Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμπληρώνει την ενότητα «Αξιολόγηση Εργασίας» και στα δύο αντίγραφα και επιστρέφει το ένα στο φοιτητή μαζί με τα σχόλια επί της ΓΕ, ενώ κρατά το άλλο για το αρχείο του μαζί με το γραπτό σημείωμα του Συντονιστή, εάν έχει δοθεί παράταση. Σε περίπτωση ηλεκτρονικής υποβολής του παρόντος εντύπου, το όνομα του ηλεκτρονικού αρχείου θα πρέπει να γράφεται υποχρεωτικά με λατινικούς χαρακτήρες και να ακολουθεί την κωδικοποίηση του παραδείγματος: Π.χ., το όνομα του αρχείου για τη 4η ΓΕ του φοιτητή ΙΩΑΝΝΟΥ στη ΠΛΗ θα πρέπει να γραφεί: «ioannou_ge4_plh.doc». ΥΠΟΒΟΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στοιχεία Φοιτητή: Ονομ/νυμο, διευθ/ση, τηλ., -ηλεκτρονική διεύθυνση ΚωδικόςΘΕ ΠΛΗ Κωδικός Τμήματος <. > Ονοματεπώνυμο Καθηγητή - Σύμβουλου Καταληκτική ημερομηνία παραλαβής σύμφωνα με το ακ. ημερολόγιο (ημέρα Τρίτη) Ακ. Έτος 9- Ημερομηνία αποστολής ΓΕ από το φοιτητή α/α ΓΕ 4 η Επισυνάπτεται (σε περίπτωση που έχει ζητηθεί) η άδεια παράτασης από το Συντονιστή;.. // ΝΑΙ / ΟΧΙ Υπεύθυνη Δήλωση Φοιτητή: Βεβαιώνω ότι είμαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιμασία της είναι πλήρως αναγνωρισμένη και αναφέρεται στην εργασία. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδομένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασμένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιμάστηκε από εμένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριμένη Θεματική Ενότητα.. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ημερομηνία παραλαβής ΓΕ από το φοιτητή Ημερομηνία αποστολής σχολίων στο φοιτητή Βαθμολογία (αριθμητικά, ολογράφως) Υπογραφή Υπογραφή Φοιτητή Καθηγητή-Συμβούλου ΠΛΗ-9- <Ονοματεπώνυμο> Εργασία 4 /5
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να μελετώνται τα παραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις των υποδείξεων και παραπομπών στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό. Οι ασκήσεις της τέταρτης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα 5 (Παράγωγος) Ενότητα 6 (Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού) Ενότητα 7 (Ακρότατα) Ενότητα 8 (Το ανάπτυγμα Taylor) Ενότητα 9 (Το ολοκλήρωμα) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Λογισμός Μιας Μεταβλητής» του Γ. Δάσιου Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη http://edu.eap.gr/pli/pli/students.htm ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό : Λογισμός Παράγωγοι, Βασικά Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού, Σειρές Taylor, Ολοκληρώματα Στόχοι: Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η κατανόηση της έννοιας της παραγώγου και των εφαρμογών της στον υπολογισμό ορίων, εύρεσης ακρότατων και μελέτης συνάρτησης. Επίσης σκοπός είναι η κατανόηση ανάπτυξης και εφαρμογής των σειρών Taylor, και βασικών τεχνικών ολοκλήρωσης. ΠΛΗ-9- <Ονοματεπώνυμο> Εργασία 4 /5
Άσκηση. (5 μονάδες) i) (7 μονάδες) Να προσδιοριστούν τα α, β R, ώστε η συνάρτηση, αν f( ) = α+β, αν > να είναι παραγωγίσιμη στο = ii) (9 μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a) b) c) f sin( ) f( ) = + ln(sin( )) ( ) = + sin( )cos( ) + cos ( ) + f( ) = + e + ln ( ), > iii) (9 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού αποδείξτε ότι: ln( ) για κάθε >. Υπόδειξη: ( ) ' Στο ερώτημα ii c) θα χρειαστείτε τον ακόλουθο τύπο παραγώγισης f ( ) f ( ) a = a f '( ) ln( a). Στο ερώτημα iii) χρησιμοποιήστε το θεώρημα σε κατάλληλη συνάρτηση στο διάστημα [, y] δείτε και την άσκηση β σελ βιβλίου. Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα L Hospital, να υπολογίσετε τα όρια: α) 9 + ln( ) lim + ln + ( ) β) lim ( e ) + e + γ) lim + e δ) lim + cos( ) Υπόδειξη: Για τη (γ) δείτε το παράδειγμα στη σελίδα 7 στο κεφάλαιο Βασικά Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού του Συνοδευτικού Εκπαιδευτικού Υλικού. ii) ( μονάδες) Αν για κάθε πραγματικό αριθμό > 4 ισχύει ημ + f( ) 8 + 4 6 να βρεθεί η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο =. Υπόδειξη: Στο ερώτημα (ii) εξετάζεται η σχέση μεταξύ της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και της κλίσης της εφαπτόμενης ευθείας στη γραφική ΠΛΗ-9- <Ονοματεπώνυμο> Εργασία 4 /5
παράσταση της συνάρτησης στο ίδιο σημείο. Για τον υπολογισμό της παραγώγου της f στο, θα χρειαστεί να βρείτε την τιμή της f στο, τον λόγο μεταβολής της f στο και στη συνέχεια να υπολογίσετε το όριο του λόγου μεταβολής χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής (Πρόταση 5.. Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό). Άσκηση. ( μονάδες) Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + 4, με (-, + ). Να προσδιορίσετε: i) Τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της στα οποία είναι α) αύξουσα, β) φθίνουσα ii) Τα ακρότατά της (μέγιστα και ελάχιστα). iii) Τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της στα οποία a. στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω b. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. iv) Τα σημεία καμπής. v) Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οy. vi) Τις ασύμπτωτες της f. vii) Συνοψίστε σε ένα πίνακα τα παραπάνω στοιχεία και δώστε μία γραφική παράσταση της συνάρτησης. 4 Άσκηση 4. (5 μονάδες) i) (5 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor της f ( ) = e κέντρου υπολογίστε e το όριο lim + e ii) (5 μονάδες) Να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor κέντρου η συνάρτηση f ( ) = e iii) (5 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το παραπάνω ανάπτυγμα, υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( e ) d σε μορφή σειράς. Πόσους όρους πρέπει να κρατήσουμε ώστε το σφάλμα να είναι μικρότερο του - ; Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι: Αν σε μία εναλλάσσουσα σειρά, + k n n ( ) an, an >, χρησιμοποιήσουμε το μερικό άθροισμα ( ) an, το σφάλμα που n= προκύπτει δεν υπερβαίνει (κατ απόλυτη τιμή) τον πρώτο όρο που αγνοούμε, δηλαδή τον όρο a k+. Δείτε επίσης το παράδειγμα της σελίδας και την άσκηση 5 της σελίδα στο κεφάλαιο Σειρές Taylor στο Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό. n= ΠΛΗ-9- <Ονοματεπώνυμο> Εργασία 4 4/5
Άσκηση 5. (5 μονάδες) a) (9 μονάδες) Υπολογίστε τα επόμενα ολοκληρώματα : i) sin( d ) ii) cos( d ) + iii) d + b) (6 μονάδες) Έστω η συνάρτηση f που είναι φορές παραγωγίσιμη στο, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο. Αν η f στα = και = παρουσιάζει ακρότατα με τιμές και αντίστοιχα και ισχύει: e f ( ) d = 5e, να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Υπόδειξη: Στο ερώτημα α iii) κάντε την αντικατάσταση I = e f ( ) d 5 6 = y και στη συνέχεια διαίρεση πολυωνύμων. Επίσης, στο ερώτημα β) θα χρειαστείτε το θεώρημα του διαφορικού λογισμού, του FERMAT, σύμφωνα με το οποίο: Αν f είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και εσωτερικό του Δ, τότε αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, θα ισχύει: f ( )=. (Προσοχή το αντίστροφο δεν ισχύει). Χρησιμοποιείστε την εκφώνηση του ανωτέρω θεωρήματος για να υπολογίσετε την τιμή της παραγώγου της f στα σημεία και. Στη συνέχεια να υπολογιστεί με τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης το ζητούμενο ολοκλήρωμα. ΠΛΗ-9- <Ονοματεπώνυμο> Εργασία 4 5/5