ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α A. Α. Α3. α. β. γ. δ. ε. ΘΕΜΑ Β B. z - i = + Im(z) z = x + yi x + yi - i = + y B. y > - x + (y - ) = + y x + (y - ) = (y + ) x + y - y + = y + y + x = y w(w + 3i) = i(3w + i) ww + 3wi = 3wi - z = x + yi w + 3(w - w)i + = x + y + 3 yi i + = x + y - 6y + 9 = 8 x + (y - 3) = 8 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι y = x κύκλος με κέντρο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = 8 = Β3. Αναζητούμε τα κοινά σημεία των δύο γεωμετρικών τόπων x = y () x + y - 6y + = () () () y + y - 6y + = y - y + = y = y= () x = x = Άρα Α (, ) και Β (-, ). B. Είναι Λ (, -) και (ΚΑ) = (ΚΒ) = (ΛΑ) = (ΛΒ) = ΚΑΛΒ ρόμβος (ΑΒ) = (ΚΛ) = ΚΑΛΒ ορθογώνιο Άρα το ΚΑΛΒ είναι τετράγωνο. Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639
ΘΕΜΑ Γ Γ. x (t) = 6 x (t) = (6t), t Aπό συνέπειες Θ.Μ.Τ. x (t) = 6t + c, t Για x = είναι x () = c =, άρα x (t) = 6t, t Γ. Παρατήρηση : Έπρεπε να εξηγηθεί γιατί ο παρατηρητής χάνει την οπτική επαφή με το κινητό στο Α. Έστω (x) = x, x, με (x) =,x > x (ε) : η εφαπτομένη της C που διέρχεται από το Π (, ). (ε) : y - (x ) = (x ) (x - x ) (ε) : y - x = (x - x ) x Π C - x = (-x ) x - x = -x x x = x x = x x = ή x = Για x = y = A (, ) x (t ) = 6t = t = min ή t = 5sec Επομένως η οπτική επαφή διαρκεί 5 δευτερόλεπτα x (t) 6 Γ3. y (t) = x (t), άρα y (t) = x (t) = = = x (t) 6t t y (t ) = = t = t = t Άρα ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης είναι m/min τη χρονική στιγμή t = min ή t = 5sec. Γ. Μ (x, y) M (x, x) M (6t, t ) d (t) = (ΠΜ) = (6t - ) + ( t - ) = 56t + 6t - 8 t + d (t) = 56t + 6t - 8 t + = Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639 56t + 8 - t 56t + 6t - 8 t +
Θεωρούμε συνάρτηση g, με g (t) = 56t + 8 -,t > t g (t) = 56 + >, άρα η g είναι γν.αύξουσα στο (, + ) t t ος τρόπος H g είναι συνεχής στο, 6 ως πράξεις συνεχών g = + 8-6 = - < 6 g = 6 + 8 - = 68 > Από Θ. Bolzano η g έχει μια τουλάχιστον ρίζα t στο,, 6 και επειδή g γνησίως αύξουσα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. ος τρόπος H g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ =, im g (t) = im 56t + 8 - = - + + t t t g = 6 + 8 - = 68 Άρα g (Δ) = -, 68. Είναι -, 68, άρα η g έχει μια τουλάχιστον ρίζα t, και επειδή g γνησίως αύξουσα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. d (x) > g (x) > g (x) > g (t ) x > t Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639 g x t + d (x) - + d (x) Η d είναι γν.φθίνουσα στο (, t ] και γν.αύξουσα στο [t, +). Η απόσταση d γίνεται ελάχιστη τη χρονική στιγμή t,
ΘΕΜΑ Δ α α Δ. (x) = - = - + 3 x x - β x (x - β) 5 5 α 5 Α -, C (-) = + = () β + 5 α 5 (-) = + = () 8 (β + ) 8 Από () και () με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε : 5 - = - (β + ) β + 36 5 β + 36 Θέτουμε όπου = ω ω - ω + = 5 Δ = και ρίζες ω = και ω = 9 6 6 5 5 6 ω = = β + = β = - Ζ 6 β + 6 5 5 ω = = β + = 6 β = Ζ 6 β + 6 β = α 5 () + = 3α + = 5 3α = 3 α = 6 Δ. (x) = -, x IR -, x x - (x) = - +, x IR - 3, x (x - ) Για x και x : (x) = = x = (x - ) x (x - ) 3 3 3 x = (x - x + 6) 3 x = x - 8x + 3 3 x - x + 6x - 3 = (x - )(x x = + 6) = Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639
x - + (x) + - + + H είναι γνησίως αύξουσα στα (-, ), [, ) και (, +), ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ]. Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο την τιμή () = 3. Δ3. Δ = (-, ) Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ im (x) = im - = x - x - x x - (Δ ) = (, + ) im (x) = im - = + - - x x x x - Δ = (, ] Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ im (x) = im - = + - - x x x x - 3 (Δ ) =, + 3 () = Δ 3 = (, ) Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ 3 συνεχής 3 im (x) = () = + x 3 (Δ 3) =, + im (x) = im - = + - - x x x x - Δ = (, +) Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ im (x) = im + + - = - x x x x - (Δ ) = (-, ) im (x) = im - = x + x + x x - Επομένως το σύνολο τιμών της είναι : (Δ) = (Δ ) (Δ ) (Δ 3 ) (Δ ) = (-, )(, +) ή IR*. Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639
Δ. Εξίσωση : κx 3 + ( - κ)x - x + = (). H () για x = δίνει = άτοπο H () για x = δίνει 6 = άτοπο Άρα για x και x η () γίνεται 3 κx + ( - κ)x - x + = 3 κx + x - κx - x + = κx - κx = x - - x 3 κx (x - ) = x - - x κx (x - ) x - x = - x (x - ) x (x - ) x (x - ) κ = - (x) = κ x x - Διακρίνουμε περιπτώσεις κ < κ (Δ ) κ (Δ ) κ (Δ 3 ) κ (Δ ) ρίζα κ = κ (Δ ) κ (Δ ) κ (Δ 3 ) κ (Δ ) ρίζες < κ < 3 κ (Δ ) κ (Δ ) κ (Δ 3 ) κ (Δ ) ρίζα κ = 3 κ > 3 κ (Δ ) κ (Δ ) κ (Δ 3 ) κ (Δ ) ρίζες κ (Δ ) κ (Δ ) κ (Δ 3 ) κ (Δ ) 3 ρίζες Επομένως το πλήθος των ριζών της εξίσωσης () είναι, αν κ = 3, αν κ (-, ), L = 3, αν κ = 3 3, αν κ, + Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639