ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΡΤΗ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σελίδες 33-33 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ ΑΘεωρία Σελίδες 79-8 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ Α3 Θεωρία Σελίδα 97 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ Α Λ-Σ-Σ-Λ-Σ ΘΕΜΑ Β Β Επειδή min Fermat 3 τοπικό ελάχιστο, οπότε από θεώρημα όμως 3, Β Από την τριγωνική ανισότητα: 3 άρα αν θέσουμε 3 3 έχουμε : 3 3 ή 3 3 3 Η ανίσωση 3 ισχύει πάντα γιατί 7 Οι ανισώσεις 3 ή 3 έχουμε: min ma με δεδομένο ότι Β3 Από 3 9 9 9 άρα w 9 []
Αν yi,, y w X Yi, X, Y συνεπώς έχουμε τις παρακάτω 3 X Yi yi yi X, Y y y y 9 9 9 9 9 σχέσεις: 9 9 X, y Y Από 3 9 9 3 y 9 X Y 9 3 8 8 X Y X Y 9 9 9 9 9 9 9 9 έ a, 3 άρα η έλλειψη έχει μεγάλο άξονα και 9 3 3 μικρό άξονα και εστίες,,, 3 3 3 Β Η συνάρτηση πίνακας μεταβολής είναι : 3 3 3, συνεπώς ο, ό έ ί, έ ί ή, έ ύ ί []
yy : y y y : y που επαληθεύεται από το σημείο Γ Άρα τα σημεία Α,Β, Γ είναι συνευθειακά 3 ή y y - + y + + Συνεπώς το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι 3 3 y d y d d d = = = Β Από το πίνακα μεταβολής του ερωτήματος Β και από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τη μονοτονία της συνάρτησης έχουμε: Αν, η εξίσωση a έχει ακριβώς μία ρίζα Αν α= η εξίσωση a έχει ρίζες 3 ρίζες, η μία είναι διπλή 3 Αν, έχει τρεις ρίζες διαφορετικές Αν α= η εξίσωση a έχει τρεις ρίζες, η μία είναι διπλή Αν, έχει ακριβώς ρίζα Το ίδιο προκύπτει και από τη γραφική παράσταση και τη θέση της ευθείας y ΘΕΜΑ Γ [3] C της συνάρτησης a για τις διάφορες τιμές του Γ Εφαρμόζουμε για τη συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, από το οποίο προκύπτει ότι υπάρχει,, ώστε 3 η εφαπτόμενη στο Μ είναι
Γ Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση στο διάστημα έχει μια τουλάχιστον λύση g Επειδή, Θεωρούμε τη συνάρτηση 8 8 3 g θεώρημα BOLZANO στο διάστημα και g g 3 από,, ώστε,,υπάρχει Γ3 Εφαρμόζουμε για τη συνάρτηση g το θεώρημα ROLLE στο διάστημα, ( g συνεχής προφανώς στο, και παραγωγίσημη στο, με και g, g g συνεπώς υπάρχει,, τέτοιο ώστε g Γ Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ δύο φορές στα διαστήματα,3 3, ώστε ά, 3 3 3 και 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 με πρόσθεση των () και () έχουμε: 3 3 Γ Αν e, ί e Άρα φ γνησίως αύξουσα στο R, συνεπώς αν 3 e, e e Γ Λόγω Γ,, ά t t t Συνεπώς αν 3 h t t t, h t dt t dt dt tdt ομοίως tdt Επομένως ισχύει η σχέση: t dt []
ΘΕΜΑ Δ Δ g g g - + g + + + g ma Κυρτή ΣΚ κοίλη g,, g,, g ma g και κυρτή,, και, σημείο καμπής, κοίλη Δ Για g t lnt dt g t lnt dt g t lnt dt g t lnt dt g g g g g g ln ln ln ln ln Όμως g g, c Δ3 dt έ t u, u, άρα τα άκρα είναι τώρα t t u u y u έ ά y u η συνάρτηση y uί Για δηλαδή t u u dt du u du Συνεπώς έχουμε: u u Ι= udu d και επομένως Δ Έστω s s Άρα συνεπώς s s ί s s []
, Δ Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη lim h ( DLP) lim lim g g h lim h lim lim g g h συνεπώς h συνεχής στο διάστημα Συνεπώς h, λόγω Δ, Αν h Δ d ί έ ό g t t d d d ln ln dt d ln Τα θέματα και οι λύσεις τους είναι προσφορά στους μαθητές του ΓΤΧ του Μαθηματικού ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ του ου ΓΕΛ ΓΕΡΑΚΑ Χολαργός /3/ []