Πανελλαδικές εξετάσεις 5 Ενδεικτικές απαντήσεις στο μάθημα «MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» Θέμα Α Α Απόδειξη βιβλίο σχολείου σελ(94) Α Ορισμός βιβλίο σχολείου σελ(88) Α Ορισμός βιβλίο σχολείου σελ(5) Α4 Σ-Λ α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό Θέμα Β Β z 4 z z 4 4 z (z 4)(z 4) 4(z )(z ) z z z z z z z 4 4 z 6 4 z 4 4 z 4 z z 4 z 4 z άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ Β α) Από Β γνωρίζουμε ότι z z 4 z 4 z () άρα 4 4 () w z z w z z z z w έτσι αφού w w τότε ο w είναι πραγματικός. z 4 4 z z z z z
β) z z z z z z z w 4 z z z z z z άρα w 4 4 w 4 με w Β Αν z z w z z zz z z zz z zz z 4 4 4 z z ( z z ) z z z z z iz έτσι αφού ( ΑΓ ) z z z iz z i 5 ( ΒΓ ) z z z iz z i 5 ( ΑΓ ) ( ΒΓ ) άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με κορυφή το Γ Θέμα Γ Γ. H συνάρτηση ( ) παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων (εκθετικής και πολυωνυμικής) με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) για κάθε R ( ) ( ) O πίνακας μονοτονίας παίρνει τη μορφή: ( ) ( ) H συνάρτηση ( ) είναι επομένως γνησίως αύξουσα για κάθε R και ( ) ( ) ( ) ( ):, lim ( ), lim ( ), διότι: lim lim lim lim lim lim DLH DLH
Γ. H συνάρτηση ( ) γνησίως αύξουσα για κάθε R και επομένως -. Άρα η εξίσωση γίνεται: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) () 5 ( ) συνεχής στο R ως πηλίκο συνεχών και ( D ) (, ) Η ( ) στο σύνολο τιμών της ( ) υπάρχει γνησίως μονότονη. ξ R τέτοιο ώστε, επομένως επειδή το ανήκει ( ξ ) και ξ μοναδικό αφού η ( ) Γ. 4 4 4 ( t) dt < (4 ) ( t) dt < (4 ) dt Ισχύει t 4 για κάθε > Άρα ( ) ( t) (4 ) οπότε (4 ) ( t) και άρα ( ) (και το ισχύει μόνο όταν t ή t 4) 4 4 4 4 4 (4 ) ( t) dt > (4 ) dt (t) dt > (4 ) dt > (t) dt 4 4 (4 ) (4 ) > (t) dt ( t) dt < (4 ) Γ4. Εξετάζουμε πρώτα τη συνέχεια της g στο [, ). Για >, 4 g( ) () t dt () t dt. Επειδή η συνεχής στο [, ) άρα και οι συναρτήσεις άρα και συνεχείς, άρα η g συνεχής ως πράξεις συνεχών. 4 () t dt και () t dt παραγωγίσιμες,
Για, το g (). Θεωρώ την 4 Η ( ) () t dt. Επειδή η () t R και επιπλέον οι g ( ) R και 4 4 g ( ) 4 R, άρα και η Η ( ) () t dt () t dt () t dt ορίζεται στο R, και είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα και συνεχής. 4 () t dt 4 lim g( ) lim ( t) dt lim 4 () t dt () t dt 4 lim είναι lim ( t) dt ( t) dt DLH 4 () t dt () t dt 4 (4 ) ( ) Άρα lim lim συνεχής 4 () () 4 ( ) lim g ( ) g() άρα η g συνεχής στο Άρα η g συνεχής στο [, ). Στο (, ) η g παραγωγίσιμη με 4 g ( ) ( ) ( ) t dt t dt ( 4 (4 ) ( ) ) 4 ( t) dt ( 4 (4 ) ( ) ) > διότι: Από Γ έχουμε: 4 : > 4 4 ( t) dt < (4 ) ( t) dt < (4 ) ( t) dt > (4 ) 4 ( t) dt (4 ) () > για και > 4 > (4 ) > ( ) (4 ) > ( ) (4 ) ( ) > () g'( ),,. > : ( ) Άρα από () και () έχουμε > ( ) η g στο [ ) 4
Θέμα Δ () () ()[ ] για κάθε R και () Δ. () () ()[ ] () () () () () () () () ( ) ( ) c () () () () για έχουμε c c άρα () () () () () () ( ) ( ) () () ( ) () θεωρούμε h() (), R άρα από () h() () h () () αδύνατη έτσι h() για κάθε R και επειδή συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. όμως () () h > άρα h () > για κάθε R. από () () () h() () είναι > αφού > άρα > > άρα από () () ln( ) με A R. Δ. α) Η () είναι συνεχής στο R ( ) () ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) > άρα η () είναι γνησίως αύξουσα στο R. () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () > < 5
άρα η () είναι κυρτή στο (,] και κοίλη στο [, ) και παρουσιάζει σημείο καμπής για το Α(, () ) δηλαδή το Α(,) ( ) - ( ) ( ) Σ.Κ. β) E( Ω ) () d παρατηρούμε ότι () και () άρα η εφαπτομένη της C είναι (ε): y () ()( ) άρα y επειδή για η () είναι κοίλη άρα η C είναι κάτω από την (ε): y με εξαίρεση το σημείο επαφής Ο(,) άρα () για κάθε [, ) άρα () έτσι E( Ω ) () d ( ())d d ()d [ ] - ln( ) d () ln( ) d [ln( ] d ln( ) ( ) d ln( ) ln( ) ln( ) τ.μ. Δ. () t dt ( ) lim ln ( ) για > ( ) > () ( ) > ( ) > () t dt lim ( ln ( )) 6
διότι: () t dt () t dt lim lim ( ) ( () ) DLH συνεχής H συνάρτηση Κ ( ) ( ) συνεχής, διότι η ( ) συνεχής ως σύνθεση συνεχών, άρα η ( ) ( ) παραγωγ Κ t dt t dt t ίσιμη άρα και συνεχής. lim ( ln ( ) ) lim ( ) ln ( ) ( ) lim lim lim DLH ( ) ( ) θέτω ( ) u ln u lim ( ( ) ln( ( ) ) lim ( uln u) lim u u limu lim ( ) () u o u lim u lim( u) u u o u DLH Δ4. ( t ) dt 8 () t dt t dt t dt Θεωρώ την ( ) ( ) ( ) 8 ( ) στο [ ] g( ) ( ) ( t ) dt ( ) 8 ( t) dt Η g ( ) συνεχής στο [, ] (οι ( t ) dt, συνεχών),. ( t ), ( t ) συνεχείς ως συνθέσεις συνεχών, άρα και οι () t dt παραγωγίσιμες άρα και συνεχείς. Άρα και η ( ) () 8 () 8 () < g t dt t dt g() ( t ) dt > διότι: g συνεχής ως άθροισμα 7
o () t t για κάθε t άρα () t t [ και η ισότητα ισχύει μόνο για t] άρα t () t dt < t dt () t dt < () t dt < 8 8 () t dt < o ( ) < για κάθε > άρα άρα ( t ) t, t Άρα g() g() < t t dt < t dt t dt < t dt < t dt > g() > ( ) ( ) ( ) ( ) άρα από Θ. Bolzano υπάρχει ξ (,) ώστε g( ξ ) Επειδή ξ (,) επαληθεύει και την αρχική εξίσωση. 8