ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο ε ορθές και διατµητικές υνιτώες. Στη γενική περίπτωη οι διατµητικές υνιτώες χηµατίζουν τυχαίες γωνίες µε τους άξονες υντεταγµένων, οπότε είναι πιο βολικό κάθε διατµητική τάη να αναλύεται περαιτέρω ε δύο διατµητικές υνιτώες, οι διευθύνεις των οποίων να υµπίπτουν µε τους άξονες υντεταγµένων. Έτι, η γενική περίπτωη ταικού πεδίου γύρω από ένα τυχαίο ηµείο Q κάποιου τερεού υλικού φαίνεται το Σχ. 1. Σχ. 1 Για να µπορέουµε να περιγράψουµε καλύτερα τις τάεις το ηµείο αυτό, θεωρούµε ένα τοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε µήκος ακµών, και z, το οποίο περικλείει το υπό εξέταη ηµείο Q. Στο Σχ. 1 έχουµε θεωρήει έναν τοιχειώδη κύβο, όπου = = z=α, για απλούτευη. Οι τάεις που επιδρούν κάθετα τις έδρες του τοιχειώδους 4

παραλληλεπιπέδου (δηλαδή οι ορθές τάεις) περιγράφονται µε έναν µόνο δείκτη, ο οποίος αντιτοιχεί τη διεύθυνη της τάης. Έτι, είναι η ορθή τάη που επενεργεί προς την διεύθυνη του άξονα, η ορθή τάη που επενεργεί προς την διεύθυνη του άξονα και z η ορθή τάη που επενεργεί προς την διεύθυνη του άξονα z. Όον αφορά τις ορθές τάεις, έχει υµφωνηθεί παγκοµίως οι εφελκυτικές ορθές τάεις να θεωρούνται θετικές (+) και οι θλιπτικές ορθές τάεις να θεωρούνται αρνητικές (-). Σύµφωνα µε αυτή τη ύµβαη, όλες οι ορθές τάεις του Σχ. 1 είναι θετικές. Για την περιγραφή των διατµητικών τάεων απαιτούνται δύο δείκτες. Ο πρώτος δείκτης αναφέρεται την κάθετη προς το επίπεδο επάνω το οποίο επενεργεί η διατµητική τάη διεύθυνη. Ο δεύτερος δείκτης αναφέρεται την διεύθυνη της διατµητικής τάης. Για παράδειγµα, τ z είναι η διατµητική τάη που επενεργεί επάνω ε επίπεδο κάθετο προς τον άξονα και η διεύθυνή της είναι παράλληλη προς τον άξονα z. Οµοίως, τ είναι η διατµητική τάη που επενεργεί επάνω ε επίπεδο κάθετο προς τον άξονα και η διεύθυνή της είναι παράλληλη προς τον άξονα, κ.ο.κ. (βλ. Σχ. 1). Μία διατµητική τάη θεωρείται θετική εάν η φορά της είναι προς την θετική διεύθυνη του αντίτοιχου άξονα και ταυτόχρονα επενεργεί επάνω την θετική έδρα ενός τοιχειώδους παραλληλεπιπέδου. Επίης, είναι θετική εάν η φορά της είναι προς την αρνητική διεύθυνη του αντίτοιχου άξονα και ταυτόχρονα επενεργεί επάνω την αρνητική έδρα ενός τοιχειώδους παραλληλεπιπέδου. Σύµφωνα µε αυτό, οι διατµητικές τάεις του Σχ. είναι όλες θετικές. Σχ. 5

Αντίθετα, αρνητική θεωρείται µία διατµητική τάη όταν επενεργεί τη θετική έδρα ενός τοιχειώδους κύβου και έχει φορά προς την αρνητική διεύθυνη του άξονα υντεταγµένων, ή όταν επενεργεί την αρνητική έδρα ενός τοιχειώδους κύβου και έχει φορά προς την θετική διεύθυνη του άξονα υντεταγµένων. Για παράδειγµα, οι διατµητικές τάεις του Σχ. 3 είναι όλες αρνητικές. Σχ. 3 Επιτρέφοντας το ταικό πεδίο γύρω από το τυχαίο ηµείο Q του Σχ. 1, παρατηρούµε ότι για να περιγραφεί πλήρως η εντατική κατάταη γύρω από το ηµείο απαιτούνται εννέα ποότητες, δηλαδή οι εννέα υνιτώες της τάης. Αυτές είναι οι,, z, τ, τ z, τ, τ z, τ z και τ z. Ωτόο, πρέπει να λάβουµε υπόψη ότι το τοιχειώδες παραλληλεπίπεδο γύρω από το ηµείο Q, εφόον βρίκεται ε τατική ιορροπία, δεν µπορεί να περιτρέφεται. Εποµένως, γράφοντας την εξίωη ιορροπίας ροπών ως προς τον άξονα z γύρω από το ηµείο Q έχουµε: ΣΜ z,(q) = 0 (τ z ) ( /) (τ z ) ( /) = 0 τ = τ. Με τον ίδιο τρόπο, λύνοντας τις εξιώεις ιορροπίας ροπών ως προς τους άξονες και γύρω από το ηµείο Q (ΣΜ,(Q) = 0 και ΣM,(Q) = 0), προκύπτει αντίτοιχα ότι τ z = τ z και τ z = τ z. Κατά υνέπεια, τα πράγµατα απλουτεύονται και για την πλήρη περιγραφή της εντατικής κατάταης γύρω από τυχαίο ηµείο ενός υλικού αρκούν µόνο έξι υνιτώες τάης, τρεις ορθές και τρεις διατµητικές:,, z, τ, τ z και τ z. 6

. Μεταχηµατιµοί Τάης την Επίπεδη Εντατική Κατάταη Πολλά προβλήµατα µηχανικής µπορούν να απλοποιηθούν ηµαντικά θεωρώντας διδιάτατη εντατική κατάταη. Η περίπτωη αυτή υναντάται υχνά την πράξη όταν η µία διάταη ενός ώµατος είναι αρκετά µικρότερη ε ύγκριη µε τις υπόλοιπες δύο διατάεις του. Ας πάρουµε για παράδειγµα µία λεπτή πλάκα, της οποίας το µήκος και το πλάτος είναι πολύ µεγαλύτερα από το πάχος της. Όταν επιβάλλεται εξωτερική φόρτιη παράλληλα προς το επίπεδο µιας τέτοιας πλάκας, τότε δεν αναπτύονται τάεις κατά τη διεύθυνη του πάχους. Στην περίπτωη αυτή το ταικό πεδίο αποτελείται από δύο ορθές τάεις, και, και από µία διατµητική τάη τ, όπως δείχνει το Σχ. 4. Οι υπόλοιπες τάεις είναι ίες µε µηδέν ( z = τ z = τ z = 0). Μία εντατική κατάταη αυτού του είδους ονοµάζεται επίπεδη εντατική κατάταη (lane stress). Σχ. 4 Ας θεωρήουµε τώρα το ηµείο Q του Σχ. 4 γύρω από το οποίο επικρατεί επίπεδη εντατική κατάταη, η οποία περιγράφεται από τις τάεις,, και τ. Σκοπός µας είναι να καθορίουµε τις τάεις, και τ που χετίζονται µε ένα νέο ύτηµα υντεταγµένων (,,z ), το οποίο είναι περιτρεµµένο γύρω από τον άξονα z κατά µία γωνία θ ως προς το αρχικό ύτηµα υντεταγµένων (,,z), όπως δείχνει το Σχ. 5. (Ιοδύναµα θα µπορούε να πει κανείς ότι έχει περιτραφεί το τοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κατά γωνία θ γύρω από τον άξονα z.) 7

Σχ. 5 Για να υπολογιτούν οι ορθές τάεις και και η διατµητική τάη τ θεωρούµε ένα τοιχειώδες πριµατικό τοιχείο, του οποίου οι έδρες είναι κάθετες προς τους άξονες, και, όπως δείχνει το Σχ. 6. Εάν θεωρήουµε ότι η επιφάνεια της κεκλιµένης έδρας είναι Α, τότε οι επιφάνειες της κατακόρυφης και της οριζόντιας έδρας είναι Α cosθ και Α sinθ, αντίτοιχα. Σχ. 6 8

Οι δυνάµεις που επενεργούν τις τρεις έδρες του πρίµατος φαίνονται το Σχ. 7. Οι εξιώεις τατικής ιορροπίας των δυνάµεων ως προς τους άξονες και είναι: ΣF = 0 Α ( Α cosθ) cosθ τ ( Α cosθ) sinθ ( Α sinθ) sinθ τ ( Α sinθ) cosθ = 0 = cos θ + sin θ + τ sinθ cosθ (1) ΣF = 0 τ Α + ( Α cosθ) sinθ τ ( Α cosθ) cosθ ( Α sinθ) cosθ + τ ( Α sinθ) sinθ = 0 τ = ( ) sinθ cosθ + τ (cos θ sin θ) () Σχ. 7 Από την τριγωνοµετρία γνωρίζουµε ότι sinθ = sinθ cosθ και cosθ = cos θ sin θ, όπως 1+ cosθ 1 cosθ επίης και ότι cos θ = και sin θ =. Αντικαθιτώντας τις τριγωνοµετρικές αυτές χέεις τις Εξ.(1) και () προκύπτει ότι: + ' = + cosθ + τ sin θ (3) τ ' ' = sin θ + τ cosθ (4) 9

Τέλος, για να υπολογίουµε την τάη αρκεί να αντικατατήουµε την γωνία θ µε την θ+(π/) την Εξ.(1), αφού οι άξονες και χηµατίζουν γωνία π/ µεταξύ τους: + ' = cosθ τ sin θ (5) Οι εξιώεις (3), (4) και (5) αποτελούν τις εξιώεις µεταχηµατιµού των τάεων για επίπεδη εντατική κατάταη. Η χρηιµότητά τους έγκειται το ότι εάν γνωρίζουµε τις τάεις, και τ γύρω από ένα ηµείο του υλικού ως προς ένα ύτηµα υντεταγµένων (,,z), τότε µπορούµε να υπολογίουµε τις τάεις, και τ ως προς οποιοδήποτε άλλο ύτηµα υντεταγµένων (,,z ) περιτρεµµένο κατά γωνία θ ως προς το αρχικό. Επίης, είναι ηµαντικό να παρατηρήει κανείς ότι + = +. Αυτό ηµαίνει ότι το άθροιµα των ορθών τάεων ε δύο κάθετα µεταξύ τους επίπεδα είναι αµετάβλητη ποότητα και δεν εξαρτάται από τον προανατολιµό ή τη γωνία θ του υτήµατος υντεταγµένων. Οι εξιώεις (3), (4) και (5) περιγράφουν τις ορθές και διατµητικές τάεις ε οποιοδήποτε επίπεδο που διέρχεται από ένα ηµείο κάποιου τερεού ώµατος που υφίταται επίπεδη εντατική κατάταη. Το διάγραµµα του Σχ. 8 δείχνει τη µεταβολή της ορθής και της διατµητικής τάης αν υνάρτηη της γωνίας προανατολιµού θ για την επίπεδη εντατική κατάταη που φαίνεται την κορυφή του χήµατος. Από το διάγραµµα αυτό µπορούν να γίνουν οι εξής παρατηρήεις: α) Οι ορθές τάεις ( και ) λαµβάνουν την µέγιτη ( ma ) και την ελάχιτη ( min ) τιµή τους όταν η διατµητική τάη τ µηδενίζεται. β) Οι µέγιτες και ελάχιτες τιµές τόο των ορθών όο και της διατµητικής τάης εµφανίζονται ε γωνίες που απέχουν µεταξύ τους κατά 90 ο. γ) Η µέγιτη διατµητική τάη, τ ma, εµφανίζεται τη µιή γωνία ανάµεα την µέγιτη ορθή τάη, ma, και την ελάχιτη ορθή τάη, min. δ) Η µεταβολή της ορθής και της διατµητικής τάης είναι ηµιτονοειδής, µε περίοδο θ=180 ο. 30

Όλες οι παραπάνω παρατηρήεις ιχύουν για κάθε εντατική κατάταη και όχι µόνο για την επίπεδη εντατική κατάταη. Σχ. 8 31

3. Κύριες Τάεις - Κύρια Επίπεδα και ιευθύνεις Σε οποιαδήποτε εντατική κατάταη µπορεί πάντοτε να οριτεί ένα νέο ύτηµα υντεταγµένων, τέτοιο ώτε οι άξονές του να είναι κάθετοι ε επίπεδα επάνω τα οποία εµφανίζονται µόνο ορθές τάεις και τα οποία ταυτόχρονα µηδενίζονται οι διατµητικές τάεις. Τα επίπεδα αυτά ονοµάζονται κύρια επίπεδα (rincial lanes). Οι ορθές τάεις που εµφανίζονται επάνω τα κύρια επίπεδα ονοµάζονται κύριες τάεις (rincial stresses) και η χρηιµότητά τους είναι πολύ µεγάλη, όπως θα διαπιτωθεί αργότερα και κατά κύριο λόγο τη υζήτηη της θεωρίας πλατικότητας. Στην περίπτωη της επίπεδης εντατικής κατάταης, που αναλύαµε την ενότητα, υπάρχουν δύο κύριες τάεις, 1 και, οι οποίες εµφανίζονται ε κύρια επίπεδα που απέχουν µεταξύ τους κατά 90 ο (είναι δηλαδή κάθετα µεταξύ τους). Ποιες είναι όµως οι τάεις αυτές; Ας θυµηθούµε ότι, εξ οριµού, τα κύρια επίπεδα µηδενίζονται οι διατµητικές τάεις. Εξετάζοντας το Σχ. 8, διαπιτώνουµε ότι τις γωνίες όπου µηδενίζεται η διατµητική τάη (τ = 0) εµφανίζονται η µέγιτη και η ελάχιτη ορθή τάη, ma και min, αντίτοιχα. Κατά υνέπεια, την περίπτωη της επίπεδης εντατικής κατάταης, οι κύριες τάεις είναι 1 = ma και = min. Άλλωτε, οι ma και min επενεργούν ε επίπεδα που χηµατίζουν γωνία 90 ο µεταξύ τους, γεγονός που είδαµε ότι ιχύει επίης εξ οριµού για τα κύρια επίπεδα. Στη γενική περίπτωη µίας τριδιάτατης εντατικής κατάταης εµφανίζονται τρεις κύριες τάεις, οι 1, και 3. Έχει επικρατήει παγκοµίως η ύµβαη µε 1 να υµβολίζεται η αλγεβρικά µεγαλύτερη κύρια τάη, ενώ µε 3 η αλγεβρικά µικρότερη κύρια τάη. Οι διευθύνεις των κυρίων τάεων ονοµάζονται κύριες διευθύνεις (rincial directions) 1, και 3. (Ας µην ξεχνάµε ότι οι κύριες διευθύνεις είναι κάθετες τα κύρια επίπεδα.) Παρότι τη γενική περίπτωη το ύτηµα των κύριων διευθύνεων 1, και 3 δεν υµπίπτει µε το χρηιµοποιούµενο καρτειανό ύτηµα υντεταγµένων, και z, υπάρχουν πάρα πολλές περιπτώεις την πράξη όπου λόγω υµµετρίας της φόρτιης τα δύο υτήµατα υντεταγµένων (δηλαδή το ύτηµα των κύριων διευθύνεων 1, και 3 και το χρηιµοποιούµενο ύτηµα αξόνων, και z) υµπίπτουν. Ο υπολογιµός των κύριων 3

τάεων και διευθύνεων είναι πολύ χρήιµος, επειδή παρέχει έναν εύκολο τρόπο για να περιγραφεί η εντατική κατάταη γύρω από ένα ηµείο ε ένα ώµα. 4. Υπολογιµός Κυρίων Τάεων και Μέγιτης ιατµητικής Τάης Ας γυρίουµε πάλι την επίπεδη εντατική κατάταη. Εφόον εξ οριµού ε ένα κύριο επίπεδο δεν εµφανίζονται διατµητικές τάεις, η γωνία θ που χηµατίζει το κύριο επίπεδο µε τους άξονες υντεταγµένων και µπορεί να υπολογιθεί, βρίκοντας τιµές της γωνίας θ = θ την Εξ.() για τις οποίες να ιχύει ότι τ = 0: τ ' ' τ = 0 ( )sinθ cosθ + τ (cos θ sin θ ) = 0 sinθ cosθ = cos θ sin θ = 1 tan θ τ tan θ = (6) Εφόον ιχύει ότι tanθ = tan(π+θ), η Εξ.(6) έχει δύο ρίζες (λύεις) για την γωνία των κυρίων επιπέδων θ : τις θ 1 και θ = θ 1 + n (π/), όπου n = 1,, 3, κ.τ.λ. Εποµένως, η Εξ.(6) ορίζει δύο γωνίες, οι τιµές των οποίων διαφέρουν µεταξύ τους κατά 90 ο. Αυτές οι δύο γωνίες ορίζουν δύο κάθετα µεταξύ τους επίπεδα, επάνω τα οποία δεν εµφανίζονται διατµητικές τάεις. Εποµένως, οι γωνίες θ 1 και θ καθορίζουν τα κύρια επίπεδα, Σχ. 9. Οι κύριες τάεις µπορούν να υπολογιτούν εύκολα, βάζοντας την Εξ.(3) τις τιµές των cosθ και sinθ που προκύπτουν από την Εξ.(6). Οι τιµές των cosθ και sinθ προκύπτουν από την Εξ.(6), κάνοντας τους κατάλληλους τριγωνοµετρικούς υπολογιµούς: τ sin θ = ± (7) 1 ( ) + ( τ ) 4 και 33

1 ) ( 4 ) ( ) ( cos + = ± τ θ (8) Σχ. 9 Αντικαθιτώντας τις τιµές αυτές την Εξ.(3) καταλήγουµε τις τιµές της µέγιτης και της ελάχιτης κύριας τάης, για την περίπτωη της επίπεδης εντατικής κατάταης: 1 1 ma ) ( + + + = = τ (9) και 1 min ) ( + + = = τ (10) θ 1 θ = θ 1 + (π/) 34

Η διεύθυνη των κυρίων επιπέδων υπολογίζεται λύνοντας την Εξ.(6) ως προς την γωνία θ, φροντίζοντας όµως να καθορίζουµε κάθε φορά αν η γωνία θ που βρίκουµε είναι ανάµεα το 0 και π/, το π και 3π/, κ.ο.κ. Το Σχ. 10 παρουιάζει έναν απλό τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να καθορίουµε την διεύθυνη της µεγαλύτερης κύριας τάης 1. Σχ. 10 Η διεύθυνη της µέγιτης κύριας τάης 1 θα βρίκεται κάπου ανάµεα από την διεύθυνη της αλγεβρικά µεγαλύτερης ορθής τάης και από την διαγώνιο διάτµηης (shear diagonal). Στο παράδειγµα του Σχ. 10 υποτίθεται ότι η είναι αλγεβρικά µεγαλύτερη από την, οπότε η διεύθυνη της µέγιτης κύριας τάης 1 θα βρίκεται ανάµεα από την διεύθυνη της και την διαγώνιο διάτµηης. Για να γίνει αυτό καλύτερα αντιληπτό, ας υποθέουµε ότι το παράδειγµα του Σχ. 10 δεν υπήρχαν διατµητικές τάεις. Τότε, η µέγιτη κύρια τάη 1 θα ήταν η ( 1 = ), οπότε η διεύθυνη της 1 θα υνέπιπτε µε τη διεύθυνη της. Αν πάλι υποθέουµε ότι το παράδειγµα του Σχ. 10 δεν είχαµε καθόλου ορθές τάεις (δηλαδή = = 0), αλλά µόνο τις διατµητικές τ = τ, τότε η διεύθυνη της κύριας τάης 1 θα υνέπιπτε µε την διαγώνιο διάτµηης. Εποµένως, όταν έχουµε και ορθές και διατµητικές τάεις, η διεύθυνη της κύριας τάης 1 βρίκεται ανάµεα από τις δύο. Για να υπολογίουµε τη µέγιτη διατµητική τάη (maimum shear stress) πρέπει να χρηιµοποιήουµε την Εξ.(4), παραγωγίζοντας ως προς τη γωνία θ και θέτοντας την παράγωγο ίη µε µηδέν: 35

dτ ' ' dθ = 0 ( )cosθ s τ sin θ s = 0 tan θ s = (11) τ Συγκρίνοντας τη γωνία θ s µε τη γωνία των κυρίων επιπέδων, θ, διαπιτώνουµε ότι το επίπεδο που εµφανίζεται η µέγιτη διατµητική τάη απέχει κατά 45 ο από τα κύρια επίπεδα, τα επίπεδα δηλαδή όπου εµφανίζονται οι κύριες τάεις. Η τιµή της µέγιτης διατµητικής τάης βρίκεται αντικαθιτώντας την Εξ.(11) την Εξ.(4): 1 ma ( ) τ = ± + τ (1) Ο καθοριµός της µέγιτης διατµητικής τάης, καθώς και του προανατολιµού των επιπέδων επάνω τα οποία εµφανίζεται, είναι ηµαντικός, αφού όπως είναι γνωτό η πλατική παραµόρφωη των µεταλλικών υλικών προκαλείται µόνο από διατµητικές τάεις και όχι από ορθές. Το γεγονός αυτό οφείλεται τον µηχανιµό µε τον οποίο παράγεται η πλατική παραµόρφωη τα µέταλλα, που είναι η ολίθηη γραµµοαταξιών (dislocation sli). Κατά υνέπεια, τα επίπεδα επάνω τα οποία εµφανίζεται η µέγιτη διατµητική τάη ε έναν κρύταλλο είναι πολύ πιθανόν να ολιθήουν πρώτα, όταν µάλιτα η µέγιτη διατµητική τάη, τ ma, υπερβεί το όριο ροής ε διάτµηη του κρυτάλλου, τ. 5. Γενική (Τριδιάτατη) Εντατική Κατάταη Στη ανάλυη της επίπεδης εντατικής κατάταης, που εξετάθηκε τις προηγούµενες ενότητες, ίχυε ότι z = τ z = τ z = 0. Επίης, εκεί εξετάαµε τους µεταχηµατιµούς των τάεων ως προς ένα νέο ύτηµα υντεταγµένων, περιτρεµµένο ε χέη µε το αρχικό µόνο ως προς τον άξονα z. Τώρα θα γενικεύουµε την ανάλυη µας και θα εξετάουµε την περίπτωη µιας γενικής, τριδιάτατης εντατικής κατάταης, όπως αυτή που φαίνεται το Σχ. 11. Θα δούµε τους µεταχηµατιµούς τάεων ως προς ένα νέο ύτηµα αξόνων, περιτρεµµένο ε χέη µε το αρχικό ως προς όλους τους άξονες, Σχ. 1, και θα 36

υπολογίουµε τις κύριες τάεις και διευθύνεις, καθώς και τη µέγιτη διατµητική τάη και τον προανατολιµό του επιπέδου που αυτή εµφανίζεται. Ας θεωρήουµε το τετράεδρο του Σχ. 13. Οι τρεις από τις έδρες του τετραέδρου είναι παράλληλες προς τα επίπεδα που ορίζουν οι άξονες υντεταγµένων, και z. ηλαδή, (QAB)//(), (QBC)//(z) και (QAC)//(z). Η τέταρτη έδρα, η (ABC), είναι κάθετη τη γραµµή QN. Υποθέτουµε ότι η έδρα (ABC) είναι τέτοια, ώτε επάνω της δεν εµφανίζεται διατµητική τάη, παρά µόνο η ορθή τάη. Σύµφωνα µε αυτή την υπόθεη, η έδρα (ABC) είναι κύριο επίπεδο, η γραµµή QN είναι κύρια διεύθυνη και η τάη είναι κύρια τάη. Σχ. 11 Σχ. 1 37

Σχ. 13 Στη υνέχεια, ας υµβολίουµε µε Α την επιφάνεια του κύριου επιπέδου (ABC) και µε λ, λ και λ z τα υνηµίτονα των γωνιών που χηµατίζει η κύρια διεύθυνη QN µε τους άξονες, και z, αντίτοιχα. ηλαδή, είναι = cos( QN, ), = cos( QN, ) και = cos( QN, z). λ Τότε, οι επιφάνειες των υπολοίπων εδρών του τετραέδρου είναι Α λ, Α λ και Α λ z. λ λ z Εάν η εντατική κατάταη το ηµείο Q περιγράφεται από τις τάεις,, z, τ, τ z και τ z, τότε οι δυνάµεις που ακούνται ε κάθε µία από τις τρεις παράλληλες προς τους άξονες έδρες του τετραέδρου προκύπτουν αν πολλαπλαιάουµε τις τάεις που επενεργούν ε κάθε έδρα επί την αντίτοιχη επιφάνεια της έδρας, όπως δείχνει το Σχ. 14. Από την άλλη µεριά, η µόνη δύναµη που ακείται την έδρα (ABC) είναι η Α. 38

Σχ. 14 Το τετράεδρο πρέπει να βρίκεται ε τατική ιορροπία κάτω από την επίδραη των δυνάµεων αυτών. Οι εξιώεις ιορροπίας το τετράεδρο έχουν ως εξής: ΣF = 0 Α λ Α λ τ Α λ τ z Α λ z = 0 ( ) λ τ λ τ z λ z = 0 (13) ΣF = 0 Α λ Α λ τ Α λ τ z Α λ z = 0 τ λ + ( ) λ τ z λ z = 0 (14) ΣF z = 0 Α λ z z Α λ z τ z Α λ τ z Α λ = 0 τ z λ τ z λ + ( z ) λ z = 0 (15) Οι Εξ.(13)-(15) είναι τρεις οµογενείς γραµµικές εξιώεις ως προς τα λ, λ και λ z. Η µόνη χρήιµη λύη του υτήµατος αυτού προκύπτει µηδενίζοντας την ορίζουα: 39

τ τ z τ τ z τ τ z z z = 0 (16) Η ανάπτυξη της ορίζουας καταλήγει ε µία τριτοβάθµια εξίωη ως προς την κύρια τάη της µορφής: 3 ( + + ) + ( + + τ τ τ ) ( + τ τ τ τ τ τ ) = 0 z z z z z z z z z z z (17) Οι τρεις ρίζες (λύεις) της Εξ.(17) είναι οι τρεις κύριες τάεις, 1, και 3. Ο υπολογιµός του προανατολιµού των αντίτοιχων κύριων επιπέδων γίνεται αντικαθιτώντας κάθε µία από τις κύριες τάεις τις Εξ.(13)-(15). Στη υνέχεια, οι Εξ.(13)- (15) λύνονται ταυτόχρονα ως προς τα λ, λ και λ z χρηιµοποιώντας και την βοηθητική χέη λ λ + λ = 1. + z Όον αφορά τα επίπεδα τα οποία αναπτύονται οι µέγιτες διατµητικές τάεις, όπως και την περίπτωη της επίπεδης εντατικής κατάταης, έτι και τη γενικευµένη τριδιάτατη εντατική κατάταη τα επίπεδα αυτά χηµατίζουν γωνίες 45 ο µε τα κύρια επίπεδα. Για παράδειγµα, το Σχ. 15 δείχνει τα επίπεδα όπου εµφανίζονται οι µέγιτες διατµητικές τάεις ε ένα τοιχειώδη κύβο, του οποίου οι έδρες αντιτοιχούν µε τα κύρια επίπεδα. Όπως φαίνεται το χήµα, για κάθε ζεύγος κυρίων τάεων υπάρχουν δύο επίπεδα µέγιτων διατµητικών τάεων, τα οποία διχοτοµούν τις διευθύνεις των κυρίων τάεων (δηλαδή τις κύριες διευθύνεις). 40

Σχ. 15 Οι τιµές των µέγιτων διατµητικών τάεων υπολογίζονται από τις παρακάτω χέεις: 3 τ1 = 1 3 τ = 1 τ 3 = (18) Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, ύµφωνα µε τους ιχύοντες υµβολιµούς η 1 είναι η αλγεβρικά µέγιτη κύρια τάη και η 3 η αλγεβρικά ελάχιτη κύρια τάη. Έτι, η µέγιτη διατµητική τάη, τ ma, ιούται µε την τ, αφού πρόκειται για την διαφορά της µέγιτης από την ελάχιτη κύρια τάη. Η µέγιτη διατµητική τάη έχει πολύ µεγάλη ηµαία την θεωρία πλατικότητας, καθώς και τις κατεργαίες διαµόρφωης των µετάλλων (έλαη, βαθεία κοίλανη, κ.τ.λ.). 41