ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598
Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα Παραδείγματα. Επιμέλεια: Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Α.Π.Θ. Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) τηλ. 4598. Αόριστο Ολοκλήρωμα. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Αόριστο Ολοκλήρωμα. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Αόριστο Ολοκλήρωμα.... 5 Παραδείγματα Μεθοδολογία... 7. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης... 9 Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες...9 Ολοκλήρωση με αντικατάσταση...9 Πίνακας Αόριστων Ολοκληρωμάτων Σύνθετων Συναρτήσεων...9 Παραδείγματα Μεθοδολογία... ν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκληρώματα της μορφής ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκληρώματα της μορφής ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκληρώματα της μορφής d... e ( ) d... d... ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4: Ολοκληρώματα της μορφής ηµ d, συν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5: Ολοκληρώματα της μορφής, d, συν d... d... 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6: Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες.... 5 e d και e + συν ( κ + λ ) d... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7: Ολοκληρώματα της μορφής + ηµ ( κ + λ ) d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8: Ολοκληρώματα της μορφής ηµ α + συν κ + λ, ηµ ( α + ) ηµ ( κ + λ ) d συν α + συν κ + λ d... ηµ και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9: Ολοκληρώματα της μορφής ηµ v ( α + ) d και συν v ( α + ) d... ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκληρώματα της μορφής ( + ) k ηµ α d και d... ( + ) k συν α P ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκλήρωση ρητών Συναρτήσεων Q... [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Αόριστο Ολοκλήρωμα.
Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκλήρωση άρητων Συναρτήσεων της μορφής d, g d... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Αναγωγικοί Τύποι... 7. Ορισμένο Ολοκλήρωμα... 8 Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος... 8 Παραδείγματα Μεθοδολογία... 9 Μεθοδολογία. Ιδιότητες Ορισμένου Ολοκληρώματος... 9 Μεθοδολογία. Υπολογισμός Ορισμένου Ολοκληρώματος... 9 Μεθοδολογία. Ορισμένο Ολοκλήρωμα και Κατά Παράγοντες Ολοκλήρωση... Μεθοδολογία 4. Χρήση του Τύπου Αλλαγής Μεταλητής... Μεθοδολογία 5. Ορισμένο Ολοκλήρωμα και Κλαδική Συνάρτηση... 7 Μεθοδολογία 6. Άλλες Μορφές Ορισμένου Ολοκληρώματος... 9 Μεθοδολογία 7. Ξεχωριστές Μορφές «Θέτω» Στο Ορισμένο Ολοκλήρωμα... 4.4 Η Συνάρτηση F = t dt... 45 Παραδείγματα Μεθοδολογία... 46 Μεθοδολογία. Το Πεδίο Ορισμού της F Μεθοδολογία. Παράγωγος των = t dt... 46 g g t dt, t dt, t dt... 47 h Μεθοδολογία. Εύρεση Συνάρτησης Σταθερή Συνάρτηση... 5 Μεθοδολογία 4. Μονοτονία Κυρτότητα... 6 Μεθοδολογία 5. Ανισοτικές Σχέσεις... 7 Μεθοδολογία 6. Υπαρξιακά... 8.5 Εμαδο Επίπεδου χωρίου... 9 Παραδείγματα Μεθοδολογία... 9 Μεθοδολογία. Υπολογισμός Εμαδού χωρίου μεταξύ C και... 9 Μεθοδολογία. Εμαδό Χωρίου που περικλείεται από C και C g... 94 Μεθοδολογία. Εμαδό χωρίου που περικλείεται από τρεισ συναρτήσεις... 96. Αόριστο Ολοκλήρωμα. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 4 Μεθοδολογία 4. Εμαδό και Αντρίστροφη... 98 Μεθοδολογία 5. Διάφορα Θέματα... [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 4
5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ () ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F =, για κάθε Δ. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής G ) = F( ) + c (, c, είναι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G ) = F( ) + c (, c Αόριστο ολοκλήρωμα Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της στο Δ, συμολίζεται d και διαάζεται ολοκλήρωμα εφ του ντε. Δηλαδή, ) d = F( ) + c (, c Για κάθε συνάρτηση, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει ) d = + c (, c () Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό. 5. Αόριστο Ολοκλήρωμα. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ. d = c 8. ημd = συν + c. d = + c 9. d συν = εφ + c. d = ln + c. ημ d = σφ + c 4. α d + α = + c α +, α. e d = e + c 5. συνd = ημ + c. α d α = + c ln α 6. συν ( α + ) ηµ ( + ) d = + c. συν ( α ) ( + ) ηµ α + d = + c 7. + + e e d = + c 4. ln + d = + c + Συνέπεια του ορισμού του αόριστου ολοκληρώματος και των κανόνων παραγώγισης είναι οι εξής δύο ιδιότητες: Αν οι συναρτήσεις και g έχουν παράγουσα σ ένα διάστημα Δ, τότε λ d = λ d, * λ ( g( )) d = d + + g( ) d [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 6
7 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) γ) + + d ) d π συν + ηµ συν, π + ηµ d α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Η είναι συνεχής στο + + = είναι το σύνολο * * ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο *. Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα αρκεί να «σπάσουμε» τα κλάσματα. Έτσι έχουμε: + + = + + = + + Άρα το ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε ως εξής: + + d = d d d d d d d + + = + + = + + = = + + ln = + + ln π π = συν + ηµ είναι για, συν ) Το πεδίο ορισμού της π π Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, π, π. ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο Για να υπολογίσουμε αυτό το ολοκλήρωμα αρκεί να «σπάσουμε» το ολοκλήρωμα σε στοιχειώδη ολοκληρώματα.. Άρα έχουμε: συν ηµ + d d d d = συν συν + ηµ = συν ηµ συν εφ 7. Αόριστο Ολοκλήρωμα. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 8 γ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης = + ηµ είναι το σύνολο *. Η είναι συνεχής στο * ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο *. Άρα έχουμε: ηµ + ηµ d = d + ηµ d = ln [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 8
9 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός. ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Η μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο: g d = g( ) g( ) d που είναι συνέπεια του κανόνα παραγώγισης του γινομένου δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε ένα διάστημα Δ., g ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ( g( )) g d. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο: ( g( )) g d = ( u) du, όπου u = g() και du = g( ) d Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα ( u) du του δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( ) v+ ( ), v d = + c v v +. = + e d e c. d = + c ln 4. d = ln + c, 5. ηµ d= συν + c 6. συν ηµ d= + c 7. συν d = εφ + c 8. ηµ d = σφ + c 9. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ( ) d Παράδειγμα. 4 d ) α) 4 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: συν ηµ d γ) + ( + + 7) 5 d α) Η συνάρτηση 4 = 4 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Η είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική. Παρατηρούμε ότι ( ) 4 = άρα το ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε ως: ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( ) 5 d = d = d = + c 5 4 4 4 4 ) Η συνάρτηση = συν ηµ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο. Η είναι συνεχής στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο. Έχουμε ότι: 4 συν συν ηµ d = ηµ συν d = ( συν ) συν d = + c 4 [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός γ) Η συνάρτηση = + ( + + 7) 5 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο. Η είναι συνεχής στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο. + + 7 = + Παρατηρούμε ότι Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε ως: ( 7 + + + ) 5 5 ( + + 7) ( + + 7) ( 7 ) ( 7) 4 ( + + 7) = + c 4 d = d = + + + + d = 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ e d Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) + 5 e d ) ηµ e συν d 5 α) Η συνάρτηση = e + έχει πεδίο ορισμού το σύνολο. Η είναι συνεχής στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο. Παρατηρούμε ότι: + 5 = άρα το ζητούμε ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε: 5 5 5 5 5 e + d = e + d = e + d = + e + d = e + 5 + c. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης = ηµ e συν έχει πεδίο ορισμού το σύνολο. ) Η συνάρτηση Η είναι συνεχής στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο. Παρατηρούμε ότι συν = ηµ Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε: ηµ ηµ συν e συν d = e συν d = e συν d = e συν + c ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ d Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: ηµ π π α) d ) d +ηµ,, ηµ συν ln εφ 4 γ) + d + + 7 α) Παρατηρούμε ότι : + ηµ = ηµ συν = ηµ Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται: ηµ ( + ηµ ) d = d = ln ( + ηµ ) + c + ηµ + ηµ ) Παρατηρούμε ότι: = = = = εφ εφ συν ηµ συν ηµ συν συν ( ln ( εφ) ) ( εφ) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ( ln ( εφ) ) d = d = d = ln ( ln ( εφ) ) + c ηµ συν ln εφ ηµ συν ln εφ ln εφ γ) Παρατηρούμε ότι: + + 7 = + Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: + + ( + + 7) d = d = d = ln ( + + 7 ) + c + + 7 + + 7 + + 7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ηµ d, συν d Παράδειγμα 4. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: e e d γ) α) ( ) ηµ + ( + + 9) d ) ( ηµ ) ηµ ( + συν ) συν ( ln ( + )) d + α) Παρατηρούμε ότι: + + 9 = + Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) ηµ ( 9) ( 9 ) ηµ ( 9) συν ( 9) + + + d= + + + + d= + + + c ) Παρατηρούμε ότι: + συν = + ηµ e e Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται:. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 4 ( ηµ ) ηµ ( συν ) ( συν ) ηµ ( συν ) συν ( συν ) e e + d= e + e + d= e + + c γ) Παρατηρούμε ότι: ( ln ( ) ) ( + ) + = = + + Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) συν ln + d = ln + συν ln + d = ηµ ln + + c + ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ, d, συν ηµ d Παράδειγμα 5. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) + 5 d ) συν ( + 5+ 9) ηµ ( ln ) d α) Παρατηρούμε ότι: + 5+ 9 = + 5 Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: συν ( + 5+ 9 ) + 5 d = d = εφ ( + 5 + 9) + c + 5+ 9 συν + 5+ 9 ) Παρατηρούμε ότι: ( ln ) = Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 4
5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός d = d = d = σφ ( ln ) + c ηµ ln ηµ ln ηµ ln ( ln ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. = g d g g d Την ολοκλήρωση κατά παράγοντες την χρησιμοποιούμε για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα ενός γινόμενου συναρτήσεων. Έχοντας ένα ολοκλήρωμα λοιπόν της μορφής φ ώστε = φ. g d αναζητούμε μια συνάρτηση τέτοια Η σειρά με την οποία αναζητούμε τις συναρτήσεις που θα άλουμε κάτω από τόνο είναι: Εκθετικές ( e h) Τριγωνομετρικές ηµ h, συν h v v Πολυωνυμικές ( v + v +... + + ) Λογαριθμικές ( ln h( )) Παράδειγμα 6. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) e ( + + 9) d + 7 ) ( + 5 ) e d α) Εδώ έχουμε να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα που περιέχει ένα γινόμενο μια λογαριθμικής και μιας πολυωνυμικής συνάρτησης. Η συνάρτηση της οποία θα προσπαθήσουμε να ρούμε την αρχική (δηλαδή θα προσπαθήσουμε να άλουμε κάτω από τόνο) είναι η λογαριθμική. Παρατηρούμε ότι: 5. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 6 ( e ) = e Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( 9) ( 9) ( 9) ( 9) = e ( + + 9) e ( + ) d e + + d= e + + d= e + + e + + d= Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ( + ) e d θα ακολουθήσουμε την ιδία διαδικασία: = e + + e + d = e + + e + d = ( 9) ( ) ( 9) ( ) = e ( + + 9) e ( + ) e ( + ) d = = e ( + + 9) e ( + ) + e d = = e ( + + 8) + c = e + + 9 e + + e d= e + + 9 e + + e + c= )Παρατηρούμε ότι: e = e + 7 = e = e + 7 + 7 + 7 + 7 Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: + 7 + 7 + 7 + 7 e ( + 5) d = e ( + 5) d = e ( + 5) d = ( 5) e + d = + 7 + 7 + 7 = ( e ) ( 5) d e ( 5) e ( 5 ) + = + d + = + 7 + 7 + 7 + 7 = e ( + 5) e d = e ( + 5) ( e ) d = + 7 + 7 = e ( + 5) e + c Παράδειγμα 7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: d ) ηµ ( + ) ( + ) d α) συν ( + 7) ( + 7) α) Παρατηρούμε ότι: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 6
7 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ( ηµ ( 7) ) ( 7) συν ( 7) συν ( 7) συν + = + + = + ( 7) + = ( ηµ ( + 7) ) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ηµ ( )) + 7 συν ( + 7) ( + 7) d = ( + 7) d = ( ηµ ( + 7) ) ( + 7) d = = ηµ ( + 7) ( + 7) ηµ ( 7) ( 7) + + d= = ηµ ( + 7) ( + 7) ηµ ( 7) ( 7) + + d= = ηµ ( + 7) ( + 7) ηµ ( 7) d + = συν ( + 7) = ηµ ( + 7) ( + 7) + + c 9 ) Παρατηρούμε ότι: ( συν ( ) ) ηµ ( ) ( ) ηµ ( ) ηµ ( ) + = + + = + + = ( συν ( + ) ) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ηµ ( ) ( ) d ( συν ( ) + + = ) ( ) + + d = = συν ( ) ( ) συν ( ) ( ) + + + + d = = συν ( + ) ( + ) + συν ( ) d + = = συν ( + ) ( + ) + ( ηµ ( + ) ) d = = συν ( + ) ( + ) + ηµ ( + ) ( ) ηµ + d = = συν ( + ) ( + ) + ηµ ( + ) ( ) d ηµ + = συν ( + ) = συν ( + ) ( + ) + ηµ ( + ) + + c 4 7. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 8 Παράδειγμα 8. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) ln d ) ln d α) Το ολοκλήρωμα αυτό δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε άμεσα. Ένα από συνήθη τεχνάσματα που χρησιμοποιούμε στην κατά παράγοντες ολοκλήρωση είναι να εκμεταλλευόμαστε το ( ) = Επομένως το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ln d ln d ln ( ln ) = = d = ln d = = ln d= ln + c= ln + c ) Παρατηρούμε ότι: = = ( ) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) ln ln ln ln ( ln ) d = d == d = d = ln ln ln ln ln ln = ln ln + ( ln ) d ln ln d = + = = ln ln + d ln ln = + + c 4 = d = d = d = e d ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ + ηµ ( κ + λ ) e + συν ( κ + λ ) d Για να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα αυτής της μορφής θα χρησιμοποιήσουμε την κατά παράγοντες ολοκλήρωση. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 8
9 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός e d και μετά από πράξεις και με τη μέθοδο που αναλύσαμε προηγουμένως θα καταλήξουμε σε μια σχέση της μορφής: Θέτουμε Ι= + ηµ ( κ + λ ) I = H + µ I οπού µ Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς Ι και έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα Παράδειγμα 9. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: + α) = ηµ ( 7) A e d α)παρατηρούμε ότι: e = + e = e + + + Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: + + e ηµ ( 7) d ( e = ) ( 7) ηµ d = + + = e ηµ ( 7) e ( ηµ ( 7) ) d = + + = e ηµ ( 7) e ( 7) d συν = + + = e ηµ ( 7) ( e ) συν ( 7) d = 4 + + + = e ηµ ( 7) e συν ( 7) + e ( συν ( 7) ) 4 4 d = + + + = e ηµ ( 7) e συν ( 7) + ( ) ( 7) 4 4 e ηµ d = + + 9 + = e ηµ ( 7) e συν ( 7) e ηµ ( 7) d 4 4 = + 9 = e ηµ ( 7) e + συν ( 7) 4 4 Α Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: 9. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης + + 9 Α= e ηµ ( 7) e συν ( 7) Α 4 4 9 + + Α+ Α= e ηµ ( 7) e συν ( 7) 4 4 + + Α= e ηµ ( 7) e συν ( 7) 4 4 + + Α= e ηµ ( 7) e συν ( 7) d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ηµ α + συν κ + λ, ηµ α + ηµ κ + λ d συν α + συν κ + λ d ΚΑΙ Για να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα αυτής της μορφής θα χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω τύπους: ηµα συν = ηµ α + ηµ α + συνα συν = συν α + συν α + ηµα ηµ = συν α συν α + Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: d ) e συν συν d α) ηµ ( + 5) συν ( 5 ) α)έχουμε ότι: ηµ συν ηµ ηµ ( + 5) ( 5) = ( + 5) + ( 8+ 5) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ηµ ( + 5) συν ( 5) d = ( 5) ( 8 5) ηµ + + ηµ + d = = ηµ ( 5) d ηµ ( 8 5) d + + + = = συν ( + 5) συν ( 8+ 5) 4 8 [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ) Έχουμε ότι συν συν = συν + συν 4 Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: e συν συν d = e συν + συν 4 d = e συν d + e συν 4d = = I + I Ας υπολογίσουμε τώρα τα ολοκληρώματα Ι και Ι. συν συν συν ( συν ) συν ηµ συν ηµ I = e d = e d = e e d = = e + e d = e + e d = = e συν + e ηµ e ηµ d = e συν + e ηµ 4 e συν d = = e συν + e ηµ 4I I = e συν + e ηµ 4I 5I I = e συν + e ηµ 5 5 Όμοια για το Ι έχουμε: 4 I = e συν 4+ e ηµ 4 7 7 Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι το: = e συν + e ηµ 4 e συν συν d= e συν 4+ e ηµ 4+ e συν + e ηµ + c 7 7 5 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ηµ v ( α + ) d ΚΑΙ συν v ( α + ) Για να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα αυτής της μορφής θα χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω τύπους: Αν ν περιττός ν=κ+ τότε εφαρμόζουμε τους τύπους: ν v = = ( + ) ν+ ηµ ηµ ηµ συν συν ν v = = ( + ) ν+ συν συν συν ηµ ηµ Αν ν άρτιος δηλαδή ν=κ τότε εφαρμόζουμε τους τύπους: d. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης συν + συν ηµ = συν = Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: α) ηµ d ) συν 4 d γ) ηµ συν d α) Έχουμε ότι: ηµ ηµ ηµ ( συν ) ( συν ) ( συν ) συν ( συν ) d = d = + d = d + d = ηµ = ηµ + + c ) Έχουμε ότι: 4 + συν + συν + συν συν συν d = d = d = d + d + συν d = 4 4 4 ηµ + συν 4 ηµ ηµ ηµ 4 = + + d d συν 4d c 4 4 4 = + + 4 4 8 + = + + + + 8 4 4 8 γ)έχουμε ότι; συν + συν συν ηµ συν d = d = d d d = 4 4 4συν = + συν 4 ηµ 4 = d d συν 4d c 4 4 = = + 4 8 8 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ( + ) k συν α d ( + ) k ηµ α d ΚΑΙ Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων αυτής της μορφής κάνουμε χρήση των σχέσεων: συν = + εϕ και εϕ ηµ = + εϕ Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d 4 συν [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Έχουμε ότι συν = + εϕ. Άρα το δομένο ολοκλήρωμα γράφεται: d = d d ( εϕ ) d 4 συν = = + ( συν ) + εϕ Θέτουμε εϕ ( εϕ ) ( εϕ ) = t d = dt + d = dt Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: t εϕ I = ( + t ) dt = t + = εϕ + P ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Q. Εάν ο αθμός του P() είναι μικρότερος από τον αθμό του Q() τότε διαιρούμε «σπάζουμε» το κλάσμα σε απλά κλάσματα. Με τον όρο απλά κλάσματα εννοούμε κλάσματα της μορφής ( ρ ) κ Α +Β και ( + + γ ) κ με Δ< + Έτσι π.χ. το κλάσμα που μένει είναι να υπολογίσουμε τα α και. + + = = + 4+ + θα γραφτεί ως και το μόνο Το κλάσμα ( ) ( + ) = + + θα γραφτεί ως εξής: ( ) ( + ) + ( ) γ Εάν ο αθμός του P() είναι μεγαλύτερος από τον αθμό του Q() τότε κάνουμε την διαίρεση P():Q() και το κλάσμα μας γράφεται: P Q υ υ = π + και εφαρμόζουμε την προηγούμενη μεθοδολογία για το κλάσμα Q Q Παράδειγμα. Να υπολογίστε τα παρακάτω ολοκληρώματα: + α) d ) d + γ) 4+ ( ) ( + ) d. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 4 α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Παρατηρούμε ότι + = ( )( ) = + είναι το σύνολο {, } Άρα το ζητούμενο κλάσμα γράφεται: = + + Αρκεί να υπολογίσουμε τα α και. = + = + + ( ) ( ) ( ) {, } Για να μπορέσουμε να ρούμε τα α και αρκεί να επιλέξουμε τιμές που να μηδενίζουν διαδοχικά κάποιους από τους συντελεστές. Στην συγκριμένη περίπτωση επιλέγουμε = και =. Για = έχουμε: = + = = Για = έχουμε: = + = Επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά: d = d = ln ln + c + {, } ) Παρατηρούμε ότι 4+ = ( )( ) Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης = + 4+ είναι το σύνολο {, } Επίσης παρατηρούμε ότι ο αθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από τον αθμό του παρονομαστή άρα πρέπει αρχικά να κάνουμε την διαίρεση. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 4
5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός π() υ() Άρα το κλάσμα γράφεται: Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) + 4 + 4 + = + 4 + = + 4 + = ( + 4) + + d = ( + 4) + d = + 4 + ln + c 4 + γ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης = ( ) ( + ) είναι το σύνολο { }. Το κλάσμα μπορεί να γραφεί: + ( ) ( + ) Για = γ = + + = + + + + ( γ) = + + + = = Για = και α= - ( γ) = + + + γ = γ γ = Για =-, α=- και γ= = + + + = + = Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: d = + d = ln ln ( + ) + c + + + ( ) ( ) 5. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g d Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ολοκληρώματα της μορφής Τότε θέτουμε t = d, d ή g d Στην μεν πρώτη περίπτωση το διαφορικό d υπολογίζετε απευθείας από την δοσμένη σχέση δηλαδή ( ) dt = d dt = d Στη δε δεύτερη περίπτωση υπολογίζεται λύνοντας πρώτα την εξίσωση t = ως προς και στην συνέχεια υπολογίζοντας το διαφορικό t = = t = g t d = g t dt Παράδειγμα 4. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα α) ηµ d ) +συν + + d + συν = + συν = συν συν = συν ηµ = ηµ α) Παρατηρούμε ότι Άρα θέτουμε + συν = t ( συν ) ( συν ) ηµ + d = dt + d = dt d = dt + συν + συν ηµ d = dt + συν Το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά: ηµ d = dt = t + c = + συν + c + συν ) Θέτουμε + = t + = t = t d = t dt d = tdt [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 6
7 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται + + = + = + + = 4 d t t tdt t t t dt 6 4 7 5 7 5 t t t + + + t 4t + t dt = 4 + + c = 4 + + c 7 5 7 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ Έστω Ι ν ένα ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης, στην οποία εμφανίζεται ο φυσικός αριθμός ν. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες ο υπολογισμός του Ι ν δεν επιτυγχάνεται άμεσα, αλλά μετά από τις πρώτες προσπάθειες λέπουμε ότι για την εύρεσή του απαιτείται η γνώση του Ι ν- ή Ι ν- κλπ. Μία σχέση η οποία συνδέει τα Ι ν, Ι ν-,ι ν- κλπ λέγεται αναγωγικός τύπος. Εκτός από λίγες περιπτώσεις η εύρεση ή η απόδειξη αναγωγικών τύπων επιτυγχάνεται με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Παράδειγμα 5. Αν Iv v = συν να αποδειχθεί ότι: d ν v ν v Iv = συν ηµ + Iv Είναι : I = συν d = συν συν d = συν ηµ d = συν ηµ + συν ηµ d = v v v v ν ν ν ν ν ν ν ν ( v ) ( ) d ν ν ν ( v ) d ( v ) συν d = = συν ηµ v συν ηµ ηµ d = συν ηµ + v συν ηµ d = = συν ηµ + συν συν = = συν ηµ + συν ν = συν ηµ + v I v I v v ν I = συν ηµ + v I v I I + v I = συν ηµ + v I ν v v v v v v v vi = συν ηµ ( v ) I I = συν ηµ I v v ν ν v v v v 7. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 8. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ α d = d α α d = α (, τότε ) d Αν ) α (. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Με τη οήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα. ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω, g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [ α, ] και λ, μ. Τότε ισχύουν και γενικά d = λ α λ d [ + g( )] d = d + α α α g( ) d [ + μg( )] d = λ d + μ ΘΕΩΡΗΜΑ ο α λ g( ) d α α α Αν η είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ και α,, γ Δ, τότε ισχύει d = d + α γ d α γ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [ α, ]. Αν για κάθε [ α, ] και η συνάρτηση δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε d >. α [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 8
9 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ 4 4 8 Παράδειγμα. Αν d = 9, d = και ολοκληρώματα: d = να ρείτε τα α) 4 d ) 8 4 d γ) d δ) 8 d. Για να μπορέσουμε να λύσουμε αυτή την άσκηση αρκεί να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος που δόθηκαν στην θεωρία. α) Έχουμε: 4 d = d = 4 8 8 4 ) d = d d = 9 = 4 4 4 γ) d = d + d = 9 = 4 8 8 δ) d d d = = = 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Για τον υπολογισμό στοιχειωδών ορισμένων ολοκληρωμάτων εργαζόμαστε χρησιμοποιώντας τις μεθόδους ολοκλήρωσης που αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο με την διαφορά ότι εδώ προσθέτουμε και τα όρια ολοκλήρωσης. Για τον προσδιορισμό ενός ολοκληρώματος της μορφής (αρχική) συνάρτηση F της στο [α, ] και να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: 9. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου] d, αρκεί να ρούμε μία παράγουσα
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα = = ( ) ( α) d F F F Σε ποιο σύνθετες μορφές ορισμένων ολοκληρωμάτων θα γίνει αναφορά στην επόμενη παράγραφο. Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα α) ηµ ( π ) e d ) d α) Έχουμε ότι: συν π συνπ συν ( e ηµ ( π) ) d = e d d e e ηµ π = + = + = π π π = e π ) Έχουμε ότι: 8 7 5 d = + d = 4 = = = 6 Παράδειγμα. Αν η παράγωγος της συνάρτησης είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει = και = να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) d ) + e d α) Έχουμε ότι: d ( e e ) d e ( e ) = d e = + = = ( e ) d= e = e e = e ) έχουμε ότι: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα
Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ( ) ( ) + d = + d = + d = ( ( )) d = = = = Παράδειγμα 4. Έστω μία συνάρτηση με και + = για κάθε [, ] Αν ( ) και ( ) ρίζες της εξίσωσης 5. =, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d. Στην συγκεκριμένη άσκηση δεν θα ασχοληθούμε με την λύση της διαφορικής εξίσωσης καθώς είναι δύσκολος ο υπολογισμός του δοσμένου ολοκληρώματος μίας και δεν δίνονται τα όρια ολοκλήρωσης. Φέρνουμε λοιπόν την σχέση σε τέτοια μορφή ώστε η συνάρτηση να είναι αρχική μίας άλλης συνάρτησης. + = = = = Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: d = d = = ( ) ( ) () Έχουμε ότι τα ( ) και ( ) ρίζες της εξίσωσης Viet για το άθροισμα και το γινόμενο ριζών. 5 =. Με την χρήση των τύπων του S 5 γ = = = α = ( ) = και P ( ( ) ) ( ) Άρα η () γράφεται: 5 d = = 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Η κατά παράγοντες ολοκλήρωση εφαρμόζεται και ορισμένα ολοκληρώματα με την μορφή = α g d g g d. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα Η κατά παράγοντες ολοκλήρωση στα ορισμένα ολοκληρώματα διέπεται από τους ίδιους κανόνες που διέπεται και στα αόριστα ολοκληρώματα. Παράδειγμα 5. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) π συν d ) ln d α) Θα υπολογίσουμε το δοσμένο ολοκλήρωμα με τη μέθοδο της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης. d = d = d = d = π π π π π συν ( ηµ ) ηµ ηµ ( π ηµπ ηµ ) ( συν ) π π π = συν d = συν συν d = πσυνπ συν συν d = [ π ] ( ) π π [ ηµ ] π = = ) ln d ln d ln ( ln = ) d ( ln ln ) ln d = = = = d = d = + d = [ ] ln ln ln ln ln ln ln = ln ln ln + = ln 4ln + = ln 4ln + = ln 4ln + d d [ ] = ln Παράδειγμα 6. Δίνεται η συνάρτηση = I = λ λ d, λ> α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I λ + ) Να ρείτε το όριο lim α) Έχουμε: ln Iλ = d d ln d ln d ln ( ln ) = = d = = = = + = + = + λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ln λ d ln λ ln λ [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα
Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ) ln λ lim I λ = lim + = + + λ λ αφού De _ l ' Hospitl ln λ ( ln λ ) lim = = lim = lim = + λ + + ( λ ) λ ηµ Παράδειγμα 7. Έστω μία συνάρτηση με π υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = d. =, για κάθε και Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε την άρα για τον υπολογισμό του ζητούμενου ολοκληρώματος θα χρησιμοποιήσουμε την κατά παράγοντες ολοκλήρωση. π =. Να ( π π ) ηµ π π π π π I = d d = d d = = π Για του υπολογισμό του ολοκληρώματος ηµ d θέτουμε = t d = dt d = dt Για = t = Για = π t = π Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: [ ] π ηµ d π ηµ tdt συνt π συνπ συν = = = = Επομένως : Ι= π ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Από τη θεωρεία γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση: Όπου οι, g συνεχείς συναρτήσεις και u α u ( ) = = g, du = g d και u = g, u = g( ) g g d u du u. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4 Παράδειγμα 8. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) e d ) π d π ηµ γ) d 4 δ) d 4 +ηµ συν α) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος e d = t d = dt d = dt d = dt Θέτουμε Υπολογίζουμε τα καινούργια όρια ολοκλήρωσης. Για = t = Για = t = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) t = e e = e ( e e ) = t t t t t e d = e d = te dt = t e dt = te t e dt = e e e dt = = t d = dt d = dt d = dt ) Θέτουμε Για = t = = Για = t = = 4 Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ln d = dt = dt = t = = 4 4 4 [ ln ] ( ln 4 ln) t t + ηµ = t + ηµ d = dt ηµ συν d = dt ηµ d = dt γ) Θέτουμε Για Για = t = + ηµ = = π t = + = ηµ π Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: π ηµ d = dt = + ηµ t Αφού είναι γνωστό ότι: d = [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4
5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός δ) Αρχικά θα κάνουμε χρήση της σχέσης συν = + εϕ Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται ως εξής: π π π π 4 4 4 4 I = d = d = d = ( + εϕ ) d 4 συν ( συν ) + εϕ Θέτουμε εϕ ( εϕ ) ( εϕ ) = t d = dt + d = dt Για = t = εϕ= π π Για = t = εϕ = 4 4 Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται: t 4 I = ( + t ) dt = t + = + = Παράδειγμα 9. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) π 4 εϕ d ) π 6 εϕ d α) Προσπαθούμε μέσα στο ολοκλήρωμα να εμφανίσουμε την παράσταση + εϕ καθώς + εϕ = εϕ π π π π π π 4 4 4 4 4 4 εϕ εϕ ( εϕ ) ( εϕ ) d = + d = + d d = d d = π π π = [ εϕ] 4 [ ] 4 = 4 = t d = dt + d = dt + t d = dt d = dt + t ) Θέτουμε ( t= εϕ εϕ εϕ εϕ ) ( ) Για = t = εϕ= Για π π = t = εϕ = 6 6 Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται: 5. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6 π 6 t I = εϕ d = t dt = dt + t + t Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος κάνουμε την διαίρεση : t = t + t t Άρα: t t + και έχουμε ( + t ) I = dt = t dt = tdt dt = dt = dt = t t t t t + t t t + + + t + t ln ( t ) ln 6 6 = + = + Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: π α) 4 d ) π ηµ συν 6 e ln d + ln α) Αρχικά θα κάνουμε χρήση των τύπων συν = + εϕ και εϕ ηµ =. Άρα το ζητούμενο + εϕ ολοκλήρωμα γράφεται ( εϕ + ) π π π 4 4 4 I = π d = π d = d π 6 ηµ συν 6 εϕ 6 εϕ + εϕ + εϕ Θέτουμε εϕ ( εϕ ) ( εϕ ) = t d = dt + d = dt Για π π = t = εϕ = 6 6 π π Για = t = εϕ = 4 4 Επομένως: + t I = dt = dt t t + = = t t [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6
7 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ) Παρατηρούμε ότι ( ln ) + = + ln Θέτουμε + ln = t + ln = t ln = t ( ln ) ( ln ) + d = dt + d = dt d = dt + ln + ln d = dt d = dt d = dt + ln + ln + ln Για = t = + ln t = Για = e t = + ln e t = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά e ln t d = t dt = t dt = t = ln + 4 4 = = + = ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΚΛΑΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα g, : της μορφής: = h, > Τότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: με < < = + = + d d d g d h d d μιας συνάρτησης Όμοια αν έχω μία συνάρτηση που περιέχει απόλυτη τιμή τότε γάζουμε την απόλυτη τιμή και μετατρέπουμε την συνάρτηση σε κλαδική. Το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα προκύψει με την χρήση της προηγούμενης μεθόδου. Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) I = d όπου ) ( + ) d e, < = ln ( + ), 7. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 8 Παρατηρούμε ότι στο σημείο = αλλάζει ο τύπος της δοθείσας συνάρτησης. Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: I = d = d + d = e d + ln + d Θα υπολογίσουμε καθένα από τα ολοκληρώματα ξεχωριστά, με την χρήση της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης: ( e ) ( e ) e e e e d = e d = e e d = e + e d = = + = = ln ( ) d ln ( ) d ln ( ) ln ( ) + = + = + + d = + = ( ln ln) d = ln d = ln d = + + + = ln d = ln ln ( + ) = ln ( ln + ln) = ln + Επομένως: I = + ln = ln )Αρχικά πρέπει να «γάλουμε» την απόλυτη τιμή. = αν > Για να λύσουμε την ανίσωση λύνουμε πρώτα την αντίστοιχη εξίσωση: = = =± Κάνουμε στην συνέχεια τον πίνακα προσήμων της εξίσωσης: + + Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) ( ) ( ) + d = + + d + + d = = + + 4 + + = [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 8
9 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΆΛΛΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Δύο πολύ σημαντικές ασκήσεις στα ορισμένα ολοκληρώματα είναι οι ακόλουθες καθώς οηθούν στην εξαγωγή πολύτιμων συμπερασμάτων τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη επίλυση διαφόρων ποιο σύνθετων ασκήσεων. Παράδειγμα. Έστω μία συνεχής συνάρτηση : [, ] α) ( ) = d d ) Αν η είναι άρτια, τότε = d d γ) Αν η είναι περιττή, τότε ( ) d = = t = t d = t dt d = dt α) Θέτουμε Για = t = Για = t = Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) = ( ) = = = d t dt t dt t dt d. Να δείξετε ότι: ) Η είναι άρτια στο [, ] άρα για κάθε [, ] ισχύει ότι ( ) = Θα παρεμάλουμε το στο δοσμένο ολοκλήρωμα: = + d d d () Εκείνο το κομμάτι στην σχέση που μας «ενοχλεί» είναι το ( ) d = t = t d = t dt d = dt Θέτουμε Για = t = Για = t = Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: άρτια = ( )( ) = = = d t dt t dt t dt d 9. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4 Επομένως η () γράφεται: = + = + = d d d d d d γ) Η είναι περιττή στο [, ] άρα για κάθε [, ] ισχύει ότι ( ) = Θα παρεμάλουμε το στο δοσμένο ολοκλήρωμα: = + d d d () Εκείνο το κομμάτι στην σχέση που μας «ενοχλεί» είναι το ( ) d = t = t d = t dt d = dt Θέτουμε Για = t = Για = t = Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: περιττή = ( )( ) = ( ) = ( ) = = d t dt t dt t dt t dt d Επομένως η () γράφεται: d = d + d = d + d = Παράδειγμα. Αν είναι μία συνεχής συνάρτηση στο, να δείξετε ότι: ( + ) = d d Θέτουμε + = t + d = dt d = dt d = dt Για = t = + t = Για = t = + t = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ( + ) = ( ) = = = d t dt t dt t dt d [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4
4 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Παράδειγμα 4. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει: να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: ( ) d Η μόνη σχέση που μας δίνεται από την εκφώνηση της άσκησης είναι η + = για κάθε + =. Επειδή μας ζητά τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος προφανώς θα ολοκληρώσουμε την δοσμένη σχέση. ( ( ) ) d d d ( ) d [ ] ( ) + = + = d + d = Για τον υπολογισμό του δοσμένου ολοκληρώματος θα πρέπει να κάνουμε τον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος ( ) d. Θέτουμε ( ) = t d = dt d = dt Για = t = t = Για = t = t = Επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) = ( ) = = = d t dt t dt t dt d Άρα η () γράφεται: d + d = d + d = d = d = π π Παράδειγμα 5. Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο, + y = + y + ηµ y+ yηµ ισχύει: και για κάθε y, + = ηµ, α) Να δείξετε ότι d. ) Να υπολογίσετε τα ολοκλήρωμα π π α) Όπως έχουμε αναφέρει και σε παλαιότερες ασκήσεις που αφορούν σε συναρτησιακές σχέσεις, αρχικά θα υπολογίσουμε το 4. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4 Θέτουμε για το σκοπό αυτό = y = στην δοσμένη σχέση. = y= + y = + y + ηµ y+ yηµ + = + + ηµ + ηµ = = Στην συνέχεια θέτουμε y = = y= + y = + y + ηµ y+ yηµ = + + ηµ ηµ = + ηµ + = ηµ ) Για τον υπολογισμό του ζητούμενου ολοκληρώματος θα εργαστούμε ως εξής. Αρχικά παρατηρούμε ότι η σχέση που καταλήξαμε στο προηγούμενο ερώτημα περιέχει το και το. Επειδή εγώ δεν γνωρίζω τον ακριή τύπο της αλλά μόνο μία συναρτησιακή σχέση, θα πρέπει με κατάλληλους μετασχηματισμούς να εμφανίσω μέσα στο ολοκλήρωμα την δοσμένη σχέση. π π I = π d = d π d + Στο ολοκλήρωμα π Για = t = d θέτουμε = t d = dt d = dt Για π π = t = = ( )( ) = = d t dt t dt d π π π Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται π π π π ( ) I = d + d = + d = ηµ d Για τον υπολογισμό του θα κάνουμε χρήση της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης. π π π π I = d = d = d = [ ] ηµ συν συν ( ) ( συν ) [ συν ] συν d [ συν ] συν d [ συν ] [ ηµ ] π π π π π π π = + = + = + = π π π = συν + συν + ηµ ηµ = 4 [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4
4 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Παράδειγμα 6. Αν οι συναρτήσεις, : είναι συνεχείς και θεωρηθεί γνωστό ότι και η είναι συνεχής στο ( ) =, να δείξετε ότι: d = d Τα συμπεράσματα αυτής της άσκησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν και ως θεωρεία σε περιπτώσεις ασκήσεων όπου ο τύπος της συνάρτησης δεν είναι γνωστός, ενώ αντίθετα είναι γνωστός ο τύπος της. Στην συγκεκριμένη περίπτωση θέτουμε = t = ( t) και Για = t = Για = t = ( ) Άρα το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους γράφεται διαδοχικά: ( ) ( ) = = d t dt d d = dt ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΞΕΧΩΡΙΣΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ «ΘΕΤΩ» ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος = (, ) = (, ) = (, + ) I d, θέτουμε = ηµ t I d, θέτουμε = ηµt I d, θέτουμε = εϕt Παράδειγμα 7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) d ) + d α) Παρατηρούμε ότι μέσα στο ζητούμενο ολοκλήρωμα έχει κάνει την εμφάνιση της η παράσταση +, Άρα θέτουμε = εϕ = ( εϕ ) = ( + εϕ ) t d t dt d t dt 4. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 44 π Για = εϕt = t = 4 Για = εϕt = t = Το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά: εϕt ηµ t ( συνt) = + = = = = + + εϕ t συνt συνt π π π π 4 4 4 4 d t dt tdt dt dt ( εϕ ) εϕ π π = ln 4 συνt = ln συν + ln συν = ln + ln = ln 4 ) d Παρατηρούμε ότι μέσα στο ζητούμενο ολοκλήρωμα έχει κάνει την εμφάνιση της, η παράσταση, = ηµ t d = ηµ t dt d = συν tdt Άρα θέτουμε Για Για π = ηµ t = ηµ t = ηµ t = t = 4 π = ηµ t = ηµ t = ηµ t = t = 4 Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά: συνt συνt d = tdt = dt = dt = ηµ t ηµ t συν t π π π 4 4 4 π συν π π 4 4 4 συνt π π π π = dt = dt = t = = = 4 4 4 π π π 4 4 4 π π [ ] π 4συνt 4 4 [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 44
45 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F ΘΕΩΡΗΜΑ = t dt Αν είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F ( t) dt, Δ, = είναι μια παράγουσα της στο Δ. Δηλαδή ισχύει: α ( t) dt =, για κάθε Δ. ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [ α, ]. Αν G είναι μια παράγουσα της στο [ α, ], τότε α ( t) dt = G( ) G( α) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση = F ( t) dt είναι μια παράγουσα της στο [ α, ]. Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της στο [ α, ], θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε G = F( ) + c. () α Από την (), για = α, έχουμε G ( α) = F( α) + c = ( t) dt + c = c, οπότε c = G(α). α α Επομένως, G = F( ) + G( α), οπότε, για =, έχουμε G ( ) = F( ) + G( α) = ( t) dt + G( α) α και άρα α ( t) dt = G( ) G( α). 45.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
.4 Η Συνάρτηση 46 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α. Η συνάρτηση F οποίο η είναι συνεχής και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ F = t dt = t dt ορίζεται σε οποιοδήποτε διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, στο φ Για τον λόγο αυτό, για να ρούμε το πεδίο ορισμού της F Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της φ Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού D της = t dt εργαζόμαστε ως εξής: Απαιτούμε τα α και φ() να ανήκουν συγχρόνως σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. ω Β. Αν F = t dt, τότε το πεδίο ορισμού της F ρίσκεται ως εξής: ϕ Βρίσκουμε τα Dω, Dϕ, D Απαιτούμε τα, ϕ ω να ανήκουν συγχρόνως σε καθένα από τα διαστήματα του D Παράδειγμα. Να ρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων. ln t t α) = + ln ( + e ) dt ) = ln ( ) e dt α) Αρχικά θα προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που ρίσκετε μέσα στο ολοκλήρωμα. t t Θέλουμε : e + > e > που ισχύει για κάθε t Επειδή ο τύπος της περιέχει ακόμη τον όρο απαιτούμε Άρα ο μόνος περιορισμός που προέκυψε είναι Συνεπώς D = * ) Αρχικά και εδώ θα προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που ρίσκεται μέσα στο ολοκλήρωμα. > > > άρα = (, + ) Θέλουμε t t e e t Τώρα για να μπορέσουμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα απαιτούμε η συνάρτηση που ρίσκεται στο επάνω άκρο να ανήκει στο προηγούμενο διάστημα Δ. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 46
47 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Δηλαδή απαιτούμε ln > ln > ln > Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = (, + ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΩΝ Α. Αν η είναι συνεχής στο διάστημα Δ και τότε: ( ( t ) dt ) = ( ) για κάθε. g g t dt, t dt, t dt h Β. Αν η είναι συνεχής στο Δ, η g είναι παραγωγίσιμη στο Α και ορίζεται η g για κάθε Α, τότε: g ( ) t dt = g g, Α Γ. Αν η είναι συνεχής στο διάστημα Δ, οι g, h είναι παραγωγίσιμες στο Α και ορίζονται οι g και h στο Α, τότε: Παρατηρήσεις ( ) = ( g ) g ( h ) h ( ) g g g h t dt = h t dt + t dt t dt t dt = = h, Α. Στην περίπτωση Γ για τον υπολογισμό της παραγώγου μπορούμε να κάνουμε χρήση και του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού.. Όταν παραγωγίζουμε σχέσεις που περιέχουν ολοκλήρωμα με μεταλητό άκρο, για παράδειγμα g t dt, τότε πρέπει να έχουμε υπόψη τα εξής: έναν όρο της μορφής Η μεταλητή ολοκλήρωσης είναι το t Η μεταλητή παραγώγισης είναι το Αν το ολοκλήρωμα περιέχει και t και, τότε το θεωρείται σταθερός αριθμός. Για την παραγώγιση, όμως, πρέπει από το ολοκλήρωμα είτε με αντικατάσταση - είτε με διάσπαση σε άθροισμα ολοκληρωμάτων να «πάρουμε» το. Παράδειγμα. Να ρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων. α) ln ) 5 = t dt = t dt + α) Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού όλων των συναρτήσεων που απαρτίζουν την συνάρτηση. 47.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
.4 Η Συνάρτηση 48 Για την t απαιτούμε t t = [, + ) Για την ln απαιτούμε > Α = (, + ) Για την 5 το πεδίο ορισμού της είναι το Τώρα θέλουμε ln και 5 δηλαδή ln ln ln e e και 5 5 4 Από την συναλήθευση των δύο προκύπτει το ζητούμενο πεδίο ορισμού της που είναι το σύνολο D = e,4 [ ] Για να παραγωγίσουμε την συνάρτηση εργαζόμαστε ως εξής( με την χρήση των μεθόδων που προαναφέραμε) : = t dt = t dt + t dt ln ln ( ) 5 ( 5 ) = t dt t dt = ln 5 ( ) ln ( ln ) ( 5 ) ( 5 ) ln = + 4 ) Θέλουμε t t και Πρέπει ακόμη για την συνάρτηση να ισχύει: Θέλουμε ακόμη + Μετά την συναλήθευση των τριών περιορισμών που έχουμε για το προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της θα είναι το σύνολο D =, Για την εύρεση της παραγώγου της έχουμε ότι: ( ) t 4 dt ( ) t dt t dt ( ) t dt + t dt = = + + = + 4 4 4 = ( ) ( ) + + = + = [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 48
49 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός t Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και g = + t dt δείξετε ότι Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο. g u du dt = να Πριν παραγωγίσουμε την συνάρτηση g, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι «μέσα» στο ολοκλήρωμα υπάρχει ένα, που για εμάς είναι η μεταλητή παραγώγισης. Αυτό λοιπόν το, που δεν παίζει κανένα ρόλο μέσα στο ολοκλήρωμα, αλλάζει τον τρόπο με τον οποίο παραγωγίζουμε την g. Πρέπει λοιπόν να το «γάλουμε» έξω, διαδικασία απλή, καθώς για το ολοκλήρωμα λογίζεται ως αριθμός και «γαίνει» όπως ένας αριθμός. ( ) t t g = u du dt g = u du dt Άρα t t t ( ) ( ( ) ) ( ) t ( ) g = u du dt g = u du dt + u du dt g = u du + u du dt Για τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου έχουμε: t t ( ) ( ) ( ( ) ) g = u du + u du dt g = u du + u du dt g = u du + u du + u du g = u du + + u du g = + u du g = + t dt Παράδειγμα 4. Να ρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: α) = + tηµ ( t) dt,, ) ln ( ) = + t dt, > α) Κάτι αντίστοιχο συμαίνει και εδώ με την συνάρτηση καθώς το ολοκλήρωμα περιέχει τόσο την μεταλητή παραγώγισης όσο και την μεταλητή ολοκλήρωσης. Εδώ όμως τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά όσο στην προηγούμενη περίπτωση. Για να μπορέσουμε να «γάλουμε» το από το ολοκλήρωμα πρέπει να θέσουμε. t = u t dt = du dt = du dt = du και t = u Θέτουμε 49.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
.4 Η Συνάρτηση 5 Θυμίζουμε ότι η μεταλητή ως προς την οποία παραγωγίζουμε στο διαφορικό είναι το t άρα το λογίζεται ως αριθμός. Για t = u = Για t = u = u = Άρα η συνάρτηση γράφεται διαδοχικά: = + tηµ t dt = + u ηµ u du = u ηµ udu ηµ ( ηµ ηµ ) = + u udu = + u u u du = + ηµ udu uηµ udu = + ηµ udu uηµ udu Η συνάρτηση μετετράπη σε μία μορφή παραγωγίσιμη. Η είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού της. = + udu u udu = + udu u udu ( ηµ ηµ ) ( ηµ ) ( ηµ ) = + udu + udu ηµ ( ηµ ) ( ) ηµ ( ) ( ) ηµ ηµ ( ) ( ) ( ) ηµ ( ) ηµ ηµ ( ) ( ) ηµ ( ) = + udu + + = + udu + = + ηµ udu + ηµ ) Παρατηρούμε ότι μέσα στο ολοκλήρωμα που έχουμε κληθεί να παραγωγίσουμε υπάρχει ο παράγων. Θα χρειαστεί λοιπόν να θέσουμε: du t = u t dt = du dt = du dt = Θέτουμε: Για t = u = Για t = u = Άρα η δοσμένη συνάρτηση μετασχηματίζεται σε: du = + ln ( t ) dt = + ln ln ln u = + u du udu = + = ln udu [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 5
5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Η είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού της. Παραγωγίζοντας την έχουμε ότι: = ln udu ln ln ln ln = = ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α. Αν μας δίνεται μία ισότητα στην οποία εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά σχέση της μορφής t dt και ζητείται εύρεση (του τύπου) της, τότε: Εξασφαλίζουμε ότι και στα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις του Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη Προσοχή!!! Εάν μπροστά από το ολοκλήρωμα υπάρχει και μία άλλη παράσταση τότε διαιρούμε με αυτή την παράσταση έτσι ώστε να μας μείνει μόνο το ολοκλήρωμα το οποίο και θα φύγει μετά την παραγώγιση. Β. Εάν μέσα στο ολοκλήρωμα έχουμε και την μεταλητή παραγώγισης εκτός από την μεταλητή ολοκλήρωσης τότε πριν παραγωγίσουμε προσπαθούμε να γάλουμε την μεταλητή παραγώγισης έξω από το ολοκλήρωμα. Αυτό το επιτυγχάνουμε είτε απευθείας, είτε με την χρήση κατάλληλου «θέτω». Γ. Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο Δ και ότι η παράγωγός της είναι ίση με στο εσωτερικό του Δ. Σημείωση!!! Τα ορισμένα ολοκληρώματα όπου αυτά εμφανίζονται λογίζονται ως αριθμοί, ανεξάρτητα από την μεταλητή ολοκλήρωσης που μπορεί να έχουν. Είτε λοιπόν το υπολογίζουμε κατευθείαν, όπου αυτό είναι εφικτό, είτε το θέτουμε ίσο με μία σταθερά c. Παράδειγμα 5. Να δείξετε ότι η συνάρτηση (, + ) και να ρείτε τον τύπο της. t+ ln t = dt ln είναι σταθερή στο t + Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ). Για να δείξουμε ότι η είναι σταθερή αρκεί να δείξουμε ότι η πρώτη παράγωγος είναι μηδέν. 5.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
.4 Η Συνάρτηση 5 t+ ln t t+ ln t = dt ln dt ( ln ) = t + t + + ln ln + ln + ln = = + + + + ln ln + ln + ln = + = + + + + + + ln ( ln ) + ln ln = + = + + + + + + ln ln + + ln + ln = + = + + + + = Άρα = c, c Δοκιμάζουμε να δώσουμε μία τιμή στην που να μηδενίζει το ολοκλήρωμα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση η τιμή αυτή είναι για = t+ ln t = c dt ln = c c = t + Άρα ( ) = για κάθε (, + ) π Παράδειγμα 6. Να δείξετε ότι η συνάρτηση :, σταθερή. εϕ dt είναι σϕ + t με = Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο π συναρτήσεων στο, π, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων εϕ = dt σϕ = + t + + ( εϕ ) ( σϕ ) εϕ σϕ [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 5
5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός = ( εϕ) ( σϕ) = ( + εϕ ) ( σϕ ) + εϕ + σϕ + εϕ + σϕ = + = Άρα η είναι σταθερή στο πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα 7. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και = ( ) u G = t dt du, να δείξετε ότι οι συναρτήσεις FG, είναι ίσες. Θέλουμε να δείξουμε ότι F G F G = για κάθε. Θεωρούμε συνάρτηση H = F G με F u u du, και = για κάθε δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι Η H είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. u ( ( ) ) u ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) H = F G H = u u du t dt du H = u u u du t dt du H = u du u u du t dt H = u du u u du t dt H = u du + u du u u du t dt H = + ( u) du t dt H Άρα H = c για κάθε. Για = έχουμε ότι: u = H = c u u du t dt du = c c = Επομένως H F G F G F G = = = για κάθε. Παράδειγμα 8. Αν η συνάρτηση :[, ) 4 ( ) g = t t dt είναι συνεχής στο = + είναι συνεχής, να δείξετε ότι η 5.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
.4 Η Συνάρτηση 54 Για έχουμε ότι: Θέτουμε t = u t = u Για t = u = u = Για t = u = u = u dt = du dt = du Άρα η g γράφεται διαδοχικά. u = = = = u u du g 4 t ( t ) dt g 4 ( u) du g 4 u ( u) du g 4 Για = έχουμε ότι: t g = 4 t ( t) dt = 4 t dt 4 tdt 4 = = = Για να δείξουμε ότι η είναι συνεχής στο = αρκεί να δείξουμε ότι lim g = g ( u u du ) ( ) u ( u) du = lim g = lim lim = lim = lim = = g De l' Hospitl Άρα η g είναι συνεχής στο = Παράδειγμα 9. Έστω μία συνάρτηση : [, + ) η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει = +, t dt. Αν = να ρείτε τον τύπο της. : Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης έχουμε ότι: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 54
55 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ( ( )) + ( ) = + = + t dt t dt ( ) = + = = + + + = + = + = + c Για = έχουμε ότι: + = + c + = + c 4= + c c= Άρα: + + + + = + + = + = = Επειδή η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [, ) + = ή + = Από υπόθεση ισχύει ότι: = άρα + έχουμε ότι: + = για κάθε [, + ) Παράδειγμα. Να ρείτε τον τύπο των παρακάτω συνεχών συναρτήσεων : (, ) όταν: ( t) α) = + dt ) t dt = t + α) Παρατηρούμε ότι μέσα στο δοσμένο ολοκλήρωμα υπάρχει τόσο η μεταλητή ολοκλήρωσης όσο και η μεταλητή παραγώγισης. Για να μπορέσουμε να παραγωγίσουμε τη δοσμένη σχέση πρέπει πρώτα να γάλουμε την μεταλητή παραγώγισης από το ολοκλήρωμα. t = + dt = + ( t) dt Παρατηρούμε τώρα πως μπροστά από το ολοκλήρωμα υπάρχει ο παράγοντας κάτι που δηλώνει πως εάν παραγωγίσουμε δεν θα μπορέσουμε να διώξουμε το ολοκλήρωμα. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν και τους δύο όρους της προηγούμενης σχέσης με. 55.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
.4 Η Συνάρτηση 56 = + ( t) dt = + ( t) dt = + ( t) dt () Παραγωγίζοντας τώρα και τα δύο μέλη της () παίρνουμε διαδοχικά: ( ) = + t dt + = + t dt ( ) > + = + = = = ( ln ) = ln + c = η αρχική σχέση δίνει Για t = + dt = Άρα = ln+ c= c= δηλαδή = ln + για κάθε (, + ) ) Με όμοιο τρόπο θα εργαστούμε και σε αύτη την περίπτωση. t t t dt = t dt = dt t = t ( t) = dt t Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης έχουμε ότι: ( t) ( t) dt = dt = t t = = = = = = + c Για = η αρχική σχέση δίνει: t dt t = = Άρα = + c= c=. Επομένως = + = για κάθε (, + ) + Παράδειγμα. Να ρείτε τη συνεχή συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( t) ( t) ln dt = + dt, = (, + ) t t [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 56
57 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Η είναι παραγωγίσιμη στο Δ ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ) Έχουμε ότι: ( t) ( t) ( t) ln dt = + dt ( t)( ln ln t) dt dt t t = + t ( t) ( ln ( t) ln t ( t) ) dt = + dt t ( t) ln ( t) dt ln t ( t) dt dt = + t ( t) ln ( t) dt ln t ( t) dt = + dt t Διαιρούμε και τα δύο μέλη με. ( t) ln ln dt t dt t t dt = + t ( t) ln ( t) dt ln t ( t) dt dt = + t Και στην συνέχεια παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη. ( ln ln ) ( ln ) ln ( ) ln ln t dt + ln t dt ln = + ln + t dt = + ( t) t dt t t dt dt = + t ( t) t dt t t dt dt = + t ( t) dt = t dt = Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ). Άρα ( ) t dt = t dt = = + = + ( ) ( ) + = + = = + e e e e e e e e c 57.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
.4 Η Συνάρτηση 58 Για = η αρχική σχέση δίνει: t ( t) ln dt = + dt = t t Και η () ( t) dt = = Άρα η σχέση () δίνει για = : Δηλαδή = για κάθε (, + ) e e c c = + = = = e e = ( ) e = e = c = ce = Για = ce = c e c = Επομένως = e = για κάθε (, + ) Παράδειγμα. Να ρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης : e t t ln d dt = όταν ισχύει: Προσοχή!!! Εδώ το που ρίσκεται μέσα στο ολοκλήρωμα επειδή υπάρχει και στο διαφορικό λογίζεται ως μεταλητή ολοκλήρωσης και όχι ως μεταλητή παραγώγισης. Ο τρόπος που θα εργαστούμε στο συγκεκριμένο ολοκλήρωμα είναι ο εξής: Αρχικά «γάζουμε» από το δεύτερο ολοκλήρωμα ότι περιέχει t καθώς αυτοί οι παράγοντες λογίζονται ως αριθμοί. e e = t t ln d dt = t t ln d dt () Παρατηρούμε πως μέσα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα εμφανίζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα το οποίο μπορούμε και να υπολογίσουμε χωριστά. e ln d d = d = d = d = e e ln ln [ ln ] ( ln ) [ ln ] e e e e e e e e [ ] [ ] [ ] = ln d= ln = e ln e ln e = e e+ = Άρα η () γράφεται διαδοχικά: = e ln = = () t t d dt t t dt t t dt [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 58
59 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης () έχουμε ότι: ( ) = t t dt = t t dt = = e e = e = e = c = c e Για = η σχέση () γράφεται διαδοχικά: = t t dt = Άρα = ce = c Δηλαδή e = = για κάθε. Παράδειγμα. Να ρείτε τη συνεχή συνάρτηση : ( ) t = + dt e e Αρχικά θα «γάλουμε» το ( ) e από το ολοκλήρωμα. για την οποία ισχύει t = + dt ( ) ( t) dt e e e ( t) dt e = + e e e = + e e = + e t dt Θέτουμε t = u t dt = du dt = du dt = du Για t = u = u = Για t = u = u = Άρα η σχέση () γράφεται διαδοχικά: e = + t dt e = + u du () e = u du e = + u du Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της () έχουμε ότι: 59.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]
.4 Η Συνάρτηση 6 ( ) ( ) ( ) = + + = + e u du e e u du e + e = e + e = ( e ) e + e = + = e + e + e + e = e + e e = + e + e ( e ) e c ( ) = = Για = η σχέση () δίνει: e u du = + = + e Άρα η () γράφεται: Επομένως έχουμε ότι: e = c c= e + e + e e e e = c e = e = e e = e για κάθε Παράδειγμα 4. Έστω μία συνεχείς συνάρτηση : (, ) t = + dt t + για την οποία ισχύει Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ) t = u t = u dt = u du dt = du Θέτουμε Για t = u = u = Για t = u = u = Άρα η δοσμένη σχέση γράφεται διαδοχικά: t = + dt ( u) du ( u) du = + = + t u u () Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 6