A Francesca, Paola, Laura

Transcript

1 A Francesca, Paola, Laura

2 L. Formaggia F. Saleri A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2 3

3 LUCA FORMAGGIA FAUSTO SALERI ALESSANDRO VENEZIANI MOX - Dipartimento di Matematica F. Brioschi Politecnico di Milano L immagine di sfondo della copertina rappresenta una simulazione numerica del campo di moto attorno a una imbarcazione da canottaggio da competizione (per gentile concessione di CD ADAPCO Ltd. e Filippi Lido s.r.l.). Nei riquadri: in basso, geometria semplificata e griglia di un disco freno per automobili; in alto, griglia di un modello di carotide fornito da D. Liepsch e dalla F.H. di Monaco di Baviera (gentile concessione di K. Perktold e M. Prosi). Entrambe le griglie sono state generate con il codice Netgen di J. Schöberl ( Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.it Springer-Verlag Italia, Milano 25 ISBN ISBN Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d autore, ed è soggetta all autorizzazione dell Editore. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc, in quest opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum Srl, Bollate (Milano)

4 ÈÖ Þ ÓÒ ÁÐ ÔÖ ÒØ Ø ØÓ Ò Ðг Ô Ö ÒÞ Ñ ØÙÖ Ø Ð ÙØÓÖ Ò ÐÐÓ ÚÓÐ Ñ ÒØÓ ÓÖ Å ØÓ ÆÙÑ Ö Ô Ö Ð³ÁÒ Ò Ö Ò Ð ÆÙÑ Ö ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ ÐÐ Ö Ú Ø È ÖÞ Ð Èµ Ø ÒÙØ Ô Ö Ð Ð ÙÖ ÔÖ ÑÓ ÓÒ Ó Ð Ú ÐÐÓ Ô Ö ÓÖ ÓØØÓÖ ØÓ ÔÖ Ó ÈÓÐ Ø Ò Å Ð ÒÓ ÄÓ ÒÒ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø Ð ËØÙ Ö ÑÓº Ä³Ó ØØ ÚÓ Ø Ð ÓÖ ÕÙ ÐÐÓ ÒØÖÓ ÙÖÖ Ð ØÙ ÒØ ÐÐ Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ô Ö È ÙØ Ð Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖÓ¹ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ø Óº ÍÒ ÐÐ ÓÐØ ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÕÙ ØÓ Ñ ØÓ ÕÙ ÐÐ ØÖÓÚ Ö Ð Ù ØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ö Ð ÒÓÞ ÓÒ Ø ÓÖ Ð ÐÓÖÓ Ø¹ Ø ÚÓ ÙØ Ð ÞÞÓ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð º ÉÙ Ø Ö ÓÐØ ÑÔ Ö Þ ÚÙÓÐ Ö ÙÒ ÓÒØÖ ÙØÓ Ô Ö Ö Ô Ö Ô Ö ÚÚ Ò ÕÙ Ø Ø٠г Ö ÒÞ Ö Ð Ô ÖØ Ø ÓÖ Ô ØÖ ØØ ÕÙ Ø ÔÐ Ò ÕÙ ÐÐ Ô ÓÔ Ö Ø Ú º È Ö ÕÙ ØÓ ÑÓØ ÚÓ ÓÐØÖ Ö Þ Ö ØØ Ö Ñ Ó ÑÑ Ø ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ô Ò Ð ØÖÙÑ ÒØ Ðг Ò Ð ÆÙÑ Ö ØÖ ØØ Ô Ó Ø Ñ ³ Ñ ÓÖ Ñ ÒÞ ÓÒ Ø µ Ú Ò ÓÒÓ ÐØÖ ÓÒØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ñ ÓÐÓ µ Ò ÕÙ Ð ÐÓ ØÙ ÒØ ÒÚ Ø ØÓ Ô ÖØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð ÓÖÑ Ð ÞÞ ÖÐÓ Ò Ø ÖÑ Ò È Ù Ú Ñ ÒØ Ú Ò Ð ÞÞ Ö Ö ÓÐÚ Ö ÒÙÑ Ö Ñ ÒØ º ÁÒ Ò Ö Ð ÑÓ Ö ØÓ ÓÒ ÒØ Ö Ú Ö Ú Ð ØØÙÖ Ù Ú Ò¹ Ó Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ö Þ Ò Ô ÖØ Ø ÒØ Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ð ÈÖÓ Ð Ñ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ò Ð Ö ÙÐØ Ø º Ð Ö Þ ÓÒØÖ Ò Ø ÓÒ µ ÒÒÓ ÙÒ Ô Ö Ö Ó ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ØÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ Ð ÅÓ ÐÐÓ Å ¹ Ø Ñ Ø Óº ÄÓ ÓÔÓ ÕÙ Ø Ù Ú ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÚÓÐ Ö Ò ÐÐ Ð ØØÙÖ Ó ÒØ Ö ØÓ ÓÐÓ Ð Ô ØØ Ø ÓÖ Ó ÕÙ ÐÐ Ô ÕÙ Ø Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ø ¹ Ò Ò Ó ÔÖ ÒØ Ð Ô Ö Ö Ó Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ ÔÓ³ Ð ÒØ Ö ÓÒ Ø Ð ÐØÖ Ù Ò Ð ÞÞ Ø ÙÒ Ú ÐÙØ Þ ÓÒ Ö Ø Ö ÙÐØ Ø ÓØØ ÒÙØ º Ë Ò Ð Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ð Ö Þ ØÖ ØØ ÕÙ ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÒÞ ÓÐÙÞ ÓÒ µ Ò ÅÓ ÐÐ Ø ÆÙÑ Ö Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð º ÉÙ ÖØ ÖÓÒ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÁØ Ð ¾¼¼ µ ÕÙ ØÓ ÚÓÐÙÑ ÔÙ Ö ÑÔ ØÓ ÙØÓÒÓÑ Ñ Ò¹ Ø º Á Ö Ú Ö Ñ Ø ÓÖ ÔÓ Ø Ðг Ò Þ Ó Ó Ò Ô ØÓÐÓ Ò ÐÐ ÔÔ Ò ÒÒÓ Ò ØØ ÐÓ ÓÔÓ ÖÒ ÙÒ Ø ØÓ ÙØÓÓÒØ ÒÙØÓº

5 ÎÁ ÈÖ Þ ÓÒ ÁÐ Ø ØÓ ØÖÙØØÙÖ ØÓ Ò Ù Ô ÖØ Ð ÔÖ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ ÓÒ Ö Ð ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ò ÒØ Ð Ø ÑÔÓº ÁÒ ÙÒÞ ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÔÖÓÔÓÒ ÑÓ ÙÒ Ô ØÓÐÓ Ö Ð Ø ÚÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø Ø ÐÐ Ð Å ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø º Ä ÔÖ Ñ Ô ÖØ ÖØ ÓÐ Ø Ò Ô ØÓÐ ¾ º ÁÐ Ô ØÓÐÓ ¾ ÓÒ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ Ô Ö ÕÙ Ð Ð ØØ Ú Ó ÓÑ Ò ÒÓ Ð Ô ØÓÐÓ ÓÒ ÒØÖ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ ÔÓÖØÓ Ó Ö Þ ÓÒ ÓÑ Ò ÒØ Ð Ô ØÓÐÓ Ö Ó Ð Ö Þ ÙÐ Ñ ØÓ Ó ÐÐ Ö ÒÞ Ò Ø º Ä ÓÒ Ô ÖØ Ô ØÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÐÐ ÐÓÖÓ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ò Ø ÑÔÓ Ø ÒØÓ ÓÒ Ñ ØÓ ÐÐ Ö ÒÞ Ò Ø ÕÙ ÒØÓ ÓÒ Ñ ØÓ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ô ØÓÐÓ Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Æ Ú Ö¹ËØÓ Ô Ö ÙÒ Ù Ó Ò Ø Ó Ø ÒØ º ÓÑÔÐ Ø ÒÓ Ð ÚÓÐÙÑ ØÖ ÔÔ Ò º ij ÔÔ Ò Ø Ö ÓÖ ¹ Ö ÐÙÒ ÒÓÞ ÓÒ Ðг Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ò Ö Ô Ö ÙÒÓ ÚÓÐ Ñ ÒØÓ Ö ÓÖÓ Ó ÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÖ Ð Ö Þ ÔÖ ÒØ Ø º ij ÔÔ Ò Ö Ñ ÐÙ¹ Ò ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ø Ò ÙÐÐ ÔÖÓ Ö ÑÑ Þ ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø º ij ÔÔ Ò ÚÙÓÐ ÒÚ Ö ÙÒ ÚÓÐØÓ ÕÙ ÒÓÑ Ô ÚÓÐØ Ú Ò ÓÒÓ Ø Ø Ò ÐÐÓ ÚÓÐ Ñ ÒØÓ Ð Ö Þ º Ò ÐÙÒ Ðг Ö ÙÒ Ö ÓÐØ Ó Ö Ù¹ Ø Ú ÚÙÓÐ Ö ÓÐÓ ÙÒ Ö Ò Ô Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ú ÓÒØÖ ÙØ ÒÒÓ ØÓ Ò ÕÙ Ø ÔÐ Ò º Ä ÑÙÐ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÒÓ Ø Ø ÚÓÐØ ÓÒ Ù Ó Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ø ØÓ Ù ØÓ Ð Ó Å ÌÄ Ñ½ Ö ØØÓ Ð ÙØÓÖ Ö Ð ÔÖ Ó Ð ØÓ ÑÓܺÔÓÐ Ñ º Ø» Úº ÐÐÓ Ø Ó ØÓ ÔÓ Ð Ö Ö ÐØÖÓ Ñ Ø Ö Ð ÒÓÒ ØÖÓÚ ØÓ ÔÓ ØÓ Ò ÕÙ ØÓ ÚÓÐÙÑ Ô Ö Ö ÓÒ Ô Þ Óº È Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÓÖ Ó Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ Ú ÐÙÔÔ ØÓ ÇºÈ ÖÓÒÒ Ù ºÀ Ø ºÄ ÀÝ Ö ØØÔ»»ÛÛÛº Ö ÑºÓÖ»µ Ð Ù Ò Ö ¹ Ð Ø Ð Ù Ö ÒÞ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓÐ ÐÐ È Ò ÒÒÓ ÙÒÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ØØ Ñ ÒØ Ú Ð Óº ÎÓ Ð ÑÓ Ö Ò Ö Þ Ö ØÙØØ ÓÐÓÖÓ ÒÒÓ Ö Ó Ñ Ð ÓÖ ÕÙ ØÓ Ð ÖÓ Ò Ô Ö¹ Ø ÓÐ Ö Ð ÈÖÓ º Ð Ó ÉÙ ÖØ ÖÓÒ ÓÐÐ Ð ØÙ ÒØ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÓÖÓ ÓÑ Ò ÒÒÓ ÓÖÒ ØÓ Ó Ø ÒØ Ñ ÒØ ÔÙÒØ Ù Ö Ñ ÒØ º ÖÖÓÖ ÑÔÖ Ó¹ Ò ÓÒÓ ÓÚÚ Ñ ÒØ ÓÐÓ Ö ÔÓÒ Ð Ø ÒÓ ØÖ ÑÓ Ö Ø Ò ³ÓÖ ÚÓÖÖ Ò Ð Ö Ð º Ê Ò Ö Þ ÑÓ Ò Ò Ð ÓØغ Ö Ò ÓÒ ËÔÖ Ò Ö¹ÁØ Ð Ô Ö Ð Ó Ø ÒØ Ø ÑÓÐÓ Ð Ó Ø ÒÓ Ð Ô Þ ÒÞ ÑÓ ØÖ ØÓ ÙÖ ÒØ Ð³ ÒØ Ö ÔÖ Ô Ö Þ ÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ º Å Ð ÒÓ Ñ Ó ¾¼¼ Ð ÙØÓÖ

6 ÁÒ ÈÖ Þ ÓÒ... Î ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø... ½ ½º½ ÓÒ Ñ ÒØ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÁÐ Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ø º ½ ½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ººººººººººº ½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½½ ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ºººººººººººººº ¾ Á ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Þ ÓÒ Ö ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó... ¾ ¾º½ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ºººººººººº ¾ ¾º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓ Ð Ñ Ù ÓÒ ØÖ ÔÓÖØÓ Ö Þ ÓÒ... º½ ÓÒ Ö Þ ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ØÖ ÔÓÖØÓ ÓÑ Ò ÒØ ººººººººººººººººººººººººººººººº ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Þ ÓÒ ÓÑ Ò ÒØ ºººººººººººººººººººººººººººººººº½½¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó ÐÐ Ö ÒÞ Ò Ø...½¾ º½ Ê ÔÔÓÖØ ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒ ººººººººººººººººººººººº½¾ º¾ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Ñ ÓÖ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

7 ÎÁÁÁ ÁÒ ÁÁ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔÓ¹ Ô Ò ÒØ ÕÙ Þ ÓÒ Ø ÔÓ Ô Ö ÓÐ Ó...½ º½ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ò Ø ÑÔÓ Ñ ÒØ Ö ÒÞ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ò Ø ÑÔÓ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ººººººººººººººº¾½ ÕÙ Þ ÓÒ Ø ÔÓ Ô Ö ÓÐ Ó...¾ º½ ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ö ØÖ ÔÓÖØÓ Ö Þ ÓÒ ºººººººººººººººººººººººº¾ º¾ Ë Ø Ñ ÕÙ Þ ÓÒ Ô Ö ÓÐ Ð Ò Ö Ð ÔÖ Ñ³ÓÖ Ò ººººººººººº¾ ÕÙ Þ ÓÒ Æ Ú Ö¹ËØÓ Ô Ö Ù Ò Ø Ó Ø ÒØ...¾ º½ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Þ ÓÒ Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº¾ º¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔÓ¹ Ô Ò ÒØ ººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ÁÁÁ ÔÔ Ò Ê Ñ Ò Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð... º½ Ð Þ ÓÒ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ ÐÐ Ö Ú Ø Ô ÖÞ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Å ÙÖ Ä Ù ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º ËÔ Þ À Ð ÖØ ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º Ä ØÖ ÙÞ ÓÒ ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º ËÔ Þ L p H s ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ¼ º ËÙ ÓÒ l p ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º ÍÒ³ ÑÔÓÖØ ÒØ Ù Ù Ð ÒÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ØØ Ñ ÒØÓ Ñ ØÖ Ô Ö... º½ Ö Ú Ö ÑÓ Ð Ö Ñ ØÖ Ð ººººººººººººººººººººººººººº º¾ Ì Ò Ñ ÑÓÖ ÞÞ Þ ÓÒ Ñ ØÖ Ô Ö ººººººººººººººººººº º¾º½ ÁÐ ÓÖÑ ØÓ ÇÇ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º¾ ÁÐ ÓÖÑ ØÓ ÝÐ Ò ººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º¾º ÁÐ ÓÖÑ ØÓ ËÊ ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º¾º ÁÐ ÓÖÑ ØÓ ÅËÊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ij ÑÔÓ Þ ÓÒ ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ ÒÞ Ð ºººººººººººººººººººººººº ¾ º º½ Ð Ñ Ò Þ ÓÒ Ö Ð ÖØ ÒÞ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ì Ò Ô Ò Ð ÞÞ Þ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ò ÓÒ Ð ÞÞ Þ ÓÒ ºººººººººººººººººººººººººº º º ÓÒ Þ ÓÒ ÒÞ Ð Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ØØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º ÕÙ Ò Ó... Ê Ö Ñ ÒØ Ð Ó Ö... ÁÒ Ò Ð Ø Ó... ½

8 ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÒØÖÓ ÙØØ ÚÓ Ö Ó Ð ÑÓ Ò Ñ Ò Ö ÒØ Ø ÐÙÒ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÐÐ Ø ÓÖ Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò Ø º ÉÙ ØÓ ÙÒ Ð ØÓ Ô Ö ÓÖÒ Ö Ð Ð ØØÓÖ ÙÒ Ö ÓÐØ Ò Þ ÓÒ Ö ÙÐØ Ø Ô Ó Ô Ö Ò Ú Ö Ø Ø Ðг ÐØÖÓ Ô Ö ÒØÖÓ ÙÖÖ ÐÙÒ ÒÓØ Þ ÓÒ ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ ÔÓ Ö ÔÖ Ò Ô ØÓÐ Ù Ú º ½º½ ÓÒ Ñ ÒØ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ø Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ðг ÔÔÖÓ Ñ Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ö Ú Ø Ô ÖÞ Ð ÓÒ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÑÔÐ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ñ Ò ÓÒ Ò Ø V h ÓÔÔÓÖØÙÒÓ Ø Ô Ñ ÒØ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ ÐÓ ÐÑ ÒØ ÓÒØ ÒÙ º Ä ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒÚ Ö ÒÞ Ð Ñ ØÓ Ó Ô Ò ÓÒÓ Ö ØØ Ñ ÒØ Ðг ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÙÐÐÓ Ô Þ Ó Ö ØÓ V h Ó ÕÙ Ò Ð Ò Ø ØÙ Ö Ò ÓÖÑ Ò Ö Ð Ð Ø ÓÖ Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ º ½º¾ ÁÐ Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ø Ë ÓÒ Ö ÙÒ Ô ÖØ Þ ÓÒ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ØÓ [a, b] Ò n ÒØ ÖÚ ÐÐ Ñ Ö ¹ ÑÓ Ò Ð Ñ ÒØ µ K j =[V j,v j ] ÑÔ ÞÞ h j = V j V j j =,...,n n+ Ú ÖØ V i i =,...,n ÓÒ V = a V n = bº Ì Ð Ô ÖØ Þ ÓÒ Ò Ö ÑÓ ÓÒ T h (a, b) Ó Ô ÑÔÐ Ñ ÒØ T h ØØ Ö Ð ºÈ Ö Ú Ø Ö Ñ Ù Ø Ù Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ð ØØ Ö V Ô Ö Ò Ö Ú ÖØ ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØÖ Ö ÖÚ Ö ÑÓ Ð Ð ØØ Ö x Ô Ö ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÒÓ Ò Ò Ö Ð ÙÒ ÓÚÖ Ò Ñ Ú ÖØ º Í ÑÓ

9 ¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø c) b) K 2 2, 2, 2,2 2,3,,2 2, 2,2 2 3, 3,2 3 4, 4,2 4 5, 5,2 5 a) K K 2 K 3 K 4 K ÙÖ ½º½º Ä Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÒÓ Ô Ö Ð³ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø Ö Ó r>º ÁÒ a) Ð ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó ÓÒ Ú ÖØ Ð Ð Ñ ÒØ K j Ò Ø ÓÒ º ÁÒ µ Ð Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÒÓ ÒØ ÖÒ Ò Ð Ó ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ù ÓÒ ÙÒ ØØ Ð Ó ÐÐ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ô Ö Ð³ Ð Ñ ÒØÓ K 2º ÁÒ µ Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ Ò Ð ÒÓ ÓÒ Ó Ð ÓÒ Ó Ñ ÔÖÓÔÓ ØÓ Ð Ð ØØ Ö Ñ Ù ÓÐ K Ô Ö Ò Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ò ÐÓ ÕÙ ÒØÓ Ö ÑÓ Ò Ð Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð º È Ö Ó ØÖÙ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖ Ä Ö Ò ÓÑÔÓ ØÓ Ö Ó r ÚÖ ÑÓ Ó ÒÓ r ÒÓ ÒØ ÖÒ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ÙÒ ÓÒÓ Ù ÒÓ Ø Ð ØÖ Ñ º È Ö ÙÒ K j ÒØ ÒÓ ÕÙ Ò r ÔÙÒØ Þ ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ö ÑÓ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÕÙ Ô Þ Ø x j,s = V j + sh j /r Ô Ö j =,...,n s =,...,r Ú Ð ÙÖ ½º½µº ÈÓÖÖ ÑÓ ÒÓÐØÖ x j, V j x j,r V j º Ë ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ó Ò Ö Ö Ù ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ K j Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó r ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ ÙÒ Ø ÙÒÞ ÓÒ f Ò ÔÙÒØ x j,s s =,...,r ÕÙ Ò Ó ØÖÙ Ö Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖ ÓÑÔÓ ØÓº É٠سÙÐØ ÑÓ Ö Ô Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙÓº Ä ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ s =,...,r ÒÓ Ðг ÒØ ÖÒÓ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ØØ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð º ÓÒÚ Ò ÒØ ÕÙ Ò Ó ÒÓÒ Ò Ö Ó ÓÖÒ Ö ÙÒ³ Ò ÞÞ Þ ÓÒ ÙÒ ÚÓ Ô Ö ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ØØ Ò ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð º ÆÓÒ Ú ÙÒ ÓÐÓ ÑÓ Ó Ô Ö ÖÐÓ ÙÒ ÔÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ð ÔÓÖÖ x k = x j,s ÓÒ k = r(j ) + s Ô Ö s =,...r j =,...,n ÔÓÒ Ò Ó Ò Ò x rn+ = x n,r º ÑÓ ÕÙ Ò ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÓØ Ð N = nr +ÔÙÒØ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ó ÒÓ x <x <...<x N º ÍÒ ÐØÖÓ Ñ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ð Ö Ñ ÒØ ÓØØ ØÓ Ò Ðг Ñ ØÓ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Ð ÒÙÑ Ö Ö ÔÖ Ñ Ú ÖØ ÐÐ Ö Ð ÕÙ Ò ÒÓ ÒØ ÖÒ º Ë ÓÒ Ó ÕÙ ØÓ Ñ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐÙ ØÖ ØÓ Ò ÙÖ ½º½ Ð Ù ÒØ Ó Þ ÓÒ ØÖ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ò ÐÐ ÓÖÑ (j, s) Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ô Ö j =,...,n { j s =, (j, s) n +(j )(r ) + s, Ô Ö s =,...,r, ÓÑÔÐ Ø Ø (n, r) nº ÍÒ Ú ÒØ Ó ÕÙ ØÓ Ñ Ú ÖØ ÐÐ Ö Ð Ó Ò ÓÒÓ ÓÒ ÔÖ Ñ n + ÒÓ Ò ØØ x i = V i Ô Ö i =,...,nº Ú ÒØ Ð Ù Ø Ò ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÒÓ Ó Ò ÓÒÓ Ô Ö Ð Ó Ð Ò Ö ÓÚ ÒÓÒ ÒÒÓ ÒÓ ÒØ ÖÒ º

10 ½º¾ ÁÐ Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ø Ë ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ Ó ÓÑÔÓ ØÓµ Ö Ó Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ f C ([a, b]) ÓÒ [a, b] R Ò ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ x,...x N Ò Ø ÙÐÐ Ö Ð T h Ð ÙÒÞ ÓÒ Πh r f Ó Π r h f K j P r (K j ), j =,...,n, Π r h f(x i)=f(x i ), i =,...N, ÓÚ P r (K j ) ÐÓ Ô Þ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ó Ð Ñ ÑÓµ r ÙÐг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ K j h =max j n h j º ÁÐ Ô Ö Ñ ØÖÓ h ØØÓ Ô Ó Ö Ð º ij ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ Π r h f ÔÙ Ö ÔÖ Ó ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ö ØØ Ö Ø Ó Ä Ö Ò Ö Ó r φ i i =,,...,N ÓÒ Ó Ð Ö Ð Þ ÓÒ N Πh r f(x) = f(x i )φ i (x). i= Ó ÓÒÓ ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒ Ñ ÒØ Ð ½º½µ φ i (x j )=δ ij, i,j =,...,N, ½º¾µ Ò Ó δ ij Ð Ñ ÓÐÓ ÃÖÓÒ Öº ÓÒ Ù ÒÞ φ i (x) = x ÒÓÒ ÔÔ ÖØ Ò ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ K j ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÒÓ Ó x i ÕÙ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ä Ö Ò ÒÒÓ ÙÔÔÓÖØÓ Ð Ñ Ø ØÓº ÍÒ³ ÐØÖ ÔÖÓÔÖ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ä Ö Ò Ô Ó ÙØ Ð ÞÞ Ø Ò Ðг Ò Ð N φ i (x) =, i= x [a, b]. Ö Ú Ð ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ò Ó Ò ÐÐ ½º½µ г ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ó Ø ÒØ f =º ij ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ ÔÙ Ò Ò¹ Ø ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÐгÓÔ Ö ØÓÖ Πh r : C ([a, b]) Xh r (a, b) Ò ØÓ ÐÐ ½º½µ Ò Ó Xh r (a, b) ÐÓ Ô Þ Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ Ö Ó r ÙÐÐ Ö Ð T h X r h(a, b) {v h C ([a, b]) : v h Kj P r (K j ),j=,...,n}. ½º µ Á ÔÓÐ ÒÓÑ Ö ØØ Ö Ø Ä Ö Ò ÓÖÑ ÒÓ ÙÒ Ô Ö ÐÓ Ô Þ Ó Xh r (a, b) ÚÖ ÕÙ Ò Ñ Ò ÓÒ nr +º ijÓÔ Ö ØÓÖ Πh r Ð Ò Ö Ð Ñ Ø ØÓ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ö Ô ØØÓ h Ò ÐÐ ÒÓÖÑ f C ([a,b]) max a x b f(x), f C (a, b), ÖÙØØ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ ÑÑ Ö ÓÒ ËÓ ÓÐ Ú Ú Ð³ ÔÔ Ò µ Ó ÔÙ Ö Ø Ó ÙÒÞ ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó H (a, b)º ÁÒ ØØ Ó Ö ÙÐØ Ö Ð Ñ Ø ØÓ Ò Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÒÓÖÑ H Ò Ø Ò ÐÐ º½½µ Ô ÔÖ Ñ ÒØ Ø ÙÒ Ó Ø ÒØ C r > Ø Ð v H (a, b) Π r h v H (a,b) C r v H (a,b). ½º µ

11 ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø φ φ i φn a b x x i x n ÙÖ ½º¾º ÑÔ ÔÓÐ ÒÓÑ Ö ØØ Ö Ø Ð Ò Ö ÓÑÔÓ Ø Ä Ö Ò È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð³ ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÒÒÓ Ö ÙÐØ Ø Ù ÒØ Ú Ð Ô Ö Ó Ò v H p+ (a, b) Ô ÖÙÒ ÒØ ÖÓ p> Ô Ös =min(r, p) v Π h v H (a,b) C s,r, n j= h 2s j v 2 H 2 (K j) C s,r,h s v H s+ (a,b), ½º µ v Π hv L 2 (a,b) C s,r, n j= h 2(s+) j v 2 H 2 (K j) C s,r,h s+ v H s+ (a,b). ½º µ Æ Ð Ó Ð Ò Ö v H 2 (a, b) C,, = 5/24 C,, = 2/2º Ë ÒÚ v H (a, b) Ñ v / H 2 (a, b) ÔÙ ÓÖÒ Ö ÙÒ ÓÖ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÓÒÚ Ö ÒÞ Ò ÒÓÖÑ L 2 Ò ØØ Ò ÕÙ ØÓ Ó n v Πhv r L 2 (a,b) C r h 2 j v 2 H (K C j) rh v H (a,b), j= Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö C = 2 ÒÓÐØÖ Ð Ù ÒØ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÒÚ Ö ÒÞ lim v h Πr h v H (a,b) =. ½º µ Ö Þ Ó ½º¾º½ Î Ö Ö Ô Ö Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ Ð Ù Ù Ð ÒÞ ½º µ ÔÔÐ ¹ Ò ÓÐ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ù ÒØ f (x) =sin 2 (3x) f 2 (x) = sin(3x) sin(3x), Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ (, 3) Ù Ò Ó r =, 2, 3, 4º Ë ÓÑÑ ÒØ ÒÓ Ö ÙÐØ Ø ÐÐ ÐÙ¹ Ð ØØÓ f H s (, 3) Ô Ö Ó Ò s Ñ ÒØÖ f 2 H 2 (, 3) Ñ f 2 / H 3 (, 3)º Ë Ù ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÐÐ Ù Ø ÓÑÔÔÓÐÝ Ö Ð Ð ØÓ ÑÓܺÔÓÐ Ñ º Ø» Úµ Ö Ð ÙÒ ÓÖÑ ÓÒ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØ Ô Ö º ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º¾º½ Ä ÙÒÞ ÓÒ ÒØ Ð Ð ÔÖ Ó ÓÑÔÔÓÐÝ Ø Ò ÓÒÓ ÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø ÐÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ø Å ÌÄ Ø ÒØ Ô Ö Ð³ Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÑÔÐ º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÓÑÔÔÓÐÝ Ø ÐÓÐ Ó ÒØ

12 ½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÑÔÓ ØÓ Ö Ó Ò ØÓ ÓÑÔÔÓÐÝÚ Ð ÐÓ Ú ÐÙØ ÙÙÒÚ Ø¹ ØÓÖ ÔÙÒØ ØÓº ÁÒÓÐØÖ ÓÑÔÔÓÐÝ ÖÖ Ú ÐÙØ Ð³ ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò ÒÓÖÑ L 2 Ó H s Ô Ö ÙÒ s ÒØ ÖÓ ½ º ÄÓ Ö ÔØ Å ÌÄ ÓÒØ ÒÙØÓ Ò Ð Ð Ö Þ Ó ÓÑÔÔÓÐÝºÑ ÓÒØ Ò ÙÒ ÔÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг Ö Þ Óº Ó ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ö ØØ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÓÑ Ò ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ö ØØ º Ê ÔÓÖØ ÑÓ Ð ØÖÙÞ ÓÒ Ô Ò Ø Ú Æ ½ ³ Ò Üµ Ò Üµ³ ¾ ³ Ò Üµµ Ò Üµ³ ¾ ³ Ó Üµ Ò Üµµ Ò Üµ Ò Ò Üµµµ³ ÓÖ ½ ÒØ Ñ Ñ Ð Ò Ô ½ Æ ½µ µ ¾»Æ Ó ½ ÓÑÔÔÓÐÝ Ø Ñ ½ Ö µ Ó ¾ ÓÑÔÔÓÐÝ Ø Ñ ¾ Ö µ ÖÖ½ µ ÓÑÔÔÓÐÝ ÖÖ Ó ½ ½ ½ Ñ ÒÓÖѵ ÖÖ¾ µ ÓÑÔÔÓÐÝ ÖÖ Ó ¾ ½ ß ¾ ¾Ð Ñ ÒÓÖѵ Æ ¾ Æ Ò Ð ÖÖÓÖ ÐÓÐ Ø ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø Ò ÙÒÞ ÓÒ h Ò ÐÐ ÙÖ ½º º Ë ÒÓØ ÓÑ Ò Ð Ó Ðг ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð ÖÖÓÖ Ô Ö Ð Ù ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ ÙÒ Ò Ñ ÒØÓ ÑÓÐØÓ Ñ Ð º ÁÐ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ñ Ö ÐÑ ÒØ ÕÙ Ò Ó ÓÒ Ö ÒÓ ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ö Ó Ô Ð Ú ØÓ ÓÚ Ð Ñ ÒÓÖ Ö ÓÐ Ö Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f 2 Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ò ÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ô ØØÓ hº ½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÍÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÓÑ ØÖ Óµ K ÙÒ Ò Ñ Ù Ó Ð Ñ Ø ØÓ R d ÓØØ ÒÙØÓ Ô ÖØ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÑÔÐ K ØÓ Ø Ô Ñ ÒØ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ØÖ Ñ Ø ÙÒ Ñ ÔÔ ØØ Ú T K Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö ÓÐ Ö Ú Ð ÙÖ ½º µ K = T K ( K). ½º µ Æ Ð Ù ØÓ Ð Ñ ÓÐÓ Ú ÖÖ Ù ØÓ Ô Ö Ò Ö ÕÙ ÒØ Ø Ó Ø Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓº Ù ÐØ ÓÑÙÒ ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ ÔÖ Ò Ö ÓÑ K Ð ÑÔÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó ¾ Ó ÐÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ù Ó Ò µùò Ø Ö Óº Ä Ö ÓÐ Ö Ø Ö Ø ÐÐ Ñ ÔÔ T K Ô Ò ÕÙ Ð Ô Þ Ó ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÚÙÓÐ Ó ØÖÙ Ö Ð Ö Ø È Ö Ú Ö Ö ÙÐØ Ø Ó Ö ÒØ ÓÒ Ð Ø ÓÖ ÓÓÖÖ ÐÓÐ Ö Ð ÒØ Ö Ð Ù Ò Ó ÓÖ¹ ÑÙÐ ÕÙ Ö ØÙÖ Ð Ù ÖÖÓÖ Ð Ñ ÑÓ ÐÐÓ Ø Ó ÓÖ Ò Ðг ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓ¹ Ð Þ ÓÒ º ÉÙ ØÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÑÔÔÓÐÝ ÖÖ ÔÓ Ö ÙÐØ Ö ÓÑÔÙØ Þ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ó ØÓ Ô Ö Ú ÐÓÖ h Ô ÓÐ r Ð Ú Ø º 2 ÁÐ ÑÔÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó Ò R d ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÓÒ d + Ú ÖØ Ù ÙÒÓ Ú Ò ÔÓ ØÓ ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ò ÐгÓÖ Ò Ð ÐØÖ Ù Ð ÖØ Ò ÓÖÑ ÒØ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ Ð Ø ÐÙÒ ÞÞ ÙÒ Ø Ö º

13 ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø.2. f Π h f..2 f Π h 2 f h h 2 f Π h 3 f 2 f Π h 4 f h h ÙÖ ½º º ÖÖÓÖ Ò ÒÓÖÑ H (, 3) Ðг ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ø Ð Ú Ö ¹ Ö hº Ä Ð Ò Ô Ò Ö Ö ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f Ñ ÒØÖ ÕÙ ÐÐ ØÖ ØØ Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f 2 Ñ ÒÓ Ö ÓÐ Ö º Ðг ÐØÓ Ú Ö Ó Ð Ó ØÖ Ò ØÖ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ö ÙÐØ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ r =, 2, 3 4º Á Ö Ö ÔÓÖØ ÒÓ Ò Ð Ô Ò ÒÞ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÓÒÚ Ö ÒÞ ÓØØ Ñ Ð Ñ Ò Ñ Ð Ð C ( K) ÓÒ ÒÚ Ö C (K) ÓÒ ÖÚ Ð³ÓÖ ÒØ Þ ÓÒ º ÉÙ ØÓ ÑÔÐ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ Â Ó Ò J(T K ) ÔÓ Ø ÚÓ Ù Kº Ä Ñ ÔÔ T K Ò ÐÐ ÓÖÑ T K ( x) =a K +F K x, ½º µ ÓÚ a K R d F K R d d ÙÒ Ñ ØÖ ÒÓÒ¹ Ò ÓÐ Ö ÓÒ F K > ÓÚ Ð Ñ ÓÐÓ ÔÔÐ ØÓ ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ò Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ º ÁÒ Ö ÑÓ ÓÒ h K Ð Ñ ØÖÓ K h K =max x,x 2 K x x 2 ÓÒρ K Ð Ö Ó Ð Ñ ÑÓ Ö Ó Ö µ Ö ØØÓ Kº ÁÒ ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ù ØÓ ÓÒ x Ð ÒÓÖÑ ÙÐ ÙÒ Ú ØØÓÖ x R d º ÍÒ ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ Ö Ð µ T h (Ω) Ω ÙÒ Ò Ñ Ð Ñ ÒØ K = T K ( K) Ø Ð Ð ÓÑ Ò Ó Ö Ø ÞÞ ØÓ Ω h Ò ØÓ Ω h =int K, K T h (Ω)

14 ½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø K y K2 T K by x T K2 bk bx ÙÖ ½º º Ù ÑÔ Ñ ÔÔ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K b Ð ÕÙ Ö ØÓ ÙÒ Ø Ö Ó Ò ÕÙ ØÓ Óµº T K Ò Ð³ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ K = T K ( K) b Ð Ø Ö ØØ Ñ ÒØÖ K 2 = T K2 ( K) b ÔÖ ÒØ Ð Ø ÙÖÚ (,) by (,,) bz (,,) by by (,) (,) (,) bx (,,) bz (,,) (,,) by bx (,,) (,,) (,) bx ÙÖ ½º º ÈÖ Ò Ô Ð ÓÖÑ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ b Kº ÁÒ ÐØÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÑÔÐ ÙÒ Ø Ö Ò R 2 R 3 º ÁÒ Ó Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ð Ù Ó ÙÒ Ø Ö Ó (,,) bx ÙÒ³ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ω Ò Ð Ò Ó lim h d( Ω, Ω h )= Ò Ó h = max K Th (Ω) h K d(a, B) Ð Ø ÒÞ ØÖ ØÖ Ù ÓØØÓ Ò Ñ A B R d ºÄ³Ó¹ Ô Ö ØÓÖ int(a) Ò Ð³ ÒØ ÖÒÓ A ÚÓ Ð ÑÓ Ò ØØ Ω h ÙÒ ÓØØÓ Ò Ñ Ô ÖØÓ R d º ÁÒ Ò Ö Ð Ω h Ω Ñ ÔÙ Ú Ö Ð³Ù Ù Ð ÒÞ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö ØÙØØ Ú Ø ÒÞ Ö ÕÙ ÒØ µ Ô Ö ÑÔ Ó Ω ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ T K Ð Ñ ÔÔ Ò º Æ Ð Ù ØÓ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÒÓØ Þ ÓÒ Ò Ö T h Ð ÔÓ ØÓ T h (Ω) ØÙØØ Ð ÚÓÐØ Ð ÓÒØ ØÓ ÐÓ Ô ÖÑ ØØ º Ë Ð Ñ ÔÔ T K Ò Ð Ö Ð Ú ÖÖ Ò ³ ØØ Ò º ÍÒ Ñ ÔÔ Ò T K ØÖ ÓÖÑ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÐÐÓ Ø Ó Ö Ó P bk = P r ( K) ÐÐÓÖ P K = P r (K)º ÁÒÓÐØÖ K ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÐÓ Ò Kº ÁÒ Ò T K ÔÖ ÖÚ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÑÓ Ð Ø º

15 ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÁÒ T h ÔÓ ÑÓ ÒØ Ö Ð³ Ò Ñ V h Ú ÖØ Ð³ Ò Ñ Ð Ø E h Ò µ г Ò Ñ ÐÐ F h ÓÖÑ Ø Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÐÐ ÑÑ Ò Ú ÖØ Ð Ø Kº ÍÒ Ö Ð ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ µ ÓÒ ÓÖÑ Ô Ö Ó Ò ÓÔÔ K,K 2 T h ÓÒ K K 2 Ú Ð ÙÖ ½º µ K K2=, K K 2 V h E h F h. Æ Ð Ù ØÓ Ð Ø ØÓ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÓÐÓ Ö Ð ÓÒ ÓÖÑ º ÙÖ ½º º ÑÔ Ó ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÖÑ Ò ØÖ µ ÒÓÒ ÓÒ ÓÖÑ ØÖ µ Æ Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÑÓ ÓÒ n v Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú ÖØ ÙÒ Ð ¹ Ñ ÒØÓ K N e N v N l Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØ Ú ÖØ Ð Ø ÐÐ Ö Ð N l,b N v,b Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ø Ú ÖØ ÒØ ÙÐ ÓÖ Óº Ë m г Ò ÓÒÒ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ð ÓÑ Ò Ó Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÖ Ð ÙÓ ÒØ ÖÒÓ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö m =Ô Ö ÙÒ ÓÑ Ò Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Ó ÐÐ ÓÖÑÙÐ ÙÐ ÖÓ Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú ÖØ Ð Ø ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö Ú ÒÓ Ð Ù ÒØ ØÖ Ö Ð Þ ÓÒ ¼¼ (a) N e N l + N v = m, (b) 2N l N l,b = n v N e, (c) N v,b = N l,b. ½º½¼µ Æ Ð Ó ÙÒ Ö Ð ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð m Ò ÒÓÖ Ð³ Ò ÓÒÒ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ð ÓÑ Ò Ó c b Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÒ ÐÐ ÖÓÒØ Ö Ω N f Ð ÒÙÑ ÖÓ ÐÐ Ö Ð Ù N f,b ÓÒÓ ÙÐ ÓÖ Ó (a) N e N f + N l N v = m c b, (b) 2N f N f,b = n v N e, (c) N v,b + N f,b = N l,b +2(c b m). ½º½½µ ÁÒ ÒØÖ Ñ ÙÒØÓ Ω ÙÒ ÓÑ Ò Ó ÓÒÒ Ó Ó ÒÓÒ ÓÖÑ ØÓ ÐÐ ÙÒ ÓÒ Ô ÖØ ÙÒØ º Ê ÓÖ ÑÓ Ò Ò ÙÒ Ñ Ð Ö Ð {T h (Ω)} h Ô Ö Ñ ØÖ ÞÞ Ø h Ö ÓÐ Ö γ > Ø Ð h > γ K = h K ρ K γ, K T h (Ω). ½º½¾µ

16 ½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ó Ø ÒØ γ Ñ Ø Ó Ø ÒØ Ö ÓÐ Ö Ø Ó Ö Øµº Í Ö ÑÓ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö ÓÐ Ö Ô Ö ÖÑ Ö ÙÒ Ö Ð ÔÔ ÖØ Ò ÙÒ Ñ Ð ÓÔÔÓÖØÙÒ Ö Ð Ö ÓÐ Ö º Ö Þ Ó ½º º½ ÍÒ Ò Ö ØÓÖ Ö Ð ÓÖÑ Ø Ø ØÖ Ö ÓÖÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØ N e Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú ÖØ N v Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÖ Ó N f,b Ð Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ò Ö ØÓÖ Ö Ð Ò Ö Ó ÓÖÒ Ö ÕÙ Ø Ø µº Ë ÚÓÒÓ ÙØ Ð ÞÞ Ö Ú ØØÓÖ Ô Ö Ñ ÑÓÖ ÞÞ Ö Ø Ó Ø ÐÐ ÐØÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ø ºµº ÉÙ Ð ÔÓ ÓÒÓ Ö Ñ Ò ÓÒ Ø ÒÞ ÓÒÓ Ö Ð ÓÒÒ ØØ Ú Ø Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÓ ÓÖ Ó ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º½ È Ö ÙÒ Ø ØÖ ÖÓ n v =4 Ö Ú ÑÓ ÐÐ ½º½½¹bµ N f = 2N e + N f,b º ÁÐ ÓÖ Ó ÙÒ Ö Ð Ø ØÖ Ö ÙÒ ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ ÙÒ Ù¹ 2 Ô Ö Ù Ó ÒÞ ÓÖ Óµ ÓÖÑ Ø Ð Ñ ÒØ ØÖ Ò ÓÐ Ö º Ä Ö Ð Þ ÓÒ Ò ½º½¼¹bµ ÔÙ ÙÒÕÙ Ö ÖÙØØ Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ò ÓÐ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ñ ÒØ º ÁÒ ØØ Ò Ð ÓÒØ ØÓ ÐÐ ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ Ö ÔÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÓÖ Ó ÙÒ Ö Ð ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ N l Ò ÐÐ ½º½¼¹bµ ÒØ Ò Ö N l,b Ð Ø ÐÐ ÙÔ Ö Ð ÓÖ Ó T h ÓÒÓ Ú ÒØ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Óµ Ñ ÒØÖ Ð Ø ÖÑ Ò N l,b ÐÐ ½º½¼¹bµ ÕÙ ÒÙÐÐÓ Ò ÕÙ ÒØÓ Ð ÙÔ Ö Ù º ÁÒ Ò N e ÐÐ ½º½¼¹bµ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö¹ ÓÑ N f,b Ò ÕÙ ÒØÓ Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ ÙÔ Ö Ð ÓÒÓ ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ð ÓÖ Ó T h º ÇØØ Ò ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ö Ð Þ ÓÒ 2N l,b =3N f,b ÙÒÕÙ N l,b = 3 2 N f,bº ÁÐ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÒØÓ ØØÓ Ð ÐØÖ Ú ØØÓÖ Ö ÓÒÓ Ö Ð Ö ¹ Ó ÓÒÒ ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÓ ÓÖ Óº ËÙÔÔÓÒ ÑÓ c b = ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÒ µ m = ÓÑ Ò Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Óµº ÐÐÓÖ N v,b =2+N l,b N f,b =2+ 2 N f,b N l = N v + N f N e 2º Ë K ÙÒ ÑÔÐ Ó ÓØØ Ô Ó ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ô ÖØ ÓÐ Ö ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ξ =(ξ i,...,ξ d+ )º Ë ÒÓ {V i,i=,...,d+} Ú ÖØ Ð ÑÔÐ Ó K x ÙÒ ÔÙÒØÓ R d º ÁÒ ÑÓ ÓÒ V i,j Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ j Ð Ú ÖØ V i Ò ÑÓ... V,... V d, V d+, K. ½º½ µ º º V,d... V d,d V d+,d ÆÓØ ÑÓ K = ±d! K ÓÚ ÔÔÐ ØÓ ÙÒ Ò Ñ R n Ò Ò Ð Ñ ÙÖ Ö Ó ÚÓÐÙÑ µ Ñ ÒØÖ Ð ÒÓ Ø ÖÑ Ò ØÓ ÐÐ ÓÖ ÒØ Þ ÓÒ Ð ÑÔÐ Óº ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð ÒÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ù Ñ Ò ÓÒ Ú ÖØ K ÓÒÓ ÓÖ ÒØ Ø Ò Ú Ö Ó ÒØ ÓÖ Ö Ó Ñ ÒØÖ Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÙÓÒÓ Ð Ó ØØ Ö ÓÐ

17 ½¼ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø V 3 V 4 y V V 2 z y V V 3 x ÙÖ ½º º ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ Ô Ö Ð³ÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ú ÖØ ØÖ Ò ÓÐ Ø ØÖ Ö V 3 V 4 x V 2 K 2 K 2 K K K 3 x x V 3 V K 3 K 4 V 2 V ÙÖ ½º º Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ð ÔÙÒØÓ x Ò Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ V 2 ÐÐ Ñ ÒÓ ØÖ º Ë K ÔÓ Ø ÚÓ K ÓÖ ÒØ ØÓ ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ú Ð ÙÖ ½º µº È Ö j =,...,d+ Ò ÑÓ ÓÒ K j (x) Ð ÑÔÐ Ó ÓØØ ÒÙØÓ K Ó Ø ØÙ Ò Ó Ð Ú ÖØ V j ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ Ò Ö Ó xº Ë Ò Ð j¹ Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ð ÔÙÒØÓ x Ó Ø Ð ÑÔÐ Ó K Ú Ð ÙÖ ½º µ ÓÑ ξ j (x) K j(x), Ô Ö j =,...,d+. ½º½ µ K ij ÒØ Ö Ò ÐÐ³Ù Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ö Ò Ð ØØÓ ÓÒÓ ÒÚ Ö ÒØ Ö Ô ØØÓ ÙÒ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò º Ë T K Ð Ñ ÔÔ Ò Ð ÑÔÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó K K Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ù ÒØ ØÖ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ÖØ Ò Ö Ö Ø Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K ξ = d x s, ξ j+ = x j, j =,...,d. ½º½ µ s= Á ÈÖÓ Ö ÑÑ ½ ¾ ÑÓ ØÖ ÒÓ ÓÑ ÔÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÖØ Ò Ó Ø Ò Å ÌÄ º

18 ½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ½½ ÈÖÓ Ö ÑÑ ½ ¹ ÖÓÓÖ ÐÓÐÓ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ x Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÑÔÐ Ó K ÙÒØ ÓÒ Ü ÖÓÓÖ Ã Üµ ± à ³ ÙÒ Ñ ØÖ Ñ Ò ÓÒ ½µ ÓÒØ Ò ÒØ Ò Ó Ò ÓÐÓÒÒ ± Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð Ö Ð Ø ÚÓ Ú ÖØ Ð ÑÔÐ Óº ± Ü ³ ÙÒ Ú ØØÓÖ ÓÐÓÒÒ Ñ Ò ÓÒ ½µ ± ÁÐ Ú ØØÓÖ ÓÐÓÒÒ Ü ÓÒØ Ò Ð ½ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ º ÓÒ ½ µ à ½ Ü Ü ÈÖÓ Ö ÑÑ ¾ ¹ ÓÓÖ Ö ÐÓÐÓ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÖØ Ò Ð ÔÙÒØÓ x Ó ØÓ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÑÔÐ Ó K ÙÒØ ÓÒ Ü ÓÓÖ Ö Ã Ü µ ± à ³ ÙÒ Ñ ØÖ Ñ Ò ÓÒ ½µ ÓÒØ Ò ÒØ Ò Ó Ò ÓÐÓÒÒ ± Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð Ö Ð Ø ÚÓ Ú ÖØ Ð ÑÔÐ Óº Ü Ã Ü ½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙÐÐ Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÙÒÓ Ô Þ Ó ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ð Ø ÔÓ X h (Ω h ) {v h : v h V (Ω h ), v h K P (K), K T h }, ½º½ µ ÓÚ V (Ω h ) ÙÒÓ Ô Þ Ó ÙÒÞ ÓÒ Ð Ò ØÓ P (K) ÙÒÓ Ô Þ Ó Ñ Ò ÓÒ n l Ò ØÓ ÙÐ Ò ÓÐÓ Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ ØÖ Óµ Kº ÉÙ Ò ÐÓ Ô Þ Ó X h (Ω h ) Ò Ð Ù ØÓ Ò Ö ÑÓ Ô Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ X h Ó ØÖÙ ØÓ Ñ Ð Ò Ó ÙÒ¹ Þ ÓÒ Ò Ø Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ K ÐÐ Ö Ð Ò Ñ Ò Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ò ÐÓ Ñ ØØÓ Ò Ô ÓÑÔÐ µ ÐÐ Ó ØÖÙÞ ÓÒ Ð Ô Þ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ Ú Ø Ò Ð Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º ÑÓ Ö ØÓ X h ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó V (Ω h )º Ë Ò ÕÙ ØÓ Ó X h ÓÒ ÓÖÑ ÐÐÓ Ô Þ Ó V ÓV ¹ÓÒ ÓÖÑ º ÍÒ Ó ÒÓØ ÚÓÐ Ð ÓÒ ÓÖÑ Ø C ÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÖÑ Ø H ÔÙÖ P (K) H (K) Ô Ö Ó Ò K Ú ÉÎ µº Ä Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó X h (Ω h ) Ò Ø ÓÒ N h º Ë ÐÓ Ô Þ Ó X h ÔÔÖÓ Ñ V X h V ÕÙ Ò Ó h Ò Ð Ò Ó Ø ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ v V Ô Ö Ó Ò ɛ> Ø ÙÒ h Ø Ð Ô Ö Ù inf v v h V ɛ h h. v h X h

19 ½¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Á Ö Ð ÖØ Σ = {σ i : X h R,i=,...,N h } ÓÒÓ ÙÒ Ò Ñ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ù X h Ø Ð Ô Ö Ù Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ v h X h (σ (v h ),...,σ Nh (v h )) R N h ÙÒ ÓÑÓÖ ÑÓº ÁÒ ÐØÖ Ô ÖÓÐ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ v h X h Ò Ú Ù Ø ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ö Ð ÖØ σ i (v h ) i =,...,N h º ÉÙ Ø Ò Þ ÓÒ ÑÓÐØÓ Ò Ö Ð ÒÐÙ ÓÑ Ó Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ð Ñ Ò¹ Ø Ò Ø Ä Ö Ò Ò Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙØ Ð ÞÞÓ Ô ÓÑÙÒ Ô Ö ÕÙ Ð Ö Ð ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒÓ Ú ÐÓÖ v h Ò ÔÙÒØ N i ÓÔÔÓÖØÙÒ Ñ Ø ÒÓ Ó σ i (v h )=v h (N i )º Å ÔÓ ÓÒÓ Ö ÐØ Ú Ö Ô Ö ÑÔ Ó Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ê Ú ÖØ¹Ì ÓÑ Ö Ð ÖØ ÓÒÓ Ù ØØÖ Ú Ö Ó Ð Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ K Ñ ÒØÖ Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ø ÔÓ À ÖÑ Ø ÓÒÓ C ¹ÓÒ ÓÖÑ µ Ö Ð ÖØ ÒÐÙ ÓÒÓ Ò Ð Ö Ú Ø v h ÒÓ º È Ö Ô ØØ Ð Ù ÕÙ Ø Ø Ô Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ð Ð ØØÓÖ ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ô Ö ÑÔ Ó ¼ ÉÎ ÍÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö X h Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ {φ i, i =,...,N h } Ø Ð φ i X h σ i (φ j )=δ ij ºÄ ÙÒÞ ÓÒ φ i ÓÒÓ ÒÓÑ Ò Ø ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ó Ò ÙÒÞ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø º Æ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò Ð Ö Ð Þ ÓÒ φ i (N j )=δ ij, i,j =,...,N h ½º½ µ Ò ÐÓ ÕÙ ÐÐ Ú Ø Ò Ð Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º Ç Ò v h X h ÔÙ Ö ÔÖ Ó Ò ÐÐ ÓÖÑ N h v h (x) = σ i (v h )φ i (x). ½º½ µ i= ÄÓ Ô Þ Ó X h Ú Ò Ó ØÖÙ ØÓ Ô ÖØ Ö Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÒØ ØÓ Ðг ¹ Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ ØÖ Ó K ÐÐÓ Ô Þ Ó P (K) Ñ Ò ÓÒ n l Ö Ð ÖØ ÐÓ Ð Σ K = {σ K,i : P (K) R,i=,...,N l } Ø Ð Ô Ö Ù Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ p P (K) (σ K, (p),σ K,2 (p),...,σ K,nl (p)) R n l ÙÒ ÓÑÓÖ ÑÓº Ò ÕÙ ÒØ ÑÓ ÙÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö P (K) Ó Ø Σ K {φ K,i, i =,...n l } Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÒÓ σ K,i (φ K,j )=δ ij º Í Ò Ó Ø Ð Ó Ò p P (K) ÔÙ Ö Ú Ö Ò ÐÐ ÓÖÑ N l p(x) = σ K,i (p)φ K,i (x) Ô Ö x K. i= Ä ÙÒÞ ÓÒ φ K,i ÓÒÓ Ñ Ø ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÐÓ Ð Ó ÙÒÞ ÓÒ ÐÓ Ð Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ðг Ð Ñ ÒØÓ Kº Ë Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ù ÒØ Ð Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø ÐÓ ÐÑ ÒØ ÕÙ ÐÐ ÐÓ Ð φ i K = φ K,νK (i), K T K,

20 ½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ½ ÓÚ ν K (i) n l Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ φ i Ö Ð Ø Ú Ñ Ò¹ Ø Ðг Ð Ñ ÒØÓ Kº Ò ÐÓ Ñ ÒØ σ i (p) =σ K,νK (i)(p K ) p X h ºÁÐÑ ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÖÙØØ Ø Ñ ÒØ Ð ÔÓ Ð Ø Ð ÚÓÖ Ö ÐÓ ÐÑ ÒØ ÙÐ Ò ÓÐÓ Ð Ñ ÒØÓ K ÓÑ Ú Ö Ù Ú Ñ ÒØ º È Ö Ú Ö ÙÒÓ Ô Þ Ó X h V ¹ÓÒ ÓÖÑ Ò Ö Ó P (K) V (K) Ñ ÕÙ ØÓ ÒÓÒ Ù ÒØ Ó Ò Ò Ò Ö Ð Ø Ð Ö ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÑ Ú Ö ÑÓ Ò Ð Ö Þ º ÍÒ³ ÐØÖ Ö ØØ Ö Ø Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó P (K) Ú Ò ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ù Ø Ô ÖØ Ò Ó Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K ÙÒÓ Ô Þ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ò ØÓ Ù K P ( K) P r ( K) Ô Ö ÙÒ ÕÙ Ð ÒØ ÖÓ r º ÉÙ ØÓ ÑÓ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓ Ó Ö ÓÒ ÔÖ Ø Ô Ó Ô Ð Ò Ö P ( K) ØÓ K ÙÒ ÓÖÑ ÑÔÐ Ô ÙØØÓ ØÓ Ö ØØ Ñ ÒØ P (K)º Á Ö ¹ Ð ÖØ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ö ÒÒÓ Ò Ø ÓÒ Σ = { σ, σ 2,..., σ nl } Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ { φ,..., φ nl }º Ë ÒÓÖ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒ¹ Ñ ÒØ Ð σ i ( φ j )=δ ij ÕÙ Ò p( x) = n l i= σ i( p) φ i ( x)º Æ Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò Ð Ð Ñ ØÖ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ p P ( K) Ð ÓÖÖ Ô ØØ Ú ÙÒÞ Ó¹ Ò p P (K) ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ K ÔÖ Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Ó ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓØØ ÐÐ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ T K Ó p(x) = p(t K (x)). ½º½ µ È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ØÖ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ φ K,i = φ i T º Ë K ÒÓØ ØÙØØ Ú ÕÙ Ø ÐØ ÒÓÒ ÓÒÓ ÑÔÖ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ô Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÒÓÒ Ä Ö Ò Ò º ÁÐ Ð ØØÓÖ ÒØ Ö ØÓ ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö ¼ º Ò Ð ÞÞ ÑÓ ÓÖ Ô Ò Ð ØØ Ð Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò ÓÒÓ ÙØ Ð Þ¹ Þ Ø Ô Ö Ó ØÖÙ Ö Ô Þ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð C ¹ÓÒ ÓÖÑ º ÁÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ Ö Ó r P ( K) P r ( K) Ú Ò ÓÒÓ Ò Ú Ù Ø ÔÙÒØ N i K i =,...,n l ØØ ÒÓ Ö Ð ÖØ ÓÒÓ Ø Ú ÐÓÖ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ò ÒÓ º ËÙй г Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐÓÖ σ i ( p) = p( N i ) Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ö Ð ÖØ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ K ÓÒÓ Ø φ K,i = φ i T K σ K,i (p) =p(n K,i ) ÓÚ N K,i = T K ( N i ) гi¹ ÑÓ ÒÓ Ó ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ Kº Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò ÙØ Ð ÞÞÓ Ô ÓÑÙÒ ÓÒÓ Ó ØØ Ð Ñ ÒØ P r Ò ÕÙ Ð K Ð ÑÔÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó P ( K) =P r ( K) T K Ð Ñ ÔÔ Ò º ÁÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú ÖÖ Ò ØÓ ÓÒ Xh r(ω h) Ó Ô Ñ¹ ÔÐ Ñ ÒØ Xh r º ØÓ ÙÒ Ñ ÔÔ Ò ØÖ ÓÖÑ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ ÐÐÓ Ø Ó ÓÖ Ò ÔÙ Ò Ò Ö ÓÑ X r h = {v h C (Ω h ): v h K P r (K), K T h }. ½º¾¼µ ÁÒ ÙÖ ½º ÐÐÙ ØÖ ÑÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØ P r Ù ÓÖÒ ÑÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò ÙÒÞ ÓÒ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ºÈ Ö Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÒÓ Ù ÐÓ Ñ Ù ÒØ Ð³ Ò ÒÓ Ó ÕÙ Ò ØÓ ÓÒ n Ú Ò Ú ÒÞ ØÓ ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ó Ð Ò i j k ÒØ Ö Ø Ò Ó Ú Ö Ö Ô

21 ½ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú ÐÓ Ñ ÒØ Ð³ Ò Ô Ø ÖÒÓº ÁÒ ÕÙ ØÓ ÑÓ Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ ÓÖÖ ØØ ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÒÓ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º Ö ÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ô Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ô Ö n l = d d! j= (r + j)µºë ÒÓØ ÑÓ ÒÙÑ Ö ØÓ ÔÖ Ñ ÒÓ Ú ÖØ ÔÓ ÒÓ ÒØ ÖÒ Ð Ø ÕÙ Ò ÕÙ ÐÐ ÒØ ÖÒ ÐÐ Ò µ Ò Ò ÕÙ ÐÐ ÒØ ÖÒ Ðг Ð Ñ ÒØÓº Ä ÔÖ ÓÒ ÓÖÒ ÑÓ Ò Ù ØÓ ÓÒÓ Ú Ð Ò 2 Ò 3 Ñ Ò ÓÒ º È Ö r = Ð Ñ ÒØ P ÓÐ Ò Ö µ φ n = ξ i, i d + n =,...,d+. È Ö r =2 Ð Ñ ÒØ P 2 Ó ÕÙ Ö Ø µ φ n = ξ i (2ξ i ), i d + n =,...,d+, φ n =4ξ i ξ j, i<j d + n = d +,...,n l. È Ö r =3 Ð Ñ ÒØ P 3 Ó Ù µ φ n = 2 ξ i(3ξ i )(3ξ i 2), i d + n =,...,d+, φ n = 9 2 ξ i(3ξ i )ξ j, i<j d + n = d +,...,3d +, φ n = 9 2 ξ j(3ξ j )ξ i, i<j d + n =3d +2,...,5d +, φ n =27ξ i ξ j ξ k, i<j<k d + n =5d +2,...,n l. ½º¾½µ P P 2 P 3 bx 2 bx 2 bx bx bx bx bx 3 bx 3 bx bx bx bx bx bx bx ÙÖ ½º º Á ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØ P r Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÒÓ º È Ö Ö Ò Ö Ð ÙÖ Ö Ð Ø Ú Ð Ø ØÖ ÖÓ P 3 Ô Ð Ð ÒÓ ÒØÖ ÐÐ ÓÒÓ Ø Ø Ú ÒÞ Ø ÓÒ ÙÒ ÖÓ

22 ½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ½ È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø ÒÓ Ð Ò Ø Ó ØÖÙ Ö ÔÔÖÓ Ñ Þ Ó¹ Ò ÐÓ ÐÑ ÒØ C Ö ÒÓ ÒØ ÖÒ ÙÒ Ð ØÓ ÒÓ ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð ØÓ Ø Ó Ñ ÒØÖ ÒÓ ÒØ ÖÒ ÐÐ ÚÓÒÓ Ö Ñ¹ Ñ ØÖ Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ð Ò Ñ Ò ÐÐ º Ë Ó ÒÓÒ Ó ÒÓÒ Ö Ò ØØ ÔÓ Ð Ó ØÖÙ Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ñ Ð Ò Ó Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÐÓ Ð Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö Ð Ö Ø Ö º Ë ÒÓØ Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÒÓ ØØÓ Ö ØÖ Ö º Ä ÐØ ÕÙ ÓØØ Ø Ø Ø ØØ Ô Ö ÓÒÚ Ò ÒÞ Ò ÕÙ ÒØÓ ÙÒ Ð ØÓ ÓÒ ÒØ Ö Ú Ö Ð³ ÔÖ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ò ÑÓ Ó Ñ Ø Ó Ðг ÐØÖÓ Ô ÖÑ ØØ Ò Ú Ù Ö ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÒÓ Ó Ú ÖØ ÒØ ÖÒÓ ÙÒÐ ØÓÓ ÒØ ÖÒÓ ÙÒ º Ö Þ Ó ½º º½ Ë Ú Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø Ò ½º¾½µ ÓÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ô Ö Ð Ñ ÒØ Ä Ö Ò Ò P 2 Ò Ù ØÖ Ñ Ò ÓÒ º ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º½ Ó ÑÓ Ú Ö Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÒÓÒ φ i ( N j )=δ ij ÓÚ N j ÓÒÓ ÒÓ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º º ÓÒ Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º Á Ö Ð ÖØ ÐÓ Ð ÓÒÓ n l =6 ÒÓ ÓÒÓ ÐÓ Ð ÞÞ Ø Ò Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÙÒ Ð ØÓº Ê ÓÖ Ò Ó Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ð ÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ô ÒÓ ( x, x 2 ) Ö ÔÓÖØ Ø Ò ½º½ µ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ÒÓ ÓÒÓ Ð Ù ÒØ i ξ ξ 2 ξ 3 i ξ ξ 2 ξ 3 4 /2 /2 2 5 /2 /2 3 6 /2 /2 È Ö Ú Ö Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÒÓÒ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÖ Ñ 3 ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ó Ø Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ φ i = ξ i (2ξ i ) i =, 2, 3º Ä ÓÒ Þ ÓÒ φ = Ó ØØ ξ i =Ó ξ i =/2º ÐÐ Ø ÐÐ Ú ÒØ Ú ÖÓ Ò ØÙØØ ÒÓ ØÖ ÒÒ N i º ³ ÐØÖ Ô ÖØ Ò Õ٠سÙÐØ ÑÓ ξ i = ÕÙ Ò φ i ( N i )=(2 ) = º Ä ÐØÖ ØÖ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÓÒÓ φ 4 = ξ ξ 2 φ 5 = ξ ξ 3 φ 6 = ξ 2 ξ 3 º ËÓÒÓ Ö Ñ ÒØ ÒÙÐÐ Ò ÒÓ ÓÚ ÓÐÓ ÙÒ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ú Ö Þ ÖÓ ÕÙ Ò Ò ÔÖ Ñ 3 ÒÓ º ÑÑ ØÓ Ú Ö Ö ÓÒ Ð³ Ù Ð Ó ÐÐ Ø ÐÐ ÓÒÓ ÒÙÐÐ Ò ØÙØØ ÒÓ ØÖ ÒÒ Ò ÕÙ ÐÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÚ Ú Ð ÓÒÓ º ÁÐ Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÐÓ Ó ÒÓ ÒÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ð Ò Ø Ù ØÓ Ò Ó ÑÔÖ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º º i ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 i ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 6 /2 /2 2 7 /2 /2 3 8 /2 /2 4 9 /2 /2 5 /2 /2 /2 /2

23 ½ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ë ÔÓ ÓÒÓ Ö Ô Ø Ö Ð Ø Ö ÓÑ ÒØ Þ ÓÒ ØØ Ô Ö Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º ÉÙ ÐÓÖ K Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ù Óµ ÙÒ Ø Ö Ó ÔÙ Ó ØÖÙ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó ÓÑ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ø Ò ÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ö ØØ Ö Ø Ä Ö Ò ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ó r > º ÚÖ ÑÓ P ( K) =Q r ( K) ÐÓ Ô Þ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ù Ò ÙÒ ÑÓÒÓÑ Ó Ð Ú Ö Ð x s ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ ÑÓ rº È Ö ÑÔ Ó x 2 x2 2 Q2 ( K) Ñ x 3 / Q2 ( K)º Ë ÒÓØ P r ( K) Q r ( K) P dr ( K)º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó Ð³Ù Ó ÐÐ Ñ ÔÔ Ò Ô Ö Ö ÔÓÖØ Ö ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ K ÑÓÐØÓ Ð Ñ Ø Ø ÚÓ ÒÕÙ ÒØÓ K ÚÖ Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ô Ö ÐÐ Ð º ÇÓÖÖ ÕÙ Ò Ó ØÖÙ Ö ÐÐ Ñ ÔÔ T K Ô Ò Ö Ð º ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ä Ø ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò ÔÓ ÓÒÓ Ö ÖÙØØ Ø Ô Ö Ó ØÖÙ Ö Ñ ÔÔ Ô Ò Ö Ð º ÁÒ ØØ N i φ i ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ n l T K ( x) = N i φi ( x), ½º¾¾µ s= Ò ÕÙ ÐÓÖ ÒÚ ÖØ Ð ÙÒ Ñ ÔÔ ØØ Ú K Kº Æ Ð Ó ÓÒ ¹ Ö ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ P Ð ÙÒÞ ÓÒ T K Ò Ø Ò ½º¾¾µ ÔÖÓÔÖ Ó ÙÒ Ñ ÔÔ Ò ÉÙ Ø Ø Ò Ô Ö Ð Ó ØÖÙÞ ÓÒ T K ÔÖ Ø Ô Ö Ô ÖÑ ØØ Ù Ö Ô Ö Ð Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó Ð Ø ÙÒÞ ÓÒ ÒØÖÓ ÓØØ Ô Ö Ð ¹ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð º ÁÒ Ò Ö Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ò Ù Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ø ½º¾¾µ Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ö Ó ÓÑ ØÖ Ó m Ò Ð Ó Ò Ù K ÙÒ ÑÔÐ Ó φ i P m ( K) ÐÐÓÖ T K [P m ( K)] d µ ÓÔÔÙÖ Ò Ð Ó K Ð ÕÙ Ö ØÓ Ù Óµ ÙÒ Ø Ö Ó φ i Q m ( K) Ò Ø Ð Ó T K [Q m ( K)] d µº Ë ÔÙ Ö Ú Ö ÐÐÓÖ n l x = N i φi ( x), i= x K. ij ÒÚ ÖØ Ð Ø ÐÐ Ñ ÔÔ Ò Ø Ò ÕÙ ØÓ ÑÓ Ó ÔÙ Ö Ö ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ ÙÐÐ ÓÖÑ K ÓÑ ÐÐÙ ØÖ ØÓ Ò Ðг Ö Þ Ó ½º º º Ä Ñ ÔÔ T K [Q ( K)] d Ñ ÔÔ Ð Ò Ö d =2 ØÖ Ð Ò Ö d =3º Æ Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ä Ö Ò Ò m = r Ô ÖÐ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ó¹Ô Ö Ñ ØÖ ÒÚ m<r Ô ÖÐ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ù Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ò ÔÖ ÒØ ÒÓ m =º ÁÐ Ó m>r Ð Ñ ÒØ ÙÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ µ ÔÓÓ ÓÑÙÒ º Ä³Ù Ó Ð Ñ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ô ÖÑ ØØ Ñ Ð Ó ÔÔÖÓ Ñ Ö Ð ÓÑ Ò Ó Ò Ó ÓÖ ÙÖÚ Ð Ò º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ø ÔÓ Q r r >µ г Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ ÕÙ Ö Ð ¹ Ø ÖÓ Ö Ó Ò µ Ø Ð Ô Ö Ù Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ

24 ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ ½ ÔÔ ÖØ Ò ÓÒÓ Q r Ó P ( K) =Q r ( K) Ð Ñ ÔÔ Ð Ò Ö ØÖ Ð Ò Ö µ Ó T K [Q ( K)] d º ÄÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ò ØÓ Q h r = {v h C (Ω h ): v h K = v h T K ; v h Q r ( K), K T h }. Ä ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K ÓÒÓ ÓÖÑ Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ø Ò¹ ÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ä Ö Ò ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð φ i Ô Öi =,...,rº Ë ξ i i =,...,r ÓÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø ÒÓ ÕÙ Ô Þ Ø µ Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [, ] ÙÒ Ò Ö ÙÒÞ ÓÒ Q r ( K) Ö ÐÐ ÓÖÑ φ i (x) φ j (y) Ô Ö d =2 φ i (x) φ j (y) φ k (z) Ô Ö d =3ÓÒ i, j, k ØÖ rº Ë ÒÓØ v h K ÒÓÒ Ò ÕÙ ØÓ Ó ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ò ÕÙ ÒØÓ T K Ò Ò Ö Ð µ ÙÒ Ñ ÔÔ Ò º ÒÓÒ Ô Ö Þ Ó ½º º½ ÁÐ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÖØ ( ÐÓ Ð ) ÙÒ ( Ð Ñ ÒØÓ ) Ò ØÓ Ø ÔÓ P r ØÓ n l = d r + d r + d d! j= (r + j) = = Ñ ÒØÖ Ô Ö d r Ð Ñ ÒØ Ò Ø Q r n l =(r +) d º ÄÓ ÑÓ ØÖ Ô Ö d =2 Ô Ö d =3º ËÙ Ö Ñ ÒØÓ Ö ÓÖ ÑÓ n i= i = n(n +)/2 n i= i2 = n(n + )(2n +)/6º ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º½ È Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ P r ÑÓ P (K) = P r (K)º ÉÙ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÖØ Ô Ö ÐÐ Ñ Ò ÓÒ P (K) =P r (K) Ù ÚÓÐØ Ô Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÑÓÒÓÑ ÓÖÑ ÒÓ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó rº ÓÒ Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ð Ó d =2º ÍÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó r ÓÖÑ ØÓ ÑÓÒÓÑ ÓÖ Ò Ð Ñ ÑÓ r Ó ÐÐ ÓÖÑ x i xj 2 ÓÒ i j i + j = s s =,...,rº ÁÐ ÒÙÑ ÖÓ ÔÓ Ð ÑÓÒÓÑ Ö Ó s Ô Ö s +º ÁÒ ØØ Ô Ö Ó Ò i Ú Ö s ÑÓ ÙÒ ÓÐÓ ÔÓ Ð Ú ÐÓÖ j Ô Ö j = s iº ÉÙ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ ØÓØ Ð ÑÓÒÓÑ Ö Ó Ð Ñ ÑÓ r Ô Ö r r+ (s +)= s =(r +)(r +2)/2, s= s= Ò ÓÖ Ó ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ø º Ë ÒÓØ Ò Ð Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓÒÓÑ Ö Ó s ÓÒÓ ÐÐ ÓÖÑ x i xj 2 xk 3 ÓÒi+j+k = sº ÉÙ Ò i Ú Ö s Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ j k ÓÚÖ ÒÒÓ Ó Ö Ð Ú ÒÓÐÓ j + k = s iº Í Ò Ó Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ô Ö Ó Ò i ÒÒÓ s i +ÓÑ Ò Þ ÓÒ j k ÔÓ Ð º ÉÙ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ ÑÓÒÓÑ Ö Ó s ØÓ s (s + i) = i= s (s +) i= s i =(s +) 2 s(s +)/2 = 2 (s2 +3s +2). i=

25 ½ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÁÐ ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ ÚÓ ÑÓÒÓÑ Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó r ØÓ ÕÙ Ò r 2 s= s2 +3s +2º ÔÔÐ Ò Ó Ð ÓÖÑÙÐ Ô Ö Ð ÓÑÑ Ô ÖÞ Ð ÓÖÒ Ø Ò Ð Ø ØÓ Ðг Ö Þ Ó ÙÒ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÔÓ ÐÙÒ Ô Ð Ö Ú Ò ÓÒÓ ÕÙ ÓÑ Ô Ö Ö Ú Øº Æ Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø Q r Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó ÐÓ Ð Ö Ú Ö ØØ ¹ Ñ ÒØ ÐÐ Ò Þ ÓÒ Q r ( K)º ÁÒ ØØ Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ r + Ð ÙÒÞ ÓÒ Q r ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ò ÓÒÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ø Ò ÓÖ Ð º Ö Þ Ó ½º º¾ Ë ÑÓ ØÖ Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø X r h Ò ØÓ Ò ÐÐ ½º¾¼µ Ð Ú Ö Ö d r Ø r = r =2 r =3 2 N v N v + N l N v +2N l + N e º 3 N v N v + N l N v +2N l + N f ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º¾ ÑÓ Ú ØÓ p Xh r Ó Ð ÓÒ Þ ÓÒ p K = p T ÓÒ K p Pr º Ò ÓT K ÓÒØ ÒÙ ÒÚ ÖØ Ð ÓÒ ÒÚ Ö ÓÒØ ÒÙ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø p ÑÔÐ p ÓÒØ ÒÙ Ðг ÒØ ÖÒÓ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ð Kº ÇÓÖÖ ÓÖ ÙÖ Ö Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ØÖ Ð Ñ ÒØ ÒØ º ÓÒ Ö ÑÓ Ò¹ Ò ÒÞ ØÙØØÓ Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º Ò Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÓÖÑ Ù Ð Ñ ÒØ K K 2 ÒÒÓ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÒÒÓ Ò ÓÑÙÒ Ó ÙÒ Ú ÖØ Ó ÙÒ ÒØ ÖÓ Ð ØÓº Ë ÐÐÓÖ V ÙÒ Ú ÖØ ÓÑÙÒ Ö Ö p Xh r ÓÒØ ÒÙ ÑÔÐ r p K (V) =p K2 (V) Ô Ö Ó Ò p Xh ÔÓ Ð ÓÐÓ V ÙÒÒÓ Ó ÐÐ Ö Ð Ó ÙÒÓ Ö Ð ÖØ ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ú ÐÓÖ p Ò Vº ËÙÔÔÓÒ ÑÓ ÓÖ K K 2 ÒÓ ÙÒ Ð ØÓ ÓÑÙÒ Γ 2 ºÈ Ö Ú Ö Ð ÓÒ¹ Ø ÒÙ Ø p ÓÓÖÖ p K (x) =p K2 (x) Ô Ö x Γ 2 º ÔÓ Ð ÓÐÓ Ð Ö ØÖ Þ ÓÒ p Ù Γ 2 ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ ÒØ Ø ÒÓ ÒØ Ù Γ 2 º Ò Ó Ø Ð Ö ØÖ Þ ÓÒ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó r ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð µ ÓÓÖÖ ÙÐÐ ØÓÚ ÒÓr + ÒÓ º ØÓ ÑÓ Ø Ð ØÓ Ú ÖØ ÓÒÓ Ò ÒÓ Ù Ó Ò Ð ØÓ ÚÖ ÑÓ Ó ÒÓ r ÒÓ ÒØ ÖÒ º ÉÙ Ò ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ 3+3(r ) = 3r ÒÓ ÓÒÓ ÐÓ Ð ÞÞ Ø Ù Ú ÖØ Ðг ÒØ ÖÒÓ Ð Ø º Ðг Ö Þ Ó ½º º½ ÔÔ ÑÓ Ô Ö Ö Ú Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó P r ( K) ÓÓÖÖÓÒÓ (r +)(r +2)/2 Ö Ð ÖØ Ð Ú ÒØÙ Ð (r +)(r +2)/2 3r ÒÓ Ö Ñ Ò ÒØ Ö ÒÒÓ ÐÐÓÖ ÔÓ Ø Ðг ÒØ ÖÒÓ Ðг Ð Ñ ÒØÓº È Ö r = ÚÖ ÑÓ ÒÓ ÓÐÓ Ú ÖØ ÐÐ Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Xh Ö Ô Ö N v Ô Ör =2 n l =6 ÚÖ ÑÓ Ó¹ ÒÓ Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ðг ÒØ ÖÒÓ ÙÒ Ð ØÓ ÕÙ Ò N h = N v + N l ºÈ Ö r =3 Ò Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÖØ Ðг ÒØ ÖÒÓ ÙÒ Ð ØÓ Ô 2 Ú Ð Ò Ø ÙÒ ÙÐØ Ö ÓÖ ÒÓ Ó Ðг ÒØ ÖÒÓ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ô Ö Ò Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó 3 Ù N h = N v +2N l + N e º

26 ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ ½ ÁÐ Ö ÙÐØ ØÓ Ò Ð Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓØØ Ò Ö Ô Ø Ò Ó Ð Ø ÓÒ Ö Þ ÓÒ º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó ÓÓÖÖ ÓÒ Ö Ö Ò Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ØØÖ Ú Ö Ó Ð ÐÐ Ö Ð º ÓÑ Ö ØØÓ Ò Ðг Ö Þ Ó ½º º Ð ÓÒ Þ ÓÒ ÕÙ Ö ÔÓÖØ Ø ÓÒÓ Ò Ö Ñ ÒÓÒ Ù ÒØ Ô Ö Ð ÓÒ ÓÖÑ Ø C º ÇÓÖÖ Ò Ø Ð Ö Ú ÒÓÐ ÐÐ ÔÓ Þ ÓÒ ÒÓ ÙÐ ÓÖ Ó Kº Ö Þ Ó ½º º Ë ÑÓ ØÖ K K 2 ÓÒÓ Ù ØÖ Ò ÓÐ ÒØ ÐÐ Ö Ð T h Ó Ø Ð e = K K 2 ÙÒ Ð ØÓ ÐÐ Ö Ð µ ÓØØ ÒÙØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ØÖ Ñ Ø Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò T K T K2 ÐÐÓÖ Ø ÙÒ ÓÔÔÓÖØÙÒ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÒÓ Ø Ð e = T K (ê) =T K2 (ê) Ò Óê ÙÒ Ð ØÓ Kº ÁÒÓÐØÖ x, x 2 ê ÓÒÓ ÔÙÒØ ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ê ÐÐÓÖ T K ( x )=T K2 ( x 2 )=x eº Ë Ò Ù Ô Ö Ó ØÖÙ Ö Ð Ñ ÒØ C ÓÒ ÓÖÑ Ø ÔÓ P r ÓÓÖÖ ÙÖ Ö ÒÓ ÒØ Ù ÙÒ Ð ØÓ ê K ÒÓ ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð ØÓº ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º ÑÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º½¼º Ò Ó T K T K2 ÓÒ¹ Ø ÒÙ T K ( K) = K T K2 ( K) = K 2 ÒÓÐØÖ Ú ÖØ K K 2 ÓÒÓ ÑÑ Ò Ú ÖØ Kº Ë ÒÓ A B Ú ÖØ Ð Ð ØÓ ÓÑÙÒ eº Á ÒØ Ö ÑÓ ÓÒ V j j =, 2, 3 Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K Ki ÓÒ V j j =, 2, 3 Ú ÖØ K i Ô Ö i =, 2º Ö Ñ ÒØ Ø ÙÒ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ Ú ÖØ K Ô Ö Ù T K ( V )=V K = Aº ÓÚ Ò Ó ÔÖ ÖÚ Ö Ð³ÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÐÐÓÖ Ò Ö Ñ ÒØ T K ( V 2 )=V K 2 = Bº ÁÒ ØØ Ú ÖØ V K j ÚÓÒÓ Ò Ö ÙÒ ÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÖ Ö Ó Ô Ö j =, 2, 3 ÐÓ Ø Ó ÚÓÒÓ Ö Ð ÐÓÖÓ ÓÒØÖÓ Ñ¹ Ñ Ò Ù Kº ÁÒÚ Ô Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö K 2 ÔÓØÖ ÔÓÖÖ T K2 ( V 2 )=V K2 2 = A T K2 ( V )=V K2 = Bº ÈÓÖÖ T K2 ( V )=A T K2 ( V 2 )=B Ö Ò ØØ Ò¹ ÓÑÔ Ø Ð ÓÒ Ð Ò Ø Ú Ö ÙÒ ÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÖ Ö Ó Ú ÖØ K 2 º Ë ê Ò Ð Ð ØÓ K Ú ÖØ V V 2 ÔÙ ÓÒÐÙ Ö Ð Ù ÑÑ Ò T K (ê) T K2 (ê) Ó Ò ÓÒÓ ÓÒ e Ò ÐÓ Ô ÖÓÖÖÓÒÓ ÓÒ Ú Ö Ó ÓÔÔÓ ØÓº Í Ò Ó Ð Ò Þ ÓÒ Ñ ÔÔ Ò ½º µ ÖÙØØ Ò Ó Ð ØØÓ Ð Ú ÖØ V ÔÓ ØÓ ÐгÓÖ Ò Ð Ø Ñ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ô ÒÓ ( x, x 2 ) Ó V ÓÓÖ Ò Ø (, )µ T K ( V )=A T K2 ( V )=B Ù T K ( x) =A +F K x, T K2 ( x) =B +F K2 x. ÁÑÔÓÒ Ò Ó ÓÖ T K ( V 2 )=B T K2 ( V 2 )=A ÓØØ Ò F K V2 = B A, F K2 V2 = A B. ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö F K V2 = F K2 V2 º ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ù ÔÙÒØ ê x x ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Óº ÎÙÓÐ Ö Ø α Ø Ð

27 ¾¼ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø x = α( V 2 V ) x 2 = ( α)( V 2 V )º Ö Þ ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÔÖ ÒØ ÖÙØØ Ò Ó ÒÓÖ Ð ØØÓ V ÓÓÖ Ò Ø (, )µ ÓØØ Ò T K ( x )=A + αf K V2 = A αf K2 V2 = B +(A B) αf K2 V2 = B +( α)f K2 V2 = T K2 [( α) V 2 ]=T K2 ( x 2 ). Ë X h C ÓÒ ÓÖÑ ÐÐÓÖ v h Ú Ö ÓÒØ ÒÙ Ù e Ó Ú Ú Ö v h K (x) =v h K2 (x) Ô Ö ØÙØØ Ð x eº Ú ÒØ ÔÓ Ð ÓÐÓ Ð³ Ó Þ ÓÒ ØÖ ÒÓ N i ÒØ Ù e ÒÓ ÐÓ Ð N i ê ÙÒ ÚÓ º ÉÙ Ò Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÓ Ð N i ê Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÓØØ ÒÙØ ØØÖ Ú Ö Ó Ð Ñ ÔÔ T K T K2 ÚÓÒÓ Ö ÓÖÑ Ø ÐÐÓ Ø Ó Ò Ñ ÔÙÒØ ÒÓ N i Ô Ö Ð³ ÔÔÙÒØÓµº ÓÒ Ù ÒÞ ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓ ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ø Ð Ò ÒÓ ÐÓ Ð ÚÓÒÓ Ö ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó êº Ä ÙÖ ½º½½ ÐÐÙ ØÖ Ø Ð ØÙ Þ ÓÒ º T K A V K V K 2 K 2 K e V K 2 V K 2 2 B T K2 bv 3 T K2 bk T K bv be b V2 ÙÖ ½º½¼º Ä ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ K b Ò Ù Ð Ñ ÒØ ÒØ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÔÔ Ò T K T K2 Ö Þ Ó ½º º ÁÒ ÙÖ ½º½¾ ÑÓ ØÖ Ð Ñ ÔÔ T K Ö Ð Ø Ú ÙÒ Ð ¹ Ñ ÒØÓ ÓÔ Ö Ñ ØÖ Ó Q Ò Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º Ë ÑÓ ØÖ K Ò ¹ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ö ØØ ÙØ ÒÓ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ô Ö Ù T K ÒÚ ÖØ Ð Ù ØÙØØÓ Kº

28 ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ ¾½ e e T K T K2 T K T K2 be ÙÖ ½º½½º Ä ÑÑ Ò Ù ÔÙÒØ Ù be ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÓØØ ÒÙØ ØØÖ Ú Ö Ó Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò Ó Ø Ù Ð Ñ ÒØ ÒØ ÓÒÓ ÓÖÑ Ø ÐÐ Ø ÓÔÔ ÔÙÒØ Ù e Ò ØÖ µº Ë ÔÙÒØ ÒÓÒ ÓÒÓ ÑÑ ØÖ Ú Ò ÓÒÓ ÒÚ Ñ ÔÔ Ø Ò Ù ÓÔÔ Ø ÒØ ØÖ µ be V 3 x 2 V θ 4 V 3 K V 4 x 2 K V V 2 V 4 T K V 2 bx 2 bv 3 T K x b V4 bx 2 bv 3 x V4 b bk bk bv b V2 bv bx bx ÙÖ ½º½¾º Ä ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ð Ò Ö T K ØÖ ÓÖÑ Ð ÕÙ Ö ØÓ ÙÒ Ø Ö Ó Ò ÙÒ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ò Ö Óº ØÖ ÑÓ ØÖ ÙÒ Ó Ñ ÔÔ Ò Ö b V2 ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º Ê ÓÖ ÑÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ø ÔÓ Q ÓÒÓ Ø φ ( x, x 2 )=( x )( x 2 ), φ2 ( x, x 2 )= x ( x 2 ), φ 3 ( x, x 2 )=( x ) x 2, φ4 ( x, x 2 )= x x 2. ÁÒ Ò Ó ÓÒ l ij = V j V i ÑÓ Ô Ö Ò Þ ÓÒ Ñ ÔÔ Ð Ò Ö Ö Þ Ð ØØÓ n l i= φ i =

29 ¾¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø T K ( x, x 2 )= 4 φ i ( x, x 2 )V i =[ i= 4 φ i ( x, x 2 )]V + i=2 4 φ i ( x, x 2 )V i i=2 = V + φ 2 ( x, x 2 )l 2 + φ 3 ( x, x 2 )l 3 + φ 4 ( x, x 2 )l 4. ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð Ö ØÖ Þ ÓÒ T K Ù ÙÒ Ð ØÓ KºÈ Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ö ÑÓ Ð Ö ØÖ Þ ÓÒ TK 2 ÙÐ Ð ØÓ Ò ØÓ x 2 = x Ð Ø ÓÒ Ö Þ ÓÒ ÔÓØ Ò Ó Ö Ø Ò ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó Ð ÐØÖ Ð Ø º Ë ÔÙ Ö Ú Ö T 2 K ( x )=T K ( x, ) = V + φ 2 ( x, )l 2 + φ 3 ( x, )l 3 + φ 4 ( x, )l 4. ÐÐ Ò Þ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ φ i ÑÓ φ 3 ( x, ) = φ 4 ( x, ) = ÙÒÕÙ TK 2( x )=T K ( x, ) = V + φ 2 ( x, )l 2 = V + x l 2 ÔÖÓÔÖ Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÐÐ Ö ØØ Ô ÒØ Ô Ö V ÓÖ ÒØ Ø ÓÑ l 2 º ÁÒÓÐØÖ TK 2() = V TK 2() = V 2º ÉÙ Ò Ð³ ÑÑ Ò x = TK 2( x ) ÙÒ ÔÙÒØÓ ( x, ) ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ð Ð ØÓ K Ú ÖØ V V 2 ÙÐ Ð ØÓ l 2 º Ö Ñ ÒØ T K ÒÓÒ Ô Ò Ò ÔÙÒØ ÒØ ÖÒ K ÑÓ Ò ØØ Ð ÔÖ ÒÞ ÑÓÒÓÑ x x 2 Ó x x 2 x 3 Ò µ Ù Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ò Ö ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º ÉÙ Ò Ð Ñ ØÖ Â Ó Ò J(T K ) ÒÓÒ Ö Ò ¹ Ò Ö Ð Ó Ø ÒØ º Ä ÓÒ Þ ÓÒ ÒÚ ÖØ Ð Ø Ñ ÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÐгÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒÓ Ö Ö J(T K ) > Ù Kº ÁÒ Ò Ó ÓÒ T K, T K,2 Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ T K Ô Ö Ò Þ ÓÒ T K, T K, J(T K ) = x x 2 T K,2 T K,2. x x 2 Ê ÓÖ Ò Ó Ð Ò Þ ÓÒ ÔÖÓ ÓØØÓ Ú ØØÓÖ Ð Ù Ú ØØÓÖ v w R 2 v w = v w sin(θ), ½º¾ µ Ò Ó θ г Ò ÓÐÓ ÓÑÔÖ Ó ØÖ v w ÔÙ Ö Ú Ö J(T K ) = T K x ÁÒÓÐØÖ Ú Ö T K x 2 º T K x =( x 2 )l 2 + x 2 l 34, T K x 2 =( x )l 3 + x l 24. ÈÓ ØÓ l kl ij = l ij l kl ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö J(T K ) = φ l φ 2 l φ 3 l φ 4 l 24 34º Ä ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ φ j ÓÒÓ ØÙØØ ÔÓ Ø Ú Ðг ÒØ ÖÒÓ K ÒÕÙ ÒØÓ ÔÖÓ ÓØØÓ ÙÒÞ ÓÒ ÔÓ Ø Ú ÓÑÔÖ ØÖ ÒÓØ Ö ÕÙ ØÓ Ú ÖÓ ÓÐÓ Ô Ö Ð Ñ ÒØ Q µº ÁÒÓÐØÖ Ð ÐÓÖÓ ÓÑÑ ½º È ÖØ ÒØÓ J(T K ) Ó Ù K Ð Ù Ù Ð ÒÞ Ù ÒØ min(l kl ij )=min(l kl ij ) i φ i J(T K ) max(l kl ij ) i φ i =max(l kl ij ),

30 ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ ¾ ÓÚ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÒÓØ Þ ÓÒ ÑÓ ÓÑ Ó Ò Ö Ð³ Ò Ñ Ú Ö ¹ Þ ÓÒ Ð Ò º ÍÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ù ÒØ Ô Ö Ð ÔÓ Ø Ú Ø J(T K ) ÕÙ Ò ØÙØØ ÔÖÓ ÓØØ lij kl ÒÓ ÔÓ Ø Ú º Ê ÓÖ Ò Ó Ð ÓÖÑÙÐ ½º¾ µ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ö Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ K Ò ÓÐ ÒØ ÖÒ ØÖ ØØ Ñ ÒØ Ò Ö ÓÖ πº Ë Ú Ö Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Ò Ö º ÁÒ ØØ Ô Ö ÑÔ Ó Ð³ Ò ÓÐÓ ÓÑÔÖ Ó ØÖ l 2 l 3 ÒÓÒ Ó Ñ ÒÓÖ π ÚÖ l2 3 ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ J(T K) Ò V Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ò ØÙØØÓ ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ø Ð Ú ÖØ º Æ ÐÐ ÑÑ Ò ØÖ Ò ÙÖ ½º½¾ ÑÓ ØÖ ÙÒ Ó Ò Ö Ò Ù Ð Ñ ÔÔ Q ÒÓÒ Ô Ò ØØ Ú º ÈÖÓ Ö ÑÑ ¹ ɽØÖ ÔÔÐ Ò Ñ ÔÙÒØ Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Q Ó Ø ÙÒ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ØÓ ÙÒØ ÓÒ Ü½ ܾ ɽØÖ Ã Ü ½ Ü ¾µ ± ܽ ܾ ɽØÖ Ã Ü ½ Ü ¾µ ± ÔÔÐ ÔÙÒØ Ü ½ Ü ¾µ Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ É½ Ó Ø Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ± ú à ÙÒ Ñ ØÖ Ü ¾ ÓÒØ Ò ÒØ Ò ÙÒ Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð ± ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ø ÓÒ Ó Ð ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ ± ± º º ± ½ ¾ ± Ü ½ Ü ¾ ÓÒÓ Ú ØØÓÖ ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ü Ý Ò Ð Ô ÒÓ ± Ö Ö Ñ ÒØÓº ܽ ܾ ÓÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ø Ñ ÓÖÖ ÒØ º Ö Þ Ó ½º º Í Ò Ó Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ ØÖ ÒÓ Ð ÓÐ Ò Ô Ö x x 2 Ó Ø ÒØ Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [, ] ÓÒ Ô Ó.2 Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ö Ð Ø Ö K K 2 Ù Ú ÖØ ÒÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ù ÒØ º È Ö K (, ) (.5, ) (.,.4) (.6,.8) Ñ ÒØÖ Ô Ö K 2 (.3,.) (.5, ) (.,.4) (.6,.8)º Ë Ú Ù Ð ÞÞ Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÐÓ ÓÑÑ ÒØ ÐÐ ÐÙ ÕÙ ÒØÓ ØÖÓÚ ØÓ Ò Ðг Ö Þ Ó ÔÖ ÒØ º ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º Ä ÙÒÞ ÓÒ Ö Þ Ó ÕÙ ºÑ Ö Ô Ö Ð ÙÐ ØÓµ ÓÒØ Ò Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ÔÖ Ñ Ô ÖØ Ðг Ö Þ Óº Æ ÓÑÑ ÒØ ÑÓ ÕÙ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Ô Ð º ÁÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ Ó ÑÓ Ò Ö Ð Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ó Ð ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ Ö Ø É½ØÖ Ã½ ¼ ¼ ½º ¼ ¼º½ ½º ½º ½º þ ½º ½º½ ½º ¼ ¼º½ ½º ½º ½º ÕÙ Ò Ù Ò Ó Ð ÓÑ Ò Ó Ñ Ö Ò ÑÓ Ð Ñ ØÖ Ü Ý ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÓÐ Ò Ú Ù Ð ÞÞ Ö º

31 ¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ü Ý Ñ Ö ¼ ¼º¼¾ ½ ¼ ¼º¼¾ ½µ ÁÐ ÓÑ Ò Ó Ü½ ܾ ɽØÖ Ã½ Ü Ý µ ÐÓÐ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ô ÒÓ Ó Ú Ù Ð ÞÞ Ö ÑÓ ÓÒ ÙÖ Ü½ ܾ ÓÒ Þ Ü½µµµ Ú Û ¼ ¼ ½ µ ÁÐ ÓÑ Ò Ó Ú Û Ô ÖÑ ØØ Ú Ù Ð ÞÞ Ö Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ò Ð Ô ÒÓº ÁÒ Ò Ü½ ܾ ɽØÖ Ã¾ Ü Ý µ ÙÖ Ü½ ܾ ÓÒ Þ Ü½µµµ Ú Û ¼ ¼ ½ µ ÁÒ Ø Ð ÑÓ Ó ÓØØ Ò ÓÒÓ Ö Ö ÔÓÖØ Ø Ò ÙÖ ½º½ Ö Ð ÓÖ Ø Ô Ö Ñ Ð Ó¹ Ö ÖÒ Ð ÓÑÔÖ Ò ÓÒ µº Ë ÒÓØ ÓÑ Ò Ð Ö Ó ØÖ Ð ÓÐ Ò x 2 Ó Ø ÒØ ÒØ Ö ÒÓ ØÖ ÐÓÖÓ ÕÙ ØÓ Ò Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ K K 2 ÒÓÒ ÒÚ ÖØ Ð Ò ÕÙ ÒØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÑÑ Ò ÐÑ ÒÓµ Ù ÔÙÒØ Ø ÒØ Ò Ð Ô ÒÓ ( x, x 2 )º bx 2 bx 2 bv 3 bv 4 bv 3 b V4 bk bk bv bv 2 x ÙÖ ½º½ º ÁÐ Ó ÙÒ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Q ÒÚ ÖØ Ð Ò ØÖ µ Ò Ö ØÖ µ b V b V2 x

32 ½º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ½º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ØÓ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø X h V (Ω h ) ÓÒ ÓÖÑ ÐÐ Ô Þ Ó V (Ω h ) Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ö Ð T h Ò ØÙÖ Ð ÒØÖÓ ÙÖÖ Ð³ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Π h Ù ÒØ N h Π h : V (Ω h ) X h, Π h v(x) = σ i (v)φ i (x). Ø Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ØÓ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÐÓ Ð Π K : V (K) P K ÙÐ Ò Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ K T h Π K v(x) = bn i= i= σ i (v)φ i (x), x K. ijÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ø ØÓ Ò ØÓ Ô Ö ÙÒÞ ÓÒ Ù Ω h º ij Ø Ò ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ Ù Ω ÑÑ Ø ÕÙ ÐÓÖ Ω h Ωº Æ Ð Ó Ô Ò Ö Ð Ø Ð Ø Ò ÓÒ Ö ÙÐØ Ñ ÒÓ ÓÚÚ Ð Ð ØØÓÖ ÒØ Ö ØÓ ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö º Ä Ò Þ ÓÒ Ø ÐÕÙ ÒØÓ Ò Ö Ð º ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ó Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ä Ö Ò Ò Ö Ó r ÓÒ r> Ñ ÔÔ T K Ò º ÉÙ ØÓ Ó ÒÐÙ Ð Ð Ñ ÒØ P r Ð Ð Ñ ÒØ Q r ÓÒ Ð Ø µ Ô Ö ÐÐ Ð º ÁÒ ÕÙ ØÓ ÓÒØ ØÓ Ù Ö ÑÓ Ð ÒÓØ Þ ÓÒ Π r h Ô Ö Ð³ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÔ Ö Ù ÙÒÞ ÓÒ v C (Ω h ) Ò Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ N h Πhv(x) r = v(n i )φ(x), x Ω h, i= Ò Ó φ i Ð i¹ Ñ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ N i Ð ÒÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÁÐ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ø ÚÓ Ðг ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ð Ù ÒØ K ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ Ö Ó r Ò ØÓ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÔÔ Ò T K q> d 2 l =min(r, q)º ÐÐÓÖ Ø C> Ò Ô Ò ÒØ h K Ø Ð Ô Ö m l + v H q+ (K) v Π r h (v) H m (K) Ch l+ m K γ m K v H l+ (K). ½º¾ µ Ë ÒÓØ ÓÑ Ô Ö m> ÙÒ Ô Ò ÒÞ Ðг ÖÖÓÖ Ò ÙÒÞ ÓÒ ÐÐ Ö Ø γ K Ðг Ð Ñ ÒØÓº È Ö ØÙ Ö Ð³ ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ó ÖÚ X r h H ¹ÓÒ ÓÖÑ Ñ ÒÓÒ ÓÒ ÓÖÑ H m Ô Ö m>º ÓÒ Ù ÒÞ ÒÓÒ Ò Ó ÐÓÐ Ö Ð ÒÓÖÑ H m Ðг ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ô Ö m>º ËÓØØÓ Ð Ø ÔÓØ ÐÐ Ù Ù Ð ÒÞ ÔÖ ÒØ ÙÒÕÙ Ô Ö m =, ¾ [ /2 v Πh(v) r H m (Ω h ) C h 2(l+ m) K γk 2m v 2 H (K)] l+ K T h Cγ m h h l+ m v H l+ (Ω h ), ½º¾ µ

33 ¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÓÚ γ h =max K T h γ K º Ë Ð Ö Ð Ö ÓÐ Ö γ h γ Ô Ö ØÙØØ Ð h ÕÙ Ò ÔÙ Ö Ú Ö Ò Ñ Ò Ö Ò ÐÓ Ð Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð v Π r h (v) H m (Ω h ) Ch l+ m v H l+ (Ω h ). ½º¾ µ ÁÐ Ö ÙÐØ ØÓ ÔÖ ÒØ ÔÙ Ø Ò Ö Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÓÔ Ö Ñ ØÖ ÔÙ Ø Ò Ö ÓÒØÓ Ðг ÖÖÓÖ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó Ú ÉÎ ¼ º È Ö ÓÑÔÐ Ø ÞÞ Ö ÔÓÖØ ÑÓ Ð Ø Ñ Ö Ð Ø Ú Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ä Ö Ò Ò Q r ÓÒ r Ô Ö Ð ÓÐÓ Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ú Ö Ø Ð Ð Ñ ÔÔ T K Ò Ò Ø Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ú Ð³ Ö Þ Ó ½º º µº Ë K ÙÒ Ò Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ T h 4 ØÖ Ò ÓÐ ÓØØ ÒÙØ ÔÖ Ò Ò Ó ØÖ Ú ÖØ K Ú Ö V j Ú ÖÖ ÒÒÓ Ò Ø ÓÒ K j j =,...,4º ÈÓÒ ÑÓ ρ K = min j 4 ρ K j γ K = h K ρ K. ÁÐ Ó ÒØ γ K ÐÓ Ø Ó ÖÙÓÐÓ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ö Ð Ò º Ë Π Qr K гÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Kº Ø C> Ø Ð Ô Ö m r + v H r+ (K) v Π Qr K H m (K) Cγ max(4m,) K h k+ v H r+ (K). ½º¾ µ Ë Ó ÖÚ ÓÑ Ð Ó ÒØ Ö ÓÐ Ö Ø γ K ÙÒ ÔÓÒ ÒØ Ñ ÓÖ Ö Ô ØØÓ Ð Ó Ñ ÔÔ Ò ÒØ ÖÚ Ò Ò Ò Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ò ÒÓÖÑ L 2 Ó Ô Ö m =µº Ë ÔÙ ÒÓØ Ö Ô Ö Ö Ð Ö ÓÐ Ö Ð³ÓÖ Ò ÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ô ØØÓ h Ù Ù Ð ÕÙ ÐÐÓ ØÖÓÚ ØÓ Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ P r ÒÓÒÓ Ø ÒØ Ð ØØÓ ÐÓ Ô Þ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Q r Ô Ö Ó P r º

34 Parte I Problemi stazionari

35 ¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÓÒ Ö ÑÓ Ö Þ ÙÐг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÔÖ Ò ÐÐ ÓÖÑ ÓÐ Ù ÒØ ØÖÓÚ Ö u V : a(u, v) =F (v) v V. ¾º½µ ÄÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ô Ö Ð³ Ò Ð Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹ Å Ð Ö Ñ ÉÙ ¼ ÕÙ Ö ÓÖ ÑÓ Ä ÑÑ ¾º½ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñµ Ë V ÙÒÓ Ô Þ Ó À Ð ÖØ a(, ) :V V R ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ó Ö Ú ÓÒ Ó Ø ÒØ Ó Ö Ú Ø α F : V R ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓº ÐÐÓÖ Ø ÙÒ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾º½µº ÁÒÓÐØÖ u V α F V, Ò Ó F V = F (v) sup. v V, v V v V ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ò ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ Ð ÓÒ ³ÓÖ Ò ÔÓ Ø Ù ÙÒ ÓÑ Ò Ó Ω R d ÓÒ d =, 2µº ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó V H (Ω)º Ø Ò Ù ÑÓ Ù Ö ÓÖÖ Ö ÒÒÓ Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ò Ð Ù ØÓº Æ Ð ÔÖ ÑÓ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð ÔÖ ÒØ ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ð Ø ÓÑÓ Ò Ù ÙÒ Ô ÖØ Ð ÓÖ Ó Ω Ò Ö ÑÓ ÓÒ Γ D º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó ÐÓ Ô Þ Ó V Ö ØÓ V = H Γ D {v H (Ω) : v ΓD =}. ¾º¾µ Ë Γ D Ú Ð Ð Ù Ù Ð ÒÞ ÈÓ Ò Ö u L2 (Ω) C P u L2 (Ω), ¾º µ

36 ¼ ¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó ÓÚ C P Ô Ò ÓÐÓ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ωº Ö Þ ÐÐ ¾º µ ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö Ð³ ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ö Ð ÒÓÖÑ L 2 (Ω) Ð Ö ÒØ Ð ÒÓÖÑ H (Ω) Ò ÕÙ ÒØÓ u 2 L 2 (Ω) u H (Ω) ( + C 2 P ) u 2 L 2 (Ω). ¾º µ Æ Ð Ó Ò Ù Γ D Ñ ÙÖ ÒÙÐÐ V = H (Ω) Ð Ù Ù Ð ÒÞ ÈÓ Ò Ö ÒÓÒ ÔÔÐ Ð º ÍÒ ÓÒ Ó Ó ÒÓØ ÚÓÐ Ú Ö ÐÐÓÖÕÙ Ò Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð ÔÖ ¹ ÒØ ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ð Ø ÒÓÒ ÓÑÓ Ò Ó u = g Ù Γ D ÓÒg ºË Ð ØÓ Ð ÓÖ Ó Ω ÓÒÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö ÓÐ Ö ÔÙ ÒØÖÓ ÙÖÖ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÒØÓÖÒÓ ÓÑÓ Ò º Ë ÒÓØ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ó¹ Ð Ö Ø Ù g Ω ÓÒÓ ÑÔÖ Ö Ô ØØ Ø Ω ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ R Ò Ð ÕÙ Ð Ó g ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð º Æ Ð Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù ÒØ Ð ÓÖ Ó Ω Ð C ÓÔÔÙÖ ÔÓÐ ÓÒ Ð g H /2 (Γ D )º È Ö Ö ÓÒ ÙÖ Ð Ó ÓÑÓ Ò Ó ÖÙØØ Ð Ö ÙÐØ ØÓ º½ µ Ö ÔÓÖØ ØÓ Ò Ô¹ Ô Ò ÒØÖÓ Ù Ò Ó ÙÒ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ G H (Ω) ÓÒ G ΓD = g Ò Ð Ò Ó ÐÐ ØÖ Ú ÉÙ ¼ µº ÈÓ ØÓ ÐÐÓÖ u u G, Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÒØ ØÖÓÚ Ö u V H Γ D (Ω) Ø Ð a( u,v)=f g (v) F (v) a(g, v) v V. ÕÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÙ ÒÓÖ ÔÔÐ Ö Ö ØØ Ñ ÒØ Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñ Ò ÕÙ ÒØÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð F g Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓ Ô Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø F ( ) a(, )º ÉÙ Ò Ò Ò Ð Ó ÒÓÒ ÓÑÓ Ò Ó Ø Ú Ö Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ø Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñ Ù a(, ) F ( ) Ô Ö Ú ÖÐ ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ó ØØ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ ÓÖÑ ØÓº Ë ÒÓØ Ð³ Ò Ñ W g {v H (Ω) : v ΓD = g} ¾º µ ÒÓÒ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ò ÕÙ ÒØÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒÙÐÐ ÒÓÒ ÔÔ ÖØ Ò W g ÒÓÒ Ù Ó Ö Ô ØØÓ ÐгÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ º ÁÒ ØØ ÕÙ ÐÐ Ñ ÙÒ Ú Ö Ø Ò º Æ Ð Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ ÒÓÒ ÓÑÓ Ò Ó ÔÙ Ö Ö Ö Ñ ÒØÓ Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ù ÒØ ÙÒ ÓÖÓÐÐ Ö Ó Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñº

37 ¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó ½ G h G h Γ D x x x n ÙÖ ¾º½º Ù Ö Ð Ú Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ò Ö Ð ØÓ ÓÖ Ó Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ò ØÖ Ò Ù Ñ Ò ÓÒ ØÖ ÓÖÓÐÐ Ö Ó ¾º½ Ë ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÓÚ Ö u W g : a(u, v) =F (v) v V H Γ D, ¾º µ ÓÚ W g {v H (Ω) : v ΓD = g} ÓÒ g H /2 (Γ D ) ÓÖ Ó Ω Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö ÓÐ Ö º Ë Ð ÓÖÑ a(, ) Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ó Ö Ú Ò V V Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð F ( ) Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓ Ò V ÐÐÓÖ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø ÙÒ Ô Ò ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º È ÔÖ Ñ ÒØ u V C( F V + g H /2 (Γ D)), ÓÚ Ð Ó Ø ÒØ C Ô Ò ÐÐ Ó Ø ÒØ Ó Ö Ú Ø α ÐÐ Ó Ø ÒØ c γ ÐÐ Ù Ù Ð ÒÞ º½ µº Ó ØÖÙ ØÓ Ð Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ ÙÒ ÑÓ Ó ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ Ô Ö Ò Ö Ð³ Ò Ñ W g Ù Ö ÑÓ Ô Ó Ö Ö Ñ ÒØÓ Ö Ú Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ G + V º ÁÒ Ò Ö Ð Ð Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ G ÒÓÒ ÙÒ Ó ÔÙ Ö ÐØÓ ÙÐÐ ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ú Ö º Æ Ðг Ñ ØÓ ÐÐ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ø ÙÒ ÑÓ Ó Ò ØÙÖ Ð Ô Ö Ó ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓº ÁÒ ØØ Ð ØÓ Ð ÓÖ Ó ÔÙ Ö ÔÔÖÓ Ñ ØÓ g h = i B ΓD g(x i )φ i ΓD ÓÚ B ΓD г Ò Ñ ÒÓ x i ÓÒÓ ÙÐ ÓÖ Ó Γ D Ð φ i ÓÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ º ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ ØÓ G h = i B ΓD g(x i )φ i º Ó ÔÔ ÖØ Ò Ú ÒØ Ñ ÒØ ÐÐÓ Ô Þ Ó ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ø V h ÙØ Ð ÞÞ ØÓ ÙÔÔÓÖØÓ ÓÒ Ò ØÓ ÓÐ Ð Ñ ÒØ ÒÒÓ ÐÑ ÒÓ ÙÒ ÒÓ Ó ÔÔ ÖØ Ò Ð ÓÖ Ó Ö Ð Ø Ú ÒÓ Ö ÙÖ ¾º½µº ÉÙ ØÓ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ Ó ØÓ ÐÙÒ Ø Ò Ð Ö ÑÔÓ Þ ÓÒ ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÖ Ó ÒÞ Ð ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÔÔ Ò º ÉÙ Ò Ó Ö ÑÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾º µ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙÔÔÓÖÖ ÑÓ Ô ÖØ ÒØÓ Ú Ö ÒØÖÓ ÓØØÓ ÙÒ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ G h Xh r ÐÓ Ô Þ Ó Ò ØÓ Ò ÐÐ ½º¾¼µµ Ö Ö Ú Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÓÚ Ö u h G h + V h W g,h ÓÒ

38 ¾ ¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó G h + V h {v h X r h : v h Γ D = G h } ¾º µ Ø Ð a(u h,v h )=F (v h ) Ô Ö Ó Ò v h V h ÓÚ V h = {v h X r h : v h ΓD =}. ¾º½ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô Ö Ö Ó ÔÖÓÔÓÒ ÑÓ Ö Þ Ö Ð Ø Ú ÐÐ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð ÐÐ ÓÖÑ ØÖÓÚ Ö u Ø Ð d ( ν du ) + β du + σu = f, x (a, b), ¾º µ dx dx dx Ó ØØ ÓÔÔÓÖØÙÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÖ Ó ÓÚ Ó ÒØ ν Ú Ó Øµ β ØÖ ÔÓÖØÓµ σ Ö Þ ÓÒ Ó Ô Þ ÓÒ µ Ð Ø ÖÑ Ò ÒÓØÓ f Ö ÒÒÓ Ò Ò Ö Ð ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ xº Ú ÖÖ ØØÙ Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Å ÌÄ Ñ½ ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ö Ú Ñ ÒØ Ò ÔÖ Ñ Ö Þ º ÄÓ Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÖÖ Ö ÔÖ Ó Ò Ð Ô ØÓÐÓ ÓÚ ÖÓÒØ Ö Ð Ó Ò Ù Ð ØÖ ÔÓÖØÓ Ó Ð Ö Þ ÓÒ ÓÑ Ò ÒÓ ÙÐ Ø ÖÑ Ò Ú Ó Ó Ô ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ Ö Ø Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú Ø ÒÙÑ Ö Óº ÁÒ ÐÙÒ Ö Þ ÖÙØØ Ö ÑÓ Ð ØØÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾º µ ÓÒ Ó ÒØ Ó Ø ÒØ ÔÔ ÖØ Ò H m+2 (a, b) f H m (a, b) Ô Ö ÙÒ m º Ö Þ Ó ¾º½º½ Ë ÓÒ Ö Ð Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÖ Ó { u + u =Ô Ö x (, ), u() =, u() = e. ¾º µ ½º Ë Ò Ö Ú Ð ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓÐ Ø Ð Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÐ Ø ÙÒ º ¾º ÄÓ ÔÔÖÓ Ñ ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÐÓ Ö ÓÐÚ ÓÒ Ñ½ ÑÔ Ò Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ù Ù ÙÒ Ö Ð ÙÒ ÓÖÑ Ô Ó hºë Ú Ö Ð³ Ò Ñ ÒØÓ Ðг ÖÖÓÖ Ò ÐÐ ÒÓÖÑ H (, ) L 2 (, ) Ô Ö h Ú Ö / /32 Ø Ò Ò Ó ÓÒØÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø u(x) =e x º

39 ¾º½ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ËÓÐÙÞ ÓÒ ¾º½º½ Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø ÐÔÖÓ Ð Ñ ÁÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ ØÓ ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ð Ø ÒÓÒ ÓÑÓ Ò º Æ Ö ÑÓ ÕÙ Ò ÙÒ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓÐ ÑÓÐØ ÔÐ Ò Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ¾º µ Ô Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ø Ø v V H (, ) ÒØ Ö ÑÓ Ù (, ) ÑÓ u vdx+ uv dx = v V. ÁÒØ Ö Ò Ó Ô Ö Ô ÖØ Ð ÔÖ ÑÓ Ò Ó Ø Ò Ò Ó ÓÒØÓ v() = v() = Ô ÖÚ Ò ÑÓ ÐÐ Ù ÒØ ÕÙ Þ ÓÒ u v dx + uv dx = v V. ¾º½¼µ ÈÓ ØÓ Γ D = {, } Ð ÓÖÑ ÓÐ Ú ÒØ ÐÐÓÖ ØÖÓÚ Ö u W g Ò ØÓ Ò ÐÐ ¾º µµ Ø Ð a(u, v) = v V ÓÚ a : V V R Ð Ù ÒØ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÑÑ ØÖ a(u, v) u v dx + uv dx. ¾º½½µ È Ö Ò Ð ÞÞ Ö Ð ÙÓÒ ÔÓ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾º½½µ Ù ÑÓ Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ¾º½ Ó ÑÓ ÕÙ Ò Ú Ö Ö Ð ÓÖÑ Ð Ò Ö a(, ) ÓÒØ ÒÙ Ó Ö Ú Ù V V º ÑÓ ¹ a ÓÒØ ÒÙ Ò ÕÙ ÒØÓ a(u, v) u v dx + uv dx u L2 (,) v L2 (,) + u L2 (,) v L2 (,) 2 u V v V ; ¹ a Ó Ö Ú Ò ÕÙ ÒØÓ a(u, u) = u 2 L 2 (,) + u 2 L 2 (,) = u 2 V. ÉÙ Ò Ô Ö Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ¾º½ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ¾º½½µ Ø ÙÒ Ø Ð º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÁÒ ØÓ ÓÒ V h ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó V Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ø Ð dim(v h ) ÐÐÓÖ V h V Ð ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ Ð Ö Ò ¾º½½µ Ö Ö u h G h + V h

40 ¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó Ø Ð a(u h,v h )= v h V h º Í Ò Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø P r ÓÒ r =, 2, 3 ÐÓ Ô Þ Ó V h Ö V h {v h X r h : v h = Ò Γ D }, ¾º½¾µ ÓÚ Xh r Ø ØÓ ÒØÖÓ ÓØØÓ Ò ÐÐ ½º µ Ð Ô ØÓÐÓ ½º Ð ÓÐ ØÓ T h Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Þ ÓÒ (, ) Ò N h ÓØØÓ ÒØ ÖÚ ÐÐ K j (x j,x j ) ÑÔ ÞÞ hº Ê ÓÐÚ ÑÓ ÓÑ Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ½ ºÄ³ ÒØ Ö Ö ÕÙ ¹ ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÖÙØØÙÖ Ø ÓÑ Ò ØÓ Ò Ð Ö ÑÑ ÐÓ ÙÖ ¾º¾º Ó Ë ÐØ Ð Ì ÔÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ò Þ ÓÒ Ð ÈÖÓ Ð Ñ Å Ø Ñ Ø Ó Ó Ë ÐØ Ð Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ó ÁÑÔÓ Ø Þ ÓÒ ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ò ÇÃ Ê ÙÐØ ØÓ ÆÙÑ Ö Ó Ó ÙÖ ¾º¾º Ö ÑÑ ÐÓ ÐÐ ØÖÙØØÙÖ Ñ½ Ä Ò ÑÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ð ÚÓ ÐÐ ØØ Ó Ò ÐÐ Ò ØÖ ÓÑÔ Ö ÙÖ ¾º Ò ØÖ µº Æ ÐÐ ÖÑ Ø Ù Ú Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ð ÚÓ Ö Ð Ø Ú Ð ØØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÒØ Ó Ø ÒØ Ð ÑÓ ÙÒ ÕÙ Ð Ö Ð ÓÖÑ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ó ÒÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ò ÕÙ ØÓ Ó Ð ØÙØØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ µº ÈÖ ÑÓ ÕÙ Ò Ò ÐÐ ÔÔÓ Ø ÐÐ Ø ØÓ Ó ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÖ Ó Ö Ð Ø Ò ÒØÖ Ñ Ð ØÖ Ñ ÙÖ ¾º ØÖ µº ÈÖ Ñ Ò Ó Ð ÔÙÐ ÒØ Ó Ô ÑÓ ÐÐ ÖÑ Ø Ù Ú º ÔÔ Ö ÙÒ Ò ØÖ Ð Ö ÙÒÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÑÓ ÔÓ Þ ÓÒ Ð Ñ ÒØ P Ô Ö r =, 2, 3µ Ð Ô Ó Ö Ð Ó Ø ÒØ º Ä ÑÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÖ ÑÔÓ Ø Ø È½ Ô Ó ¼º½µ Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ó ÔÖÓ Ù ÑÓ ÙÖ ¾º Ò ØÖ µº ÔÔ Ö ÙÒ³ÙÐØ Ñ ÖÑ Ø Ö Ð Ø Ú ÐÙÒ ÓÔÞ ÓÒ ÔÓ Ø¹ ÔÖÓ Ò ÓÑ Ð ÐÓÐÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ Þ ÓÒ Ñ ÒØÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ó ØÓ ÐÐ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø µº Ë Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ð ÐÓÐÓ Ðг ÖÖÓÖ ÔÔ Ö Ö ÒÒÓ ÕÙ ØØÖÓ ÐÐ Ò ÐÐ ÔÖ Ñ Ù Ø Ð Ö Ú Ö ÑÓ Ð³ ÔÖ ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ù Ö Ú Ø ÔÖ Ñ Ò Ð ÒÓ ØÖÓ Ó ÜÔ Üµµº Ë Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ó ÔÖÓ ÑÓº