Aalýza vlastostí fucií miery a waveletov v ortogoálom prípade Ozačeie: ϕ ( t), ψ ( t) - fucia miery a wavelet spĺňajúca relácie zmey rozlíšeia h ( ), g ( ) - zjedodušeé ozačeie oeficietov pre zmeu rozlíšeia mr( ) ( ) H ( ω), ( ω) gmr G - DTFT oeficietov ( ) h a g ( ) h,
dt aby MRA bola ompletá. Teorém : A platí ( t) 0 ϕ potom ( ) = h. Poz.: podmiea ( t) 0 Teorém : A celočíselé posuy ϕ ( t) sú avzájom ortoormále, t.j. ϕ ( t) ϕ( t ) dt = δ( ) potom h( ) h( ) =δ( ). Dôsledy: h = ( ) h( + ) = h ( ) = Teorém 3 : A ( t) ezávislé, potom ( ) > N ϕ má ompatú podporu a itervale 0,, dĺža sevecie ( ) h má ompatú podporu a 0 N h je N. N a ( t ), t.j. ( ) 0 ϕ dt je utá ϕ sú lieáre h = pre < 0 a pre
Vlastosti t ψ t ( ) Vlastosti ϕ, ( ) h ( ), g ( ) ϕ ( t) = ( ) = dt ϕ ( t) ϕ( t ) dt = δ( ) h( ) h( ) =δ( ) Vlastosti ( ) ω h H ( 0 ) = a = 0 platí h ( ) = ϕ ( t l) = ϕ( l) = h( ) = h( ) l l + H, ( ω) ( ω) + H( ω+ π) = H ( π) = 0 G Pozáma Teorém H Teorém ϕ ψ ( t) = 0 ( ) = 0 dt ( t ) ψ( t m) dt= 0 g g G ( 0 ) = 0 ( ) ± ( ) h( M ) = G ( ω) = H( ω + Mπ) M je epáre h( ) g( ) = 0 H ( ω) + G( ω) = Prehľad vlastostí pri ortoormálych WR a DWT
Aby mohli byť spleé podmiey pre h ( ), treba aby N, dĺža ( ) h bola pára. h() g() sa avzájom jedozače určujú. Potom... K daému ortogoálemu waveletu existuje jediá fucia miery (a aopa). ϕ t A ( ) h spĺňa uvedeé podmiey, sú zaručeé iba záladé vlastosti ( ) (itegrovateľosť, ortoormalitu,...) pričom ( t) ϕ môže mať extréme ereguláry, prípade fratálový charater. regularita waveletu a emu áležiacej fucie miery je rovaá (wavelet je ich oečá lieára ombiácia) Pri ávrhu ( ) h s dĺžou N, ostáva po spleí utých N/+ podmieo ešte N/- stupňov voľosti. Tieto môžeme využiť aby ϕ ( t), ψ ( t) resp. h ( ), g ( ) mali požadovaé vlastosti, ao apr. istú regularitu, aproximačé vlastosti... Poz.: utých N/+ podmieo je: a).podmiea: h( ) = vôli existecii ϕ ( t) ϕ : b) N/ podmieo vôli ortoormalite ( t) h( ) h( ) =δ( ) = 0,,..., N / Poz.: Nech H ( ω) + H( ω + π) =. Ozačme ( ω) H( ω) Polpásmový filter t.j. v Z rovie platí : P ( z) + P( z) = P =. Potom P je tzv.
H( ) + G( ) H( ) G( ) H( ) G( ).5 H( ) 0.5 Db44 Db 0 / a) b) 0 / DTFT dilatačých oeficietov a ich vlastosti: a) celová situácia pri Db(Haarov) wavelete b) vplyv rádu waveletu a frevečé vlastosti oeficietov miery pri systéme Daubechieovej waveletov
Kasádové algoritmy, geerovaie ( t) Ao vypočítať ϕ( t) a ( t) Vychádzajme z rovíc: ϕ a ψ ( t) vo frevečej a časovej oblasti. ψ a pozáme oeficiety pre zmeu miery? ϕ ( t) = h ( ) ϕ( t ) ψ ( t) = g ( ) ϕ( t ) = mr Tieto rovice môžeme riešiť iterače, pričom a postup bude overgovať pevému bodu, potom je pevý bod hľadaým riešeím. Iterácie sú defiovaé: = ( + ) ( ) ( + ) ( ) ϕ ( t) = h ( ) ϕ ( t ) ψ ( t) = h ( ) ψ ( t ) = mr mr = Uvedeý iteračý postup sa azýva aj asádový algoritmus. mr
Db Db 0.5 0.5 0 0-0.5 0 0.5.5.5 3-0.5 0 0.5.5.5 3 Db Db 0.5 0.5 0 0-0.5 0 0.5.5.5 3-0.5 0 0.5.5.5 3 Geerovaie fucie miery Db waveletu asádovým algoritmom v čase. Výpočet zobrazeý po,,4 a iteráciách. Počiatočý sigál bola "Box" fucia. Vpravo dole je zo zväčšeiy zrejmý fratálový charater. Porovajte s tvarmi bázových fucií priestorov V
Hľadajme teraz riešeie vo frevečej oblasti. Použitím Fourierovej trasformácie dostaeme: ( ) ( t) = h ( ) ϕ ( t ) ( + ) ϕ mr = ( ) Φ + ) mr ( ( ω) = H ( ω ) Φ ( ω ) riešeím tejto rovice pre dostávame Φ ( ) ( ω) = Φ (0) H ( ω ) = mr A táto limita existuje a je spojitá v = 0 ( ) ω potom Φ ( ω) = Φ (ω). Aalogicy: Ψ ( ω ) = G ( ω ) ( ω ) mr H mr = (0) Výsledo oboch prípadoch ezávisí od tvaru ( t) ϕ ale iba od hodoty ( ) ( ( 0) = ϕ ) ( t) dt= 0 > 0, torá je ivariatá vzhľadom a iterácie. Φ A
.5 Db.5 Db 0.5 0.5 0 0.5 Db. Db 0.8 0.5 0.4 0-0.4 0 400 800 00 600 000 Geerovaie fucie miery Db waveletu asádovým algoritmom vo frevecii. Zobrazeá iterácia =,,4$ (vždy iba prvá perióda) Výsledá fucia miery je vypočítaá pre =9 vzorovaím periódy a 048 vzorie a ásledou IDFT.
Mometové vlastosti -te momety ϕ ( t), ( t) m ψ sú defiovaé: ϕ ( ) = t ϕ( t)dt mψ ( ) = t ψ( t)dt disréte -te momety h ( ), ( ) = g sú defiovaé: µ ( ) h( ) µ ( ) g( ) h z disrétych mometov g = µ h, µ g môžeme vypočítať spojité momety pomocou: m ( ) = ( ) l l = ϕ µ h ( l) m ( l) ϕ m = l= 0 l ( ) ( l) m ( l) ψ µ g ϕ a začiatu výpočtu si treba uvedomiť, že ϕ( 0 ) = m.
Počet ulových mometov m ψ ( ) dáva iformáciu o plochosti H ( ω) a hladosti ( t) ψ toré rastú priamo úmere. Orem toho, čím viac máme waveletových mometov je ulových, tým lepšiu aproximáciu zísame pri projecii sigálu f( t) L ( R) do V m. Čím väčší počet ulových mometov ( ) vo V m pomocou vzorie ( t) symetria ϕ ( t). m ϕ je dôležitý pri aproximácii sigálu f( t) L ( R) f amiesto proječých oeficietov. Taisto sa zlepšuje aj Príladom waveletového systému, torého dizaj je založeý a mometových vlastostiach ϕ ( t), ψ ( t) sú tzv. Coiflets. Je to ortoormály systém v torom sa sažíme ulovať momety waveletu a rovao aj fucie miery: m ϕ ( ) = 0, ( ) = 0 m ψ =,,..., L
K-reguláre filtre FIR filter s impulzovou odpoveďou h ( ), torá spĺňa podmiey v Tab. sa azýva K- reguláry vtedy a platia asledové evivaleté tvrdeia: ) H ( ω) má K-ásobú ulu v ω = π ) prvých K-disrétych aj spojitých waveletových mometov je ulových, t.j.: m ψ =, µ ( ) = 0, pre = 0,,..., ( K ) ( ) 0 ψ 3) polyomicé sevecie stupňa ( K ) môžu byť vyjadreé lieárou ombiáciou posuov h ( ). 4) polyómy stupňa ( ) K môžu byť vyjadreé lieárou ombiáciou posuov ϕ ( t)
A je h ( ) K-reguláry, potom Z trasformáciu ( ) apísať v tvare: pričom L ( z) emá žiade póly v je stupňa N- a ( z) H + z L stupňa N--K. Aby ( z) ( z) = L( z) h : ( z) = h( ) iπ z= e. A N je dĺža filtra ( ) K H z môžeme h, potom polyóm H ( z) L zabezpečilo spleie utých N/ podmieo pre ortogoalitu, musí byť aspoň stupňa N/-. Potom K N /. Zároveň z podmiey existecie ( t) Taže platí : ϕ automaticy platí, že ( ) h je aspoň K = reguláre. K N /
Wavelety ao difereciále operátory Wavelety môžu slúžit ao viacú rovňový derivátor (difereciály operátor) Nech h() je K-reguláry filter, geerujú ci ϕ( t) a ψ(t). Potom waveletové oeficiety (spetrále oeficiety po DWT) zodpovedajú K-tej derivácii vyhladeej verzie aalyzovaého sigálu: ( ) ψ( ) K f x, x u = { γ f }( u) de γ je vyhladzujúci operátor defiovaý vo frevecii ao