ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7
Γιάννης Καραγιάννης Τηλ. 468945 -mail: iokaragi@sch.gr ΡΟΔΟΣ Σελίδες: ISSN: Copyright Γιάννης Καραγιάννης Ιανουάριος 7 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Απαγορεύεται η αναπαραγωγή μερική ή ολική έστω και μιας σελίδας του βιβλίου αυτού με οποιαδήποτε μέθοδο (μηχανική, ηλεκτρονική, φωτοτυπική κ.α. -Ν. /9 και 557/97). Οι παραβάτες διώκονται ποινικά.
Λίγα λόγια για τον αναγνώστη Στο παρών -book θα μπορέσετε να δείτε τις απαντήσεις, τις υποδείξεις καθώς και τις πλήρεις λύσεις επιλεγμένων θεμάτων που περιλαμβάνονται στο βιβλίο «Επανάληψη στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου» Συγκεκριμένα θα βρείτε: Κεφάλαιο ο (Θέμα Α) Τις απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης του σχολικού βιβλίου με τις αιτιολογήσεις τους. Τις απαντήσεις στις ερωτήσεις Σωστού-Λάθους των Πανελλαδικών Εξετάσεων. Τον σύνδεσμο για τις απαντήσεις στις ερωτήσεις Σωστού-Λάθους του ΨΕΒ του Υπουργείου. Κεφάλαιο ο - ο -4 ο (Θέμα Β, Γ και Δ) Τις παραπομπές για τις λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου (στο βιβλίο των λύσεων). Τον σύνδεσμο που οδηγεί στις λύσεις των ασκήσεων του ΨΕΒ. Τις απαντήσεις και υποδείξεις καθώς και παραπομπή στις πλήρεις λύσεις των προτεινόμενων θεμάτων. Τις απαντήσεις και υποδείξεις καθώς και παραπομπή στις πλήρεις λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων. Κεφάλαιο 5 ο Τις παραπομπές για τις λύσεις των διαγωνισμάτων. Τις πλήρεις λύσεις των θεμάτων των προσομοιωμένων διαγωνισμάτων. Τις παραπομπές για τις λύσεις των διαγωνισμάτων του ΨΕΒ. Τις πλήρεις και υποδειγματικές λύσεις των θεμάτων των πανελλαδικών εξετάσεων όλων των τύπων Λυκείων του 6 όπως πρέπει να γράφονται στις πανελλαδικές εξετάσεις. Τις παραπομπές για τις λύσεις των προτεινόμενων θεμάτων από την Ε.Μ.Ε..
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Β : ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΘΕΜΑ Γ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΘΕΜΑ Δ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ
Τις απαντήσεις στις ερωτήσεις των παραγράφων.,.,. θα τις βρείτε στο -book της θεωρίας σε μορφή ερώτησης-απάντησης..4. Αντικειμενικού τύπου α. Ερωτήσεις Κατανόησης του Σχολικού Βιβλίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ι. Α/Α Ερώτησης α β Απάντηση Ψ Α Είναι ψευδής, αφού: Είναι αληθής, αφού: Δικαιολόγηση D D D D D f g gof f g,,, D fog Α Ψ και fog f g( ) ln. f ( ) lim l f ( ) g( ), lim g( ) l Είναι Ψευδής, αφού f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) l lim δεν είναι σωτό διότι έχουμε απροσδιοριστία της μορφής. 4 Ψ Είναι Ψευδής, αφού μπορεί να ισχύει και f ( )., Παράδειγμα: f ( ). Είναι, f ( ), ενώ lim f ( ).
5α Α Αληθής αφού: lim lim u u lim u u u 5β Ψ Είναι Ψευδές αφού: lim lim Παρεμβολής είναι lim. 6 Α Είναι Αληθής, αφού : και από το Κριτήριο της f ( ) f ( ) lim και από το κριτήριο της Παρεμβολής προκύπτει lim f ( ). 7 Ψ Είναι Ψευδής αφού το όριο της f μπορεί να μην υπάρχει στο. 8 Ψ Είναι Ψευδής, αφού δεν γνωρίζουμε αν η συνάρτηση f ( ) g( ) είναι ή όχι συνεχής στο 6.
9 Ψ Είναι Ψευδής, αφού το lim f ( ) μπορεί να μην υπάρχει., Παράδειγμα: lim f ( ). Είναι, lim f ( ) lim f ( ) ενώ: lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) Α Προκύπτει ακόμα και με χρήση του Κριτηρίου παρεμβολής, αφού: f ( ) f ( ) f ( ) και Α Είναι Αληθής, αφού : lim( f ( )) lim f ( ). Α Είναι Αληθής, αφού : 7 f (4) lim f ( ) lim 4 4 4 ( 4) lim lim 4 4 4 Η f είναι συνεχής στο [, ] και f ( ) f (). Επομένως από το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχει, τέτοιο, ώστε f ( ). ΙΙ. Α/Α Ερώτησης Απάντηση Ε Ε Δ 4 Γ
ΙΙΙ. Α/Α Ερώτησης Απάντηση Γ Α, Γ, Ε Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι. Α/Α Ερώτησης Απάντηση Δικαιολόγηση Α Αληθής, αφού αν ισχύει f () f () από το Θ. Roll θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, : f ( ), που είναι άτοπο. Α Αληθής, αφού αν ισχύει f ( ) για κάθε a, η f Α Αληθής, αφού για τη συνάρτηση: h( ) f ( ) g( ), [ a, ] ισχύει το Θ. Roll, δηλαδή υπάρχει 4α 4β Ψ Α a, : h ( ) f ( ) g ( ), δηλαδή οι εφαπτομένες στα Α και Β είναι παράλληλες. Είναι: f (, ), f [, ], f (, ) και επομένως η f έχει τοπικό ελάχιστο στο και δεν έχει τοπικό μέγιστο στο.
5α Α Η f θα είναι πολυώνυμο περιττού βαθμού, και άρα θα έχει μία,τουλάχιστον, πραγματική ρίζα. Επομένως η οριζόντια εφαπτομένη. C f θα έχει μία, τουλάχιστον 5β Ψ Η f θα είναι πολυώνυμο άρτιου βαθμού, και άρα δεν θα έχει πάντα πραγματικές ρίζες επομένως και οριζόντιες εφαπτομένες. 6 Α Η f ( ) 6a,. 7 Ψ Αντιπαράδειγμα: Είναι: f ( ), οπότε η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και επομένως έχει πάντα σημείο καμπής. 5, f ( ), g( ). f ( ) 6 g ( ) και f, g έχουν Σ.Κ. Ενώ h( ) 8 h 6 ( ) 56 και η h δεν έχει Σ.Κ. 8 Α Προφανώς το σημείο Α βρίσκεται ψηλότερα (η χαμηλότερα) από τα υπόλοιπα σημεία του άξονα και άρα η f (που είναι παραγωγίσιμη στο ) θα έχει ακρότατο στο. Από το Θ. Frmat θα είναι f ( ) και επομένως έχει οριζόντια εφαπτομένη στο Α.
9α Ψ Ψευδής, αφού: lim f ( ) lim lim( ) 9β Α Αληθής, αφού: lim g( ) lim lim ( ) i. Ψ ii. Ψ lim g( ) lim g( ) Από το σχήμα προκύπτει ότι υπάρχει σημείο με τετμημένη (, 4) το οποίο βρίσκεται ψηλότερα από τα άλλα σημεία της C f και επειδή η f παραγωγίζεται στο (, 4), από το Θ. Frmat θα είναι f ( ). Επομένως το πεδίο ορισμού της (, 4) ούτε το [, 4]. f δεν είναι ούτε το iii. Ψ Ψευδής, αφού τότε η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο [, 4] που δεν είναι αληθές αφού η f είναι και γνησίως φθίνουσα (Σχήμα). iv. Α Όπως το i. α Ψ Ψευδές, αφού f ( ), (,) β Α Αληθές αφού ισχύει το Θ. Bolzano γ Ψ Ψευδές, αφού [ f ( ) και f () ] και f ( ), δηλαδή η f γν. αύξουσα (άρα -) οπότε μοναδική ρίζα στο (, ). f ( ) για κάθε, οπότε δηλαδή η f γν. αύξουσα (άρα - ) οπότε μοναδική ρίζα στο.
Α ( fog) () f ( g()) g () f (5) 6 ( gof ) () g ( f ()) f () g (4) 6 ΙΙ. Α/Α Ερώτησης Απάντηση Β Γ Ε 4 Γ 5 Γ 6 Γ 7 Ε 8 Γ., A, B, ΙΙΙ..,,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α/Α Ερώτησης Απάντηση Δικαιολόγηση Α Αληθές, γνωστή ιδιότητα. Ψ Ψευδές, αφού δεν ισχύει π.χ Ι. f ( ) g( ) c, [ a, ] Α Αληθές, γνωστή ιδιότητα. 4 Ψ Ψευδές, αφού δεν ισχύει π.χ για τη συνάρτηση f ( ) και άκρα a,. Τότε f ( ) d. 5 Α Αληθές, γνωστή ιδιότητα. 6 Ψ Ψευδές, αφού δεν ισχύει π.χ για τη συνάρτηση f ( ) a,. Τότε και άκρα και f ( ),,. f ( ) d 7 Α 4 4 f ( ) g( ) και οι f, g δεν είναι παντού ίσες στο [ a, a], a. 8 Α a a a. a Επομένως: f ( ) d g( ) d d ln ln d 4 4 d ln ln 4 4 d 9 Α ln dt ln tdt ln tdt. t Ψ Ψευδές, αφού για να παριστάνει εμβαδόν
θα έπρεπε να ισχύει, [, ] που δεν ισχύει σε όλο το διάστημα. ΙΙ. Α/Α Ερώτησης Απάντηση Δ Α Β 4 Δ 5 Β 6 Γ ΙΙΙ. Α/Α Ερώτησης Απάντηση Β, Ζ Η αντικατάσταση δεν u είναι σωστή διότι όταν δεν υπάρχει αντίστοιχο u.
β. Ερωτήσεις Θεωρίας κλειστού τύπου Ψηφιακό Σχολείο του Υπουργείου Τις πλήρεις απαντήσεις θα τις βρείτε στο δικτυακό τόπο: http://www.study4ams.gr/math_k/cours/viw.php?id=68.5. Το Θέμα Α των Πανελλαδικών Εξετάσεων Οι ερωτήσεις θεωρίας απαντώνται αναλυτικά στο -book «Θεωρία: Ερωτήσεις- Απαντήσεις» σε μορφή ερώτησης-απάντησης. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Αρ. Ερώτησης Απάντηση Αρ. Απάντηση Αρ. Απάντηση Ερώτησης Ερώτησης Λ 7 Λ 7 Σ Λ 8 Σ 74 Λ Σ 9 Σ 75 Σ 4 Λ 4 Λ 76 Σ 5 Σ 4 Λ 77 Σ 6 Σ 4 Σ 78 Λ 7 Λ 4 Λ 79 Λ 8 Λ 44 Σ 8 Λ 9 Σ 45 Λ 8 Λ Σ 46 Σ 8 Σ Σ 47 Λ 8 Λ Λ 48 Σ 84 Σ Σ 49 Λ 85 Σ 4 Σ 5 Σ 86 Λ 5 Σ 5 Λ 87 Σ 6 Λ 5 Λ 88 Σ 7 Σ 5 Λ 89 Σ Ελεγξτε την αρίθμηση από την ερώτηση και μετά να είναι η ορθή στο βιβλίο (έχει διορθωθεί σε νεότερη έκδοση-η και η ).
8 Σ 54 Σ 9 Λ 9 Λ 55 Σ 9 Σ Σ 56 Σ Λ 57 Λ Σ 58 Σ Σ 59 Λ 4 Σ 6 Σ 5 Σ 6 Σ 6 Λ 6 Σ 7 Σ 6 Σ 8 Σ 64 Λ 9 Σ 65 Λ Λ 66 Λ Σ 67 Σ Σ 68 Σ Λ 69 Σ 4 Λ 7 Λ 5 Σ 7 Λ 6 Σ 7 Λ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΘΕΜΑ Β
.. Σχολικού βιβλίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο (Όριο-Συνέχεια συνάρτησης) Άσκηση Στο σχολικό βιβλίο Παράγραφος Α. 6Α. Α. 4 Α. 5 5Β. 6 Β. 7 7Α. 8 8Α. 9 9Α. Α. Α. 7Β. 6Β. 4 8Β. 5 Β. 6 4Β. 7 4Α. 8 5Α. 9 9Β....4 4.4 4.4 5.4 6 Β.5 7 Β.7 8 Β.7 9 4Β.7 Α.8 Β.8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο (Διαφορικός Λογισμός) Άσκηση Στο σχολικό βιβλίο Παράγραφος 5Β. 8Β. 9Β. 4 4Β. 5 4 Α. 6 5Β. 7 7Β. 8 9Β. 9 Β. Β. 8Β.4 Β.5 4Β.5 4 5Β.5 5 6Β.5 6 7Β.5 7 5Β.6 8 7Β.6 9 8Β.6 Β.7 Β.7 Β.7 5Β.7 4 8Β.7 5 4Β.8 6 5Β.8 7 4Β.8 8 5Β.8 9 5Β.9 6Β.9 Α. Α. Γ Γενικές 4 7Γ Γενικές
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο (Ολοκληρωτικός Λογισμός) Άσκηση Στο σχολικό βιβλίο Παράγραφος.4 Α.5 Α.5 4 Α.5 5 4Α.5 6 6Α.5 7 7Β.5 8 8Β.5 9 9Β.5 Β.5 Β.5 Β.5 Β.7 4 4Β.7 5 5Β.7 6 6Β.7 7 7Β.7 8 8Β.7 9 9Β.7 Β.7 Β.7 Β.7.. Ψηφιακού βοηθήματος Τις πλήρεις λύσεις θα τις βρείτε στο δικτυακό τόπο: http://www.study4ams.gr/math_k/cours/viw.php?id=68
Θέμα.. Προτεινόμενα Προσομοίωση 4, θέμα Β Απάντηση-Υπόδειξη Β. Θεωρούμε την g( ) η οποία είναι «-». g f ( ) g( ) f ( ) κλπ. Β. μοναδική. Β. Βλέπε Β Β4. (, ) (, ). Προσομοίωση, θέμα Β. 4 Θ.Μ.Τ. για την f στο [ a, ] Εφαρμογή ορισμού της μονοτονίας της f. 5 Προσομοίωση, θέμα Β. 6 Β. f γνησίως μονότονη. Β.. Β.. 7 Β. 4. Β.. Β. Δεν είναι συνεχής στο. 8 Β. Γνησίως αύξουσα στο,. 9 Β. Είναι κοίλη χωρίς Σ.Κ.. Β4. Μοναδική λύση για κάθε. Β. i. ii. Β. 9,. Β. lim f ( ) αν. Δεν υπάρχει αν λ=. lim g( ) αν. Δεν υπάρχει αν. Β. f «-» Β. Θέτω f ( ) u. Β. τ.μ.
.4. Πανελλαδικών Εξετάσεων. Β. Β. lim f ( ), lim f ( ).. Β. lim f ( ) lim f ( ) f () 9a a. 9 Β. y 5. Β. 7 7 τ.μ.. Β. (, ), (, ), (, ) Β. y 6 Β. 4. Β.. Β. y 7. 5. Β. f «-» με f ( ) ln, (, ). Β., μοναδική αφού f «-». Β. θέτουμε u κ.λ.π. f f (, ]. [, ) 6. Β. 7. Β. D f Β. f lim ( ) ( ) Β. (, ) f ( ) ln,, f,, f, Τοπικό ελάχιστο στο, f. 4 6 f ( ), ( ) Β. f,, f,, Σ.Κ. το M,. Β. Σ.Τ.=, +. 8. Β. m= B. E f ( ) d. 9. B. lim f ( ) lim f ( ) f () 7 6 κ κ. B. y 8. Β.
. B. f () κ B. f ( ),. B. Bolzano και f.. Β. f συνεχής στο. Β. f,, f, Β. Όχι, δεν είναι παραγωγίσιμη στο.. Β. Χρήση του ορισμού. Β. f ( ),.. Β. f ( ) Β. u Β. 4. Β. f συνεχής και παραγωγίσιμη στο Β. Β. lim f ( ) y 5. Β. α. f συνεχής στο β. όχι παραγωγίσιμη στο. Β. y. 6. Β. Πρέπει f (),. Β. α. f, και στο,, f, και στο,. Τοπικό μέγιστο στο, το f ( ), τοπικό ελάχιστο στο, το f () 5. β., y. γ.. 7. Β. ( )( )( ) f ( ), (, ) f Δ f Δ (, ] [, ) Δ f (, ) f ( ) f Δ [, ) Β. Πρέπει f ( ). Έχουμε:
f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) f () άρα Df. (ή αλλιώς η f έχει ολικό ελάχιστο στο, το f () άρα για κάθε (, ) έχουμε f ( ) άρα Df ). Β. f ( ) f ( ) f f ( ) f f ( ) f f ( ) f () Β4. Θεωρούμε τη συνάρτηση 5 4 h( ) f ( ) f ( ) 5,, και εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano στο,, και h() h αφού h( ) συνεχής στο 8-: Τα θέματα αυτά είναι από τις πανελλαδικές εξετάσεις Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων 6 και μπορείτε να δείτε τις πλήρεις αναλυτικέςυποδειγματικές λύσεις τους στο κεφάλαιο 5 ο.
.5. Διαγωνίσματα επιπέδου θέματος Β Διαγώνισμα ο Διαγώνισμα ο Διαγώνισμα ο ΘΕΜΑ ο : Θέμα 4 της. (Κεφάλαιο ο ) ΘΕΜΑ ο : Θέμα 4 της. (Κεφάλαιο ο ). ΘΕΜΑ ο : Θέμα 9 της. (Κεφάλαιο ο ). ΘΕΜΑ ο : Θέμα της. ΘΕΜΑ ο : Θέμα 5 της.4 ΘΕΜΑ ο : Θέμα 8 της.4 ΘΕΜΑ ο : Θέμα 9 της. ΘΕΜΑ ο : Θέμα 5 της. ΘΕΜΑ ο : Θέμα 9 της.4. Το θέμα στην παλαιότερη έκδοση έχει αντικατασταθεί.
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΘΕΜΑ Γ
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο.. Σχολικού βιβλίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο (Όριο-Συνέχεια συνάρτησης) Άσκηση Στο σχολικό βιβλίο Παράγραφος 7Β.8 8Β.8 9Β.8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο (Διαφορικός Λογισμός) Άσκηση Στο σχολικό βιβλίο Παράγραφος 6 Γενικές 8 Γενικές 9 Γενικές 4 Γενικές 5 Γενικές ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο (Ολοκληρωτικός Λογισμός) Άσκηση Στο σχολικό βιβλίο Παράγραφος Γ Γενικές 4Γ Γενικές 9Γ Γενικές 4 Γ Γενικές.. Ψηφιακού βοηθήματος Τις πλήρεις λύσεις θα τις βρείτε στο δικτυακό τόπο του Ψηφιακού Εκπαιδευτικού Βοηθήματος του ΥΠ.Π.Ε.Θ: http://www.study4ams.gr/math_k/cours/viw.php?id=68
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Θέμα Απάντηση-Υπόδειξη ο Προσομοίωση, θέμα Γ ο Προσομοίωση, θέμα Γ 5 ο Προσομοίωση, θέμα Γ 7 ο Προσομοίωση 4, θέμα Γ 9 ο Προσομοίωση 5, θέμα Γ.. Προτεινόμενα Θέμα ο (Πλήρης Λύση). Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ), [, ]. Εφαρμόζουμε το Θ. Bolzano για την g στο [, ] Η g είναι συνεχής στο [, ] (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] ). g() g ( ) a Άρα υπάρχει a (, ) τέτοιο, ώστε g( a) a. Η g είναι είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο ) με g ( ) για κάθε και επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο άρα και «-», δηλαδή η η g έχει μοναδική ρίζα την a. Γ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο ) με f ( ),. Άρα f ( ) g( ) και η g έχει μοναδική ρίζα την a. Έχουμε: a g( ) g( a) f ( ) Δηλαδή η f f, a a, a το f ( a) a (). Όμως έχουμε: a g( ) g( a) f ( ) και επειδή είναι συνεχής παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο a a g( a) a a (),
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Άρα η () δίνει: f a a a ( ) Άρα έχουμε: f ( ) f ( a) f ( ) για κάθε. Γ. Είναι: lim Αν Δ,,, Είναι: και lim. θα έχουμε: f ( f ( ) ),, (, ) Επομένως: και 7 6. 7 ), άρα υπάρχει 6 f (Δ 7 τέτοιος, ώστε f (ρ ) και είναι μοναδικός αφού η f ως γνησίως φθίνουσα στο είναι και «-». 7 ), άρα υπάρχει 6 f (Δ 6 7 τέτοιος, ώστε f (ρ ) και είναι μοναδικός αφού η f ως γνησίως φθίνουσα στο είναι και «-». Επομένως η f έχει δύο ακριβώς ρίζες, τις,. Γ4. Η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε γράφεται διαδοχικά: 6 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στα διαστήματα (, (, και, ξ ),, ) με:, έχουμε ότι υπάχουμε αντίστοιχα f (ξ ) f ( ) f ( ) και ( ) f (ξ ) f ( ) f ( ) ( ) ( )
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Έτσι η προς απόδειξη σχέση () γίνεται f (ξ ) f (ξ ), η οποία είναι αληθής αφού: ξ f (ξ ) f (ξ ), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα με f ( ) ( t) Γ5. Έχουμε ότι y( t) ( t) ( t), t (). Τα μέλη της σχέσης () είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις για κάθε t (ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων για κάθε t ). Επομένως έχουμε: y t ( t) ( t) ( t) ( t) y t ( t) ( t) ( t ) ( t) ( ) ( ) () Για t t t a. ( ), Η σχέση () για t t γίνεται: t y t ( t ) t ( ) ( ) ( ) ( t Ισχύει ακόμα ότι ) a ( t ) a (4). Η σχέση (), λόγω της σχέσης (4) γίνεται y ( t ) ( t ). Επομένως y ( t ) και άρα υπάρχει χρονική στιγμή t κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής μηδενίζεται. Θέμα 4 ο (Υπόδειξη) f () Γ. Για f ().Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ), και μελετούμε την μονοτονία και τα ακρότατα οπότε f (). Γ. Με άτοπο. Έστω ότι η f έχει ακρότατο στο ρ άρα f (ρ). Παραγωγίζοντας τη δοθείσα σχέση.... Γ. Είναι f ( ) για κάθε.η f ( ) έχει σταθερό πρόσημο και από το Θ.Μ.Τ. του f ( ) f () διαφορικού λογισμού στο [, ] έχουμε f ( ), (, ). Άρα f ( ) και επομένως f. Γ4. ) ) f f f f ( ( ln ) ( ( ln ) ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) ln, και μελετούμε την μονοτονία και τα ακρότατα.
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Θέμα 6 ο (Πλήρης Λύση) Γ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με f ( ),. Ακόμα: Άρα: f ( ), και άρα f γνησίως αύξουσα στο με f ()=. f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ [, ) και γνησίως φθίνουσα στο, και επειδή είναι συνεχής έχει ολικό ελάχιστο στο f () g( a). Γ. Θα μελετήσουμε την συνάρτηση g για να βρούμε τις πιθανές ρίζες της παράστασης g( a). Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με Ο επόμενος πίνακας είναι ο πίνακας μεταβολών της g : ln g ( ),. g ( ) + g( ) Επειδή η g είναι συνεχής στο παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο,το g() και άρα έχουμε: Για a g( a). g( ) g() g( ) g( ), Θα βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f : Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ θα είναι: f ( Δ ) [ f (), lim f ( )) [ g( a), ),
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο g( a) αφού lim f ( ) lim, διότι: και lim lim και σύμφωνα με το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε g lim. Επίσης lim ( a ). Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο θα είναι: ( ) [ f Δ f (), lim f ( )) [ g( a), ) g( a) αφού lim f ( ) lim, διότι: και lim lim και σύμφωνα με το g κριτήριο της παρεμβολής έχουμε lim. Επίσης lim ( a ). Επομένως διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Για g( a) g( a), τότε: f (Δ ), και (Δ ), f. Είναι f (Δ ) και επομένως υπάρχει Δ τέτοιο, ώστε f ( ) το οποίο είναι μοναδικό αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ άρα και «-». Για a, τότε g( a), τότε f (Δ ) και f (Δ ) Δ τέτοιο, ώστε και επομένως υπάρχει f ( ) και Δ τέτοιο, ώστε f ( ) τα οποία σε κάθε περίπτωση είναι μοναδικά, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ άρα και «-». Επομένως έχουμε ακριβώς ρίζες. Γ. i. Αν, τότε f ( ),. Έστω (, y ) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Μ είναι: f (ε): y y f ( )( - ) Αφού το σημείο (, ) ανήκει στην (ε) είναι: ) f ( f ( )( )
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Θεωρούμε τη συνάρτηση K( ), η οποία είναι συνεχής στο (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων ). Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση K( ) έχει δύο ρίζες. Η K( ) είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων). με K ( ) ( ),. Επειδή ισχύει για κάθε έχουμε: K ( ), οπότε η ( ) και K είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, K ( ), οπότε η K( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο., Άρα η συνεχής συνάρτηση K( ) έχει ολικό ελάχιστο στο, το (). Είναι (Δ ) και (Δ ),,. Επειδή (Δ ) και (Δ ) θα έχουμε ρίζες Δ, Δ οι οποίες είναι μοναδικές αφού η K( ) είναι γνησίως μονότονη στα Δ και Δ. Επομένως υπάρχουν δύο εφαπτομένες. ii. Είναι f ( ),. Αφού το ( ), ( ) N t y t ανήκει στη γραφική παράσταση της f είναι y( t) ( t) ( t), ( t) (, ), t (Ι). Τα μέλη της σχέσης (Ι) είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις του t, οπότε έχουμε: Για t t έχουμε: y ( t) ( t) ( t) ( t) ( t), t y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) -, [,]. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano και έχουμε: Η h είναι συνεχής στο διάστημα [,] (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο[,] ). h() h() Επομένως υπάρχει ένα,τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε h( ). Όμως επειδή η h είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο στο ) με h ( ), δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο άρα και συνάρτηση «-», οπότε η ρίζα της (, ) είναι μοναδική. Γ4. Θεωρούμε το διάστημα [, ],. Με εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού για τη συνάρτηση g στο διάστημα [, ], έχουμε: Η g είναι συνεχής στο [, ],, Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ), Άρα υπάρχει ένα,τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: g( ) g( ) ln g ( ) g( ) g( ) Έχουμε: με, και από το κριτήριο της παρεμβολής θα είναι. Επομένως: ln lim [ g( ) g( )] lim lim lim Θέμα 8 ο Γ. (Υπόδειξη) ( f ( )) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Η f έχει ακρότατο στο Για f ( ) f ( ) () a η δοσμένη σχέση δίνει: a και άρα f ( a), οπότε η () δίνει f ( a) a. f a af a a a ( )) ( )... Γ. Παραγωγίζοντας την σχέση () και υποθέτοντας ότι η f έχει Σ.Κ. στο ρ (, ) καταλήγουμε σε άτοπο. Γ. i. Ισχύει f ( ), [, ] και η f ( ) συνεχής στο [, ] οπότε η f ( ) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [, ] και η f είναι γνησίως μονότονη, οπότε η f είναι «-». Αν υπάρχει λ [, ] με: Στην πραγματικότητα ( ),.
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο f f f f f f f, Τότε από την εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. για την f στα καταλήγουμε σε άτοπο. ii. Αφού η η f είναι γνησίως μονότονη, διακρίνουμε τις περιπτώσεις:, και, f και f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ). Ολικό έλαχιστο στο..και έχουμε f ( ), [, ]. Όμως f (), άτοπο. f... στο ολικό μέγιστο άρα: Θέμα (Πλήρης Λύση). f ( ) f ( ) ( f ( ) ) d... f ( ) d 4 Γ. α. Αφού το σύνολο τιμών της συνεχούς συνάρτησης f είναι το [, 4] η f θα έχει μέγιστη τιμή το 4 και ελάχιστη τιμή το -. Επομένως υπάρχουν αντίστοιχα, τέτοια, ώστε: f ( ) 4, f ( ). Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο και τα, (εσωτερικά σημεία του ), σύμφωνα με το θεώρημα του Frmat θα έχουμε f ( ), f ( ). Επομένως η f ( ) έχει τουλάχιστον ρίζες, τις,. β. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα,τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) f ( ), (παρατηρώ ότι ( ) f ( ) f ( ) ). Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την στο διάστημα [, ] (χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ). Έχουμε: Η Κ είναι συνεχής στο [, ] (ως παραγωγίσιμη στο άρα και στο [, ] ). Η Κ είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (ως παραγωγίσιμη στο άρα και στο (, ) ) με ( ) f ( ) f ( ). Όχι απαραίτητα μοναδικά. Μπορούμε, για λόγους πληρότητας, να επαναλάβουμε ολόκληρη τη διαδικασία στο διάστημα [, κ].
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Άρα υπάρχει ένα,τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) ( f ( ) f ( ) f ( ) f ( )) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) f () ( ) f ( ),. Η Φ είναι συνεχής στο (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο ). Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bolzano για την Φ στο διάστημα [, ] (χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ). Η Φ είναι συνεχής στο διάστημα [, ] (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο, άρα και στο διάστημα [, ] ). ( ) (κ) ) ( ) ) ( ) 4 ) (αφού f ( ) f ( f ( f ( και f ( ) 4 ). f ( f ( f ( ( ) (λ) ) ( ) ) ( ) ) (αφού f ( ) και f ( ) ). Επομένως υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) f f f f ( ) ( ) ( ) ( )=( ) ( ), δηλαδή η εξίσωση f ( ) ( ) f ( ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα.
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο.4. Πανελλαδικών Εξετάσεων. Γ. lim f ( ) f ( ) a, lim Γ., 5 5. Γ. lim f ( ).. Γ. 4 Γ. a Γ. Είναι f ( ) g( ), ( a) a, όπου g( ) a a,. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Bolzano για την g στο διάστημα [, ] αφού η g είναι συνεχής στο [, ] (ως πολυωνυμική) και g() a, g() a. Επομένως υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε: ) g ( f ( ) 4. Γ. Από το Θ.Ε.Τ. έχουμε: (, 4) και η είναι συνεχής στο διάστημα [, ] (ως παραγωγίσιμη στο [, ]). Γ. Έστω, M το ελάχιστο και το μέγιστο της f στο [, ] (υπάρχουν αφού η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ]). Τότε, M 4 (αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ]). Έχουμε: f f f f 4 5 4 5 4 5 4 4 5 Με πρόσθεση κατά μέλη των προηγούμενων σχέσων έχουμε: 4 5 5 5 5 f f f f 4 4 4 Έχει υπάρξει διόρθωση σε νεότερη έκδοση: «... f () 4...»
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο 4 f f f f 5 5 5 5 4, δηλαδή η=, 4. Επομένως υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε : 4 5 5 5 5 f f f f f ( ) 4 Γ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f ( ) ( αφού ο ). συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας y είναι Από το Θ.Μ.Τ. (ελέγχουμε τις προϋποθέσεις) υπάρχει, τέτοιο, ώστε: Όμως η ευθεία f () f () 4 f ( ) 4. Γ. lim f ( ) Γ. f ()= h () 5. Γ. Αν υποθέσουμε ότι η f έχει ακρότατο στο f ( )=. Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση καταλήγουμε σε άτοπο. Γ. f ( ),. Γ. f (), f () εφαρμογή θεωρήματος Bolzano και f γνησίως μονότονη. 6. Γ. (d Hospital) Γ. Βρίσκουμε lim f ( ) και είναι: f lim ( ) lim ( ) f () a a f Γ. Θεώρημα Roll για την f στο [, ] 7. Γ. Εφαρμογή των ορισμών της «-». Γ. Βρίσκουμε τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της h( ) 8. Γ. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο και f «-». Είναι f (, ) και f (, ). Γ. ( ) ( ) f f. Θέτουμε g( ),
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο 9. Γ. αποδεικνύουμε ότι g( ), αφού μελετάμε μονοτονία-ακρότατα. Γ. y f ( ) Γ. y Γ. lim f ( ) f ( ) lim f ( ) ln ln f ( ) Γ4. d d. Γ. lim f ( ) lim f ( ) f (5) 5 5 5 Γ. f (5)=. Γ. y 5 Γ4. Τοπικό ελάχιστο στο, το f ().. Γ. Θεώρημα Roll για την g στο a a a Γ. ( ) 7a 7 4 Γ.. Γ. Θεώρημα Frmat f ( ).,. Γ. f (, ), f (, ), f (, ). Γ. Τ.Ελάχιστο στο - και Τ. Μέγιστο στο. Γ4. Θεώρημα Bolzano για την f στο [, ] και f -.. Γ. f ( ), Γ. Η εξίσωση y ( ) επαληθεύεται για, y το σημείο επαφής. Είναι M,.... Γ. d. όπου M, f ( )
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο ( - ) Γ4. I lim lim ( ) 4 λ 4. Γ. Έστω ότι η συνάρτηση f δεν είναι «-». Τότε υπάρχουν a, με, ώστε f ( a) f ( ). Εφαρμόζοντας το Θ. Roll για την f στο [, ] έχουμε: f συνεχής στο [, ] (ως παραγωγίσιμη στο [, ] ) f παραγωγίσιμη στο (α,β) (ως παραγωγίσιμη στο [, ] ) f ( a) f ( ) Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) το οποίο είναι άτοπο αφού από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι f ( ) για κάθε. Επομένως η f είναι «-». Γ. Είναι f () 5 f ( ) Έχουμε διαδοχικά και ιοδύναμα (η f υπάρχει διότι η f είναι «-») 4 f ( 8) f 4 f ( 8) f ( ) f ( 8) 5 f f ( 8) () 8 9 ή Γ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε: f ( ) ( f ( ) ), δηλαδή f ( ) 668 Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα [, ] : Η f είναι συνεχής στο [, ] (διότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ) Η f είναι είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (διότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ) Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: f () f ( ) 5 f ( ) f ( ) f ( ) 668 Επομένως υπάρχει σημείο Μ της κάθετη στην ευθεία (ε) C f, στο οποίο η εφαπτομένη της C f στο Μ να είναι
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο 5. Γ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ) ) με Έχουμε: f ( ),. f ( ) f ( ) Ο πίνακας μεταβολών της f είναι ο επόμενος: f ( ) f ( ) f ( ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και γνησιως φθίνουσα στο (, ] και επειδή είναι και συνεχής στο θα έχει ολικό ελάχιστο. Άρα: f ( ) f () f ( ), (, ) T.E. Γ. Η C f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα y y ( ) αφού: f ( ) ( lim lim ln ) Δεν έχει πλάγιες και οριζόντες ασύμπτωτες αφού: f ( ) ln ln lim lim lim Γ. i. Για να είναι η g συνεχής στο (, ) αρκεί να είναι συνεχής στο σημείο (αφού στα άλλα σημεία η η g συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο (, ) ). Άρα πρέπει να ισχύει: Έχουμε: lim g( ) g() κ ()
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο ln ln lim g( ) lim g( ) lim lim lim lim ( ) ln f Επομένως. ii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για την g στο διάστημα [, ] : Η g είναι συνεχής στο [, ] (αφού για κάθε είναι συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων και στο είναι συνεχής όπου από το ερώτημα Γ i.). g() g( ) Επομένως υπάρχει ένα,τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε g( ). 6. Γ. Ισχύει f ( ) f () για κάθε. Δηλαδή η f έχει ακρότατο στο και f ( ) ln a,. Από το θεώρημα του Frmat (αφού ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του) θα είναι f ()= ln a a. Γ. α. Για a είναι: f ( ), f ()=, ( ) β. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και f ()= : f ( ) f () f ( ). f ( ) f () f ( ) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ).
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) ( )( f ( ) ) ( )( f ( ) ), [, ] και εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για την g στο [, ] : Η g συνεχής (αποτέλεσμα πράξεων συνεχών στο [, ] ) g() f ( ) g() f ( ) διότι f ( ) και f ( ) αφού ισχύει f ( ) f () για κάθε. Άρα η δοθείσα εξίσωση έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο (, ). 7. Γ. Έχουμε: Άρα: Επομένως. Γ. α. Είναι: ( ) ( ) f ( ) ln ln lim lim ln( ), f ( ) lim ln, f ( ) ln( ) ln( ), A (, ) και f ( ), A ( )( ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Επομένως: με f A f f ( ) (lim ( ), lim ( )) lim f ( ), lim f ( ) lim ln Άρα f ( A) (, ). β. Η y (άξονας ) είναι οριζόντια ασύμπτωτη της και η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f (διότι. C στο (διότι lim f ( ) ) f lim f ( ) ).
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο γ. Η εξίσωση f ( ) a έχει μοναδική λύση, διότι: f ( ) a (, ) f ( A) για κάθε a και επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη άρα και «-». 8. Γ. f ( ) ( ),. Άρα f γνησίως αύξουσα στο. Γ. Θεώρημα Bolzano στο [, ]. Γ., 4 Γ4. 9. Γ. Έχουμε διαδοχικά: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f f c ( ) ( ) f ( ) ( ) () Για είναι c c. Επομένως από την σχέση () έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), () Θα εξετάσουμε το πρόσημο της συνάρτησης h( ),. Η h( ) είναι παραγωγίσιμη για (ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων για ) h ( ),. Είναι: h ( ) h ( ) h ( ) με Επειδή η συνάρτηση h( ) είναι και συνεχής στο είναι : Γνησίως φθίνουσα στο, και Γνησίως αύξουσα στο, Η h( ) είναι συνεχής στο. Επομένως η h( ) έχει ολικό ελάχιστο στο, δηλαδή h( ) h(),, δηλαδή για κάθε.
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Άρα από τη σχέση () έχουμε Τώρα έχουμε διαδοχικά: f ( ),. f ( ) f ( ) f ( ) ln f ( ) ln c, Για είναι c c. Επομένως από την σχέση () έχουμε f ( ) ln f ( ) ln,, αφού για κάθε ή. Γ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με f ( ),. Έίναι: f ( ) f ( ) f ( ) Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο, το f () (επειδή η f είναι και συνεχής στο ). Γ. Η f είναι παραγωγίσμη στο (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με ( ) f ( ),. Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση ( ) έχει ακριβώς δύο ρίζες. Θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση K( ) ( ), η οποία είναι παραγωγίσιμη (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με: Έχουμε: ( ) ( ) K,. K ( ) K ( ) K ( )
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Άρα η K( ) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Έχει ολικό μέγιστο στο σημείο το K(). Θα βρούμε τις εικόνες K (,], [, ) αφού: K.Έχουμε: K K K K K K (,] lim ( ), (), [, ) lim ( ), (), lim K( ) lim ( ) lim lim lim lim K( ) Επειδή, και, η K( ) έχει μία ρίζα στο (,] και μία ρίζα στο [, ), οι οποίες είναι μοναδικές, επειδή η K( ) είναι «-» στα διαστήματα αυτά (ως γνησίως μονότονη στα διαστήματα, και, αντίστοιχα). Για να αποδείξουμε όμως ότι τα σημεία A, f ( ) και B, f ( ) είναι σημεία καμπής της C f πρέπει να αποδείξουμε ότι η f ( ) (ισοδύναμα η K( ) ) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν των,. Έχουμε: K( ) K( ) K( ) f ( ) K( ) K( ) K( ) f ( ) K( ) K( ) K( ) f ( ) K( ) K( ) K( ) f ( ) Επομένως η f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής τα, και, Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση του Bolzano έχουμε: Η h( ) είναι συνεχής συνάρτηση στο συναρτήσεων).. h( ) ln,,. Από το θεώρημα, (ως πράξεις και σύνθεση συνεχών
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο h() h f (διότι f f, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) ). Άρα h() h. Επομένως υπάρχει, τουλάχιστον ένα,, τέτοιο, h( ) ln. Για τη μοναδικότητα του ώστε αποδείξουμε ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως μονότονη (ή «-» με τον ορισμό). Η h είναι παραγωγίσιμη στο (ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με h ( ) f ( ),. Είναι h ( ) για κάθε,, διότι είναι f ( ) και για κάθε,. Άρα το είναι μοναδικό.. Γ. ( t) 6, οπότε ( t) 6t c. Όμως () c. θα Γ. Έστω, A y. Είναι y και ( ) : y ( ) (Ι) Η εξίσωση (Ι) αληθεύει για, y άρα: ( )... 4 ( t) 46t 4t min 5sc 4 4 Γ. E(Ω) d.... 4. Γ4. Είναι M (, y) M (6 t, 4 t ), οπότε έχουμε: d( t) 56 t (4 t ), t και d (t)= 56 t 8, t t
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Θέτουμε g( t) 56t 8 και εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano στο αφού g, g 64 4 t 4 68. Άρα υπάρχει t t g ( t) 56 g και συνεχής στο t. Είναι: t t t t g( t) g( t ) d ( t ) t t g( t) g( t ) d ( t ) Άρα η d( t ) έχει ελάχιστο στο t,, 64 4 4. Γ. Έχουμε διαδοχικά και ισοδύναμα:, 4 64, : g( ) 64 4 και ( ( ) ) ( ( ) ) ' ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) f f f f c Για c και άρα ( f ( ) ). Θέτουμε h( ) f ( ), και έχουμε h ( ),. Η h( ) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, αφού είναι συνεχής στο (ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων στο ) και δεν έχει ρίζες αφού h ( ) h( ) για κάθε. Επειδή h() f () θα είναι h( ) για κάθε. Επομένως για κάθε έχουμε: h( ) f ( ) f ( ), Γ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων-σύνθεσης παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: f ( ) ) διότι έχουμε διαδοχικά: για κάθε (αφού και για κάθε άρα. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο άρα και «-», οπότε: f ( g( )) f () g( ) Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της. Η g είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική με:
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο ( ) ( ) g, Έχουμε: g ( ), g ( ) Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ] και [, ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, ]. Έχουμε: g g (, ) lim g( ), g( ), (, ) g(), lim g( ), [, ] (), ( ) g g g Επειδή μόνο g [, ), η g έχει μία ρίζα στο (, ) και είναι μοναδική αφού η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) άρα και «-».. Γ. Η δοθείσα γράφεται: ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) c, c Άρα f ( ),. Γ. Η ευθεία y στο και στο. Γ. Η f είναι γνησίως αύξουσα οπότε η ανίσωση δίνει: Τελικά [, ] 5( ) 8 8( ) 5y 8y 8 ( y ). Γ. Είναι: 4 f ( ) a, και ( ) Γ. i. Για έχουμε f ( ) f () f ()...,. ( ) Μονοτονία: f, και στο, ενώ, f., κατακόρυφη ασύμπτωτη Ακρότατα: Τοπικό μέγιστο στο, το ( ) f () 5 ii. lim f ( ) lim f ( ). y πλάγια ασύμπτωτη στο και στο f και τοπικό ελέχιστο στο, το
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο iii. 4. Γ. h ()=, h ()=,. Άρα η h είναι κυρτή στο. Γ. Αφού η h είναι γνησιώς αύξουσα έχομε διαδοχικά και ισοδύναμα: h Γ. h ( ) ln h() h ( ) h ( ) h () ( h ) Η y είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο αφού: lim h( ) lim ln Η y είναι πλάγια ασύμπτωτη στο αφού: h( ) lim... lim - h( ) -... 5. Γ. Για να είναι η συνάρτηση f συνεχής στο σημείο θα πρέπει να ισχύει: Έχουμε: ln lim f ( ) f (). lim f ( ) lim () και θέτουμε ln u. Έτσι όταν τότε ln lim lim ln ( ) ( ). Άρα u και το όριο () γίνεται: u lim f ( ) lim u και άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο. Γ. Η συνάρτηση ln f ( ), είναι παραγωγίσμη στο (, ) με παράγωγο:
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Τώρα έχουμε: και έτσι: ln ln ln ln f ( ),. f ( ) ln ln f ( ) f ί ί ί [, ) f ( ) f ί ί αύξουσα (, ] Ο πίνακας προσήμου της f ( ) είναι: + f ( ) + f ( ) Άρα 5 η f έχει ολικό μέγιστο στο, το f ( ), και ολικό ελάχιστο στο, το f (), (αφού η f είναι συνεχής και στο ). Άρα f () f ( ) f ( ) για κάθε ή f ( ) για κάθε και άρα το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα [, ]. Γ. i) Έχουμε τις διαδοχικές ισοδυμαμίες: ln ln 4 4 f f 4 4 ii) H εξίσωση 4 έχει προφανώς ρίζες το και το 4 ( αφού αντίστοιχα: και ln ln 4 4 4 ( ) (4) 4ln ln 4ln ln 4 4 4 4 6 4 4 4 4 ). Αν τώρα υποθέσουμε ότι έχει και άλλη ρίζα, έστω με, 4, τότε αυτή θα είναι ρίζα και της ισοδύναμής της εξίσωσης f ( ) f (4), δηλαδή της συνάρτησης g( ) f ( ) f (4), (χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω 5 Μπορώ και με την μονοτονία της συνάρτησης να βρώ το σύνολο τιμών( αφού η f είναι συνεχής), δηλαδή [ f (), f ( )] (lim f ( ), f ( )] [, ] (, ] [, ]
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο 4. Όμοια και γιατις άλλες περιπτώσεις). Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Roll στα διαστήματα [,4] και [4, ],αφού σε κάθε ένα από αυτά η g( ) είναι προφανώς παραγωγίσιμη, θα έχουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον ένα (, 4) g ( ) και τουλάχιστον ένα (4, ) τέτοιο ώστε g ( ). Άρα έχουμε: ln ln g ( ) f ( ) ln ln g ( ) f ( ), τέτοιο ώστε δηλαδή που είναι άτοπο (αφού έχουμε ) και άρα η δοθείσα εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες τις και 4. 6. Γ. f ( ) ( -)( -5),. Είναι 5 f,. Γ. Αν, ( ) K f το σημείο επαφής πρέπει: 5 f, f ( ) 4 4 ή. και στο [, ) και Δεκτή τιμή (λόγω του περιορισμού (β) είναι η και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y f ( f ( )( ) y 4 4 ) Γ. Θέσεις τοπικών ελεχίστων, και θέση τοπικού μεγίστου. 7. Γ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: ( ) f ( ) ( ), Είναι ( ) f ( ) ( ) για ( (,) (, ) και η f είναι συνεχής στο ).
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο με σύνολο τιμών το: αφού: f ( ) lim f ( ), lim f ( ) (, ) lim f ( ) lim Γ. Η δοθείσα εξίσωση γράφεται: lim f ( ) lim lim lim f ( ) f () ( ) ( ) f ( ) () Όμως f ( ),, οπότε η () (άρα και η ισοδύναμή της δοθείσα εξίσωση) έχει μία λύση η οποία είναι και μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα άρα και «-». 8. Γ. Η συνάρτηση f ( ) ln,, είναι παραγωγίσιμη στο, (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: f ( ),,. Αρκεί να εξετάσουμε το πρόσημο της συνάρτησης ( ),, Η συνάρτηση ( ),,. είναι παραγωγίσιμη στο, (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με ( ),, και άρα η είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης η έχει ρίζα το αφού () Τώρα έχουμε: ( ) () ( ) f ( ) και άρα η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. ( ) () ( ) f ( ) και άρα η f ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Για το σύνολο τιμών της Α έχουμε A f, f,. Είναι:
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο f, f (), lim f ( ), διάστημα, και έχουμε: f (), αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο ln lim f ( ) lim ln lim ln lim lim lim lim f ( ) (χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα του D l Hospital) f, f (), lim f ( ), φθίνουσα στο διάστημα, αφού η f ( ) είναι γνησίως, και lim f ( ) lim ln Επομένως το σύνολο τομών της f είναι A,. Γ. Η συνάρτηση K t ( ) t ορισμού της h( ) είναι το. Επειδή, θα πρέπει:. ορίζεται όταν,, t. Το πεδίο h f f f f ( ) ( ) () ( ) (),,, και,, ) Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A,,. Γ. Επειδή η συνάρτηση η f ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως γνησίως αύξουσα στο διάστημα, θα είναι και «-» στα διαστήματα αυτά. Επομένως έχουμε διαδοχικά: Όμως: f f ( ) f f ( ) f () f ( ) f ( )
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο, f, και άρα υπάρχει, ώστε f ( )., f, και άρα υπάρχει, f ( ). (μοναδικό) τέτοιο, (μοναδικό) τέτοιο, ώστε Επομένως υπάρχουν, που να είναι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης. Γ4. Η εξίσωση της εφαπτομένης της f C στο σημείο, f ( ) είναι y f ( ) f ( )( ) και αφού αυτή διέρχεται από το σημείο, θα έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση: ( ) f ( ) f ( ),, έχει μονάδική ρίζα,. Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bolzano για τη συνάρτηση ( ) Έχουμε: Η ( ) είναι συνεχής στο διάστημα, στο διάστημα, : (ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων). f () f () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f () f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο (,)). [Σημείωση: Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με: f,,.] (αφού η f
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο 9. Γ. Άρα η ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα, και επειδή η ( ) είναι παραγωγίσμη στο, (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με: η ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ),,, είναι γνησίως αύξουσα άρα και «-». Επομένως η ρίζα, μοναδική. 4 ( ) f ( ),. Μονοτονία: f,, f, Σύνολο τιμών: f, [, ) είναι Γ. Πρέπει f ( ) που ισχύει για κάθε, αφού η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, άρα ισχύει f ( ) f () f ( ). Επομένως το πεδίο ορισμού της g είναι D,. g Γ. Έχουμε διαδοχικά και ισοδύναμα (Η f είναι «-» ως γνησίως μονότονη): f f ( ) f f ( ) f () f ( ) 5 f ( ) f ( ) f ), Γ4. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης στο K(, f ( )), δηλαδή η y f ( ) f ( )( ) επαληθεύεται από σημείο Έχουμε: 5 5 M,. 5 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) f ( ) f ( ),, και εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano (ελέγχουμε τις προϋποθέσεις) αφού και. Βλέπε Θέμα Γ-Λυμένο, Πανελλαδικές Ημερησίων 6.. Βλέπε Θέμα Γ-Λυμένο, Πανελλαδικές επαναληπτικές Ημερησίων 6..
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο. Βλέπε Θέμα Γ-Λυμένο, Πανελλαδικές Εσπερινών 6.. Βλέπε Θέμα Γ-Λυμένο, Πανελλαδικές Επαναληπτικών Εσπερινών 6. 4. Βλέπε Θέμα Γ-Λυμένο, Εξετάσεις τέκνων εξωτερικού, 6. 5. Γ. Είναι f ( ) ln, Άρα f (, ). Έχουμε: Άρα: Το σύνολο τιμών είναι: f f Δ f f Δ f f με f () και f ( ) f () f ( ) f () f ((, ) f Δ f Δ [, ) f Δ (), lim ( ) [, ) (), lim ( ) [, ) Γ. Η δοθείσα εξίσωση για κάθε γράφεται: f Δ, f ( ),., όπου: ( ) ln ( ) ln f ( ), Όμως f και f. Δ Δ Άρα υπάρχουν αντίστοιχα Δ και Δ τέτοια, ώστε: f ( ) και f ( ). Επειδή η f είναι γνησίως μονότονη στα Δ και Δ είναι και «-» άρα τα και είναι μοναδικά. Επομένως η δοθείσα εξίσωση έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ), Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για τη συνάρτηση g στο [, ] :
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Η g( ) είναι συνεχής στο [, ] (αφού είναι παραγωγίσιμη στο [, ] ως άθροισμα παραγωγίσιμων στο [, ] ). f ( ) ) f ( ) (αφού f ( ) για κάθε (, ) ) g( ) f ( g( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( αφού f ( ) για κάθε (, + ) ) Άρα υπάρχει ένα,τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: g( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Β τρόπος: Μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα του Roll στην συνάρτηση h( ) ( f ( ) ) στο [, ]. Γ4. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 6. E g( ) d g( ) d ( )ln d ln d ln d τ.μ. 4 Γ. f ( ), και f () lim f ( ).... Γ., f ( ), Θέτουμε g( ), και την μελετάμε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της και βρισκουμε g( ) για κάθε. Άρα f ( ) για κάθε και επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Είναι D f ( ), f. Γ. Εξίσωση εφαπτομένης της f στο A, f () : Άρα: f ( ) f ( ) για κάθε y. Η f είναι κυρτή στο.
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Γ4. Είναι lim f ( ) και lim ln, οπότε A. 7. Γ. Γ. Έχουμε: f ( ) ln,, f () Άρα f, και, f ( ) f () f ( ) f () f. f ( )=,. Γ. Επειδή lim f ( ), lim f ( ) και f (). Είναι: f f,,,,, Άρα η f έχει μία ρίζα στο (, ) και μία στο (, ) οι οποίες είναι μοναδικές αφού η f στα διαστήματα αυτά είναι γνησίως μονότονη. Γ4. Θεώρημα Roll για τη συνάρτηση g ( ) Η εφαπτομένη στο M, f ( ) είναι: Η ε περνάει από το Ο(,) αν και μόνο αν: f ( ),, : y f ( ) f ( )( ) f ( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) που ισχύει. 8. Γ. ln lim f ( ) lim( ln ) lim lim lim( ) f (), άρα f συνεχής στο. Γ. f ( ) ln, και f ( )
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο f, και f, Το σύνολο τιμών της f είναι: f Γ. Έχουμε ισοδύναμα: (, ), a a ln ln a f ( ) a, Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν a, τότε a f,, και a f,, επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς λύσεις, μία στο διάστημα, και μία στο διάστημα,, αφού η f είναι και γνησίως μονότονη στα, και, άρα και «-». Αν a, τότε η δοθείσα εξίσωση δεν έχει καμία λύση αφού και a f,,. a f,, Αν a f ( ). Γ4. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (ελέγχουμε τις προϋποθέσεις) για τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ], και εξασφαλίζουμε ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Όμως η f είναι δύο φορές παραγωγίσμιμη στο (, ) με f ( ),. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) (άρα και στο [, ], ). Επομένως: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) για κάθε. 9. Γ. Η συνάρτηση f ( ) ln είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ) ) με: f ( ),, f () Ακόμα η συνάρτηση f ( ) ln είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (, ) (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ) ) με: f ( ), Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). Έχουμε: f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) και επομένως και στο διάστημα (, ). Ο πίνακας προσήμου της f είναι ο επόμενος : f ( ) + f ( ) Γ. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] και στο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο,το f () έχουμε: 4. Γ. f ( ) f () f ( ),. Άρα για κάθε
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική στο ) με f ( ),. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική στο ) με f ( ) 6,. Έχουμε: f ( ) ή f ( ) Ο πίνακας προσήμων των f και f είναι : - f ( ) f ( ) f ( ) H f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το και τοπικό ελάχιστο στο το ενώ παρουσιάζει καμπή στο. Γ. Αν Δ,,,,, έχουμε: f Δ lim f ( ), f (), -( ημ ) f Δ f (), f ( ) ( ημ ), ( ημ ) f Δ f (), lim f ( ) ( ημ ), Επειδή ( ημ ) και ( ημ ) αφού, ε ίναι: f και f Δ και f Δ Δ άρα η f έχει τρεις ρίζες οι οποίες είναι μοναδικές διότι η f είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα Δ, Δ, Δ αντίστοιχα.
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Γ. Τα σημεία f επαληθεύουν τη δοθείσα εξίσωση αφού: Γ4 6. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:, ( ημ ),, -( ημ ),, () Γ(, - ) ( ημ ) ημ -( ημ ) ημ - ημ f ( ) y d Θα εξετάσουμε το πρόσημο της g( ) f ( ) y στο [, ]. Είναι : Άρα: g( ), [, ] g( ), [, ] 4 4 ( ) ( ) d d τ.μ. 4 4 4. Γ. Γ. f ( ), ( ), f ( ). f ( ) f () f ( ) f ( f ( )) f () f ( f ( )) f ( ) f () f ( ) f ( f ( )) f () f ( f ( )) f ( f ()) f () Γ 7. lim f ( ) f ( ) f () lim f () 6 Το ερώτημα αυτό έχει προστεθεί σε νεότερη έκδοση: «Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και την ευθεία y ημ». 7 Έχει υπάρξει διόρθωση σε νεότερη έκδοση: «Να βρείτε το lim f ( )»
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Γ4. Αν Μ, ( ) f το σημείο επαφής τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο Μ είναι: y f ( ) f ( )( ) Αφού διέρχονται από το σημείο (, ) θα είναι: ( )... ή ( ) Άρα τα σημεία επαφής είναι: Άρα οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι: A(, f ()), B, f 4 4 4 y f () f ()( ) y ( ) y 5 4 5 4 5 5 5 5 5 5 y f f ( ) y ( ) y 4. Γ. lim f ( ) lim f ( ) f ()... (),. Γ. Θεώρημα Bolzano στο,. Γ. lim f ( ) f () f ( ) f () lim... () και (). Παίρνουμε Γ4. y. 4 και 5,. 4 4. Γ. f ( ) ( ), και f (, ) και στο (, ], f [, + ). Τ.Ε στο, το f (). Γ 8. y 44. Γ. lim f ( ) lim f ( ) f ()... 5. 8 Έχει υπάρξει διόρθωση σε νεότερη έκδοση: «...στο σημείο A(, f ())»
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο Γ. lim f ( ) f () f ( ) f () lim... Γ. y στο,. 45. Γ. α. Συνεχής στο β. Μη παραγωγίσιμη στο Γ. y, 4. 46. Γ. Η f συνεχής στο, αφού lim f ( ) lim f ( ) f () Γ. Γ. Η f παραγωγίσιμη στο με y f lim ( ) 5 6 lim αλλιώς lim f ( ) f 47. Γ. i. lim ( ) ii. f ( ) lim f ( ) f () και lim f ( ) ή 4 Γ. Αν M a,, το ζητούμενο σημείο η απόστασή του από την a αρχή των αξόνων είναι: 6 ( ), () a d a a a Η συνάρτηση () έχει ελάχιστο (ολικό) στο a. Άρα, Γ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει σημείο, ( ) Προκύπτει και K,. 48. Γ. Γ. i. Παραγωγίσιμη στο ii. M. K f τέτοιο, ώστε f ( ). y 4 49. Γ. Η f συνεχής στο Γ. f (, ], f [, ) Γ. Όχι, αφού η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων Κεφάλαιο ο 5. Γ. f ()... k Γ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ),, δηλαδή γνησίως αύξουσα στο. Γ. Θεώρημα Bolzano για την f στο [, ] αφού f (). f ().5. Προτεινόμενα Διαγωνίσματα επιπέδου θέματος Γ Διαγώνισμα ο Διαγώνισμα ο Διαγώνισμα ο ΘΕΜΑ ο : Θέμα στην., Κεφάλαιο ο ΘΕΜΑ ο : Θέμα στην.. ΘΕΜΑ ο : Θέμα στην.4. ΘΕΜΑ ο : Θέμα 5 στην., Κεφάλαιο ο ΘΕΜΑ ο : Θέμα 9 στην.. ΘΕΜΑ ο : Θέμα 5 στην.4 ΘΕΜΑ ο : Θέμα στην.., Κεφάλαιο 4 ο ΘΕΜΑ ο : Θέμα στην.. ΘΕΜΑ ο : Θέμα 5 στην..
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων, Κεφάλαιο 4 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΘΕΜΑ Δ
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων, Κεφάλαιο 4 ο 4.. Σχολικού βιβλίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Διαφορικός Λογισμός Άσκηση Στο σχολικό βιβλίο Παράγραφος Γενικές Γενικές 4.. Ψηφιακού βοηθήματος Τις πλήρεις λύσεις θα τις βρείτε στο δικτυακό τόπο του Ψηφιακού Εκπαιδευτικού Βοηθήματος του ΥΠ.Π.Ε.Θ.: http://www.study4ams.gr/math_k/cours/viw.php?id=68 4.. Προτεινόμενα Θέμα Απάντηση-Υπόδειξη Προσομοίωση, Θέμα Δ Προσομοίωση, Θέμα Δ 5 Προσομοίωση, Θέμα Δ 7 Προσομοίωση, Θέμα Δ 9 Προσομοίωση, Θέμα Δ Θέμα ο (Λύση) Δ. i. H f είναι παραγωγίσιμη στο επομένως και η ln f ( ) είναι παραγωίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Άρα έχουμε: f ( ) f ( ) ln f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), f ( ), f ( ) f ( ) ii. H f είναι παραγωγίσιμη στο, ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο με: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), ( f ( )) Επομένως η f είναι κυρτή στο. f ( )( f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( f ( )) ( f ( ))
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων, Κεφάλαιο 4 ο Δ. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A(, f ()) είναι: f ( ) : y f () f ()( ) (Ι) Θα βρούμε αρχικά το f () και μετά το f (). Στη δεδομένη σχέση θέτουμε και έχουμε: ln f () f () ln f () f () (ΙΙ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) ln, (, ). Το είναι προφανής ρίζα αφού g(). Όμως η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσμιων συναρτήσεων στο (, ) ) με: g ( ), (, ) Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) άρα και συνάρτηση «-» και επομένως έχει μοναδική ρίζα την. Όμως έχουμε από τη σχέση (ΙΙ) g( f ()) άρα f (). Τέλος έχουμε: f () f () f () f () Οπότε από τη σχέση (Ι) η εξίσωση της εφαπτομένης της y. C στο σημείο A(, f ()) είναι η f Δ. Η f είναι κυρτή στο και δέχεται εφαπτομένη (ε) στο σημείο Α, άρα η C βρίσκεται f πάνω από την (ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής. Έχουμε για κάθε : Άρα ισχύει: f ( ) 5 f ( ) d f ( ) d d f ( ) d 4 Τώρα έχουμε (το f ( ) d είναι πραγματικός αριθμός): 5 5 f ( ) d f ( ) d d f ( ) d 5 4 4 6 6 6 6 Δ4. Έχουμε:
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων, Κεφάλαιο 4 ο f ( ) 4 4 4 f ( ) 4 f ( ) f (4) f () d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) (ΙΙΙ) f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση K( ) f ( ),, 4 Τιμής του Διαφορικού Λογισμού: Η K( ) είναι συνεχής στο διάστημα και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης, 4 (ως σύνθεση συνεχών στο, 4 ) Η K( ) είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, 4), ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, 4) με K ( ) f ( ) f ( ), (, 4) Άρα υπάρχει (, 4) (και λόγω της σχέσης ΙΙΙ),τέτοιο, ώστε: Θέμα 4 ο (Υπόδειξη) f (4) f () 4 f ( ) K ( ) f ( ) f ( ) d f ( ) Δ. Θέτω u κ.λ.π., f ()... f ( ). Δ. d ( ), ελάχιστη απόσταση για M 5,. Δ. f αφού f ( ) ( ) Δ4. Θ.Μ.Τ. στο, Δ5. Ολοκλήρωση της σχέσης του Δ4.. δηλαδή το σημείο Θέμα 6 ο (Λύση) Δ. i. Θέτουμε u ln και έχουμε: du d u u Επομένως: u I ( u f ( u) du udu f ( u) du f ( u) f () - f ()
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων, Κεφάλαιο 4 ο ii. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την f στο διάστημα [, ]: H f παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ](άρα και συνεχής στο διάστημα [, ]) Άρα υπάρχει ξ, Τώρα έχουμε: τέτοιο, ώστε f ( ) f () f () (). f () - f () f () - f () () Επομένως από τις σχέσεις () και () έχουμε f ( ). Όμως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διότι: Η f είναι συνεχής στο με f ( ) για κάθε και αφού f ( ) για κάποιο, είναι f ( ) για κάθε και άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο. iii. Η ανίσωση γράφεται: f (5) f (7) f (6) f (7) f (6) f (6) f (5) () Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την f στα διατήματα 5, 6 και 6, 7 αντίστοιχα: Η f είναι συνεχής στα διαστήματα 5, 6 και 6, 7 (αφού είναι συνεχής στο ως παραγωγίσμη στο ). Η f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα 5, 6 και 6, 7 ( αφού είναι παραγωγίσμη στο ). Άρα υπάρχουν 5, 6 και 6, 7 Επομένως η σχέση () γίνεται ισοδύναμα: τέτοια ώστε: f ( ) f (6) f (7) f ( ) f (7) f (6) ) ) f ( f ( που είναι αληθής αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο διότι f ( ) για κάθε Δ. i. Θέτουμε f ( ) ln K( ) ( ) και άρα έχουμε lim K( ) κ.
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων, Κεφάλαιο 4 ο Επομένως είναι: f ( ) K ( )( ) ln, και lim f ( ) lim K( )( ) ln (τα όρια υπάρχουν οπότε η ιδιότητα του ορίου αθροίσματος εφαρμόζεται) Επειδή η f είναι συνεχής συνάρτηση στο θα έχουμε Άρα f (). ii. Έχουμε: f ( ) f () lim f ( ) f () ()= lim lim lim f Επειδή K ( )( ) ln K( )( ) ln (4) και K ( )( ) lim ln lim K ( )( ) κ = = lim lim lim η σχέση (4) δίνει K ( )( ) ln f ()= lim lim. iii. Αφού η f είναι κυρτή στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο με f (). Έχουμε: f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) Ο πίνακας μονοτονίας της f είναι ο επόμενος: f ( ) - + Άρα f ( ) f () f ( ) f ( ) Ολικό ελάχιστο f ()
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων, Κεφάλαιο 4 ο Θέμα 8 ο (Υπόδειξη) Δ. i. Θ. Roll στο [,] ii. Παραγωγίζουμε τη δοθείσα σχέση και εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για την f στο (, ). Δ. Κατά παράγοντες ολοκλήρωση. Δ. i. f ( ) d ii. K ( ) 4 F ( ), H ( ) 4 F ( ) 6 4 K ( ) H ( ) K ( ) H ( ) c από όπου c Θέμα ο (Λύση) και παίρνουμε Δ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: 4 4 4 f ( ) 4 ( ) ( ), Θα αποδείξουμε ότι f ( ) για κάθε. Θέτουμε K( ),. Επειδή ισχύει ln u u για κάθε u έχουμε για u ότι (από γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου): ln, Δηλαδή K( ) () για κάθε. 4 Θέτουμε h( ),. Η συνάρτηση h γράφεται: h ( ) ( ) ( ), Για είναι f ( ) αφού K( ) και h( ) ( ) ( ). Επομένως f ( ) για κάθε και άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. Δ. i. Για f () Για f ( ) f () f ( ) (επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο ) Για f ( ) f () f ( ) (επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο ). ii. Από γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου είναι ln u u u. Θέτουμε u ( ). Άρα: ή
Μέρος Β, Λύσεις των θεμάτων, Κεφάλαιο 4 ο iii. Έχουμε ισοδύναμα: f c c c f c c c c c c c ( c ) ( c ) c c ( 4 5 ) (8 ) 4 5 8 8 () Η τιμή c είναι λύση της () αφού 8 Η τιμή c είναι λύση της () αφού 6 Για c, έχουμε: c ( c) c ( c) 4 c () g () c c () ( ) () g c c c c c Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις () και () κατά μέλη έχουμε: ( ) ( ) 8 c c c c Επομένως ισχύει και η ισοδύναμή της η () για κάθε c. 4.4. Πανελλαδικών Εξετάσεων. Δ. f ( t) 8 ln( t ) t, t Δ. t Δ. f (8) 6(ln ), f () 8 ln. Δ. 5 Δ. E (5). α. Πρέπει f (6) 5, f (6) και 5, 6 β. Πρέπει f ( t). Είναι t [, ] 76 4. Δ. P() (χιλιάδες ευρώ) 5 Δ. Να βρείτε τοt τέτοιο, ώστε P ( t). Είναι το διάστημα 5 Δ. Για t, 5 Δ4. Είναι 76 lim P( t) 4 P() t + 5 5 5. Δ., f () 7 Δ. Να βρείτε τα f (), f (4). Είναι f (), f (4) 6. Δ., Δ., y (στο ) Στο ερώτημα αυτό έχει υπάρξει διόρθωση στην εκφώνηση