Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h

Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ ώστε o τύπος της g να είναι τύπος συνάρτησης Για μ==λ γ) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων i) g, ii) h και iii) h όπου h η συνάρτηση του διπλανού σχήματος Δίνεται η συνάρτηση, για την οποία δίνεται ότι ln ln, e α) Να δείξετε ότι e β) i) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Να ορίσετε την αντίστροφη της και να βρείτε τον τύπο της γ) i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την ανίσωση e e e e Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: lim για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C στο 6 ( ) 5 γ) Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εφαπτομένη ε της στο εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης C g : και δ) Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές O και Oy αντίστοιχα Ένα δοκάρι είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒΤο κάτω μέρος του δοκαριού ολισθαίνει πάνω στον ημιάξονα Οχ με ρυθμό m/secτη χρονική στιγμή που η κορυφή του δοκαριού απέχει από την αρχή των αξόνων t m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της οξείας γωνίας θ που σχηματίζει το δοκάρι με τον χ χ ii) την ταχύτητα που πέφτει το πάνω μέρος του δοκαριού (Δίνεται ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ όπου Γ,Δ τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε του προηγούμενου ερωτήματος με τους άξονες)

Δίνονται οι συναρτήσεις, και α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της β) Να βρείτε το πρόσημο της g π π g ημ συν,, γ) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο, δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη αρνητική και μεγαλύτερη του ε) Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) : α) β) lim g γ) lim g 5Δίνονται οι συναρτήσεις g :,,,, για τις οποίες ισχύουν : lim lim g lim lim g 8 lim g 9 α) Να δείξετε ότι το είναι ρίζα του πολυωνύμου h β) Να δείξετε ότι γ) Να δείξετε ότι,, Με δεδομένο ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, : δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y, 8 σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ε) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και hg, τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη 6Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για h h την οποία ισχύει ότι lim h h α) Να δείξετε ότι, και β) Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Aξ, ξ και Β ξ, εφάπτεται της C στο Α γ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της δ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της που άγεται από το σημείο Γ, ε) Ένα κινητό Μ κινείται επί της C και αυξάνει διαρκώς την απόστασή του από την αρχή των αξόνων Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του;

στ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει ακριβώς μια ρίζα στο, π π 7Δίνονται οι συναρτήσεις ημ,, πκαι g εφ,, α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα δ) Να βρείτε, στο διάστημα ημ συν ε) Να λύσετε την εξίσωση g,π π,, το πλήθος των ριζών της εξίσωσης της εξίσωσης 8Δίνονται οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις οποίες ισχύει : () e () 5 g g g α) Να δείξετε ότι: i) ii), 5 β) Να δείξετε ότι g :, g :, για τις γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο,εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της g e g έχει μία δ) Αν,να δείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο, 9Δίνονται οι συναρτήσεις,g : τέτοιες ώστε:, η είναι παραγωγίσιμη με γνησίως αύξουσα, g lime ln, α) Να δείξετε ότι η g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία γ) Αν e d g, να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε δ) i) Να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο της,

ii) Να δείξετε ότι d iii) Να βρείτε το lim Δίνονται οι συναρτήσεις,g : όπου g Αν g 8,, τότε: α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g εφάπτεται σε σημείο Α στη γραφική παράσταση της γ) Να βρείτε την εφαπτομένη ε της δ) Αν Γ είναι το σημείο τομής των ε, χωρία που έχουν λόγο εμβαδών C C g στο σημείο B,, να δείξετε ότι η C,όπου F αρχική της α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα α α β) Να δείξετε ότι : d d, α α α Επίσης δίνεται ότι : G G γ) i) F F χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο Δίνεται παραγωγίσιμη και γνησίως μονότονη συνάρτηση : για την οποία γνωρίζουμε ότι : F F F G h G h και lim,όπου G αρχική της F h h ii) Να δείξετε ότι F για κάθε F F iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g, δ) Να δείξετε ότι d F είναι γνησίως αύξουσα στο Δίνεται πολυωνυμική συνάρτηση η οποία έχει σταθερό όρο το 5 και για την οποία ισχύει ότι tdt, α) Να δείξετε ότι 5 5 β) Να δείξετε ότι η έχει δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 6 Πόσες από τις ρίζες είναι ακέραιες; δ) Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h 6,, δέχονται κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία, ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο

Λύσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ ώστε o τύπος της g να είναι τύπος συνάρτησης Για μ==λ γ) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων i) g, ii) h και iii) h όπου h η συνάρτηση του διπλανού σχήματος Λύση α) Για να έχει πεδίο ορισμού το η συνάρτηση πρέπει να ισχύει για κάθε,το οποίο ισχύει όταν 6 6 β) Για να παριστάνει συνάρτηση πρέπει γ) Για μ==λ έχουμε, Για έχουμε g 6 5 6 (Aπό το σχήμα horner για το πολυώνυμο - -6-5 5 Άρα 6 5 Για έχουμε g 8 Άρα οι συναρτήσεις και g είναι ίσες και g 8 6 5 6, 5 5 6 για 5, έχουμε: δ) Όπως φαίνεται από το σχήμα η h έχει πεδίο ορισμού το Ah, i) A A A, h h ii) H γραφική παράσταση της h τέμνει τον άξονα χ χ στα σημεία με τετμημένες -,,

Άρα A,, g A iii) Πρέπει : Ah 8 5 7 ύύ Άρα Ah : Δίνεται η συνάρτηση, για την οποία δίνεται ότι ln ln, e α) Να δείξετε ότι e β) i) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Να ορίσετε την αντίστροφη της και να βρείτε τον τύπο της γ) i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την ανίσωση α) Έχουμε τη σχέση : e e e e Λύση ln ln, () Θέτουμε ln e,οπότε η σχέση () μετατρέπεται στη σχέση : α e α α α e () Αν βάλουμε όπου α το,προκύπτει η σχέση : α α e α α e e α α α α α α α e e α e Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση () με και την προσθέτουμε στην σχέση () οπότε έχουμε: e e e e e e e e e Άρα η συνάρτηση έχει τύπο, e β) i) Έστω, με e e e e e e e e e e e e e e άρα η είναι - οπότε αντιστρέφεται

ii) Θέτουμε e y y e y e y e y e y e y y y y ye y e ln, y y ln, y y y y y (Πρέπει y y y y y y ) y Άρα η έχει τύπο ln και πεδίο ορισμού το A, e e e e e Έστω με γ) i), e e e e e e e e e e Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της < ii) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e < e e e e e e : e e e e e Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: lim για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C στο 6 ( ) 5 γ) Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εφαπτομένη ε της στο εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης C g και δ) Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές O και Oy αντίστοιχα Ένα δοκάρι είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒΤο κάτω μέρος του δοκαριού ολισθαίνει πάνω στον ημιάξονα Οχ με ρυθμό m/secτη χρονική στιγμή που η κορυφή του δοκαριού απέχει από την αρχή των αξόνων t m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της οξείας γωνίας θ που σχηματίζει το δοκάρι με τον χ χ ii) την ταχύτητα που πέφτει το πάνω μέρος του δοκαριού (Δίνεται ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ όπου Γ,Δ τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε του προηγούμενου ερωτήματος με τους άξονες)

Λύση, [,), g και α) Θεωρούμε g g lim lim οπότε g lim lim lim g lim g lim g 5 lim g Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με β) () Για = : () 6 () 6 u u 6 lim lim lim 6 u6 u 6 H εξίσωση της εφαπτομένης της στο 6 είναι η (ε) : C y 6 6 6 y y 6 γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της C στο είναι η (ε) : Έστω, Οπότε g To σημείο,g( ) ανήκει στην (ε) οπότε y y y 6 A g το σημείο επαφής της εφαπτομένης με τη g και δ) i)h (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία, και,6 6 5 5 Έστω,,, C g g 5 y t t οι συντεταγμένες του πάνω και κάτω άκρου του πάσσαλου την τυχαία χρονική στιγμή t Αν t η γωνία θ την τυχαία χρονική στιγμή t τότε t t t tt () 5 5 t y t Για t t tt 5 5 t t t rad / sec 5

yt ii) t y t 5 t y t 5 t t 5 Για t t : yt 5 t t t yt 5 5 5 m / sec Δίνονται οι συναρτήσεις, και α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της β) Να βρείτε το πρόσημο της g γ) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο, δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g τουλάχιστον σημείο με τετμημένη αρνητική και μεγαλύτερη του ε) Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) : α) β) lim g lim g α) Έστω,, με Λύση π π g ημ συν,, τέμνονται σ ένα γ) lim g () Επίσης () Με πρόσθεση των σχέσεων () και () έχουμε άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο, Είναι lim lim lim lim Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, άρα το σύνολο τιμών της είναι το A, lim, β) Έχουμε g άρα αφού, g άρα g στο,, g άρα 6 6 6 g στο,

γ) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ημ είναι γνησίως αύξουσα στο,, Επίσης γνωρίζουμε η συνάρτηση συν είναι γνησίως αύξουσα στο, Άρα για οποιαδήποτε,, με () Με πρόσθεση των σχέσεων () και () έχουμε g g αύξουσα στο, δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h g ε) i) Η h είναι συνεχής στο, h g h g, άρα και στο ισχύει () και άρα και στο άρα η g είναι γνησίως σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Άρα h h οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano δηλαδή υπάρχει, τέτοιος ώστε h g g Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη αρνητική και μεγαλύτερη του lim lim g g στο ii), g g g g g αφού και lim g lim g lim g άρα από Κριτήριο Παρεμβολής lim g g

γ) lim lim, g lim lim 5Δίνονται οι συναρτήσεις g :,, ισχύουν : lim lim lim g 8 lim g 9,,, για τις οποίες α) Να δείξετε ότι το είναι ρίζα του πολυωνύμου h β) Να δείξετε ότι γ) Να δείξετε ότι,, Με δεδομένο ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y, 8 σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ε) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g, τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη α) Λύση h, h limh lim h άρα το ρίζα του Ισχύει πολυωνύμου h β) Από το α) έχουμε () lim lim lim lim () γ) Όπως δείξαμε στο β) ερώτημα οπότε lim lim lim Από τις σχέσεις (),() έχουμε για ότι και δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση k g lim k lim g 8 αφού :

8 8 8 8 Άρα υπάρχει,τέτοιος ώστε k αφού 8 8 8 8 9 lim k lim g 9 Άρα υπάρχει πολύ μεγάλος αριθμός ν,τέτοιος ώστε Η k είναι συνεχής στο σαν διαφορά συνεχών kk Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano οπότε η εξίσωση k g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,,, k Επομένως κάθε οριζόντια ευθεία y, 8 τέμνει τη γραφική παράσταση της g σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ε) Έχουμε Θεωρούμε τη συνάρτηση l h g g lim l Άρα υπάρχει,τέτοιος ώστε lim l lim 9 8 Άρα υπάρχει πολύ μεγάλος αριθμός τ,τέτοιος ώστε l Η l είναι συνεχής στο σαν διαφορά συνεχών ll Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano οπότε η εξίσωση l g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,,, Άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g, τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη 6Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για h h την οποία ισχύει ότι lim h h α) Να δείξετε ότι, και β) Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Aξ, ξ και Β ξ, εφάπτεται της C στο Α γ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της δ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της που άγεται από το σημείο Γ, ε) Ένα κινητό Μ κινείται επί της C και αυξάνει διαρκώς την απόστασή του από την αρχή των αξόνων Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του; ημ, π στ) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο

Λύση h h h h α) lim lim h h DLH h h h h h h lim lim h h h h h γιατί u khuh k kh u u lim lim lim k k, k h h h u u u u u k Άρα c c, c c c c c c, c c c c c, c και c οπότε ξ ξ ξ β) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης λαb ξ ξ ξ ξ οπότε εφάπτεται της C στο Α ξ, ξ τότε, y y, y y, άρα y y, y και γ) Έστω B,, σημείο της C Η δ) Έστω Η εφαπτομένη της Για να διέρχεται η ε από το Γ πρέπει ε) Έστω και αντιστρέφεται, είναι παραγωγίσιμη στο, με C στο Β είναι η ευθεία ε: y y, άρα ε: y M t,y t με y t t Επειδή το Μ αυξάνει διαρκώς την απόστασή του από την αρχή των αξόνων έχει t Είναι y t t και τη χρονική t στιγμή t που ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, είναι

yt t t t M, t t t, άρα στ) ημ ημ Έστω g ημ,,π Είναι g, gπ π π ggπ και επειδή η g είναι συνεχής στο λόγω του ΘBolzano, υπάρχει ρ,π : gρ Εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα το ρ είναι μοναδικό δηλαδή, π ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, π 7Δίνονται οι συναρτήσεις ημ,, πκαι g εφ,, α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα δ) Να βρείτε, στο διάστημα π, ημ συν ε) Να λύσετε την εξίσωση g,π, το πλήθος των ριζών της εξίσωσης της εξίσωσης Λύση α) Η είναι παραγωγίσιμη στο,π με συν Για το πρόσημο της έχουμε τρόπους ος τρόπος Με βάση τη γραφική παράσταση της y συν, έχουμε: π συν, και π,π ος τρόπος,π π συν Στο διάστημα, είναι και επειδή η Διάστημα,, είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Επιλεγμένο π/6 / π διάστημα αυτό Επειδή είναι 6 Πρόσημο της + για κάθε, και επειδή η είναι π συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα στο, Στο διάστημα, είναι και επειδή η είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα αυτό Επειδή

π είναι για κάθε, και επειδή η είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα στο Η έχει τοπικό ελάχιστο το το π 9 π ημ ημ β) Στο διάστημα π A, π,π, ελάχιστο το π π ( και μέγιστο η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα άρα έχει αντίστοιχο 9 π σύνολο τιμών το A, Επειδή το δεν περιέχεται στο έχει ρίζα στο A A, η δεν π Στο διάστημα A,π η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα έχει αντίστοιχο 9 π σύνολο τιμών το A π, Επειδή το περιέχεται στο, η έχει π ρίζα στο διάστημα,π,π η οποία είναι και μοναδική αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό π γ) Η g είναι παραγωγίσιμη στο, συν g συν συν με π, A π π g συν συν συν συν συν π Για κάθε, είναι π g π g, και για κάθε,π είναι π π g g, Η g έχει τοπικό ελάχιστο το g και μέγιστο το π π g (από το σύνολο τιμών της g) ημ ημ συν ημ συν συν δ) εφ g Για κάθε έχει ρίζα στο π, π g g g g άρα η εξίσωση ημ lim g lim π π π συν είναι π, Είναι g δεν

π π Στο διάστημα A, η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα έχει αντίστοιχο π σύνολο τιμών το ga, Επειδή το περιέχεται στο, η π π π έχει μια ρίζα στο διάστημα,, η οποία είναι και μοναδική αφού η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό ga g h g π ημ εφ,, Είναι συν συν h συν συν συν ε) Έστω - ρ = - - - - h συν συν συν h Για κάθε π, συν π h είναι π h h, συν συν συν Για κάθε hh g Επειδή μοναδική ρίζα της εξίσωσης h g h, το είναι η 8Δίνονται οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις :, g :, για τις οποίες ισχύει : () e () 5 g g g α) Να δείξετε ότι: i) ii), 5 β) Να δείξετε ότι g γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο,εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της g e g έχει μία δ) Αν,να δείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο, Λύση α) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση h e h e άρα η h είναι Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο γνησίως αύξουσα και - Από τη σχέση () έχουμε : h e h h

ii) Από τη σχέση () έχουμε : () Θεωρούμε τη συνάρτηση k Η k είναι παραγωγίσιμη στο, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της k k άρα στο παρουσιάζει ακρότατο (μέγιστο) Από τη σχέση () έχουμε,οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat δηλαδή k Έχουμε : k οπότε k β) Από τη σχέση () έχουμε : 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση l 5 5 g g (5) Η συνάρτηση l είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο γνησίως αύξουσα και -,οπότε έχει μοναδική ρίζα το l Για l l l Από τη σχέση (5) έχουμε : g l 5 άρα η l είναι l και για l l l για, είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο,, οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα και Επειδή g,η g είναι αρνητική στο διάστημα 5 5 g g έχουμε : Επίσης g,η g είναι θετική στο διάστημα 5 έχουμε : g Από τη σχέση (5) έχουμε g άρα 5, οπότε από τη σχέση (5), οπότε από τη σχέση (5) g για κάθε γ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο έχει εξίσωση : y y y Βρίσκουμε τα σημεία(σημείο) της C g για τα οποία g 5 5 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο,, g έχει εξίσωση : y g g y, η οποία ταυτίζεται με την εξίσωση της (ε) δ) Οι εξισώσεις e και g όπως δείξαμε έχουν μοναδική ρίζα το Άρα η ζητούμενη ρίζα θα είναι της εξίσωσης Η k είναι παραγωγίσιμη στο, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της k k άρα στο παρουσιάζει ακρότατο (μέγιστο),οπότε Από τη σχέση () έχουμε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat δηλαδή k Έχουμε : k οπότε k Θεωρούμε τη συνάρτηση m Η συνάρτηση m είναι συνεχής στο, σαν γινόμενο συνεχών συναρτήσεων

Η συνάρτηση m είναι παραγωγίσιμη στο m και m, με παράγωγο m Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle οπότε υπάρχει m 9Δίνονται οι συναρτήσεις,g : τέτοιες ώστε:, η είναι παραγωγίσιμη με γνησίως αύξουσα, g lime ln, α) Να δείξετε ότι η g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία γ) Αν,, τέτοιο ώστε e d g, να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε δ) i) Να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο της ii) Να δείξετε ότι d iii) Να βρείτε το lim Λύση, α) H g είναι συνεχής στο σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων u u u limg lim lim lim () u u u u u lim lim g lim e ln () αφού * e lim e ln lim ln e e ln lim lim, lim ln lim lim DLH DLH, η g συνεχής στο άρα και στο lim β) g Για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο,, οπότε υπάρχει

τέτοιο ώστε Για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο,, οπότε υπάρχει,, τέτοιο ώστε Επομένως για έχουμε οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο είναι συνεχής στο αφού γ) e d e e d e e e e e d g e d β σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο Θεωρούμε τη συνάρτηση Η β είναι συνεχής στο,, Για την β ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle oπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε δ) i) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο είναι: (ζ): y y ii) Η στο άρα η είναι κυρτή στο οπότε βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της ζ εκτός από το σημείο επαφής άρα ()H ισότητα δεν ισχύει d d d d lim για κάθε οπότε: iii) lim άρα

Δίνονται οι συναρτήσεις,g : όπου g Αν g 8,, τότε: α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g εφάπτεται σε σημείο Α στη γραφική παράσταση της γ) Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο σημείο B, δ) Αν Γ είναι το σημείο τομής των ε, C g, να δείξετε ότι η χωρία που έχουν λόγο εμβαδών α)έστω u Λύση Τότε η σχέση g u u u u u 8 u u, u C χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο g 8 γίνεται: 8 u, u β) Αρχικά θα αναζητήσουμε σημείο M, στο οποίο Η είναι παραγωγίσιμη στο με Είναι Η εφαπτομένη της στο σημείο A, είναι η ευθεία η g C γ) ε: y y δ) Από το σύστημα των ε, C g προκύπτει ότι Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν: ABΓ ΑΒ ΓΟ τμ Το χωρίο που περικλείεται από τη έχει εμβαδόν: Ω C Γ, και τον άξονα g, άρα λ ΕΩ d d τμ Το χωρίο Ω έχει εμβαδόν: ΕΩ ΑΒΓ ΕΩ τμ ΕΩ Είναι ΕΩ y, άρα είναι h λ ε) Η συνάρτηση h έχει εφαπτομένη στο B, την ε όταν h και ε h a, Έστω ότι

h a a Έχουμε lim lim lim οπότε h, Η h είναι παραγωγίσιμη με τύπο h β β h β, τότε Είναι h c c, οπότε h, Δίνεται παραγωγίσιμη και γνησίως μονότονη συνάρτηση : για την οποία γνωρίζουμε ότι : F F F,όπου F αρχική της α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα α α β) Να δείξετε ότι : d d, α α α Επίσης δίνεται ότι : G G γ) i) F F G h G h και lim,όπου G αρχική της F h h ii) Να δείξετε ότι F για κάθε F iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g, δ) Να δείξετε ότι d F F είναι γνησίως αύξουσα στο Λύση α) Για την συνάρτηση F ισχύει το ΘΜΤ στα διαστήματα,,, άρα υπάρχουν,,, τέτοια ώστε: F F F F F, F F F F F Έστω ότι η είναι γνησίως φθίνουσα,τότε: F F F F F F F άτοπο από τη σχέση που μας δίνεται,οπότε η είναι γνησίως αύξουσα α α β) Έχουμε : d d Fα Fα Fα Fα α α Για την συνάρτηση F ισχύει το ΘΜΤ στα διαστήματα,,, υπάρχουν,,, τέτοια ώστε: F F F F F, άρα

F F F F F Έχουμε: F a F a F a F a γ) i) Το είναι μέγιστο της G,είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της,η G είναι παραγωγίσιμη σ αυτό οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat και G F GhGh GhG GGh Επίσης : lim lim h h h h G h G G h G lim G G G h h h F, ii) Για την συνάρτηση F ισχύει το ΘΜΤ στo διάστημα άρα υπάρχει τέτοιο ώστε: F F F F F Έχουμε: F F iii) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, με τύπο F F F g Όμως F F είναι γνησίως αύξουσα στο, από το α) άρα g στο δ) Από το ερώτημα Δβ)α) έχουμε F F οπότε d F d d F d d F F d d F d d F d F,, άρα η g

Δίνεται πολυωνυμική συνάρτηση η οποία έχει σταθερό όρο το 5 και για την οποία ισχύει ότι tdt, α) Να δείξετε ότι 5 5 β) Να δείξετε ότι η έχει δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 6 Πόσες από τις ρίζες είναι ακέραιες; δ) Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h 6,, δέχονται κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Λύση, α) Είναι t dt t dt Έστω t dt λ, τότε 5 5λ c, c Επειδή η έχει σταθερό όρο το 5, είναι c 5 d λ 5 5λ 5 d λ λ 5 5λ, οπότε 5 5λ 5 5 5λ 5λ 8λ 5 λ 5 λ 6 λ 6 Άρα 5 5, β) Είναι 6 και 6 Για κάθε,, είναι και επειδή η είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα,, Είναι και, Για κάθε, είναι lim lim 6 lim, lim lim στο εσωτερικό του, 6 και Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ,, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το Δ,6 Επειδή το βρίσκεται στο εσωτερικό του Δ υπάρχει μοναδικό Δ τέτοιο, ώστε Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ,, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το Δ,6 Επειδή το βρίσκεται στο εσωτερικό του Δ υπάρχει μοναδικό στο εσωτερικό του Δ τέτοιο, ώστε Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ,, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το Δ, Επειδή το βρίσκεται στο εσωτερικό του Δ υπάρχει μοναδικό στο εσωτερικό του Δ τέτοιο, ώστε - + < > <

Για κάθε, Για κάθε, Η έχει τοπικό ελάχιστο το Για κάθε, Για κάθε, Η έχει τοπικό μέγιστο το Για κάθε, και για κάθε, Η έχει τοπικό ελάχιστο το :5 γ) 6 6 5 5 Είναι lim, lim lim lim Είναι Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο A, τιμών το A, Επειδή A,έχει αντίστοιχο σύνολο υπάρχει μοναδικό ρ Α τέτοιο, ώστε ρ Είναι Η είναι συνεχής στο -, οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο A, αντίστοιχο σύνολο τιμών το A, εσωτερικό του A ρ, υπάρχει μοναδικό Επειδή, η εξίσωση έχει ρίζα το Η είναι συνεχής στο είναι η μοναδική ρίζα της στο διάστημα αυτό, ρ και έχει Επειδή το βρίσκεται στο στο εσωτερικό του τέτοιο, ώστε Α οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο A, Είναι Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A, τιμών το A, Επειδή A η έχει ρίζα και η οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τέσσερις ρίζες Ακέραια ρίζα της είναι το Πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι διαιρέτες του 5, δηλαδή οι, 5 Είναι άρα το - δεν είναι ρίζα ρ στο A Τελικά η έχει Είναι 555 5 5 5 5 75 5 8 άρα το 5 δεν είναι ρίζα Είναι 5 55 5 5 5 5 75 5 8 άρα το - 5 δεν είναι ρίζα Μοναδική ακέραια ρίζα της είναι το δ) Τα κοινά σημεία των h g τα ρ, ρ,, ρ C, C είναι οι ρίζες της εξίσωσης - άρα - + 6 < > - > < > ΤΕ < ΤΕ ΤΜ +

Για να έχουν κοινή εφαπτομένη στο ρ πρέπει h ρ g ρ h ρ g ρ ρ που είναι άτοπο Όμοια για τις, και Άρα δεν έχουν κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία ρ ρ ε) g6 g6 5 5 6 6 6 6 Έστω t 6,, Είναι t 8, t 8 6 78 56, δηλαδή t t και επειδή η t είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική, λόγω του ΘBolzano, η t 6 εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, - 6-6 - -6 -,