Μάθηµα 5 Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές ενότητες: Συνέχεια συνάρτησης Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σηµείο («σηµείο» σηµαίνει «τιµή του χ») του πεδίου ορισµού της; Ορισµός: Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο D, αν και µόνο αν ισχύουν και τα δύο επόµενα: Υπάρχει το lim ( ) Ισχύει η ισότητα: lim ( ) = ( ) Παρατηρήσεις Το ερώτηµα της συνέχειας έχει νόηµα, µόνο για σηµεία τα οποία ανήκουν στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης Πιο αναλυτικά: Η συνέχεια είναι µια ιδιότητα (ένα χαρακτηριστικό), το οποίο µια συνάρτηση µπορεί να έχει ή να µην έχει Όπως και να έχει το πράγµα όµως, για να απαντήσουµε στο ερώτηµα αν η συνάρτηση έχει ή δεν έχει αυτήν την ιδιότητα, θα πρέπει να ορίζεται η συνάρτηση στο σηµείο στο οποίο αναφερόµαστε Συνεπώς, δεν συζητάµε για τη συνέχεια µιας συνάρτησης, σε σηµεία που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού της Και προσέξτε: εν συζητάµε, σηµαίνει πως δεν συζητάµε! Όποια απάντηση και αν δώσουµε στο ερώτηµα «η ( ) = είναι συνεχής στο ;», είτε πούµε «ναι», είτε πούµε «όχι», θα είναι λάθος Η σωστή απάντηση είναι ότι το ερώτηµα δεν έχει νόηµα, αφού η συγκεκριµένη συνάρτηση δεν ορίζεται στο! Για να ισχυριστούµε ότι µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, πρέπει να ισχύουν και οι συνθήκες του ορισµού που δώσαµε πιο πάνω (Έχετε την τάση να «ξεχνάτε» τη η, µε αποτέλεσµα οι βαθµολογητές σας να «ξεχνούν» να σας δώσουν κάποια µόρια Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 63
Τι σηµαίνει γραφικά η ιδιότητα της συνέχειας; Το να είναι µια συνάρτηση συνεχής στο D, σηµαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν διακόπτεται στο σηµείο (, ( )) Τι πρέπει να συµβαίνει, ώστε µια συνάρτηση να ΜΗΝ είναι συνεχής σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, όταν συµβαίνει ένα από τα επόµενα: εν υπάρχει το όριο της συνάρτησης σε αυτό το σηµείο (πχ τα δύο πλευρικά όρια είναι άνισα) Υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο σηµείο που µελετάµε, αλλά αυτό το όριο είναι διαφορετικό από την τιµή της συνάρτησης στο σηµείο αυτό Παραδείγµατα µη συνεχών συναρτήσεων (σε συγκεκριµένο σηµείο) 3 + 4, Η συνάρτηση ( ) = δεν είναι συνεχής στο, γιατί τα 5+, > πλευρικά όρια της στο, είναι διαφορετικά µεταξύ τους ( lim ( ) = 5 lim ( ) = 6 ) + 3, Η συνάρτηση ( ) = δεν είναι συνεχής στο γιατί 5, = 3 ( )( + + ) lim ( ) = lim = lim = 3 () = 5 (δηλαδή, ενώ υπάρχει το όριο στο, δεν είναι ίσο µε την αριθµητική τιµή της συνάρτησης στο ) Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 64
Παρατηρήσεις Η ασυνέχεια µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο, γραφικά σηµαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διακόπτεται σε αυτό το σηµείο Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός συνόλου (διαστήµατος), λέµε ότι είναι η συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο (διάστηµα) αυτό 3 Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της, λέµε απλά ότι η συνάρτηση είναι συνεχής Σηµαντικά δεδοµένα (Τα αναφέρει το σχολικό βιβλίο, άρα έχουµε τη δυνατότητα να τα χρησιµοποιήσουµε χωρίς απόδειξη) Κάθε σταθερή συνάρτηση, είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση, είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της 3 Κάθε ρητή συνάρτηση (δηλαδή πηλίκο πολυωνύµων), είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της 4 Κάθε τριγωνοµετρική συνάρτηση (ηµ, συν, εφ, σφ), είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της 5 Κάθε λογαριθµική συνάρτηση, είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της 6 Κάθε εκθετική συνάρτηση, είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της 7 Κάθε συνάρτηση που προκύπτει από πράξεις (άθροισµα, διαφορά, γινόµενο, πηλίκο, σύνθεση) µεταξύ των πιο πάνω συναρτήσεων, είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της 8 Η απόλυτη τιµή µιας συνεχούς συνάρτησης, είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της 9 Η (οποιασδήποτε τάξης) ρίζα µιας συνεχούς συνάρτησης, είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 65
Πού (σε ποια σηµεία) µπορεί µια συνάρτηση να µην είναι συνεχής; Η συνέχεια µιας συνάρτησης δεν είναι δεδοµένη (µπορεί να είναι ή να µην είναι συνεχής απαιτείται έλεγχος µέσω του ορισµού), µόνο στις εξής περιπτώσεις: ( ), k ( ) = a( R), = k Η είναι συνεχής στο R { k} Η συνέχεια δεν είναι δεδοµένη (απαιτείται έλεγχος µέσω του ορισµού) στο κ ( ), k ( ) = ( ), > k Η είναι συνεχής στο R { k} Η συνέχεια δεν είναι δεδοµένη (απαιτείται έλεγχος µέσω του ορισµού) στο κ Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 66
Λυµένες Ασκήσεις Μελετήστε ως προς τη συνέχεια, τη συνάρτηση 3, ( ) =, > Λύση Προφανώς, έχουµε D = R Η είναι συνεχής στο (,) ως πολυωνυµική και στο (, + ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Έλεγχος συνέχειας της στο : Είναι: = = και lim ( ) lim( 3) ( )( + ) ( )( + ) lim ( ) = lim = lim = lim = lim( + ) = ( )( + ) + Άρα lim ( ) lim ( ), οπότε δεν υπάρχει το lim ( ), εποµένως η δεν + είναι συνεχής στο Τελικά, η είναι συνεχής στο R {} a + b <, Αν ( ) = 5, =, να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς a, a+ b, > b, ώστε η να είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της Λύση Είναι D = R Η είναι συνεχής στο (,) και στο (, + ) ως πολυωνυµική Έλεγχος συνέχειας της στο Έχουµε: lim ( ) = lim( a + b ) = a + b Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 67
lim ( ) = lim( a+ b) = a+ b + ()=5 Από υπόθεση, η πρέπει να είναι συνεχής (και) στο Άρα πρέπει να ισχύει: + a + b = 5 lim ( ) = lim ( ) = () ( a, b) = (4,) η ( 3,8) a+ b= 5 3 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = ln( + + ) είναι συνεχής Λύση Είναι D = R Η είναι συνεχής στο R, ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων g( ) = + +, h( ) = ln ( = hog) 4 Μια συνάρτηση : = 3+ για R R είναι συνεχής Αν ( ) ( ) κάθε R, να υπολογιστεί η τιµή ( ) Λύση Αν, τότε ( ) = 3+ Ο τύπος όµως αυτός δε µπορεί να δώσει την τιµή ( ) αφού βγαίνει / Όµως η είναι συνεχής σε όλο το R άρα και στο = Οπότε θα ισχύει: ( ) lim ( ) = Πιο αναλυτικά θα έχουµε: ( )( ) 3+ lim ( ) = lim = lim lim( ) = Οπότε ( ) = Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 68
Άλυτες ασκήσεις Να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση + <, Όµοια για την ( ) = 3 +, +, 3 Όµοια για την ( ) = + 3, =, 4 Όµοια για την ( ) =, > 5+ 6, 5 Όµοια για την ( ) = 5, =, < 6 Όµοια για την ( ) = ln, e, 7 Όµοια για την ( ) = +, > ( ) = + < 4, 3, 8 Όµοια για την ( ) = ηµ ( συν ) 9 Όµοια για την ( ) =ηµ ( ) + Όµοια για την ( ) = e ηµ Όµοια για την ( ) = ln(ln ) ( k)( + k), Αν ( ) =, βρείτε τον πραγµατικό αριθµό κ, ώστε η k+ 5, > να είναι συνεχής a+β = i) Να βρεθούν τα α, β ώστε το όριο της καθώς το χ τείνει στο, να είναι ίσο µε 3 ίνεται η συνάρτηση ( ) ii) Αν α = 3, β = και συνεχής στο, τότε ποια η τιµή της στο = Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 69