Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Προκαταρκτικά. Το πρόβλημα αρχικών τιμών μιας σδε πρώτης τάξης

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Το πρόβλημα αρχικών τιμών Προκαταρκτικά Το πρόβλημα αρχικών τιμών μιας σδε πρώτης τάξης y = F (, y), y( ) = y, (, y) D R 2 συνίσταται στο να βρούμε την συνάρτηση y = f(), ή ενδεχομένως τις συναρτήσεις, που α) ικανοποιεί την σδε, δηλαδή να ισχύει f () = F (, f()), και β) ικανοποιεί επιπλέον και την αρχική συνθήκη f( ) = y. Όπως έχουμε δει σε πολλά παραδείγματα η λύση μιας σδε μπορεί να μην ορίζεται για κάθε (ή ). Για παράδειγμα, η λύση μιας σδε μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτο σε κάποιο (, + ), οπότε από εκείνο το σημείο και μετά να μην υπάρχει η λύση του ΠΑΤ. Ακόμα χειρότερα, μπορεί η λύση του πατ να μην είναι μοναδική και από το σημείο (, y ) να διέρχονται άπειρες λύσεις. Τα βασικά θεωρητικά ερωτήματα που θα μας απασχολήσουν στο παρόν είναι: κάτω από ποιες συνθήκες υπάρχει λύση του ΠΑΤ στο D, είναι η λύση αυτή μοναδική; Tέλος, η λύση της σδε εξαρτάται με συνεχή τρόπο από τη αρχική τιμή y ; Αν η απάντηση σε όλα τα προηγούμενα ερωτήματα είναι καταφατική τότε το ΠΑΤ λέγεται ότι είναι καλά τοποθετημένο 1 στο χωρίο D. Για παράδειγμα, όπως μας πληροφορεί το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού το ΠΑΤ y = F (), y( ) = y, όπου F () συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, έχει την μοναδική λύση y() = y + F (t) dt. 1 Αναφέρεται και ως καλά τοποθετημένο πρόβλημα κατά Hadamard, γιατί είναι αυτός που επισήμανε ότι λύσεις που δεν ικανοποιούν αυτές τις ιδιότητες δεν έχουν φυσικό ενδιαφέρον επειδή καμιά φυσική μέτρηση δεν είναι ακριβής. Άρα το ΠΑΤ είναι καλά τοποθετημένο σε όλο το R 2. Άλλο παράδειγμα ενός καλά τοποθετημένου ΠΑΤ είναι το ΠΑΤ που απαρτίζεται από την γραμμική σδε y + p() y = q(), και την αρχική συνθήκη y( ) = y σε κάθε κατακόρυφη λωρίδα με a < < b όπου οι p, q είναι συνεχείς συναρτήσεις. Όμως οι διαπιστώσεις αυτές δεν ισχύουν για όλες τις σδε με F (, y) συνεχή συνάρτηση σε κάποιο χωρίο D, όπως συμβαίνει στα δυο προηγούμενα ΠΑΤ. H συνέχεια της F (, y) είναι αρκετή για να υπάρχει τουλάχιστον μια λύση του ΠΑΤ στο D, αλλά η λύση αυτή δεν είναι αναγκαστικά μοναδική, όπως δείχνει το επόμενο παράδειγμα. 3

Παράδειγμα 1. Θεωρούμε την μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών y = ( c) 3. Η σδε που ικανοποιεί η οικογένεια καμπυλών είναι η y = 3 ( c) 2 = 3 y 2/3 Από κάθε σημείο (, y ) του επιπέδου διέρχεται μόνο, και μόνο μία, καμπύλη της οικογένειας y = ( c) 3, με c = y 1/3. Όμως αυτή δεν είναι η μοναδική λύση του ΠΑΤ y = 3 y 2/3, με y( ) = y. Υπάρχουν άπειρες! Πράγματι, παρατηρούμε ότι η y = είναι μια ιδιάζουσα λύση της σδε y = 3 y 2/3. Για κάθε α < β, ορίζουμε την συνάρτηση y = ( α) 3, < α,, a β, ( β) 3, > β, η οποία παριστάνει μια διπαραμετρική οικογένεια λύσεων της σδε που είναι πρώτης τάξης (!). Επιπλέον, η αρχική συνθήκη καθορίζει την μία από τις δύο παραμέτρους α, β, ή καμιά από τις δυο (πότε;). Συνεπώς σε κάθε περίπτωση έχουμε μια απειρία λύσεων του ΠΑΤ, τουλάχιστον κλάσης C 2 (R). Η γραφική παράσταση των καμπυλών y = ( c) 3 για διάφορες τιμές της παραμέτρου c Η λύση είναι συνεχής με συνεχείς παραγώγους μέχρι 2ης τάξης στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή σε όλο το R. Το προηγούμενο παράδειγμα δείχνει ότι μόνο η συνέχεια της F (, y) δεν αρκεί για να μας εξασφαλίσει μοναδικότητα της λύσης του ΠΑΤ y = F (, y), y( ) = y Όπως θα δείξουμε, αν η F (, y) είναι συνεχής με συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης σε ένα χωρίο D, δηλαδή F C 1 (D), είναι αρκετό για να εξασφαλιστεί μοναδικότητα της λύσης του ΠΑΤ. Όμως η μοναδικότητα της λύσης του ΠΑΤ εξασφαλίζεται, και κάτω από μια πιο ασθενή συνθήκη. Αρκεί η F να είναι συνεχής στο χωρίο D και να ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz εκεί. Η γραφική παράσταση της διπαραμετρικής λύσης του ΠΑΤ. Σε γενικές γραμμές ακολουθούμε την διαπραγμάτευση του θέματος που παρουσιάζεται στο σύγγραμμα: Garrett Birkhoff and Gian-Carlo Rota, Ordinary Differential Equations, Wiley, 1989. Συνθήκη Lipschitz Ορισμός 2. Μια συνάρτηση F (, y) ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz σε ένα χωρίο D, αν υπάρχει κάποιος μη αρνητικός L (που λέγεται σταθερή Lipschitz), έτσι ώστε η F να ικανοποεί την ανισότητα Αν y 2 > y 1 τότε η συνθήκη Lipschitz συνεπάγεται ότι F (, y 2 ) F (, y 1 ) L (y 2 y 1 ) (l) F (, y 2 ) F (, y 1 ) L y 2 y 1, (L) ταυτοτικά στο D, δηλαδή για κάθε ζευγάρι σημείων (, y 1 ), (, y 2 ) του D που έχουν την ίδια -συνιστώσα. Η σταθερή Lipschitz L εξαρτάται από το χωρίο D, δηλαδή καθώς το χωρίο D μεταβάλλεται η ίδια συνάρτηση F μπορεί να ικανοποιεί συνθήκες Lipschitz με διαφορετικές σταθερές L, ή καμία συνθήκη Lipschitz. και λέμε ότι η συνάρτηση F (, y) ικανοποιεί μια μονόπλευρη συνθήκη Lipschitz στο D. 31

Παράδειγμα 3. Θεωρούμε την συνάρτηση F (, y) = + y 2 στο (κλειστό) παραλληλόγραμμο Π A,B = {(, y) R 2 A, y B} Έχουμε F (, y 2 ) F (, y 1 ) = y 2 2 y2 1 = y 2 + y 1 y 2 y 1 2 B y 2 y 1. Άρα η F (, y) ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz στο Π A,B, με σταθερή Lipschitz από ιδιότητες των απολύτων ισχύει ότι y 2 + y 1 y 2 + y 1 L = 2 B η οποία εξαρτάται από το ύψος του παραλληλογράμμου στην y - συνιστώσα. Αν B, δηλαδή θεωρήσουμε την λωρίδα Λ με Α A στον R 2, όπου το πάνω και κάτω άκρο της λωρίδας εκτείνονται απεριόριστα, τότε η F (, y) δεν ικανοποιεί καμιά συνθήκη Lipschitz στην Λ. Γεωμετρική ερμηνεία της συνθήκης Lipschitz Για να δούμε μια γεωμετρική ερμηνεία της συνθήκης Lipschitz ας παγώσουμε την μια διάσταση, δηλαδή την συνιστώσα, και ας θεωρήσουμε την F ως συνάρτηση μόνο της y, δηλαδή F = F (y). Ας υποθέσουμε ότι η F ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz σε μια γειτονιά B του y R. Τότε για κάθε y B ισχύει ότι F (y) F (z) F (y) F (z) L y z y z L Θέτοντας z = y + h η προηγούμενη ανισότητα γίνεται F (y + h) F (y) h L Αν παίρναμε το h, και αν η F ήταν παραγωγίσιμη ως συνάρτηση του y στο B, τότε το αποτέλεσμα θα μας πληροφορούσε ότι F (y) L στο B, ή με άλλα λόγια η κλίση της F (y) θα ήταν φραγμένη από την σταθερή Lipschitz L. Όμως, στον ορισμό της συνθήκης Lipschitz δεν υπάρχει κάτι που να μας επιτρέπει να συνάγουμε το συμπέρασμα ότι η F (y) είναι παραγωγίσιμη. Οπότε, γενικά, δεν μπορούμε να προχωρήσουμε στο όριο. Όμως η προηγούμενη διαπίστωση μας οδηγεί στο εξής συμπέρασμα: Το ότι η F ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz σημαίνει ότι το γράφημα της F (y) ως συνάρτηση του y δεν μπορεί να είναι πολύ απότομο, Αυτό με την σειρά του σημαίνει ότι η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (y, F (y)) και (z, F (z)) 2, να μην ξεπερνά μια πεπερασμένη τιμή L, καθώς τα y, z διατρέχουν ολόκληρο το διάστημα B. 2 η ευθεία λέγεται τέμνουσα 32

Ας επανέλθουμε στο Παράδειγμα 1. και ας δούμε την γραφική παράσταση της συνάρτητης F (, y) = 3 y 2/3 που δίνεται από το ΠΑΤ. Το γράφημα της F ως συνάρτηση του y έχει το σχήμα μιας σφήνας, όπως φαίνεται στο σχήμα δίπλα. Αν στο ίδιο γραφικό σχεδιάσουμε και τις τέμνουσες που διέρχονται από το κέντρο των αξόνων τότε παίρνουμε το επόμενο σχήμα. Από το σχήμα διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να σφηνώνουμε διαρκώς ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και τέμνουν το γράφημα της F (y), μέχρι τελικά να πλησιάσουμε όσο κοντά θέλουμε την κατακόρυφη ευθεία που περιγράφεται από την εξίσωση y =, και σημειώνεται με κόκκινο χρώμα. Η γραφική παράσταση της F (y) = 3 y 2/3. Όμως η γωνία που σχηματίζει η κόκκινη κατακόρυφη με το οριζόντιο άξονα είναι π/2, δηλαδή η κλίση απειρίζεται θετικά εκεί. Ή με άλλα λόγια το γράφημα της F (, y) = 3 y 2/3 είναι πάρα πολύ απότομο κοντά στο y =, και γίνεται κατακόρυφο ακριβώς πάνω στο σημείο αυτό. Η προηγούμενη διαπίστωση μπορεί να γίνει αντιληπτή και αναλυτικά παίρνοντας την παράγωγο της συνάρτησης F (, y) = 3 y 2/3 ως προς y, η οποία είναι F y = 2 y 1/3 Οι τέμνουσες στο γράφημα της F = 3 y 2/3 που διέρχονται από το (, ). Πράγματι, καθώς y (από δεξιά ή αριστερά), τότε F y +. Οπότε καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα: H F (, y) = 3 y 2/3 δεν ικανοποιεί καμιά συνθήκη Lipschitz σε οποιοδήποτε χωρίο του R 2 με y >, ή y <. Η F (, y) = 3 y 2/3 ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz σε κάθε ημιεπίπεδο της μορφής y ε >, με σταθερή Lipschitz L = 2 ε 1/3 Τα χωρία του R 2 στα οποία η F = 3 y 2/3 ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz. Λήμμα 4. Έστω F (, y) συνεχής, με συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης σε ένα κλειστό, φραγμένο και κυρτό 3 χωρίο D. Τότε η F ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz στο D, με σταθερή Lipschitz F L = sup D y 3 Ένα χωρίο D λέγεται κυρτό αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει οποιαδήποτε δυο σημεία του περιέχεται ολόκληρο μέσα στο D. Απόδειξη: Αφού το χωρίο είναι κυρτό περιέχει ολόκληρο το κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σημεία (, y 1 ) και (, y 2 ) του επιπέδου. Από το Θεώρημα μέσης τιμής παγώνοντας την μεταβλητή και θεωρώντας την F (, y) ως συνάρτηση του y, έχουμε ότι υπάρχει (, ξ) D, με y 1 < ξ < y 2 τέτοιο ώστε F (, y 1 ) F (, y 2 ) = y 1 y 2 F (, ξ) y κυρτό χωρίο όχι κυρτά χωρία 33

Καθώς τα (, y 1 ), (, y 2 ) διατρέχουν το D, έχουμε ότι ισχύει η ανισότητα F (, y 1 ) F (, y 2 ) L y 1 y 2, με F L = sup D { y (, y) D } Λήμμα 5. Έστω σ() παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α, β], η οποία ικανοποιεί την διαφορική ανισότητα Αν F (, y) = g() τότε L =, και η F ικανοποιεί αυτόματα μια συνθήκη Lipschitz, έστω κι αν η g() είναι ασυνεχής. σ () K σ(), α β όπου K σταθερός πραγματικός. Τότε σ() σ(a) e K ( α), α β Απόδειξη: Πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη της σ () K σ() με e K και φέρνοτας στο ίδιο μέλος έχουμε e K (σ () K σ()) = (σ() e K ) Άρα η συνάρτηση σ() e K είναι μη-αύξουσα για α β, και συνεπώς σ()e K σ(a) e K a, και προφανώς το ζητούμενο. Λήμμα 6. Αν η F (, y ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz (L), τότε για οποιεσδήποτε λύσεις f(), g(), της σδε y = F (, y) ισχύει ότι (g() f())(g () f ()) L (g() f()) 2 Απόδειξη: Θέτουμε y 1 = f() και y 2 = g() και έχουμε (g() f())(g () f ()) = (y 2 y 1 ) (F (, y 2 ) F (, y 1 )) όπου έχουμε χρησιμοποιήσει την σδε. Αν y 2 > y 1, τότε από την σχέση (l) το δεξί μέλος της προηγούμενης φράσσεται από το L(y 2 y 1 ) 2. Εναλλάσσοντας τις y 1, y 2 μεταξύ τους τα προηγούμενα ισχύουν χωρίς αλλαγές. Άρα η ανισότητα που θέλουμε να δείξουμε ισχύει σε κάθε περίπτωση. Θεώρημα 7. Έστω f(), g(), οποιεσδήποτε λύσεις της σδε y = F (, y) σε ένα χωρίο D στο οποίο η F ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz (L). Τότε f() g() e L ( a) f(α) g(α) > α. Απόδειξη: Θεωρούμε την συνάρτηση σ() = (g() f()) 2 Η σχέση αυτή μας λέει ότι αν οι αρχικές τιμές f(α), g(α) είναι κοντά μεταξύ τους, το ίδιο ισχύει και για τις λύσεις f(), g() για κάθε > a, άρα εξαρτώνται με συνεχή τρόπο από τις αρχικές τιμές του ΠΑΤ. Παίρνοντας την παράγωγο έχουμε σ () = 2 (g() f()) (g () f ()) 34

Από το Λήμμα 6. έχουμε ότι σ () 2 L σ(), η οποία από το Λήμμα 5. συνεπάγεται ότι σ() e 2 L ( a) σ(α). Η τελευταία από τον ορισμό της σ() είναι (f() g()) 2 e 2 L ( a) (f(α) g(α)) 2 Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα της προηγούμενης έχουμε f() g() e L ( α) f(α) g(α) > α. Θεώρημα 8. (Μοναδικότητα λύσης του ΠΑΤ) Αν η F ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz (L) στο χωρίο D, τότε το ΠΑΤ y = F (, y), y( ) = y έχει μοναδική λύση που διέρχεται από κάθε (, y ) D. Απόδειξη: Από το Θεώρημα 7 έχουμε ότι ισχύει f() g() e L ( α) f(α) g(α) > α. Από την άλλη, αντικαθιστώντας, και α α, στο Θεώρημα 7 έχουμε ότι f() g() e L (α ) f(α) g(α) < α. Οπότε σε κάθε περίπτωση (είτε > α, είτε < α) ισχύει ότι f() g() e L α f(α) g(α). Αν f(α) = g(α) τότε η σχέση f() g() e L ( α) f(α) g(α) γίνεται f() g() για κάθε > a, που προφανώς, ισχύει μόνο για f() = g() και άρα συνεπάγεται την μοναδικότητα της λύσης του ΠΑΤ για > α. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται η μοναδικότητα και για < α, όπως δείχνει το επόμενο Θεώρημα 8. αρκεί η F (, y) να ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz στο χωρίο D. Το Θεώρημα Picard Lindelöf Το Θεώρημα Picard Lindelöf, είναι το βασικό Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών όπου y = F (, y), y( ) = y, i) η F (, y) συνεχής, και ορισμένη σε ένα ανοικτό χωρίο U R 2, και ii) η F (, y) ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz στο U. Το Θεώρημα έχει τοπικό χαρακτήρα, δηλαδή εγγυάται ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του ΠΑΤ μόνο σε μια γειτονιά του σημείου (, y ) R 2 από το οποίο διέρχεται η λύση του ΠΑΤ. Όπως θα δούμε σε ασκήσεις και παραδείγματα, αν μπορούμε να βρούμε την λύση ενός ΠΑΤ σε κλειστή μορφή τότε αυτή ενδέχεται να ισχύει σε ένα πολύ μεγαλύτερο διάστημα από αυτό που εγγυάται το Θεώρημα Picard Lindelöf. 35

Θεώρημα 9. (Picard Lindelöf) Έστω A, B θετικοί πραγματικοί, και, y R και έστω ότι η συνάρτηση F (, y) i) είναι συνεχής στο κλειστό παραλληλόγραμμο Π A,B = { (, y) R 2 A + A, y B y y + B } ii) ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz στο Π A,B, δηλαδή ότι υπάρχει μη αρνητικός πραγματικός L, έτσι ώστε η F να ικανοποιεί την ανισότητα F (, y 1 ) F (, y 2 ) L y 1 y 2, (, y 1 ), (, y 2 ) Π A,B. Τότε, το πρόβλημα αρχικών τιμών y = F (, y), y( ) = y, έχει μοναδική λύση στο διάστημα I = [ a, + a], όπου Το αρχικό παραλληλόγραμμο Π A,B του θεωρήματος Picard Lindelöf. Το Θεώρημα εγγυάται ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του ΠΑΤ σε ένα (γενικά) μικρότερο διάστημα I = [ a, + a], όπου < a < min{ A, 1 L, B K }, και K = sup{ F (, y) (, y) Π A,B }. Η λύση αυτή δίνεται από το όριο < a < min{ A, 1 L, B K }, y() = lim n y n (), I, της ακολουθίας των διαφορίσιμων συναρτήσεων { y n () } n=, οι οποίες ορίζονται από τους αναδρομικούς τύπους y () = y και y n+1 () = y + F (s, y n (s)) ds, n =, 1, 2, Τα μέλη της ακολουθίας των συναρτήσεων { y n () } n=, αναφέρονται ως προσεγγίσεις (του) Picard και η χρήση τους για την εύρεση της (μοναδικής) λύσης ενός π.α.τ. καλείται μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων Picard. Πριν αποδείξουμε το Θεώρημα, το οποίο είναι μια απλή εφαρμογή του θεωρήματος σταθερού σημείου του Banach για τελεστές στην συναρτησιακή ανάλυση, κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: Παρατήρηση 11. Από την υπόθεση ii) του Θεωρήματος Picard Lindelöf, και από το Θεώρημα 8., η y(), αν υπάρχει, είναι η μοναδική λύση του ΠΑΤ στο διάστημα I. 36

Παρατήρηση 12. Από το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού, ολοκληρώνοντας την σχέση y () = F (, y()) ως προς έχουμε y() = y + F (s, y(s)) ds η οποία είναι μια ολoκληρωτική εξίσωση για την άγνωστη συνάρτηση y(). Μια y() ικανοποιεί την y () = F (, y()), με y( ) = y αν και μόνο αν ικανοποιεί την προηγούμενη ολοκληρωτική εξίσωση. Παρατήρηση 13. Γράφουμε την σδε y () = F (, y()) σε τελεστική μορφή, δηλαδή ορίζουμε έναν τελεστή (απεικόνιση) Ψ που παίρνει μια τυχαία συνάρτηση g() και ως αποτέλεσμα δίνει μια νέα συνάρτηση Ψ(g)() ως εξής Ψ(g)() = y + F (s, g(s)) ds Άρα η y () = F (, y()) γράφεται ως Ψ(y)() = y(), ή πιο απλά ως Ψ(y) = y Η στρατηγική μας είναι τώρα να βρούμε έναν πλήρη χώρο συναρτήσεων C, και να αποδείξουμε ότι η απεικόνιση Ψ C C είναι μια συστολή. Θα τα δούμε τι σημαίνουν αυτά παρακάτω. Ορισμός 14. Έστω C [a,b] ο χώρος των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής που είναι συνεχείς στο διάστημα [a, b]. Αν y C [a,b], τότε η νόρμα y της y είναι o πραγματικός αριθμός y = sup y() [a,b] Η νόρμα μιας συνάρτησης y μπορεί να θεωρηθεί ως μια απόσταση ανάμεσα στην y() και την ταυτοτικά μηδενική συνάρτηση y(). Οπότε η απόσταση μεταξύ δυο συναρτήσεων y 1, y 2 C [a,b] είναι η νόρμα της συνάρτησης y 1 y 2, δηλαδή y 1 y 2 = sup y 1 () y 2 () [a,b] Ορισμός 15. Μια ακολουθία συναρτήσεων {y n ()} n= στον C [a,b] συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση y() C [a,b] αν και μόνο αν lim y n y = n δηλαδή, η ακολουθία των πραγματικών αριθμών y n y συγκλίνει στο. 37

Θεώρημα 16. (Θεώρημα σταθερού σημείου του Banach για τελεστές) Έστω S το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα [a, b] οι οποίες απέχουν μια σταθερή απόσταση ρ > από μια δοσμένη συνάρτηση y () C [a,b], δηλαδή S = {y C [a,b] y y ρ} Έστω Ψ ένας τελεστής Ψ S S ο οποίος είναι συστολή, δηλαδή k R k < 1 τέτοιος ώστε Ψ(w) Ψ(z) k w z w, z S Τότε ο Ψ έχει ένα σταθερό σημείο (συνάρτηση) y, δηλαδή Ψ(y) = y. Επιπλέον, η ακολουθία των διαδοχικών προσεγγίσεων y n+1 = Ψ(y n ), n =, 1, 2 συγκλίνει ομοιόμορφα στο σταθερό σημείο y, για οποιαδήποτε αρχική επιλογή y () S. Εφοδιασμένοι με τα προηγούμενα είμαστε σε θέση να αποδείξουμε το Θεώρημα 9. των Picard Lindelöf. Απόδειξη του θεωρήματος 9. ( Picard Lindelöf) Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο Μια γραφική αναπαράσταση του Θεωρήματος σταθερού σημείου του Banach. Δρώντας με τον τελεστή Ψ S S στην g S, καθώς η g διατρέχει το S, οδηγούμαστε σε ένα υποσύνολο Ψ(S) S όπου οι συναρτήσεις εκεί είναι πιο κοντινές μεταξύ τους, αφού ο Ψ είναι συστολή. Το Θεώρημα λέει ότι υπάρχει y S τέτοια ώστε Ψ(y) = y. Η απόδειξη του Θεωρήματος αυτού μας βγάζει έξω από τους στόχους των σημειώσεων αυτών. Π A,B = [ A, + A] [y B, y + B] Ορίζουμε K = sup{ F (, y) (, y) Π A,B } Έστω a πραγματικός τέτοιος ώστε όπου L η σταθερή Lipschitz. < a < min{ A, 1 L, B }, ( ) K Συμβολίζουμε με I = [ a, + a] και θεωρούμε το χώρο των συνεχών συναρτήσεων στο I, εφοδιασμένο με την νόρμα, που απέχουν απόσταση B από την σταθερή συνάρτηση y, δηλαδή y y B, τον οποίο συμβολίζουμε με C I, Αν y C I, τότε για κάθε I έχουμε ότι y() y = F (s, y(s)) ds (Από Παρατήρηση 12.) F (s, y(s)) ds (από ιδιότητες ολοκλ. Riemann) K (K = sup{ F (s, y(s)) s Π A,B }) K a < B (αφού I και την ( )) Η προηγούμενη ανισότητα δείχνει ότι αν y C I τότε y() y < Β για κάθε I, οπότε η συνάρτηση F (, y()) είναι ορισμένη για κάθε I. 38

Ορίζουμε τον τελεστή Ψ ως εξής (Παρατήρηση 13.) Ψ(g)() = y + F (s, g(s)) ds Αν g C I, τότε η Ψ(g) είναι συνεχής στο I, αφού από την προηγούμενη σχέση και το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού η Ψ(g)() είναι παραγωγίσιμη στο I, και άρα συνεχής στο I. Επιπλέον το γράφημα της Ψ(g)() παραμένει εντοπισμένο μέσα στο παραλληλόγραμμο I [y B, y + B]. Πράγματι, για κάθε I έχουμε Ψ(g)() y = F (s, g(s)) ds F (s, g(s)) ds sup { F (s, g(s)) (s, g) Π A,B} ds K (C) K a < B Από την προηγούμενη ανισότητα έχουμε ότι Ψ(g) y B, άρα τελικά και Ψ(g) C I, και ο Ψ απεικονίζει τον C I στον C I. Το μόνο που απομένει να δείξουμε είναι ότι ο Ψ είναι συστολή στον χώρο C I. Έστω I και g 1, g 2 C I. Τότε Ψ(g 1 ) Ψ(g 2 ) = sup { Ψ(g 1 )() Ψ(g 2 )(), I} = sup { [F (s, g 1 (s)) F (s, g 2 (s))] ds, I} sup { F (s, g 1 (s)) F (s, g 2 (s)) ds, I} sup { L g 1 (s) g 2 (s) ds, I} (Lipschitz) sup {L g 1 g 2 ds, I} sup {L g 1 g 2, I} L a g 1 g 2 Όμως από την ( ) ισχύει ότι L a < 1 άρα ο Ψ είναι συστολή. Συνεπώς από το Θεώρημα 16 σταθερού σημείου του Banach υπάρχει (μοναδική) y() C I τέτοια ώστε Ψ(y) = y, και βάσει της Παρατήρησης 13, υπάρχει μοναδική λύση του ΠΑΤ y = F (, y), με y( ) = y, για κάθε I = [ a, + a]. 39

Άσκηση 1. Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών y = 2y y 2, y() = 1. (α) Να βρεθούν οι τρείς πρώτες προσεγγίσεις Picard. (β) Να βρεθεί η αναλυτική λύση του π.α.τ. Λύση. (α) Τα τρία πρώτα μέλη της ακολουθίας Picard είναι οι συναρτήσεις y (), y 1 () και y 2 (). Έχουμε λοιπόν ότι, και y () = y = 1, y 1 () = y + F (s, y (s)) ds = 1 + F (s, 1) ds = 1 + (2 1) ds = 1 + ds = 1 +, y 2 () = y + F (s, y 1 (s)) ds = 1 + F (s, 1 + s) ds = 1 + ( 2(1 + s) (1 + s) 2 ) ds = 1 + (2 + 2s 1 2s s 2 ) ds = 1 + (1 s 2 ) ds = 1 + ( s s3 3 ) = 1 + 3 3. Άρα, y () = 1, y 1 () = 1 +, και y 2 () = 1 + 3 3. (β) Η διαφορική εξίσωση y = 2y y 2 είναι αυτόνομη (δεν εξαρτάται από το ), κι άρα μπορεί να λυθεί εφαρμόζοντας την μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών. Ισοδύναμα γράφεται 4, ή κι άρα ολοκληρώνοντας κατά μέλη, y (2 y)y = 1 1 ( 2 y + 1 y) y = 2, 4 Επειδή αναζητούμε λύση του π.α.τ., δηλαδή συνάρτηση που ικανοποιεί και την αρχική συνθήκη y() = 1, έχουμε y και y 2. ln y ln 2 y = 2 + c, c R. Η σχέση αυτή μπορεί να γραφεί και ισοδύναμα ώς y ln = 2 + c, 2 y 4

ή θεωρώντας την καινούργια σταθερή C = ±e c, ως Λύνοντας ως προς y, έχουμε, y 2 y = Ce2, C R. y = 2Ce2 1 + Ce 2. Αντικαθιστώντας στην σχέση αυτή την τιμή του ίση με το μηδεν, και χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη, βρίσκουμε ότι C = 1, και συνεπώς η λύση του δοσμένου π.α.τ. είναι η y() = 2e2, R. 1 + e2 Η γραφική παράσταση της λύσης του πατ (κόκκινη καμπύλη) κι οι διαδοχικές προσεγγίσεις Picard. Άσκηση 2. Θεωρούμε το ακόλουθο πατ y = (y + 1) 2, y(1) = 1. (α) Να μεγιστοποιηθεί το διάστημα στο οποίο εγγυάται ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του πατ το Θεώρημα Picard-Lindeöf. (β) Να βρεθεί η αναλυτική λύση του πατ και να αποδειχθεί ότι το διάστημα που ισχύει η λύση είναι πολύ μαγαλύτερο από αυτό του (α) μέρους. Λύση. (α) Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο Π = [1 A, 1 + A] [1 B, 1 + B] Η F (, y) = (y + 1) 2 είναι κλάσης C στο R 2, άρα και στο Π. Επιπλέον, το Π είναι κλειστό, φραγμένο και κυρτό χωρίο του R 2. Άρα από το Λήμμα 4. η F (, y) ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz στο Π, με σταθερή Lipschitz L = sup{ F y (, y) (, y) Π} = ma{2 y + 1 y 1 B} = 2 (B + 2) Άρα οι υποθέσεις του θεωρήματος Picard-Lindelöf ικανοποιούνται, συνεπώς υπάρχει μοναδική λύση του πατ στο διάστημα για [1 a, 1 + a] με y 1 B B y 1 B 2 B y + 1 B + 2 y + 1 B + 2 < a min{a, 1 L, B K } όπου K = sup{ F (, y) (, y) Π} = ma{(1 + y) 2 y 1 B} = (B + 2) 2 41

Αφού μπορούμε να επιλέξουμε για A όσο μεγάλο διάστημα θέλουμε, αρκεί να βρούμε που γίνονται μέγιστα τα κλάσματα 1, και B κι από αυτά θα επιλέξουμε το μικρότερο. Το 1 = 1 L K είναι προφανώς φθίνουσα συνάρτηση του L 2 (B+2) B, με B >, οπότε αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το κλάσμα B = B, με K (B+2) 2 B >. Έχουμε B ((B + 2) 2 ) = 1 (B + 2) 2 2 B (B + 2) 3 = 2 B (B + 2) 3 Για B = 2 έχουμε τοπικό μέγιστο, άρα υπολογίζουμε για B = 2 τα δυο κλάσματα 1, και B και βρίσκουμε L K 1 L = B K = 1 8 άρα a = 1 8 Άρα το μέγιστο διάστημα που εγγυάται το Θεώρημα Picard-Lindelöf ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του πατ είναι για [1 1 8, 1 + 1 8 ]. (β) Η σδε y = (y + 1) 2 είναι χωριζομένων μεταβλητών και ολοκληρώνεται πολύ εύκολα (αφήνεται στον αναγνώστη). Το αντίστοιχο πατ έχει την μοναδική λύση y = 2 1 3 2 με πεδίο ορισμού D = (, 3 ) ( 3, ), και αφού η αρχική συνθήκη μας 2 2 δίνεται για = 1 < 3, η λύση ορίζεται στον αριστερό κλάδο, οπότε για 2 (, 3 ). 2 Προφανώς το διάστημα που ισχύει η μοναδική λύση του πατ είναι κατά πολύ μεγαλύτερο από το διάστημα [1 1, 1 + 1 ] του (α) μέρους. 8 8 Η μοναδική λύση του πατ. Με κόκκινο χρώμα το (μέγιστο) διάστημα που εγγυάται την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης το Θεώρημα Picard-Lindelöf. Με πράσινο χρώμα (μέρος) του διαστήματος (, 3 ) που ισχύει η μοναδική λύση του 2 πατ πραγματικά. Άσκηση 3. Θεωρούμε το πατ y = y 2 2 y + 2 y() = 1 α) Αποδείξτε ότι οι υποθέσεις του θεωρήματος Picard-Lindelöf ικανοποιούνται στο παραλληλόγραμμο Π = {(, y) R 2 1, y 1 B}, B >. β) Το Θεώρημα Picard-Lindelöf στο Π εξασφαλίζει ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του πατ, σε ένα διάστημα της μορφής α B, που εξαρτάται από το B. Προσδιορίστε την τιμή του α B. Στη συνέχεια βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του α B, για B >. γ) Υπολογίστε τις δυο πρώτες προσεγγίσεις Picard. δ) Bρείτε την μοναδική λύση του ΠΑΤ και το διάστημα που ισχύει. 42

Λύση. α) Προφανώς η συνάρτηση F (, y) = (y ) 2 = y 2 2y + 2 ως πολυωνυμική, είναι κλάσης C, δηλαδή συνεχής με συνεχείς παραγώγους οποιασδήποτε τάξης σε όλο το R 2, άρα και στο Π. Επιπλέον, το Π είναι κλειστό, φραγμένο και κυρτό χωρίο του R 2. Άρα από το Λήμμα 4. η F (, y) ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz στο Π, με σταθερή Lipschitz Πιο αναλυτικά L = sup{ F y (, y) (, y) Π} = = ma{2 y (, y) Π} = 2(B + 2) 2 y 2 y + 2 2(B + 1) + 2 = 2(B + 2) = F y ( 1, B + 1) Άρα οι υποθέσεις του θεωρήματος Picard-Lindelöf ικανοποιούνται. β) Συνεπώς υπάρχει μοναδική λύση του πατ στο διάστημα α B, με όπου < α B min{1, 1 L, B K } K = sup F (, y) (, y) Π = ma{ y 2 (, y) Π} = (B + 2) 2 με K = (B + 2) 2 = F ( 1, B + 1). Το 1 = 1 L 2 (B+2) μεγιστοποιήσουμε το κλάσμα B = K είναι προφανώς φθίνουσα συνάρτηση του B, οπότε αρκεί να B ((B + 2) 2 ) = B, με B >. Έχουμε (B+2) 2 1 (B + 2) 2 2 B (B + 2) 3 = 2 B (B + 2) 3 Για B = 2 έχουμε τοπικό μέγιστο, άρα υπολογίζουμε για B = 2 τα δυο κλάσματα 1, και B και βρίσκουμε L K 1 L = B K = 1 8 άρα a = 1 8 Άρα το μέγιστο διάστημα που εγγυάται το Θεώρημα Picard-Lindelöf ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του πατ είναι για [ 1 8, 1 8 ]. 43

γ) Υπολογίζουμε τις δυο πρώτες προσεγγίσεις Picard έχοντας ως αφετηρία y = 1 και έχουμε y 1 () = 1 + (1 t) 2 dt = 1 + 2 + 3 3 y 2 () = 1 + (y 1 (t) t) 2 dt = 1 + + O( 3 ) όπου Ο( 3 ) σημαίνει όροι με δυνάμεις του 3 και πάνω. δ) Παρατηρούμε ότι από την πρώτη προσέγγιση στην δεύτερη, ο όρος 1 + έμεινε αμετάβλητος, ενώ οι όροι με ανώτερες δυνάμεις σπρώχτηκαν προς τα πάνω, π.χ. από 2 προς 3 κτλ. Αυτό μας υποψιάζει ότι μάλλον η λύση μας είναι η y() = 1 +, γιατί κοντά στο =, καθώς το n πάει στο άπειρο, οι προσεγγίσεις Picard τείνουν στην y() = 1 +. Εναλλακτικά, αν είχαμε ξεκινήσει με αφετηρία την y () = 1 + ως πρώτη προσέγγιση Picard θα είχαμε βρει ότι y 1 = y 2 = = y n = 1 + δηλαδή το σταθερό σημείο του ολοκληρωτικού τελεστή συστολής. Πραγματικά, αν y () = 1 + τότε έχουμε για τις διαδοχικές προσεγγίσεις Picard y 1 () = 1 + (y (t) t) 2 dt = 1 + (1 + t t) 2 dt = 1 + y 2 () = 1 + (y 1 (t) t) 2 dt = 1 + (1 t t) 2 dt = 1 + ΠΡΟΣΟΧΗ! Αν ξεκινήσουμε με αρχική προσέγγιση y () δική μας επιλογής, διαφορετική από την αρχική συνθήκη y, τότε ο τύπος που δίνει τις διαδοχικές προσεγγίσεις Picard είναι y n+1 () = y + F (t, y n (t)) dt n =, 1, 2, όπου το y έξω από το ολοκλήρωμα αναφέρεται για κάθε n στην αρχική συνθήκη y( ) = y, και ΟΧΙ στην αρχική προσεγγιστική συνάρτηση y (), ενώ το y () μέσα στο ολοκλήρωμα αναφέρεται για n = στην αρχική συνάρτηση της επιλογής μας, μετά στην y 1 (), y 2 () κ.ο.κ. που βρίσκουμε από την αναδρομική σχέση. Με άλλα λόγια ο αναδρομικός τύπος (γενικά) είναι g n+1 () = y + F (t, g n (t)) dt n =, 1, 2, με g () μια τυχαία συνεχή συνάρτηση, και η λύση του ΠΑΤ είναι η y() = lim n g n () Αλλιώς, με απ ευθείας αντικατάσταση της y() = + 1 στην σδε βρίσκουμε πολύ εύκολα ότι την ικανοποιεί, και αφού ικανοποιεί και την αρχική συνθήκη και γνωρίζουμε ότι το πρόβλημα έχει μοναδική λύση, τότε η y() = + 1 είναι η μοναδική λύση του πατ η οποία προφανώς ισχύει σε όλο το R. 44

Άσκηση 4. Έστω μια συνάρτηση f R R, τοπικά Lipschitz και άρτια. Δείξτε ότι η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι περιττή συνάρτηση. y = f(y), y() = Λύση. Αφού η συνάρτηση f είναι τοπικά Lipschitz, υπάρχουν θετικοί αριθμοί r και L ώστε f(y 1 ) f(y 2 ) L y 1 y 2 για κάθε y 1, y 2 ( r, + r). Τότε όμως η f είναι συνεχής 5 στο ( r, r) (ανεξάρτητα από το, δηλαδή για κάθε R). Άρα ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος Picard Lindelöf, οπότε υπάρχει μοναδική λύση y() του π.α.τ. (σε κάποιο κατάλληλο κλειστό διάστημα I) που δίνεται ως το όριο y() = lim y n n (), I, όπου y n (), n =, 1, 2, οι προσεγγίσεις Picard. Θα δείξουμε ότι κάθε μέλος της ακολουθίας αυτής είναι περιττή συνάρτηση, χρησιμοποιώντας επαγωγή στο n. Πράγματι, η πρόταση ισχύει για n =, αφού y () = y() =, η οποία, είναι περιττή ( και άρτια ). 5 Πράγματι, για τυχαίο ε > και y ( r, r), θεωρούμε δ τέτοιο ώστε < δ < min{ r y, ε/l }. Τότε, για y y < δ, έχουμε ότι και y y y + y < δ + y < r f(y) f(y ) L y y < Lδ ε. Συνεπώς η f(y) είναι συνεχής στο διάστημα ( r, r). Έστω ότι η πρόταση ισχύει για n = k, δηλ. η k προσέγγιση Picard y k () είναι περιττή, δηλαδή y k ( ) = y k ( ). Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για n = k + 1. Έχουμε y k+1 ( ) = y + f(y k (s)) ds = + f(y k (s)) ds = f(y k ( t)) dt = f( y k (t)) dt = f(y k (t)) dt = y k+1 (). (θέτοντας s = t) (από την υπόθεση επαγωγής) (αφού η f είναι άρτια) Συνεπώς, όλες οι διαδοχικές προσεγγίσεις Picard {y n ()} n= είναι περιττές συναρτήσεις. Τότε όμως, y( ) = lim n y n ( ) = lim n y n () = lim n y n () = y(), για κάθε I, που σημαίνει ότι η συνάρτηση y() είναι περιττή. 45

Άσκηση 5. Να βρεθούν όλες οι λύσεις του προβλήματος αρχικών τιμών y = y 1/3, y() =. Μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Picard Lindelöf στο ημιεπίπεδο y > ; Δικαιολογήστε. Συζητήστε τα αποτελέσματά σας. Λύση. Μια προφανής (ιδιάζουσα) λύση του πατ είναι η y() =. Από την άλλη, χωρίζοντας τις μεταβλητές και ολοκληρώνοντας κατά μέλη παίρνουμε y 1/3 dy = + c, c R, δηλαδή και άρα 3 2 y2/3 = + c 2 y = ± ( 3 ( + c) 3/2 ). Καθώς όμως y() =, θα πρέπει c =. Οπότε το πατ ικανοποιείται και από τις συναρτήσεις 3 2 y() = ± ( 3 2 ). Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών δεν έχει μοναδική λύση. Ωστόσο, αυτό δεν αντιφάσκει στο Θεώρημα Picard Lindelöf, γιατί πολύ απλά δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος. Ειδικότερα, η συνάρτηση F (, y) = y 1/3, ναι μεν είναι συνεχής στο ημιεπίπεδο y >, αλλά αποτυγχάνει να ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz, στο ημιεπίπεδο y >. Αυτό είναι προφανές αφού η μερική παράγωγος της F ως προς y είναι Ολοκληρωτικές καμπύλες της σδε y = y 1/3 καθώς κι οι τρεις λύσεις του πατ με y() =. (κόκκινη ευθεία και σκούρο καφέ καμπύλη με y > και y <.) F y = 1 3y 2 3 η οποία απειρίζεται καθώς y +, και άρα δεν ικανοποιεί καμία συνθήκη Lipschitz στο ημιεπίπεδο y >. Επιπλέον, για κάθε ε > η συνάρτηση F (, y) = y 1/3 ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz σε κάθε ημιεπίπεδο της μορφής y ε >, με L = 1 3 ε 2/3. Οπότε, καθώς το χωρίο D που θεωρούμε μεταβάλλεται, η F (, y) μπορεί να ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz, πιθανώς με διαφορετικές σταθερές Lipschitz L, ή να μην ικανοποιεί καμιά συνθήκη Lipschitz, όπως δείξαμε προηγουμένως στο ημιεπίπεδο y >. Αν η F (, y) αποτυγχάνει να ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz σε ένα χωρίο D, σχετίζεται με το γεγονός ότι το αντίστοιχο πατ, πιθανότατα, δεν έχει μοναδική λύση στο χωρίο αυτό. 46

Ασκήσεις για επίλυση Άσκηση 1. Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (πατ) y = y 2 y() = 1 α) Αποδείξτε ότι οι υποθέσεις του θεωρήματος Picard-Lindelöf ικανοποιούνται στο παραλληλόγραμμο Π = {(, y) R 2 A, y 1 B}, A, B >. β) Το Θεώρημα Picard-Lindelöf στο Π εξασφαλίζει ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του πατ, σε ένα διάστημα της μορφής α B, που εξαρτάται μόνο από το B. Προσδιορίστε την τιμή του α B. Στη συνέχεια βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του α B, για B >. γ) Υπολογίστε τις δυο πρώτες προσεγγίσεις Picard με δυο διαφορετικές αρχικές προσεγγίσεις i) y () = 1, και ii) y () = 1 1. Συζητήστε. δ) Λύστε την σδε (χωριζομένων μεταβλητών) και βρείτε την μοναδική λύση του ΠΑΤ και το διάστημα που ισχύει και σχεδιάστε την. Τι σχέση έχει η συνάρτηση αυτή με τις προσεγγιστικές λύσεις του γ) υποερωτήματος; ε) Θεωρήστε ένα παραλληλόγραμμο πέρα από την ασύμπτωτο = 1 της λύσης του ΠΑΤ, π.χ. A = 2, B = 1 στο α). Ποιό είναι το διάστημα που εγγυάται ύπαρξη και μοναδικότητα της λύση του ΠΑΤ το Θεώρημα Picard Lindelöf στο παραλληλόγραμμο αυτό; Συζητήστε τα αποτελέσματα. Άσκηση 2. Αποδείξτε ότι το ΠΑΤ y = 2 + y 2, y() =, ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Picard-Lindelöf στο τετράγωνο T = [ 1, 1] [ 1, 1], και βρείτε το διάστημα που εξασφαλίζει το Θεώρημα ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του ΠΑΤ. Άσκηση 3. Βρείτε τα αντίστοιχα διαστήματα στα οποία οι συναρτήσεις ικανοποιούν το ΠΑΤ y 1 () = και y 2 () = ( ) 2 y = 2 y, y( ) = και εξηγήστε γιατί η ύπαρξη των δυο λύσεων του ΠΑΤ δεν αντιφάσκει στο Θεώρημα Picard-Lindelöf. Άσκηση 4. Αποδείξτε τιην ακόλουθη Πρόταση: Αν η f R R είναι τοπικά Lipschitz και περιττή, τότε η μοναδική λύση του πατ y = f(y), y() = είναι η μηδενική συνάρτηση, y() =. 47