½º ÙÒ Ð ØØ ½º Ò Ò Å Ò Ò M 1 = {1,4,9,16,25,36,49,64,...}, M 2 = {4,6,8,9,10,12,14,15,...}. µ Ö Ò Ë M 1 ÙÒ M 2 ÙÖ Ò Ò Ö Ò Ø ÓÖÑ Ð Ù º µ Ò Ë M 1 M 2 Òº µ Ò Ë M 1 \M 2 ÙÒ M 2 \M 1 Òº µ Ï Ú Ð ÚÓÒ Ò Ò Ö Ú Ö Ò Ø Ì ÐÑ Ò Ò ØÞØ (M 1 [0,10]) {0} ¾º Ò Ò Å Ò Ò M 1 = [ 6,3), M 2 = {x R x Ø Ñ ØÖ Ö Ö Ð ½ ÙÒ Ð Ò Ö Ð }, M 3 = {x R x 4}. µ ËØ ÐÐ Ò Ë Ò ÙÖ Ò ØØ Ö Å Ò Ò ÓÖÑ Ð Ð Å Ò ÙÒ Ù Ö Ð Ò Ö Öº µ ËØ ÐÐ Ò Ë (R\M 2 ) (R\M 1 ) ÓÖÑ Ð Ð Å Ò ÙÒ Ù Ö Ð Ò Ö Öº º Ö Ö ÙÒ Ò Ö ÖÙÔÔ ÚÓÒ ËÔÓÖØÐ ÖÁÒÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ð ½ ËÔÓÖØÐ ÖÁÒ Ø ÐÐ Ö Ø Ò ËÔÓÖØ ÖØ Ò Ù ËÔÓÖØÐ ÖÁÒÒ Ò Ò Ò ÞÙÑ Ò Ø Ë Û ÑÑ Ò ÙÒ Ä Ù Ò ÞÙ ØÖ Ò ½ ËÔÓÖØÐ ÖÁÒ ØÖ Ñ Ò Ø Ò Ë Û ÑÑ Ò ÙÒ Ê Ö Ò ½½ ËÔÓÖØÐ ÖÁÒÒ Ò Ø Ò Ä Ù Ò Ð ËÔÓÖØ Ù ÒÞ Ð Ò Ö Ö Ò ÒÞ Ö ËÔÓÖØ Ë Û ÑÑ Ò Ø Ø ÓÔÔ ÐØ Ó ÖÓ Û ÒÞ Ð Ö Ö Ä Ù Ò Ð ÐÐ Ò Ò ËÔÓÖØ Ù Û ÐØ Ò ÒÞ Ð Ö Ö Ø Ò Ò Ö ÚÓÒ Ö ÍÑ Ö Ö Ø Ò ËÔÓÖØ ÖØ Ò Ù Ø Ò ÖØ ÞÙ Ö ÒÞ Ð Ò Ö Ä Ù Ò Ð ÐÐ Ò Ò ËÔÓÖØ ØÖ Ò Ö Ø ÒÞ Ð Ö ËÔÓÖØÐ ÖÁÒÒ Ò ÒÙÖ Ê Ö Ò Ø ÓÔÔ ÐØ Ó ÖÓ Û ÒÞ Ð Ò Ö Ö Ò ËÔÓÖØ ÖØ Ò Ò Ø ÚÓÒ Ö ÍÑ Ö Ö Ø Û Ö Òº Ò ÑÑØ Ñ Ò ÒÞ Ð Ö Ë Û ÑÑ ÖÁÒÒ Ò ÙÒ ÖØ ½¼ Ó Ö ÐØ Ñ Ò ¹ ÑØ ÒÞ Ð Ö Ö Ø Ò ËÔÓÖØÐ ÖÁÒÒ Òº µ Ï Ú Ð ËÔÓÖØÐ ÖÁÒÒ Ò ÛÙÖ Ò Ö Ø µ Ñ ÓÒÒ Ö Ø Û Ö Ò ÐÐ Ê Ö ÖÁÒÒ Ò ÒÓ Ñ Ð Ö Øº Ï Ú Ð Ö Ò Ñ Ò ÖÙ Ø Û Ö Ò º Ò Ø ÒÔ Ø ÙÖ ÔÖ Ò Ð ÙÑ ¼¼º¼¼¼ ÙÖÓ Ù Ø ÛÙÖ Ö ÖØ ÞÙÒ Ø Ò Ò Ï ÖØÞÙÛ ÚÓÒ ÈÖÓÞ ÒØ ÙÒ ÒÒ Ò Ò Ï ÖØÚ ÖÐÙ Ø ÚÓÒ ÈÖÓÞ Òغ Ï Ú Ð Ð Ø Ö Ò Ñ Ñ Î Ö Ù ¾ ÈÖÓÞ ÒØ ÚÓÑ Û ÒÒ Ð Ø Ò Ø Ù Ö ÖØ Û Ö Ò ÍÑ Û Ú Ð ÈÖÓÞ ÒØ Ø Ò Ø ÒÔ Ø ÒÚ Ø ÖØ Ð ÐÙ Ò Ð Ú ÖÑ ÖØ º Ò Ë ÓÐ Ò Ò Á ÒØ ØØ Ñ Ø À Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ö Ë ÒÙ ÙÒ Ó ÒÙ tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α º Ò ÐÐÓÒ Û Ø Ò ¼¼ Å Ø ÖÒ À Ù Ö Ð Ò Ñ ÃÙÖ º Ù ÒÒ Û Ö Ö ÚÓÑ Ó Ò Ù ÚÓÒ Ò Ñ Ó Ø Ö Ò ¼¼ Å Ø ÖÒ ÒØ ÖÒÙÒ Òº Ò Ð ËØÙÒ ÔØ Ö Ö Ó Ø Ö Ø ÒÞÛ Ò ÙÑ 15 Ö Ø Ø Ö Ò ÐÐÓÒ Ò Ö Ö Ö ÒØ ÖÒÙÒ ÙÒØ Ö Ò Ñ À ÒÛ Ò Ð ÚÓÒ 3 º Å Ø Û Ð Ö Û Ò Ø Û Ø Ö ÐÐÓÒ
¾º ÙÒ Ð ØØ º ÎÓÒ Ú Ö ÈÙÒ Ø Ò A,B,C,D Ò Ö Ò Ø ÓÐ Ò ÒÒØ D Ð Ø Ù Ö Î ÖÐÒ ÖÙÒ Ö ËØÖ ÙÖ C ÙÒ B Ö B Ò Ù ËØÖ AC Ñ Ø ¼¼ Å Ø Ö ËØÖ AB Ñ Ø ¼ Å Ø Ö BCA = 60 BAD = 30 º Ù Ø Ø ÒØ ÖÒÙÒ ÞÛ Ò C ÙÒ Dº º ÎÓÒ ¾ Å Ø Ð ÖÒ Ò ËÔÓÖØÚ Ö Ò Ö Ò ÒÙÖ ½¾ Ò Ò Ä Ò Ñ Ø Ö Ø Ò Ø ÐÒ ¹ Ñ Ò Ö Ê Ø Ù ÖØ Ò Å ÒÒ Ø Òº Ï Ú Ð Ú Ö Ò ÒØ ÐÙÒ Ò Ø º Ò Ö È ÖØÝ Ò ¾ È Ö ÓÒ Ò ÒÛ Ò º µ Ù ÒÒ Û Ö Ô ÖÛ Â Ö Ñ Ø Â Ñ ÒÑ Ðµ Ñ Ø Ë Ø Ò ØÓ Òº Ï Ó Ø Ö Ð Ò Ø Ð µ Ò È Ö ÓÒ Ò ÑÑØ Ö Ò Å ÒØ Ð Ñ Ø Ù ËÓ Ö ØÐ Ò ÅÒØ Ð Û Ö Ò Ò Ò Ö Ê Ò Ò Ò Ò Ö Ù Ö ÖÓ Ò Øº Ï Ú Ð Ú Ö Ò Ö ÖÓ¹ ÒÓÖ ÒÙÒ Ò ÒÓÖ ÒÙÒ Ò Ö ÅÒØ Ð Ù Ö Ö ÖÓ µ Ò Ò Ö µ Ø ÒÒØ ÐÐ ÒÛ Ò Ò ÒØÛ Ö Ò Ø ÖÖ ÙØ Ð Ò Ö Ë Û Þ ÍÒ ÖÒ Ó Ö ÁØ Ð Ò ÓÖ Ò ÛÙÖ Òº Ï Ú Ð Å Ð Ø Ò Ø Ò Û ÒÒ À Ö¹ ÙÒ Ø ÐÐ Ö È Ö ÓÒ Ò Ö Ø Ò Û Ö À Ö ÓÐÐ Ò Ø ÒÙÖ Ø Ø Û Ö Ò Û Ú Ð È Ö¹ ÓÒ Ò Ù Ò ÒÞ ÐÒ Ò ÄÒ ÖÒ ÓÑÑ Ò ÓÒ ÖÒ Ù ÙÑ Û Ð È Ö ÓÒ Ò Ò Ðغ µ Ñ Ò Ö È ÖØÝ Ø Ö Ø Ò Ø ÞÙ Ú ÖÖ Ø Ò È Ö ÓÒ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó Ò Ö Ò Ò ¾ ÖÖ Ô Ð Ò Ä ÙØ Ò Å ÐÐ ÒØ ÓÖ Òº Ö ØÐ Ò È ÖØÝ Ò Ö Ò ÙÒ Ù ÐÐ ÚÓÒ Ð Òº Ï Ú Ð Å Ð Ø Ò Ø ¾ È Ö ÓÒ Ò Ò ÂÓ ÞÙÞÙÓÖ Ò Ò ½¼º Ø ÑÑ Ò Ë Ä ÙÒ Ñ Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ð Ò µ x2 +x+6 = x 1 x 2 µ x2 +2x+1 = x+1 x+1 µ 4x 2 +2x+1 2x = 0 µ 2sin x 2 = tanx
º ÙÒ Ð ØØ ½½º Ø ÑÑ Ò Ë Ä ÙÒ Ñ Ò Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ð Ò ½¾º Ò µ 2x 4 +6x 3 = 24x 2 +26x+30, µ x 5 +2x 4 x 3 5x 2 4x 1 = 0, µ x+5 +1 x+4 = 0. z = (6 i)(3+5i). 1+i µ Ö Ò Ò ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë z ÙÒ z 2 º µ Ò Ë Ò Ê ÐØ Ð Ò ÁÑ ÒÖØ Ð ÙÒ Ò ØÖ ÚÓÒ z Ò ÙÒ Ø ÐÐ Ò Ë z Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò Ò Öº µ Ò Ë Ò ÕÙ Ö Ø ÈÓÐÝÒÓÑ Ñ Ø Ö ÐÐ Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò Ò z Ð ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ØÞغ
º ÙÒ Ð ØØ ½ º Ø ÑÑ Ò Ë ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò z Ö ÐÐ Òº ½ º Ä Ò Ë ÓÐ Ò ÍÒ Ð ÙÒ Ò z 3 = 125 µ x+4 +3 x 1 < x+7, µ x 5 +6x 4 +13x 3 +15x 2 +10x > 3, µ x2 11 x+6 < 3x+5. ½ º Å Ò ØÓÖ Ö x 10 y 10 ÓÛ Ø Û Ñ Ð º
º ÙÒ Ð ØØ ½ º Ò Ò Ë ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò z ÓÐ Ò Ð ÙÒ Ö ÐÐ Òº Ò Ë ÞÙ ØÞÐ Ê Ð¹ ÙÒ ÁÑ ÒÖØ Ð Ö Ä ÙÒ Ò Òº z 2 +( 1+4i)z +42 5i z 2 (3+4i)z 3i = 1 ½ º Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò f,g ÙÒ h ÚÓÒ R Ò R ÛÓ µ f(x) = 4x 2 16x+16 µ g(x) = 2sin(x 3) µ h(x) = 2+x 5 º ËØ ÐÐ Ò Ë Ó Ò Î ÖÛ Ò ÙÒ Ö Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ µ Ö f,g ÙÒ h Û Ð Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÙÖ Ø Ú Ø Ú ÖÒ Ø Ò Ó Ò ÖÒ Ø Ò ÙÒØ Ò ÖÒ Ø ØÖ Ò µ ÑÓÒÓØÓÒ Û Ò Ó Ö ÐÐ Ò Ö Ó Ö ÙÒ Ö Ô Ö Ó Øº Ð Ò Ë ÍÑ Ö Ð ÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ð º
º ÙÒ Ð ØØ ½ º Ë f : D R;f(x) = x3 6x 2 +9x 4 x 3 2x 2 7x 4. µ Ø ÑÑ Ò Ë Ö ØÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ñ Ò D µ Ø ÑÑ Ò Ë lim x f(x)º µ Ø ÑÑ Ò Ë lim x 0 f(x)º µ Ø ÑÑ Ò Ë lim x x + f(x) ÙÒ lim 0 x x f(x) Ö ÐÐ x 0 R\Dº 0 µ Ò Û Ð Ò ÈÙÒ Ø Ò Ø f Ø Ø ÏÓ Ø f Ø Ø Ö ÒÞ Ö ½ º Ï Ð Ö ÓÐ Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö ÐÐ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ü Ø Ö Ò Ö Ò Ò Ë ¹ Ò Ò ÐÐ º µ lim x 0 + x5 42x 4 lim x 0 x5 42x 4 lim x 0 x5 42x 4 µ x3 +2x 2 +x 3 x 3 +x 2 +xº 3 lim x
º ÙÒ Ð ØØ ¾¼º Ë Ò A = (16,9,1) ÙÒ B = (21,14,26)º Ö ÈÙÒ Ø C Ø ÐØ ËØÖ AB Ñ Î Ö ÐØÒ 2 : 3º Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò ÚÓÒ Cº ¾½º Ë h ÙÖ x = 5 4 +λ 2 2 7 3 Ò Ö º Å Ò Ø ÑÑ ÐÐ a R Ó Ö g ÙÖ A = (0,10,a) ÙÒ B = ( 2,14,16) Ò Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ñ Ø Ö Ö Ò g ØÞغ Å Ò Ø ÑÑ Òº ¾¾º Å Ò Ø ÑÑ Ò Ë Ò ØØ Ö Ò Ò Ò ε 1 : x 2 14 +λ 3 18 +µ 4 14 2 0 5 ε 2 : x 6 1 +λ 0 19 +µ 5 2. 7 5 5
º ÙÒ Ð ØØ ¾ º Ø ÑÑ Ò Ë Ò ÁÒ Ö Ñ ØØ ÐÔÙÒ Ø ÙÒ Ò ÁÒ Ö Ö Ù Ö Ñ Ø Ò ÔÙÒ ¹ Ø Ò A = (21,71) B = (21, 29) C = (0, 1)º ¾ º ÃÓ Ð Ò ØÓ ÓØÓÔ C 14 Ø Ö Ó Ø Ú ÙÒ Þ Ö ÐÐØ Ò Ñ ØÞ f(t) = f(0) e λt ÛÓ t Ø Ò Â Ö Ò Øº Å Ò Û Ò ¼ Â Ö Ò ÒÙÖ Ñ Ö ÀÐ Ø Ö Ù Ò Ù Ø ÒÞ ÚÓÖ Ò Ò Ø À Ð Û ÖØ Þ Øµº Ï ÖÓ Ø λ Æ Û Ú Ð Ò Â Ö Ò Ø Ù Ò Ù Ø ÒÞ ÙÑ ½¼ ± Ú ÖÖ Ò ÖØ ¾ º Ø ÑÑ Ò Ë ÐÐ Ö ÐÐ Ò Ä ÙÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ð ÙÒ Ò µ e 8x +4e 3x 12e 2x = 0 µ (ln(x)) 2 +ln(x) 2ln(e 6 ) = 0 ¾ º Ö Ò Ò Ë Ó Ò Ì ÒÖ Ò Ö µ 1 ln(2) + 1 3 log 2(64e 3 ) µ x e (x+2)2 4 e x+5 µ ln( x 3e ) ln(x e 3)
º ÙÒ Ð ØØ ¾ º Ò Ë Ö x y R Á ÒØ ØØ Ðغ tanh(x+y) = tanhx+tanhy 1+tanhx tanhy ¾ º ËØ ÐÐ Ò Ë arcoth ÙÖ Ò Ò Ø ÖÐ Ò ÄÓ Ö Ø ÑÙ Öº ÍÑ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ coth Ø arcoth ÛÓ cothx = cosh(x)/sinh(x)µ ¾ º µ Å Ò Ø ÑÑ Ò Ø Ò ÈÙÒ Ø A = (26,0, 13) ÚÓÒ Ö Ò 2x y 2z = 30º µ Å Ò Ø ÑÑ Ò Ø Ò ÈÙÒ Ø B = (12,22,16) ÚÓÒ Ö Ö Ò x = 26 0 +λ 2 1. 13 2
½¼º ÙÒ Ð ØØ ¼º Ö Ò Ò Ë ÓÐ Ò ÏÙÖÞ Ð ÙÒ Ø ÐÐ Ò Ë ÐÐ Ä ÙÒ Ò Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò Ò Ö 5 243 ½º Ö ÒÞ Ö Ò Ë ÓÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò µ f(x) = (3x 2 + 5 x )1 4 µ f(x) = 5 sin(2x 1)+3x 2 µ f(x) = 4x 1 3x µ f(x) = (x+1)ln( 2 x 2 + 3 x ) µ f(x) = exp(sinh(2x)+arcosh( 1 2x 2 )) µ f(x) = (2 x ) 4 ¾º Ø ÑÑ Ò Ë À Ð ÒÐÒ Ò ÙÒ Ò Ø Ò Ö Ö ÒÒÔÙÒ Ø Ö ÐÐ Ô 3x 2 +27y 2 27 = 0. Ë Ò Ò Ë ÒÒ ÐÐ Ô Ñ Ø Ö Ö Ò g : y = 1 2 x 1º º ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ f : R 2 R Ù ËØ Ø Ø ÛÓ { 3x 2 y 2, Ö (x,y) (0,0), f(x,y) = (x 2 +y 2 ) 3/2 0, Ö (x,y) = (0,0).
½½º ÙÒ Ð ØØ º Ø ÑÑ Ò Ë ÓÐ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ µ lim x 0 sinhx tanhx x sinhx µ lim x 0 (cotx) tanx 2x 2 µ lim x e 0.4x 3 1 e x x x 0 µ lim +3 1 e x x µ lim x 1 3 µ lim x 0 xcothx 1 ln(3x) 1 ln( 1+9x 9x 2 ) º ÒØÛ ÐÒ Ë ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = arctan 2x+1 x+3 ÙÑ x 0 = 2 Ò Ò Ì ÝÐÓÖÖ ÞÙ Ò Ð ÖÒ ÞÛ Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ º º Ø ÑÑ Ò Ë Ö Ø Ò Ö Ð Ö Ö Ê µº º Ö Ò Ë Ù Ö Ò Ö Ñ Ï Ò ÃÙÖÚ Ò Ù ÓÒ Ö ÓÐ Ò Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÖ Ò Ë Ò ÓÒ Ö Ù ÓÐ Ò Ò ÈÙÒ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ö ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÐÓ Ð ÙÒ ÐÓ Ð ÜØÖ Ñ Ï Ò ÔÙÒ Ø ÅÓÒÓØÓÒ ÃÖ ÑÑÙÒ Ú Ö ÐØ Ò Î Ö ÐØ Ò Ñ Ê Ò Ò Ø ÓÒ Ö ËØ Ø Øµ ÙÒ ÖØ Ò Ë Ò Ë ÞÞ Òº (a) f(x) = ln(3x+1) 3x+1 (b) f(x) = 9 4x 2
½¾º ÙÒ Ð ØØ º Ö Ò Ò Ë Ì Ò ÒØ Ð Ò Ö Ð f(x,y) = 15x 3 + 13y 4 Ñ ÈÙÒ Ø (1,1) ÙÒ Ø ÑÑ Ò Ë Ê ØÙÒ ØÖ Ø Ò Ò Ø º º Ø ÑÑ Ò Ë ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÙÒ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x,y) = x2 6 3xy + y3 6. º Ö Ò Ò Ë Â Ó Ñ ØÖ Ü Ö ÙÒ Ø ÓÒ f : R 3 R 2 Ñ Ø ( ) xyz +y 2 f(x,y,z) = xy 2. +sinhx
½ º ÙÒ Ð ØØ ¼º Ø ÑÑ Ò Ë ÓÐ Ò ÁÒØ Ö Ð ÒÙÖ Ñ Ø Ù Ö ÎÓÖÐ ÙÒ ÒÒØ Ò Å ØØ ÐÒ µ x+ln 5 xdx µ 3 0 x2 +2 x+3 dx µ 2 0 x 2 +4x+4 x+2 dx ½º Ø ÑÑ Ò Ë Û Ð Ð ÞÛ Ò Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÞÛº ÃÙÖÚ Ò µ f(x) = x 3 +2x ÙÒ g(x) = x µ y 2 = 2x ÙÒ y 2 = x/2+4 ¾º Ö Ò Ò Ë Ó ÒÐÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÞÛ Ò x 0 = 0 ÙÒ x 1 = ln(4+ 17)º º Ö Ò Ò Ë f(x) = cosh(x) B x 2 ydxdy, ÛÓ B ÚÓÒ Ò Ö Ò 4x = 1+y x = 4y 4 ÙÒ ÚÓÒ Ö ÀÝÔ Ö Ð xy = 3 Ö ÒÞØ Û Ö ÙÒ ÒÞ Ö Ð Ö x¹ Рغ