ΜΑΘΗΜΑΤ ΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤ ΗΣΕΙΣ ΣΤ Α ΘΕΜΑΤ Α ΕΞΕΤ ΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α Α1 Σχολικό Βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό Βιβλίο σελ 141 Α Σχολικό Βιβλίο σελ 46 Α4 α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β1 f ( ), για κάθε, άρα f ( ) H f είναι παραγωγίσιμη για κάθε ως ρητή με : f '() ( ) ( ) f ( ) - + f () - + f γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα Άρα : f (,] και f [, ) Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f ( ) Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Σελίδα 1
Β H f είναι παραγωγίσιμη για κάθε, ως ρητή με ( 1) 4 ( 1) 1 f ''() ( ) ( ) 4 f ''() ή - f () - + - f () ΣΚ ΣΚ Η f κοίλη για, και για, και η f κυρτή για, Η f παρουσιάζει σημείο καμπής για 1, 4 και για το σημείο το σημείο 1, 4, f, δηλαδή Β f ( ), Η f είναι συνεχής στο άρα δεν παρουσιάζει κατακόρυφες ασύμπτωτες Για πλάγιες - οριζόντιες έχω : Στο είναι : f ( ) 1 lim lim lim lim και limf ( ) lim f ( ) lim lim 1 άρα η ευθεία ( ) : y 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο Στο είναι : f ( ) 1 lim lim lim lim και limf ( ) lim f ( ) lim lim 1 άρα η ευθεία ( ) : y 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Σελίδα
Β4 Για κάθε και f f ( ) f ( ) f ( ), άρα η f είναι άρτια με άξονα συμμετρίας τον ( ) y y Πίνακας μεταβολών : - f () - + + - f () - - + + f () Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Σελίδα
ΘΕΜΑ Γ Γ1, 1 ος Τρόπος : Έστω g(), g,συνεπώς έχω να λύσω την εξίσωση g ( ) Παρατηρώ ότι, η προφανής ρίζα της εξίσωσης g ( ) Η g είναι παραγωγίσιμη για κάθε g() ( ) με g ( ) ( ) Το πρόσημο της g εξαρτάται μόνο από το ή που ισχύει για κάθε Άρα : καθώς - + g () - + g γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα Άρα η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το g ( ), δηλ g ( ) g() g( ) για κάθε, οπότε στην εξίσωση g ( ) η προφανής ρίζα είναι και μοναδική ως θέση ακροτάτου ος Τρόπος : Ισχύει : ln για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο για Για το, για κάθε, έχω : ln για κάθε Άρα ln για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο για Άρα η μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι η Γ Είναι : f ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Για είναι : f ( ) g() f ( ) f () g( ) Για είναι : f ( ) άρα g ( ) άρα f ( ) και f συνεχής, άρα η f διατηρεί πρόσημο στο (, ) Αν f ( ) τότε f ( ) g( ) (1) Αν f ( ) τότε f ( ) g( ) () Για είναι : f ( ) άρα g ( ) άρα f ( ) και f συνεχής, άρα η f διατηρεί πρόσημο στο (,) Αν f ( ) τότε f ( ) g( ) () Αν f ( ) τότε f ( ) g( ) (4) Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Σελίδα 4
Τελικά : 1 ον από (1), () f ( ), αφού για, f ( ) ον από (1), (4) ον από (), (), f ( ),, f ( ), αφού για, f ( ) αφού για, f ( ) 4 ον από (), (4) f ( ), αφού για, f ( ) Γ f () παραγωγίσιμη στο με f ( ) ( ) H f παραγωγίσιμη στο με f ( ) ( ) 4 (*) για κάθε και το = ισχύει μόνο για, όπου f είναι συνεχής, άρα η f κυρτή στο (*) για κάθε είναι ( ) και 4 για κάθε Γ4 Έστω h( ) f ( ) f ( ), [, ), h παραγωγίσιμη στο [, ) με : h ( ) f ( ) f ( ) f Για έχουμε f ( ) f ( ) h( ) f : ή και h συνεχής στο [, ) ως πράξεις συνεχών άρα h γνησίως αύξουσα στο [, ) άρα «1-1» στο [, ) Έτσι : f 1 f f ( ) f ( ) h h( ) Καθώς : για κάθε και το «=» ισχύει μόνο για Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Σελίδα 5
ΘΕΜΑ Δ Δ1 ( d f ( ) d f ( ) d f ) f ( ) f ( )( ) d f ( ) d f ( )( ) f d f f ( )( ) ( ) ( ) d f ( )( ) f ()( ) f ( ) d f ( ) f () f ( ) d f ( ) f () Θεωρώ την f ( ) R( ), για κάθε κοντά στο μηδέν, με limr( ) Άρα : f ( ) R( ) Η f συνεχής στο, έτσι : lim f ( ) f () Άρα : lim f () f ( ) lim R( ) f : ή έτσι : f ( ) f () f ( ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο, έτσι : f ( ) f () f () lim R( ) lim lim ( ) R Άρα : f ( ) 1 Δ α) 1 ος Τρόπος : lim f ( ) Έστω ότι η f παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο Τότε καθώς είναι παραγωγίσιμη για κάθε από ΘFrmat f ( ) f f ( ) f ( ) Τα μέλη στη σχέση (1) είναι παραγωγίσιμα (,, f ( ) ( ) παραγωγίσιμες, άρα f, f ( f ( )) παραγωγίσιμες, ως σύνθεση παραγωγίσιμων) οπότε με παραγώγιση της (1) έχουμε : f ( ) f ( ) f f ( ) f ( ) () Η σχέση () για γίνεται : f ( ) f ( ) f ( ) 1 f ( ) f ( ) f, άρα f ( ) f () που είναι άτοπο καθώς f ( ) 1, επομένως η f δεν παρουσιάζει ακρότατα Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Σελίδα 6
ος Τρόπος : Τα μέλη στη σχέση ( ) άρα f, f ( f ( )) είναι παραγωγίσιμα (,, f ( ) f() f(f()) παραγωγίσιμες, παραγωγίσιμες, ως σύνθεση παραγωγίσιμων) οπότε μετά από f() f() παραγώγιση έχουμε : f '() f '(f())f '() f '()[ f '(f())] 1 Για = ισχύει η ισότητα Για έχουμε ότι, άρα και f() f() f '()[ f '(f())] f '() f '(f()) Επιπλέον έχουμε f ()=1, άρα f ( ) για κάθε β) Από Δ α) έχουμε ότι f ( ) για κάθε και η f συνεχής (η f δυο φορές παραγωγίσιμη), άρα από συνέπειες Θ Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο Επιπλέον : f ( ), άρα τελικά f ( ) για κάθε, δηλαδή f Δ f ( ) Άρα : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ή Άρα : lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) άρα από κριτήριο παρεμβολής : lim f ( ) lim f ( ) Δ4 1 ος Τρόπος : f f (ln ) Καθώς ln f (ln ) f () f (ln ) και η ισότητα ισχύει (ln ) μόνο για Άρα : f d 1 f f (ln Επίσης : f f f ) f (ln ) ln (ln ) ( ) (ln ) και η ισότητα ισχύει μόνο για Άρα : f (ln) f (ln ) f (ln ) d 1 d d ln 1 d 1 1 1 f (ln ) ln ln1 d 1 f (ln ) d 1 (ln ) Άρα τελικά : f d 1 Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Σελίδα 7
ος Τρόπος : Θέτω u ln, άρα du 1 d d du Για είναι u Για είναι u f (ln ) f ( u) Έτσι έχω : d du 1 Οπότε αρκεί να δείξω ότι : f f ( u) du f ( u) du Είναι : u f () f ( u) f ( ) f ( u) και η ισότητα ισχύει μόνο για u και u, άρα : f ( u) du du f ( u) du ( ) f ( u) du Πιο αναλυτικά : η f συνεχής στο [, ] με f ( u) και η ισότητα ισχύει μόνο για u άρα : f ( u) du Επιπλέον f ( u) f ( u) και η ισότητα ισχύει μόνο για u άρα : f ( u) du du f ( u) du f ( u) du f ( u) Οπότε τελικά προκύπτει το ζητούμενο : du f ( u) du Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Σελίδα 8