Μαθηματικά Γ'Λυκείου Γενικής Μαρίνος Παπαδόπουλος
Πίνακας Περιεχοµένων Τίτλος Θεµατικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σηµείωµα υο λόγια προς τους µαθητές 5-6 Μάθηµα Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισµού 7-4 Μάθηµα Γραφική παράσταση συνάρτησης 5-4 Μονοτονία Ακρότατα Συνάρτησης Μάθηµα Ισότητα & πράξεις συναρτήσεων 4-50 Μάθηµα 4 Η έννοια του ορίου απροσδιοριστία 0/0 5-6 Μάθηµα 5 Συνέχεια συνάρτησης 6-69 Μάθηµα 6 Ορισµός παραγώγου 70-7 Μάθηµα 7 Παράγωγος συνάρτηση 7-8 Μάθηµα 8 Εξίσωση εφαπτοµένης 8-90 Μάθηµα 9 Μονοτονία ακρότατα συνάρτησης 9-05 Μάθηµα 0 Στατιστική βασικές έννοιες 06-08 Μάθηµα Στατιστικοί πίνακες 09-6 Μάθηµα Γραφικές παραστάσεις κατανοµών 7-8 Μάθηµα Οµαδοποίηση παρατηρήσεων 9-6 Μάθηµα 4 Μέτρα θέσης 7-5 Μάθηµα 5 Μέτρα διασποράς 5-75 Μάθηµα 6 Θεωρία συνόλων 76-89 Μάθηµα 7 Εύρεση δειγµατικού χώρου 90-04 Μάθηµα 8 Η έννοια της πιθανότητας - λογισµός 05-9 η επανάληψη Ασκήσεις επανάληψης ανά κεφάλαιο 0-48 η επανάληψη Επαναληπτικές συνδυαστικές ασκήσεις 49-67 η επανάληψη Θέµατα 68-78 Παράρτηµα Θέµατα Πανελλαδικών Εξετάσεων 8-48 Παράρτηµα Θέµατα ΟΕΦΕ Παράρτηµα Προαπαιτούµενες γνώσεις 49-58 Βιβλιογραφία 59 Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Μάθηµα Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές Ενότητες: Η έννοια της συνάρτησης Πεδίο ορισµού συνάρτησης Τι είναι πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής ; Είναι µια ειδικής µορφής «διαδικασία» («µηχανή») που επεξεργάζεται αριθµούς Κάθε πραγµατικό αριθµό που παραλαµβάνει τον αντιστοιχεί σε έναν µόνο πραγµατικό αριθµό Αυτή τη διαδικασία µηχανή τη συµβολίζω µε, g, h, κλπ Ορισµός Συνάρτησης Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής, µια σχέση µεταξύ δύο αριθµητικών συνόλων A, B R η οποία αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α σε ένα µόνο στοιχείο του συνόλου Β Από πού «επιλέγει» η συνάρτηση αυτούς τους αριθµούς ; Από ένα σύνολο υποσύνολο του R, το οποίο συµβολίζεται µε ονοµάζεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης A ή D και Τα στοιχεία (οι αριθµοί) που περιέχονται στο σύνολο A συµβολίζονται µε και αποτελούν τις τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής της συνάρτησης ΜΓΠ - ιαφορικός Λογισµός ΜΠαπαδόπουλος ΜΑµοιραδάκης 7
Πού τους «µεταφέρει» αυτούς τους αριθµούς ; Σε ένα σύνολο που το συµβολίζω µε ( A ) ή ( D ) και το ονοµάζω σύνολο τιµών της συνάρτησης Τα στοιχεία (οι αριθµοί) που περιέχονται στο σύνολο ( A ) συµβολίζονται µε y ( ) και αποτελούν τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής της συνάρτησης Τελικά: Μια συνάρτηση που έχει πεδίο ορισµού το σύνολο A R και οι τιµές της είναι πραγµατικοί αριθµοί, αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο (δηλαδή κάθε αριθµό) χ του συνόλου A, σε ένα µόνο στοιχείο (δηλαδή σε ένα µόνο αριθµό) y ( ) του συνόλου τιµών της ( A ) R Συµβολίζουµε: D ή A, το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( D ) ή ( A ), το σύνολο τιµών της συνάρτησης : A R κάθε πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής, η οποία αντιστοιχεί κάθε στοιχείο (δηλαδή κάθε αριθµό) χ του συνόλου A στο στοιχείο (δηλαδή στον αριθµό) y ( ) του συνόλου ( A ) R Πότε µπορώ να πω ότι «ξέρω» µια συνάρτηση ; Όταν ξέρω (ή µπορώ να βρω) το πεδίο ορισµού της Όταν ξέρω τον τύπο της ΜΓΠ - ιαφορικός Λογισµός ΜΠαπαδόπουλος ΜΑµοιραδάκης 8
Ποιοι περιορισµοί καθορίζουν το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης ; Περιορισµοί που καθορίζουν το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης Αν δω Απαιτώ Κλάσµα Παρονοµαστής 0 Ρίζα (οποιασδήποτε τάξης) Υπόριζη ποσότητα 0 Λογάριθµο (ln ή log) Ό,τι λογαριθµίζεται > 0 Παρατηρήσεις Μπορεί να απαιτείται και συνδυασµός δύο ή περισσότερων από τους προηγούµενους περιορισµούς (πχ στον τύπο της συνάρτησης να έχουµε και κλάσµα και ρίζα, ή και ρίζα και λογάριθµο) Σε κάθε τέτοια περίπτωση, το πεδίο ορισµού της συνάρτησης προκύπτει από το αποτέλεσµα της συναλήθευσης όλων των απαιτούµενων περιορισµών Αν δεν απαιτείται κανένας περιορισµός (αν δηλαδή ο τύπος της συνάρτησης δεν περιέχει ούτε κλάσµα ούτε λογάριθµο ούτε ρίζα), τότε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι (ολόκληρο) το R ΜΓΠ - ιαφορικός Λογισµός ΜΠαπαδόπουλος ΜΑµοιραδάκης 9
Λυµένες ασκήσεις Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () ln( + ) Λύση Πρέπει: + > 0 > 0 0 0 Συναληθεύοντας τα αποτελέσµατα έχουµε A (, + ) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () + Λύση Πρέπει να είναι: + 0, (οι ρίζες και βρίσκονται κατά b± τα γνωστά, µε τη διακρίνουσα b 4ac και τον τύπο, ), οπότε a έχουµε: D R, (,) (,) (, + ) { } Όµοια, της () Λύση 0 0 0 0 0 Πρέπει : 0 Άρα A [, 0) (0,] ΜΓΠ - ιαφορικός Λογισµός ΜΠαπαδόπουλος ΜΑµοιραδάκης 0
4 Όµοια, της () ln(-e ) Λύση Πρέπει : - e > 0 e < e < e 0 <0 Άρα D ( -, 0 ) + 5 Όµοια, της () Λύση + 0 Πρέπει : 0 0 0 Άρα D (, + ) Είστε σίγουροι ότι τη διαδικασία της συναλήθευσης τη γνωρίζετε; (Ύλη της ης λυκείου είναι, αλλά επειδή, κατά τους «ειδικούς» και άσχετους που σας γλύφουν για να δηµιουργήσουν εντυπώσεις και έτσι να υπηρετήσουν το προσωπικό τους συµφέρον, είστε «οι πιο σκληρά εργαζόµενοι Έλληνες», µπορεί, όταν έπρεπε να τα µελετήσετε αυτά, εσείς να είχατε άλλη «εργασία» ) Για το πιο πάνω παράδειγµά λοιπόν, η συναλήθευση των επιµέρους λύσεων (η οποία θα δίνει και το πεδίο ορισµού της συνάρτησης) φαίνεται στο επόµενο «σχηµατάκι»: ΜΓΠ - ιαφορικός Λογισµός ΜΠαπαδόπουλος ΜΑµοιραδάκης
6 Σύρµα µήκους l 0cm κόβεται σε δύο κοµµάτια µε µήκη cm και (0 ) cm Με το πρώτο κοµµάτι σχηµατίζουµε τετράγωνο και µε το δεύτερο κοµµάτι ισόπλευρο τρίγωνο Να βρείς το άθροισµα των εµβαδών των δύο σχηµάτων ως συνάρτηση του Λύση Πλευρά /4 Πλευρά 0 Ξέρουµε ότι το εµβαδόν τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α Ε Ω : Ε ( 4 ) 6 Ξέρουµε ότι το εµβαδόν ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α ισούται µε a 4 Ε Ω : Ε ( 0 ) 4 Άρα, το ζητούµενο εµβαδόν είναι Ε Ε +Ε 0 +( ), (0, 0) 6 4 ΜΓΠ - ιαφορικός Λογισµός ΜΠαπαδόπουλος ΜΑµοιραδάκης
Άλυτες Ασκήσεις Να βρείτε τα πεδία ορισµού των επόµενων συναρτήσεων 4 ( ) 006 ( ) + ( ) log( l n) 4 ( ) ( )( 8) 5 6 7 8 ( ) ( ) ln( + ) ( ) + ( ) ln( ) 9 ( ) 5+ 0 ( ) ln[ln( + )] ( ) ln + ( ) 007 008 + + 0 ( ) 4 ( ) ln[log( )] 6 5 ( ) + 6 ( ) ln + 4 7 ( ) 8 ( ) ln 9 ( ) ln( 5+ 6) 0 ( ) ln + ( ) + + 4 ( ) ( ) + + + 5 + 4 006 007 ( ) + + ΜΓΠ - ιαφορικός Λογισµός ΜΠαπαδόπουλος ΜΑµοιραδάκης
5 6 4 ( ) 0 + 5 εφ χ+ ( ) συν χ+ 7 ( ) ln(4 + 0) 8 ( ) ηµ 9 ( ) συν e 0 ( ) ln(9 ) ( ) ln[ln(ln )] + ( ) ( ) + ( ) 4 ( χ) ηµ χ+ συν χ+ ηµχ 5 ( ) log( + ) + log( ) log 6 ( ) log( ) + log + log 5 7 ( ) log (log ) 8 ( ) log( + ) log log 9 ( ) 5 χ 40 ( χ) συν + 5 ΜΓΠ - ιαφορικός Λογισµός ΜΠαπαδόπουλος ΜΑµοιραδάκης 4