13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει μοναδικό ε4, για κάθε ε Η ευθεία y 1 εφάπτεται στη ε6 ε7 ε8 ε9 Υπάρχει ώστε η εφαπτομένη στο, να διέρχεται από το σημείο 1, Για το του ερωτήματος ε6 ισχύει Υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε,, C, Αν και τότε Να μελετήσετε την, ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα ε1 Να βρείτε τα, ε11 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ε1 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης, ε13 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε F 1 όπου Fμια αρχική συνάρτηση της συνάρτησης και 1
ε1 lim με g lim. Έστω συνάρτηση g, ορισμένη κοντά στο g και οπότε lim lim, lim g DLH lim και συνεχής, άρα 1 1 ε Υπάρχουν, με, ώστε Η είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα, άρα έχει μέγιστη τιμή 1 και ελάχιστη τιμή, όμως 8 και, επομένως παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο σε εσωτερικά σημεία του, οπότε από το θεώρημα Fermat υπάρχουν, ώστε και ε3 Υπάρχει μοναδικό στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο ή άρα υπάρχει, ώστε, θέση πιθανού σημείου καμπής, άρα η είναι γνησίως αύξουσα, άρα το μοναδικό και τελικά η έχει στο και μοναδικό σημείο καμπής είναι ε4, για κάθε
άρα η έχει ελάχιστο στο www.askisopolis.gr, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο 1 [1, ], άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] οπότε, για κάθε ε Η ευθεία y 1 εφάπτεται στη C lim και, lim Οπότε η παράγωγος στο είναι, άρα η y εφάπτεται στη C ε6 Υπάρχει ώστε η εφαπτομένη στο, να διέρχεται από το σημείο 1, Η εφαπτομένη στο τυχαίο είναι διέρχεται από το y 1, πρέπει 1 για να, συνεχής και παραγωγίσιμη Έστω συνάρτηση, με ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων, ακρότατο άρα, ή 1, ακρότατο, άρα 1 ή Άρα, η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο ], άρα υπάρχει ώστε, οπότε να διέρχεται από το σημείο.τελικά υπάρχει ώστε η εφαπτομένη στο 1, ε7 Για το του ερωτήματος ε6 ισχύει. 3
Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο άρα υπάρχει, ώστε είναι γνησίως αύξουσα άρα, τελικά www.askisopolis.gr, και η ε8 Υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε υπάρχει, ώστε κάθε, οπότε, τότε. Αν δεν,για 8, επομένως η συνάρτηση με 8 είναι συνεχής στο [ και γνησίως φθίνουσα στο [με 1, άτοπο, άρα είναι Αν,, και,τότε ε9 Να μελετήσετε την, ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα και, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο 1 [1, ], όταν 1 <, τότε <, τότε <, τότε <, τότε <, τότε 4
Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών 1 - + + - + Η είναι Γνησίως αύξουσα και στο 1 [1, ] Γνησίως φθίνουσα και στο [ ] Γνησίως φθίνουσα και στο 3 [, ] Γνησίως αύξουσα και στο 4 [1, ] Για έχει μέγιστο με τιμή 1 Για έχει ελάχιστο με τιμή Για έχει σημείο καμπής ε1 Να βρείτε τα, και μέγιστο, άρα και ελάχιστο, άρα 4 ε11 και ελάχιστο, άρα 3 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της 1 - + 1 Y + - + - 3 1 3 4 X
ε1 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης, 1 [1, ], 1 [ ], 3 [ ], 3 Όταν ή 1 τότε, οπότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο Όταν, τότε η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την 4 Όταν, τότε και 3, οπότε Υπάρχει 1, ώστε 1 και 1 μοναδικό στο γιατί η είναι γνησίως φθίνουσα στο και Υπάρχει 3, ώστε και είναι γνησίως αύξουσα στο 3 μοναδικό στο 3 γιατί η Όταν 3, τότε 3, άρα υπάρχει 3 3, ώστε 3 και 3 μοναδικό στο 3 γιατί η είναι γνησίως αύξουσα στο 3 και 3, οπότε Όταν 3 1, τότε και 1 4 ώστε 4 και 4 μοναδικό στο γιατί η είναι γν. φθίνουσα στο και 1, οπότε υπάρχει 1, ώστε και μοναδικό στο 1 γιατί η είναι γνησίως αύξουσα στο 1 Όταν 1, τότε η εξίσωση 1 έχει μοναδική ρίζα την, άρα υπάρχει ε13 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε F 1, όπου Fμια αρχική συνάρτηση της συνάρτησης 3, άρα υπάρχει : 1 F 1 1 6