Λ Υ Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 08 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ ΟΥ Επιμέλεια: Παναγιώτης Γιαννές ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 99 Α α Ο ισχυρισμός είναι ψευδής β Η συνάρτηση, 0 ( είναι - στο χωρίς όμως να είναι γνησίως μονότονη, 0 σε αυτό, αφού είναι γνησίως αύξουσα στο (,0] Α Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6 0, και γνησίως φθίνουσα στο Α α Λάθος β Λάθος γ Σωστό δ Σωστό ε Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο * ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη με (' ( ' 8 8 8 '( ' ' Ισχύει ότι 8 8 '( 0 0 8 και το πρόσημο της ' φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : - 0 8 '( (
Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα (, ] με '( 0 στο (,, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Αντίστοιχα η είναι γνησίως φθίνουσα στο [,0 και γνησίως αύξουσα στο (0, Η συνάρτηση παρουσιάζει στη θέση, τοπικό μέγιστο με τιμή ( Β Ισχύει ότι ( 8' ( 8 ' 5 ( 8 ''( 6 6 Παρατηρούμε ότι ''( 0 για κάθε (,0 και για κάθε (0, και επειδή είναι συνεχής στα αντίστοιχα διαστήματα τελικά είναι κοίλη σε αυτά και δεν έχει σημεία καμπής Β Αρχικά ψάχνουμε για κατακόρυφες ασύμπτωτες στο 0 lim ( 0 lim( και 0 lim ( 0 lim( 0 Άρα η ευθεία 0 αποτελεί κατακόρυφη ασύμπτωτης της C και όταν 0 και όταν 0 Στη συνέχεια ψάχνουμε για πλάγιες οριζόντιες ασύμπτωτες lim ( lim ( 0 και lim [ ( ] lim ( 0 οπότε η ευθεία y αποτελεί πλάγια ασύμπτωτη της C στο Όμοια δείχνουμε ότι η y αποτελεί πλάγια ασύμπτωτη της y C και στο Β - -
ΘΕΜΑ Γ Γ Η κάθε πλευρά του τετραγώνου είναι a οπότε το εμβαδό του είναι a E ( 6 Το σύρμα που μένει μετά την κατασκευή του τετραγώνου είναι μήκους 8 και φτιάχνει την περίμετρο του κύκλου Γνωρίζουμε ότι η περίμετρος του κύκλου είναι S R όπου R η ακτίνα του κύκλου Άρα ισχύει ότι 8 R 8 R και το εμβαδό του κύκλου θα ισούται με 8 (8 E( R ( Οπότε (8 (8 56 6 ( 6 56 E( E( E( 6 6 6 6 '( 6 6 με E '( 0 ( 6 και Γ Ισχύει ότι E E '( 0 ( 6 και E'( 0 0 8 Η E ( ελαχιστοποιείται όταν το E'( - + E ( Τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι 8 a ενώ η διάμετρος του κύκλου είναι 8 8 8 R Αρα ισχύει ότι a Γ Θα εργαστούμε βρίσκοντας το σύνολο τιμών της E ( και θα παρατηρήσουμε ότι το 5 βρίσκεται μέσα σε αυτό ως μοναδική τιμή κάποιου (0,8
Θα χρειαστούμε τα παρακάτω όρια : lim E ( 0 lim 0 ( 6 56 6 6, lim E ( 8 8 ( 6 56 lim 6 ενώ 6 E( Αν A (0, ] και A [,8 τότε αφού η Ε είναι συνεχής σε αυτά τα διαστήματα και γνησίως φθίνουσα στο A και γνησίως αύξουσα στο A θα ισχύει ότι : EA ( 6 6 [ E(, lim ( [, 0 και EA ( 6 [E, lim ( [, 8 Παρατηρούμε ότι το 5 E( A ενώ το 5 E( A οπότε υπάρχει αριθμός o A ώστε E ( 5 0 και είναι μοναδικός αφού η E είναι γνησίως φθίνουσα στο A ΘΕΜΑ Δ Δ Η συνάρτηση ( e a είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη με '( e a a a ( a' e και ''( e a a Οπότε ''( 0 e e a 0 a και ''( 0 a a e e a 0 a και όμοια ''( 0 a a ''( - + ( Η συνάρτηση παρουσιάζει στη θέση a σημείο καμπής διότι αλλάζει η κυρτότητά της εκατέρωθεν του σημείου και ορίζεται και εξίσωση εφαπτομένης της αφού υπάρχει το '( a C στο σημείο,
Δ Αρχικά θα προσπαθήσουμε να βρούμε δύο, με τέτοια ώστε '( '( 0 Αν A (, a] και A [ a, επειδή η ' είναι (ως παραγωγίσιμη συνεχής σε αυτά τα διαστήματα και στο A είναι γνησίως φθίνουσα (ως κοίλη ενώ στο A γνησίως αύξουσα (ως κυρτή, θα ισχύει ότι : '(A [ '( a, lim ( [ a, και '( A [ '( a, lim ( [ a, διότι a lim '( lim (e αφού lim ( και lim e a u lim e 0 u a Επίσης ισχύει ότι lim '( lim e ( διότι lim e a a e lim (( (Del a e lim 0 a e lim e u u και Επειδή a a a 0 άρα το 0 '( A και 0 '( A οπότε υπάρχουν A και A ώστε '( 0 και '( 0 Επίσης ισχύει ότι για επειδή η ' γνησίως φθίνουσα (ως κοίλη άρα '( '( '( 0 Αντίστοιχα για a ισχύει ότι '( '( '( 0 Για a επειδή η ' είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή θα ισχύει ότι '( '( '( 0 Αντίστοιχα για θα ισχύει ότι '( 0 a '( + - - + ( Η συνάρτηση παρουσιάζει στη θέση τοπικό μέγιστο και στη θέση τοπικό ελάχιστο Δ Η συνάρτηση διάστημα ( a, είναι γνησίως φθίνουσα άρα και - Οπότε ( ( αδύνατη αφού a και έτσι το ( a,
Δ Για a η ( e και η εφαπτομένη της C στο 0 έχει εξίσωση : y ( '( ( y Στο διάστημα [,] [, η είναι κυρτή οπότε θα ισχύει ότι ( Επιπλέον ισχύει ότι 0, για κάθε οπότε ( ( άρα ( ( 0 με την ισότητα να ισχύει μόνο για Άρα [ ( ( ] d 0 ( d > ( d ( Αν θέσουμε u τότε u και udu d Επιπλέον για το u 0 και για το u Αρα ( d [ (u ] u u du = 5 5 5 u u 0 0 Από τη σχέση ( θα ισχύει ότι ( d 5