ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Θέμα A Α, A, A3 : Θεωρία A4. : α Σ, β Σ, γ Λ, δ Σ, ε Λ Θέμα B Β : Έχουμε z z wi w w zz zz z z zz z z Β : Είναι z z zz z. z 4 4 4 4 4 Αν ω z, τότε ω z z z z ω. z z z z z Επομένως ο αριθμός ω είναι πραγματικός. Β3 : Έχουμε ισοδύναμα: z z 4 z z z z 4 z z 4 z z z z. Η τελευταία σχέση ισχύει, αφού το z z παριστάνει την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και z, οι οποίοι βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο, άρα η απόστασή τους δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο του κύκλου. Β4 : Αφού ο w είναι μη μηδενικός φανταστικός θα είναι της μορφής w κi,κ. Αν θέσουμε u yi, τότε η σχέση γράφεται: i i uui w yi yii κi yyi κi w κi κ y και y κ. Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των δύο τελευταίων κ σχέσεων έχουμε y.
Θέμα Γ Γ : Για λύνουμε τη σχέση ως προς f και έχουμε Η f είναι συνεχής στο, άρα e e e f() lim f() lim lim lim e. e f(). Γ : Για να ορίζεται η αντίστροφη της f θα πρέπει η f να είναι - ή ακόμα καλύτερα γνησίως μονότονη. e e Για η f είναι παραγωγίσιμη με f(). Θέτουμε g() e e. Τότε g () e. Επειδή g(), και g(),, η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο,. Έτσι παρουσιάζει ελάχιστο το g(), άρα είναι g(), για κάθε. Άρα και f(), για κάθε και επειδή η f είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα, άρα υπάρχει η αντίστροφή της. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f. e Είναι lim f() lim και e e e lim f() lim lim lim. Επειδή η fείναι συνεχής, το σύνολο τιμών της είναι το f, lim f(), lim f(),. Γ3 : Είναι e f() f() e e e lim lim lim lim lim Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Α είναι f y f() f () y. Η εξίσωση που μας δίνεται, γράφεται f() f() y, όπου y, το y της εφαπτομένης. Επειδή η f είναι κυρτή, η οποιαδήποτε εφαπτομένη της
τέμνει την C, μόνο στο σημείο επαφής, έπεται ότι η παραπάνω εξίσωση f έχει ακριβώς μία λύση, την. ln ln lim ln lim lim lim lim lim ln(f()) ln, άρα το ζητούμενο όριο ισούται με. Γ4 : Είναι και Θέμα Δ Δ : Επειδή η f είναι συνεχής, τα δύο μέλη της ισότητα που μας δίνεται, είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Παραγωγίζοντας την ισότητα αυτή, έχουμε: f() f() f() f () e e f () e f () f() f() f() f() e f() e f() e f() f() e e c. Θέτοντας στη αρχική σχέση, προκύπτει σύνολο τιμών της fείναι το, τότεe f() είναι f(), οπότε προκύπτει c=. f() f() e. Επειδή το, ισχύει. f(). Αν f(),, οπότε η τελευταία ισότητα δεν μπορεί να ισχύει. Άρα f() f() Άρα e e f() ln. Έχοντας χάσει την ισοδυναμία, όταν παραγωγίσαμε, για να είναι δεκτή αυτή η συνάρτηση θα πρέπει να κάνουμε και επαλήθευση στην αρχική ισότητα.
Δ : Είναι () f(), άρα () f() 3, Η έχει μοναδική ρίζα το, στην οποία αλλάζει πρόσημο και η C δέχεται εφαπτομένη, άρα το Σ(, ()) Σ(, ) είναι το σημείο καμπής της C. Με εφαρμογή τώρα του Θ.Μ.Τ. για την στο,β, έχουμε ότι υπάρχει (β) () (β) ξ,β τέτοιο, ώστε (ξ) (ξ) λ. ε β β Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της C στο Μ(ξ,(ξ)), είναι παράλληλη στην ευθεία (ε). Επίσης είναι () f (), στο,β, άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό, συνεπώς το ξ είναι μοναδικό. Δ3 : Θεωρούμε τη συνάρτηση 5 3 h() ( 3) (β) (β)f(β) ()(β )( ), η οποία είναι συνεχής στο διάστημα,3 και h() (β) (β)f(β), διότι ξ β και γνησίως φθίνουσα, άρα (β) (ξ) (β) f(β) (β) (β)f(β) και β 3 h(3) (β ) 4. Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον,3 ώστε h( ) 5 3 (β) (β)f(β) (β )( ) 3 5 3 τέτοιο, ( 3) (β) (β)f(β) ( )(β )( ), αφού είναι και 3. t Δ4 : Για το ολοκλήρωμα Ι f d dt du. Για t, έχουμε u και για t Έτσι έχουμε, έχουμε u. Ι f(u)du f(u)du f(t)dt. Άρα θέλουμε να αποδείξουμε ότι f(t)dt tf(t)dt tf(t)dt f(t)dt., θέτουμε t u t u, οπότε
Θέτουμε () tf(t)dt f(t)dt, τότε είναι () f() f(t)dt f() f(t)dt και () f(), με την ισότητα να ισχύει μόνο για. Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα, άρα: Για () (), για () () και (). Συνεπώς η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο, άρα ισχύει () () (), για κάθε.