ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α έν υποσύνολο του R Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; 5 ΕΣΠ Β Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί κνόν, με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν μόνο πργμτικό ριθμό Το ονομάζετι τιμή της στο κι συμβολίζετι με Σχόλι : Γι ν εκφράσουμε τη διδικσί υτή, γράφουμε: : A R, Το γράμμ, που πριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγετι νεξάρτητη μετβλητή, ενώ το γράμμ, που πριστάνει την τιμή της στο, λέγετι εξρτημένη μετβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζετι με D Το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A, λέγετι σύνολο τιμών της κι συμβολίζετι με A Είνι δηλδή: A { γι κάποιο A} Τι λέμε γρφική πράστση μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Γρφική πράστση της λέμε το σύνολο των σημείων M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύνολο των σημείων M,, με A Σχόλι : -Η γρφική πράστση της κι συμβολίζετι συνήθως με C -Η εξίσωση, λοιπόν, επληθεύετι μόνο πό τ σημεί της C Επομένως, η είνι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της - Επειδή κάθε A ντιστοιχίζετι σε έν μόνο, δεν υπάρχουν σημεί της γρφικής πράστσης της με την ίδι τετμημένη Αυτό σημίνει ότι κάθε κτκόρυφη ευθεί έχει με τη γρφική πράστση της το πολύ έν κοινό σημείο Σχ 7 Έτσι, ο κύκλος δεν ποτελεί γρφική πράστση συνάρτησης Σχ 7β 7 C C O O Α a β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

- Ότν δίνετι η γρφική πράστση C μις συνάρτησης, τότε: Το πεδίο ορισμού της είνι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β Το σύνολο τιμών της είνι το σύνολο A των τετγμένων των σημείων της C γ Η τιμή της στο 8 A είνι η τετγμένη του σημείου τομής της ευθείς κι της C Σχ = 8 C Α C C A, O Α O β O γ - Ότν δίνετι η γρφική πράστση C, μις συνάρτησης μπορούμε, επίσης, ν σχεδιάσουμε κι τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων κι Η γρφική πράστσης της συνάρτησης είνι συμμετρική, ως προς τον άξον, της γρφικής πράστσης της, γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M, που είνι συμμετρικά των M,, ως προς τον άξον Σχ 9 O Μ, Μ, 9 = = βη γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που βρίσκοντι πάνω πό τον άξον κι πό τ συμμετρικά, ως προς τον άξον, των τμημάτων της C που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον υτόν Σχ = = O 3 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις των βσικών συνρτήσεων β β, γ 3, δ, ε, g Οι γρφικές πρστάσεις φίνοντι πρκάτω : Η πολυωνυμική συνάρτηση β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 3

O O O a> a< a= βη πολυωνυμική συνάρτηση, O > O < γ Η πολυωνυμική συνάρτηση 3, 3 O O > < δ Η ρητή συνάρτηση, 4 O O > < ε Οι συνρτήσεις, g 5 O O ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 4

4 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις των πρκάτω συνρτήσεων :,, β, γ log, Οι γρφικές πρστάσεις φίνοντι πρκάτω : Οι τριγωνικές συνρτήσεις : ημ, συν, εφ 6 O π π =ημ O π π =συν β π/ O π/ 3π/ =εφ γ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συνρτήσεις ενώ η συνάρτηση ημ κι συν είνι περιοδικές με περίοδο T π, εφ είνι περιοδική με περίοδο T π β Η εκθετική συνάρτηση, 7 O O > << β Ιδιότητες : Υπενθυμίζουμε ότι: Αν, τότε: Αν, τότε: γ Η λογριθμική συνάρτηση log, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 5

8 O O > << β Ιδιότητες : log log κι log 3 log κι log 4 log log log 5 log log log k 6 log κlog 7Αν, τότε: log log, ενώ ν, log log ln 8 ln e, φού e 5 Πότε δύο συνρτήσεις,g λέγοντι ίσες ; 7, 7 ΕΣΠ Β, 8 ΟΜΟΓ, ΕΣΠ Β, Β, 4 ΕΣΠ Β Δύο συνρτήσεις κι g λέγοντι ίσες ότν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει g 6 Πώς ορίζοντι οι πράξεις της πρόσθεσης, φίρεσης, γινομένου κι πηλίκου δύο συνρτήσεων,g ; Ορίζουμε ως άθροισμ g, διφορά - g, γινόμενο g κι πηλίκο g δύο συνρτήσεων, g τις συνρτήσεις με τύπους g g, g g, g g, g g πεδίο ορισμού των g, g κι g είνι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α κι Β των Το συνρτήσεων κι g ντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είνι το A B, εξιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον προνομστή g, δηλδή το σύνολο { A κι B, με g } ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 6

7 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; Αν, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β ντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, κι τη συμβολίζουμε με g, τη συνάρτηση με τύπο go g A A B gb 4 g g g A Σχόλι : Το πεδίο ορισμού της g ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το νήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είνι το σύνολο A { A B} Είνι φνερό ότι η go ορίζετι,ν A, δηλδή ν A B β Γενικά, ν, g είνι δύο συνρτήσεις κι ορίζοντι οι go κι og, τότε υτές δ ε ν ε ί ν ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Αν, g, h είνι τρεις συνρτήσεις κι ορίζετι η hogo, τότε ορίζετι κι η hogo κι ισχύει hogo hogo Τη συνάρτηση υτή τη λέμε σύνθεση των, g κι h κι τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συνρτήσεων γενικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συνρτήσεις ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 7

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 Πότε μι συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ κι πότε γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ; 7 ΟΜΟΓ, 7 ΕΣΠ, ΕΣΠ, Η συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ σ έν δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: Η συνάρτηση λέγετι γνησίως φθίνουσ σ έν δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: 9 Πότε μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι προυσιάζει στο o κι πότε ολικό ελάχιστο ; A ολικό μέγιστο 4 ΟΜΟΓ, Β, 4 ΕΣΠ Μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το A ολικό ελάχιστο, το, ότν γι κάθε A, ότν γι κάθε A Πότε μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγετι ; 3 ΟΜΟΓ, 5 Β, ΟΜΟΓ Μι συνάρτηση :A R λέγετι συνάρτηση, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: Αν, τότε Σχόλι : Μι συνάρτηση :A R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε β Από τον ορισμό προκύπτει ότι μι συνάρτηση είνι, ν κι μόνο ν: - Γι κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση έχει κριβώς μι λύση ως προς - Δεν υπάρχουν σημεί της γρφικής της πράστσης με την ίδι τετγμένη Αυτό σημίνει ότι κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έν σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 8

- Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη, τότε είνι συνάρτηση " " γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλδή συνρτήσεις που είνι μονότονες Το ντίστροφο λλά δεν είνι γνησίως Πράδειγμ 34, Η συνάρτηση η συνάρτηση g, λλά δεν είνι γνησίως μονότονη Σχ 34είνι, O =g Πρτηρήσεις : Αν γνωρίζουμε ότι μι συνάρτηση είνι - τότε : Την ισοδυνμί υτή τη χρησιμοποιούμε γι επίλυση εξισώσεων Επίσης ισχύει : Γι ν ποδείξουμε ότι μι συνάρτηση είνι - ρκεί : Αν η δεν είνι -, τότε υπάρχουν, τω κι ί όμως ί ό ί ό όμως ό ό ίa Πότε μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A ντιστρέφετι κι πώς ; Μι συνάρτηση :AR ντιστρέφετι, ν κι μόνο ν είνι Η ντίστροφη συνάρτηση της που συμβολίζετι με ορίζετι πό τη σχέση : Σχόλι : Ισχύει ότι :, A κι, A β Η ντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών A της, κι σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της γ Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες O κι O Πρτηρήσεις : : : έ, Αν γνησίως μονότονη στο διάστημ Δ, τότε η μονοτονίς : πχ ν τότε έστω D είνι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος, με, τότε : άρ στο D ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 9

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Ποι πρότση συνδέει το όριο της στο κι τ πλευρικά όρι της στο ; o o Ισχύει ότι : Αν μι συνάρτηση είνι ορισμένη σε έν σύνολο της μορφής,,β, τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim lim lim Πρτηρήσεις : Ισχύει ότι : lim lim β lim lim h h β Τους ριθμούς lim κι lim τους λέμε πλευρικά όρι της στο κι συγκεκριμέν το ριστερό όριο της στο, ενώ το δεξιό όριο της στο γ Γι ν νζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η ν ορίζετι όσο θέλουμε κοντά στο, δηλδή η ν είνι ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής,,β ή, ή,β Το μπορεί ν νήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης Σχ 39, 39β ή ν μην νήκει σ υτό Η τιμή της στο, ότν υπάρχει, μπορεί ν είνι ίση με το όριό της στο Σχ 39 ή διφορετική πό υτό δ Ισχύει ότι lim κι lim c c ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ 3 Ν γράψετε τις ιδιότητες των ορίων ορίου στο o Γι το όριο ισχύουν οι πρκάτω ιδιότητες : Θεώρημ ο Αν Αν lim, τότε κοντά στο lim, τότε κοντά στο Πρτήρηση : Αν υπάρχει το lim Αν υπάρχει το lim κι είνι κοντά στο, τότε lim κι είνι κοντά στο, τότε lim β Θεώρημ ο Αν οι συνρτήσεις,g έχουν όριο στο κι ισχύει g κοντά στο, τότε lim lim g Πρτήρηση : Αν υπάρχουν τ lim κι lim g Αν g κοντά στο, τότε lim lim g Αν Αν lim lim lim lim g, τότε g κοντά στο g, τότε g κοντά στο γ Θεώρημ 3ο Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων κι g στο, τότε: lim g lim lim g lim κ κ lim, γι κάθε στθερά κ R 3 lim g lim lim g lim 4 lim, εφόσον g lim g lim g 5 lim lim k 6 lim k lim, εφόσον κοντά στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

δ Είνι : ν lim [ ] lim ν, * ν Ν γι πράδειγμ ν ν lim ε Έστω το πολυώνυμο P ν ν κι ν ν R Είνι : lim P P Απόδειξη : Σύμφων με τις πρπάνω ιδιότητες έχουμε: ν ν lim P lim ν ν lim ν ν lim ν ν ν ν ν lim ν lim lim ν ν P ν ν lim Άρ : lim P P στ Έστω η ρητή συνάρτηση Q Θ είνι τότε P, όπου P, Q πολυώνυμ του κι R με Q P P, όπου Q lim Q Q ζ Έστω οι συνρτήσεις,g,h Αν Κριτήριο πρεμβολής h g κοντά στο κι lim h lim g, τότε lim η Ισχύει ότι ημ, γι κάθε RΗ ισότητ ισχύει μόνο ότν lim ημ ημ lim συν συν ημ συν lim lim 4 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο o Αν θέλουμε ν υπολογίσουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο σημείο,δηλδή το lim g, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u g Υπολογίζουμε ν υπάρχει το 3 Υπολογίζουμε ν υπάρχει το u lim g κι lim u uu Αν g u κοντά στο, τότε το ζητούμενο όριο είνι ίσο με lim g lim u uu, δηλδή ισχύει: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 5 Ν γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Όπως στην περίπτωση των πεπερσμένων ορίων έτσι κι γι τ άπειρ όρι συνρτήσεων, που ορίζοντι σε έν σύνολο της μορφής,,, ισχύουν οι πρκάτω ισοδυνμίες: β lim lim lim lim lim lim γ Αν δ Αν ε Αν lim, τότε κοντά στο, ενώ ν lim, τότε lim, ενώ ν lim ή, τότε lim lim, τότε κοντά στο lim, τότε lim στ Αν lim κι κοντά στο, τότε lim, ενώ ν lim κι κοντά στο, τότε lim ζαν lim ή, τότε lim η Αν lim, τότε lim k θ i lim κι γενικά lim *, N ii lim ν, N κι lim, N 6 Ν γράψετε τ Θεωρήμτ του άπειρου ορίου στο o Γι το άθροισμ κι το γινόμενο ισχύουν τ πρκάτω θεωρήμτ : ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσμτος Αν στο R το όριο της είνι: R R - - κι το όριο της g είνι: - - - τότε το όριο της g είνι: - - ; ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 3

ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γινομένου Αν στο R, το όριο της είνι: κι το όριο της g είνι: τότε το όριο της g είνι: > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Σχόλιο Οι πρκάτω μορφές λέγοντι προσδιόριστες μορφές :,,,,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 4

ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 7 Ν γράψετε τις ιδιότητες γι το όριο στο άπειρο Γι τον υπολογισμό του ορίου στο ή ενός μεγάλου ριθμού συνρτήσεων χρειζόμστε τ πρκάτω βσικά όρι: ν lim κι lim, ν * N lim ν, ν ν άρτιος -, ν ν περιττός κι lim, ν * β Γι την πολυωνυμική συνάρτηση P, με ισχύει: lim P lim κι lim P lim γ Γι τη ρητή συνάρτηση,, ισχύει: lim lim κι lim lim δ Γι το όριο εκθετικής - λογριθμικής συνάρτησης ισχύει ότι Αν Σχ 6, τότε lim, limlog, lim lim log 6 =a =log a O Αν Σχ 6, τότε =a 6 lim, lim limlog, lim log O =log a ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 5

Σχόλι Γι ν νζητήσουμε το όριο μις συνάρτησης στο, πρέπει η ν είνι ορισμένη σε διάστημ της μορφής, Γι ν νζητήσουμε το όριο μις συνάρτησης στο πρέπει η ν είνι ορισμένη σε διάστημ της μορφής, Γι τ όρι στο, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την προϋπόθεση ότι: οι συνρτήσεις είνι ορισμένες σε κτάλληλ σύνολ κι δεν κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή 8 Ν δώσετε τον ορισμό της κολουθίς Ακολουθί ονομάζετι κάθε πργμτική συνάρτηση : * 9 Τι εννοούμε ότν λέμε ότι μι κολουθί έχει όριο το l ; Θ λέμε ότι η κολουθί ν έχει όριο το l κι θ γράφουμε lim ε ν ν *, υπάρχει τέτοιο, ώστε γι κάθε ν ν ν ισχύει ε N ν, ότν γι κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 6

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μι συνάρτηση λέγετι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της ; o ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μι συνάρτηση κι έν σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είνι συνεχής στο, ότν lim Σχόλι : Σύμφων με τον πρπάνω ορισμό, μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της ότν: i Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ii Υπάρχει το όριό της στο, λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της,, στο σημείο β Μί συνάρτηση που είνι συνεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, συνεχής συνάρτηση γ Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είνι συνεχής, φού γι κάθε R ισχύει lim P P Κάθε ρητή συνάρτηση P Q είνι συνεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P P lim Q Q Οι συνρτήσεις ημ κι συν g είνι συνεχείς, φού γι κάθε R ισχύει lim ημ ημ κι lim συν συν Οι συνρτήσεις κι g log, είνι συνεχείς Ν διτυπώσετε πρότση που φορά τη συνέχει κι τις πράξεις συνρτήσεων Γι τη συνέχει κι τις πράξεις συνρτήσεων ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Αν οι συνρτήσεις κι g είνι συνεχείς στο, τότε είνι συνεχείς στο κι οι συνρτήσεις: g, c, όπου c R, g,, κι g περιέχει το με την προϋπόθεση ότι ορίζοντι σε έν διάστημ που ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 7

Ν διτυπώσετε πρότση που φορά τη συνέχει σύνθετης συνάρτησης Γι τη συνέχει σύνθετης συνάρτησης ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είνι συνεχής στο 3 Πότε μι συνάρτηση λέγετι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ, κι πότε στο κλειστό διάστημ [, ] ΟΜΟΓ, 8,, ΕΣΠ Μι συνάρτηση λέμε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ β,, ότν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του, Μι συνάρτηση θ λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [ β, ], ότν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέον : Σχόλιο lim κι lim Ανάλογοι ορισμοί διτυπώνοντι γι διστήμτ της μορφής, ], [, 4 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano 3 ΟΜΟΓ, 4 ΕΣΠ Β Έστω μι συνάρτηση, ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η είνι συνεχής στο [, ] κι, επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστον, ρίζ της εξίσωσης στο νοικτό διάστημ, Σχόλι Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δε μηδενίζετι σ υτό, τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε ή είνι ρνητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Μι συνεχής συνάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 8

5 Ν ερμηνεύσετε γεωμετρικά το θεώρημ του Bolzano Στο διπλνό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συνεχούς συνάρτησης στο [, β] Επειδή τ σημεί A, κι B β, β βρίσκοντι εκτέρωθεν του άξον, η γρφική πράστση της τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σημείο β 64 Bβ,β O a β a Α, 6 Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το θεώρημ του ενδιμέσων τιμών Διτύπωση : Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η είνι συνεχής στο [, ] κι τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ των κι υπάρχει ένς, τουλάχιστον, τέτοιος, ώστε Απόδειξη : ΟΜΟΓ, 5, ΕΣΠ Β, 3 ΕΣΠ, 5 Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει Σχ 67 Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g, [, ], πρτηρούμε ότι: η g είνι συνεχής στο [, ] κι g g, Αφού g κι g Επομένως, σύμφων με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g, οπότε β η a Α, 67 Bβ,β =η O a β Σχόλι : Αν μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής στο διάστημ [,β], τότε δεν πίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές β Η εικόν ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης είνι διάστημ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 9

7 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Αν είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η πίρνει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχουν, [, ] τέτοι, ώστε, ν m κι M m M, γι κάθε [ β, ] Σχόλιο :, ν ισχύει Από το πρπάνω θεώρημ κι το θεώρημ ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μις συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είνι το κλειστό διάστημ [ mm, ], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, ποδεικνύετι ότι: Aν μι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ, β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ Α, Β Σχ 7, όπου Α lim κι B lim β Αν, όμως, η είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο, β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ B, A Σχ 7β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ - 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση =e - είνι γνησίως ύξουσ στο σύνολο των πργμτικών ριθμών Κάθε συνάρτηση, που είνι - στο πεδίο ορισμού της, είνι γνησίως μονότονη 3Μί συνάρτηση : Α ΙR είνι συνάρτηση,ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν =, τότε = 4 Αν, g είνι δύο συνρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR κι ορίζοντι οι συνθέσεις og κι go, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες 5 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί = που διχοτομεί τις γωνίες O κι O 6 Μί συνάρτηση λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: < 7 Αν η έχει ντίστροφη συνάρτηση κι η γρφική πράστση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεί =, τότε το σημείο Α νήκει κι στη γρφική πράστση της 8 Αν γι δύο συνρτήσεις, g ορίζοντι οι og κι go, τότε είνι υποχρεωτικά og go 9 Μί συνάρτηση : Α ΙR λέγετι συνάρτηση, ότν γι οποιδήποτε, Α ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

Μί συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο ο A ολικό ελάχιστο, το ο, ότν : < ο γι κάθε A Μι συνάρτηση : Α IR είνι, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση = έχει κριβώς μί λύση ως προς Μι συνάρτηση είνι -, ν κι μόνο ν κάθε οριζόντι ευθεί πράλληλη στον τέμνει τη γρφική πράστσή της το πολύ σε έν σημείο 3 Η γρφική πράστση της συνάρτησης είνι συμμετρική, ως προς τον άξον, της γρφικής πράστσης της 4 Αν, g, h είνι τρεις συνρτήσεις κι ορίζετι η h g, τότε ορίζετι κι η h g ισχύει h g = h g 5 Αν μι συνάρτηση :A IR είνι, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση, A κι, A 6 Υπάρχουν συνρτήσεις που είνι, λλά δεν είνι γνησίως μονότονες ισχύει: κι 7 Μί συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, ότν γι κάθε A 8 Η συνάρτηση είνι, ν κι μόνο ν κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έν σημείο 9 Αν ορίζοντι οι συνρτήσεις og κι go, τότε πάντοτε ισχύει og = go Το πεδίο ορισμού μις συνάρτησης είνι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γρφικής πράστσης C της συνάρτησης Γι κάθε συνάρτηση η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C, που βρίσκοντι πάνω πό τον άξον, κι πό τ συμμετρικά, ως προς τον άξον, των τμημάτων της C, που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον Μι συνάρτηση :A R λέγετι συνάρτηση -, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε 3 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί = που διχοτομεί τις γωνίες O κι O 4 Μί συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο το, ότν γι κάθε A 5 Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη σε έν διάστημ Δ, τότε είνι κι στο διάστημ υτό 6 Μι συνάρτηση είνι, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση = έχει κριβώς μί λύση ως προς 7 Η γρφική πράστση της συνάρτησης είνι συμμετρική, ως προς τον άξον, της γρφικής πράστσης της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

8 Αν μι συνάρτηση είνι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεί της γρφικής πράστσης της με την ίδι τετγμένη 9 Αν, g, h είνι τρεις συνρτήσεις κι ορίζετι η hogo, τότε ορίζετι κι η hogo κι ισχύει : hogo = hogo 3 Αν η συνάρτηση : A R είνι τότε ισχύει :, A 3 Αν η είνι - κι το σημείο Μ, β νήκει στην γρφική πράστση C της, τότε το M'β, θ νήκει στην γρφική πράστση C' της κι ντιστρόφως ΟΡΙΑ 3 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο κι lim τότε lim 33 Αν lim τότε > κοντά στο 34 Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων κι g στο o, τότε ισχύει: lim o g lim lim g o o 35 Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων κι g στο o, τότε ισχύει: lim o g lim lim g o 36 Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων κι g στο, τότε ισχύει : o lim g lim, εφόσον lim g lim g 37 lim l, ν κι μόνο ν lim lim l 38 Αν υπάρχει το όριο της στο, τότε lim k k lim, εφόσον κοντά στο, µε k ΙΝ κι k 39 Αν υπάρχει το lim g τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ lim κι lim g 4 Αν οι συνρτήσεις, g έχουν όριο στο ο κι ισχύει g κοντά στο ο, τότε : 4 Αν, τότε ισχύει lim lim > lim g 4 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο ΙR, τότε: lim k k lim στθερά k ΙR o o γι κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

43 Αν υπάρχει το lim τότε κοντά στο 44 Έστω πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ κι Δ Έστω επίσης γι κάθε Δ Αν lim τότε lim 45 Αν > τότε lim 46 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο R κι lim, τότε < κοντά στο 47 Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής,, β κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim lim 48 Ισχύει : lim 49 Αν lim κι < κοντά στο o τότε lim 5 Ισχύει : lim 5 Αν lim, τότε < κοντά στο 5 Αν lim 53 Αν lim ή, τότε lim τότε < κοντά στο 54 Αν οι συνρτήσεις, g έχουν όριο στο o, κι ισχύει g κοντά στο o, τότε ισχύει: lim lim g 55 Ισχύει ότι: lim 56 Αν lim κι > κοντά στο, τότε lim 57 Αν είνι lim, τότε < κοντά στο 58 Αν είνι < < τότε lim 59 Αν είνι lim, τότε < κοντά στο 6 Γι την πολυωνυμική συνάρτηση P= ν ν + ν- ν- + + με ν ισχύει: lim P ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 3

6 Αν lim, τότε < κοντά στο o 6 Ισχύει ότι: γι κάθε R 63 Ισχύει ότι: lim 64 Αν lim, τότε lim 65 Αν είνι lim τότε lim 66 Αν lim τότε lim ή lim ΣΥΝΕΧΕΙΑ 67 Αν η συνάρτηση είνι ορισμένη στο [,β] κι συνεχής στο,β], τότε η πίρνει πάντοτε στο [,β] μί μέγιστη τιμή 68 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ [, β] κι υπάρχει, β τέτοιο ώστε =, τότε κτ νάγκη θ ισχύει β 69 Αν είνι συνεχής στο [, β] με < κι υπάρχει ξ,β ώστε ξ=, τότε κτ νάγκη β> 7 Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δε μηδενίζετι σ υτό, τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε Δ ή είνι ρνητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ 7 H εικόν Δ ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης είνι διάστημ 7 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είνι συνεχής στο 73 Η εικόν Δ ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς συνάρτησης είνι διάστημ 74 Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ,β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ Α,Β όπου Α= lim κι Β= lim 75 Aν είνι συνεχής συνάρτηση στο [,β], τότε η πίρνει στο [,β] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m 76 Μι συνεχής συνάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 77 Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ,β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ Α,Β, όπου A lim κι lim 78 Το σύνολο τιμών μις συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημ [, β] είνι το κλειστό διάστημ [m, M], όπου m η ελάχιστη κι Μ η μέγιστη τιμή της 79 Μι συνεχής συνάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 8 Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δεν μηδενίζετι σε υτό, τότε η διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ 4, 9 Πότε μι συνάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μι συνάρτηση λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν κι μόνο ν υπάρχει το lim κι είνι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό ονομάζετι πράγωγος της στο κι συμβολίζετι με Δηλδή: Σχόλι : lim Αν, τώρ, στην ισότητ h lim h h lim θέσουμε h, τότε έχουμε β Αν το είνι εσωτερικό σημείο ενός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είνι πργωγίσιμη στο, ν κι μόνο ν υπάρχουν στο R τ όρι lim κι είνι ίσ lim, 9 Τι ορίζουμε ως εφπτομένη της C στο σημείο της A, Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο σημείο, ν γράψετε την εξίσωση της o εφπτομένης της C στο σημείο της A, Έστω μι συνάρτηση κι A, έν σημείο της C Αν υπάρχει το είνι ένς πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ lim κι C στο σημείο της Α, την Η εξίσωση της εφπτομένης ε της C στο σημείο της A, είνι: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 5

Σχόλι : Σύμφων με τον πρπάνω ορισμό: Η στιγμιί τχύτητ ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είνι η πράγωγος της συνάρτησης θέσης St τη χρονική στιγμή t Δηλδή, είνι υ t S Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφπτομένης ε της t C μις πργωγίσιμης συνάρτησης, στο σημείο A, είνι η πράγωγος της στο Δηλδή, είνι λ, οπότε η εξίσωση της ε φ π τ ο μ έ ν η ς ε είνι : Την κλίση της εφπτομένης ε στο A, θ τη λέμε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο 3 Αν μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό, 3, 7 Β, 3 Β Απόδειξη : Γι έχουμε, οπότε θ είνι : lim [ ] lim lim lim, φού η είνι πργωγίσιμη στο Επομένως, Σχόλιο : lim, δηλδή η είνι συνεχής στο Το ντίστροφο του πρπάνω θεωρήμτος δεν ισχύει Ισχύει όμως ότι : Αν μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής σ έν σημείο, τότε, σύμφων με το προηγούμενο θεώρημ, δεν μπορεί ν είνι πργωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 6

ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 3 ΟΡΙΣΜΟΣ Πότε μι συνάρτηση λέγετι : Πργωγίσιμη στο σύνολο Α β Πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ β, γ Πργωγίσιμη στο κλειστό διάστημ [ β, ] Β, 3 Έστω μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: H είνι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A β Η είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ β, του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, γ Η είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [ β, ] του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέον ισχύει: lim R κι lim R 3 Ν ποδείξετε ότι : Αν c, τότε β Αν, τότε γ Αν, με N {,}, τότε δ Αν, τότε, 5 Β Απόδειξη : cc Γι ισχύει: Επομένως, lim, δηλδή c β Γι ισχύει ότι : Επομένως, lim lim, δηλδή γ Αν είνι έν σημείο του R, τότε γι ισχύει:, Επομένως : lim lim,δηλδή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 7

δ Αν είνι έν σημείο του,, τότε γι ισχύει:, οπότε : lim lim, δηλδή Σχόλι Τύποι : Έστω συνάρτηση ημ Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει συν, δηλδή ημ συν Έστω η συνάρτηση συν Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ημ, δηλδή συν ημ Έστω η συνάρτηση δηλδή e e, e Αποδεικνύετι ότι η είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει e Έστω η συνάρτηση ln Αποδεικνύετι ότι η είνι πργωγίσιμη στο, ισχύει, δηλδή ln ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 33 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g Απόδειξη : g g g g g g Γι, ισχύει: Επειδή οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g lim lim lim g, g g δηλδή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 8

Σχόλι Τύποι : Α Αν οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε κι η συνάρτηση gείνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g g Ισχύει επομένως ότι : - Αν οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες σ έν διάστημ Δ, τότε γι κάθε ισχύει: g g g - Αν είνι πργωγίσιμη συνάρτηση σ έν διάστημ Δ κι c R, επειδή c, σύμφων με το θεώρημ έχουμε: c c Β Αν οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιμες στο κι g g g πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g [g ] Ισχύει επομένως ότι :, τότε κι η συνάρτηση g είνι Αν οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες σ έν διάστημ Δ κι γι κάθε ισχύει g, g g τότε γι κάθε έχουμε: g [ g ] Γ Έστω η συνάρτηση *, N Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, γι κάθε N * έχουμε: Δ Έστω η συνάρτηση εφ Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο R { συν } κι ισχύει, δηλδή εφ συν συν Απόδειξη: Πράγμτι, γι κάθε R { συν } έχουμε: ημ ημ συν ημσυν συνσυν ημημ συν ημ εφ συν συν συν συν συν Έστω η συνάρτηση, δηλδή σφ ημ ημ σφ Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο R { ημ } κι ισχύει ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 9

34 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο κι η είνι πργωγίσιμη στο g, τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει g g g Σχόλι : Γενικά, ν μι συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ κι η είνι πργωγίσιμη στο g, τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει g g g Δηλδή, ν u g, τότε u u u Με το συμβολισμό του Leibniz, ν u κι d d du u g, έχουμε τον τύπο που είνι γνωστός ως κνόνς της λυσίδς d du d 35 ΘΕΩΡΗΜΑ Ν ποδείξετε ότι : Η συνάρτηση, a Z είνι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, β Η συνάρτηση, είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln γ Η συνάρτηση ln, R * είνι πργωγίσιμη στο R * κι ισχύει 8 Απόδειξη : ln Πράγμτι, ν ln κι θέσουμε u ln e, τότε έχουμε u e Επομένως, e e u e u u ln β Πράγμτι, ν κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε ln e u e Επομένως, u u ln e e u e ln ln γ Πράγμτι ν, τότε ln ln, ενώ ν, τότε ln ln, οπότε, ν θέσουμε ln κι u, έχουμε lnu Επομένως, lnu u κι άρ ln u ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 3

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 36 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μετβολής του μεγέθους ως προς το μέγεθος γι, ν είνι πργωγίσιμη συνάρτηση ; Αν δύο μετβλητά μεγέθη, συνδέοντι με τη σχέση, ότν είνι μι συνάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετβολής του ως προς το στο σημείο την πράγωγο ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 37 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE 7 Β, Β Ν διτυπώσετε τι θεώρημ του Rolle κι ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεί Το θεώρημ του Rolle διτυπώνετι ως εξής : Αν μι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] Μξ,ξ Α, 8 Ββ,β πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ, κι O ξ ξ β τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε Γεωμετρική Ερμηνεί : Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της C στο M, ν είνι πράλληλη στον άξον των ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 3

38 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 3, 8 Β, 3 Ν διτυπώσετε το θεώρημ της μέσης τιμής του διφορικού λογισμού κι ν δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεί Το θεώρημ της μέσης τιμής διτυπώνετι ως εξής : Αν μι συνάρτηση είνι: Mξ,ξ Ββ,β συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι Aa,a πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ, Ο a ξ ξ β τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: Γεωμετρική Ερμηνεί : Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M, ν είνι πράλληλη της ευθείς ΑΒ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 3

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 39 ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Β, 9, 4 Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν η είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Απόδειξη : Αρκεί ν ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε, ισχύει Πράγμτι Αν, τότε προφνώς Αν, τότε στο διάστημ [, ] η ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε Επειδή το ξ είνι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει,οπότε, λόγω της, είνι Αν, τότε ομοίως ποδεικνύετι ότι Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είνι 4 ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συνρτήσεις,g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν οι,g είνι συνεχείς στο Δ κι g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ν ισχύει: g c Απόδειξη : Η συνάρτηση g είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει g g =g+c Επομένως, σύμφων με το πρπάνω θεώρημ, η συνάρτηση g είνι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε ν ισχύει g c, οπότε g c =g O Σχόλιο : Το πρπάνω θεωρήμ κθώς κι το πόρισμ του ισχύουν σε διάστημ κι όχι σε ένωση διστημάτων ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 33

4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕΛ 5 Αν γι μι συνάρτηση ισχύει ότι γι κάθε R,τότε R μπορούμε ν έχουμε τυχίο διάστημ Δ ce γι κάθε R Αντί του 4 ΘΕΩΡΗΜΑ, 6, Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι σ υ ν ε χ ή ς σε έν διάστημ Δ Αν σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Απόδειξη : Αποδεικνύουμε το θεώρημ στην περίπτωση που είνι Έστω, με δείξουμε ότι Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε, οπότε έχουμε Επειδή κι, έχουμε, οπότε Στην περίπτωση που είνι εργζόμστε νλόγως Σχόλιο : Το ντίστροφο του πρπάνω θεωρήμτος δεν ισχύει Δηλδή, ν η είνι γνησίως ύξουσ ντιστοίχως γνησίως φθίνουσ στο Δ, η πράγωγός της δεν είνι υποχρεωτικά θετική ντιστοίχως ρνητική στο εσωτερικό του Δ Θ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 34

ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 43 Πότε μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α προυσιάζει στο τοπικό ελάχιστο ;, 5 A τοπικό μέγιστο κι πότε Μι συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότν υπάρχει, τέτοιο ώστε : γι κάθε A, Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το τοπικό μέγιστο της β Μί συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότν υπάρχει, τέτοιο ώστε :, γι κάθε A, Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, ενώ το τοπικό ελάχιστο της Σχόλι : Α Aν η νισότητ ισχύει γι κάθε A, τότε, όπως είδμε στην πράγρφο 3, η προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο ή πλά μέγιστο, το Β Αν η νισότητ ισχύει γι κάθε A, τότε, όπως είδμε στην πράγρφο 3, η προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο ή πλά ελάχιστο, το Γ Τ τοπικά μέγιστ κι τοπικά ελάχιστ της λέγοντι τοπικά κρόττ υτής, ενώ τ σημεί στ οποί η προυσιάζει τοπικά κρόττ λέγοντι θέσεις τοπικών κροτάτων Το μέγιστο κι το ελάχιστο της λέγοντι ολικά κρόττ ή πλά κρόττ υτής Δ Έν τοπικό μέγιστο μπορεί ν είνι μικρότερο πό έν τοπικό ελάχιστο Σχ3 3 3 4 O a ma min a O 3 4 β β Ε Αν μι συνάρτηση προυσιάζει μέγιστο, τότε υτό θ είνι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ, ενώ ν προυσιάζει, ελάχιστο, τότε υτό θ είνι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Σχ 3β Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συνάρτησης δεν είνι πάντοτε μέγιστο υτής Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συνάρτησης δεν είνι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης Σχ 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 35

ΘΕΩΡΗΜΑ Fermat 4,, 3 Β μόνο διτύπωση 44 Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, ν ποδείξετε ότι : Απόδειξη : Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είνι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε:, κι, γι κάθε, Επειδή, επιπλέον, η είνι πργωγίσιμη στο, lim lim ισχύει Επομένως, ν,, τότε, λόγω της, θ είνι lim ν,, τότε, λόγω της, θ είνι lim 3, οπότε θ έχουμε, οπότε θ έχουμε Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είνι νάλογη 45 Ποι λέγοντι κρίσιμ σημεί μις συνάρτησης σε έν διάστημ Δ; 3 Β β Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις κροτάτων μις συνάρτησης σε έν διάστημ Δ Κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ λέγοντι τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ, στ οποί η δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το μηδέν β Οι πιθνές θέσεις των τοπικών κοτάτων μις συνάρτησης σ έν διάστημ Δ είνι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδενίζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ν νήκουν στο πεδίο ορισμού της Τ άκρ των κλειστών διστημάτων ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 36

46 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συνάρτηση πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η είνι συνεχής i Αν στο, κι στο,, τότε το είνι τοπικό μέγιστο της ii Αν στο, κι στο,, τότε το είνι τοπικό ελάχιστο της iii Aν η διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δεν είνι τοπικό κρόττο κι η είνι γνησίως μονότονη στο, 4 Β Απόδειξη : i Επειδή γι κάθε, κι η είνι συνεχής στο, η είνι γνησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε, γι κάθε, ] Επειδή γι κάθε, κι η είνι συνεχής στο, η είνι γνησίως φθίνουσ στο [, Έτσι έχουμε:, γι κάθε [, > < > < 35a O a β O a β Επομένως, λόγω των κι, ισχύει:, γι κάθε,, που σημίνει ότι το είνι μέγιστο της στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε νλόγως iii Έστω ότι, γι κάθε,, > > 35γ > > O a β O a β Επειδή η είνι συνεχής στο θ είνι γνησίως ύξουσ σε κάθε έν πό τ διστήμτ κι[, Επομένως, γι ισχύει Άρ το δεν είνι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω,, με, ] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 37

Αν,, ], επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει Αν, [,, επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει Τέλος, ν, τότε όπως είδμε Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είνι γνησίως ύξουσ στο, Ομοίως, ν γι κάθε,, Σχόλι : Οπως είδμε στην πόδειξη του πρπάνω θεωρήμτος στην πρώτη περίπτωση το είνι η μέγιστη τιμή της στο, β, ενώ στη δεύτερη περίπτωση το είνι η ελάχιστη τιμή της στο, β Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής σ έν κλειστό διάστημ [, β], όπως γνωρίζουμε Θεώρημ 8,η προυσιάζει μέγιστο κι ελάχιστο Γι την εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ των διστημάτων 3 Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είνι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 38

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 47 ΟΡΙΣΜΟΣ 6,, 4 Πότε μι συνάρτηση λέγετι κυρτή κι πότε κοίλη σε έν διάστημ Δ ; Έστω μί συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ έν διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η είνι γνησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο Δ, ν η είνι γνησίως φθίνουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Σχόλιο : Αποδεικνύετι ότι, ν μι συνάρτηση είνι κυρτή ντιστοίχως κοίλη σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι κάτω ντιστοίχως πάνω πό τη γρφική της πράστση Σχ 39, με εξίρεση το σημείο επφής τους 48 ΘΕΩΡΗΜΑ Ν διτυπώσετε το θεώρημ που φορά τ κοίλ κι το πρόσημο της δεύτερης πργώγου της Έστω μι συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ έν διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Αν γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι κυρτή στο Δ Αν γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι κοίλη στο Δ Σχόλιο : 4 Το ντίστροφο του θεωρήμτος δεν ισχύει Γι πράδειγμ, έστω η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο R, η 4 Σχ 4 Επειδή η 4 4 είνι κυρτή στο R Εντούτοις, η δεν είνι θετική στο R, φού 3 = 4 O ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 39

49 ΟΡΙΣΜΟΣ Πότε το σημείο A, λέγετι σημείο κμπής μις συνάρτησης ; Έστω μι συνάρτηση πργωγίσιμη σ έν διάστημ, β, με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η είνι κυρτή στο, κι κοίλη στο, β, ή ντιστρόφως, κι η C έχει εφπτομένη στο σημείο A,, τότε το σημείο A, ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της Σχόλιο : Ότν το A, είνι σημείο κμπής της C, τότε λέμε ότι η προυσιάζει στο κμπή κι το λέγετι θέση σημείου κμπής Στ σημεί κμπής η εφπτομένη της κμπύλη C διπερνά την 5 ΘΕΩΡΗΜΑ Ποιο θεώρημ φορά τ σημεί κμπής μις δυο φορές πργωγίσιμης συνάρτησης ; Αν το A, είνι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είνι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε 5 Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις σημείων κμπής μις συνάρτησης σε έν διάστημ Δ ; Οι πιθνές θέσεις σημείων κμπής μις συνάρτησης σ έν διάστημ Δ είνι: iτ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδενίζετι iiτ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δεν υπάρχει η Έστω μι συνάρτηση oρισμένη σ έν διάστημ, κι, Αν η λλάζει πρόσημο εκτέρωθεν του κι ορίζετι εφπτομένη της C στο A,, τότε το A, είνι σημείο κμπής της C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 4

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL 5 Πότε λέμε ότι η ευθεί είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της C ; Η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της, ν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim, lim είνι ή 53 Πότε λέμε ότι η ευθεί l λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της C στο ; 7 ντιστοίχως στο Η ευθεί λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο ντιστοίχως στο, ότν lim ντιστοίχως lim 54Πότε η ευθεί λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, ντιστοίχως στο ; 4 Β, 5, Η ευθεί, ν λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, ντιστοίχως στο lim [ ], ντιστοίχως ν lim [ ] 55 Με ποιες σχέσεις τύπους βρίσκουμε τις σύμπτωτες της μορφής ; Ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Η ευθεί είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, ντιστοίχως στο, ν κι μόνο ν lim R κι lim [ ] R,ντιστοίχως : lim R κι lim [ ] R ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 4

Χρήσιμ σχόλι : Αποδεικνύετι ότι: Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις βθμού μεγλύτερου ή ίσου του δεν έχουν σύμπτωτες Οι ρητές συνρτήσεις P, με βθμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστον κτά Q δύο του βθμού του προνομστή, δεν έχουν πλάγιες σύμπτωτες Σύμφων με τους πρπάνω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης νζητούμε: Στ άκρ των διστημάτων του πεδίου ορισμού της στ οποί η δεν ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δεν είνι συνεχής Στο,, εφόσον η συνάρτηση είνι ορισμένη σε διάστημ της μορφής,, ντιστοίχως, 56 Ν διτυπώσετε τ θεωρήμτ του de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν lim, κι υπάρχει το ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν lim g, R {, }, g' lim g lim, κι υπάρχει το o Σχόλιο : πεπερσμένο ή άπειρο, τότε: σε περιοχή του με εξίρεση ίσως το o o lim g lim g lim g, R {, }, g' σε περιοχή του με εξίρεση ίσως το o lim πεπερσμένο ή άπειρο, τότε: lim lim g g g Το θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές,, Τ πρπάνω θεωρήμτ ισχύουν κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε, ν χρειάζετι, ν τ εφρμόσουμε περισσότερες φορές, ρκεί ν πληρούντι οι προϋποθέσεις τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 4

ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57 Με τη βοήθει των πληροφοριών που ποκτήσμε μέχρι τώρ, μπορούμε ν χράξουμε τη γρφική πράστση μις συνάρτησης με ικνοποιητική κρίβει Η πορεί που κολουθουμε λέγετι μελέτη συνάρτησης Ποι βήμτ περιλμβάνει ; ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της o Eξετάζουμε τη συνέχει της στο πεδίο ορισμού της 3ο Βρίσκουμε τις πργώγους κι κι κτσκευάζουμε τους πίνκες των προσήμων τους Με τη βοήθει του προσήμου της προσδιορίζουμε τ διστήμτ μονοτονίς κι τ τοπικά κρόττ της, ενώ με τη βοήθει του προσήμου της κθορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είνι κυρτή ή κοίλη κι βρίσκουμε τ σημεί κμπής 4ο Μελετούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στ άκρ των διστημάτων του πεδίου ορισμού της ορικές τιμές, σύμπτωτες, κτλ 5ο Συγκεντρώνουμε τ πρπάνω συμπεράσμτ σ έν συνοπτικό πίνκ που λέγετι κι πίνκς μετβολών της κι με τη βοήθειά του χράσσουμε τη γρφική πράστση της Γι κλύτερη σχεδίση της C κτσκευάζουμε ένν πίνκ τιμών της Σχόλιο : Όπως είνι γνωστό, ν μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α είνι ά ρ τ ι, τότε η C έχει άξον συμμετρίς τον άξον, ενώ ν είνι π ε ρ ιτ τ ή, η C έχει κέντρο συμμετρίς την ρχή των ξόνων Ο Επομένως, γι τη μελέτη μις τέτοις συνάρτησης μπορούμε ν περιοριστούμε στ A, με Αν μι συνάρτηση είνι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της C σ έν διάστημ πλάτους Τ ΕΦΑΡΜΟΓEΣ 4 3 Ν μελετηθεί κι ν πρστθεί γρφικά η συνάρτηση 4 ΛΥΣΗ H έχει πεδίο ορισμού το R Η είνι συνεχής στο R ως πολυωνυμική 3 Έχουμε 3 4 4 3 Οι ρίζες της είνι οι 3, διπλή κι το πρόσημό της δίνοντι στο διπλνό πίνκ, πό τον οποίο προσδιορίζουμε τ διστήμτ μονοτονίς κι τ τοπικά κρόττ 3 + + 6 ΤΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 43

Έχουμε επίσης 4 Οι ρίζες της είνι οι, κι το πρόσημό της δίνοντι στο διπλνό πίνκ, πό τον οποίο προσδιορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είνι κυρτή ή κοίλη κι βρίσκουμε τ σημεί κμπής + + + 5 ΣΚ ΣΚ 4 Η συνάρτηση δεν έχει σύμπτωτες στο κι, φού είνι πολυωνυμική τέτρτου βθμού Είνι όμως: lim 4 4 3 lim 4 κι lim 4 4 3 lim 4 5 Σχημτίζουμε τον πίνκ μετβολών της κι χράσσουμε τη γρφική πράστση της 3 + + + + + + + ΣΚ 5 ΣΚ 6 ΤΕ 47 3 O -5-6 Ν μελετηθεί κι ν πρστθεί γρφικά η συνάρτηση 4 ΛΥΣΗ H έχει πεδίο ορισμού το R { } Η είνι συνεχής ως ρητή 4 4 3 3 Έχουμε Οι ρίζες της είνι, 3 κι το πρόσημό της δίνοντι στο διπλνό πίνκ, πό τον οποίο προσδιορίζουμε τ διστήμτ μονοτονίς κι τ κρόττ Έχουμε επίσης 3 + + + 3 ΤΜ 5 ΤΕ 3 8 4 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 44

Η δεν έχει ρίζες κι το πρόσημό της δίνετι στο διπλνό πίνκ, πό τον οποίο προσδιορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είνι κυρτή ή κοίλη + + 4 Επειδή lim, lim, η ευθεί είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της C Εξετάζουμε τώρ ν υπάρχει στο σύμπτωτη της μορφής λ β Έχουμε: 4 lim lim, οπότε λ 4 4 Κι lim λ lim lim, οπότε β Επομένως, η ευθεί Ανάλογ βρίσκουμε ότι η ευθεί είνι σύμπτωτη της C στο είνι σύμπτωτη της C κι στο Επίσης έχουμε: lim lim 4 κι lim lim 4 5 Σχημτίζουμε τον πίνκ μετβολών της κι χράσσουμε τη γρφική της πράστση 48 3 + + + + + + + 3 ΤΜ 5 ΤΕ 5 - O 3 = -3-4 = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 45

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 4 Αν η είνι πργωγίσιμη στο, τότε η είνι πάντοτε συνεχής στο Αν η δεν είνι συνεχής στο,τότε η είνι πργωγίσιμη στο 3 Αν η έχει δεύτερη πράγωγο στο,τότε η είνι συνεχής στο 4 Η συνάρτηση με = ημ+ διάστημ υτό + 3, όπου,π είνι γνησίως ύξουσ στο 5 Αν = g + 3 γι κάθε Δ, τότε η συνάρτηση h= g είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ 6 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο IR κι δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημ [, β], στο οποίο η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle 7 Έστω συνάρτηση ορισμένη κι πργωγίσιμη στο διάστημ [, β] κι σημείο [, β] στο οποίο η προυσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάντ ισχύει ότι = 8 Αν μί συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σ' έν σημείο o, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό 9 Αν μί συνάρτηση είνι συνεχής σ' έν σημείο o, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό Αν μί συνάρτηση είνι συνεχής σ' έν διάστημ Δ κι ισχύει = σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ Αν μί συνάρτηση είνι συνεχής σ' έν διάστημ Δ κι ισχύει > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ στο Δ Έστω μί συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Aν > γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είνι κυρτή στο Δ 3 Αν μι συνάρτηση είνι κυρτή σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική της πράστση 4 Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η είνι πργωγίσιμη στο κι =, τότε η προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο 5 Έστω μί συνάρτηση πργωγίσιμη σ' έν διάστημ, β, με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η είνι συνεχής Αν > στο, κι < στο, β, τότε το είνι τοπικό ελάχιστο της 6 Αν δύο μετβλητά μεγέθη, συνδέοντι με τη σχέση =, ότν είνι μί πργωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετβολής του ως προς το στο σημείο την πράγωγο 7 Έστω μί συνάρτηση πργωγίσιμη σ έν διάστημ, β, με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η είνι συνεχής Αν > στο, κι < στο, β, τότε το είνι τοπικό ελάχιστο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 46

8 Αν οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει : g = g 9 Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Αν µί συνάρτηση είνι συνεχής σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό Έστω δύο συνρτήσεις, g ορισμένες σε έν διάστημ Αν οι, g είνι συνεχείς στο κι = g γι κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ν ισχύει: = g + c Έστω η συνάρτηση = H συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο,+ κι ισχύει 3 Ο συντελεστής διεύθυνσης λ, της εφπτομένης στο σημείο Α,, της γρφικής πράστσης C μις συνάρτησης, πργωγίσιμης στο σημείο του πεδίου ορισμού της είνι λ = 4 Έστω η συνάρτηση = συν, όπου IR H συνάρτηση είνι πργωγίσιμη κι ισχύει = ημ 5 Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν : η είνι συνεχής στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ 6 Έστω μί συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ Αν < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ 7 Τ εσωτερικά σημεί του διστήμτος Δ, στ οποί η δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το, λέγοντι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 8 Έστω μι συνάρτηση πργωγίσιμη σ έν διάστημ,β με εξίρεση ίσως έν σημείο του o Αν η είνι κυρτή στο, o κι κοίλη στο o,β ή ντιστρόφως, τότε το σημείο Α o o είνι υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 9 Αν μί συνάρτηση είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [,β] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ,β τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ,β τέτοιο, ώστε: ξ = β 3Έστω συνάρτηση = εφη συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο ΙR =ΙR {/συν = } κι ισχύει: συν 3 3 Ισχύει ο τύπος 3, γι κάθε IR ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 47

3 Αν οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιμες στο ο κι g ο, τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο ο κι ισχύει: 33 Γι κάθε ισχύει ln g o og o og o g 34 Αν μι πργμτική συνάρτηση δεν είνι συνεχής σε έν σημείο, τότε δεν μπορεί ν είνι πργωγίσιμη στο o 35 Έστω η συνάρτηση με πεδίο ορισμού Δ = [, +, τότε, + γι κάθε 36 Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim, lim είνι + ή, τότε η ευθεί λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της 37 Έστω δύο συνρτήσεις, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν οι, g είνι συνεχείς στο Δ κι = g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: = g + c 38 Έστω μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο τότε > σε κάθε εσωτερικό σημείο του 39 Έστω δύο συνρτήσεις, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν οι, g είνι συνεχείς στο Δ κι = g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει = g γι κάθε Δ 4 Έστω η συνάρτηση = ημ με πεδίο ορισμού το R, τότε = συν, γι κάθε R 4 Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις βθμού μεγλύτερου ή ίσου του έχουν σύμπτωτες 4 Αν μι συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο IR κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει : > γι κάθε πργμτικό ριθμό 43 Αν μι συνάρτηση είνι κοίλη σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους 44 Γι κάθε IR ισχύει: ημ = συν 45 Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, β] πργωγίσιμη στο νοιχτό διάστημ, β κι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 48

= β τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ, β τέτοιο, ώστε: ξ = 46 Κάθε συνάρτηση συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό 47 Έστω η συνάρτηση = εφ H συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο R { / } κι ισχύει : 48 Αν μί συνάρτηση είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [,β] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ,β, τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, β τέτοιο, ώστε : 49 Έστω συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν η είνι γνησίως ύξουσ στο, τότε η πράγωγός της δεν είνι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του 5 Ισχύει : συν = ημ, R 5 Αν =, >, τότε ισχύει = 5 Γι κάθε συνάρτηση πργωγίσιμη σ έν διάστημ κι γι κάθε πργμτικό ριθμό c, ισχύει ότι: c, γι κάθε R 53 Αν οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιμες στο o κι g o, τότε κι η συνάρτηση g είνι g πργωγίσιμη στο o κι ισχύει: g g g 54 Έστω P, Q πολυώνυμ διάφορ του μηδενικού Οι ρητές συνρτήσεις P, με βθμό Q του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστον κτά δύο του βθμού του πρνομστή, έχουν πλάγιες σύμπτωτες 55 Γι κάθε R = R {/συν=} ισχύει: 56 Κάθε συνάρτηση που είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό 57 Ισχύει :, R { / ημ } 58 Αν μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής σε έν σημείο, τότε δεν μπορεί ν είνι πργωγίσιμη στο 59 Αν δύο συνρτήσεις, g είνι ορισμένες κι συνεχείς σε έν διάστημ Δ κι ισχύει ότι = g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει πάντ = g γι κάθε Δ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 49

6 Έν τοπικό μέγιστο μπορεί ν είνι μικρότερο πό έν τοπικό ελάχιστο 6 Έστω μι συνάρτηση πργωγίσιμη σε έν διάστημ, β, με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η είνι συνεχής Αν > στο, κι < στο, β, τότε το είνι τοπικό μέγιστο της 6 Γι δύο οποιεσδήποτε συνρτήσεις, g πργωγίσιμες στο ισχύει: g g g 63 Αν µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σ έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό 64 Έστω µι συνάρτηση συνεχής σ έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Θ λέµε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο, ν η είνι γνησίως φθίνουσ στο εσωτερικό του 65 Η συνάρτηση = ln, ϵ R * είνι πργωγίσιμη στο R * κι ισχύει : ln 66 Αν η είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι κυρτή στο Δ τότε, γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ 67 Αν lim κι lim g, όπου R, τότε : lim g lim g 68 Αν A, είνι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της συνάρτησης, κι η είνι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 5