Matematická analýza pre fyzikov IV.
|
|
- Χρύσηίς Αγγελίδου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 119
2 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica u t + b i u xi = 0 i=1 n Liovulleova rovnica u t + (b i u) xi = 0 i=1 Rovnica vedenia tepla (difúzie) u t u=0 Schrödingerova rovnica iu t + u=0 n n Kolmogorova rovnica u t + a i j u xi x j + b i u xi = 0 Fokkerova Planckova u t + Vlnová rovnica u tt u=0 i, j=1 i=1 n ( a i j u ) n ( + b i u ) = 0 xixj xi i, j=1 Telegrafná rovnica u tt + d u t u xx = 0 Airyho ronvnica u t + u xxx = 0 Nelineárna Poissonova rovnica u = f (u) ( ) u Rovnica minimálnej plochy div = 0 Burgerova rovnica u t + uu x = 0 1+ u 2 i=1 Maxwellove rovnice E t = rot B, B t = rot E, div B=div E=0 120
3 8.2. Transportná rovnica Je to jedna z najjednoduchších rovníc. Jednorozmerný model popisuje napríklad unášanie nečistoty v trubici s prúdiacou tekutinou, kde u predstavuje koncentráciu unášanej nečistoty a parameter b konštantnú rýchlost tekutiny. Predpokladajme preto, že koeficienty b sú konštantné. Vo všeobecnosti majme teda rovnicu u t + b u=0, nar n (0, ), (8.1) kde b R n a u C 1 (R n [0, ),R) je neznáma funkcia. Rovnica nám vlastne dáva informáciu, že konkrétna smerová derivácia funkcie u je nulová. Túto informáciu využijeme a definujeme funkciu z(s) := u(x+ sb, t+ s), s R pre fixný bod (x, t) R n (0, ). Potom platí ż(s)= u(x+ sb, t+ s)+u t (x+ sb, t+ s)=0. Teda z je konštantná funkcia premennej s a tým pádom pre každý bod (x, t) je u konštantná na priamke prechádzajúcej týmto bodom v smere (b, 1). Zrejme nám stačí vediet hodnotu u v jednom bode. Majme teraz Cauchyho úlohu u t + b u=0, nar n (0, ), u=g, naγ :=R n {0}. Priamka prechádzajúca bodom (x, t) v smere (b, 1) je daná (x + sb, t + s), s R. Pre t = s sa dotkne plochyγvbode (x tb, 0). Tam platí u(x tb, 0)=g(x tb). Z toho usudzujeme, že u(x, t)=g(x tb) nar n [0, ) a aj to, že g C 1. Poznámka Ak by g C 1, zrejme ani riešenie nebude hladké. V takomto prípade je možné hovorit o slabých riešeniach, ktoré sú hladké s.v. a takisto rovnica je splnená s.v. na danej množine. 121
4 Matematická analýza pre Platí V prípade nehomogénneho problému môžeme postupovat obdobne. Tým pádom u t + b u= f, nar n (0, ), u=g, naγ :=R n {0}. ż(s)= u(x+ sb, t+ s)+u t (x+ sb, t+ s)= f (x+ sb, t+ s). u(x, t) g(x tb)=z(0) z( t)= 0 ż(s) ds= t t 0 f (x+(s t)b, s) ds, takže u(x, t)=g(x tb)+ t je riešením nehomogénnej Cauchyho úlohy. 0 f (x+(s t)b, s) ds, R n [0, ) 8.3. Riešenie metódou charakteristík Uvedieme si zovšeobecnenie metódy riešenia z predchádzajúcej úlohy. Predpokladajme najprv lineárnu homogénnu PDR prvého rádu dvoch nezávislých premenných s konštantnými koeficientami. Majme teda rovnicu v tvare a u x + b u y = 0, (8.2) kde a 2 + b 2 > 0. Geometrická interpretácia: rovnica sa dá zapísat v tvare v, u =0 a teda derivácia funkcie u v smere v je nulová. Funkcia u sa nemení v tomto smere, tj. je konštantná na každej priamke, ktorej smerový vektor je v (pozor konštanta môže byt na týchto priamkach rôzna). Platí teda u(x, y)= f (c)= f (bx ay), kde f C 1. Tieto priamky tvoria tzv. charakteristiky rovnice. Tento tvar je všeobecným (aj generickým) riešením danej rovnice, ide o postupnú vlnu hýbajúcu sa pozdĺž charakeristík. Funckiu f si vyjadríme z počiatočnej, alebo okrajovej podmienky. Podobne postupujeme aj v prípade nekonštantných koeficientov. Rozdiel je v tom, 122
5 (a) Charakteristické priamky rovnice au x + bu y = 0, v= (a, b). (b) Charakteristiky rovnice u x + 2xy 2 u y = 0. Obr. 8.1: Príklady charakteristík. že charakteristiky nemusia byt vo všeobecnosti priamky, ale nejaké krivky. Majme rovnicu a(x, y) u + b(x, y) u x y = 0, (8.3) kde a(x, y) 2 +b(x, y) 2 > 0, (x, y) Ga a, b C(G). Máme zaručené, že iba jedna charakteristika prechádza každým bodom množiny G. Teraz je v=(a(x, y), b(x, y)) a charakteristiky sú dané rovnicou dx a(x, y) = dy b(x, y). Nech existuje (hlavný prvý integrál) riešenie a má tvar h(x, y)=c, c R, potom hl adaným riešením je funkcia u(x, y)=f(c)=f(h(x, y)), F C 1. Nevýhodou takejto metódy je, že ju nemôžeme použit k riešeniu všeobecnejších rovníc. Dá sa to však využit čiastočne. Majme rovnicu a u x + b u + c(x, y)u= f (x, y). (8.4) y Metóda charakteristických súradníc - zaved me súradniceξ=bx ay,τ=y, z toho máme u x = bũ ξ, u y = aũ ξ + ũ τ. 123
6 Potom dostaneme rovnicu bũ τ + c(ξ,τ)ũ= f (ξ,τ), na ktorú sa môžeme pozerat ako na ODR s parametrom a riešit ju štandardnými metódami. Obdobne môžeme postupovat pre nekonštantné koeficienty: a(x, y) u + b(x, y) u+ c(x, y)u= f (x, y), (8.5) x y pričom zavedieme súradniceξ=h(x, y),τ=y (h je prvý integrál). Platí totiž, že a(x, y)h x + b(x, y)h y = 0 v l uvovol nom bode (x, y). Odtial máme ODR s parametrom b(ξ,τ)ũ τ + c(ξ,τ)ũ= f (ξ,τ). Príklad Rovnica u x + yu y = ye y má všeobecné riešenie u(x, y)=e y + g(ye x ), kde g C 1. Uvažujme teraz 3 podienky: u(0, y)=sin y g(y)=sin y e y - práve jedno riešenie u(x, 0)=sin(x) sin(x)=u(x, 0)=1+g(0) - žiadne riešenie u(x, 0)=10 10=u(x, 0)=1+g(0) - nekonečne vel a riešení (g C 1 : g(0)= 9) Všimnime si, že v prvom prípade bola podmienka zadaná na osi y, ktorá pretína všetky charakteristiky rovnice práve raz a pod nenulovým uhlom. V d alších dvoch prípadoch bola podmienka daná na osi x, ktorá je priamo jednou z charakteristík! 124
7 Veta (Lokálna o existencii). Nech v rovnici (8.5) sú a, b, c, f C 1 (G), kde G R 2 je oblast. Nech aj okrajová podmienka u=u 0 C 1 je zadaná na regulárnej krivkeγ : (x 0 (s), y 0 (s)), s I. Potom ak je splnená podmienka b(x 0 (s), y 0 (s)) dx 0 ds a(x 0(s), y 0 (s)) dy 0 ds 0, s I, tak existuje jediné riešenie danej rovnice na okolí krivkyγ, ktorá spĺňa u 0 (s) = u(x 0 (s), y 0 (s)). Poznámka Daná podmienka len hovorí, že vektor (a, b) nie je dotykovým vektorom krivkyγv žiadnom z bodov (x 0, y 0 ), tj. krivkaγpretína charakteristiky transverzálne Rovnica vedenia tepla Budeme študovat rovnicu u t u= f, na U (0, ), (8.6) s príslusnými počiatočnými a okrajovými podmienkami, kde u : U [0 ) R je neznáma funkcia. Fyzikálne popisuje stav ( vývoj ) hustoty u v čase nejakej kvantitatívnej veličiny (teplo, chemická koncentrácia, atd.). Štandardne platí, že zmena celkovej vel kosti veličiny v oblasti V U (v čase t) je rovná zápornej hodnote toku (s hustotou F) cez hranicu V, tj. d dt V u dx= F n ds. V Z toho máme u t = div F, kde V bola l ubovol ná. Častokrát je F priamoúmerná gradientu u, tj. F= a u, a>0. Pre a=1 máme štandardný tvar tejto rovnice. Táto rovnica sa objavuje aj 125
8 pri štúdovaní Brownovho pohybu. Nájdeme fundamentálne riešenie. Z tvaru rovnice (rádu derivácii podl a časovej a priestorových premenných) dostaneme invariatnost pri škálovaní. Teda ak u rieši rovnicu, tak aj u(λx,λ 2 t). To ( indikuje ) fakt, že podiel x je dôležitý a zrejme je možné x t hl adat riešenie v tvare u(x, t)=v. V podstate je to špeciálny prípad sebapodobných t tvarov riešení u(x, t)= 1 ( x ) t v. α t β Dosadením tohto výrazu do (8.6) dostaneme αt (α+1) v+βt (α+1) x v+t (α+2β) v=0, pričom volímeβ= 1. Ak navyše predpokladáme, že riešenie je radiálne symetrické v(x)= 2 w( x )=w(r), tak dostaneme rovnicu αw+ ( ) 1 n 1 r+ w + w = 0. (8.7) 2 r Ďalšou vol bou parametraα= n 2 dostaneme rovnicu, ktorá má po redukcii tvare r n 1 w rn w=konšt., (8.8) pričom navyše predpokladáme, že lim w= lim w = 0. Z toho máme riešenie v tvare w=be r2 r r To nás privádza k nasledujúcej definícii. Definícia Funkcia 1 e x 2 4t, x R n, t>0 Φ(x, t)= (4πt) n 2 0, x R n, t<0, nazývame fundamentálne riešenie rovnice vedenia tepla. 4. Poznámka Všimnime si, žeφmá singularitu v bode (0, 0). Konštanta b je volená z normalizácie R n Φ(x, t) dx=1. 126
9 V prípade Cauchyho úlohy u t u=0, nar n (0, ), u=g, naγ :=R n {0}. (8.9) je jasné, že pre fixné y ajφ(x y, t) je riešením rovnice vedenia tepla (okrem bodu (0, 0)). Potom však riešenie v tvare konvolúcie je riešením (8.10). Dostávame tak vetu: Veta Nech g C(R n ) L (R n ) a u je dané u(x, t)= R n Φ(x y, t) g(y) dy. Potom (I) u C (R n (0, )), (II) u t u=0, na R n (0, ), (III) lim u(x, t)=g(x 0 ), x 0 R n. (x,t) (x 0,0), t>0 Poznámka Všimnime si, že ak g C b, nezáporná a g 0, potom riešenie u je kladné nar n (0, ). Teda teplota je vždy a všade nenulová (môže nadobúdat malé hodnoty), ak počiatočný impulz je nezáporný a niekde kladný. V prípade nehomogénnej Cauchyho úlohy u t u= f, nar n (0, ), u=0, na Γ :=R n {0}. (8.10) použijeme Duhamelov princíp. Už vieme, že problém u t ( ; s) u( ; s)=0, na R n (s, ), u( ; s)= f ( ; s), naγ :=R n {s}. (8.11) má riešenie v tvare u(x, t; s) := Φ(x y, t s) f (y, s) dy. Uvažujme riešenie nehomogénneho R n problému v tvare u(x, t)= t 0 u(x, t; s) ds= t 0 R n Φ(x y, t s) f (y, s) dy ds, R n [0, ). 127
10 Dostávame tak vetu: Veta Nech u je dané u(x, t)= t (I) u C 2,1 (R n (0, )), 0 R n Φ(x y, t s) f (y, s) dy ds. Potom (II) u t (x, t) u(x, t)= f (x, t), na R n (0, ), (III) lim u(x, t)=0, x 0 R n. (x,t) (x 0,0), t>0 Problém Ako by vyzeralo riešenie nehomogénneho problému s nenulovou počiatočnou podmienkou? 8.5. Laplaceova a Poissonova rovnica Budeme študovat rovnicu u= f, na U, (8.12) s príslusnými počiatočnými a okrajovými podmienkami, kde u : U R je neznáma funkcia. Metódou sebapodobných radiálne symetrických riešení dostaneme fundamentálne riešenie v prípade f= 0 (takéto funkcie sa nazývajú aj harmonické na U). Definícia Funkcia ln x Φ(x) :=, n=2, 2π 1, n 3, n(n 2)V(n) x n 2 definované pre x R n \{0}, kde V(n) je objem jednotkovej guli vr n, nazývame fundamentálne riešenie Laplaceovej rovnice. 128
11 Ak pravá strana nie je nulová, nájdeme riešenie opät v tvare konvolúcie, treba byt však opatrný kvôli sinugularite fundamentálneho riešenia. Dostávame tak vetu: Veta Nech u je dané u(x)= Φ(x y) f (y) dy. Potom R n (I) u C 2 (R n ), (II) u= f, nar n Vlnová rovnica Rovnica popisuje zjednodušený model kmitania struny, membrány či plastického telesa, pričom u udáva vychýlenie v nejakom smere a čase. u := u tt u= f, na U (0, ), (8.13) s príslusnými počiatočnými a okrajovými podmienkami, kde u : U [0, ) R je neznáma funkcia. Pozrime sa na d Alembertovo riešenie pre n=1. Máme teda Cauchyho úlohu u tt u xx = 0, nar (0, ), u=g, u t = h, naγ :=R {0}. (8.14) kde g, h sú dané funkcie. Všimnime si, že rovnica sa dá faktorizovat (reps. jej diferenciálny operátor) a má tvar ( t + )( x t ) u=0. ( x Ak si označíme v := t ) u, potom dostaneme homogénnu transportnú rovnicu pre v s x konštantnými koeficientami. Vieme teda, že v(x, t)=a(x t), pre a(x)=v(x, 0). Potom však 129
12 dostaneme rovnicu pre u: u t u x = a(x t), nar (0, ). (8.15) To je zasa nehomogénna transportná rovnica, ktorá implikuje riešenie v tvare u(x, t)= t 0 a(x+(t s) s) ds+b(x+t)= 1 2 x+t x t a(y) dy+b(x+t), kde b(x)=u(x, 0). Využívajúc počiatočných podmienok máme hned b(x)=g(x), x R a a(x)=v(x, 0)=u t (x, 0) u x (x, 0)=h(x) g (x), x R. Po dosadení dostaneme riešenie a nasledujúcu vetu. Veta Nech g C 2, h C 1 a u je dané Potom u(x, t)= 1 2 (I) u C 2 (R R + 0 ), (II) u tt u xx = 0, nar (0, ), (III) lim (x,t) (x 0,0), t>0 lim (x,t) (x 0,0), t>0 [ ] 1 x+t g(x+t) g(x t) + h(y) dy, (x, t) R R x t u(x, t)=g(x 0 ) u t (x, t)=h(x 0 ), x 0 R. Poznámka Riešenie má vlastne tvar u(x, t)=f(x+t)+g(x t), čo je dôsledoko faktorizácie. Je zrejmé, že ak g C k a h C k 1, tak u C k, ale nemôže byt hladšie. Takže na rozdiel od rovnice vedenia tepla, táto rovnica nezhladzuje počiatočné dáta. Pre dimenzie n = 2, 3 sa formuly riešení nazývajú Poissonova, resp. Kirchhoffova. Pre nehomogénny problém možno opät použit Duhamelov princíp. 130
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραM8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"
M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραElektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραS ohadom na popis vektorov a matíc napr. v kap. 5.1, majú normálne rovnice tvar
6. STREDNÁ ELIPSA CHÝ Na rozdiel od kaitoly 4.4 uebnice itterer L.: Vyrovnávací oet kde ú araetre eliy trednej chyby odvodené alikáciou zákona hroadenia tredných chýb v tejto kaitole odvodíe araetre trednej
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραNelineárne optimalizačné modely a metódy
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 8 Metódy transformujúce úlohu naviazaný extrém na úlohu na voľný extrém Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότερα(k 0 k) n 0 k k 0. Ktorý z týchto balíkov je v x priestore najužší? Aká bude x- závislost vlnovej funkcie, ak. (k + k0 ) n k 0 k 0
Výpočtové metódy vo fyzike: Príklady P. Markoš Katedra fyziky FEI STU Niekol ko vzorových príkladov k prednáške Výpočtové metódy vo fyzike, letný semester 007/008. PACS numbers: I. VLNOVÝ BALÍK Problém
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Prednáška 1 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραNumerické riešenie jednorozmerného Stefanovho problému na konečnej oblasti BAKALÁRSKA PRÁCA
Numerické riešenie jednorozmerného Stefanovho problému na konečnej oblasti BAKALÁRSKA PRÁCA Lukáš Papranec UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA APLIKOVANEJ
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότερα