5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 8 Α. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; Μονάδες 4 Α3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f ; Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε z ισχύει z z Imz. (μονάδες ) lim. f β) Αν lim f ή, τότε (μονάδες ) γ) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. (μονάδες ) δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α, β,, τότε ισχύει f d f d f d (μονάδες ) ε) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. (μονάδες ) Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση z z zi 4 i, z Β. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 9 Β. Αν z i και z i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός z w 3 z 39 είναι ίσος με 3i. Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει u w 4z z i, όπου w,z,z οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β. Μονάδες 8 ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 435 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: 64358 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση h ln,. Γ. Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα. Μονάδες 5 Γ. Να λύσετε την ανίσωση h h,. Μονάδες 7 Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο, καθώς και την πλάγια ασύμπτωτή της στο. Μονάδες 6 Γ4. Δίνεται η συνάρτηση h ln,. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και την ευθεία. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f,, Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο και, στη συνέχεια, ότι είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 7 Δ. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή. f α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f udu έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η. (μονάδες 7) β) Ένα υλικό σημείο Μ ξεκινά τη χρονική στιγμή t από ένα σημείο A,f με και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y f, με t, y yt, t. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης t του σημείου Μ είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του yt, αν υποτεθεί ότι t για κάθε t ; (μονάδες 4) Μονάδες Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση g f,,. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 5. Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 73. Α3. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 5. Α4. α Λ, β Σ, γ Σ, δ Σ, ε Λ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 435 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: 64358 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z i,,. Τότε η εξίσωση z z zi 4 i () ισοδύναμα γίνεται: i 4 i i i i Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι: z i και z i. z i i i i Β. Είναι i. z i 39 z 39 4 9 3 4 9 3 3 w 3 3i 3i 3 i i 3i 3i. z Άρα Β3. Είναι 4z z i 4 i i i 4 4i 3 4i. Άρα 4z z i 3 4i 3 4 5. Επομένως u w 5 u 3i 5. Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(,3) και ακτίνα 5. ΘΕΜΑ Γ Είναι h ln,. Γ. Η συνάρτηση ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με h,. Η h ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με h για κάθε. Άρα η h στρέφει τα κοίλα κάτω στο, δηλαδή είναι κοίλη στο. Γ. Η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται ln hh hh ln ln ln h h h h h ά h. Γ3. Είναι h ln ln ln ln u lim h lim ln limln u ln ό u u (αφού: lim lim ) D.L.H. ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 435 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: 64358 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Άρα η ευθεία (ε ): y= (δηλαδή ο άξονας ) είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C h στο. t Είναι lim h lim ln lim ln t. ό t t Άρα η ευθεία (ε ): y= είναι πλάγια ασύμπτωτη της C h στο. Γ4. Είναι h ln,. h ln h ln ln ln. Άρα το είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης. Το πρόσημο της συνάρτησης φ() εξαρτάται από το πρόσημο της h ln, (γιατί:, ). ΘΕΜΑ Δ h, Είναι: άρα το μοναδική ρίζα της, Για Άρα για, Επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι άρα η κ γνησίως αύξουσα στο και h ln, άρα και της. E d d h ln d h ln h d h ln h ln d ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln.. Δ. Είναι limf lim lim f. D.L.H. Άρα η f είναι συνεχής στο. Για, η f ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με f,. Το πρόσημο της f εξαρτάται από το πρόσημο της,.,. Άρα η Λ στο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το +, δηλαδή για κάθε, επομένως f για κάθε. Η f είναι συνεχής στο, άρα η f γνησίως αύξουσα στο. Λ Λ + ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 435 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: 64358 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Δ.α) Είναι: f f f lim lim lim lim lim D.L.H. D.L.H. f Έστω F f udu. Η f είναι συνεχής στο, άρα ορίζεται η συνάρτηση f udu στο και είναι παραγωγίσιμη με f,. Άρα F f. Η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: f (). Είναι f για κάθε, άρα η κ γνησίως αύξουσα στο, επομένως f f f f ή ά f ος τρόπος Η f γνησίως αύξουσα στο και συνεχής, άρα το σύνολο τιμών της είναι το lim f, lim f, γιατί: lim f lim lim f lim lim lim D.L.H. Άρα f για κάθε. f - Αν f τότε f udu άτοπο f - Αν f τότε f udu άτοπο Άρα πρέπει f f f f και αφού η f κυρτή στο, άρα η f γνησίως αύξουσα στο. Είναι. β) Είναι Mt,yt, t Είναι yt και t f t t t t t t t yt t Κάποια χρονική στιγμή t είναι yt t, άρα t t t t t t t t t t t t t t f ή f t ft ft f t, t ά f άρα το ζητούμενο σημείο είναι το Δ3. Είναι M,f,. g f,, Η g ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, με ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 435 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: 64358 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ,, g g ή ή Θεωρώ τη συνάρτηση,, Είναι,, για κάθε,, άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο, Είναι Η φ στο [,] είναι συνεχής και, άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει, : και επειδή η φ είναι γνησίως αύξουσα στο, το κ μοναδική ρίζα. Άρα: κ + - + + + - + - - + + g + + g η g στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το g στο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το g στο 3 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το g ος τρόπος Είναι g f για κάθε. Είναι g και g. Άρα η g στα, παρουσιάζει ελάχιστο. Όμως η g στο [,] είναι συνεχής, άρα από θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής παρουσιάζει και μέγιστο (αφού δεν είναι σταθερή), άρα υπάρχει, που είναι θέση τοπικού μέγιστου. Επιμέλεια: Σ. ΚΟΥΤΣΟΥΒΕΛΗΣ Π. ΛΥΓΚΩΝΗΣ Μ. ΣΙΜΙΤΖΟΓΛΟΥ Τ. ΝΤΡΙΤΣΟΣ Δ. ΣΤΡΟΥΖΑΚΗΣ Δ. ΝΤΖΟΥΡΟΠΑΝΟΣ ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 435 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: 64358 thsmos@otnt.gr