Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουν µια σύνοψη της ϑεωρίας των σειρών Fourier, καθώς και των ολοκληρωµάτων Fourier (µετασχηµατισµός Fourier). Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1

Κ. Κυρίτσης 2 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier Περιεχόµενα 1 Σειρά Fourier 3 1.1 Ορισµός.............................. 3 1.2 Ανάπτυγµα Μισού ιαστήµατος................. 3 1.3 Ταυτότητα του Parseval..................... 4 1.4 Μιγαδική Σειρά Fourier..................... 4 1.5 Χρήσιµα Ολοκληρώµατα..................... 5 2 Ολοκλήρωµα Fourier 5 3 Μετασχηµατισµός Fourier 6 3.1 Ορισµός.............................. 6 3.2 Ταυτότητα του Parseval..................... 6 3.3 Συνέλιξη............................. 6 4 Ηµιτονικός και Συνηµιτονικός Μετασχηµατισµός Fourier 7 Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.

Κ. Κυρίτσης 3 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier 1 Σειρά Fourier 1.1 Ορισµός Μια συνάρτηση λέγεται περιοδική όταν f(x + T) = f(x). Εστω τώρα η συνάρτηση f(x) να είναι ορισµένη στο διάστηµα (, L). Την επεκτείνουµε περιοδικά στο υπόλοιπο R, είναι δηλαδή f(x+2l) = f(x). Η σειρά Fourier ή αλλιώς το ανάπτυγµα Fourier της f(x) ορίζεται να είναι το a 2 + [ a n cos nπx L + b n sin nπx ]. L n=1 Οι σταθερές a n, b n ονοµάζονται συντελεστές Fourier και δίνονται από τους τύπους a n = 1 L b n = 1 L a = 1 L f(x) cos nπx L dx, f(x) sin nπx L dx, f(x)dx. Αν η συνάρτησή µας είναι ορισµένη στο (c, c + 2L), το ανάπτυγµα Fourier παραµένει αµετάβλητο, οι δε συντελεστές υπολογίζονται πλέον από τα ολοκληρώµατα a n = 1 L b n = 1 L ˆ c+2l c ˆ c+2l c a = 1 L f(x) cos nπx L dx, f(x) sin nπx L dx, ˆ c+2l c f(x)dx. 1.2 Ανάπτυγµα Μισού ιαστήµατος Μια συνάρτηση λέγεται άρτια αν g(x) = g( x) και περιττή αν g(x) = g( x). Το ανάπτυγµα Fourier µιας άρτιας συνάρτησης περιέχει µόνο όρους συνηµιτόνου, ενώ το ανάπτυγµα µιας περιττής µόνο όρους ηµιτόνου. Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.

Κ. Κυρίτσης 4 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier Εστω τώρα ότι έχουµε την συνάρτηση g(x) ορισµένη στο διάστηµα (, L), που είναι το µισό του αρχικού διαστήµατος (, L). Θεωρούµε άρτια ε- πέκταση της συνάρτησης, g(x), x (, L) h e (x) =, x {,, L}. (1) g( x), x (, ) Σ αυτή την περίπτωση οι συντελεστές Fourier είναι a n = 2 L f(x) cos nπx L dx, b n =. Αν ϑεωρήσουµε περιττή επέκταση, ϑα είναι g(x), x (, L) h o (x) =, x {,, L}. (2) g( x), x (, ) Σ αυτή την περίπτωση οι συντελεστές Fourier είναι a n =, b n = 2 L 1.3 Ταυτότητα του Parseval Αποδεικνύεται ότι 1 L 1.4 Μιγαδική Σειρά Fourier Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα και την µιγαδική συζυγή της f(x) sin nπx L dx. [f(x)] 2 dx = a2 2 + [ ] a 2 n + b 2 n. n=1 e iθ = cos θ + i sin θ e iθ = cos θ i sin θ, µπορούµε να γράψουµε το ανάπτυγµα Fourier µιας συνάρτησης ώς f(x) = n= c n e i nπx L. Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.

Κ. Κυρίτσης 5 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier Οι συντελεστές Fourier είναι c n = 1 nπx i f(x)e L dx. 2L 1.5 Χρήσιµα Ολοκληρώµατα Τα ακόλουθα ολοκληρώµατα είναι χρήσιµα στην µελέτη σειρών Fourier. sin nπx L dx = = cos nπx L dx, sin nπx mπx sin L L = Lδ nm, cos nπx mπx cos L L = Lδ nm, 2 Ολοκλήρωµα Fourier sin nπx mπx cos L L =. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x) και ϑεωρούµε ότι τόσο αυτή, όσο και η πρώτη της παράγωγος f (x) είναι συνεχείς ή έχουν το πολύ πεπερασµένο πλήθος ασυνεχειών (στα οποία σηµεία ασυνέχειας δεν απειρίζονται). Το ολοκλήρωµα Fourier είναι f(x) = [A(p) cos(px) + B(p) sin(px)] dp. Οι συναρτήσεις A(p), B(p) δίνονται από τους τύπους A(p) = 1 π αντίστοιχα. B(p) = 1 π f(x) cos(px)dx, f(x) sin(px)dx Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.

Κ. Κυρίτσης 6 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier 3 Μετασχηµατισµός Fourier 3.1 Ορισµός εδοµένης µιας συνάρτησης f(x), ορίζουµε τον µετασχηµατισµό Fourier αυτής να είναι µια άλλη συνάρτηση F(p), συµβολικά F(p) = F{f(x)}, F(p) = f(x)e ipx dx. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier γράφεται συµβολικά f(x) = F 1 {F(p)} και είναι f(x) = 1 2π F(p)e ipx dx. Να σηµειώσουµε ότι ο ορισµός διαφέρει από ϐιβλίο σε ϐιβλίο. Κάποιο συγγαφείς προτιµούνε να ορίζουνε τόσο τον µετασχηµατισµό Fourier, όσο και τον αντίστροφο µε έναν συντελεστή 1/ 2π µπροστά από κάθε ολοκληρώµα. Το σηµαντικό είναι ότι το γινόµενο της σταθεράς του µετασηµατισµού Fourier µε αυτή του αντιστρόφου µετασχηµατισµού να είναι πάντα 1/(2π). Άλλοι πάλι έχουν + στο εκθετικό του µετασχηµατισµού Fourier και το µείον στο εκθετικό του αντιστρόφου. 3.2 Ταυτότητα του Parseval Αν F(p), G(p) είναι ο µετασχηµατισµός Fourier των f(x), g(x) αντίστοιχα, τότε αποδεικνύεται ότι f(x)g(x)dx = 1 2π F(p)Ḡ(p)dp, όπου η µπάρα δηλώνει το µιγαδικό συζυγές 1 της G(p). Στην περίπτωση που f(x) = g(x), έχουµε ότι 3.3 Συνέλιξη f(x) 2 dx = 1 2π F(p) 2 dp. Η συνέλιξη δύ συναρτήσεων f(x) και g(x) ορίζεται να είναι f g = f(u)g(x u)du. 1 Αν z = x + iy µιγαδικός αριθµός, τότε ο συζυγής είναι ο z = x iy. Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.

Κ. Κυρίτσης 7 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier Για τους µετασχηµατισµούς Fourier έχουµε ότι F{f g} = F{f}F{g}. Μερικές χρήσιµες ιδιότητες της συνέλιξης είναι οι εξής: f g = g f, f (g h) = (f g) h, f (g + h) = f g + f h. 4 Ηµιτονικός και Συνηµιτονικός Μετασχηµατισµός Fourier Για µια συνάρτηση f(x) ορίζονται να είναι αντίστοιχα. Οι αντίστροφοι είναι F C (p) = F S (p) = f(x) = 2 π f(x) = 2 π αντίστοιχα. Η ταυτότητα του Parseval είναι τώρα f(x)g(x)dx = 2 π f(x)g(x)dx = 2 π Στην περίπτωση που f(x) = g(x), είναι f(x) cos(xp)dx, f(x) sin(xp)dx, F C (p) cos(xp)dp, F S (p) sin(xp)dp F C (p)g C (p)dp, F S (p)g S (p)dp. [f(x)] 2 dx = 2 π [f(x)] 2 dx = 2 π [F C (p)] 2 dp, [F S (p)] 2 dp. Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.

Κ. Κυρίτσης 8 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα. Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.

Κ. Κυρίτσης 9 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... ) Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.

Κ. Κυρίτσης 1 Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ Παράρτηµα: εληγιώργη 16Α, Πειραιάς 185 34. ( Εναντι Παν. Πειραιώς) Τηλ. 21-42297-2, Fax. 21-422634.