ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με ( ) Σχόλια : Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :, () Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα τιμών της και συμβολίζεται με ( A) Είναι δηλαδή: ( A) { ( ) για κάποιο A} D, λέγεται σύνολο Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Γραφική παράσταση της λέμε το σύνολο των σημείων M(, ) για τα οποία ισχύει (), δηλαδή το σύνολο των σημείων M(,()), με A Σχόλια : Η γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με Η εξίσωση, λοιπόν, () επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως, η () είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ 7α) C Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ 7β) C 7 C O Α (a) O (β) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β) Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο (A) των τεταγμένων των σημείων της C γ) Η τιμή της στο (Σχ 8) A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C = 8 C (Α) C ( ) C A(,( )) O Α (α) O (β) O (γ) Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M (, ()) που είναι συμμετρικά των M(,()), ως προς τον άξονα (Σχ 9) O Μ(,()) Μ (,()) 9 =() =() β) Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν (Σχ ) = () O =() 3 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων α) ( ) α β β) ( ) α, α γ) 3 ( ) α, α δ) ( ) α, α ε) ( ), g( ) Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α) Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) α β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

O O O a> a< a= β)η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) α, α O α> O α< γ) Η πολυωνυμική συνάρτηση 3 ( ) α, α 3 O O α> α< δ) Η ρητή συνάρτηση ( ) α, α 4 O O α> α< ε) Οι συναρτήσεις ( ),, g ( ), 5 O O ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 3

4 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων : α) (), (), () β) ( ) α, α γ) ( ) log, α Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α) Οι τριγωνικές συναρτήσεις : ( ) ημ, ( ) συν, ( ) εφ α 6 O π π =ημ (α) O π π =συν (β) π/ O π/ 3π/ =εφ (γ) Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις () ενώ η συνάρτηση () ημ και () συν είναι περιοδικές με περίοδο T π, εφ είναι περιοδική με περίοδο T π β) Η εκθετική συνάρτηση ( ) α, α 7 α O α O α> (α) <α< (β) Ιδιότητες : Υπενθυμίζουμε ότι: Αν α, τότε: Αν α, τότε: γ) Η λογαριθμική συνάρτηση ( ) log, α α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

8 O α O α α> (α) <α< (β) Ιδιότητες : ) log α α ) log α α και log α α 3) log α και log α 4) log ( ) log log α α α 5) log log log α α α k 6) log κlog α α α 7)Αν α, τότε: log log, ενώ αν α, log log α α α α lnα 8) α e, αφού lnα α e 5 Πότε δύο συναρτήσεις,g λέγονται ίσες ; (7, 7 ΕΣΠ Β, 8 ΟΜΟΓ, ΕΣΠ Β, Β, 4 ΕΣΠ Β, 6) Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει () g() 6 Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, γινομένου και πηλίκου δύο συναρτήσεων,g ; Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο g δύο συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους : ( g)() () g(), ( g)() () g(), (g)() ()g(), () () g g() Το πεδίο ορισμού των g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(), δηλαδή το σύνολο : { A και B, με g() } ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 5

7 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με g, τη συνάρτηση με τύπο (go)() g(()) A (A) () B g(b) 4 g g g( ()) A Σχόλια : α) Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A () B} Είναι φανερό ότι η go ορίζεται,αν A, δηλαδή αν (A) B β) Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(go), τότε ορίζεται και η (hog)o και ισχύει ho(go) (hog)o Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g και h και τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 6

3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; (7 ΟΜΟΓ, 7 ΕΣΠ, ΕΣΠ, ) Η συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: ( ) ( ) Η συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: ( ) ( ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε Δ, με Δ, με ισχύει ) ( ) ( ) ( ισχύει ) 9 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι παρουσιάζει στο o και πότε ολικό ελάχιστο ; ( A ολικό μέγιστο (4 ΟΜΟΓ, Β, 4 ΕΣΠ) Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το A (ολικό) ελάχιστο, το ( ), όταν () ( ) για κάθε A ( ), όταν() ( ) για κάθε A Κάποιες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγεται ; (3 ΟΜΟΓ, 5 Β, ΟΜΟΓ, 5 Β ) Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: Αν, τότε ( ) ( ) Σχόλια : α) Μια συνάρτηση :A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν ( ) ( ), τότε β) Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση () προς έχει ακριβώς μια λύση ως ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 7

Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση " " Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Παράδειγμα (Πανελλήνιες 8) 34, Η συνάρτηση η συνάρτηση g(), αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη (Σχ 34)είναι, O =g() Παρατηρήσεις : Αν γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση είναι - τότε : ( ) ( ) Την ισοδυναμία αυτή τη χρησιμοποιούμε για επίλυση εξισώσεων Επίσης ισχύει : ( ) ( ) Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι - αρκεί : ( ) ( ) Αν η δεν είναι -, τότε υπάρχουν, τω και ( ) ( ) ί όμως ί ό ί ό όμως ό ό ίa Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A αντιστρέφεται και πώς ; Μια συνάρτηση :AR αντιστρέφεται, αν και μόνο αν είναι Η αντίστροφη συνάρτηση της που συμβολίζεται με Σχόλια : ορίζεται από τη σχέση : () () α) Ισχύει ότι : ( ( )), A και ( ( )), ( A ) β) Η αντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών (A) της, και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της Για παράδειγμα, έστω η εκθετική συνάρτηση ( ) Όπως είναι γνωστό η συνάρτηση αυτή είναι με πεδίο ορισμού το και σύνολο τιμών το (, ) Επομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση προηγουμένως, έχει πεδίο ορισμού το (, ) έχει σύνολο τιμών το και της Η συνάρτηση αυτή, σύμφωνα με όσα είπαμε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 8

αντιστοιχίζει κάθε (, ) στο μοναδικό για το οποίο ισχύει Επειδή όμως log θα είναι ( ) log Επομένως, η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης, είναι η λογαριθμική συνάρτηση g( ) log ( ), Συνεπώς α log log και α, (, ) α, α γ) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες O και O Απόδειξη : Ας πάρουμε μια συνάρτηση και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των και της στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχ37) Επειδή ( ) ( ), αν ένα σημείο (, ) ανήκει στη γραφική παράσταση C της, τότε το σημείο (, ) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της και αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες O και O C = M(α,β) C 37 M (β,α) O Παρατηρήσεις : : : έ, Αν γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, τότε η μονοτονίας : πχ αν είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος τότε έστω, D ( ) με, τότε : ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) άρα στο ( ) D ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 9

4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Έστω η συνάρτηση ( ) Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D { } και γράφεται ( )( ) ( ), () Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία με εξαίρεση το σημείο Α(,) (Σχ 38) Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι: Καθώς το, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό, το (), κινούμενο πάνω στον άξονα, προσεγγίζει τον O πραγματικό αριθμό Και μάλιστα, οι τιμές () είναι τόσο κοντά στο όσο θέλουμε, για όλα τα που είναι αρκούντως κοντά στο Στην περίπτωση αυτή γράφουμε lim ( ) και διαβάζουμε το όριο της (), όταν το τείνει στο, είναι Γενικά : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό, καθώς το προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό, τότε γράφουμε lim ( ) της () στο είναι και διαβάζουμε το όριο της (), όταν το τείνει στο, είναι () () () 38 ή το όριο ( ) () O (a) () O ( ) (β) 39 () () O (γ) ΣΧΟΛΙΟ Από τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι : Για να αναζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο, δηλαδή η να είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής : α, ) (, ) ή α, ) ή (, β) ( β ( Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ 39α, 39β) ή να μην ανήκει σ αυτό (Σχ 39γ) Η τιμή της στο, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο (Σχ 39α) ή διαφορετική από αυτό (Σχ 39β) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

, Έστω, τώρα, η συνάρτηση : ( ), 5, της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος 4 () () 4 Παρατηρούμε ότι : O Όταν το προσεγγίζει το από αριστερά ( ), τότε οι τιμές της προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό Στην περίπτωση αυτή γράφουμε : lim ( ) Όταν το προσεγγίζει το από δεξιά ( ), τότε οι τιμές της προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 4 Στην περίπτωση αυτή γράφουμε : lim ( ) 4 Γενικά: Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό, καθώς το προσεγγίζει το από μικρότερες τιμές ( ), τότε γράφουμε : lim ( ) και διαβάζουμε : το όριο της (), όταν το τείνει στο από τα αριστερά, είναι Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό, καθώς το προσεγγίζει το από μεγαλύτερες τιμές ( ), τότε γράφουμε : lim ( ) και διαβάζουμε : το όριο της (), όταν το τείνει στο από τα δεξιά, είναι () () () 4 () O (a) () O (β) () () (γ) O Τους αριθμούς lim ( ) και lim ( ) τους λέμε πλευρικά όρια της στο και συγκεκριμένα το αριστερό όριο της στο, ενώ το δεξιό όριο της στο Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι : lim ( ), αν και μόνο αν lim ( ) lim ( ) Για παράδειγμα, η συνάρτηση όριο στο, αφού: για είναι ( ) ( ) (Σχ 4) δεν έχει, οπότε lim ( ), ενώ για είναι ( ), οπότε lim ( ) lim ( ) lim ( ), και έτσι ()= = () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr O 4

Ποια πρόταση συνδέει το όριο της στο και τα πλευρικά όρια της στο ; o o Ισχύει ότι : Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, ) (,β), τότε ισχύει η ισοδυναμία: () lim () () lim () lim () ( ) () O (a) () O ( ) (β) () () O Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (, β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής α, ), τότε ορίζουμε : lim ( ) lim ( ) (γ) ( 39 44 O Για παράδειγμα, lim lim (Σχ 44) Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής α, ), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (, β), τότε ( 45 ορίζουμε : lim ( ) lim ( ) Για παράδειγμα, lim lim (Σχ 45) O Παρατηρήσεις : α) Ισχύει ότι : (α) (β) lim () lim () lim (() ) lim ( h) h β) Τους αριθμούς lim () και lim () τους λέμε πλευρικά όρια της στο και συγκεκριμένα το αριστερό όριο της στο, ενώ το δεξιό όριο της στο γ) Για να αναζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο, δηλαδή η να είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β) Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ 39α, 39β) ή να μην ανήκει σ αυτό Η τιμή της στο, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο (Σχ 39α) ή διαφορετική από αυτό δ) Ισχύει ότι lim και lim c c ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

ε) Αποδεικνύεται ότι το lim ( ) είναι ανεξάρτητο των άκρων (, β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης ( ) στο, περιοριζόμαστε στο υποσύνολο (, ) (,) του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη ( ) μορφή ( ) Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι lim ( ) α, β των διαστημάτων α, ) και στ) Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση έχει κοντά στο μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: i) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α, ) (, β) και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ ii) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α, ), έχει σ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (, β) iii) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (, β), έχει σ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής α, ) Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( π π,, και είναι θετική σε αυτό = ( ημ ( ) είναι θετική κοντά στο, αφού ορίζεται στο σύνολο = 46 O ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 3

5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ 3 Να γράψετε τις ιδιότητες του ορίου στο o Για το όριο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες : α) Θεώρημα ο (πρόσημο συναρτήσεων και όρια) Αν Αν lim (), τότε () κοντά στο lim (), τότε () κοντά στο Παρατήρηση : Αν υπάρχει το lim ( ) Αν υπάρχει το lim ( ) και είναι ( ) κοντά στο, τότε lim ( ) και είναι ( ) κοντά στο, τότε lim ( ) β) Θεώρημα ο (διάταξη και όρια) Αν οι συναρτήσεις,g έχουν όριο στο και ισχύει () g() κοντά στο, τότε lim () lim g() Παρατήρηση : Αν υπάρχουν τα lim ( ) και lim g( ) Αν ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim () lim g() Αν lim ( ) lim g( ), τότε ( ) g( ) κοντά στο Αν lim ( ) lim g( ), τότε ( ) g( ) κοντά στο γ) Θεώρημα 3ο (πράξεις συναρτήσεων και όρια) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο, τότε: lim (() g()) lim () lim g() lim (κ()) κ lim (), για κάθε σταθερά κ R 3 lim (() g()) lim () lim g() lim () () 4 lim, εφόσον g() lim g() lim g() 5 lim () lim () k 6 lim () k lim (), εφόσον () κοντά στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

Παρατηρήσεις : Οι ιδιότητες και 3 ισχύουν και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Τα αντίστροφα των ιδιοτήτων,, 3, 4, 5 Δεν ισχύουν πάντα Για παράδειγμα μπορεί να υπάρχει το lim ( ) g( ) και να μην υπάρχουν τα όρια των και g στο, Για παράδειγμα : ( ) και, στο δεν υπάρχουν, όμως, g ( ), Προφανώς τα όρια των και g, ( g)( ) για κάθε, άρα lim ( ) g( ) lim, lim ( ) lim lim ( ) g( ) lim( ) ( ) lim lim( ) g( ) lim ( ) lim δ) Είναι : ν lim [ ( )] lim ( ) ν, * ν Ν για παράδειγμα ν ν lim ε) Έστω το πολυώνυμο P() α α α α ν ν και ν ν R Είναι : lim P() P( ) Απόδειξη : Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε: ν ν lim P( ) lim ( αν αν α ) lim( α ν ν ) lim( α ν ν ν ν αν lim αν lim lim α αν αν α P( ) ν ν ) lim α Άρα : lim P( ) P( ) στ) Έστω η ρητή συνάρτηση Q( ) Θα είναι τότε P() (), όπου P(), Q() πολυώνυμα του και R με Q() P() P( ), όπου Q( ) lim Q() Q( ) ζ) Έστω οι συναρτήσεις,g,h Αν Κριτήριο παρεμβολής (6 Β ) h() () g() κοντά στο και lim h() lim g(), τότε lim () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 5

η) Ισχύει ότι (τριγωνομετρικά όρια) ημ, για κάθε RΗ ισότητα ισχύει μόνο όταν lim ημ ημ lim συν συν ημ συν lim lim 4 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο o Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο σημείο,δηλαδή το lim (g()), τότε εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε u g() Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u 3 Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το lim g() και lim (u) uu Αν g() u κοντά στο, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με, δηλαδή ισχύει: lim ( g( )) lim ( u ) uu ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 6

6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 5 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής (, ) (, ), ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: α) β) lim () lim () lim () lim () lim () lim () γ) Αν δ) Αν lim (), τότε () κοντά στο, ενώ αν lim (), τότε lim ( ()), ενώ αν lim (), τότε () κοντά στο lim (), τότε lim ( ()) ε) Αν lim () ή, τότε lim () στ) Αν lim () και () κοντά στο, τότε lim, ενώ αν () lim () και () κοντά στο, τότε lim () ζ)αν lim () ή, τότε lim () η) Αν lim (), τότε lim k () θ) i) lim και γενικά lim, * N ii) lim, N και lim ν, N Επομένως δεν υπάρχει στο το όριο της ( ), 6 Να γράψετε τα Θεωρήματα του άπειρου ορίου στο o Για το άθροισμα και το γινόμενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα : ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσματος) Αν στο R το όριο της είναι: α R α R - - και το όριο της g είναι: - - - τότε το όριο της g είναι: - - ; ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 7

ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γινομένου) Αν στο R, το όριο της είναι: α> α< α> α< + + - - και το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Σχόλιο Οι παρακάτω μορφές λέγονται απροσδιόριστες μορφές : ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) ( ),, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 8

7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 7 Να γράψετε τις ιδιότητες για το όριο στο άπειρο α) Για τον υπολογισμό του ορίου στο ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: ν lim και lim, ν * N lim ν, αν ν άρτιος -, αν ν περιττός και lim, ν * β) Για την πολυωνυμική συνάρτηση P(), με ισχύει: lim P() lim ( ) και lim P() lim ( ) γ) Για τη ρητή συνάρτηση (),, ισχύει: lim () lim και lim () lim δ) Για το όριο εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης ισχύει ότι Αν (Σχ 6), τότε lim, limlog, lim lim log 6 =a =log a O Αν (Σχ 6), τότε =a 6 lim, lim limlog, lim log O =log a ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 9

Σχόλια Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο, πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (, ) Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (, ) Για τα όρια στο, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την προϋπόθεση ότι: οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή 8 Να δώσετε τον ορισμό της ακολουθίας Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση : * 9 Τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια ακολουθία ( ) έχει όριο το l ; Θα λέμε ότι η ακολουθία ( α ν ) έχει όριο το l και θα γράφουμε lim α, όταν για κάθε ε *, υπάρχει τέτοιο, ώστε για κάθε ν ν να ισχύει ε N α ν ν ν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; o ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5) Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν lim () ( ) Σχόλια : α) Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: i) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ii) Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, ( ), στο σημείο β) Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, συνεχής συνάρτηση γ) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε R ισχύει lim P() P( ) Κάθε ρητή συνάρτηση P Q είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P() P( ) lim Q() Q( ) Οι συναρτήσεις ( ) ημ και ( ) συν g είναι συνεχείς, αφού για κάθε R ισχύει lim ημ ημ και lim συν συν Οι συναρτήσεις ( ) α και g( ) log, α είναι συνεχείς α Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις : i g, ii c, όπου c R, iii g, iv, v και vi με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα g διάστημα που περιέχει το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

Σχόλιο :Τα αντίστροφα των i, iii, iv, v, και ii, για c, δεν ισχύουν Δηλαδή, μπορεί οι συναρτήσεις : g, g, g,, να είναι συνεχείς στο και οι, g να μην είναι συνεχείς στο,, Για παράδειγμα : ( ) και g ( ),, και g δεν είναι συνεχείς στο, όμως οι συναρτήσεις : ( g)( ),, ( g)( ),, Προφανώς οι συναρτήσεις () g, ( ),,, ( ), είναι συνεχείς στο Παρατηρήσεις : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε καθένα από τα ξένα διαστήματα (, ) και (, ), τότε η είναι συνεχής στο σύνολο (, ) (, ) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, δεν είναι υποχρεωτικά συνεχής και σε μια περιοχή του Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο ( ), τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 3 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( και, ) πότε στο κλειστό διάστημα [, ] ( ΟΜΟΓ, 8,, ΕΣΠ, 7) Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( αβ, ), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, ) Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, ) και επιπλέον : lim () ( ) και lim () ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

Σχόλιο Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (, ], [, ) 4 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano (3 ΟΜΟΓ, 4 ΕΣΠ Β ) Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει ( ) ( ), τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε ( ) Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης () στο ανοικτό διάστημα (, ) Σχόλια : Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Παρατηρήσεις : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και ισχύει ( ) ( ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [, ] τέτοιο, ώστε ( ) Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano, δεν ισχύει πάντα Δηλαδή, υπάρχει συνάρτηση : [, ] που έχει ρίζα στο (α,β) αλλά δεν είναι συνεχής στο [α,β] ή δεν ισχύει ( ) ( ) Αν δεν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, δεν έχουμε ως συμπέρασμα ότι η δεν έχει ρίζα στο (α,β) 5 Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [ α, β] Επειδή τα σημεία A ( α, ( α)) και B ( β, ( β)) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο (β) 64 B(β,(β)) O a β (a) Α(α,(α)) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 3

6 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του ενδιαμέσων τιμών Διατύπωση : Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και ( ) ( ) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των ( ) και ( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (, ) τέτοιος, ώστε ( ) Απόδειξη : ( ΟΜΟΓ, 5, ΕΣΠ Β, 3 ΕΣΠ, 5) Ας υποθέσουμε ότι ( ) ( ) Τότε θα ισχύει ( ) ( ) (Σχ 67) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() (), [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g( )g( ), Αφού g( ) ( ) και g( ) ( ) Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) ( ), οπότε ( ) (β) η (a) Α(α,(α)) 67 B(β,(β)) =η O a β Γεωμετρική ερμηνεία Αν η είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και τα σημεία (, ( )) και (, ( )) βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας (, ) με τετμημένη (, ) Σχόλια :, τότε η C τέμνει την ευθεία σε ένα τουλάχιστον σημείο α) Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές β) Η εικόνα ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα 7 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν, [, ] τέτοια, ώστε, αν m ( ) και M ( ) m ( ) M, για κάθε [ αβ, ] Σχόλιο :, να ισχύει ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημα [ mm, ], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( ) ημ, [, π] έχει σύνολο τιμών το [, ], αφού είναι συνεχής στο [, π ] με m και M O π/ π 3π/ π 7 Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (, ) (Σχ 7α), όπου lim ( ) και lim ( ) Αν, όμως, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (, ) (Σχ 7β) Για παράδειγμα, Το σύνολο τιμών της ( ) ln, (, e), η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ 7), είναι το διάστημα (,), αφού lim ( ) και lim ( ) e 7 73 O e O Το σύνολο τιμών της ( ), (,), η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση, (Σχ 73) είναι το διάστημα (, ), αφού lim ( ) και lim ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 5

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ - 8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ) Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α,Β αντίστοιχα, τότε η g ορίζεται αν () ) Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη 3)Μία συνάρτηση : Α ΙR είναι συνάρτηση,αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν =, τότε ( ) = ( ) 4) Αν, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες 5) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία = που διχοτομεί τις γωνίες O και O 6) Μία συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, µε < ισχύει: ( ) < ( ) 7) Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 8) Αν για δύο συναρτήσεις, g ορίζονται οι og και go, τότε είναι υποχρεωτικά og go 9) Μία συνάρτηση : Α ΙR λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) ) Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ο A (ολικό) ελάχιστο, το ( ο ), όταν : () < ( ο ) για κάθε A ) Μια συνάρτηση : Α IR είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση () = έχει ακριβώς μία λύση ως προς ) Μια συνάρτηση είναι -, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον ) τέμνει τη γραφική παράστασή της το πολύ σε ένα σημείο 3) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της 4) Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h g, τότε ορίζεται και η h g ισχύει h g = h g 5) Αν μια συνάρτηση :A IR είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση ( ()), A και ( ( )), (A) ισχύει: 6) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 6 και

7) Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, όταν () ( ) για κάθε A 8) Η συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο 9) Αν ορίζονται οι συναρτήσεις og και go, τότε πάντοτε ισχύει og = go ) Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης ) Για κάθε συνάρτηση η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα ) Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) 3) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία = που διχοτομεί τις γωνίες O και O 4) Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο το ( ), όταν () ( ) για κάθε A 5) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και στο διάστημα αυτό 6) Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση () = έχει ακριβώς μία λύση ως προς 7) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της 8) Αν μια συνάρτηση είναι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τεταγμένη 9) Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(go), τότε ορίζεται και η (hog)o και ισχύει : ho(go) = (hog)o 3) Αν η συνάρτηση : A R είναι τότε ισχύει : ( ()), A 3) Αν η είναι - και το σημείο Μ (α, β) ανήκει στην γραφική παράσταση C της, τότε το M'(β, α) θα ανήκει στην γραφική παράσταση C' της και αντιστρόφως ΟΡΙΑ 3) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο και lim () τότε lim () 33) Αν lim () τότε () > κοντά στο 34) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο o, τότε ισχύει: lim o ( ) g( ) lim ( ) lim g( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 7 o o

35) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο o, τότε ισχύει: lim o ( ) g( ) lim ( ) lim g( ) o 36) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο, τότε ισχύει : lim () g() ( lim, εφόσον lim g() lim g ( ) ) o 37) lim () l, αν και μόνο αν lim () lim () l 38) Αν υπάρχει το όριο της στο, τότε lim k () k lim (), εφόσον () κοντά στο, µε k ΙΝ και k 39) Αν υπάρχει το lim() g() τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα lim() και limg() 4) Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο ο και ισχύει () g () κοντά στο ο, τότε : 4) Αν, τότε ισχύει lim lim () > lim g() 4) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο ΙR, τότε: lim k () k lim () σταθερά k ΙR 43) Αν υπάρχει το lim () τότε () κοντά στο o o για κάθε 44) Έστω πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και Δ Έστω επίσης () για κάθε Δ Αν lim () τότε lim () 45) Αν α > τότε lim 46) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο R και lim (), τότε ()< κοντά στο 47) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής (α, ) (, β) και ένας πραγματικός αριθμός Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim () lim( () ) 48) Ισχύει : lim 49) Αν lim () και () < κοντά στο o τότε 5) Ισχύει : lim 5) Αν lim (), τότε () < κοντά στο lim () 5) Αν lim () ή, τότε lim () 53) Αν lim () τότε () < κοντά στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 8

54) Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο o, και ισχύει () g() κοντά στο o, τότε ισχύει: lim () lim g() 55) Ισχύει ότι: lim 56) Αν lim () και ()> κοντά στο, τότε lim 57) Αν είναι lim (), τότε () < κοντά στο 58) Αν είναι < α < τότε lim 59) Αν είναι lim (), τότε () < κοντά στο () 6) Για την πολυωνυμική συνάρτηση P()=α ν ν +α ν- ν- + α + α με α ν ισχύει: lim P() 6) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων : και g :, αν lim ( ) και, τότε lim ( ) g( ) lim g( ) 6) Ισχύει ότι: για κάθε R 63) Ισχύει ότι: lim 64) Αν lim (), τότε lim () 65) Αν είναι lim () τότε lim () 66) Αν lim () τότε lim () ή lim () ΣΥΝΕΧΕΙΑ 67) Αν η συνάρτηση είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β], τότε η παίρνει πάντοτε στο [α,β] μία μέγιστη τιμή 68) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και υπάρχει (α, β) τέτοιο ώστε ( )=, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει (α)(β) 69) Αν είναι συνεχής στο [α, β] με (α)< και υπάρχει ξ (α,β) ώστε (ξ)=, τότε κατ ανάγκη (β)> 7) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ 7) H εικόνα (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα 7) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 73) Η εικόνα (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 9

74) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β) όπου Α= lim () και Β= lim () 75) Aν είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m 76) Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 77) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β), όπου A lim () και lim ( ) 78) Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της 79) Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 8) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 3

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ & ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΒΑΣΙΜΕΝΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΜΑ Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Αν ( ) g( ) για κάθε τότε ( ) για κάθε ή g ( ) για κάθε» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιο σας το γράμμα Α, αν είναι Αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι Ψευδής (Μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (Μονάδες 3) α Ψ β Έστω οι συναρτήσεις ( ), και g( ), Έχουμε λοιπόν ότι : ( ) g( ) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι παραπάνω συναρτήσεις και οπτικοποιείται το αποτέλεσμα : Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Αν, g δυο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως και ορίζονται οι o g και g o τότε υποχρεωτικά ισχύει g o o g» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιο σας το γράμμα Α, αν είναι Αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι Ψευδής (Μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (Μονάδες 3) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 3

α Ψ β Έστω οι συναρτήσεις ( ) ln και g( ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το D (, ), ενώ η g το D [, ) Για να ορίζεται η παράσταση ( g o )( ) g( ( )) πρέπει : D και ( ) Dg ή, ισοδύναμα,, δηλαδή πρέπει Επομένως, ορίζεται η ( ) ln g o και είναι : ( go )( ) g( ( )) g(ln ) ln, [, ) Dg o Για να ορίζεται η παράσταση ( o g)( ) ( g( )) πρέπει : Dg και g( ) D ή, ισοδύναμα,, δηλαδή πρέπει Επομένως, ορίζεται η g( ) o g και είναι : ( og)( ) ( g( )) ( ) ln, (, ) Τελικά παρατηρούμε ότι go og D o g g 3 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Έστω, g, h τρεις συναρτήσεις Αν ορίζεται η h o ( g o ), τότε υποχρεωτικά ισχύει h o ( g o ) ( g o ) o h» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιο σας το γράμμα Α, αν είναι Αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι Ψευδής (Μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (Μονάδες 3) α Ψ β Είναι ψευδής καθώς στην σύνθεση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα όπως εξηγήθηκε στο αλλά η προσεταιριστική ιδιότητα h o ( g o ) ( h o g) o 4 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : (Πανελλήνιες 8) «Αν είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο Α και - τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Α» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιο σας το γράμμα Α, αν είναι Αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι Ψευδής (Μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (Μονάδες 3) α Ψ β Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για, παράδειγμα η συνάρτηση g ( ) της οποίας η γραφική παράσταση, δίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ (4, 9) Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το () ( ) lim παράγωγος της στο και συμβολίζεται με ( ) Δηλαδή: Σχόλια : και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται () ( ) ( ) lim α) Αν, τώρα, στην ισότητα ( h) ( ) ( ) lim h h () ( ) ( ) lim θέσουμε h, τότε έχουμε Πολλές φορές το h συμβολίζεται με Δ, ενώ το συμβολίζεται με Δ ), οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: ( h) ( ) Δ) ( ) ( Δ ( ) ( ) lim Δ Δ ( Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στο με d ( ) d Ο συμβολισμός ) είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrange ( d ( ) ή d β) Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια : () ( ) lim, () ( ) lim και είναι ίσα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 33

9 Α) Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της A(,( )) Β) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης o της C στο σημείο της A(,( )) () Α) Έστω μια συνάρτηση και A(,( )) ένα σημείο της C Αν υπάρχει το είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Β) Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο σημείο της A(,( )) είναι: ( ) ( )( ) Σχόλια : Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της () ( ) lim και C στο σημείο της Α, την C μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, στο σημείο A (, ( )) είναι η παράγωγος της στο Δηλαδή, είναι λ ( ), οπότε η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε είναι : ( ) ( )( ) Την κλίση ( ) της εφαπτομένης ε στο A (, ( )) θα τη λέμε και κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης S(t) τη χρονική στιγμή t Δηλαδή, είναι υ( t ) S( t ) 3 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό (, 3, 7 Β, 3 Β, 7 Σ-Λ με εξήγηση) Απόδειξη : () ( ) Για έχουμε () ( ) ( ), οπότε θα είναι : () ( ) () ( ) lim [() ( )] lim ( ) lim lim ( ) ( ), αφού η είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, lim () ( ), δηλαδή η είναι συνεχής στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 34 Σχόλιο : Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση ( ) Η είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ ( ) () ( ) () αυτό, αφού : lim lim, ενώ lim lim (Πανελλήνιες 7)

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σ ένα σημείο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ αυτό Αν, όμως, η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε θα είναι και συνεχής στο, Ισχύει όμως ότι : Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 3 ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α) Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β) Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αβ, ) γ) Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ, ] ( Β, 3) δ) Τι ονομάζουμε πρώτη, δεύτερη και γενικά νιοστή παράγωγο μιας συνάρτησης ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Θα λέμε ότι: α) H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A β) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( αβ, ) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο (, ) γ) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και επιπλέον ισχύει: () ( ) lim R ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 35 και () ( ) lim R δ) Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και τo σύνολο των σημείων του στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε στο (), ορίζουμε τη συνάρτηση : A R ( ), η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της H πρώτη παράγωγος d της συμβολίζεται και με που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι Για πρακτικούς λόγους την d παράγωγο συνάρτηση () θα τη συμβολίζουμε και με ( ( ) ) Αν υποθέσουμε ότι το είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται με Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της, με ν 3, και συμβολίζεται με ν) ( ν) [ ], ν 3 ( ( ) Δηλαδή

Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης, με βάση τον ορισμό που δώσαμε, δεν είναι πάντα εύκολη Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισης συναρτήσεων, που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων (αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά) Παρατήρηση : Ισχύει : Επίσης : ( h) ( ) ( ) lim h h ( u) ( ) ( ) lim και u u ( h) ( ) και ( ) lim h h ( u) ( ) ( ) lim [ h u] u u 3 Να αποδείξετε ότι : α) Αν () c, τότε () β) Αν (), τότε () γ) Αν (), με N {,}, τότε () δ) Αν (), τότε (), (5 Β ) Απόδειξη : () ( ) cc α) Για ισχύει: Επομένως, () ( ) lim, δηλαδή (c) () ( ) β) Για ισχύει ότι : Επομένως, () ( ) lim lim, δηλαδή () γ) Αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: () ( ) ( )( ) () ( ) Επομένως : lim lim ( ),,δηλαδή ( ) δ) Αν είναι ένα σημείο του (, ), τότε για ισχύει: ( ) ( ), δηλαδή () ( ) () ( ) lim lim, οπότε : Παρατήρηση : η () έχει πεδίο ορισμού το [, ), όμως : lim lim lim, άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο ( ) () Σχόλια Τύποι : Έστω συνάρτηση () ημ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει () συν, δηλαδή (ημ) συν Έστω η συνάρτηση () συν Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει () ημ, δηλαδή (συν) ημ Έστω η συνάρτηση δηλαδή (e ) e () e Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει () e ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 36,

Έστω η συνάρτηση () ln Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ισχύει (), δηλαδή (ln) 3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 33 ΘΕΩΡΗΜΑ (Παράγωγος αθροίσματος) Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( g) ( ) ( ) g ( ) Απόδειξη : ( g)() ( g)( ) () g() ( ) g( ) () ( ) g() g( ) Για, ισχύει: Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: ( g)() ( g)( ) () ( ) g() g( ) lim lim lim ( ) g ( ), ( g) ( ) ( ) g ( ) Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις δηλαδή, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει: ( g) ( ) ( ) g( ) Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Δηλαδή, αν,,, k, είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε : ( ) k ( ) ( ) ( ) k ( ) Για παράδειγμα, (ημ e 3) (ημ) ( ) ( e ) (3) συν e 34 ΘΕΩΡΗΜΑ (Παράγωγος γινομένου) Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση gείναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( g) ( ) ( )g( ) ( )g ( ) Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει: ( g) ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) Για παράδειγμα, ( e ln ) ( e ) ln e (ln ) e ln e, Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει: ( ( ) g( ) h( )) [( ( ) g( ) ) h( ) ] ( ( ) g( ) ) h( ) ( ( ) g( ) ) h( ) Για παράδειγμα : [ ( ) g( ) ( ) g( )] h( ) ( ) g( ) h( ) ( ) g( ) h( ) ( ) g( ) h( ) ( ) g( ) h( ) ( ημ ln ) ( ) ημ ln (ημ) ln ημ (ln ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 37

ημ ln συν ln ημ, Αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και c R, επειδή (c), σύμφωνα με το θεώρημα () έχουμε: (c()) c () Για παράδειγμα : 35 ΘΕΩΡΗΜΑ (Παράγωγος πηλίκου) 3 3 ( 6 ) 6( ) 63 8 Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και g( ), τότε και η συνάρτηση g είναι ( )g( ) ( )g ( ) παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( ) g [g( )] Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε ισχύει g(), ( ) g( ) ( )g ( ) τότε για κάθε έχουμε: ( ) g [ g ( )] Έστω η συνάρτηση () (), δηλαδή Απόδειξη Πράγματι, για κάθε, ( ) * έχουμε : * N Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R* και ισχύει () ( ) ( ) ( ) Έστω η συνάρτηση () ισχύει (), δηλαδή (εφ) συν συν Απόδειξη: εφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R { συν } και Πράγματι, για κάθε R { συν } έχουμε: ημ (ημ) συν ημ(συν) συνσυν ημημ (εφ) συν συν συν συν ημ συν συν Έστω η συνάρτηση () (), δηλαδή (σφ) ημ ημ σφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R { ημ } και ισχύει ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 38

36 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g( ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( g) ( ) (g( )) g ( ) Σχόλια : Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η είναι παραγωγίσιμη στο g( ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ( ( g( ))) ( g( )) g( ) Δηλαδή, αν u g( ), τότε ( ( u)) ( u) u Με το συμβολισμό του Leibniz, αν (u) και d d du u g(), έχουμε τον τύπο που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας d du d 37 ΘΕΩΡΗΜΑ Να αποδείξετε ότι : α) Η συνάρτηση (), a Z είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει (), β) Η συνάρτηση (), είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει () γ) Η συνάρτηση () ln, R * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει Απόδειξη : ln (ln ) (8) α) Πράγματι, αν ln και θέσουμε u ln e, τότε έχουμε u e Επομένως, (e ) e u e u u ln β) Πράγματι, αν και θέσουμε u ln, τότε έχουμε ln e u e Επομένως, u u ln (e ) e u e ln ln γ) Πράγματι αν, τότε (ln ) (ln), ενώ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 39

αν, τότε ln ln( ), οπότε, αν θέσουμε ln( ) και u, έχουμε lnu Επομένως, (lnu) u ( ) και άρα (ln ) u 4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 38 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους ως προς το μέγεθος για, αν () είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, συνδέονται με τη σχέση (), όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ως προς το στο σημείο την παράγωγο ( ) Σχόλια : Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος v ( t ), της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος v ( t ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με ( t ) Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ) ( ( ( Στην οικονομία, το κόστος, η είσπραξη και το κέρδος εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος Έτσι, η παράγωγος ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 39 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE (7 Β, Β ) Να διατυπώσετε τι θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία Το θεώρημα του Rolle διατυπώνεται ως εξής : Αν μια συνάρτηση είναι: Μ(ξ,(ξ)) 8 συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] Α(α,(α)) Β(β,(β)) παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) και ( ) ( ) O α ξ ξ β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε ( ) Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο M(,( )) να είναι παράλληλη στον άξονα των 4 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (3, 8 Β, 3, 6) Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Το θεώρημα της μέσης τιμής διατυπώνεται ως εξής : Αν μια συνάρτηση είναι: M(ξ,(ξ)) Β(β,(β)) συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και A(a,(a)) παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) Ο a ξ ξ β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: Γεωμετρική Ερμηνεία : ( ) ( ) ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(, ( )) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 4 ΘΕΩΡΗΜΑ (4 Β, 9, 4) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η είναι συνεχής στο Δ και () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Απόδειξη : Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει ( ) ( ) Πράγματι Αν, τότε προφανώς ( ) ( ) Αν, τότε στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής ( ) ( ) Επομένως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) () Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ( ),οπότε, λόγω της (), είναι ( ) ( ) Αν, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι ( ) ( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι ( ) ( ) 4 ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συναρτήσεις,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι,g είναι συνεχείς στο Δ και () g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: () g() c Απόδειξη : Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει ( g) () () g () =g()+c Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση g είναι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει () g() c, οπότε () g() c =g() O Σχόλιο : Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμα του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

, Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση ( ) Παρατηρούμε ότι, αν και ( ) για, κάθε (,) (, ), εντούτοις η δεν είναι σταθερή στο (,) (, ) 43 ΕΦΑΡΜΟΓΗ (ΣΕΛ 5) Αν για μια συνάρτηση ισχύει ότι ( ) ( ) για κάθε R,τότε R μπορούμε να έχουμε τυχαίο διάστημα Δ () ce για κάθε R Αντί του 44 ΘΕΩΡΗΜΑ (, 6,, 7) Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ Αν () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Απόδειξη : Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι () Έστω, με δείξουμε ότι ( ) ( ) Πράγματι, στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ( ) ( ) ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ), οπότε έχουμε ( ) ( ) ( )( ) Επειδή ( ) και, έχουμε ( ) ( ), οπότε ( ) ( ) Στην περίπτωση που είναι () εργαζόμαστε αναλόγως Για παράδειγμα : ( ), [, ) είναι ( ) για κάθε (, ) και αφού η είναι συνεχής στο [, ), τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) Σχόλιο : Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή, αν η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ Για παράδειγμα, η συνάρτηση παράγωγο για κάθε Θα 3 ( ), αν και είναι γνησίως αύξουσα στο, εντούτοις έχει η οποία δεν είναι θετική σε όλο το, αφού ( ) ( ) 3 Ισχύει όμως ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 43