu klasifikaciju temeljnog tla čime je zaključeno da se na lokaciji izmjenjuju naslage praha, glinovitog praha, prahovite gline i lesa. Pronađene su lokacije zarušenih podruma. Uz navedeno locirana je zona klizanja koja se razvila pri građenju potpornih zidova u podnožju. Sva geofizička snimanja rađena su na terenu, a izvedena su tijekom jednog dana. Time je potvrđena vremenska i ekonomska ušteda geofizičkih istražnih metoda. Geofizičke metode predstavljaju specifične tehnike čiji puni potencijal još treba otkriti. Mogu zaključiti da je njihova primjena na Gimnaziji u Vukovaru bila uspješna, te da je dala vrijedne rezultate na temelju kojih će se moći pristupti izradi projektnog rješenja sanacije temeljenja objekta. 37

38 5. LITERATURA I IZVORI [1] Geofizika; Wikipedia: The free Encyclopedia, Wikimedia Foundation, Inc., zadnja izmjena [2] Rudarsko geološko građevinski fakultet u Tuzli; Primijenjena geofizika, Tuzla, 2005/2006 [3] W.M.Telford, L.P.Geldart, R.E.Sheriff; Applied Geophysics, Cambridge, [4] McDowell P. W., Barker R. D., Butcher A. P., Culshaw M. G., Jackson P. D., McCann D. M., Skipp B. O., Matthews S. L., Arthur J. C.; Geophysics in engineering investigations, CIRIA, London, 2002 [5] S.Strelec; Podpovršinski istražni radovi interna skripta, Varaždin, [6] D.Grgec; Geoelektrično sondiranje, Zagreb, [7] S. Dominiković Alavanja; Određivanje rezolucije metode 2D električne tomografije [8] B.Jeđud; Primjena spektralne analize površinskih valova u geotehnici, Zagreb, [9] Separati Instituta IGH; Seizmička refrakcija, Zagreb [10] Institut IGH d.d.;izvještaj o Geofizičkim istraživanjima na Gimnaziji u Vukovaru, Zagreb, [11] C.B.Park, R.D.Miller, J. Xia, J. Ivanov, Multichannel analysis of surface waves ( MASW ) active and passive methods, Lawrence, USA, [12] Horvat V; Gimnazija u Vukovaru 100 godina, Zagreb, [13] K.Minažek; Geotehnički elaborat Gimnazije Vukovar, Osijek, [14] D.Dudjak; 2D električno modeliranje, Zagreb [15] MASW; Park Seismic LLC, dana [16] Slušbena stranica Gimnazije Vukovar; dana

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU

MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU RAZLOZI MJERENJA DEFORMACIJA U TLU Pri projektiranju dinamički opterećenih temelja treba odrediti sljedeće: kriterije ponašanja (dozvoljene amplitude, brzine,

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

LEVANIĆ SILVIO DIPLOMSKI RAD

LEVANIĆ SILVIO DIPLOMSKI RAD SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET LEVANIĆ SILVIO GEOTEHNIČKI I GEOFIZIČKI ISTRAŽNI RADOVI ZA POTREBE TEMELJENJA TRGOVAČKOG CENTRA IKEA DIPLOMSKI RAD VARAŽDIN, 2012. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Prikaz sustava u prostoru stanja

Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Bušotinska karotaža. Preddiplomski studij Naftnog rudarstva IV semestar

Bušotinska karotaža. Preddiplomski studij Naftnog rudarstva IV semestar Bušotinska karotaža Preddiplomski studij Naftnog rudarstva IV semestar Zvučna karotaža 1 1 Zvučna karotaža (eng. Sonic or Acoustic Log) mjeri se vrijeme prolaska elastičnog vala između odašiljača i prijemnika

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 14. rujna 2017. Marijan Mikec SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Izrada projektno-tehničke dokumentacije armiranobetonske

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα