Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită
CUPRINS TESTE INIŢIALE7 SOLUŢIILE TESTELOR INIŢIALE 8 ECUAŢII EXPONENŢIALE ŞI LOGARITMICE NONSTANDARD (NICOLAE MUŞUROIA) ECUAŢII FUNCŢIONALE (VASILE POP) 3 3 INEGALITATEA LUI JENSEN (FLORIN BOJOR) 54 4 MULŢIMI CONVEXE RELAŢIA LUI EULER TEOREMA LUI HELLY (VASILE POP) 69 5 ELEMENTE DE COMBINATORICĂ (GHEORGHE BOROICA, NICOLAE MUŞUROIA)86 6 PROBLEME DE NUMĂRARE (GHEORGHE BOROICA, VASILE POP) 03 7 NUMERE COMPLEXE ÎN ALGEBRĂ (DANA HEUBERGER, NICOLAE MUŞUROIA) 8 APLICAŢII ALE NUMERELOR COMPLEXE ÎN GEOMETRIE (DANA HEUBERGER, NICOLAE MUŞUROIA)46 9 PROBLEME DE GEOMETRIE ÎN SPAŢIU (NICOLAE MUŞUROIA, GHEORGHE BOROICA)79 0 POLINOAME (FLORIN BOJOR) 96 CRITERII DE IREDUCTIBILITATE PENTRU POLINOAME (GHEORGHE BOROICA) 9 POLINOAME SIMETRICE SUMELE LUI NEWTON (NICOLAE MUŞUROIA)37 TESTE FINALE 54 SOLUŢIILE TESTELOR FINALE56 BIBLIOGRAFIE6
TESTE INIŢIALE TESTUL I I Se consideră şirul ( an ), cu a n =, 3 Arătaţi că n, a a a a < n n 5 6 n a = n a, n a = şi ( ) ( ) n Lucian Dragomir, GM 6-7-8/0 I Fie A= aa a3, B= bb b3, C = cc c3 numere de trei cifre cu a, a, a 3 nenule Arătaţi că dacă ecuaţia Ax Bx C = 0 are rădăcinile reale, atunci cel puţin una dintre ecuaţiile ax bx i,, 3 are soluţii reale i c i = 0, { } i Nicolae Muşuroia, Concursul Nicolae Păun, 007 I3 Fie ABCD un patrulater convex în care m( DAC) = 0, m( DCA) = 0, m( BAC ) = 30 şi m( BCA ) = 50 Arătaţi că diagonalele sale sunt perpendiculare Orest Bucicovski, GM /009 I4 Fie ABC în care b c= a, b c a) Arătaţi că IG BC b) Arătaţi că segmentele ( BI), ( CP ) şi ( ) BG pot fi lungimile laturilor unui triunghi (Notaţiile sunt cele cunoscute) > şi fie punctul P ( BC) TESTUL I I Se consideră funcţiile f, g :, ( ) PC b c cu = BC f( x) ( x ) ( x 5) = şi g x = ( x ) ( x ) Determinaţi minimul funcţiei f g şi maximul funcţiei g f Matematică de excelenţă Clasa a X-a 7 n Vasile Pop 3, I Se consideră numărul natural a şi expresia E ( a ) = { a } { a } { a } unde { x } reprezintă partea fracţionară a numărului real x Demonstraţi că ( ) un număr raţional dacă şi numai dacă numărul a este pătrat perfect E a este Florin Bojor
AB AC BA BC CA CB a b c aga bgb cgc IR4 a) GI = = 3 3 3 = a b c a b c ( a b) AB ( b c) BC ( a c) AC ( a b c) AB ( a b c) BC = = 3( a b c) 3( a b c) a b c c b GI b c GI = BC = BC Rezultă IG BC şi = ; 3( a b c) BC b) b c c b PC GB BI = PC GI = BC BC = 0 TESTUL I IR Utilizând inegalitatea lui Minkovski avem f( x) g( x) ( x ) ( x 5) = ( x ) ( x ) = ( x) (5 x ) ( x ) ( x ) ( x x ) (5 x x ) = = 3 5 Egalitatea are loc dacă ( x)( x ) = (5 x )( x ) x {, 3} şi ( x) ( x ) (5 x )( x ) 0, care este verificată doar de x = Aşadar minimul funcţiei f g este f( ) g( ) = 3 5 Folosind aceeaşi inegalitate vom determina α, β, astfel încât să avem: avem ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) gx ( ) f( x) α β, x Prin urmare, 5 α β, care este adevărată, din inegalitatea lui Minkovski, dacă x α = x şi x α 3, β 6 5 β = x, de unde obţinem ( ) ( x x ) = = Egalitatea are loc 6( x ) = 3( x 5) maximul este 3 5, care este atins în x = 3 IR Dacă a este pătrat perfect rezultă că ( ) 0 3 6 5 0 x = 3 Prin urmare, E a = Presupunem că există un număr întreg a care nu e pătrat perfect, dar E( a) Însă: ( ) ( ) ( ) 3 E a = a a a a a a a a a a a a = a a 3 3 a a 3 a a a a Deoarece a avem că Ea ( ) a 3 a = 0 Notăm a = t t şi 3t t a= 0 Dar Δ= a 8 < 0, de unde rezultă că presupunerea făcută este falsă, deci a este pătrat perfect Matematică de excelenţă Clasa a X-a 9
CAPITOLUL ECUAŢII EXPONENŢIALE ŞI LOGARITMICE NONSTANDARD Noţiunile problemă standard şi problemă nonstandard sunt relative Orice problemă a cărei rezolvare nu este cunoscută, poate reprezenta, la un moment dat, o problemă nonstandard Vom numi problemă nonstandard o problemă a cărei rezolvare nu se bazează pe un algoritm cunoscut Prin urmare, nu există metode generale de rezolvare a acestor probleme Vom indica câteva direcţii de abordare Tehnicile utilizate apelează la: studiul monotoniei, studiul convexităţii unor funcţii, inegalităţi clasice etc UTILIZAREA MONOTONIEI UNOR FUNCŢII Propoziţie Dacă funcţia f este strict monotonă pe intervalul I din, iar c este o constantă reală, atunci ecuaţia f(x) = c are pe intervalul I cel mult o soluţie Demonstraţie: Fie f o funcţie strict crescătoare Presupunem că ecuaţia f(x) = c are pe intervalul I cel puţin două soluţii diferite x, x Fie x < x Deoarece pe intervalul I f x f x f x = f x = c f este strict crescătoare rezultă ( ) < ( ) Contradicţie cu ( ) ( ) Analog, dacă f este funcţie strict descrescătoare Propoziţie Dacă funcţiile f şi g sunt monotone pe intervalul I, de monotonii diferite, cel puţin una dintre ele fiind strict monotonă, atunci ecuaţia f ( x) g( x) cel mult o soluţie pe intervalul I = are Demonstraţie: Fie f strict crescătoare, iar g descrescătoare pe intervalul I Presupunem că există cel puţin două soluţii diferite x, x, din intervalul I, ale ecuaţiei f x = g x Fie x x f x < f x ( ) ( ) < Din f strict crescătoare rezultă ( ) ( ) Dar: f ( x ) = g ( x ) g ( x ) = f ( x ) deci contradicţie, Amintim, fără demonstraţie, alte câteva rezultate cunoscute din teoria funcţiilor 3 Propoziţie Fie f, g: A a) Dacă f şi g sunt funcţii strict crescătoare (descrescătoare) pe A, atunci f g este o funcţie strict crescătoare (descrescătoare) pe A f, g: A 0, sunt funcţii strict crescătoare (descrescătoare) pe A, b) Dacă ( ) atunci f g este o funcţie strict crescătoare (descrescătoare) pe A 4 Propoziţie Fie f : A B, g: B C a) Dacă f şi g sunt funcţii strict crescătoare, atunci g f este o funcţie strict crescătoare b) Dacă f şi g sunt funcţii strict descrescătoare, atunci g f este o funcţie strict crescătoare Matematică de excelenţă Clasa a X-a