ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 1 Ιανουαρίου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f v,v,1 ν 1 είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ν για κάθε. Α. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει στο A ελάχιστο το f ; Α3. Δίνεται ο παρακάτω ισχυρισμός : << Υπάρχει το όριο στο μηδέν της συνάρτησης ν 1 (α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό Αληθή ή Ψευδή. Μονάδες 4 1 f,v >> (β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στο (α) ερώτημα. Μονάδες 1 Μονάδες 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 5
Α4. Να μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στο τετράδιο σας, με συμπληρωμένες τις δύο τελευταίες γραμμές τοποθετώντας ερωτηματικό (;) στις περιπτώσεις όπου έχουμε απροσδιοριστία. Αν στο το όριο της f είναι: Αν στο το όριο της g είναι: τότε το όριο της f g είναι: τότε το όριο της f g είναι α α Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη (α) Κάθε συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές της ρίζες χωρίζουν το πεδίο ορισμού της (β Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της τότε δε μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο (γ) Αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι g Δ,τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και παραγωγίσιμη στο ισχύει f g f g g για κάθε Δ. δ) Η εικόνα f Δ ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 5
(ε) Η συνάρτηση f α,α είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει 1 f α για κάθε ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις g 1 e, και Β1. Να ορίσετε την συνάρτηση h g 1 h ln, 1 Β. Αν f (h g ) ln, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως 1 e αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 8 Β3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντιστροφή της. B4. Να δείξετε ότι ΘΕΜΑ Γ ημf lim ln Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα A 5,5 για την οποία ισχύουν ότι: f 5 για κάθε A f 5 και Γ1. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f στο διάστημα A 5,5 Μονάδες ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 5
Γ. Να δείξετε ότι f 5, A Γ3. (i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,5 f f (ii) Nα λύσετε την ανίσωση στο διάστημα,1 3 3 Μονάδες 4 Γ4. Να δείξετε ότι η f έχει μέγιστη τιμή f 5 και στη συνέχεια να δείξετε ότι η εξίσωση 4 συν 6 ημ f ΘΕΜΑ Δ είναι αδύνατη. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f: και g: για τις οποίες ισχύουν: f 4 lim 1 και g 1 h g 1 h lim 1 h h H γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο M1, 5,η εξίσωση g έχει μοναδική λύση την 3 και gg4 Δ1. Να δείξετε ότι (α) f 5 (β) g 1 5 Μονάδες 8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 5
Δ. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της f στο σημείο γραφική παράσταση της συνάρτησης g στο σημείο Β 1,g 1 Α,f εφάπτεται στη Δ3. Να μελετήσετε τη g ως προς το πρόσημο και να δείξετε ότι υπάρχει 3,5 ώστε g g για κάθε,5 Δ4. Να δείξετε ότι η εξίσωση f e έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 5