ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 0-0

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών ιαστήµατα Μεταβλητές και σταθερές Συναρτήσεις - Ορισµοί - Είδη Συναρτήσεων - Γραφικές Παραστάσεις 5 Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όριο συνάρτησης Ιδιότητες των ορίων Ασκήσεις Συνέχεια συνάρτησης 5 Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων 6 Εφαρµογές της συνέχειας συναρτήσεων σε ανισότητες 7 Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της παραγώγου - ορισµοί Κανόνες υπολογισµού της παραγώγου Παράγωγος λογαριθµικής και εκθετικής συνάρτησης Παράγωγος τριγωνοµετρικών συναρτήσεων 5 Παράγωγος αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων 6 Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος ανωτέρας τάξης Μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις σηµεία καµπής ιαφορικά 5 Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 Το αόριστο ολοκλήρωµα 5 Βασικοί τύποι ολοκλήρωσης 5 Τεχνικές ολοκλήρωσης 5 Ασκήσεις 55 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 56 Ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος 57 Μέτρηση του µήκους µιας καµπύλης γραµµής 58 Ασκήσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ιδιότητες εκθετών Ιδιότητες λογαρίθµων Ιδιότητες τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Πίνακας χρήσιµων ολοκληρωµάτων ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Το σύνολο των Πραγµατικών Αριθµών ( R ) αποτελείται από τους ρητούς ( Q) αριθµούς, δηλαδή τους θετικούς και αρνητικούς ακέραιους αριθµούς ( Z ), το µηδέν και τα κλάσµατα a b, όπου τα a και b είναι ακέραιοι και από τους άρρητους αριθµούς ( R Q ), εκείνους δηλαδή που έχουν άπειρο αριθµό δεκαδικών ψηφίων, όπως είναι οι π =,59, e =,788, =, κλπ, οι οποίοι δεν µπορεί να γραφούν ως κλάσµατα µε αριθµητή και παρανοµαστή ακέραιους ( Σχήµα ) - - - 0 e π Σχήµα Η Απόλυτη Τιµή A ενός πραγµατικού αριθµού A ορίζεται ως: A = A εάν A είναι θετικός αριθµός ή 0 και A = A εάν A είναι αρνητικός αριθµός Για παράδειγµα, = =, 6 = 6 =, = εάν και = εάν Γενικά, εάν, είναι οποιοιδήποτε πραγµατικοί αριθµοί, συµβολικά, R, τότε ισχύουν τα παρακάτω:, ± = ±, =, =, 0, Οι ακέραιοι θετικοί αριθµοί ( N) ονοµάζονται και Φυσικοί Αριθµοί 6

+, +, + +, Εάν, R είναι τέτοιοι ώστε, τότε ο πάνω στην ευθεία (των πραγµατικών αριθµών) βρίσκεται στα αριστερά του, ενώ εάν, τότε ο βρίσκεται στα δεξιά του Η απόσταση από το στο δίνεται από τη διαφορά = ιαστήµατα α) Πεπερασµένο διάστηµα: Έστω ότι a και b δυο αριθµοί, τέτοιοι ώστε a b, τότε το σύνολο όλων των αριθµών που βρίσκονται µεταξύ των a και b, ονοµάζεται ανοικτό διάστηµα από το a στο b και γράφεται a b ή a, b Τα σηµεία a και b ονοµάζονται άκρα του διαστήµατος Στην ( ) περίπτωση δε ενός ανοικτού διαστήµατος, τα άκρα του δεν περιλαµβάνονται σ' αυτό Το ανοικτό διάστηµα a b µαζί µε τα άκρα του a και b ονοµάζεται κλειστό διάστηµα και γράφεται a b a, b ή [ ] Ένα πεπερασµένο διάστηµα µπορεί να είναι: ανοικτό (, ) a b ή, τέλος, κλειστό - ανοικτό [, ) ή ανοικτό - κλειστό (, ] a b ή κλειστό [ a, b ] a b (Βλ σχήµα ) ανοικτό διάστηµα a b κλειστό διάστηµα a b ανοικτό-κλειστό διάστηµα a b κλειστό-ανοικτό διάστηµα a b Σχήµα β) Άπειρο διάστηµα: Έστω a ένας οποιοσδήποτε αριθµός, τότε το σύνολο όλων των αριθµών, για τους οποίους ισχύει a ονοµάζεται άπειρο διάστηµα Άλλα τέτοια άπειρα διαστήµατα ορίζονται από a, a και a Μεταβλητές και σταθερές Σε κάθε µαθηµατικό τύπο ή αλγεβρική παράσταση χρησιµοποιούνται γράµµατα και σύµβολα για να παραστήσουν διάφορες ποσότητες ή αριθµούς Μερικά από αυτά παριστάνουν µεταβλητές ποσότητες και άλλα παριστάνουν σταθερές ποσότητες Οι µεταβλητές µπορεί να είναι ανεξάρτητες, όταν 7

µεταβάλλονται ελεύθερα παίρνοντας τιµές από κάποιο σύνολο X ή εξαρτηµένες, όταν οι τιµές τους βρίσκονται σε ένα σύνολο Ψ και εξαρτώνται από τις τιµές µια ανεξάρτητης µεταβλητής Για παράδειγµα στον τύπο του όγκου µιας σφαίρας: V = π r, όπου το V παριστάνει τον όγκο και το r την ακτίνα της σφαίρας και είναι η εξαρτηµένη και η ανεξάρτητη µεταβλητή αντίστοιχα, ενώ τα π και είναι σταθερές Επίσης στον τύπο: gt s =, της ελεύθερης πτώσης των σωµάτων, το s παριστάνει το διάστηµα που διανύει το σώµα σε χρόνο t Το µεν πρώτο είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή, το δε δεύτερο είναι η ανεξάρτητη Επί πλέον τα 0 m g = και είναι sec σταθερές ποσότητες Και στα δυο πιο πάνω παραδείγµατα τα σύνολα X και Ψ από τα οποία παίρνουν τιµές οι εξαρτηµένες και ανεξάρτητες µεταβλητές είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µεγαλυτέρων ή ίσων µε το µηδέν ([ 0, + ) = + R 0 ) Τέλος ένα ακόµη απλό παράδειγµα είναι η γνωστή αλγεβρική παράσταση: = α + β + γ, όπου τα α, β, γ παριστάνουν σταθερές, ενώ τα και είναι η ανεξάρτητη και εξαρτηµένη µεταβλητή αντίστοιχα Στο παράδειγµα αυτό τα σύνολα A και B είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Συναρτήσεις - Ορισµοί - Είδη Συναρτήσεων - Γραφικές Παραστάσεις Η εξάρτηση ή, αλλιώς, η σύνδεση µεταξύ δυο µεταβλητών, µιας ανεξάρτητης και µιας εξαρτηµένης, µπορεί να εκφραστεί καλύτερα από την πρόταση: η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι συνάρτηση της ανεξάρτητης µεταβλητής, ή ότι, υπάρχει µια συναρτησιακή σχέση µεταξύ αυτών των µεταβλητών Έτσι, στα δυο πρώτα παραδείγµατα παρά πάνω λέµε ότι: ) Ο όγκος της σφαίρας είναι συνάρτηση της ακτίνας της ) Το διάστηµα είναι συνάρτηση του χρόνου πτώσης του Αναρίθµητα παραδείγµατα µπορούµε να σκεφτούµε για τη συναρτησιακή σχέση µεταξύ διαφόρων ποσοτήτων, όπως για παράδειγµα, 8

Το ηµίτονο, συνηµίτονο κλπ µιας γωνίας είναι συναρτήσεις της γωνίας Η περίοδος ενός εκκρεµούς είναι συνάρτηση του µήκους του Ο λογάριθµος ενός αριθµού είναι συνάρτηση του αριθµού αυτού κλπ Έχοντας ως οδηγό όλα τα πιο πάνω µπορούµε να δώσουµε ένα ακριβέστερο ορισµό της έννοιας της συνάρτησης Ορισµός: Έστω δυο σύνολα X και Ψ και f ένας κανόνας που σε κάθε στοιχείο του X αντιστοιχίζει ένα και µόνον ένα στοιχείο του Ψ Τότε, η τριάδα ( X, f, Ψ ) ονοµάζεται συνάρτηση, η οποία ορίζεται στο X µε τιµές στο Ψ και συνήθως γράφουµε f : X Ψ Η εξαρτηµένη µεταβλητή ονοµάζεται τιµή της συνάρτησης f στο σηµείο που είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή και γράφουµε: f ( ) = Το σύνολο X ονοµάζεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και συµβολίζεται µε D( f ) Το δε σύνολο των τιµών που παίρνει η f καθώς το διατρέχει το σύνολο X ονοµάζεται πεδίο τιµών της συνάρτησης f και συµβολίζεται µε R( f ) και είναι γενικά ένα υποσύνολο του συνόλου Ψ Παραδείγµατα: α) f X Ψ i i i i 5 i i i i i i 5 i 6 Σχήµα Στο πιο πάνω σχήµα έχουµε: = {,,,, } και {,,,, 6 } X τέτοιος ώστε: 5 Ψ =, ο δε κανόνας f είναι 5, 9

f ( ) =, f ( ) =, f ( ) =, f ( ) =, ( ) Είναι δε µια συνάρτηση f : X Ψ R ( ) {,,, } f = Ψ β) Η f ( ) ορισµού D( f ) =R και πεδίο τιµών ( ) f = 5 D f = = X και µε ( ) {,,,, } 5 = = είναι µια συνάρτηση του R στο R, µε πεδίο + R f = R 0 Στον πίνακα πιο κάτω βλέπουµε κάποιες ενδεικτικές τιµές των δυο µεταβλητών, της ανεξάρτητης και της εξαρτηµένης 0 + 6 9 0 9 6 + f Για την πιο πάνω συνάρτηση f παρατηρούµε ότι: f ( ) f ( ) ( ) = f ( ) = 9, και γενικά f ( ) = f ( ) = = 6, Τέτοιες συναρτήσεις, για τις οποίες ισχύει η παρά πάνω σχέση, ονοµάζονται άρτιες συναρτήσεις, ενώ αν ισχύει η σχέση: f ( ) = f ( ), f ονοµάζονται περιττές συναρτήσεις Μια τέτοια συνάρτηση είναι η ( ) Γραφική παράσταση συναρτήσεων = Γραφική παράσταση ή γράφηµα ή διάγραµµα µιας συνάρτησης f : X Ψ {(, ), } ονοµάζουµε το σύνολο ( ) G = f X Αυτό στο Καρτεσιανό επίπεδο, δηλαδή στο σύστηµα των ορθογωνίων αξόνων ' και ' παριστάνεται µε,, µια γραµµή και κάθε σηµείο της, P, έχει συντεταγµένες ένα ζεύγος ( ) όπου D( f ) και R( f ) Βλέπουµε παρακάτω, (Σχήµα, Σχήµα 5) τις γραφικές παραστάσεις µερικών γνωστών συναρτήσεων 0

= = - - - - - = - Σχήµα = + = - - - - - = - Σχήµα 5

Αντίστροφες Συναρτήσεις Ορισµός: Έστω ότι f : X Ψ είναι µια συνάρτηση τέτοια ώστε = Αν υπάρχει µια άλλη συνάρτηση g : Ψ X, τέτοια ώστε f ( ) g ( ) =, τότε αυτή ονοµάζεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συµβολίζεται µε f Για να υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f, πρέπει να συµβαίνουν τα εξής: Το πεδίο τιµών της f να είναι R( f ) = Ψ, δηλαδή η f να είναι επί Σε κάθε στοιχείο του πεδίου ορισµού της f να αντιστοιχεί ένα και µόνον ένα στοιχείο του πεδίου τιµών της, δηλαδή η f να είναι ένα προς ένα f Παράδειγµα: Έστω ( ) ( ) f = = µε 0, τότε η συνάρτηση : =, µε 0 είναι η αντίστροφη συνάρτηση της f Βλέπουµε πιο κάτω το γράφηµα των f και f, παρατηρούµε δε ότι οι δυο αυτές καµπύλες είναι συµµετρικές ως προς άξονα συµµετρίας τη διαγώνιο ευθεία γραµµή = =, 0 = =, 0 Σχήµα 6

f Στην περίπτωση της ( ) η f ( ) =, µε 0 = = µε 0, η αντίστροφη συνάρτηση είναι Ρητές Συναρτήσεις Συναρτήσεις της µορφής: ( ) = f = a + a + a + + a, a, a, a,, a R, a 0, µε πεδίο n 0 n 0 ορισµού D( f ) =R, ονοµάζονται πολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού n Ρητή ονοµάζεται µια συνάρτηση της µορφής: f ( ) n n ( ) ( ) g = =, όπου q g ( ) και q( ) είναι πολυωνυµικές συναρτήσεις Έχει δε η f { } ορισµού D( f) = R : q( ) 0 Για παράδειγµα η f ( ) ρητή συνάρτηση, µε πεδίο ορισµού ( ) βλέπουµε στο σχήµα παρακάτω πεδίο = είναι µια D f = R {} 0, το γράφηµα της οποίας 6 = f ( ) =, 0-6 - - 6 - - -6 Σχήµα 7

Φραγµένες συναρτήσεις Ορισµός: Μια συνάρτηση: f : X Ψ τέτοια ώστε = f ( ), D( f ) λέµε ότι είναι φραγµένη σε ένα σύνολο A D( f ) ώστε να ισχύει: f ( ) m, για κάθε A Πεπλεγµένες συναρτήσεις όταν υπάρχει m R, έτσι Αν µια εξίσωση, όπως για παράδειγµα η = επαληθεύεται από τις τιµές των και, αλλά και οι δυο αυτές µεταβλητές είναι στο ίδιο µέλος της εξίσωσης, µε άλλα λόγια η ορίζεται άµεσα συναρτήσει της, τότε λέµε ότι έχουµε µια πεπλεγµένη συνάρτηση της Στο παραπάνω παράδειγµα, αν λύσουµε ως προς παίρνουµε: =, που είναι µια ρητή συνάρτηση της + Άλλες πεπλεγµένες συναρτήσεις είναι: (i) ln + = κλπ + 5 9 = 0, (ii) Σύνθετες συναρτήσεις Αν f και g είναι δυο συναρτήσεις, µπορούµε να τις "συνδυάσουµε" για να πάρουµε µια νέα συνάρτηση f g, η οποία ορίζεται ως εξής: όπου το πεδίο ορισµού της f ( f g )( ) f g ( ) =, στο πεδίο ορισµού της g έτσι ώστε τα ( ) της f g είναι το σύνολο όλων των που ανήκουν g ανήκουν στο πεδίο ορισµού Για παράδειγµα, έστω f ( ) = και g ( ) από τη σχέση: ( )( ) ( ) [ ] f g = f g = f + = + = +, τότε η f g δίνεται Το πεδίο ορισµού της g είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και αυτό της + f είναι το σύνολο R 0 Έτσι, το πεδίο ορισµού της f g είναι το σύνολο όλων των για τα οποία + g ( ) = + ανήκει στο R 0, δηλαδή όλα τα, για τα οποία ισχύει: + 0 Τώρα η σύνθεση g f δίνεται από τη σχέση:

( g f )( ) = g f ( ) = g = + + Το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο R 0 και αυτό της g είναι το R Άρα το πεδίο ορισµού της g f είναι όλα τα 0 είναι πραγµατικός αριθµός, δηλαδή, 0 Αλγεβρικές πράξεις µε συναρτήσεις, για τα οποία ( ) f = Έστω ότι έχουµε δυο συναρτήσεις f και D R, τότε ορίζονται οι πράξεις: g µε κοινό πεδίο ορισµού Το άθροισµα f + g που δίνεται από τη σχέση: ( f + g )( ) = f ( ) + g ( ), για κάθε στο πεδίο ορισµού των f και g Η διαφορά f g που δίνεται από τη σχέση: ( f g )( ) = f ( ) g ( ), για κάθε στο πεδίο ορισµού των f και g Το γινόµενο f g που δίνεται από τη σχέση: ( f g )( ) = f ( ) g ( ), για κάθε στο πεδίο ορισµού των f και g Το πηλίκο f g που δίνεται από τη σχέση: f g ( ) = f ( ) ( ) g, για κάθε στο πεδίο ορισµού των f και g, για τα οποία g ( ) 0 Παράδειγµα: Αν f ( ) = και ( ) = + +, να βρεθούν το g άθροισµα, η διαφορά, το γινόµενο και το πηλίκο αυτών, όπως δείχνεται πιο πάνω Λύση: Προφανώς, το πεδίο ορισµού των δυο αυτών συναρτήσεων είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Έτσι έχουµε: Το άθροισµα, ( f g )( ) f ( ) g ( ) ( ) ( ) + = + = + + + ( )( ) + = + 6 + Με πεδίο ορισµού το R f g 5

Η διαφορά, ( f g )( ) f ( ) g ( ) ( ) ( ) = = + + ( )( ) f g = Με πεδίο ορισµού το R Το γινόµενο, ( f g )( ) f ( ) g ( ) ( ) ( ) = = + + ( )( ) f Το πηλίκο, ( ) f g = + 8 + 6 Με πεδίο ορισµού το R ( ) ( ) f = = g g υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ( β α γ 0) = = = Συναρτήσεις πολλαπλού τύπου Με πεδίο ορισµού το R, αφού δεν + + + + = 0 Συναρτήσεις πολλαπλού τύπου ονοµάζονται οι συναρτήσεις εκείνες, των οποίων ο τύπος αλλάζει καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή παίρνει τιµές σε διαφορετικά υποσύνολα του πεδίου ορισµού της Παραδείγµατα: α) Η συνάρτηση ( ), 0 f =, το πεδίο ορισµού, 0 της οποίας είναι το R και η γραφική της παράσταση φαίνεται παρακάτω 6 f ( ), 0 =, 0-6 - - 6 - - -6 Σχήµα 8 6

g r β) Η συνάρτηση ( ) r, r = r r + 7, r Το πεδίο ορισµού της πιο πάνω συνάρτησης είναι το σύνολο: γ) φ ( t) D( g ) = (, ) (, + ) t, t 0 =, 0 t, µε πεδίο ορισµού το R t, t Μονοτονία συναρτήσεων Α) Ορισµός: Έστω µια συνάρτηση = f ( ) µε πεδίο ορισµού D( f ) και πεδίο τιµών R( f ) Θα λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο A του ( ), A, ισχύει: D f όταν, για κάθε µε ( ) ( ) f f ηλαδή, καθώς αυξάνουν οι τιµές του A, αυξάνουν οι αντίστοιχες τιµές στο πεδίο τιµών της f f f παραπάνω, λέµε ότι η f είναι Στην περίπτωση που ισχύει ( ) ( ) απλά αύξουσα Β) Ορισµός: Έστω µια συνάρτηση = f ( ) µε πεδίο ορισµού D( f ) και πεδίο τιµών R( f ) Θα λέµε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα υποσύνολο A του ( ), A, ισχύει: D f όταν, για κάθε µε ( ) ( ) f f ηλαδή, καθώς αυξάνουν οι τιµές του A, ελαττώνονται οι αντίστοιχες τιµές στο πεδίο τιµών της f f f παραπάνω, λέµε ότι η f είναι Στην περίπτωση που ισχύει ( ) ( ) απλά φθίνουσα Γνησίως µονότονη ονοµάζεται µια συνάρτηση όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, ενώ στην περίπτωση που µια συνάρτηση είναι απλά αύξουσα ή φθίνουσα, τότε ονοµάζεται απλά µονότονη 7

Μια συνάρτηση = f ( ) ονοµάζεται τµηµατικά γνησίως µονότονη, (αντίστοιχα τµηµατικά µονότονη) σε κάποιο διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν το γράφηµά της δύναται να χωριστεί σε επί µέρους τµήµατα πεπερασµένου πλήθους, όπου η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα (αντίστοιχα αύξουσα ή φθίνουσα) σε κάθε ένα από αυτά Για παράδειγµα η συνάρτηση f ( ) = + είναι τµηµατικά γνησίως µονότονη, γιατί είναι γνησίως φθίνουσα για όλα τα (, 0] και γνησίως αύξουσα για όλα τα [ 0, + ) Τέλος, µια συνάρτηση είναι σταθερή αν για όλες τις τιµές του το δεν = f = c, όπου c είναι µια σταθερά µεταβάλλεται, πχ η συνάρτηση ( ) Περιοδικές συναρτήσεις Έστω µια συνάρτηση = f ( ) µε πεδίο ορισµού D( f ), για την οποία υπάρχει ακέραιος αριθµός ρ τέτοιος ώστε για κάθε D( f ), + ρ D( f ) και ισχύει: ( + ρ ) = ( ), D( f ) f f, ονοµάζεται περιοδική, περιόδου ρ (Το σύµβολο σηµαίνει "για κάθε") Ο µικρότερος θετικός αριθµός ρ για τον οποίο ισχύει η πιο πάνω σχέση ονοµάζεται κύρια περίοδος της f Παραδείγµατα: α) Η συνάρτηση = f ( ) = sin (ηµίτονο µια γωνίας ) είναι µια περιοδική συνάρτηση, µε κύρια περίοδο ρ = π, αφού ( π ) ( π ) f + = sin + = sin Γενικά, η συνάρτηση "ηµίτονο" µιας γωνίας είναι περιοδική µε περίοδο kπ, όπου,,, k = ± ± ± β) Το ίδιο ισχύει και για τη συνάρτηση = f ( ) = cos (συνηµίτονο µια γωνίας ) Γιατί; Στα παρακάτω σχήµατα βλέπουµε τη γραφική παράσταση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων ηµίτονο ( sin ) και συνηµίτονο ( cos ) µιας γωνίας 8

f ( ) = sin -π -π π π - - - Σχήµα 9 f ( ) = cos -π -π π π - - - Σχήµα 0 9

5 Ασκήσεις Να γίνει το διάγραµµα των διαστηµάτων: α) 5, β) 6, γ) 5, δ), ε), στ), ζ) f = + Αν ( ), να υπολογιστούν τα ( 0 ) f, ( ) f, f ( ) + = 5, Αν g ( ) =, να δειχθεί ότι α) g ( ) g ( ) g ( ) β) ( + ) ( ) g g = g ( ), f ( h) + Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των εξής παραστάσεων: α) =, β) = 6, γ) f ( ) =, δ) q ( ) = 9, ε) ( ) ψ = +, στ) g ( ), =,, ζ) ( ) z + h z = z, η) ( ) ϕ = 5 Αν f ( ) = 5 και g ( ) = 0 να υπολογιστούν τα α) ( f g )( ), β) ( g f )( ), γ) ( f f )( 0) = + + ως σύνθεση 6 Πως µπορούµε να γράψουµε τη συνάρτηση ( ) ; δυο άλλων συναρτήσεων ( f g ) 7 Να γίνει το γράφηµα των συναρτήσεων: α) ( ) β) g ( ), 0 =, 0, +, 0 f =, 5,, 5 0

8 Να περιγραφεί ως προς τη µονοτονία η συνάρτηση της άσκησης 7 (α) πιο πάνω 9 Αν f ( ) = και g ( ) = + να υπολογιστούν τα α) ( f g )( ) f g ( f g )( ), γ) ( f g )( ), δ) ( ) +, β) και τα αντίστοιχα πεδία ορισµού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όριο συνάρτησης Από τον ορισµό της συνάρτησης γνωρίζουµε ότι, καθώς αλλάζει η τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής, αλλάζει αντίστοιχα και η τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής, δηλαδή αλλάζει η τιµή της ίδιας της συνάρτησης Ας δούµε µέσου ενός απλού, αλλά πολύ ενδιαφέροντος παραδείγµατος τι µπορεί να προκύψει µε τη µεταβολή µιας συνάρτησης Έστω η συνάρτηση f ( ) =, της οποίας οι µεταβολές στην τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής θυµίζει αυτό που συµβαίνει όταν σε ένα κλάσµα µεταβάλλεται ο παρανοµαστής του Γνωρίζουµε ότι αν ο αριθµητής ενός κλάσµατος παραµένει σταθερός, τότε: Αν ο παρανοµαστής µεγαλώνει, το κλάσµα µικραίνει Αν ο παρανοµαστής µικραίνει, το κλάσµα µεγαλώνει Έτσι στην πιο πάνω συνάρτηση αν θεωρήσουµε ότι η τιµή του αυξάνει, έτσι ώστε να είναι µεγαλύτερη από κάθε αριθµό που µπορεί να προσδιοριστεί αριθµητικώς, τότε λέµε ότι αυξάνει απεριόριστα, ή ότι τείνει προς το άπειρο ( ) Συνεπώς η συνάρτηση f ( ) = µπορεί να παρασταθεί µε που γίνεται µια απείρως µικρή ποσότητα, µικρότερη από κάθε πεπερασµένο αριθµό, ο οποίος µπορεί να προσδιοριστεί αριθµητικώς Αυτό συµβολίζεται µε το µηδέν 0 ηλαδή εδώ το µηδέν το θεωρούµε όχι ως αριθµό, αλλά σαν ένα απείρως ( ) µικρό µέγεθος Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουµε ότι η συνάρτηση f ( ) όταν η τείνει στο και γράφουµε: ( ) lim f = 0 = τείνει στο 0 και διαβάζεται: το όριο της συνάρτησης ( ) f, καθώς η τείνει στο, ισούται µε µηδέν

Εργαζόµενοι κατά τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι: ( ) lim f 0 και λέµε ότι στην περίπτωση αυτή το όριο της συνάρτησης f ( ), καθώς η τείνει στο 0, δεν υπάρχει εν είναι µόνο το 0 ή το προς τα οποία µπορεί να "τείνει" η ώστε να αναζητούµε το όριο µιας δοσµένης συνάρτησης, αλλά και άλλοι πραγµατικοί αριθµοί Προς αυτή την κατεύθυνση ας δούµε ένα ακόµη απλό παράδειγµα: Έστω η συνάρτηση f ( ) = Όταν η είναι "κοντά" στον αριθµό, αλλά όχι ίση µε, δηλαδή κάποιες τιµές της είναι µικρότερες του και κάποιες µεγαλύτερες από, τότε όπως φαίνεται στον πίνακα παρακάτω, είτε η, οι πλησιάζει τον αριθµό από τα αριστερά ( ) είτε από τα δεξιά ( ) τιµές της f πλησιάζουν έναν αριθµό, τον = ( ) f (,7 ) =, f (,8 ) =,6 f (,9 ) =,8 ( ) ( ) f (,) =,6 f (,) =, f (,) =, ( ) f,999 =,998 f,00 =,00 Με άλλα λόγια, το όριο της f ( ) καθώς η τείνει στο από τα αριστερά είναι ίσο µε και γράφουµε: ( ) lim f = (*) Ακόµη, το όριο της f ( ) καθώς η τείνει στο από τα δεξιά είναι ίσο µε και γράφουµε: ( ) lim f = (**) + Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι υπάρχει το όριο της f καθώς η τείνει στο και είναι ίσο µε Γράφουµε δε ( ) lim f = Όρια της µορφής (*) και (**) παραπάνω, ονοµάζονται πλευρικά όρια

Γενικά, το όριο µιας συνάρτησης = f ( ) καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή a, υπάρχει αν και µόνον αν τα δυο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα µεταξύ τους Συνεπώς έχουµε: ( ) ( ) ( ) lim f = L lim f = lim f = L, L R + a a a Στο παράδειγµα του ( ) lim =, θα µπορούσε ίσως να ισχυριστεί κάποιος πως το όριο της δοσµένης συνάρτησης δύναται να υπολογιστεί από την τιµή της στο συγκεκριµένο σηµείο, δηλαδή εδώ το, ήτοι: ( ) ( ) lim f = f = = Αυτό όµως δε συµβαίνει πάντα, όπως µας δείχνει το ακόλουθο παράδειγµα: Εδώ έχουµε ότι g ( ) ( ) g, =, = =, ενώ το όριο της συνάρτησης καθώς η τείνει στο από αριστερά ή από τα δεξιά ισούται µε, δηλαδή ( ) lim g = Ιδιότητες των ορίων Για το όριο συναρτήσεων ισχύουν οι εξής ιδιότητες: Αν f ( ) = c, δηλαδή η f είναι µια σταθερή συνάρτηση, τότε ( ) lim f = lim c = c a a lim n = a n, για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο αριθµό n a lim f L a Αν ( ) = και ( ) lim g = L, όπου L, L R, τότε a lim f g lim f lim g L L a ± = ± = ± (Η ιδιότητα αυτή a a ισχύει για πεπερασµένο αριθµό αθροισµάτων ή διαφορών συναρτήσεων) ( ) ( ) ( ) ( )

lim f g lim f lim g L L a = = a a ( ) ( ) ( ) ( ) lim c f = c lim f = c L, όπου c µια σταθερά 5 ( ) ( ) a a 6 ( ) ( ) ( ) ( ) f lim f a L lim = = a g lim g L a, αν L 0 lim f = lim f = n L, αν n L ορίζεται 7 n ( ) n ( ) a a Παραδείγµατα: Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: α) lim( + ), β) lim( ), γ) lim ( ) s s s +, δ) lim ( )( ), + + στ) lim, ζ) lim, η) + lim, θ) lim t +, ι) lim + 7, + t ( ) + h κ) lim, λ) lim h 0 h +, µ) n lim( a0 + a + a + + an ) c Λύση: α) lim( ) + = lim lim 6 + = + = β) lim( ) s s = s lim s lim s s s = = γ) lim ( ) + = ( ) ( ) lim lim + lim = + = δ) lim ( )( ) = lim ( + ) lim ( ) + = lim + lim lim lim = + = = [ ] [ ] στ) lim lim = = = ( ) ζ) + lim lim f = lim lim lim 0 0 = 0 = + 0 = = ( ) Αν θέλουµε εδώ να είµαστε πιο ακριβείς και "αυστηροί" θα πρέπει η n f ( ) να ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστηµα που περιέχει το a 5

η) lim + + = ( ) ( + ) lim + + 0 = = = 0 lim + 5 θ) ι) lim t t lim 7 + = ( t ) lim 7 t + = ( ) + = + = lim + 7 = lim + lim 7 = + 0 = 6 = κ) lim h 0 ( h) + h + h + h h + h = lim = lim h 0 h h 0 h ( h) = lim + = lim + lim h = + 0 = h 0 h 0 h 0 = ( + ) h h lim h 0 h ( )( + ) ( ) λ) lim = lim = lim = = + + n µ) lim( a0 a a an ) c + + + + = = + + + + lim a0 a lim a lim a lim n n c a a a ( ) = + + + + = n a0 a c a c an c f c Από το τελευταίο παράδειγµα πιο πάνω βλέπουµε ότι, αν f πολυωνυµική συνάρτηση, τότε είναι µια ( ) f ( c) lim f c = Ας δούµε τώρα µια άλλη περίπτωση, αυτή της συνάρτησης = f =, 0, κοντά στο σηµείο = 0 Στον πίνακα παρακάτω ( ) βλέπουµε τις τιµές της συνάρτησης, καθώς η 0 από τα δεξιά και από τα αριστερά ± ± 0,5 ± 0, ± 0,0 ± 0,00 00 0000 000000 Το γράφηµα της συνάρτησης είναι: 6

6 f = ( ) -6 - - 6 - - -6 Σχήµα Τόσο από τον πίνακα, όσο και από το γράφηµα της συνάρτησης, είναι φανερό πως αυτή αυξάνει χωρίς όριο, καθώς η 0 Στην περίπτωση αυτή, το όριο της συνάρτησης δεν υπάρχει, αφού: lim f ( ) = lim lim lim 0 0 = 0 = + 0 = Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι για τη γνωστή συνάρτηση = f =, καθώς η 0 f γίνεται θετικά ( ), 0 άπειρη, δηλαδή ενώ καθώς η 0 δηλαδή, lim f από τα δεξιά η ( ) ( ) + + 0 0 = lim =, από τα αριστερά η f ( ) γίνεται αρνητικά άπειρη, lim f ( ) = lim 0 0 = Και από τις δυο περιπτώσεις έχουµε ότι το όριο lim 0 δεν υπάρχει 7

Για την ίδια συνάρτηση = f ( ) =, 0, όµως, καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή γίνεται απείρως "µικρή" ή απείρως "µεγάλη", δηλαδή καθώς η f µηδενίζεται, δηλαδή ή, η ( ) lim = 0 και lim = 0 Παραδείγµατα: Να υπολογιστούν τα όρια: α) γ) lim ζ) 0 lim Λύση: α) lim, δ) ( ) 5, ε) 8 + + lim lim + lim + +, β) +, στ) 5 lim + +, lim, καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή πλησιάζει το σηµείο - από + + τα δεξιά, ο παρονοµαστής + πλησιάζει το 0 και είναι πάντοτε θετικός Αφού λοιπόν διαιρούµε το δια µια θετική ποσότητα που τείνει προς το 0, το κλάσµα + γίνεται απείρως "µεγάλο", δηλαδή lim + = +, + β) lim + = lim = lim + Αφού lim ( )( ) + lim = συµπεραίνουµε ότι το lim + γ) lim = lim = lim = + + ( )( ) δεν υπάρχει = και δ) lim ( 5) συµβαίνει και µε την 5, καθώς η γίνεται απείρως µεγάλη ποσότητα, το ίδιο και αφού η τρίτη δύναµη ενός πολύ µεγάλου αριθµού είναι επίσης µεγάλος αριθµός, πρέπει ( 5) δια πολύ µεγάλο αριθµό, παίρνουµε ως αποτέλεσµα το 0, ήτοι ιαιρώντας το 8

lim = 0 ( 5) Με το τελευταίο αυτό παράδειγµα βλέπουµε ότι όρια συναρτήσεων της r µορφής f ( ), r 0 = καθώς η, αφού ο παρονοµαστής γίνεται απείρως µεγάλη ποσότητα, µηδενίζονται ηλαδή ε) 8 + + lim + lim = 0, r 0 r, σε όρια αυτής της µορφής, διαιρούµε αριθµητή και παρονοµαστή δια τη µεγαλύτερη δύναµη της, εδώ δια και έχουµε: 8 + + 8 + + lim lim = + + 8 + + = lim + 8 lim + lim + lim = lim + lim lim ( ) + ( ) + ( ) + ( 0) 0 8 0 0 0 = = 0 στ) lim 5 + + = lim 5 + + 5 lim 0 0 0 = = = = 0 + + + 0 + 0 0 ζ) lim, εδώ δεν είναι απαραίτητο να διαιρέσουµε δια µπορούµε να απλοποιήσουµε το κλάσµα και να πάρουµε:, αφού 0 lim = lim 0 =, δηλαδή το όριο αυτό δεν υπάρχει 9

Κλείνουµε αυτή την παράγραφο µε ένα από τα σηµαντικότερα όρια που είναι το ακόλουθο: 0 ( ) lim + Στο πίνακα παρακάτω βλέπουµε τις τιµές της συνάρτησης ( ) ( ) καθώς 0 ( ) + ( + ) 0,5,500000-0,5,500000 0,,5975-0,,5975 0,0,7088-0,0,7088 0,00,769-0,00,769 0,000,7886-0,000,7886 f = +, Γίνεται φανερό πως καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή 0, από τα δεξιά και από τα αριστερά, το όριο ( ) lim + υπάρχει και είναι περίπου ίσο µε 0,78, που είναι ο γνωστός άρρητος αριθµός e ηλαδή, 0 ( ) lim + = e Βλέπουµε πιο κάτω το γράφηµα της συνάρτησης ( ) ( ) f = + 6 ( ) ( ) f = + -6 - - 6 - - -6 Σχήµα 0

Ασκήσεις Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: 6 7, β) lim, γ) + 0 lim +, δ) lim +, ε) lim 5 5, lim t, ζ) lim, η) lim t 6 +, θ), ι) + lim α) lim ( ) στ) ( ) lim ( ) 7 +, κ) lim 9, λ) r r lim r + Συνέχεια συνάρτησης Το παρακάτω γράφηµα της συνάρτησης πολλαπλού τύπου: f ( ), =, = 8 6 f ( ), =, = -8-6 - - 6 8 - - -6-8 Σχήµα

αποτελείται από µια ευθεία γραµµή, η οποία στο σηµείο = έχει ένα "κενό", και από ένα σηµείο, στη θέση ( ) Ας δούµε τώρα το όριο αυτής της συνάρτησης καθώς η Είναι προφανές πως καθώς η τόσο από τα δεξιά, όσο και από τα αριστερά, το όριο της συνάρτησης υπάρχει και είναι ίσο µε, δηλαδή ( ) ( ) ( ) lim f = lim f = lim f = + Για την ίδια όµως συνάρτηση έχουµε ότι f ( ) =, δηλαδή η τιµή της στο σηµείο = είναι διάφορη από το όριό της καθώς η Σε τέτοιες περιπτώσεις λέµε ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο σηµείο αυτό, εδώ το = Έτσι έχουµε τα ακόλουθα Ορισµός : Μια συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής σε ένα σηµείο = a αν και µόνον αν ισχύουν τα παρακάτω: Η f ( ) ορίζεται στο σηµείο = a, δηλαδή a D( f ), Το όριο lim ( ) f a υπάρχει lim ( ) ( ) f = f a a Ορισµός : Μια συνάρτηση f ( ) είναι ασυνεχής σε ένα σηµείο = a αν και µόνον αν δεν είναι συνεχής στο σηµείο αυτό Ορισµός : Μια συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής σε ένα διάστηµα αν και µόνον αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του διαστήµατος αυτού f Για παράδειγµα η συνάρτηση ( ) [, 5 ] =, είναι συνεχής στο διάστηµα πχ Για την ακρίβεια, όπως είδαµε σε προηγούµενο παράδειγµα, για µια πολυωνυµική συνάρτηση f ( ) ισχύει ότι lim f ( c ) f ( c) D( f ) =R, η ( ) = και αφού f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο, άρα και σε κάθε διάστηµα ηλαδή µια πολυωνυµική συνάρτηση είναι συνεχής παντού

Ορισµός : Μια συνάρτηση f ( ) είναι απείρως ασυνεχής (ή έχει µια άπειρη ασυνέχεια) σε ένα σηµείο = a αν και µόνον αν ένα τουλάχιστον από τα δυο πλευρικά της όρια είναι ή, καθώς η a Όπως θα δούµε και στη συνέχεια, πολλές είναι οι χρήσιµες ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς συναρτήσεις σε αντίθεση µε τις ασυνεχείς Παράδειγµα ο : α) Η συνάρτηση f ( ) και επί πλέον, lim f ( ) = και ( ) + 0 απείρως ασυνεχής στο σηµείο = 0 = δεν ορίζεται στο σηµείο = 0 lim f = Κατά συνέπεια είναι 0 + β) Η συνάρτηση f ( ) = είναι ασυνεχής στα σηµεία = ±, αφού ο παρονοµαστής είναι 0, τόσο για =, όσο και για = Για όλα τα άλλα σηµεία του R η συνάρτηση είναι συνεχής Για την ακρίβεια οι ρητές συναρτήσεις είναι ασυνεχείς µόνον στα σηµεία όπου ο παρονοµαστής τους µηδενίζεται + 6,, =, γ) Η συνάρτηση ( ) συνέχειας στο σηµείο f = Όµως ( ) +, η f ( ) + 6 = 9 και, καθώς η θα µπορούσε ίσως να έχει πρόβληµα f = + 6 = 9 και ακόµη, καθώς η, η ( ) f = 9 Συνεπώς η συνάρτηση είναι συνεχής στο =, καθώς και σε όλο το R 5 Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (i) Αν f και g είναι συνεχής συναρτήσεις σε ένα σηµείο = a του πεδίου ορισµού τους, τότε ισχύουν τα εξής: Η συνάρτηση f Η συνάρτηση f ± g είναι συνεχής στο = a g είναι συνεχής στο = a Η συνάρτηση f g µε g 0 είναι συνεχής στο = a (ii) Όπως ήδη προαναφέραµε, µια πολυωνυµική συνάρτηση:

( ) f = a + a + a + + a a, n 0 n, n 0 είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του R f ( ) (iii) Μια ρητή συνάρτηση q( ) =, όπου οι f ( ) και ( ) g ( ) g είναι πολυωνυµικές συναρτήσεις, είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού της εκτός από τα σηµεία εκείνα όπου ενδεχοµένως µηδενίζεται η g ( ) (iv) Αν µια συνάρτηση f :[ a, b] R είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ a, b ] και f ( a) f ( b) 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα στο ανοικτό διάστηµα ( a, b ), τέτοιο ώστε f ( ) = σηµείο 0 0 0 Η τελευταία αυτή, σηµαντική ιδιότητα, µας λέει ότι το γράφηµα της συνάρτησης f, για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις παραπάνω, τέµνει των άξονα των σε ένα τουλάχιστον σηµείο 0 (Βλ παρακάτω σχήµα) f ( a) f ( b) a + 0 + b + Σχήµα Παράδειγµα ο : Να εξεταστούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις:

+ α) f ( ) =, β) g ( ) = 5 +, γ) ( ) q =, δ) p ( ) = ϕ ( ), 0, =, 0 + ε) + Λύση: α) f ( ) = f ( ) = +, αυτή είναι µια πολυωνυµική 5 5 5 συνάρτηση και συνεπώς είναι συνεχής παντού g =, η συνάρτηση αυτή είναι ρητή και ο παρονοµαστής της, + +, δεν µηδενίζεται σε κανένα σηµείο των πραγµατικών αριθµών Άρα β) ( ) είναι συνεχής παντού γ) q( ) =, ο παρονοµαστής, εδώ, έχει ρίζες το ±, δηλαδή µηδενίζεται για = και = Κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι ασυνεχής στα δυο αυτά σηµεία p δ) ( ) =, όπως στο (β) πιο πάνω + ε) ϕ ( ), 0, =, 0 Η συνάρτηση αυτή δεν ορίζεται όταν =, αφού µηδενίζεται ο παρονοµαστής του ρητού µέρους της συνάρτησης Συνεπώς είναι ασυνεχής στο σηµείο αυτό Επίσης, lim ϕ + 0 ( ) = και ϕ ( ) lim = Άρα υπάρχει µια ακόµη ασυνέχεια της 0 συνάρτησης στο σηµείο = 0 Παράδειγµα ο : Η συνάρτηση f ( ) = [ ] ορίζεται ως "το ακέραιο µέρος της " και είναι: [ ] = n, n n +, όπου n ένας ακέραιος αριθµός και ένας πραγµατικός 5

Για παράδειγµα [5] = 5, [,99] =, [ ] = 0, [,5] = κλπ Να γίνει το γράφηµα της συνάρτησης αυτής στο διάστηµα και να βρεθούν τα σηµεία ασυνέχειάς της Λύση: Οι ασυνέχειες της συνάρτησης, όπως φαίνεται και στο σχήµα πιο κάτω, βρίσκονται στα σηµεία: = 0, ±, ±, ±, - - - - - - - - Σχήµα 5 6 Εφαρµογές της συνέχειας συναρτήσεων σε ανισότητες Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε ανισότητες και πως µπορούµε να τις επιλύσουµε µέσω της συνέχειας των συναρτήσεων Έστω ότι έχουµε να επιλύσουµε την ανισότητα: Η συνάρτηση ( ) f παντού Ακόµη οι ρίζες της εξίσωσης + 0 = + είναι πολυωνυµική και έτσι, συνεχής + = 0 είναι ( )( ) + = 0 =, = Οι δυο αυτές ρίζες, είναι τα σηµεία τοµής του άξονα των και του γραφήµατος της συνάρτησης f, αφού εκεί έχουµε f ( ) = 0 και προσδιορίζουν τα εξής διαστήµατα (, ), (, ) και (, ) όπου πρέπει να εξετάσουµε το πρόσηµο της f 6

Στο διάστηµα (, ), η f είναι συνεχής και έτσι θα πρέπει να είναι f ( ) 0 ή f ( ) 0, αφού αν άλλαζε πρόσηµο, λόγω της συνέχειας της, θα έπρεπε να τέµνει των άξονα των σε κάποιο σηµείο, πράγµα αδύνατον (η f έχει µόνον δυο ρίζες τις = και = ) Συνεπώς η f είναι ή θετική ή αρνητική στο διάστηµα αυτό Το ίδιο ισχύει και στα άλλα δυο διαστήµατα (, ) και ( ), Για να προσδιορίσουµε το πρόσηµο της συνάρτησης διαστήµατα, αρκεί να την εξετάσουµε διαστηµάτων f στα τρία σε ένα µόνο σηµείο αυτών των Για το διάστηµα (, ) ας πάρουµε το σηµείο -5 και έχουµε: f ( 5) = 6 0 Άρα f ( ) 0 στο (, ) Για το διάστηµα (, ) ας πάρουµε το σηµείο - και έχουµε: f ( ) = 6 0 Άρα f ( ) 0 στο (, ) Για το διάστηµα (, ) ας πάρουµε το σηµείο και έχουµε: f ( ) = 6 0 Άρα f ( ) 0 στο (, ) Συνεπώς + 0 για και Βλέπουµε στο σχήµα 6 το γράφηµα της συνάρτησης: ( ) f = + 5 ( ) f = + -8-6 - - 6 8-5 Σχήµα 6 7

6 + 5 Παράδειγµα: Να λυθεί η ανισότητα 0 και να γίνει το γράφηµα 6 + 5 της αντίστοιχης συνάρτησης f ( ) = Λύση: f ( ) f ( ) ( )( ) 6 + 5 5 = = Οι ρίζες αυτής της συνάρτησης είναι προφανώς οι = και = 5 Επί πλέον, έχει ένα σηµείο ασυνέχειας που είναι το 0, αφού δεν ορίζεται εκεί Τώρα εξετάζουµε το πρόσηµο της (, 0 ), ( 0, ), (, 5) και ( ) f στα διαστήµατα: 5,, εξετάζοντας τι συµβαίνει στη συνάρτηση σε ένα µόνον σηµείο αυτών των διαστηµάτων Ας πάρουµε τα σηµεία -, /, και 6 αντίστοιχα και έχουµε: Για το -: ( ) Για το /: ( ) Για το : ( ) Για το 6: ( ) ( )( 5) ( ) στο (, 0) f = = 0 f 0 ( )( 5) ( ) στο ( ) f = = 9 0 f 0 ( )( 5) ( ) στο ( ) f = = 0 f 0 ( 6 )( 6 5), 5 ( ) στο ( ) f 6 = = 5 6 0 f 0 6 5, 0, 6 5 Συνεπώς + 0 για 0 και 5 ηλαδή η ανισότητα επαληθεύεται για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς εντός των διαστηµάτων: α) του πεπερασµένου ανοικτού-κλειστού διαστήµατος ( 0, ] και β) του άπειρου διαστήµατος [ 5, ) Στο επόµενο (σχήµα 7) βλέπουµε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: f ( ) 6 + 5 = 8

5 0 f ( ) = 6 + 5 5-5 -0-5 5 0 5-5 -0-5 Σχήµα 7 7 Ασκήσεις Να βρεθούν τα σηµεία ασυνέχειας των συναρτήσεων: α) f ( ) 5 + 7 =, β) f ( ) 0,, =, +, γ) ( ),, f = 5, = Το κόστος υπεραστικών τηλεφωνηµάτων από Ελλάδα προς Αυστραλία είναι,65 για τα πρώτα τρία λεπτά της ώρας και 0,0 για κάθε επί πλέον λεπτό ή µέρος αυτού, µετά το πέρας των τριών πρώτων λεπτών Αν f ( t) = είναι η συνάρτηση που µας δείχνει το συνολικό ποσό χρέωσης για κάποιο υπεραστικό τηλεφώνηµα, διάρκειας t λεπτών, να γίνει η γραφική παράσταση της f για 0 t 5,5 και να βρεθούν τα σηµεία ασυνέχειάς της Η επόµενη συνάρτηση, δίνει το κόστος ταχυδροµικής αποστολής δεµάτων, 9

5, 0, 8,, c = f ( ) =,, κ τ λ όπου c είναι το κόστος σε λεπτά του για γραµµάρια βάρους κάθε δέµατος Να γίνει το γράφηµα αυτής της συνάρτησης στο διάστηµα 0 6 και να βρεθούν τα σηµεία ασυνέχειάς της εκεί Να λυθούν οι ανισότητες: α) ε) θ) + 0, β) 5 0 6 0 +, στ) ( + 5)( + 8) +, γ) 0, ζ) + 8 + 5 0, δ) + 0, η) + 8 0, + 8 0, ι) 0 + + 5 + 6, κ) 0, λ) 0 + 6 + 8 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Η έννοια της παραγώγου - ορισµοί Ελάχιστη µεταβολή, h (ή ), της τιµής µιας ανεξάρτητης µεταβλητής είναι η αλλαγή που γίνεται σ' αυτήν, καθώς αυξάνει ή µειώνεται από µια τιµή = σε µια άλλη τιµή = Εδώ έχουµε h =, απ όπου παίρνουµε: = + h Αν σε µια µεταβλητή γίνει µια αύξηση (ή µείωση) h, από = σε = + h, τότε σε µια συνάρτηση = f ( ) της, θα γίνει µια αύξηση (ή µείωση) από ( ) f σε f ( h) f ( ) +, το δε πηλίκο ( + ) ( ) f h f h, () (δηλαδή η µεταβολή της τιµής της συνάρτησης = f ( ) προς τη µεταβολή της τιµής της ανεξάρτητης µεταβλητής ), ονοµάζεται η κατά µέσο αλλαγή της συνάρτησης στο διάστηµα µεταξύ και + h Για παράδειγµα, αν στη µεταβλητή γίνει µια αύξηση h = 0,6 από = σε h,6 + =, στη συνάρτηση ( ) = f = + η µεταβολή θα είναι: όρο f ( ) f ( ),6 = 7,6 =,6 Συνεπώς η κατά µέσο όρο αλλαγή της f στο διάστηµα µεταξύ και,6 είναι:,6 5,6 0,6 = Ορισµός: Έστω ότι η f ( ) = είναι µια συνάρτηση, τότε το όριο: ( + ) ( ) lim f h f h 0 =, () h εάν υπάρχει, ονοµάζεται παράγωγος της f στο σηµείο και συµβολίζεται d µε f ή Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο d σηµείο

f Παράδειγµα ο : Αν ( ) Λύση: =, τότε να υπολογιστεί η παράγωγός της f ( ) ( ) ( ) + + + + f h f h h h f ( ) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h ( ) ( + ) h + h h h f = lim = lim = lim( + h) = h 0 h h 0 h h 0 Γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου Στο σχήµα, η ευθεία γραµµή ε ονοµάζεται τέµνουσα της καµπύλης = f ( ) στα σηµεία A(, ) και B(, ) και η κλίση της δίνεται από τη σχέση: f ( ) f ( ) mab =, () όπου f ( ) = και ( ) f = (, ) B ε Τέµνουσα (, ) A ( ) = f Σχήµα

Τώρα αν το σηµείο B αρχίσει να κινείται προς το σηµείο A, η θέση της τέµνουσας κάθε φορά είναι AB, AB, AB, κτλ Η οριακή θέση όλων των τεµνουσών που διέρχονται από το σηµείο A είναι η εφαπτοµένη της καµπύλης = f στο σηµείο αυτό, σχήµα ( ) B A B A A B A B A B Οριακή θέση Εφαπτοµένη Σχήµα Γράφουµε τη διαφορά = h (σχήµα ), οπότε = + h Εδώ h 0, αφού αν ήταν h = 0 θα είχαµε =, δηλαδή δεν θα υπήρχε τέµνουσα γραµµή AB Έτσι έχουµε: m AB ( ) ( ) ( + ) ( ) f f f h f = = h Καθώς το σηµείο B κινείται πάνω στην καµπύλη = f ( ) (σχήµα ) προς το σηµείο A, τότε και έτσι η διαφορά = h τείνει προς το µηδέν Συνεπώς η οριακή τιµή των κλίσεων των τεµνουσών γραµµών, η οποία είναι, f είναι το όριο: ( ) η κλίση της εφαπτοµένης γραµµής στο σηµείο ( ) ( + ) ( ) lim f h f h h =, 0 το οποίο, όπως είπαµε πιο πάνω, είναι η παράγωγος f της συνάρτησης f στο ( ) σηµείο, ( ) f

Σηµείωση: Αν µια συνάρτηση = f ( ) είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0, δηλαδή υπάρχει η παράγωγός της στο σηµείο αυτό, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 Παράδειγµα ο : Να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτοµένης, καθώς και η f,9 εξίσωση αυτής, για την καµπύλη ( ) = στο σηµείο ( ) Λύση: Από το πιο πάνω παράδειγµα έχουµε ότι f ( ) =, άρα στο σηµείο (,9 ) παίρνουµε: f ( ) = = 6 ηλαδή η εφαπτοµένη της πιο πάνω καµπύλης στο σηµείο (,9 ) έχει κλίση 6, η δε εξίσωση αυτής είναι: 9 = 6( ) = 6 9, σχήµα ( ) f = 9 (,9) 6 = 6 9 - Σχήµα Παράδειγµα ο : Αν = f ( ) = + +, να υπολογιστεί η ( ) Λύση: Πρώτα βρίσκουµε την παράγωγο της f ( ) f = ( + ) ( ) h 0 f lim h f h f

( + h) + ( + h) + ( + + ) = lim h 0 h = + h + h + + h + lim h 0 h + h + h = lim = lim( + h + ) h 0 h h 0 Άρα f ( ) = + και έτσι f ( ) h d = = + = 6 d = Παράδειγµα ο : Να βρεθεί η κλιση της καµπύλης = + στο σηµείο = 6 Λύση: Αν f ( ) = = lim = +, έχουµε ( ) ( ) ( + h) + ( + ) f + h f = lim h h h 0 h 0 ( ) ( ) + h + + + h + = lim = lim h 0 h h 0 h h = lim = lim = h 0 h h 0 Αφού =, η κλίση της καµπύλης, όταν = 6, ή σε οποιοδήποτε άλλο σηµείο είναι ίση µε Αυτό είναι προφανές, διότι η δοθείσα "καµπύλη" είναι µια ευθεία γραµµή, που ως γνωστόν έχει την ίδια κλίση σε κάθε σηµείο Παράδειγµα 5 ο : Να υπολογιστεί η d d, αν = Λύση: Αν ( ) = f =, έχουµε ( ) ( ) d f + h f + h = lim = lim d h 0 h h 0 h Καθώς h 0, ο αριθµητής και ο παρονοµαστής του πιο πάνω κλασµατος τείνουν στο µηδέν Για το λόγο αυτό γράφουµε το κάσµα ως εξής: 5

+ h + h + h + = h h + h + ( ) + h h = = = h h h h ( + + ) ( + + ) + h + Οπότε d = lim = = d h 0 + h + + Για να ορίζεται η δοθείσα συνάρτηση, =, πρέπει 0, ενώ για να ορίζεται η d d της εφαπτοµένης της καµπύλης πρέπει 0, δηλαδή στο σηµείο = 0 δεν υπάρχει κλίση = Αυτό, όπως φαίνεται και στο σχήµα παρακάτω, όταν = 0, η εφαπτοµένη αυτής της καµπύλης είναι ο κατακόρυφος άξονας των που δεν έχει κλίση 8 6 = - 6 8 Σχήµα Από τα παραπάνω παραδείγµατα γίνεται αντιληπτό ότι για τον υπολογισµό της παραγώγου µιας συνάρτησης, µέσω του ορισµού της, ως ορίου, µπορεί να είναι χρονοβόρα και επίπονη διαδικασία Ευτυχώς, όµως, δεν είναι απαραίτητο 6

να βρίσκουµε την παράγωγο κατ' αυτόν τον τρόπο, διότι υπάρχουν κανόνες παραγώγισης που θα δούµε στη συνέχεια Κανόνες υπολογισµού της παραγώγου (i) Αν f ( ) = c, όπου c είναι µια σταθερά, τότε f ( ) = 0 = n n (ii) Αν f ( ) =, τότε f ( ) n (iii) Αν g ( ) = cf ( ), τότε g ( ) cf ( ) Έστω ότι f ( ) και ( ) παράγωγες f ( ) και g ( ) = g είναι συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχουν οι, τότε: (iv) Αν F ( ) = f ( ) ± g ( ), τότε F ( ) f ( ) g ( ) = ± (v) Αν F ( ) = f ( ) g ( ), τότε F ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) (vi) Αν F ( ) =, τότε F ( ) g ( ) (vii) Αν f ( u) = = + ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) f g f g = είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση του u και u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση του, τότε η παράγωγος της ( ) = f u είναι: (viii) Αν ( ) n d d du = d du d u = u, όπου n είναι ένας πραγµατικός αριθµός και u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση του, τότε η παράγωγος της είναι: d d du d n = nu Ο κανόνας (v) ονοµάζεται κανόνας του πολλαπλασιασµού, ο δε (vi) ονοµάζεται κανόνας της διαίρεσης και, τέλος, ο (vii) ονοµάζεται κανόνας της αλυσίδας Στη συνέχεια δίνονται οι αποδείξεις µερικών από τους πιο πάνω κανόνες, µε την επισήµανση ότι και για τους υπόλοιπους η απόδειξη είναι παρόµοια, µε απ' ευθείας εφαρµογή του ορισµού της παραγώγου, δηλαδή του ορίου της σχέσης () 7

Αποδείξεις των κανόνων παραγώγισης: (i) Έστω f ( ) έχουµε: = c, όπου c είναι µια σταθερά, τότε από το όριο () ( ) ( ) f + h f c c 0 f ( ) = lim = = lim = = lim = h 0 h h 0 h h 0 h = lim = 0 0 h 0 Συνεπώς, αν f ( ) c f = =, τότε ( ) 0 (iv) Έστω ότι F ( ) = f ( ) + g ( ) και υπάρχουν οι f ( ) και g ( ) τότε από το ορισµό της παραγώγου παίρνουµε: lim F F = ( ) = = h 0 ( + h) F ( ) h ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + h lim f h g h f g h 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + + h lim f h f g h g h 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim f + h f g + h g = h 0 + h h lim f ( + h) f ( ) g ( + h) g ( ) = + lim f ( ) g ( ) h h 0 h 0 h = + Συνεπώς, αν F ( ) = f ( ) + g ( ), τότε F ( ) f ( ) + g ( ) (v) Έστω ότι F ( ) f ( ) g ( ) έχουµε: ( ) F = =, =, τότε από τον ορισµό της παραγώγου ( + ) ( ) lim F h F h 0 h ( + ) ( + ) ( ) ( ) lim f h g h f g h 0 = h 8

+ στον αριθµητή του κλάσµατος στο τελευταίο όριο και παίρνουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { f + h g + h f g F = lim + h 0 h Προσθέτουµε και αφαιρούµε f ( h) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f + h g f + h g + } h ( ) ( ) ( ) ( ) lim{ f + h g + h f + h g = + h 0 h ( ) ( ) ( ) ( ) } f + h g f g + h ( ) ( ) ( ) lim f + h g + h g = + h 0 h + ( ) ( ) ( ) + h lim g f h f h 0 ( + ) ( ) lim g h g = f ( + h) lim h 0 h 0 h ( + ) ( ) lim f h f + g ( ) lim h 0 h 0 h = f ( ) g ( ) + g ( ) f ( ), (αφού lim ( ) ( ) Συνεπώς F ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) = + = + = ) f h f h 0 Παράδειγµα ο : Να υπολογιστεί η παράγωγος των συναρτήσεων: 0,5 g = 5, β) f ( ) =, γ) p ( ) 5 = +, δ) q( ) =, =, στ) ( ) ( + F = + )( + 5), ζ) Q( ) = και u u u u = + α) ( ) ε) ( ) η) φ ( ) =, όπου ( ) Λύση: α) g ( ) = 5 g ( ) = 5 g ( ) 5 = 9

0,5 β) f ( ) = f ( ) = 0,5 ( ) ( ) 7 f =,5 5 5 5 f = 0,5 5 5 γ) p( ) = + p ( ) = 5 + p ( ) 5 δ) q( ) = ( ) q ( ) = q = ( ) = + q = ε) ( ) = ( ) = ( ) στ) F ( ) ( )( 5) = + + F = + + + + + ( ) ( )( 5) ( ) ( 5) d d = = + ( ) = ( + )( ) + ( + )( + 5) ( ) F F = + + 5 ζ) Q( ) ( ) = Q = + ( )( 8 ) ( + )( ) ( ) = ( ) ( ) η) φ ( u) = u u, όπου u ( ) = + ( u) d du d d ( u) ( u u ) ( ) dϕ dϕ du φ = = d du d φ = + ( u ) ( u )( ) φ = + ( u) ( ) ( ) φ = + + ( ) φ u = 8 + Παράγωγος λογαριθµικής και εκθετικής συνάρτησης Η παράγωγος της λογαριθµικής συνάρτησης = ln, σχήµα 5 είναι: 50

d = d Επί πλέον, αν = lnu, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση του, τότε: d d du = ( ln u) = d d u d Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης παραγωγίσιµη συνάρτηση του είναι: Επί πλέον αν, του, τότε: u = a, 0 d d u du ( e ) d d d u = = e u = e, όπου u είναι µια a, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση d d u u du = ( a ) = a ( lna) d d d 8 6 = ln - 6 8 - Σχήµα 5 Τέλος, η παράγωγος µιας οποιασδήποτε λογαριθµικής συνάρτησης = log b u, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση του είναι: d = d ( logbu) = ( logbe) du d d u d 5

Στο σχήµα 6 έχουµε τη γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης = e 0 8 = e 6-6 8 0 Σχήµα 6 Στο σχήµα 7 βλέπουµε το γράφηµα των εκθετικών συναρτήσεων =, = και = = 0 = = 8 6 - - Σχήµα 7 5

Πολλές φορές η εύρεση της παραγώγου µιας συνάρτησης f ( ) =, η οποία περιέχει γινόµενα, πηλίκα ή δυνάµεις του, µπορεί να είναι αρκετά δύσκολη και επίπονη διαδικασία Σε τέτοιες περιπτώσεις, παίρνουµε το λογάριθµο των δυο µελών και αφού πρώτα απλοποιήσουµε κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων των λογαρίθµων και στη συνέχεια παίρνουµε την παράγωγο των = f ως πεπλεγµένη συνάρτηση δυο µελών ως προς θεωρώντας την ( ) Παράδειγµα ο : Να υπολογιστεί η παράγωγος της : = ( )( + ) ( + )( ) Λύση: Παίρνουµε το φυσικό λογάριθµο των δυο µελών και έχουµε: ln = ln ( )( + ) ( + )( ) ( )( + ) ln = ln ( + )( ) ln = ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln + + + Τώρα παίρνοντας την παράγωγο ως προς και από τα δυο µέλη, έχουµε: = ( ) + + + = + + + Παράδειγµα ο : Να υπολογιστεί η παράγωγος των: α) =, β) e = Λύση: α) = ln = ln ln ln ln = Παίρνοντας την παράγωγο και από τα δυο µέλη έχουµε: = + ( ) ( ln ) ( ) = + ln e β) = e ln ln = ln e ln = + = Παίρνοντας την παράγωγο και από τα δυο µέλη έχουµε: = e + ( ln) ( e )( ) 5

= e ln e = e ln Παράγωγος τριγωνοµετρικών συναρτήσεων d = = cos (συνηµίτονο) d = sin u, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση Ηµίτονο ( sin ) : Αν = sin, τότε ( sin) Γενικότερα, αν ( ) της, τότε d du = cos( u) d d d = = sin Οµοίως, d = cos u, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη Συνηµίτονο ( cos ) : Αν = cos, τότε ( cos) όπως και πριν, αν ( ) συνάρτηση της, τότε Εφαπτοµένη ( tan ) : Αν d du = sin( u) d d είναι η τέµνουσα) Αν ( ) συνάρτηση της, τότε d = tan, τότε = ( tan) = sec, (όπου sec d = tan u, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη d d ( u) du d = sec d = = Αν d = sec u, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση της, τότε Τέµνουσα ( sec ) : Αν = sec, τότε ( sec) ( sec) ( tan) ( ) 5 Συνεφαπτοµένη ( cot ) : Αν είναι η συντέµνουσα) Αν ( ) συνάρτηση της, τότε d du = sec( u) tan( u) d d d = cot, τότε = ( cot) = csc, (csc d = cot u, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη d d ( u) du d = csc 5

d = csc, τότε = ( csc) = ( csc) ( cot) d = csc u, όπου u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση της, τότε 6 Συντέµνουσα ( csc ): Αν Αν ( ) d du = csc( u) cot ( u) d d Οι σχέσεις µεταξύ των πιο πάνω τριγωνοµετρικών συναρτήσεων είναι οι εξής: sin cos α) tan =, β) cot =, cos sin γ) sec = cos, δ) csc = sin Οι αντίστροφες συναρτήσεις των sin, cos, tan, cot, sec και csc είναι οι εξής: (i) - sin ή Arcsin, (ii) - cos ή Arccos, (iii) - tan, ή Arctan, (iv) - cot, ή Arccot, (v) - sec, ή Arcsec, (vi) - csc, ή Arccsc, αντίστοιχα Παράδειγµα : παραστάσεων: Να υπολογιστεί η παράγωγος των τριγωνοµετρικών α) = sin+cos, β) = tan, γ) ( - ) = cot, δ) ( ) cos f = Λύση: α) = sin+cos d d = cos ( ) - sin ( ) = cos - sin d d β) d = d = tan = sec ( ) sec d = d d d ( cos) cos ( ) f = d d -sin cos = γ) = cot ( - ) = -csc ( - ) ( - ) csc ( - ) cos δ) f ( ) = ( ) 55

Στο ο κεφάλαιο είδαµε τις γραφικές παραστάσεις του ηµίτονου και συνηµίτονου Στα παρακάτω σχήµατα (8, 9, 0 και ) βλέπουµε τα γραφήµατα των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων: tan, cot, sec και csc αντίστοιχα f()=tan -π/ -π -π/ π/ π π/ Σχήµα 8 f()=cot -π/ -π -π/ π/ π π/ Σχήµα 9 56

f()=sec -π/ -π -π/ π/ π π/ Σχήµα 0 f()=csc -π/ -π -π/ π/ π π/ Σχήµα 57

5 Παράγωγος αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Όταν γράφουµε τη συνάρτηση = sin, το ηµίτονο εκφράζεται ως συνάρτηση της γωνίας και έτσι, όταν µεταβάλλεται η γωνία, τότε µεταβάλλεται και το ηµίτονο αυτής Με άλλα λόγια, η γωνία είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή και το ηµίτονο η εξαρτηµένη Για να αντιστρέψουµε την πιο πάνω σχέση, δηλαδή για να εκφράσουµε τη γωνία ως συνάρτηση του ηµιτόνου της, αρκεί να θεωρήσουµε τη γωνία ως εξαρτηµένη µεταβλητή και το ηµίτονο ως ανεξάρτητη και στη συνέχεια να λύσουµε ως προς Η σχέση αυτή γράφεται, όπως προαναφέραµε παραπάνω, ως εξής: - = sin ή = Arcsin που σηµαίνει ότι η είναι η γωνία της οποίας το ηµίτονο είναι το Η = Arcsin δεν είναι συνάρτηση, αφού για παράδειγµα αν =, o o o υπάρχουν άπειρα, όπως = 0, = 50, = 90, κλπ, τα οποία έχουν ηµίτονο ίσο µε, ήτοι ισχύει η = Arcsin Για να γίνει αυτή η σχέση συνάρτηση πρέπει να περιορίσουµε το σύνολο από το οποίο παίρνει τιµές η εξαρτηµένη µεταβλητή Τέτοια σύνολα είναι τα διαστήµατα: π π kπ, kπ +, όπου k = 0, ±, ±, π π Για k = 0, η παίρνει τιµές στο κλειστό διάστηµα, µια συνάρτηση τέτοια ώστε: και είναι ) = Arcsin sin =, όπου [, ] π π και, Ονοµάζεται δε αντίστροφη κυκλική συνάρτηση (της τριγωνοµετρικής συνάρτησης "ηµίτονο" µιας γωνίας) k = ± ± ±, όπου [, ] Το ίδιο ισχύει και για όλα τα,,, π π kπ, kπ + και 58

Για τις άλλες αντίστροφες κυκλικές συναρτήσεις έχουµε: ) = Arccos cos ) = Arctan tan ) = Arccot cot =, όπου [, ], [ 0, π ] =, όπου (, ) π π +,, =, όπου (, + ), ( 0, π ) Η παράγωγος των αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων δίνεται από τα ακόλουθα: Έστω ότι u είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση του, τότε d d Arcsinu du = u d α) ( ) d du Arctanu = d + u d γ) ( ) d d Arcsecu ε) ( ) du = u u d d d Arccosu du =, u d, β) ( ) d du Arccotu =, d + u d, δ) ( ) d d Arccscu, στ) ( ) du = u u d Τα γραφήµατα των αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων: Arcsin, Arccos και Arctan βλέπουµε στα σχήµατα (, και ) π/ f()=arcsin - - - -π/ Σχήµα 59

π π/ f()=arcos - - Σχήµα π/ f()=artan - - -π/ Σχήµα 60

Παράδειγµα : Να υπολογιστεί η παράγωγος των αντίστροφων τριγωνοµετρικών παραστάσεων: α) = Arcsin( - ), β) = Arccos, f = a + a Arcsin, a γ) ( ) δ) f ( ) = Arccot +, ε) - sin + = Arctan Λύση: α) = Arcsin( - ) d d ( - ) d = - d ( - ) d = = = d - 9 + - - ( - + ) - -8 β) d d = = d - d - = Arccos ( ) f = a + a Arcsin a γ) ( ) f ( ) = ( a - ) ( ) + a - + a α - ( a ) ( ) - a f = + a - + a - a - a - a f a - a - a - a - ( ) = + + = δ) f ( ) + = Arccot - d + f = - + d - + - ( ) 6

f ( ) = - + + - ( - ) ( + )( ) ( - ) ( ) ( - ) ( ) + ( ) ( ) f = - - + - = - + ε) sin + = Arctan ( + ) = + sin cos + + sin cos = = ( ) + ( )( sin ) + cos + + 6 Ασκήσεις Να υπολογιστεί η παράγωγος των: α) ln = e, β) e = +, γ) f =, ln = e, δ) ( ) ( ) 7 5 = +, στ) q( ) ε) ( ) ( 5) = ( ), ζ) p( u) 0 = u, όπου u t t 5 = 8 + Παραγωγίστε τα ακόλουθα: α) = tan, β) f ( ) = sec, γ) ζ ( θ ) = cscθ, δ) ψ ( ) = sin, ε) ( ) ( ) g = tan -, στ) sin + cos =, ζ) + = Arccot, η) - Arccsc = + - Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων: α) = Arcsin, 6

β) = Arctan, γ) ( - ) = Arcsin, δ) = Arccot, ε) = Arccos, στ) sin + = Arctan Παραγωγίστε τις παρακάτω παραστάσεις: α) + =, β) 5 0 =, + =, γ) ( ) δ) e + =, ε) ln + =, = e, στ) ln( ) 0 ζ) = ( )( + ) e, η) ( ) = ln 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Παράγωγος ανωτέρας τάξης ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Αφού η παράγωγος µιας συνάρτησης είναι µια άλλη συνάρτηση, κατά συνέπεια, έχει και αυτή παράγωγο, την οποία µπορούµε να βρούµε µε τους γνωστούς τρόπους που αναπτύξαµε παραπάνω Η νέα παράγωγος, ως συνάρτηση έχει και αυτή παράγωγο Συνεχίζοντας έτσι, έχουµε κατά σειρά, η παράγωγο, η παράγωγο η κοκ, δηλαδή παραγώγους ανωτέρας τάξης για µια δοθείσα συνάρτηση Αν = f ( ) είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση, τότε οι παράγωγοι µέχρι τετάρτης τάξης της, ως προς, γράφονται: Πρώτη παράγωγος ή f ( ) εύτερη παράγωγος ή f ( ) Τρίτη παράγωγος ή f ( ) Τέταρτη παράγωγος ( ) ή f ( ) ( ) ή d d d ή d d ή d d ή d d d d f d d f d d f d ή f ( ) ή ( ) ή ( ) ή ( ) Παραδείγµατα: α) Αν = + 6 + 5 7, να βρεθεί η β) Για τη συνάρτηση f ( ) = = να υπολογιστεί η + d d, για = γ) Αν g ( ) = ln, να βρεθεί η g ( ) δ) Να υπολογιστεί η για την + = ε) Να υπολογιστεί η d t dr αν r t t = e + Λύση: α) = + 6 + 5 7 = 8 + 8 + 5 Παραγωγίζοντας την παίρνουµε: = + 6 6

Παραγωγίζοντας την παίρνουµε: = 8 + 6 β) f ( ) ( + )( ) ( )( ) ( ) d = = = + d + d 8 = d + ( + ) Παραγωγίζοντας ξανά παίρνουµε: d d = ( + ) ( + 8) ( + 8)( )( + ) ( + ) = ( + ) ( + )( + 8) ( + 8)( ) ( + ) + 8 + 8 + 6 = = ( + ) ( + ) Για =, έχουµε d d ( + ) = = = = 6 6 g = ln g = + ln = + ln γ) ( ) ( ) ( )( ) g ( ) = 0 + = g g = = ( ) = και ( ) δ) Παραγωγίζουµε και τα δυο µέλη της εξίσωσης: + = και έχουµε: + 8 = 0 = = ( ) ( ) ( ) Αφού = = 6 =, αντικαθιστώντας την στην πιο πάνω σχέση παίρνουµε: 65

+ = = = ε) r t t = e + παραγωγίζοντας ως προς r παίρνουµε: dt r t dt t = e + + dr dr r+ t dt e = dr t e r+ t και αφού t = e r+ t έχουµε: dt = t = t dr t t t dt dt t ( t) d t dr dr = dr ( t) dt dt dt dt t + t = dr dr dr = dr ( t) ( t) Αφού dt dr t = έχουµε: t t d t t d t t = = dr ( t) dr ( t) Μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων Κανόνας : Αν για µια παραγωγίσιµη συνάρτηση = f ( ) η πρώτη παράγωγος f ( ) 0 σε ένα διάστηµα I, τότε η f είναι αύξουσα στο διάστηµα αυτό, ενώ αν f ( ) 0 στο I, τότε η f είναι φθίνουσα εκεί Ορισµός : Μια συνάρτηση = f ( ) έχει τοπικό µέγιστο σε ένα σηµείο = 0, αν υπάρχει ένα ανοικτό διάστηµα που περιέχει το 0, στο οποίο ισχύει: f f 0 ( ) ( ) 0 Ορισµός : Μια συνάρτηση = f ( ) έχει τοπικό ελάχιστο στο σηµείο =, αν υπάρχει ένα ανοικτό διάστηµα που περιέχει το 0, στο οποίο ισχύει: 66

( ) ( ) f f 0 0 0 Ορισµός : Μια συνάρτηση = f ( ) έχει ολικό µέγιστο στο σηµείο =, αν f ( ) f ( ), D( f ) 0 Ορισµός : Μια συνάρτηση = f ( ) έχει ολικό ελάχιστο στο σηµείο =, αν f ( ) f ( ), D( f ) 0 Τα τοπικά µέγιστα και ελάχιστα µιας συνάρτησης ονοµάζονται τοπικά ακρότατα Τα δε ολικά µέγιστα και ελάχιστα ονοµάζονται ολικά ακρότατα της συνάρτησης Κανόνας : Αν η συνάρτηση f έχει τοπικό ακρότατο σε ένα σηµείο = 0, = ή η f ( 0 ) δεν ορίζεται (δεν υπάρχει) τότε f ( 0 ) 0 Στο παρακάτω σχήµα βλέπουµε το γράφηµα µιας συνάρτησης f, για την οποία έχουµε: α) Το σηµείο P είναι τοπικό και ολικό µέγιστο, αφού ισχύει, τόσο ο ορισµός, όσο και ο β) Το σηµείο P είναι τοπικό ελάχιστο, αφού ισχύει ο ορισµός, όχι όµως ο γ) Το σηµείο P είναι τοπικό µέγιστο, αφού ισχύει ο ορισµός Στο σηµείο αυτό δεν υπάρχει η παράγωγος f της f Στο σηµείο = P, f ( ) 0 εν υπάρχει η f ( ) στο σηµείο P Στο σηµείο = P, f ( ) 0 f ( ) = ( + ) f ( ) = ( ) f ( ) = ( + ) Σχήµα 67