Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων µίας πραγµατικής µεταβλητής. Καλύπτουν τα ορισµένα, αόριστα και γενικευµένα ολοκληρώµατα. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. emil: kkiritsis@vitli.gr

Κ. Κυρίτσης 2 Ολοκληρώµατα Περιεχόµενα Ορισµένο Ολοκλήρωµα 3. Εισαγωγή Ορισµός....................... 3.2 Ιδιότητες............................. 5.3 Θεωρήµατα Μέσης Τιµής..................... 6 2 Το Θεµελιώδες Θεώρηµα του ιαφορικού Λογισµού 6 3 Αόριστο Ολοκλήρωµα 6 3. Ορισµός.............................. 6 3.2 Ιδιότητες Αορίστου Ολοκληρώµατος............... 7 4 Αλλαγή Μεταβλητών 7 5 Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες 8 6 Ολοκληρώµατα Στοιχειωδών Συναρτήσεων 8 7 Εφαρµογές στην Γεωµετρία 7. Εµβαδό.............................. 7.2 Μήκος Τόξου........................... 7.3 Ογκοι Στερεού από Περιστροφή................. 7.3. Περιστροφή γύρω από τον Κατακόρυφο Άξονα...... 7.4 Περιστροφή γύρω από τον οριζόντιο άξονα........... 8 Γενικευµένα Ολοκληρώµατα 2 8. Πρώτου Είδους.......................... 2 8.2 ευτέρου Είδους......................... 2 8.3 Κριτήρια Σύγκλισης....................... 3 Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 3 Ολοκληρώµατα Ορισµένο Ολοκλήρωµα. Εισαγωγή Ορισµός Ιστορικά η έννοια του ολοκληρώµατος είναι πιο παλιά από την έννοια της παραγώγου και αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από τον διαφορικό λογισµό. Μόνο στον 7ο αιώνα έγινε η σύνδεση µεταξύ ολοκληρώµατος και παραγώγου. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια συνάρτηση y = f(x) για x b και την γραφική της παράσταση ως συνήθως. Το ολοκλήρωµα γεννήθηκε για να απαντήσει στο ερώτηµα πόσο είναι το εµβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από την y = f(x), τον άξονα των x και τις κατακόρυφες ευθείες x =, x = b; Ονοµάζουµε διαµέριση ενός διαστήµατος [, b] κάθε πεπερασµένο υποσύνολο σηµείων του, P = {x 0, x,...,x n, x n }, () µε x 0 = και x n = b. Για ευκολία ϑεωρούµε ότι = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b. (2) Κάθε διαµέριση χωρίζει το διάστηµα σε n µικρότερα διαστήµατα [x k, x k ], k =, 2,..., n. Ονοµάζουµε πλάτος της διαµέρισης το µήκος του µεγαλύτε- ϱου διαστήµατος. Ονοµάζουµε µια διαµέριση P εκλέπτυνση της διαµέρισης P αν P P. Η P έχει περισσότερα σηµεία και ισοδύναµα λέµε ότι είναι λεπτότερη της P. Για δύο διαµερίσεις P, P 2 ονοµάζουµε κοινή εκλέπτυνση τους την διαµέριση P P 2. Εστω τώρα µία ϕραγµένη συνάρτηση f : [, b] R. Σε κάθε διάστηµα της διαµέρισης επιλέγουµε έναν αριθµό ξ k, ξ k [x k, x k ]. Αν το παρακάτω όριο υπάρχει, n lim f(ξ k )(x k x k ) = I, (3) n k= τότε ϑα λέµε ότι η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη και το ορισµένο ολοκλήρωµα είναι f(x)dx = I = lim n k= n f(ξ k )(x k x k ). (4) Εναλλακτικά για κάθε διάστηµα της διαµέρισης ορίζουµε δύο αριθµούς, m k (f, P) = m k = inf{f(x) : x k x x k }, (5) M k (f, P) = M k = sup{f(x) : x k x x k }. (6) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 4 Ολοκληρώµατα Ο (5) είναι η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης σε κάθε διάστηµα της διαµέρισης, ο (6) η µέγιστη τιµή της συνάρτησης σε κάθε διάστηµα της διαµέρισης. Ορίζουµε το άνω άθροισµα και το κάτω άθροισµα U(f, P) = L(f, P) = n M k (x k x k ), (7) k= n m k (x k x k ). (8) k= Είναι L(f, P) U(f, P). Ορίζουµε το κάτω ολοκλήρωµα της f(x) να είναι και το άνω ολοκλήρωµα Εν γένει f(x)dx = sup {L(f, P)} (9) f(x)dx = inf {U(f, P)}. (0) f(x)dx f(x)dx. () Μία ϕραγµένη συνάρτηση f : [, b] R ϑα λέγεται Riemnn ολοκλη- ϱώσιµη αν f(x)dx = sup {L(f, P)} = I = f(x)dx = inf {U(f, P)}. (2) Η κοινή τιµή του άνω και κάτω ολοκληρώµατος λέγεται ορισµένο ολοκλήρω- µα της f(x) και γράφουµε I = f(x)dx. (3) Θεώρηµα Κάθε µονότονη συνάρτηση είναι Riemnn ολοκληρώσιµη. Θεώρηµα 2 Κάθε συνεχής συνάρτηση είναι Riemnn ολοκληρώσιµη. Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 5 Ολοκληρώµατα.2 Ιδιότητες Άν οι συναρτήσεις f(x), g(x) είναι ολοκληρώσιµες στο [, b] και λ µια σταθερά, τότε είναι. 2. 3. 4. [f(x) ± g(x)] dx = f(x)dx = λf(x)dx = λ c f(x)dx ± f(x)dx + g(x)dx. (4) f(x)dx. (5) c f(x)dx, (6) µε την προϋπόθεση ότι η f(x) είναι ολοκληρώσιµη στα [, c] και [c, b]. Το c δεν είναι απαραίτητο να ανήκει στο [, b]. f(x)dx = b f(x)dx. (7) 5. f(x)dx = 0. (8) 6. Αν είναι x b και m f(x) M, όπου m, M σταθερές, τότε m(b ) 7. Αν είναι f(x) g(x) για όλο το διάστηµα [, b], τότε 8. µε την προϋπόθεση ότι < b. f(x)dx f(x)dx M(b ). (9) g(x)dx. (20) f(x)dx f(x) dx, (2) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 6 Ολοκληρώµατα.3 Θεωρήµατα Μέσης Τιµής Θεώρηµα 3 (Πρώτο Θεώρηµα Μέσης Τιµής.) Αν η f(x) είναι συνεχής στο [, b], τότε υπάρχει σηµείο ξ (, b) τέτοιο ώστε f(x)dx = (b )f(ξ). (22) Θεώρηµα 4 ( εύτερο Θεώρηµα Μέσης Τιµής.) Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x) είναι συνεχείς στο [, b] και η g(x) δεν αλλάζει πρόσηµο, τότε υπάρχει σηµείο ξ (, b) τέτοιο ώστε f(x)g(x)dx = f(ξ) g(x)dx. (23) 2 Το Θεµελιώδες Θεώρηµα του ιαφορικού Λογισµού Εστω ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [, b]. Ορίζουµε την συνάρτηση F(x) = x f(t)dt, (24) για x b. Τότε η παράγωγος της F(x) υπάρχει σε κάθε σηµείο του (, b) και είναι F (x) df = f(x). (25) dx Κατά συνέπεια, έχουµε για το ορισµένο ολοκλήρωµα ότι f(x)dx = F(b) F() [F(x)] b. (26) Επιπλέον µπορούµε να έχουµε όρια ολοκλήρωσης που είναι συναρτήσεις, v(x) u(x) 3 Αόριστο Ολοκλήρωµα 3. Ορισµός f(t)dt = F(v(x)) F(u(x)) [F(t)] v(x) u(x). (27) εδοµένης µιας συνάρτησης f(x), κάθε συνάρτηση F(x) για την οποία F (x) df/dx = f(x) ϑα λέγεται αόριστο ολοκλήρωµα ή αντιπαράγωγος ή πα- ϱάγουσα συνάρτηση ή απλά παράγουσα της f(x). Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 7 Ολοκληρώµατα Το αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης δεν είναι µοναδικό. Αν F (x) = f(x) και c µια σταθερά, τότε ειναι και Κατά συνέπεια έχουµε το ϑεώρηµα (F(x) + c) = f(x). (28) Θεώρηµα 5 ύο αόριστα ολοκληρώµατα F, G κάποιας συνάρτησης ϑα δια- ϕέρουν το πολύ κατά µία σταθερά. Με άλλα λόγια ϑα είναι F(x) G(x) = c. (29) Το αόριστο ολοκήρωµα το γράφουµε f(x)dx. (30) Είναι δε f(x)dx = F(x) + c. (3) Επισηµαίνουµε ότι το αόριστο ολοκλήρωµα είναι συνάρτηση ενώ το ορισµένο είναι αριθµός. 3.2 Ιδιότητες Αορίστου Ολοκληρώµατος Το αόριστο ολοκλήρωµα ικανοποιεί ιδιότητες αντίστοιχες µε αυτές του ορισµένου. Ποιο συγκεκριµένα. 2. όπου λ κάποια σταθερά. [f(x) ± g(x)]dx = λf(x)dx = λ f(x)dx ± g(x)dx. (32) f(x)dx. (33) 4 Αλλαγή Μεταβλητών Η αλλαγή µεταβλητής γίνεται ϑέτοντας x = x(u). Το ολοκλήρωµα τότε ϑα είναι f(x)dx = f(x(u)) dx du. (34) du Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 8 Ολοκληρώµατα Ο κανόνας είναι αντίστοιχος της αλυσιδωτής παραγώγισης. Στην περίπτωση που το ολοκλήρωµα είναι ορισµένο, από έως b, τότε πρέπει να ϐρούµε τα καινούργια όρια. Κατ αρχήν είναι u = u (x) (εάν δεν υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση, η αλλαγή µεταβλητής δεν είναι καλή). Οπότε για τα νέα όρια ϑα έχουµε α = u (), β = u (b). 5 Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες Ισχύει ότι ή αλλιώς uv = v du + vdu = uv u dv (35) udv. (36) Σε πιο χρηστική µορφή είναι f(x) dg df dx = f(x)g(x) g(x)dx (37) dx dx και για την περίπτωση ορισµένου ολοκληρώµατος f(x) dg dx dx = [f(x)g(x)]b df g(x)dx. (38) dx 6 Ολοκληρώµατα Στοιχειωδών Συναρτήσεων Μερικά χρήσιµα ολοκληρώµατα είναι τα ακόλουθα (για ευκολία παραλείπου- µε την αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης c). x n dx = n + xn+. (39) 2. dx = ln x. (40) x 3. sin(x)dx = cos(x). (4) 4. cos(x)dx = sin(x). (42) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 9 Ολοκληρώµατα 5. tn(x)dx = ln sec(x) = ln cosx. (43) 6. 7. 8. 9. 0. cot xdx = ln sin x. (44) ( x sec xdx = ln sec x + tnx = ln tn 2 + π. (45) 4) ( x csc xdx = ln csc x cotx = ln tn. (46) 2) sec 2 xdx = csc 2 xdx =. 2. 3. 4. 5. dx = tnx. cos 2 (47) x sin 2 dx = cotx. (48) x α x dx = ln α αx. (49) e x dx = e x. (50) sinh xdx = cosh x. (5) cosh xdx = sinh x. (52) tnh xdx = ln cosh x. (53) 6. coth xdx = ln sinh x. (54) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 0 Ολοκληρώµατα 7. 8. 9. 20. 2. 22. 23. sech xdx = csch xdx = sech 2 xdx = dx = rctn(sinh x). (55) cosh x dx = rccot(cosh x). (56) sinh x cosh 2 dx = tnh x. (57) x ( x ) ( x α2 x 2dx = rcsin = rccos. (58) α α) x2 ± α 2dx = ln x + x 2 ± α 2. (59) x 2 + α 2dx = ( x ) α rctn = ( x ) α α rccot. (60) α x 2 α 2dx = 2α ln x α x + α. (6) 24. x2 ± α 2 dx = x x2 ± α 2 2 ± α2 2 ln x + x 2 ± α 2. (62) 25. α2 x 2 dx = x ( α2 x 2 2 + α2 x ) 2 rcsin. (63) 2 26. e αx+β sin(γx + δ)dx = exα+β (α sin(γx + δ) γ cos(γx + δ)). α 2 + γ 2 (64) 27. e αx+β cos(γx + δ)dx = eαx+β (α cos(γx + δ) + γ sin(γx + δ)) α 2 + γ 2. (65) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης Ολοκληρώµατα 7 Εφαρµογές στην Γεωµετρία 7. Εµβαδό Το εµβαδό επιφάνειας που ορίζεται από τις καµπύλες των f(x), g(x) και τις κατακόρυφες ευθείες x =, x = b είναι Υποθέτουµε ότι x [, b], είναι f(x) g(x) 0. 7.2 Μήκος Τόξου (f(x) g(x))dx. (66) Το µήκος της καµπύλης y = f(x) από το x = έως το x = b είναι ( ) 2 dy L = + dx. (67) dx Εάν οι συναρτήσεις τέµνονται στο (, b), τότε το παραπάνω ολοκλήρωµα δείνει το αλγεβρικό άθροισµα των εµβαδών. 7.3 Ογκοι Στερεού από Περιστροφή 7.3. Περιστροφή γύρω από τον Κατακόρυφο Άξονα Εστω ότι f(x) είναι συνεχής στο [, b], 0 και επιπλέον είναι f(x) 0. Ονοµάζουµε R την περιοχή του επιπέδου που περικλείεται από την f(x), τις κατακόρυφες ευθείες x =, x = b και τον άξονα τον x. Η περιστροφή της περιοχής R γύρω από τον άξονα των y ορίζει ένα στερεό. Ο όγκος αυτού του στερεού είναι V = (2πxf(x))dx. (68) 7.4 Περιστροφή γύρω από τον οριζόντιο άξονα Εστω ότι f(x) είναι συνεχής στο [, b] και επιπλέον είναι f(x) 0. Ονο- µάζουµε R την περιοχή του επιπέδου που περικλείεται από την f(x), τις κατακόρυφες ευθείες x =, x = b και τον άξονα τον x. Η περιστροφή της περιοχής R γύρω από τον άξονα των x ορίζει ένα στερεό. Ο όγκος αυτού του στερεού είναι V = π (f(x)) 2 dx. (69) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 2 Ολοκληρώµατα 8 Γενικευµένα Ολοκληρώµατα Στην περίπτωση που η περιοχή ολοκλήρωσης [, b] δεν είναι πεπερασµένη σε κάποιο άκρο, ή η συνάρτηση είτε δεν ορίζεται είτε δεν είναι ϕραγµένη σε κάποιο σηµείο, τότε το ολοκλήρωµα της f(x) λέγεται γενικευµένο ολοκλήρωµα. Σ αυτή την περίπτωση το ολοκλήρωµα ορίζεται µε κατάλληλο όριο. 8. Πρώτου Είδους Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και πεπερασµένη, αλλά το ένα όριο ολοκλήρωσης είναι άπειρο, γράφουµε f(x)dx = lim M M f(x)dx. (70) Εάν το όριο υπάρχει, λέµε ότι το ολοκλήρωµα συγκλίνει. ιαφορετικά ϑα λέµε ότι το ολοκλήρωµα αποκλίνει. Αντίστοιχα έχουµε και f(x)dx = lim m m f(x)dx. (7) Στην περίπτωση που και τα δύο όρια ολοκλήρωσης είναι άπειρα, τότε έχουµε f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, (72) όπου ένας οποιοσδήποτε πεπερασµένος αριθµός. Η επιλογή του δεν έχει σηµασία και συνήθως εκλέγεται έτσι ώστε ο υπολογισµός να είναι πιο ϐολικός. 8.2 ευτέρου Είδους Αν η συνάρτηση δεν ορίζεται (π.χ. αποκλίνει) στο ένα άκρο ολοκλήρωσης, τότε γράφουµε f(x)dx = lim ǫ + ǫ f(x)dx, (73) για την περίπτωση που το πρόβληµα είναι στο κάτω όριο ολοκλήρωσης. Αντίστοιχα έχουµε για το άνω όριο ολοκλήρωσης, f(x)dx = lim ǫ b ǫ f(x)dx. (74) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 3 Ολοκληρώµατα Στην περίπτωση που η συνάρτηση έχει ασυνέχεια σε κάποιο ενδιάµσεσο σηµείο c του διαστήµατος [, b], τότε είναι f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx, (75) και το κάθε ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους υπολογίζεται σαν το αντίστοιχο όριο, από αριστερά ή δεξιά αντίστοιχα. 8.3 Κριτήρια Σύγκλισης Ισχύουν τα εξής κριτήρια σύγκλισης. Το ανοιχτό άκρο b είναι είτε άπειρο είτε σηµείο στο οποίο δεν ορίζονται οι συναρτήσεις. Κριτήριο Αν υπάρχει p τέτοιος ώστε για την µη αρνητική συνάρτηση f(x), x [α, ) lim x xp f(x) = A (76) πεπερασµένος αριθµός, τότε το ολοκλήρωµα συγκλίνει αν p > και αποκλίνει αν p και A 0. Κριτήριο 2 Εστω η µη αρνητική συνάρτηση f(x), x (α, β] που δεν ορίζεται (απειρίζεται) στο α. Αν υπάρχει αριθµός p τέτοιος ώστε είναι πεπερασµένος αριθµός, τότε το ολοκλήρωµα lim x α +(x α)p f(x) = A (77) β συγκλίνει αν p < και αποκλίνει αν p και A 0. Κριτήριο 3 Αν x [, b) είναι 0 f(x) g(x) και το υπάρχει,, τότε ϑα υπάρχει και το και µάλιστα α f(x)dx f(x)dx (78) g(x)dx (79) f(x)dx (80) Αν αντιθέτως δεν υπάρχει το (80) δεν ϑα υπάρχει και το (79). g(x)dx. (8) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 4 Ολοκληρώµατα Κριτήριο 4 Εστω ότι οι συναρτήσεις f(x), g(x) δεν αλλάζουν πρόσηµο στο [, b) και έστω ότι f(x) lim = A. (82) x b g(x) Τότε αν b A 0, Τα ολοκληρώµατα f(x)dx και b g(x)dx συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. b A = 0 και το ολοκλήρωµα g(x)dx συγκλίνει, τότε ϑα συγκλίνει και το b f(x)dx. b Αν A = και το ολοκλήρωµα g(x)dx αποκλίνει, τότε ϑα αποκλίνει b και το ολοκλήρωµα f(x)dx. Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 5 Ολοκληρώµατα ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα. Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 6 Ολοκληρώµατα Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, SttView,... ) Mtlb Mthemtic Autocd Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Jv, Php,... ) Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.

Κ. Κυρίτσης 7 Ολοκληρώµατα Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitli.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ Τηλ. 20-4220970-2, Fx. 20-4220634. URL: http://www.vitli.gr, emil: info@vitli.gr.