Κφάλιο ο : Σφάλμτ. Εισγωγή Σ κάθ μέτρηση που πργμτοποιίτι, ένς βσικός πράγοντς που κθορίζι το ποτέλσμ ίνι η πόκλιση της τιμής που μτράμ ή υπολογίζουμ σ σχέση πό την πργμτική τιμή. Όπως ήδη πισημάνθηκ στο προηγούμνο κφάλιο, η γκυρότητ μις μέτρησης χρκτηρίζτι μ βάση το πόλυτο κι το σχτικό σφάλμ νώ ντίστοιχ στο όργνο υπάρχι η κλάση του οργάνου η οποί κθορίζι πόσο σφάλμ έγιν σ μί συγκκριμένη χρήση του. Στο κφάλιο υτό θ σχοληθούμ μ δύο άλλ σοβρά θέμτ: τ ίδη των σφλμάτων κι πως πηράζουν τις μτρήσις κι β την μέθοδο μ την οποί προσδιορίζουμ το σφάλμ στην πρίπτωση που πξργζόμστ τις νδίξις των οργάνων μ βάση κάποι προκθορισμένη συνάρτηση.. Είδη σφλμάτων. Υπάρχουν τρις κτηγορίς σφλμάτων που μπορούν ν πηράσουν μί μέτρηση: τ πριβλλοντικά σφάλμτ κι τ σφάλμτ πρτήρησης. Τ σφάλμτ υτά οφίλοντι κυρίως σ λάθος χρήση των οργάνων. Τέτοιου τύπου λάθη ίνι η χρήση νός οργάνου σ λάθος θρμοκρσί ή υγρσί, σ λάθος θέση, προυσί πδίων που πηράζουν την μέτρηση (π.χ. χρήση του οργάνου κινητού μγνήτη κοντά σ μγνητικά πδί λλά κι η κκή νάγνωση της ένδιξης. Ειδικά όσο φορά το τλυτίο, μί σωστή νάγνωση της ένδιξης πιτί η ένδιξη, η άκρη του δίκτη κι το μάτι του πρτηρητή ν βρίσκοντι στην ίδι κτκόρυφη υθί. Όπως ήδη νφέρθηκ, κάθ όργνο νφέρι σ μφνές σημίο τις σωστές πρμέτρους λιτουργίς του, όπως πίσης ο κτσκυστής φοδιάζι το όργνο μ τις πρίτητς οδηγίς χρήσης. Επομένως ο χρήστης του οργάνου ίνι πάντοτ φοδισμένος μ ρκτά στοιχί γι ν χρησιμοποιήσι σωστά το όργνο κι ν πιθυμί σωστές μτρήσις, οφίλι ν το κάνι. β τ τυχί σφάλμτ. Όπως φίντι πό τη λέξη, υτά μφνίζοντι τυχί κι κολουθούν τους νόμους των πιθνοτήτων. Υπάρχουν όμως κτάλληλς διδικσίς κι ντίστοιχος μθημτικός φορμλισμός που μς πιτρέπουν ν υπολογίσουμ την πίδρση τους στο τλικό ποτέλσμ. γ τ συστημτικά σφάλμτ. Τ σφάλμτ υτά οφίλοντι σ κτσκυστικές τέλις κι μηχνικά σφάλμτ των οργάνων, στην λλγή της τιμής της
μτρούμνης ποσότητς λόγω της σύνδσης του οργάνου, στις προσγγίσις των μθόδων υπολογισμού, στη γήρνση των οργάνων κι σ άλλους πράγοντς οι οποίοι όμως μπορούν ν προβλφθούν κι ν ληφθούν υπόψη στο τλικό ποτέλσμ..3 Τυχί σφάλμτ. Όπως νφέρθηκ πρπάνω, τ τυχί σφάλμτ οφίλοντι σ άγνωστς μη προβλέψιμς ιτίς (τυχί προέλυση κι πριγράφοντι μ την θωρί πιθνοτήτων. Πρκτικά, ν θέλουμ ν μτρήσουμ την τιμή μις ποσότητς κι πάρουμ έν μγάλο ριθμό μτρήσων, οι μτρήσις θ διφέρουν μτξύ τους κτά υθίρτο τρόπο, μ τις διφορές ν κολουθούν τους πρκάτω κνόνς: i οι μικρές διφορές συμβίνουν συχνότρ πό τις μγάλς (ή ντίστοιχ τ μικρά τυχί σφάλμτ συμβίνουν συχνότρ πό τ μγάλ ii οι μγάλς διφορές μφνίζοντι σπάνι (ή ντίστοιχ τ μγάλ τυχί σφάλμτ ίνι πίθν iii οι διφορές μπορί ν ίνι θτικές ή ρνητικές μ την ίδι συχνότητ (ή ντίστοιχ ίσ θτικά ή ρνητικά τυχί σφάλμτ μφνίζοντι μ την ίδι πιθνότητ. Υπάρχι νλυτικός φορμλισμός μ τον οποίο μπορούμ ν υπολογίσουμ το πονομζόμνο πιθνό σφάλμ Ε, τον οποίο όμως πρέπι ν χρησιμοποιούμ φού έχουμ λάβι υπόψη όλς τις άλλς πηγές σφλμάτων. Ο φορμλισμός υτός ίνι: ν θέλουμ ν μτρήσουμ μέγθος, πργμτοποιούμ μτρήσις κι βρίσκουμ την μέση τιμή των μτρήσων που ορίζτι ως: (. Η μέση τιμή θωρίτι η τιμή που πλησιάζι πρισσότρο στην σωστή τιμή του μγέθους. β υπολογίζουμ την μέση πόκλιση D που ορίζτι ως: D (. Η μέση πόκλιση D μς δίνι την μέση τιμή των ποκλίσων των πί μέρους μτρήσων πό την μέση τιμή. γ υπολογίζουμ το πιθνό σφάλμ Ε της μέσης τιμής πό την σχέση:
Συχνότητ μφάνισης D E 0.845 (.3 Όπου το 0.845 προέρχτι πό την θωρί πιθνοτήτων. Βλέπουμ πομένως ότι γι ν έχουμ μικρό πιθνό σφάλμ στην μέση τιμή πρέπι ν έχουμ σχτικά μγάλο ριθμό μτρήσων (όχι πρίτητ πολύ μγάλο λόγω της ττργωνικής ρίζς. Ας δούμ έν πλό πράδιγμ φρμογής των πρπάνω: έστω ότι θέλουμ ν μτρήσουμ την τάση στο δίκτυο της ΔΕΗ. Πργμτοποιούμ δέκ μτρήσις που δίνουν 8V, V, 0V, 5V, 6V, 8V, 4V, 5 V, 5 V κι 7 V. Η μέση τιμή των μτρήσων ίνι σφάλμ στη μέση τιμή Ε=.3V. V V, η μέση πόκλιση D=4.6V κι το πιθνό Μί άλλη προσέγγιση του προβλήμτος των τυχίων σφλμάτων ίνι η χρήση κτνομών. Γι ν γίνι κτνοητή η έννοι της κτνομής, ς δούμ έν πράδιγμ μγάλου ριθμού μτρήσων που προυσιάζουν τυχίο σφάλμ: έστω το προηγούμνο πράδιγμ μέτρησης της τάσης στο δίκτυο της ΔΕΗ κι ότι πίρνουμ 00 μτρήσις οι οποίς κυμίνοντι πό 4V έως 6V. Φτιάχνουμ έν 5 0 5 0 5 0 4 6 8 0 4 6 Τάση (V Σχήμ. διάγρμμ (Σχήμ. όπου φίντι η συχνότητ μ την οποί μφνίζτι κάθ μί τιμή. Στο διάγρμμ υτό φίντι ότι πιο συχνά μφνίζτι η τιμή 0V άρ υτή ίνι κι η πιθνότρη τιμή. Oι τιμές κοντά στ 0V (7-3 V μφνίζοντι μ μγλύτρη συχνότητ πό ότι οι τιμές μκριά (4-6 V κι 4-6 V. Τέλος, ίσς θτικές ή ρνητικές ποκλίσις μφνίζοντι μ την ίδι πιθνότητ. Το διάγρμμ υτό ίνι η κτνομή της συχνότητς μφάνισης τιμών της τάσης του δικτύου. Ουσιστικά μς δίνι την πιθνότητ μφάνισης μις τιμής της τάσης. Υπάρχι ριθμός πό θωρητικές κτνομές που πριγράφοντι πό νλυτικές συνρτήσις κι χρησιμοποιούντι στην πράξη γι την νάλυση δδομένων μτρήσων. Οι κυριότρς πό τις συνρτήσις-κτνομές ίνι: η διωνυμική, η Poisso, η Gauss, η Γ, η t, η κλπ. Σ κάθ πρίπτωση, η κτλληλότρη συνάρτηση γι ν πριγράψι την πιθνότητ μφάνισης μέτρησης βρίσκτι μ τη βέλτιστη προσομοίωση πιρμτικών δδομένων μ τις συνρτήσις. Αφού βρθί η 3
κτλληλότρη συνάρτηση, πό τον νλυτικό τύπο μπορούν ν βρθούν διάφορς πράμτροι όπως η πικρτούσ τιμή, το ύρος κτνομής, η τυπική πόκλιση κλπ..4 Συστημτικά σφάλμτ Όπως νφέρθηκ νωρίτρ, τ συστημτικά σφάλμτ ίνι υτά που μπορούν ν προβλφθούν κι οφίλοντι σ πράγοντς που ήδη νφέρθηκν. Στο μάθημ υτό μς νδιφέρουν δύο κτηγορίς συστημτικών σφλμάτων, τ σφάλμτ των οργάνων κτά την μέτρηση κι τ σφάλμτ κτά τους υπολογισμούς. Ανφορικά μ τ σφάλμτ που προκλί η σύνδση οργάνου, υτά θ ξτστούν κτά πρίπτωση στις ντίστοιχς διδικσίς μέτρησης νώ κτά τη γήρνση, το όργνο πιτί νβθμολόγηση. Στην πρίπτωση που πιτίτι η γνώση νός μγέθους Χ το οποίο μπορί ν μτρηθί π υθίς μ έν όργνο, το πόλυτο ΔΧ κι το σχτικό σφάλμ ΔΧ/Χ της μέτρησης βρίσκτι πλά μ την χρήση της κλάσης G κι της μέγιστης ένδιξης ΜΕ του οργάνου (ξίσωση., οπότ: ΔΧ=(GΜΕ/00 κι ΔΧ/Χ=(GΜΕ/(00Χ νδ. (.4 Υπάρχουν όμως πολλές πριπτώσις όπου η γνώση νός μγέθους πιτί φνός ριθμό μτρήσων μ όργν κι φτέρου υπολογισμό μ βάση κάποι θωρητική ξίσωση. Σ υτές τις πριπτώσις πρέπι ν βρούμ το σφάλμ στο υπολογιζόμνο μέγθος. Η διδικσί υτή μπορί ν ίνι ίτ πλή ίτ πρίπλοκη νάλογ μ την ξίσωση που πιτίτι..4. Απλές πριπτώσις Σφάλμ θροίσμτος. Έστω ότι μ δύο όργν μτράμ δύο ποσότητς Α κι Β μ πόλυτ σφάλμτ ΔΑ κι ΔΒ ντίστοιχ. Στη συνέχι υπολογίζουμ το άθροισμ S=Α+Β κι θέλουμ ν βρούμ το πόλυτο ΔS κι το σχτικό S/ΔS σφάλμ στον υπολογισμό μς. Θωρώντς ότι ο δίκτης ντιστοιχί στην μέτρηση νώ ο δίκτης στην πργμτική τιμή έχουμ: ΔS S S (A (A (A A ( ΔA Δ (.5 a Δηλδή ότν έχουμ άθροισμ, το πόλυτο σφάλμ του θροίσμτος ισούτι μ το άθροισμ των πί μέρους πολύτων σφλμάτων. Όσον φορά το σχτικό σφάλμ του θροίσμτος, υτό δίντι πό: ΔS ΔA Δ (.6 S A 4
Σν πράδιγμ χρήσης των πρπάνω μπορί ν νφρθί η πρίπτωση σύνδσης ντιστάσων σ σιρά. Αν R ολ =R +R κι η νοχή των πιμέρους ντιστάσων ίνι ΔR κι ΔR ντίστοιχ, τότ ΔR ολ = ΔR +ΔR. β Σφάλμ πολλπλσισμού. Έστω ότι μ δύο όργν μτράμ δύο ποσότητς Α κι Β μ πόλυτ σφάλμτ ΔΑ κι ΔΒ ντίστοιχ. Στη συνέχι υπολογίζουμ το γινόμνο S=ΑΒ κι θέλουμ ν βρούμ το πόλυτο ΔS κι το σχτικό S/ΔS σφάλμ στον υπολογισμό μς. Θωρώντς ότι ο δίκτης ντιστοιχί στην μέτρηση νώ ο δίκτης στην πργμτική τιμή έχουμ: ΔS S S A A A (A A Δ ΔA ΔAΔ ΔA A Δ a ΔA( Δ (.7 όπου λήφθη υπόψη ότι ΔΑΔΒ<<Β ΔΑ, Α ΔΒ. Όσον φορά το σχτικό σφάλμ του γινομένου, υτό δίντι πό: ΔS S ΔA A (.8 A Δ ΔA A Σν πράδιγμ χρήσης των πρπάνω μπορί ν χρησιμοποιηθί η πρίπτωση υπολογισμού της ισχύος. Αν P=VI κι το πόλυτο σφάλμ των πιμέρους μγθών ίνι ΔV κι ΔI ντίστοιχ, τότ ΔP= IΔV+VΔI..4. Γνικός τύπος Δ Έστω ότι θέλουμ ν υπολογίσουμ έν μέγθος y το οποίο κφράζτι σν συνάρτηση μτβλητών, δηλδή y=f(,, 3,,, όπου οι μτβλητές προυσιάζουν πόλυτο σφάλμ Δ, Δ, Δ. Το πόλυτο σφάλμ του μγέθους υτού Δy υπολογίζτι μ βάση το διφορικό της συνάρτησης f που δίντι πό: y y y y dy d d... d d (.9 όπου y ίνι η μρική πράγωγος της συνάρτησης y ως προς την μτβλητή (γι υποβοήθηση υπάρχι στο τέλος του κφλίου πράγρφος σχτικά μ μρικές πργώγους. Το πόλυτο Δy κι το σχτικό Δy/y σφάλμ δίνοντι πό: y y y y Δy Δ Δ... Δ Δ (.0 Δy y y y (. 5
.4.3 Πρδίγμτ Αρχικά ς ξτάσουμ μ βάση τη συνάρτηση.0 την πρίπτωση του σφάλμτος γινομένου που ίδμ στην πράγρφο.4.. Αν y=, το Δy δίδτι πό: Δy y ( Δ ( Δ Δ Δ Βλέπουμ δηλδή ότι κτλήξμ κριβώς στο ίδιο ποτέλσμ όπως προηγουμένως. β Ας ξτάσουμ τώρ μι άλλη συνάρτηση όπως το πηλίκο y= /. Το Δy δίντι πό την σχέση: Δy y Δ Δ (/ Δ Δ Δ (/ Δ Δ γ Τέλος ς ξτάσουμ έν πργμτικό πρόβλημ: σ έν κύκλωμ μτράμ τάση κι ρύμ μ τ ξής όργν: την τάση μ βολτόμτρο μέγιστης ένδιξης 400 V κι κλάσης κι β το ρύμ μ μπρόμτρο μέγιστης ένδιξης 3 Α κι κλάσης. Αν οι μτρούμνς ποσότητς ίνι V=00 V κι I= A, ν βρθί το μέγιστο πόλυτο κι σχτικό σφάλμ στον υπολογισμό της ισχύος. Λύση. Στο πρόβλημ μς, έχουμ την ύρση δύο μγθών (V κι I μ όργν κι στη συνέχι τον υπολογισμό νός τρίτου μγέθους μ κάποι συνάρτηση, ζητίτι δ το σφάλμ στο τρίτο μέγθος. Γι ν λύσουμ το πρόβλημ κολουθούμ τ πρκάτω βήμτ: Βήμ ο. Ορίζουμ την συνάρτηση που συνδέι τ μγέθη, κι υπολογίζουμ την τιμή του ζητούμνου μγέθους. Η συνάρτηση ίνι P=VI κι η ζητούμνη τιμή P=(00 V A=400 W. Βήμ ο. Υπολογίζουμ το μέγιστο πόλυτο σφάλμ στ δύο μγέθη που μτρήθηκν μ τ όργν. Έχουμ: G ΔV V ME 00 G I MEI ΔI 00 V 400 8V 00 3 0.06A 00 Βήμ 3 ο. Υπολογίζουμ το μέγιστο πόλυτο σφάλμ στο P μ χρήση της ξίσωσης.0. Έχουμ: 6
ΔP P ΔV V P ΔI I IΔV VΔI A 8V 00V 0.06A 8W Βήμ 4 ο. Υπολογίζουμ το μέγιστο σχτικό σφάλμ στο P: ΔP P 8W 400W 0.07 η 7%.5 Μρικές πράγωγοι. dy Η γνωστή μς πράγωγος έχι έννοι μόνο στην πρίπτωση που η συνάρτηση d y ξρτάτι μόνο πό μί μτβλητή. Στην πρίπτωση συνάρτησης μ πολλές μτβλητές όπως y=f(,, 3,,, η πλή πράγωγος δν μπορί ν οριστί γι τον πλούσττο λόγο ότι πρέπι μ κάποιο τρόπο ν ορίσουμ ως προς ποι μτβλητή γίντι η πργώγιση. Η μέθοδος λοιπόν που κολουθούμ ίνι η μρική πράγωγος στην οποί: το d ντικθίσττι μ το β στον πρνομστή κθορίζουμ ως προς ποι μτβλητή πργωγίζουμ γ κτά την πργώγιση, θωρίτι ότι όλς οι άλλς μτβλητές ντιστοιχούν σ στθρές ποσότητς. Σν πράδιγμ, ς βρούμ την πράγωγο ως προς της συνάρτησης f=y. Έχουμ: f y όπου το y θωρίτι σν στθρή ποσότητ κι μένι ως έχι. Αντίστοιχ η πράγωγος της f ως προς y ίνι: f y 4y όπου το θωρίτι σν στθρή ποσότητ κι μένι ως έχι. Βλέπουμ πομένως ότι ν έχουμ συνάρτηση πολλών μτβλητών, η πράγωγος λλάζι νάλογ μ την μτβλητή που πργωγίζουμ. 7