ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ 2/11/2018

Σχετικά έγγραφα
Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx,

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

ΗΥ 111, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

x είναι f 1 f 0 f κ λ

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2015zi 2015zi 2015zi 2015zi 4030zi 4030zi z z

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαφορικές Εξισώσεις.

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

Πανελλαδικές εξετάσεις 2017

Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 217. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 273. Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 92 Α4. Λ - Σ - Σ - Λ - Σ ΘΕΜΑ Β. B1.

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0]

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Δευτέρα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

Μαθηματικά Γ Λυκείου

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2015

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ( t) f dt = G(β) G(α) A2. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε ότι έχει:

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία:

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣΗΣ ΝΟ 2 Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕ.Λ. 18 ΜΑΙΟΥ 2018 ΘΕΜΑ Α. η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης.

( () () ()) () () ()

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]

Πρόβλημα 1 «Φασίνα» Εύρεση εκτέλεσης εργασιών με τον μικρότερο συνολικό χρόνο

Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03/11/2018

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η Δίνεται η συνάρτηση:

M z ισαπέχουν από τα 4,0, 4,0

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

a ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim

γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

Transcript:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ 2/11/2018 1. i. Έστω = (, ) R. Αν 0 η συνάρτηση στο σημείο είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Αν = 0 θα εξετάσουμε αν lim h = 0 = 0. Αν h = (h, h ) έχουμε: lim h = Έστω (h, h ) = lim (, ) (,) 3h h h + 3h.. Παρατηρούμε ότι: (h, 0) = 3h h = 3 (h, h ) = 2h 4h = 1 2 Επομένως, lim (h, h ). Άρα η δεν είναι (, ) (,) συνεχής στο (0,0). Τελικά, συνάρτηση δεν είναι συνεχής. ii. Έστω = (, ) R. Αν 0 η συνάρτηση στο σημείο είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Αν = 0 θα εξετάσουμε αν lim h = 0 = 0. Αν h = (h, h ) έχουμε:

lim h = Έστω (h, h ) = lim (, ) (,) h h h + 2h.. Παρατηρούμε ότι: (0, h ) = 0 h, h = h 3h = 1 3 Επομένως, lim (h, h ). Άρα η δεν είναι (, ) (,) συνεχής στο (0,0). Τελικά, συνάρτηση δεν είναι συνεχής. iii. Έστω = (, ) R. Αν 0 η συνάρτηση στο σημείο είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Αν = 0 θα εξετάσουμε αν lim h = 0 = 0. Αν h = (h, h ) έχουμε: lim h = Θα αποδείξουμε ότι: lim (, ) (,) h h. h + h lim h = 0 > 0, > 0: h = (h, h ) h h 0 < h < < h + h

Έστω > 0 και =. Έχουμε: h h h + h h + h h + h h + h h + h = h < =, αφού h h + h, {1,2}. iv. Έστω = (, ) R. Αν 0 η συνάρτηση στο σημείο είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών. Αν = 0 θα εξετάσουμε αν lim h = 0 = 0. Αν h = (h, h ) έχουμε: lim h = lim h + h 1 sin (, ) (,) h + h. Θα αποδείξουμε ότι: lim h = 0 > 0, > 0: h = (h, h ) 0 < h < h + h 1 sin h < + h Έστω > 0 και =. Έχουμε: h + h 1 sin h + h h + h 1 = h + h = h < =.

Επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής στο (0,0), οπότε η συνάρτηση είναι συνεχής. v. Έστω = (, ) R. Αν 0 η συνάρτηση στο σημείο είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Αν = 0 θα εξετάσουμε αν lim h = 0 = 0. Αν h = (h, h ) έχουμε: lim h = h h h h lim (, ) (,) h. + h Θα αποδείξουμε ότι: lim h = 0 > 0, > 0: h = (h, h ) 0 < h < h h h h h < + h Έστω > 0 και =. Έχουμε: h h h h h + h = h h h h h + h h h h + h h + h h + h h + h = h < =, αφού h h h + h. Επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής στο (0,0), οπότε η συνάρτηση είναι συνεχής.

vi. Έστω = (, ) R. Αν 0 η συνάρτηση στο σημείο είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Αν = 0 θα εξετάσουμε αν lim h = 0 = 0. Αν h = (h, h ) έχουμε: lim h = Θα αποδείξουμε ότι: lim (, ) (,) h h h h + h. lim h = 0 > 0, > 0: h = (h, h ) 0 < h < h h h h < + h Έστω > 0 και =. Έχουμε: h h h h + h h + h h + h h h + h = h h + h = h < =. Επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής στο (0,0), οπότε η συνάρτηση είναι συνεχής. 2. (, ) = και (, ) =. Οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες, με: (, ) =

(, ) = 2 (, ) = 2 Οπότε: (, ) = (0,1) = (0,1) (0,1) (0,1) 1 0 (0,1) = 0 1. 3. i. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, με: (, ) = sin + 2sincos = (sin + sin2) (, ) = sin Οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες, με: (, ) = (sin + sin2) + (sin2 + 2cos2) (, ) = sin ii. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, με: (, ) = 2 ln(1 + ) (, ) = 3 ln(1 + ) + 2( + ) (1 + )

Οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες, με: (, ) = 2 ln(1 + ) (, ) = 6 ln(1 + ) + 6 1 + + 4 2 + 8 + 2 (1 + ) 4. i. Η συνάρτηση (,, ) = sin() cos είναι παραγωγίσιμη, με: (,, ) = 2 sin sin() Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, με: (,, ) = 2 sin cos() Η συνάρτηση (,, ) = είναι παραγωγίσιμη, με: (,, ) = + ln Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, με: (,, ) = ( + )+ 1 ln + + 1

ii. Η συνάρτηση (,, ) = tan () είναι παραγωγίσιμη, με: (,, ) = + 1 (,, ) = 2 tan () Οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες, με: = ( + 1) 2 ( + 1) = ( + 1) = 2 tan () Η συνάρτηση (,, ) = είναι παραγωγίσιμη, με: (,, ) = ++ (,, ) = ( + 1)++ Οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες, με: = ++ = ( + 2)++

5. Έστω (, ) =. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο (0,0), με: (0,0) + h(1,0) (0,0) (0,0) = lim = 0 h (0,0) + h(0,1) (0,0) (0,0) = lim = 0 h Αν h = (h, h ) τότε: (0,0) h = (0,0) (h, h ) = 0 Θα εξετάσουμε αν υπάρχει το όριο: 0 + h (0,0) (0,0) h lim h = lim (, ) (,) h h h + h Έστω (h, h ) =. Παρατηρούμε ότι: (h, 0) = 0 (h, h ) = h 2h = 1 2 Επομένως, lim (h, h ). Άρα η συνάρτηση δεν (, ) (,) είναι διαφορίσιμη στο σημείο (0,0), οπότε ούτε και η.

6. : R, = {(,, ) R :, και 0} Έστω (,, ). Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στη (,, ),, > 0, με: (,, ) = 1 (,, ) = 1 (,, ) = + 1 (,, ) = + 1 (,, ) = + 1 (,, ) = + 1 Παρατηρούμε ότι οι μερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο σημείο (,, ). Επομένως, η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη στο σημείο αυτό. Από θεώρημα, η παράγωγος κατά κατεύθυνση = (1,2, 1) είναι η: (,, ) = (,, ), αφού η είναι διαφορίσιμη στο (,, ) και =.Έτσι η κατευθυνόμενη παράγωγος ισούται: (,, ) = 1, + 1, + 1 6 6, 6 3, 6 6 = 6 + 6 6 + 6 2 6 6 + 2 6 + 6 6

7. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, με: (,, ) = 2 + (1,2,0) = 0 (,, ) = (1,2,0) = 1 (,, ) = + + 3 (1,2,0) = 3 Ακόμα, (1,2,0) = (0,1,3 ). Επομένως, έχουμε: Μέγιστη τιμή = (1,2,0) = 10 Ελάχιστη τιμή = (1,2,0) = 10 Κατεύθυνση μέγιστης τιμής = (1,2,0) 10 = 0, (1,2,0) 10, 3 10 10 Κατεύθυνση ελάχιστης τιμής = (1,2,0) 10 = 0, (1,2,0) 10, 3 10 10 8. Α ΤΡΟΠΟΣ(Μέσω Εσσιανού Πίνακα): i. Η είναι παραγωγίσιμη, με: (, ) = 3 12 (, ) = 2

Άρα, (, ) = (3 12, 2 ). Λύνουμε: (, ) = 0 3 12 = 0 2 = 0 = 0 ή = 4 = 0 Επομένως, εξετάζουμε τα σημεία (0,0) και (4,0). Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης: (, ) = 6 12 (, ) = 2 (, ) = (3 12) = 0 (2) (, ) = = 0 Θα βρούμε τον Εσσιανό πίνακα για κάθε ένα από τα παραπάνω σημεία και υπολογίζουμε τις αντίστοιχες ορίζουσες: Για το (0,0) έχουμε: (0,0) (0,0) = (0,0) (0,0) 12 0 = (0,0) 0 2 = (0,0) = 12 < 0 = (0,0) = 24 < 0 Οπότε το (0,0) είναι σαγματικό σημείο της συνάρτησης.

Για το (4,0) έχουμε: (4,0) (4,0) = (4,0) = (4,0) = 12 > 0 (4,0) 12 0 = (4,0) 0 2 = (4,0) = 24 > 0 Επομένως το σημείο (4,0) είναι τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης. ii. Η είναι παραγωγίσιμη, με: (, ) = 2 + 2 (, ) = 2 + Άρα, (, ) = (2 + 2, 2 + ). Λύνουμε: 2 + 2 = 0 = 0 ή = 1 (, ) = 0 2 + = 0 2 + = 0 Για = 0 η εξίσωση 2 + = 0 γράφεται = 0. Για = 1 η εξίσωση 2 + = 0 γράφεται = 2 ή = 2. Επομένως, εξετάζουμε τα σημεία (0,0), 2, 1 και 2, 1.

Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης: (, ) = 2 + 2 (, ) = 2 (2 + 2) (, ) = = 2 (, ) = (2 + ) = 2 Θα βρούμε τον Εσσιανό πίνακα για κάθε ένα από τα παραπάνω σημεία και υπολογίζουμε τις αντίστοιχες ορίζουσες: Για το (0,0) έχουμε: (0,0) (0,0) = (0,0) (0,0) 2 0 = (0,0) 0 2 = (0,0) = 2 > 0 = (0,0) = 4 > 0 Οπότε το σημείο (0,0) είναι τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης.

Για το 2, 1 έχουμε: 2, 1 2, 1 = 2, 1 = 0 2 2 2 2 2 2, 1 2, 1 = 2, 1 = 0 = 2, 1 = 8 < 0 Οπότε το 2, 1 είναι σαγματικό σημείο της συνάρτησης. Για το 2, 1 έχουμε: 2, 1 2, 1 = 2, 1 2, 1 2, 1 = 0 2 2 2 2 2

= 2, 1 = 0 = 2, 1 = 8 < 0 Οπότε το 2, 1 είναι σαγματικό σημείο της συνάρτησης. iii. Η είναι παραγωγίσιμη, με: (, ) = 2 4 (, ) = 4 Άρα, (, ) = (2 4, 4 ). Λύνουμε: (, ) = 0 2 4 = 0 4 = 0 2 = 0 ή = 2 = 0 ή = 2 2 Επομένως, εξετάζουμε τα σημεία (0,0), Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης: (, ) = 2 12 (, ) = 12 (, ) = (2 4 ) = 0 (, ) = ( 4 ) = 0, 0 και, 0.

Θα βρούμε τον Εσσιανό πίνακα για κάθε ένα από τα παραπάνω σημεία και υπολογίζουμε τις αντίστοιχες ορίζουσες: Για το (0,0) έχουμε: (0,0) (0,0) = (0,0) = (0,0) = 2 > 0 = (0,0) = 0 (0,0) 2 0 = (0,0) 0 0 iv. Επομένως, δεν μπορούμε να αποφανθούμε για το (0,0). Ομοίως αποδεικνύεται ότι δεν είμαστε σε θέση να χαρακτηρίσουμε και τα, 0,, 0. Η είναι παραγωγίσιμη, με: (, ) = 2 (, ) = 2 Άρα, (, ) = (2, 2 ). Λύνουμε: (, ) = 0 2 = 0 2 = 0 = 0 = 0 Επομένως, εξετάζουμε το σημείο (0,0). Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης:

(, ) = 2 (, ) = 2 (2) (, ) = = 0 ( 2) (, ) = = 0 Θα βρούμε τον Εσσιανό πίνακα για το σημείο (0,0). (0,0) (0,0) = (0,0) = (0,0) = 2 > 0 (0,0) 2 0 = (0,0) 0 2 = (0,0) = 4 < 0 Οπότε το (0,0) είναι σαγματικό σημείο της συνάρτησης. v. Η είναι παραγωγίσιμη, με: (, ) = 3 18 (, ) = 2 Άρα, (, ) = (3 18, 2 ). Λύνουμε:

(, ) = 0 3 18 = 0 = 0 ή = 6 2 = 0 = 0 Επομένως, εξετάζουμε τα σημεία (0,0) και (6,0). Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης: (, ) = 6 18 (, ) = 2 (, ) = (3 18) = 0 (2) (, ) = = 2 Θα βρούμε τον Εσσιανό πίνακα για κάθε ένα από τα παραπάνω σημεία και υπολογίζουμε τις αντίστοιχες ορίζουσες: Για το (0,0) έχουμε: (0,0) (0,0) = (0,0) (0,0) 18 0 = (0,0) 0 2 = (0,0) = 18 < 0 = (0,0) = 36 < 0 Οπότε το (0,0) είναι σαγματικό σημείο της συνάρτησης.

Για το (6,0) έχουμε: (6,0) (6,0) = (6,0) = (6,0) = 18 > 0 (6,0) 18 0 = (6,0) 0 2 = (6,0) = 36 > 0 Άρα, το σημείο (6,0) είναι τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης. Β ΤΡΟΠΟΣ(Μέσω Θεωρήματος Sylvester) 1) (, ) = + (, ) = (3 12, 2) (, ) = 0 3 12 = 0 2 = 0 = 0 = 4 = 0 3( 4) = 0 = 0 (, ) = 6 12 (, ) = 2 (, ) = 0 (0,0) (0,0) (0,0) = 24 < 0

Άρα το (0,0) σαγματικό σημείο (4,0) (4,0) (4,0) = 24 > 0 (4,0) = 12 > 0 Άρα το (4,0) σημείο τοπικού ελαχίστου 2) (, ) = + + + (, ) = (2 + 2, 2 + ) 2 + 2 = 0 (, ) = 0 2 + = 0 = 0 = 1 2 + = 0 2 = 2 ) 2(1 + ) = 0 2 + = 0 ( = 0 = 0) ( = 1 = (, ) = 2 + 2 (, ) = 2 (, ) = 2 (0,0) (0,0) (0,0) = 4 > 0 (0,0) = 2 > 0 Άρα το (0,0) σημείο τοπικού ελαχίστου 2, 1 2, 1 2, 1 = 8 < 0

Άρα το ( 2, 1) σαγματικό σημείο 2, 1 2, 1 2, 1 = 8 < 0 Άρα το ( 2, 1) σαγματικό σημείο 3) (, ) = (, ) = (2 4, 4 ) (, ) = 0 2(1 2 ) = 0 4 = 0 = 0 = = 0 = (, ) = 2 12 (, ) = 12 (, ) = 0 (0,0) (0,0) (0,0) = 0 Άρα δεν μπορούμε να ξέρουμε, 0, 0, 0 = 0 Άρα δεν μπορούμε να ξέρουμε

, 0, 0, 0 = 0 Άρα δεν μπορούμε να ξέρουμε 4) (, ) = (, ) = (2, 2) (, ) = 0 (, ) = (0,0) (, ) = 2 (, ) = 2 (, ) = 0 (0,0) (0,0) (0,0) = 4 < 0 Άρα το (0,0) σαγματικό σημείο 5) (, ) = + (, ) = (3 18, 2) (, ) = 0 3 18 = 0 2 = 0 = 0 = 6 = 0 3( 6) = 0 = 0 (, ) = 6 18 (, ) = 2 (, ) = 0

(0,0) (0,0) (0,0) = 36 < 0 Άρα το (0,0) σαγματικό σημείο (6,0) (6,0) (6,0) = 36 > 0 (6,0) = 18 > 0 Άρα το (6,0) σημείο τοπικού ελαχίστου 9. i. (,, ) =, (,, ) = και (,, ) = Ισχύει ότι = (,, ). Έχουμε: () (,, ) = () (,, ) = () (,, ) = ( ) (,, ) = = (1) = 0 = (0) = 0 = (0) = 0 = (0) = 0

( ) (,, ) = ( ) (,, ) = ( ) (,, ) = ( ) (,, ) = ( ) (,, ) = = (2) = ( ) = 2 = 0 = ( ) = 0 = (0) = 0 = (3 ) = 6 Επίσης, = + Άρα: +, {1,2,3}. = (0, 2, 6) ii. Το πεδίο ορισμού του διανυσματικού πεδίου είναι το R. Όμως το R είναι ανοικτό και απλά συνεκτικό χωρίο. Από θεώρημα, αν = 2, = + και =, το είναι συντηρητικό αν: =, = και =

Έχουμε: = 2 = = = = 0 = Συνεπώς, το είναι συντηρητικό πεδίο(πεδίο κλίσεων). Τρίτη 6 Νοεμβρίου 2018, ΦΡΑΓΚΟΥΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ-ΜΑΡΙΟΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΟΔΥΣΣΕΑΣ