Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele, tak sa nazýva zložené číslo. Celé číslo a / {0, 1, 1} je zložené práve vtedy, keď existujú b, c Z také, že a = bc a 1 < b, c < a.
Ak p je prvočíslo a p ab, potom p a alebo p b. Dôkaz: Ak p a, dôkaz je hotový, predpokladajme teda, že p a. Nakoľko p je prvočíslo, musí potom platiť (p, a) = 1, čo spolu s p ab dáva, že p b. Upozornenie Ak p nie je prvočíslo, lema nemusí platiť! (4 6 2, ale 4 6, 4 2). Ak p je prvočíslo, a 1,..., a s Z a p a 1 a s, potom p a i pre niektoré i = 1,..., s. Dôsledok Ak p, q 1,..., q s sú prvočísla a p q 1 q s, tak p = q i pre niektoré i = 1,..., s.
Veta (fundamentálna veta aritmetiky) Každé celé číslo a / {0, 1, 1} je buď prvočíslo, alebo ho možno vyjadriť v tvare a = ±p 1 p 2... p r, kde r N, r 2, p i (pre i {1,..., r}) sú kladné prvočísla, a to jednoznačne v nasledujúcom zmysle: ak a = ±p 1 p 2... p r = ±q 1 q 2... q s sú dva rozklady čísla a na súčin kladných prvočísel a p 1 p 2 p r, q 1 q 2 q s, tak znamienka pred súčinmi sú rovnaké, r = s a platí p 1 = q 1, p 2 = q 2,..., p r = q r. Dôkaz: Dokážeme najprv existenciu spomínaného vyjadrenia pre a > 0. Dôkaz prebieha tzv. úplnou matematickou indukciou podľa a a využíva Tvrdenie (princíp úplnej matematickej indukcie) Nech V (x) je výrok definovaný pre všetky x N, spĺňajúci podmienku: (( k < n) V (k)) V (n) Potom V (x) platí pre všetky x N. (dôkaz a ďalšie podrobnosti v rámci predmetu DSM3)
Nech P (x) je výrok "x je rovné súčinu prvočísel alebo x je prvočíslo". Uvažujme prirodzené číslo n > 1 a predpokladajme, že P (m) platí pre všetky prirodzené čísla m také, že 1 < m < n. Chceme dokázať, že potom platí aj P (n). Ak n je prvočíslo, tak P (n) platí. Ak n je zložené číslo, tak n = b c, 1 < b, c < n. Keďže b, c sú menšie ako n, tak každé z nich je buď prvočíslo, alebo podľa indukčného predpokladu je rovné súčinu nejakých prvočísel. Teda aj n = bc je rovné súčinu prvočísel. Podľa princípu úplnej indukcie potom P (n) platí pre každé n N, t.j. každé číslo je buď prvočíslo, alebo súčin prvočísel.
Ukážeme ďalej, že vyjadrenie a ako súčinu prvočísel je jednoznačné. Nech a = ±p 1 p 2... p r = ±q 1 q 2... q s, r s, p 1,..., p r, q 1,... q s sú prvočísla. Potom p 1 p 2 p r = q 1 q 2 q s z čoho vyplýva, že p 1 q 1 q 2 q s, teda p 1 = q i pre niektoré i = 1,..., s. Po vydelení oboch strán rovnosti číslom p 1 = q i máme p 2 p r = q 1 q 2 q i i q i+1 q s Z tejto rovnosti vyplýva, že p 2 q 1 q 2 q i i q i+1 q s, teda p 2 = q j pre nejaké j = 1,..., s, j i. Opätovným vydelením oboch strán rovnosti číslom p 2 = q j a opakovaním tohto postupu (na ľavej strane je konečne veľa činiteľov) dostaneme nakoniec rovnosť, v ktorej je na ľavej strane 1 a na pravej strane (potenciálne) súčin nejakých prvočísel. Keďže však súčin prvočísel nikdy nie je rovný 1, tak pravá strana musí byť tiež rovná 1. Teda r = s a prvočísla p 1,..., p r sú (až na poradie) tie isté, ako q 1,..., q s.
Definícia Kanonický rozklad celého čísla a / {0, 1, 1} je jeho vyjadrenie v tvare a = ±p α 1 1 pα 2 2... pα k k, kde p 1, p 2,..., p k sú navzájom rôzne kladné prvočísla a α 1, α 2,..., α k N. Nech a = p α 1 1 pα 2 2... pα k k, b = pβ 1 1 pβ 2 2... pβ k k, kde α i, β i N 0 pre i = 1,..., k. Potom (a, b) = p min{α 1,β 1 } 1 p min{α 2,β 2 } 2... p min{α k,β k } k [a, b] = p max{α 1,β 1 } 1 p max{α 2,β 2 } 2... p max{α k,β k } k
Otestovať, či je dané číslo n prvočíslom, možno napr. tak, že sa vezmú všetky čísla medzi 2 a n a pre každé z nich sa určí, či delí n bezo zvyšku (ak n je zložené číslo, tak má deliteľa menšieho ako n). Tento test možno ešte zrýchliť tak, že sa vezmú len čísla 2, 3 a všetky čísla do n, ktoré sú tvaru 6k 1 alebo 6k + 1, resp. všetky prvočísla do n. Zoznam prvočísel do určitej veľkosti k možno zostrojiť pomocou tzv. Eratosthenovho sita: vygeneruje sa zoznam všetkých prirodzených čísel od 2 do k a zrušia sa z neho všetky násobky 2 (bez následnej komprimácie zoznamu!). Potom sa nájde prvé nezrušené číslo (teda 3) a jeho násobky sa ďalej zrušia zo zoznamu; celý postup sa opakuje, až kým existuje nezrušené číslo, ktoré je menšie ako n.
Kongruencie Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech m je ľubovoľné prirodzené číslo. Čísla a, b Z sa nazývajú kongruentné podľa modulu m (modulo m), ak m a b; označujeme a b (mod m). Pre pevne dané m je teda vlastnosť kongruentnosti dvoch čísel binárna relácia na množine Z. Čísla a, b Z sú kongruentné podľa modulu m práve vtedy, keď dávajú rovnaký zvyšok po delení m.
Základné vlastnosti relácie kongruentnosti čísel: reflexívnosť: ( a Z) a a (mod m) symetria: ( a, b Z) a b (mod m) b a (mod m) tranzitívnosť: ( a, b, c Z) (a b (mod m) b c (mod m)) a c (mod m) Relácia kongruentnosti podľa daného modulu je teda reláciou ekvivalencie. Tomáš Madaras 2011 Nech a b (mod m) a c d (mod m). Potom a + c b + d (mod m), ac bd (mod m). Dôkaz: Z predpokladov vyplýva, že m a b, m c d. Potom m (a b) + (c d) = (a + c) (b + d), čiže a + c b + d (mod m). Ďalej, z predpokladov vyplýva m c(a b), m b(c d), teda m c(a b) + b(c d) = ac bc + bc bd = ac bd, z čoho dostávame ac bd (mod m).
Nech a b (mod m) a d D(a, b, m). Potom a d b d (mod m d ). Dôkaz: Nech a d = a, b d = b, m d = m. Potom z a b (mod m) vyplýva, že m a d b d = d(a b ), teda d(a b ) = km pre nejaké k Z. Po vydelení oboch strán rovnosti číslom d máme a b = km d = km čo znamená, že m a b, teda a d b d (mod m d ). Nech a b (mod m),d D(a, b) a (d, m) = 1. Potom a d b d (mod m). Dôkaz: Nech a d = a, b d = b. Potom z a b (mod m) vyplýva, že m a d b d = d(a b ). Keďže však (d, m) = 1, musí platiť m a b, teda a d b d (mod m).
označenie: pre n = a 0 + 10 1 a 1 + 10 2 a 2 + + 10 k a k označuje a k... a 1 a 0 10 desiatkový zápis čísla n. Súčet a 0 + a 1 + + a k sa nazýva ciferný súčet čísla n. Číslo je deliteľné 3 (resp. 9) práve vtedy, keď jeho ciferný súčet je deliteľný n. Dôkaz: Platí 10 1 (mod 3), z čoho 10 i 1 i 1 (mod 3). Teda 10 i a i a i (mod 3), z čoho sčítaním kongruencií dostávame a 0 + 10a 1 + + 10 k a k a 0 + a 1 + + a k (mod 3); teda prirodzené číslo je kongruentné so svojím ciferným súčtom modulo 3. Rovnaký výsledok dostávame aj pre modul 9 (pretože 10 1 (mod 9)).
Číslo je deliteľné 2 i práve vtedy, keď číslo vytvorené z jeho posledných i cifier je deliteľné 2 i. Dôkaz: Je 2 i 0 (mod 2 i ), z čoho 5 i 2 i 5 i 0 0 (mod 2 i ), čiže pre každé i N platí 10 i 0 (mod 2 i ). Z toho dostávame (vynásobením oboch strán tejto kongruencie číslom 10 l i ), že pre l i takisto platí 10 l 0 (mod 2 i ). Preto a 0 +10a 1 + +10 i a i + +10 k a k a 0 +10a 1 + +10 i 1 a i 1 (mod 2 i ), čo znamená, že číslo a číslo vytvorené z jeho posledných i cifier sú kongruentné modulo 2 i.
Číslo je deliteľné 11 práve vtedy, keď rozdiel súčtu cifier na pozíciách párnych rádov (t.j. jednotiek, stoviek...) a súčtu cifier na pozíciách nepárnych rádov (t.j. desiatok, tisícok...) je deliteľný 11. Dôkaz: Je 10 1 (mod 11), z čoho 10 i ( 1) i (mod 11) a 10 i a i ( 1) i a i (mod 11). Teda a 0 + 10a 1 + + 10 k a k a 0 a 1 + a 2 + ( 1) k a k (mod 11), čo znamená, že číslo je kongruentné modulo 11 so striedavým súčtom vytvorených z jeho cifier (t.j. s a 0 + a 2 + (a 1 + a 3 +... )).
Veta (malá Fermatova) Nech p je ľubovoľné prvočíslo. 1 Pre ľubovoľné celé číslo a je a p a (mod p). 2 Pre ľubovoľné celé číslo a nesúdeliteľné s p je a p 1 1 (mod p). Dôkaz: Prvá časť - najprv dokážeme pomocné tvrdenie: Tvrdenie Ak p je prvočíslo a x, y Z, tak (x + y) p x p + y p (mod p). Výraz (x + y) p sa dá rozvinúť pomocou binomickej vety nasledovne: (x + y) p = x p + px p 1 y + p(p 1) 1 2 xp 2 y 2 + + p(p 1)(p 2)... (p k + 1) x p k y k + + pxy p 1 + y p 1 2 3 k (dôkaz a ďalšie podrobnosti v rámci predmetu DSM3 resp. UIN)
p(p 1)(p 2)... (p k + 1) Koeficienty pri výrazoch x p k y k sú pre 1 2 3 k 0 < k < p prirodzené čísla (to vyplýva z roznásobenia zátvoriek v (x + y) p ) a žiadne z čísel 1, 2,..., k v menovateli nedelí p v čitateli; teda každý z týchto koeficientov je deliteľný p. To znamená, že (x + y) p x p + y p = px p 1 p(p 1) y + 1 2 xp 2 y 2 + +pxy p 1 0 (mod p), teda (x + y) p x p + y p (mod p). Vetu dokážeme najprv pre všetky a N 0. Samotný dôkaz prebieha matematickou indukciou podľa a a využíva Tvrdenie (princíp matematickej indukcie) Nech V (x) je výrok definovaný pre všetky x N, spĺňajúci podmienky: V (0) platí ( k N) V (k) V (k + 1) Potom V (x) platí pre všetky x N. (dôkaz a ďalšie podrobnosti v rámci predmetu DSM3 resp. UIN)
Nech P (a) je výrok "a p a (mod p)". Keďže 0 p 0 (mod p), tak P (0) platí. Nech P (a) platí pre nejaké a N 0. Chceme ukázať, že potom platí aj P (a + 1). Podľa pomocného tvrdenia platí (a + 1) p a p + 1 p (mod p) a podľa indukčného predpokladu platí P (a), teda a p a (mod p). Keďže triviálne platí 1 p 1 (mod p), tak sčítaním kongruencií dostávame a p + 1 p a + 1 (mod p), z čoho použitím tranzitívnosti kongruencie vyplýva (a + 1) p a + 1 (mod p). Teda P (a + 1) platí, čiže malá Fermatova veta platí pre všetky a N.
Nech teraz a Z ; potom a = b, b N. Ak p = 2, tak a 2 = b 2 a b 2 b (mod 2) (podľa predošlej časti dôkazu). Teda a 2 a (mod 2); súčasne platí, že a a (mod 2), teda použitím tranzitívnosti kongruencie dostávame a 2 a (mod 2). Predpokladajme ďalej, že p > 2; potom p je nepárne prvočíslo a a p = ( b) p = b p. Podľa predošlého dôkazu platí b p b (mod p), z čoho máme b p b (mod p). Teda ( b) p b (mod p), t.j. a p a (mod p). Druhá časť - ak p je nesúdeliteľné s a, tak z a p = a a p 1 a (mod p) dostaneme (vydelením oboch strán kongruencie číslom a) a p 1 1 (mod p). Dôsledok Ak p N a existuje a Z také, že a p / a (mod p), tak p nie je prvočíslo.
Príklad Zistite, či 793 je prvočíslo. Počítajme zvyšok po delení 2 793 číslom 793: 2 10 = 1024 231 (mod 793) 2 20 231 2 230 (mod 793) 2 40 230 2 562 (mod 793) 2 80 562 2 230 (mod 793) 2 160 230 2 562 (mod 793) 2 320 562 2 230 (mod 793) 2 640 230 2 562 (mod 793) Teda 2 793 = 2 640+80+40+20+10+3 = 2 640 2 80 2 40 2 20 2 10 2 3 562 230 562 230 231 8 (mod 793). Ďalej platí 562 230 = 129260 1 (mod 793), teda úhrnom 2 739 (562 230) 231 8 1 2 1848 262 (mod 793). Keďže neplatí 2 739 2 (mod 793), tak 793 nie je prvočíslo.
Uvedený postup sa však nedá použiť vo všeobecnosti na overenie, či dané číslo je alebo nie je prvočíslo, pretože existujú zložené čísla p, pre ktoré je kongruencia a p a (mod p) splnená pre všetky a Z (dokonca platí, že takýchto čísel je nekonečne veľa). Príklad Určte zvyšok po delení čísla 24 402 číslom 101. Keďže 101 je prvočíslo a (24, 101) = 1, podľa malej Fermatovej vety platí 24 100 1 (mod 101). Z toho dostávame 24 400 = (24 100 ) 4 1 4 (mod 101), teda 24 402 24 2 (mod 101); platí 24 2 = 576 = 5 101 + 71, čiže 24 2 71 (mod 101). Platí teda 24 402 71 (mod 101).