Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ Β B. Θεωρούμε τη συνάρτηση : w = ( ) f ημ f = w + ημ( ),. Επομένως f w ημ( ) lim = lim + = + = Όμως η f είναι συνεχής στο =,. Τότε limw( ) = f = limf =. Επίσης, οπότε : f f w + ημ ημ lim = lim = lim + = + = w 6 ημ( ) = u ημu ότι lim = lim =. Έτσι : f '() = 6 u u B. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη = Έστω, y f = f' ( ) y= 6. είναι : ( ) Μ g ένα σημείο της γραφικής παράστασης της g. Για να εφάπτεται η ευθεία ε: y= 6 στην γραφική παράσταση της g θα πρέπει: ( ) M, g ε g = 6 + + α= 6 α= 4 = + = = g' 6 = 6 β τρόπος Η εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο σημείο, ( ) εξίσωση y g( ) = g' ( )( ) y= g' ( ) + g( ) g' ( ) δι Μ g είναι η ευθεία ζ με Για να εφάπτεται η ευθεία ε: y= 6 στην γραφική παράσταση της g θα πρέπει οι ( ε ) ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει:
g' = 6 + = 6 = = + + g g' α ( + ) = α = 4 Επομένως για α = 4 η ευθεία y=6 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της Μ, g g στο σημείο της Β. Μονοτονία ακρότατα g + + 4 4 h = = = + +,. Η συνάρτηση h είναι δυο φορές 4 8 παραγωγίσιμη στο R ως ρητή με h' = h'' = 4 Είναι h' > > < ή > επειδή η h είναι συνεχής +, +. στα ( ], [, ), η h είναι γνησίως αύξουσα στα (, ] [ ) Επειδή h' ( )< στα (, ) (, ) η h είναι συνεχής στα [ ) (, ], η h είναι γνησίως φθίνουσα στα [, ) (, ] Στο = η h παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ίσο με h ( ) = η h παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ίσο με h ( )= 6 Στο = Κυρτότητα 8 Είναι h'' > > > 8 h'' < < < Ασύμπτωτες, οπότε η h είναι κυρτή στο (, + ) οπότε η h είναι κοίλη στο (, ) Επειδή η h είναι συνεχής στο στο =. Είναι limh = lim + + =+ + + 4 κατακόρυφη ασύμπτωτη της C h. Παρατηρούμε ότι h ( ) καθώς h ( ) R, θα αναζητήσουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη μόνο + = 4 4 lim + = = lim ασύμπτωτη της C h στο στο +., οπότε η ευθεία = είναι 4 lim + = lim = +, οπότε + h. Άρα η ευθεία y= + είναι πλάγια
β τρόπος h + + 4 Είναι lim = lim = lim = = λ. + + + + 4 Επίσης lim = = = = + h lim lim β + + Άρα η ευθεία y= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της C h στο +. Ομοίως η ευθεία y= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της C h στο. ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ Γ f g = + 5 f g = + 5 Γ) Έχουμε : f( ) = + 5 ( ) για κάθε R. Αν θέσουμε στην το + παίρνουμε : f + = + + + 5 + f = + = ω οπότε = ω+ η β τρόπος : θέτουμε γίνεται : όπου f ω = ω+ ω+ + 5 ω+ f ω = ω + ω ή f= + Γ) Έστω y= λ η ευθεία που ορίζουν τα Α, Β, με,.τότε = = + = λ = λ αφού. = + + = λ = λ, οπότε Είναι f, οπότε = + f ( ) = f ( ) = ( ) + = +. Άρα f ( ) = f f, δηλαδή οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία A B είναι παράλληλες. β τρόπος : Αφού τα σημεία A(, f( ) ), B(, f( ) ) O (,) είναι συνευθειακά, τότε dt OA, OB = ή ισοδύναμα f f ΟΑ ΟΒ, οπότε = f f = + = επειδή, παίρνουμε ότι = οπότε συνεχίζουμε όπως προηγουμένως Γ) ( ) Άρα r = ( ) για κάθε R. Επίσης r' ( )> στα (, ) ( + ) r = f g g = + 5 = + r' =. Επειδή, η συνάρτηση r είναι συνεχής στο, τότε η r θα είναι γνησίως αύξουσα στο R. Έτσι η συνάρτηση r αντιστρέφεται. Αφού είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο R το σύνολο τιμών της θα είναι
( lim,lim ) (, ) r Α = r r = + =R που είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της. Έστω = + r y, τότε r ( y) = ( ) Αν y, τότε = y = + y Αν y < Επομένως r ( y), τότε = y = y + y, y = y, y < = y, οπότε έχουμε: ή r Γ4) Είναι ( ) +, =, < α α + 5α+ = α α α + 5 = επειδή α α + 5> (αφού έχει διακρίνουσα αρνητική θετικό συντελεστή στον δευτεροβάθμιο όρο) προκύπτει ότι < β β + 5β 9= β β β + 5 = 9 α. Επίσης είναι επειδή β β + 5> (αφού έχει διακρίνουσα αρνητική θετικό συντελεστή στον δευτεροβάθμιο όρο) προκύπτει ότι β >. Άρα α< < β β τρόπος Αφού α α + 5α+ = α α + 5α = 6 f g a = 6< Όμοια β β β β β β ( f g)( β ) + 5 9= + 5 = 6 = 6> f g ' 6 5 για κάθε R. Άρα η f g είναι γνησίως Όμως ( )= + > αύξουσα στο R. Επειδή ( f g )= είναι ( f g)( α) < ( f g) < ( f g)( β ) επειδή η f g είναι γνησίως αύξουσα στο R θα έχουμε ότι α< < β H εξίσωση ( f g)= αβ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση( f g) αβ =. Έστω συνάρτηση w με w = ( f g) αβ Τότε w( α) = ( f g)( α) α β= 6 α β < αφού α β >. Επίσης ( ) Επειδή η w είναι συνεχής στο [, ] w β = f g β αβ = 6 αβ > αφού αβ <. α β ως πολυωνυμική w( α) w( β )<, τότε από το θεώρημα του Bolzano, η εξίσωση w( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( α, β ). Ακόμη επειδή w = ( f g) αβ= + ( 5 αβ) θα είναι w' = 6+ ( 5 αβ ) που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα Δ= αβ 4< (αφού αβ <) θετικό συντελεστή στον δευτεροβάθμιο όρο.
Οπότε w' ( )> για κάθε R. Έτσι η η w είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε η ρίζα που βρήκαμε προηγουμένως θα είναι μοναδική. ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ Δ Δ. Για κάθε R είναι ' '' f f f f c ( ) ' ' Για = παίρνουμε ότι : + = + = + f + f =, οπότε f + f' = + c = + c c = Έτσι για κάθε R έχουμε f + f' = f + f' = ( ) f f c. = = + Για = παίρνουμε ότι : f= + c = c. Έτσι για κάθε R έχουμε Δ. Είναι f + f= + f = + + ' = = για κάθε R + f' > > < επειδή η f είναι συνεχής στo (, ],. Αφού η f είναι συνεχής γνησίως Είναι η f είναι γνησίως αύξουσα στo ( ] αύξουσα στο Δ = (, ], θα είναι ( = lim, = (, ] lim f lim Είναι f ( + ) = + = f Δ f f διότι + ' < < > επειδή η f είναι συνεχής στo [, + ), +. Αφού η f είναι συνεχής γνησίως η f είναι γνησίως φθίνουσα [ ) φθίνουσα στο = [ + ) Δ,, θα είναι ( = lim, = (, ] + lim f = lim = lim = + + DLH + f Δ f f διότι + Επειδή το f( Δ) περιέχει το, η εξίσωση f( )= θα έχει ρίζα στο Δ επειδή η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική στο Δ. f. Επίσης < αφού
Επειδή το f( Δ) περιέχει το, η εξίσωση f( )= θα έχει ρίζα στο Δ επειδή η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική στο Δ. Μάλιστα επειδή = φθίνουσα στο = [ + ) f είναι f > f αφού η f είναι γνησίως Δ, θα είναι <. Επομένως η εξίσωση f( )= θα έχει ακριβώς δυο ρίζες < > < < β τρόπος H εξίσωση f( )= είναι ισοδύναμη με την εξίσωση = Θεωρούμε συνάρτηση w με w=, R οπότε w' =. Άρα Είναι w' < < επειδή η w είναι συνεχής στo (, ] η w είναι γνησίως φθίνουσα στo (, ]. Αφού η w είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο = ( ] w Δ = w w = + διότι Δ, θα είναι ) [ ), ( ) + limw = lim =+ Επειδή το,lim, w Δ περιέχει το, η εξίσωση w( )= θα έχει ρίζα ρ στο Δ επειδή η w είναι γνησίως μονότονη στο Δ η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική στο Δ. ρ αφού f. Επίσης < Είναι w' > > επειδή η w είναι συνεχής στo [, + ) η w είναι γνησίως αύξουσα στo [, + ). Αφού η w είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο = [ + ) w Δ = w w = + διότι Δ, θα είναι ) [ ),,lim, + ( )( + ) limw = lim = + + +, αφού lim = lim = + DLH + Επειδή το w( Δ) περιέχει το, η εξίσωση w( )= θα έχει ρίζα ρ στο Δ επειδή η w είναι γνησίως μονότονη στο Δ η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική. Επίσης ρ > αφού f. Επομένως η εξίσωση w( )= έχει ακριβώς δυο ρίζες ρ < < ρ
+ '' = = για κάθε R Είναι f'' > > >, +. Ακόμη f f είναι κυρτή στo [ ) επειδή η f είναι συνεχής στo [, + ) η Είναι f'' < < < επειδή η f είναι συνεχής στo (, ] η f είναι κοίλη στo (, ]. Επειδή εκατέρωθεν του = αλλάζει πρόσημο η f '' ορίζεται εφαπτομένη της, K,,συμπεραίνουμε πως το σημείο αυτό θα είναι σημείο C στο K f ή f καμπής της C f.η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της με τετμημένη είναι : = y f = f' ( ) y = y= +. Δ) Αφού το σημείο (, ) y Μ(, + ), R. Έτσι η απόστασή του d από την αρχή (,) θα είναι Μ y ανήκει στην ευθεία με εξίσωση = +, θα είναι Ο των αξόνων d= + = 4 + 4, R. Αφού η τετμημένη του σημείου αυτού ελαττώνεται με ρυθμό cm / sc, συμπεραίνουμε ότι ' ( t)= cm /sc καθώς ότι = + ' ( t) ( ( t) ) μεταβολής της απόστασης αυτής είναι : d' ( t) = ( ( t) ) ( t) d t t 4 t 4. Ο ρυθμός 4 + 4 Τη χρονική στιγμή t που το σημείο Μ διέρχεται από το σημείο καμπής της C f, δηλαδή όταν ( t )=, θα έχουμε : ' ( t) ( ( t) ) ( )( ) 6 d' ( t) = = = = cm /sc t 4 t + 4 4 + 4 ( ).