ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano. «Αν f, g δυο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως και ορίζονται οι f o g και g o f τότε υποχρεωτικά ισχύει g o f f o g». A4. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος αντίστοιχα τις παρακάτω προτάσεις. α) Αν μια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο x, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο - x. β) Αν 1,τότε ισχύει lim x. x γ) Αν οι συναρτήσεις f, gείναι παραγωγίσιμες στο x,τότε η συνάρτηση f gείναι παραγωγίσιμη στο x και ισχύει: f gx f x gx. δ) Έστω δύο συναρτήσεις f, gορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, gείναι συνεχείς στο Δ f x g x για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε και για κάθε xνα ισχύει f x g x c. ε) Αν η συνάρτηση f έχει παράγουσα σ ένα διάστημα, και f x dx f x dx., τότε: Μονάδες 1

ΘΕΜΑ 2 Ο Α1. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν: η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, f x να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. A2. Έστω η συνάρτηση f x x. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει x 1. 2 x «Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο x τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό». A4. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος αντίστοιχα τις παρακάτω προτάσεις. α) Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της. lim f x ή lim f x και αντιστρόφως. β) Αν,τότε xx γ) Η εικόνα xx f ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα. δ) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα.αν, f x για κάθε x,. και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε: f x dx ε) Αν η ευθεία x x είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f τότε : lim f x ή lim f x. xx xx Μονάδες 1

ΘΕΜΑ 3 Ο Α1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x, είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει : ( 1 x ) x. A2. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι λέγεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ; «Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα (, x ) (x, ) με: συνεχής στο Δ και f ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ». A4. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος αντίστοιχα τις παρακάτω προτάσεις. α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση - f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. β) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και για το σημείο x ισχύει f x,τότε το σημείο x, f x παράστασης της f. είναι σημείο καμπής της γραφικής γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα,,όπου lim f x και x lim f. x δ) Αν οι συναρτήσεις f : και g : είναι συνεχείς στα πεδία ορισμού τους, τότε και η σύνθεση g f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. ε) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σ ένα σύνολο Α και ισχύει f '( g '( σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Α, τότε υπάρχει σταθερά c, ώστε: f ( g( c για κάθε x. Μονάδες 1 x

ΘΕΜΑ 4 Ο Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x,να δείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x και ισχύει: f g x f x gx. A2. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Αν f είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο Α και 1-1 τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Α». Α3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση : Αν lim f ( και lim g(, τότε πάντοτε : xx α) lim f ( g( xx β) το lim f ( g( xx γ) το lim f ( g( xx παίρνουμε. lim f ( g( xx δ) xx. δεν υπάρχει. g (αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που A4. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος τα παρακάτω. α) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ και από τις ευθείες y, x και x, όπου,, με, είναι ίσο με f x dx. β) Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε ισχύει f x για κάθε x. γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα,,όπου: lim f x και x lim f. x δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα [ a, ] και δεν μηδενίζεται σ αυτό, τότε f ( a) f ( ) ε) Αν η ευθεία x x είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C f μιας συνάρτησης f, τότε η ευθεία x x δεν τέμνει τηc f. Μονάδες 1 x

ΘΕΜΑ 5 Ο Α1. Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα., Αν : η f είναι συνεχής στο, και f f, τότε να δείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f και x τέτοιος, ώστε f x., f υπάρχει ένας τουλάχιστον A2. Πότε η ευθεία x x συνάρτησης f ; λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας «Ένα τοπικό μέγιστο δεν μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο». A4. Να χαρακτηρίσετε τα παρακάτω, σημειώνοντας την αντίστοιχη ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα,,με εξαίρεση ίσως ένα f x διατηρεί πρόσημο στο, x x,,τότε το f x, δεν είναι σημείο του x. Αν η τοπικό ακρότατο. β) Αν οι συναρτήσεις f, gείναι παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα, f x g x dx f x g x dx f x g x. γ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει τότε αν,., θα είναι: f x dx δ) Αν η συνάρτηση f : έχει αντίστροφη την x., τότε ισχύει 1 f, τότε ισχύει 1 ( ) ε) Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β], τότε f ( dx f ( dx. f x για κάθε x, f f x x για κάθε Μονάδες 1

ΘΕΜΑ 6 Ο Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f ( διατηρεί πρόσημο στο (,x ) (x, ), τότε να αποδείξετε ότι το f(x ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (, ). A2. Nα δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος: f x dx f x dx f x dx όπου f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ, στο οποίο παίρνει μη αρνητικές τιμές και,, με. «Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει f ( σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ». A4. Να χαρακτηρίσετε τα παρακάτω, σημειώνοντας την αντίστοιχη ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι «1-1» σε ένα διάστημα Δ, τότε δεν είναι και γνησίως μονότονη στο Δ. β) Η συνάρτηση F(=xlnx - x είναι μια παράγουσα της συνάρτησης f ( = lnx. f x γ) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει για κάθε x,τότε η είναι κοίλη στο Δ. δ) Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [α, β], τότε η f δεν είναι «1-1». ε) Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων f και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία. Μονάδες 1

ΘΕΜΑ 7 Ο Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να δείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G ( F( c, c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G ( F( c, c. A2. Πότε μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x τοπικό μέγιστο; «Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι πάντοτε το μέγιστο αυτής». A4. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος αντίστοιχα τα παρακάτω. α) Για κάθε β) Αν xx f x x ισχύει ln x 1 lim 1. x,τότε lim f x xx ή. γ) Αν μια ρητή συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη, τότε έχει πεδίο ορισμού το. δ) Αν μια συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε ένα διάστημα,, τότε η f είναι γνησίως μονότονη. α ε) Ισχύει: x f ( dx α f (α) - α f ( dx. Μονάδες 1

ΘΕΜΑ 8 Ο Α1. Έστω μία συνάρτηση f,η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να δείξετε ότι αν x f σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. A2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σημείο x του πεδίου ορισμού της; «Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο, αν για κάποιο x ισχύει f (x ) τότε το x είναι υποχρεωτικά θέση τοπικού ακρότατου της f». A4. Να χαρακτηρίσετε τα παρακάτω σημειώνοντας την αντίστοιχη ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x, τότε f x. x β) Ισχύει tdt x. γ) Αν f ( = e x, τότε f (x ) = δ) Ισχύει ότι lim x ημ (α x lim h x e h x - e h = 1 με α, 1.. ε) Αν δυο συναρτήσεις τέμνονται, τότε στο κοινό τους σημείο δέχονται κοινή εφαπτομένη. Μονάδες 1

ΘΕΜΑ 9 Ο Α1. Έστω δύο συναρτήσεις f, gορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν: οι f, gείναι συνεχείς στο Δ και f '( g '( για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε xνα ισχύει: f ( g( c x A2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( a, a, είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: x x ( a )' a ln a «Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Για κάθε συνάρτηση f κυρτή στο Δ ισχύει f (x ) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ». A4. Να χαρακτηρίσετε τα παρακάτω, σημειώνοντας την αντίστοιχη ένδειξη Σωστό ή Λάθος.,, τότε το σύνολο τιμών της στο α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα [f,f ] β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα, και ισχύει: f ( dx τότε υπάρχει x [, ] f x. γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x. β, ώστε δ) Αν f ( dx τότε f ( για κάθε x [α, β]. α ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x o και μια συνάρτηση g είναι συνεχής στο x o, τότε και η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο x o. Μονάδες 1

ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα,. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο,, τότε να δείξετε ότι f ( t) dt G( ) G( ). Μονάδες 1 A2. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Α3. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση : Για κάθε συνεχή συνάρτηση f :[, ], αν ισχύει f ( ) f ( ), τότε α) η εξίσωση f ( δεν έχει λύση στο (, ). β) η εξίσωση f ( έχει ακριβώς μια λύση στο (, ). γ) η εξίσωση f ( έχει τουλάχιστον δυο λύσεις στο (, ). δ) δεν μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f ( στο (, ). A4. Να χαρακτηρίσετε τα παρακάτω σημειώνοντας την αντίστοιχη ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα ανοικτό διάστημα Δ και υπάρχει x, ώστε f '( x ) και f ''( x ), τότε στο x δεν υπάρχει ούτε τοπικό ακρότατο ούτε καμπή για την f στο Δ. β) Η εικόνα f (Δ) ενός ανοικτού διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι ανοικτό διάστημα. γ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. δ) Αν f ( dx και η f δεν είναι παντού μηδέν στο [, ], τότε η f παίρνει δύο, τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές. ε) Αν οι συναρτήσεις, τότε ισχύει: f g είναι παραγωγίσιμες στο, x x, xx xx lim f ( lim g( f ( f '( lim lim. g( g '( x x x x, ώστε: