ΟΡΙΣΜΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΙΣΜΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 12 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Ερώτηση 1 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, τι ονομάζεται τιμή της f στο και πώς συμβολίζεται ; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y Το y ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται με f Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συνήθως συμβολίζεται με D f Ερώτηση 2 Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μια συνάρτησης f, με πεδίο ορισμού το Α ; Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f ( ) Είναι δηλαδή: f ( ) { y / y f ( ) για κάποιο } λέγεται Σελ9

Ερώτηση 3 Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : ; Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και y ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων ( y, ) για τα οποία ισχύει y f ( ), δηλαδή το σύνολο των σημείων (, f ( )),, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C f Ερώτηση 4 Πότε δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες ; Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε ισχύει f ( ) g( ) Ερώτηση 5 Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα Πως ορίζεται το άθροισμα f g, η διαφορά f g, το γινόμενο f g και το πηλίκο f g τους ; Ποιο θα είναι το πεδίο ορισμού της κάθε πράξης ; ( f g)( ) f ( ) g( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) f g ( ) f ( ) g( ) Σελ1

Το πεδίο ορισμού των f g, f g και f g είναι η τομή των πεδίων ορισμού Α και Β, των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της f g είναι το εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g, ( ) δηλαδή το σύνολο / και, με g ( ) Ερώτηση 6 Τι ονομάζουμε σύνθεση της συνάρτησης f με την συνάρτηση g και ποιο το πεδίο ορισμού της σύνθεσης ; Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με g f, τη συνάρτηση με τύπο ( g f )( ) g( f ( )) Το πεδίο ορισμού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f( ) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο g f{ / f ( ) } Είναι φανερό ότι η g f ορίζεται αν g f, δηλαδή αν f ( ) Σελ11

13 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα, πότε γνησίως φθίνουσα και πότε γνησίως μονότονη, σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της ; Γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 1, 2 με 1 2 ισχύει: f ( 1) f ( 2) Γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 1, 2με 1 2 ισχύει: f ( 1) f ( 2) Ερώτηση 7 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ Πότε μία συνάρτηση f λέγεται αύξουσα, και πότε φθίνουσα, σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της ; Μια συνάρτηση f λέγεται αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 1, 2 με 1 2 ισχύει f ( 1) f ( 2) Ερώτηση 8 Μια συνάρτηση f λέγεται φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 1, 2 με 1 2 ισχύει f ( 1) f ( 2) Σελ12

Ακρότατα συνάρτησης Ερώτηση 9 Πότε μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο ; Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο (ολικό) μέγιστο, το f( ), όταν f ( ) f ( ) για κάθε Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο, το f( ), όταν f ( ) f ( ) για κάθε Το (ολικό) μέγιστο και (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f Συνάρτηση «1 1» Ερώτηση 1 Πότε μια συνάρτηση f : λέγεται συνάρτηση «1 1» ; Μία συνάρτηση f : λέγεται συνάρτηση «1 1», όταν για οποιαδήποτε 1, 2 ισχύει η συνεπαγωγή 1 2 f 1 f 2 ( ) ( ) Σελ13

Αντίστροφη συνάρτηση Ερώτηση 11 Πότε και με ποιον τρόπο ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f, ποιες οι ιδιότητές της ; f 1 μιας συνάρτησης Έστω μια συνάρτηση f : Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι «1 1», τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f ( ), της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f ( ) y Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g: f( ) με την οποία κάθε y f( ) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό για το οποίο ισχύει f ( ) y Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f ( ) της f, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και ισχύει η ισοδυναμία: f ( ) y g( y) Η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με 1 f Επομένως έχουμε 1 f ( ) y f ( y) Οπότε: f 1 ( f ( )), και f f y y y f 1 ( ( )), ( ) Σελ14

14 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Η έννοια του ορίου Όταν οι τιμές μια συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό καθώς το προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό τότε γράφουμε lim f( ) και διαβάζουμε: το όριο της f( ), όταν το τείνει στο, είναι ή το όριο της f( ) στο είναι 15 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο και διάταξη Θεώρημα 1 ο Αν Αν lim f( ), τότε f( ) κοντά στο lim f( ), τότε f( ) κοντά στο Θεώρημα 2 ο Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) Σελ15

Κριτήριο παρεμβολής Ερώτηση 12 Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Θεώρημα Έστω οι συναρτήσεις f, g, h, αν h( ) f ( ) g( ) κοντά στο και lim h( ) lim g( ), τότε lim f( ) Τριγωνομετρικά όρια Θεώρημα Ισχύει, για κάθε (η ισότητα ισχύει μόνο όταν ) Θεώρημα lim Θεώρημα lim lim 1 1 lim Σελ16

16 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Θεώρημα (όριο αθροίσματος) lim f( ) lim g ( ) lim f ( ) g( ) ; ; Θεώρημα (όριο γινομένου) lim f( ) lim g ( ) lim f ( ) g( ) ; ; Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο (αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι: ( ) ( ) και ( ) Επειδή f g f ( g) και όρια της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι: ( ) ( ), ( ) ( ), f g και 1 f, απροσδιόριστες μορφές για τα g Σελ17

17 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Βασικά όρια Για τον υπολογισμό του ορίου στο ή χρειαζόμαστε τα παρακάτω όρια: lim και 1 lim, * lim, αν ν άρτιος, αν ν περιττός και 1 lim, * Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης Για την πολυωνυμική συνάρτηση P( ), με 1 1 ισχύει: lim P( ) lim και lim P( ) lim Για τη ρητή συνάρτηση f( ), με και 1 1 1 1 ισχύει: lim f( ) lim και lim f( ) lim Όρια εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης Αν 1, τότε: lim limlog lim lim log Επομένως: lim e limln lim e lim ln Σελ18

Αν 1, τότε: lim limlog lim lim log Πεπερασμένο όριο ακολουθίας Ερώτηση 13 Τι ονομάζουμε ακολουθία, και ποιος ο ορισμός για το πεπερασμένο όριό της ; Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση : * Η εικόνα της ακολουθίας ( ) συμβολίζεται συνήθως με συμβολίζεται με ( ), ενώ η ακολουθία α Επειδή το πεδίο ορισμού κάθε ακολουθίας, είναι το * 1,2,3,4, έχει νόημα να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της για πολύ μεγάλες τιμές του, δηλαδή όταν Θα λέμε ότι η ακολουθία έχει όριο το και θα γράφουμε lim, όταν για κάθε, υπάρχει ισχύει * τέτοιο, ώστε για κάθε να Οι γνωστές ιδιότητες των ορίων συναρτήσεων όταν, που μελετήσαμε στα προηγούμενα, ισχύουν και για τις ακολουθίες Σελ19

18 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός της συνέχειας Ερώτηση 14 Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο, όταν lim f ( ) f ( ) Ερώτηση 15 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ; Όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι συνεχής Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα Ερώτηση 16 Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, ; Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, Σελ2

Ερώτηση 17 Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, ; Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον lim f ( ) f ( ) και lim f ( ) f ( ) Θεώρημα Bolzano Ερώτηση 18 Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη στο διάστημα,, αν: η f είναι συνεχής στο f( ) f( ), και τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, εξίσωση ( ) τέτοιο, ώστε f( ) Δηλαδή η f έχει μία (τουλάχιστον) ρίζα στο διάστημα, Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [, ] Επειδή τα σημεία (, f ( )) και (, f ( )) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο C f Σελ21

Θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής Ερώτηση 19 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα,, τότε η f παίρνει στο, μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή υπάρχουν,, ώστε, αν m f ( 1) και f( 2), να ισχύει: m f ( ) τέτοια, 1 2, για κάθε, Σελ22