ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25

V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.2/25

Simulované dáta z minulej prednášky AR(p) proces - ACF rýchlo klesá (monotónne alebo oscilujúco), PACF sa po p hodnotách rovná nule tu je to v podstate naopak nebude to AR proces ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.3/25

Reálne dáta s podobnou ACF Ben Vogelvang: Econometrics. Theory and Applications with EViews. Pearson Education Limited, 2005. Chapter 14.7. - The Box-Jenkins Approach in Practice Mesačné dáta, január 1960 - september 2002 pcocoa t - cena kakaa, zlogaritmujeme a kvôli stacionarite budeme pracovat s diferenciami ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.4/25

Reálne dáta - pokračovanie Odhadnutá ACF: Logaritmy - ACF klesá vel mi pomaly typické pre dáta, ktoré treba zdiferencovat Diferencie logaritmov - jedna výrazne nenulová autokorelácia, ostatné skoro nulové ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.5/25

Príklad z prvej prednášky Nech u t je biely šum, definujeme Vypočítali sme: x t = u t + u t 1 E[x t ]=0, V ar[x t ]=2σ 2 { σ 2 pre τ=1 Cov[x t,x t+τ ]= 0 pre τ=2,3,... { 1/2 pre τ=1 Cor[x t,x t+τ ]= 0 pre τ=2,3,... ACF je nulová pre τ=2,3,... - presne tá vlastnost, ktorú potrebujeme ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.6/25

Zovšeobecnenie - MA(1) proces Nech u t je biely šum, potom x t = µ+u t βu t 1 sa nazýva moving average proces prvého rádu - MA(1) Woldova reprezentácia: x t = µ+ j=0 ψ ju t j MA(1) proces: ψ 0 =1,ψ 1 = β,ψ j =0pre j=2,3,... Momenty a ACF: E[x t ]=µ, V ar[x t ]=(1+β 2 )σ 2 { βσ 2 pre τ=1 Cov[x t,x t+τ ]= 0 pre τ=2,3,... { β Cor[x t,x t+τ ]= 1+β pre τ=1 2 0 pre τ=2,3,... ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.7/25

MA(1) proces - príklady 1. Nech u t je biely šum s rozdelením N(0,4), definujme x t = u t + 1 2 u t 1 Potom: E[x t ]=0, V ar[x t ]=(1+(1/2) 2 ) 4=5 Cor[x t,x t+τ ]= { 1/2 1+1/4 =2/5 pre τ=1 0 pre τ=2,3,... 2. Nech u t je biely šum s rozdelením N(0,1), definujme y t = u t +2u t 1 Potom: E[y t ]=0, V ar[y t ]=(1+4) 1=5 Cor[y t,y t+τ ]= { 2 1+4 =2/5 pre τ=1 0 pre τ=2,3,... Procesy x t a y t majú rovnakú ACF nedajú sa rozlíšit ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.8/25

MA(1) proces - zovšeobecnenie príkladu Majme MA(1) proces, t.j. ACF tvaru Cor[x t,x t+τ ]= { β 1+β 2 pre τ=1 0 pre τ=2,3,... Predpokladajme teraz, že máme danú hodnotu ρ 1 = ρ(1) a chceme z nej spätne určit koeficient β, t.j. ρ 1 = β 1+β 2 β=? 0.5 ρ 1 0 0.5 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 β ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.9/25

MA(1) proces - zovšeobecnenie príkladu Máme teda rovnicu: ρ 1 = 0.6 0.4 0.2 β 1+β 2 β 2 + 1 ρ 1 β+1=0 ρ 1 0 0.2 β 1 β 2 0.4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 β dve riešenia β 1, β 2, spĺňajú β 1 β 2 =1. Procesy x t = µ+u t βu t 1, majú rovnakú ACF x t = µ+u t 1 β u t 1 Ak chceme jednoznačnú parametrizáciu, potrebujeme dodat d alšiu podmienku. ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.10/25

Invertovatel nost procesu Budeme sa snažit zapísat proces v tvare AR( ): x t =ˆµ+u t + ψ 1 x t 1 + ψ 2 x t 2 + ψ 3 x t 3 +... - ak sa to dá spravit, proces sa nazýva invertovatel ný Pre MA(1) proces: x t = µ+(1 βl)u t (1 βl) 1 x t = (1 βl) 1 µ+u t (1 βl) 1 existuje pre β <1, vtedy (1+βL+β 2 L 2 +...)x t = µ/(1 β)+u t x t + βx t 1 + β 2 x t 2 +...=µ/(1 β)+u t ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.11/25

MA(1) - invertovatel nost procesu Dostali sme teda podmienku invertovatel nosti MA(1) procesu: β < 1 Iný zápis tejto podmienky: máme proces x t = µ+(1 βl)u t koreň polynómu1 βl je1/β podmienka invertovatel nosti teda hovorí, že koreň 1 βl=0musí byt v absolútnej hodnote väčší ako 1, teda mimo jednotkového kruhu ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.12/25

MA(1) - výpočet PACF Pripomeňme si všeobecný vzorec; 0 1 1 ρ(1)... ρ(1) ρ(1) 1... ρ(2) det B @...... C A ρ(k 1) ρ(k 2)... ρ(k) (1) Φ kk = 0 1 1 ρ(1)... ρ(k 1) ρ(1) 1... ρ(k 2) det B @...... C A ρ(k 1) ρ(k 2)... 1 Pre MA(1) proces je ρ(k)=0pre k=2,3,... ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.13/25

MA(1) - výpočet PACF PACF sa (na rozdiel od AR procesu) nevynuluje: Φ 11 = ρ(1) 0 Φ 22 = Φ 33 = Φ 4 =... det @ 0 det @ det det 0 B @ 0 B @ 1 ρ(1) ρ(1) ρ(2) 1 ρ(1) ρ(1) 1 1 A 1 A = 1 ρ(1) ρ(1) ρ(1) 1 ρ(2) ρ(2) ρ(1) ρ(3) 1 ρ(1) ρ(2) ρ(1) 1 ρ(1) ρ(2) ρ(1) 1 ρ(1) 4 (1 ρ(1) 2 ) 2 ρ(1) 2 0 det @ 0 det @ 1 C A 1 C A = 1 1 ρ(1) A ρ(1) 0 1= ρ(1)2 1 ρ(1) 1 ρ(1) 2 A ρ(1) 1 0 1 1 ρ(1) ρ(1) det B @ ρ(1) 1 0 C A 0 ρ(1) 0 0 1 1 ρ(1) 0 det B @ ρ(1) 1 ρ(1) C A 0 ρ(1) 1 = ρ(1)3 1 2ρ(1) ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.14/25

Reálne dáta - ceny kakaa Dáta zo začiatku prednášky MA(1) model pre diferencie logaritmov cien: ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.15/25

Reálne dáta - ceny kakaa Invertovatel nost : ACF rezíduí: ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.16/25

VI. Moving average proces q-teho rádu - MA(q) ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.17/25

MA(q) proces - definícia a vlastnosti Nech u t je biely šum, potom x t = µ+u t β 1 u t 1 β 2 u t 2... β q u t q sa nazýva moving average proces q-teho rádu - MA(q) Woldova reprezentácia: x t = µ+ j=0 ψ ju t j MA(q) proces: ψ 0 =1,ψ 1 = β 1,...ψ q = β q,ψ j =0 pre j > q MA(q) proces je vždy stacionárny Momenty, ACF, PACF: E[x t ]=µ, V ar[x t ]=(1+β 2 1+...β 2 q)σ 2 Cov[x t,x t+τ ]=0 pre τ= q+1,q+2,... Cor[x t,x t+τ ]=0 pre τ= q+1,q+2,... ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.18/25

MA(q) proces - definícia a vlastnosti Výpočet prvých q autokorelácií (môžeme uvažovat µ=0): Cov[x t,x t+τ ] = E[(u t β 1 u t 1... β q u t q ) (u t+τ β 1 u t+τ 1... β q u t+τ q )] = E[u t (u t+τ β 1 u t+τ 1... β q u t+τ q )] β 1 E[u t 1 (u t+τ β 1 u t+τ 1... β q u t+τ q )]... β q E[u t q (u t+τ β 1 u t+τ 1... β q u t+τ q )] ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.19/25

MA(q) proces - definícia a vlastnosti Výpočet prvých q autokorelácií - pokračovanie: τ=1 γ(1)=( β 1 + β 1 β 2 +...+β q 1 β q )σ 2 τ=2 γ(2)=( β 2 + β 1 β 3 +...+β q 2 β q )σ 2... τ= q γ(q)=( β q )σ 2 PACF - dosadením vypočítaných autokorelácií do všeobecného vzorca (1) ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.20/25

MA(q) proces - definícia a vlastnosti Invertovatel nost : x t = µ+u t β 1 u t 1 β 2 u t 2... β q u t q x t = µ+(1 β 1 L... β q L q )u t Existencia inverzného operátora (1 β 1 L... β q L q ) 1 - korene polynómu 1 β 1 L... β q L q =0musia byt mimo jednotkového kruhu ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.21/25

Cvičenie : simulované dáta Výberová ACF a PACF z dát: PACF nie je po nejakom počte členov nulová nebude to AR proces ACF má prvé dve hodnoty výraznejšie, ostatné skoro nulové skúsime odhadnút MA(2) proces ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.22/25

Cvičenie : simulované dáta Odhadnutý MA(2) proces: ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.23/25

Cvičenie : simulované dáta Stacionarita - MA proces je vždy stacionárny Invertovatel nost - je invertovatel ný: ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.24/25

Cvičenie : simulované dáta ACF rezíduí, Q štatistika - v poriadku: ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.25/25