τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

Νίκος Τάσος Μαθηματικά Θετικων Σπουδων και Σπουδων Οικονομιας & Πληροφορικης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β τόμος

Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ (ΜΕΡΟΣ 2ο) 1. ΘΕΩΡΗΜΑ RLLE Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...11 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...14 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...45 Ερωτήσεις κατανόησης...54 Φύλλο αξιολόγησης...55 2. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...57 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...59 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...91 Ερωτήσεις κατανόησης...98 Φύλλο αξιολόγησης...99 3. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...101 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...104 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...127 Ερωτήσεις κατανόησης...137 Φύλλο αξιολόγησης...139 4. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...141 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...144 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...193 Ερωτήσεις κατανόησης...206 Φύλλο αξιολόγησης...207 5. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...209 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...216 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...246 Ερωτήσεις κατανόησης...259 Φύλλο αξιολόγησης...261 6. ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...263 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...270 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...286 Ερωτήσεις κατανόησης...293 Φύλλο αξιολόγησης...295 7. ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HSPITAL Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 297 Μεθοδολογίες Εφαρµογές... 300 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης... 315 Ερωτήσεις κατανόησης... 320 8. ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...321 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...325 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...343 Ερωτήσεις κατανόησης...349 9. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...351 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...352 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...357 Φύλλο αξιολόγησης...359 10. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ IV Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Παράγωγοι...361 Φύλλο αξιολόγησης 1...367 Φύλλο αξιολόγησης 2...369 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 11. ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...373 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...378 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...411 Ερωτήσεις κατανόησης...420 Φύλλο αξιολόγησης...421 12. ΜΕΛΕΤΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I Μεθοδολογίες Εφαρµογές... 423 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης... 430 13. ΜΕΛΕΤΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ II Μεθοδολογίες Εφαρµογές...433 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...449 14. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ I Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...455 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...463 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...475 Ερωτήσεις κατανόησης...480 Φύλλο αξιολόγησης...481

15. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ II Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 483 Μεθοδολογίες Εφαρµογές... 484 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης... 503 16. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ III Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...507 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...509 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...554 Ερωτήσεις κατανόησης...560 17. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ IV Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...561 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...563 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...583 Ερωτήσεις κατανόησης...590 Φύλλο αξιολόγησης...591 18. ΕΜΒΑΔΑ Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...593 Μεθοδολογίες Εφαρµογές...596 Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης...633 Ερωτήσεις κατανόησης...647 Φύλλο αξιολόγησης...649 19. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ V Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Παράγωγοι Ολοκληρώματα...651 Φύλλο αξιολόγησης 1...657 Φύλλο αξιολόγησης 2...659 20. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ... 663 21. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ... 673 Φύλλο αξιολόγησης 1...695 Φύλλο αξιολόγησης 2...697 Φύλλο αξιολόγησης 3...699 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ... 701 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 807

διαφορικοσ λογισmοσ μερος 2ο

1 1 θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Θεώρημα Rolle i. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. ii. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle; Να συνοδεύσετε την απάντησή σας με κατάλληλο σχήμα. Απάντηση i. Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και f(α) = f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = 0 ii. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Μ(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα των. f(α) = f(β) M(ξ, f(ξ)) σχόλια αξ ξ β i. Το θεώρημα Rolle, όπως και το θεώρημα Bolzano, είναι υπαρξιακό. Δηλαδή μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας τουλάχιστον ρίζας της f χωρίς ωστόσο να την προσδιορίζει. ii. Η φυσική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle είναι ότι, αν ένα σώμα κινείται πάνω σε έναν άξονα και διέρχεται από ένα σημείο Α τη χρονική στιγμή t 1 και επανέρχεται στο σημείο Α τη χρονική στιγμή t 2, τότε υπάρχει χρονική στιγμή t 0 μεταξύ των t 1, t 2 στην οποία η ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν. 11

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii. Παρατηρήστε ότι στο θεώρημα Rolle η συνέχεια της f εξετάζεται στο κλειστό διάστημα [α, β] και η παραγωγισιμότητα στο ανοικτό διάστημα (α, β). Αν λοιπόν μπορούσαμε να μελετήσουμε την παραγωγισιμότητα της f, στο κλειστό διάστημα [α, β], τότε δεν θα χρειαζόταν να μελετήσουμε τη συνέχεια της f, διότι κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι και συνεχής. Ο λόγος για τον οποίο όμως συμβαίνει το παραπάνω είναι διότι, για να ισχύει κάθε θεώρημα, απαιτούνται οι ελάχιστες δυνατές προϋποθέσεις. Μπορούμε ωστόσο να μελετάμε την παραγωγισιμότητα (και επομένως και τη συνέχεια) της συνάρτησης f στο (α, β) και να εξετάζουμε τη συνέχεια της f στα άκρα α, β του διαστήματος [α, β]. Δηλαδή να ελέγχουμε αν ισχύει: im f() = f(α) και im f() = f(β) α Μπορούμε ακόμη να μελετάμε την παραγωγισιμότητα της f στο κλειστό διάστημα [α, β], οπότε με τον τρόπο αυτό να καλύπτουμε και τις δύο πρώτες προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. iv. Γενίκευση του θεωρήματος Rolle για ανοικτό διάστημα. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι: είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β), f(α) = f(β), είναι από δεξιά συνεχής στο α και από αριστερά συνεχής στο β, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0. v. Το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle «τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = 0» μπορεί να εμφανιστεί και με τις εξής μορφές: «Η εξίσωση f () = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β).» «Η C f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο διάστημα (α, β).» «Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα.» vi. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα [α, β], τότε δεν ισχύει το θεώρημα Rolle διότι σε κάθε περίπτωση είναι f(α) f(β). vii. Δεν μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα το θεώρημα Bolzano και το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [α, β]. viii. Οι τρεις συνθήκες του θεωρήματος Rolle είναι ικανές όχι όμως και αναγκαίες. Δηλαδή μπορεί να υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = 0 χωρίς να ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle. Με άλλα λόγια, δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Rolle. Αν πάλι μία από τις συνθήκες του θεωρήματος Rolle δεν ισχύει τότε δεν εφαρμόζεται το θεώρημα. Τα παρακάτω γραφήματα είναι κατατοπιστικά. β 12

1. ΘΕΩΡΗΜΑ RLLE f(α) = f(β) f(α) = f(β) α 0 β f ασυνεχής στο 0 [α, β] και δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη α 0 ξ β f ασυνεχής στο 0 [α, β] και δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο = ξ f(α) = f(β) f(α) = f(β) α f ασυνεχής στο α και δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη f(α) = f(β) β f ασυνεχής στο α και δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο = ξ f(α) = f(β) α ξ β α 0 β f μη παραγωγίσιμη στο 0 [α, β] και δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη f(β) f(α) α f(α) f(β) και δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη β f μη παραγωγίσιμη στο 0 [α, β] και δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο = ξ f(β) f(α) α 0 ξ β α ξ β f(α) f(β) και δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο = ξ i. Για να εφαρμοστεί το θεώρημα Rolle πρέπει η f να ορίζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 13

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ βασική παρατήρηση Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ. Ονομάζουμε παράγουσα συνάρτηση ή παράγουσα ή αρχική της f κάθε συνάρτηση F ορισμένη και παραγωγίσιμη στο Δ για την οποία είναι: F () = f(), Δ Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε τις παράγουσες κάποιων βασικών συναρτήσεων. Περισσότερες παράγουσες και τεχνικές εύρεσής τους θα συναντήσετε στις μεθοδολογίες που ακολουθούν. f α α ν α + β F α α ν+ 1 ν + 1 α n + β α 2 συν(α + β) ημ(α + β) eα + β α +β α ημ(α+β) συν(α + β) α α e α+β α α +β nα μεθοδολογίες εφαρμογές Κατηγορία 1 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Rolle. Μέθοδος Εξετάζουμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. Μην ξεχνάτε ότι μπορεί να υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0 χωρίς να ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. 1.1 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: f() = 3 + 2 4 + 1 i. Nα εξετάσετε αν ισχύει το θεώρημα Rolle στο διάστημα [ 1, 2]. ii. Αν ισχύει να βρείτε το ξ ( 1, 2) ώστε f (ξ) = 0. i. Η f είναι συνεχής στο διάστημα [ 1, 2] ως πολυωνυμική. Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα ( 1, 2) με παράγωγο f () = 3 2 + 2 4. f( 1) = ( 1) 3 + ( 1) 2 4( 1) + 1 = 5 και f(2) = 2 3 + 2 2 4 2 + 1 = 5. Άρα f( 1) = f(2). Οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. 14

1. ΘΕΩΡΗΜΑ RLLE ii. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( 1, 2) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = 0 3ξ 2 + 2ξ 4 = 0 ( ξ = 1 + 13 3 ( 1, 2) ή ξ = 1 13 3 ( 1, 2) ) 1.2 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: f() = 3 ( + 2 ) 2 Nα εξετάσετε ποιες από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle ισχύουν στο διάστημα [ 4, 0]. { + 2 ) 2 3, 2 Η συνάρτηση f έχει τύπο f() = ( ( 2 ) 3, 2 2 H f είναι συνεχής στο διάστημα [ 4, 0] ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f 1 () = ( + 2) 2 και f 2 () = 3. Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 2 διότι: 3 ( + 2 ) 2 im 2 + + 2 3 ( + 2 ) 2 2 + 3 ( + 2 ) 1 3 2 + 3 + 2 = + f( 4) = 3 ( 4 + 2 ) 2 = 3 4 και f(0) = 3 (0 + 2 ) 2 = 3 4. Άρα f( 4) = f(0). Οπότε δεν ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle και συνεπώς δεν εφαρμόζεται το θεώρημα. 1.3 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: f() = 4 e 3 2 i. Nα εξετάσετε αν ισχύει το θεώρημα Rolle στο διάστημα [ 1, 1]. ii. Αν ισχύει, να βρείτε το ξ ( 1, 1), ώστε f (ξ) = 0. i. H f είναι συνεχής στο διάστημα [ 1, 1] ως σύνθεση των συνεχών f 1 () = 3 2 και f 2 () = 4e. Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα ( 1, 1) με παράγωγο f () = 4 e 3 2 (3 2 ) = 24 e 3 2. f( 1) = 4 e 3 ( 1 ) 2 = 4e 3 και f(1) = 4 e 3 1 2 = 4e 3. Άρα f( 1) = f(1). Οπότε ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle. 15

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( 1, 1) τέτοιο, ώστε: 1.4 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: f (ξ) = 0 24ξ e 3 ξ 2 = 0 24ξ = 0 ξ = 0 f() = { 2 3, 0 < 1 2, 1 2 i. Nα εξετάσετε αν ισχύει το θεώρημα Rolle στο διάστημα [0, 2]. ii. Αν ισχύει, να βρείτε το ξ (0, 2), ώστε f (ξ) = 0. i. H f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 1) με f () = 2 3 2 και στο διάστημα (1, 2] με f () = 1. Θα υπολογίσουμε την παράγωγο στο 0 = 1. im 1 f() f(1) 1 1 im 1 + 2 3 1 1 f() f(1) 1 1 1 + ( 1)( 2 + 1) 1 1 ( 2 + 1) = 1 2 1 1 1 + ( 1) 1 = 1 Άρα f (1) = 1. Οπότε η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 2] άρα και συνεχής στο διάστημα [0, 2]. f(0) = 0 και f(2) = 0. Άρα f(0) = f(2). Οπότε ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle. ii. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, 2) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = 0 2 3ξ 2 = 0 ξ 2 = 3 2 6 6 ( ξ = 3 (0, 2) ή ξ = 3 (0, 2) ) 1.5 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο:, 5 2 f() = { 2 8 + 14, 2 < 5 i. Nα εξετάσετε αν ισχύει το θεώρημα Rolle στο διάστημα [ 5, 5]. ii. Αν δεν ισχύει, να εξετάσετε αν υπάρχει ξ ( 5, 5), ώστε f (ξ) = 0. 16

i. Θα εξετάσουμε την f ως προς την παράγωγο. Για ( 5, 2) είναι f () = 1. Για (2, 5) έχουμε f () = 2 8. Στο 0 = 2 θα βρούμε τις πλευρικές παραγώγους: im 2 + f() f(2) 2 2 + f() f(2) 2 im 2 2 2 2 = 1 2 8 + 14 2 2 2 + ( 2)( 6) 2 2 + 1. ΘΕΩΡΗΜΑ RLLE ( 6) = 4 Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 2, οπότε δεν ισχύει το θεώρημα Rolle. ii. Ωστόσο υπάρχει ξ = 4 (2, 5) ( 5, 5) τέτοιο, ώστε f (4) = 2 4 8 = 0. μεθοδολογικό σχόλιο Στις ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων, ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle, εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στο διάστημα [α, β] απαιτώντας να ισχύουν οι τρεις συνθήκες του. Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται εξισώσεις με άγνωστους τις ζητούμενες παραμέτρους. Λύνοντας τελικά το σύστημα που προκύπτει, προσδιορίζουμε τα ζητούμενα. 1.6 Εφαρμογή Να βρείτε α, β, γ, ώστε για τη συνάρτηση f με τύπο: να ισχύει το θεώρημα Rolle. 2 + α + β, 1 < 0 f() = { 3 2 + 2 + 2, 0 γ Η f είναι συνεχής στα διαστήματα [ 1, 0) και (0, γ] ως πολυωνυμική. Πρέπει η f να είναι συνεχής και στο 0 = 0. Τότε: im f() = im f() = f(0) im 0 + 0 0 + ( 2 + α + β) = im 0 ( 3 2 + 2 + 2) = 2 β = 2 Επίσης η f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα ( 1, 0) και (0, γ) ως πολυωνυμική. Πρέπει η f να είναι παραγωγίσιμη και στο 0 = 0. Επομένως: im 0 f() f(0) 0 im 0 0 + ( + α) f() f(0) 0 0 + im 0 ( 3 + 2) 2 + α + 2 2 im 0 0 + 3 2 + 2 + 2 2 ( + α) = im ( 3 + 2) α = 2 0 + 17

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τέλος πρέπει: f( 1) = f(γ) ( 1) 2 + 2 ( 1) + 2 = 3γ 2 + 2γ + 2 Τελικά α = 2, β = 2 και γ = 1. μεθοδολογικό σχόλιο 3γ 2 2γ 1 = 0 ( γ = 1 ή γ = 1 3 απορ. ) Στις ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδείξουμε ή να ελέγξουμε αν υπάρχει σημείο Α( 0, f( 0 )), με 0 (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α να είναι παράλληλη στον άξονα, ελέγχουμε αν ικανοποιούνται οι τρεις συνθήκες του θεωρήματος Rolle. 1.7 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: f() = n (1 ) m + 2020, m, n * Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (0, 1) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα. Η f είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] ως πολυωνυμική. Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0, 1) με f () = n 1 (1 ) m 1 (n n m). Επίσης f(0) = 2020 = f(1). Τότε από θεώρημα Rolle υπάρχει ξ (0, 1) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0. Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(ξ, f(ξ)) είναι παράλληλη στον άξονα. Κατηγορία 2 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα ή γενικότερα ν τουλάχιστον ρίζες. Μέθοδος Α. Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα, δοκιμάζουμε κάποιον από τους παρακάτω έξι τρόπους. i. Ελέγχουμε μήπως η εξίσωση έχει προφανή ρίζα. Με απλή παρατήρηση δοκιμάζουμε κάποιους αριθμούς που ανήκουν στο (α, β) και εντοπίζουμε τη ρίζα. ii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano. iii. Φέρνουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος (αν χρειάζεται) και δημιουργούμε την εξίσωση f() = 0. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για μια αρχική συνάρτηση της f(), έστω την F(), για την οποία πρέπει να ισχύει ότι F () = f(). 18

1. ΘΕΩΡΗΜΑ RLLE Η δυσκολία σε αυτή την περίπτωση είναι πώς θα καταφέρουμε να βρούμε τη συνάρτηση F. Οι ασκήσεις αυτής της κατηγορίας είναι απλές ως προς την εύρεση της F, αν κάποιος γνωρίζει τον πίνακα που υπάρχει στη θεωρία στη σελίδα 14. Αναλυτικότερα για την εύρεση της F θα ασχοληθούμε στην κατηγορία 5. iv. Με τη βοήθεια του συνόλου τιμών της f. Αν το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών, τότε υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα. v. Υποθέτουμε ότι δεν έχει καμία ρίζα και καταλήγουμε σε άτοπο. vi. Χρήσιμο ακόμη είναι να θυμάστε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Την πρόταση αυτή δεν μπορείτε να τη χρησιμοποιείτε αν πρώτα δεν την αποδείξετε, διότι δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο. (Για την απόδειξη της πρότασης αυτής βλέπε το κεφάλαιο της συνέχειας.) B. Σε ασκήσεις στις οποίες ζητείται να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει ν τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (α, β), τότε: Χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε ν διαστήματα [α, β 1 ], [β 1, β 2 ],, [β ν 1, β]. Χρησιμοποιούμε έναν από τους παραπάνω 6 τρόπους για να εξασφαλίσουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα (α, β 1 ), (β 1, β 2 ),, (β ν 1, β). Παρατηρούμε ότι τα διαστήματα είναι ξένα μεταξύ τους, οπότε και οι ρίζες διαφορετικές. 1.8 Εφαρμογή Να δείξετε ότι η εξίσωση 5 4 + 8 3 12 2 + 1 = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). Πρώτη σκέψη είναι ο έλεγχος προφανούς ρίζας στο διάστημα (0, 1). Δεν υπάρχει όμως στο διάστημα αυτό «βολικός» αριθμός για να επιλέξουμε. Δεύτερη σκέψη είναι η εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano για την: f() = 5 4 + 8 3 12 2 + 1 Όμως, δοκιμάζοντας βρίσκουμε f(0) = 1 και f(1) = 2, δηλαδή f(0)f(1) > 0. Επόμενη σκέψη είναι να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για μια αρχική της συνάρτησης f, δηλαδή για μία συνάρτηση F, για την οποία είναι F () = f(). Μία τέτοια συνάρτηση είναι η F() = 5 + 2 4 4 3 +. Η F είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] ως πολυωνυμική. Η F είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0, 1) με F () = 5 4 + 8 3 12 2 + 1. Επίσης ισχύει ότι F(0) = 0 = F(1). Τότε από θεώρημα Rolle υπάρχει ξ (0, 1) τέτοιο, ώστε: F (ξ) = 0 f(ξ) = 0 Δηλαδή η εξίσωση f() = 0 5 4 + 8 3 12 2 + 1 = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). 19