4. Podivné správanie sa fotónov

4 Podivné správanie sa fotónov 141 4. Podivné správanie sa fotónov 4.1 Dvojštrbinový eperiment Na začiatku 3. kapitol sme hovorili o rozdieloch medzi časticami a vlnami prechádzajúcimi tienidlom s dvomi štrbinami. Odporúčame čitateľovi, ab sa vrátil na chvíľu k obr. 3.1a, obr. 3.1b a prečítal si aj tet pri nich. V prípade častíc prechádzajúcich dvomi štrbinami budú častice dopadať na miesta označené ako A, B na obr. 3.1a. V prípade vĺn vznikne interferenčný obraz znázornený na obr. 3.1b. Problém sa objaví okamžite, ak sa na svetlo, ktoré je tiež vlnením, pozrieme ako na súbor fotónov. V najjednoduchšom prípade môžeme postaviť eperiment tak, že medzi zdrojom ZV a fotografickou platňou (SR) na obr. 3.1b bude vžd len jeden fotón, ktorý bude prechádzať sstémov dvoch štrbín a potom dopadne na fotografickú platňu. Také eperiment sa už uskutočnili a technick to nebolo zložité. Stačilo použiť veľmi slabý zdroj svetla, alebo dať pred svetelný zdroj tienidlo, ktoré prepúšťa len málo svetla. Predstavme si, že eperiment prerušíme ihneď v okamihu, ako na platňu dopadol jediný fotón. Potom platňu dáme vvolať a pozrieme sa, čo je na nej. Veľa toho na nej nebude, ale po podrobnom prehliadnutí platne zbadáme na nej jednu maličkú bodku. Táto bodka vznikla tak, že fotón dopadol na dané miesto platne a spôsobil tam chemickú reakciu, ktorá viedla neskôr k tomu, že po vvolaní platne ostalo jedno sčernené zrnko fotografickej emulzie a zvšok platne je biel. Na vvolanie príslušnej chemickej zmen je potrebná spravidla energia niekoľko ev a to je práve energia, ktorú fotón má. Preto fotón, ab spôsobil chemickú reakciu v jednom zrnku emulzie, musel na tomto mieste odovzdať celú svoju energiu. Keb sa energia tohto jedného fotónu rozdelila na celú plochu fotografickej platne, potom b na jedno zrnko emulzie pripadla energia určite menšia ako 10-10 ev a takáto energia b nemohla spôsobiť žiadnu chemickú reakciu. Eperiment teda ukazuje, že fotón sa pri dopade na fotografickú platňu správa ako častica, ktorá odovzdá celú svoju energiu "na jednom mieste". Na tom zatiaľ nie je nič podivného. Urobme celý eperiment znova a zariaďme veci tak, ab na fotografickú platňu dopadlo viac fotónov, pričom budeme používať ten istý slabý zdroj. Fotón teda prechádzajú sstémom po jednom. Ab fotónov bolo na platni zachtených viac, stačí, ab sme pri slabom zdroji mali dlhú epozičnú dobu. Napokon platňu vberieme a dáme ju vvolať. Už pri prvom pohľade na platňu, uvidíme tpické interferenčné prúžk, znázornené na obr. 3.1b. Ak sa ale na platňu pozrieme pod mikroskopom vidíme, že prúžk sú vtvorené z mnohých sčernených zrniek fotografickej platne. Prirodzene nás napadne, že za každé sčernené zrniečko je zodpovedný fotón, ktorý v danom zrnku emulzie vvolal príslušnú chemickú reakciu. Vvolaná fotografická platňa je znázornená na obr.4.1. Keb mal eperimentátor pochbnosti o tom, že interferenčný obraz vznikol naozaj z dopadov jednotlivých fotónov mohol b urobiť ešte jeden variant Obr. 4.1Fotografická platňa v rôznch dobách epozície s interferenčnými prúžkami spôsobenými bodovými sčerneniami vvolanými jednotlivými fotónmi Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

14 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik Obr. 4. Vznik interferenčného obrazu vo vlnovej teórii eperimentu. Potreboval b naň viac fotografických platní alebo veľa filmových políčok. Postupoval b nasledovne. Vbral b vžd čas epozície tak krátk, že b na platňu (alebo filmové políčko) dopadol vžd len jeden fotón. Potom b platňu vvolal. Ak postupoval dobre, má na väčšine platní len jednu malú čiernu bodku. Na niektorých platniach žiadnu bodku nemá - tie platne odloží bokom. Na niektorých platniach bude mať dve alebo viac čiernch bodiek - aj tieto platne odlož bokom. Potom položí všetk platne s jednou bodkou presne na seba a presvieti ich. To, čo uvidí bude opäť to, čo je na obr. 4.1, ktorý ale v tomto prípade bude určite súčtom sčernení vvolaných jednotlivými fotónmi. V prai b sa táto verzia eperimentu dala uskutočniť 1, oveľa jednoduchšie tak, že namiesto platne b sme použili sústavu maličkých detektorov. Citlivá plocha b pokrývala tú istú plochu ako predtým celá platňa. V prípade, že fotón prejde plôškou daného detektora, urobí detektor "šťuk" a pošle signál do počítača, ktorý zaregistruje to, že detektor číslo "(k, m)", teda detektor sú súradnicami ( k, m ) v rovine platne "šťukol" v danom čase. Ak chceme, ab sa registrovali len jednotlivé fotón, potom spracovanie signálov upravíme tak, ab program vpustil dva po sebe idúce "šťuk", ak medzi nimi uplnie menší časový úsek ako je čas, ktorý potrebuje svetlo na prekonanie vzdialenosti medzi zdrojom a rovinou detektorov (rovinou platne). Aj v tomto prípade sa objaví fzický interferenčný obraz. Podivnosť správania sa fotónov spočíva v nasledujúcom. Fotón zrejme dopadá na platňu (alebo na detektor) ako častica a v jednom zrne emulzie odovzdá celú svoju energiu. Ale v akomsi zmsle sa musí šíriť ako vlna, pretože vtvára tpick "vlnový" interferenčný obraz. Keb prechádzal ako častica - len jednou štrbinou, potom b sme na tienidle museli vidieť to, čo na obr. 3.1a, a to nie je interferenčný obraz. Vlnová teória opisuje vznik interferenčného obrazu nasledovne, pozri obr. 4.. Zo zdroja vlnenia (ZV) sa vlnenie šíri cez štrbinu Š 1 až do bodu D na tienidle. Príslušnej vlne na tejto dráhe je priradená amplitúda A 1. Vlnenie sa šíri do toho istého bodu aj cez štrbinu Š, a tejto dráhe je priradená amplitúda A. Celková amplitúda A 1 v bode D je daná súčtom dvoch amplitúd A 1, A, teda A 1 = A 1 + A (1) ntenzita vln 1 v bode D je rovná štvorcu absolútnej hodnot amplitúd 1 A1 = A1 A = + () ntenzita má maimum v tom mieste, kde dĺžka dráh d 1 (od ZV po Š 1 plus od Š 1 po D) sa líši od dĺžk dráh d (od ZV po Š plus od Š po D) o celočíselný násobok vlnovej dĺžk λ. Minimum je tam, kde d 1 d = nλ + λ/, kde n je celé číslo. Keď hovoríme o interferencii elektromagnetického vlnenia je situácia len o trocha komplikovanejšia. Úlohu amplitúd hrá intenzita elektromagnetického poľa E, ktorá je vektorom (okrem veľkosti má aj smer, ktorý musí bť kolmý na smer šírenia vln). V najjednoduchšom prípade je svetlo polarizované a potom má E len jeden smer e. V tomto prípade namiesto rovnice (1) máme 1 Na <http://ophelia.priceton.edu/~page/> v časti <nterference of single photon> na Lman Page, Department of phsics, Jadwin Hall, Princeton Universit nájdete podrobne popísaný ľahko uskutočniteľný reáln eperiment vkonaný s komerčne vrábanou CCD kamerou. (Pozn. de o digitálnu kameru s tzv. CCD senzorom, čo znamená, že senzor obsahuje veľké množstvo maličkých diód fungujúcich na základe fotoelektrického javu. Viac pozri napr. stránku <http://www. howstuffworks.com časť How Digital Cameras Works) Veľmi peknú verziu interferenčného eperimentu, ktorý možno urobiť doma alebo v triede len pomocou zrkadla, kried a baterk uvádza Steven Girvin na svojej stránke <http://pantheon.ale.edu/~smg47> v časti <Public Lecture: Mr. Fenman s Quantum Mechanics: A Field Guide for Curious characters > a v <Backround material>. Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

4 Podivné správanie sa fotónov 143 a namiesto rovnice () dostaneme = A e + e (3) E1 1 A 1 C E1 = C A1e Ae = + (4) kde C je istá konštanta úmernosti. Jej hodnota nie je pre ďalšiu diskusiu podstatná. Rozloženie hustot fotónov na tienidle je dané tpick interferenčným vzťahom (4). Tento výraz ale opisuje vlnu, ktorá prechádza obidvomi štrbinami. Otázka o tom, čo je fotón, stojí teda nasledovne: ak je fotón vlnou, tak sa šíri obidvomi štrbinami a intenzita vlnenia v rovine platne je daná rovnicou (4). Hustota energie vln príslušnej k jednému fotónu je potom rozdelená spojito po povrchu platne. Lenže takáto vlna nemôže vvolať bodové sčernenie na fotografickej platni, pretože na chemickú reakciu v jednom zrnku emulzie je potrebná celá energia fotónu ak je fotón časticou, potom prechádza len jednou z dvoch štrbín. V tomto prípade môže fotón vvolať bodové sčernenie, ale v rovine platne b nemal vzniknúť interferenčný obraz. Nevhnutným záverom je potom tvrdenie, že fotón nie je ani časticou, ani vlnou v zmsle klasickej fzik. To isté platí aj o iných objektoch atómovej fzik 3,4. Podobné interferenčné obraz totiž pozorujeme aj v prípade elektrónu (alebo inej "častice") prechádzajúcej dvomi štrbinami 5. Na druhej strane fotón (alebo iná častica) je v istom zmsle aj vlnou aj časticou. Ak chceme hovoriť o fotóne alebo o elektróne ako o "častici", potom s ním musíme spojiť aj určitú vlnu alebo "vlnovú funkciu" ψ ( r,. Pravdepodobnosť spozorovať v istej malej oblasti priestoru určitú časticu, napríklad elektrón, je potom úmerná ψ ( r,. V tom istom zmsle je pravdepodobnosť toho, že fotón vvolá sčernenie v istom mieste fotografickej platne úmerná výrazu 1 v rovnici (4). Ak na tú istú platňu dopadá mnoho fotónov, uvidíme na platni sčernenie, ktoré je blízke klasickému výrazu (4) a zodpovedá spodnému obrázku 4.1. 3 R.P. Fenman vo svojej knihe The Character of Phsical Law, MT Press, 1965, strana 18 (český preklad - O povaze fzikálnich zákonů, Aurora, 1998, str. 135): Vieme ako sa správajú elektrón a svetlo. Lenže aká je ich podstata? Ak poviem, že sa správajú ako častice, vtvorím vo vás pomýlenú predstavu; to isté sa stane, keď poviem, že sa správajú ako vln. Správajú sa svojím vlastným, nenapodobiteľným spôsobom, ktorý b bolo možné nazývať kvantovomechanický spôsob. Nesprávajú sa ako nič, čo ste doteraz videli. Vaše skúsenosti s vecami, s ktorými ste sa už stretli sú neúplné. Veci sa totiž v nepatrných mierkach správajú celkom odlišne. Atóm sa nespráva ako závažie visiace na pružine, ktoré osciluje. Nespráva sa ani ako miniatúrna napodobenina slnečnej sústav s malými planétami krúžiacimi po orbitách. Nie je to ani mrak nejakého zvláštneho druhu hml obklopujúcej jadro. Atóm sa nepodobá na nič, čo ste doteraz videli. 4 V súvislosti s odpoveďou na často kladenú otázku: Je elektrón vlna alebo častica? uvádza Dan Ster (z Oberlin College v USA) výstižné prirovnanie vo svojej knihe The Strange world of Quantum mechanics, Cambridge Universit press, 000, str. 108: Je to podobné ako keď si predstavíte človeka, ktorý sa narodil a vrastal v Anglicku a ktorý pozná niekoľko druhov zvierat: koňa, kravu, prasa, atď. Pri ceste po Afrike zbadá hrocha, lenže odmieta prijať, že je to nový druh zvieraťa, ale radšej tvrdí, že je to zviera, ktoré je istým spôsobom kôň a istým spôsobom prasa. Namiesto fráz elektrón sa správa nieked ako vlna a nieked ako častica, preto radšej hovorím, že elektrón sa správa presne tak, ako elektrón - jeho správanie nie je pre vás bežné a môže sa vám nepáčiť, ale to nie je dôvod na to, ab sme nesprávne posudzovali elektrón. 5 Eperiment s dvomi štrbinami s rovnakým výsledkom ako pre fotón bol vkonaný aj pre neutrón, atóm hélia, či sodíka a v roku dokonca s fullerénmi obrovskými molekulami C 60, z ktorých každá obsahuje 60 atómov uhlíka rovnomerne uložených na povrchu gule štruktúrou pripomínajúcich futbalovú loptu. Pozri napr. článok Markus Arndt, et al, Wave particle dualit of C 60 molecules, Nature 401, 680-68 (1999). Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

144 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik 4. Ešte o interferencii fotónov V uvažovanom dvojštrbinovom eperimente interferoval jediný fotón sám so sebou, pričom fotón akosi "vedel" o obidvoch dráhach d 1, d na obr. 4.. Môžeme tiež povedať, ak to nemslíme celkom doslova, že fotón "išiel" po obidvoch dráhach. Oveľa presnejšia b ale bola formulácia, ktorá vchádza z rovnice (4) a hovorí: a) amplitúda pre výpočet pravdepodobnosti (4) výsktu fotónu na určitom mieste platne je rovná súčtu dvoch amplitúd, pričom prvá amplitúda odpovedá šíreniu sa fotónu po dráhe d 1 a druhá po dráhe d. b) pravdepodobnosť výsktu fotónu (a vvolania sčernenia zrnka emulzie) v danom mieste platne je úmerná kvadrátu absolútnej hodnot amplitúd získanej postupom podľa a) Obr. 4.3 ZS - Zdroj svetla, Z 1, Z 4 polopriepustné zrkadlá s 50% odrazom a Z, Z 3 zrkadlá s úplným, 100% odrazom, D-detektor Obr. 4.4 ZS - Zdroj svetla, Z1 - polopriepustné zrkadlo, Z, Z3 zrkadlá s úplným odrazom, D - detektor Keďže príslušné amplitúd nám poslúžili na výpočet pravdepodobnosti budeme ich nazývať skrátene amplitúd pravdepodobnosti. V skutočnom eperimente s dvomi štrbinami dve uvažované dráh d 1 a d nie sú veľmi ďaleko od seba, pretože vzdialenosť medzi dvomi štrbinami je malá (zlomk cm). Môžeme sa ale pýtať na to, ako ďaleko môžu bť od seba dve dráh, ab sme pri výpočte pravdepodobnosti výsktu fotónu postupovali podľa pravidiel a), b) daných vššie. Ukazuje sa, že zatiaľ nepoznáme hranicu pre takúto vzdialenosť. V mnohých eperimentoch s interferenciou fotónov (v skutočnosti každého jediného fotónu so sebou samým) boli dve možné dráh veľmi vzdialené od seba. Patria sem eperiment tpu ako na obr. 4.3. V takomto eperimente sa na detektore D (napr. na fotografickej platni) objaví interferenčný obra ktorého amplitúda je daná súčtom amplitúd pre dve možné cest (trajektórie) fotónu. Prvá trajektória začína vslaním fotónu zo zdroja svetla ZS, pokračuje prechodom cez polopriepustné zrkadlo Z 1, nasleduje odraz na zrkadle Z a prechod polopriepustným zrkadlom Z 4. Druhá amplitúda odpovedá odrazu na polopriepustnom zrkadle Z 1, odrazu na zrkadle Z 3 a odrazu na zrkadle Z 4. nterferometre s trajektóriami fotónu vzdialenými niekoľko metrov od seba sú celkom bežné. Zdôraznime, že eperiment vedú k interferenčnému obrazu aj vted, ak je zaručené, že sa v danom čase medzi zdrojom a detektorom nachádza len jeden jediný fotón. Trocha upravený variant predchádzajúceho eperimentu je znázornený na obr. 4.4. Fotón zo zdroja svetla - ZS sa môže dostať do detektora D po dvoch trajektóriách. Pri prvej prechádza cez Z 1, odráža sa od Z a po odraze na Z 1 príde do detektora D. Pri druhej sa odrazí od zrkadla Z 1, potom sa odrazí od zrkadla Z 3 a prejde zrkadlom Z 1 do detektora. nterferometre znázornené na obr. 4.3 a 4.4 nazývame interferometre Michelsonovho tpu. Michelson ich používal pri pokusoch zistiť rýchlosť Zeme voči éteru (s negatívnm výsledkom). V súčasnosti je pred ukončením výstavba obrovských interferometrov postavených podľa schém na obr. 4.4, pričom dĺžka ramien je niekoľko kilometrov. Len veľmi málo fzikov pochbuje o tom, že interferenčný obraz v detektore D bude taký, ako vplýva z postupu v bodoch a), b) uvedených vššie. Predstava o tom, že budú interferovať dve amplitúd odpovedajúce trajektóriam fotónu vzdialeným od seba niekoľko kilometrov je síce fascinujúca, ale žiadna Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

4 Podivné správanie sa fotónov 145 komisia pre prideľovanie grantov b výstavbu takéhoto interferometra neschválila, keb overenie tejto hpotéz bolo jediným cieľom eperimentu. Skutočný cieľ eperimentov je úplne iný. Majú slúžiť na detekciu gravitačných vĺn prichádzajúcich z vesmíru 6. Takéto gravitačné vln b zmenili zakrivenie priestoru v jednom ramene interferometra inak ako v druhom a tým b sa zmenil rozdiel dĺžok oboch ramien. To b posunulo interferenčné prúžk v detektore D. Ab sa vlúčili zmen dĺžok ramien spôsobené inými príčinami, budú ramená detektora chladené tekutým héliom a udržiavané na konštantnej teplote. Aj preto bude eperiment nákladný. Jeden z autorov (J.P.) sa domnieva, hoci si to podrobne neoveril, že už asi eistuje eperimentálna informácia o interferencii amplitúd pre trajektórie fotónu, ktorých vzdialenosť má rozmer porovnateľné s rozmerom hviezdnej galaie. V súčasnosti totiž eistujú údaje o efektoch spôsobených tzv. gravitačnými šošovkami. V týchto prípadoch sa svetlo ohýba a interferuje pri prechode cez gravitačné pole veľmi ťažkého kozmického objektu 7. Efekt je príbuzný Einsteinom predpovedanému ohbu svetelných lúčov prechádzajúcich okolo povrchu Slnka. Poznámka 8 : Veľmi odporúčame čitateľovi, ab si prečítal časť 37 vo Fenmanových prednáškach z fzik (R.Fenman, R.Leighton, M.Sands, Fenmanov přednášk z fzik, diel 1, Fragment, Havlíčkuv Brod, 000 - novšie české vdanie, R.Fenmam, R.Leighton, M.Sands, Fenmanove prednášk z fzik, diel, ALFA, Bratislava, 198 - staršie slovenské vdanie). Fenman tam hovorí o interferencii elektrónov prechádzajúcich dvomi štrbinami, zatiaľ čo m sme hovorili o fotónoch. Ale v tomto zmsle sa elektrón a fotón chovajú rovnako. 4.3 Fotón prechádzajúci polarizátormi Eistuje jednoduchý eperiment, ktorý sa aj často študentom predvádza. Úzk zväzok svetla v ňom najprv prechádza dvomi polarizačnými filtrami. Usporiadanie eperimentu vidno na obr. 4.5 Svetlo je priečne vlnenie a polarizácia tohto vlnenia je daná vektorom kolmým na smer šírenia svetla. Ak sa svetlo pohbuje v smere osi polarizácia svetla je daná jednotkovým vektorom e ležiacim v rovine (, ). Prirodzené svetlo (povedzme zo žiarovk) je zmesou rôznch polarizácií. Ak takéto svetlo prejde cez polarizátor F 1, ktorý prepúšťa len svetlo polarizované v smere e 1, potom cez polarizátor prejde len svetlo polarizované v smere e 1 a zvšok sa pohltí vo filtri F 1. Ak v eperimente podľa obr. 4.5 natočíme filtre F 1 a F tak, ab vektor boli na seba navzájom kolmé, svetelný zväzok za filtrom F vhasne. Vsvetlenie je jednoduché: Filter F 1 prepustil len svetlo s polarizáciou v smere e 1, ale vzhľadom na to, že e 1 je kolmé na e, filter F už nič z neho neprepustí ďalej. Ponechajme teraz F 1, F v skríženej polohe ( e 1 je kolmé na e ) a vložme medzi F 1 a F tretí filter F 3, prepúšťajúci svetlo s polarizáciou v smere e 3. Zvoľme Obr. 4.5 Zväzok svetla Z prechádza dvomi polarizačnými filtrami F 1 a F. Pri každom filtri sme naznačili aj šípku, ktorá ukazuje smer polarizácie, ktorú filter prepúšťa. 6 Viac informácii o pripravovanom obrovskom interferometri LGO (Laser nterferometer Gravitational Wave Observator), s rozmermi okolo 4 km, ktorý bude predstavovať najcitlivejší interferometer na svete nájdete na stránke www.ligo.caltech.edu. 7 de o Wheelerov variant dvojštrbinového eperimentu. 8 V čase vzniku Fenmanových prednášok bol dvojštrbinový eperiment len mšlienkovým eperimentom. Zásluhou pokroku eperimentálnej technik boli neskôr eperimentálne vkonané rôzne verzie dvojštrbinových eperimentov, ktorých popis ponúka na webovej stránke Jiří Podolský z katedr teoretickej fzik Karlovej Univerzit <http://teor1.troja.mff.cuni.cz/~podolsk/kvant/dvojster.htm> a to aj s upozornením, v čom sa v kapitole 37 Fenman predsa len mýlil. Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

146 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik e 3 tak, ab bolo "medzi" e 1 a e. Polarizácie e 1, e, e 3 sú znázornené na obr.4.6 Pri takejto konfigurácii troch filtrov F 1, F, F 3 sa za filtrom F znova objaví zväzok svetla. Klasická fzika vie tento efekt veľmi jednoducho vsvetliť. Podľa nej je svetlo elektromagnetickou vlnou. Predpokladajme, že pred filtrom F 1 je táto vlna už polarizovaná a je opísaná výrazom E ( = e0 A( (5) Obr. 4.6 Smer polarizácie prepúšťané filtrami F 1, F, F 3 sú označené ako e 1, e, e 3. Smer e 4 je vsvetlený v tete. kde E ( je intenzita elektrického poľa vln a e 0 je jej polarizácia. Skalárna funkcia A( opisuje priebeh vln, môže to bť napríklad sin (k ω (pre význam jednotlivých veličín pozri napr. rovnicu () v kap. 3) Podrobnosti o tvare A( tu ale nebudeme potrebovať, takže ostaneme len pri všeobecnom zápise A(. Keď vlna daná vzťahom (5) dopadne na filter F 1, filter "si rozloží" polarizačný vektor e 0 do dvoch navzájom kolmých smerov e 1, e a "vníma" dopadajúcu vlnu (5) ako E = e a A( + e a A( ) (6) 0( 1 1 t Koeficient a 1, a ľahko nájdeme ak si nakreslíme obrázok, a 1 je rovné skalárnemu súčinu vektorov e 0, e 1. Môžeme to zapísať aj ako a 1 = cos( e0, e), a 1 = cos( e0, e) (7) Filter F 1 prepustí z vln danej rovnicou (6) len časť s polarizáciou e 1, druhú časť pohltí. Po prechode filtrom F 1 bude mať teda naša elektromagnetická vlna tvar E = e a A( (8) za F 1 ( 1 1 Keb sme mali za sebou len dva skrížené filtre F 1, F pričom F 1 b prepúšťal len polarizáciu e 1, F len polarizáciu e kolmú na e 1, vec b bola jasná. Vlna (8) cez filter F neprejde (všetko sa v ňom pohltí). Ak máme medzi F 1 a F vložený filter F 3, vlna (8) prichádza najprv k filtru F 3, ktorý "si ju rozloží" podľa vzťahu e = b + b (9) 1 3e3 4e4 kde e 3 určuje smer polarizácie, ktorú F 3 prepúšťa a e 4.je smer polarizácie kolmý na e 3. Koeficient b 3 je rovný cos( e 1, e 3 ) a koeficient b 4 je rovný cos( e, e 4 ). Dosadíme teraz (9) do (8) a dostaneme E = ( b e + b e ) a A( (10) za F 1 ( 3 3 4 4 1 Filter F 3 pohltí člen pri e 4 a dostávame E = e b a A( (11) za F 3 ( 3 3 1 Táto vlna dopadá na posledný filter F, ktorý urobí najprv rozklad e = c + c (1) 3 1e1 e kde c 1 = cos( e3, e1), c = cos( e3, e ). Filter F pohltí časť s polarizáciou v smere e 1 a za ním máme vlnu E = e c b a A( = e cos( e, e )cos( e, e )cos( e, e ) A( (13) za F ( 3 1 3 3 1 0 1 Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

4 Podivné správanie sa fotónov 147 ntenzita žiarenia je úmerná E a preto môžeme napísať za F e za F1 = cos ( e3, e)cos ( e3, e1)cos ( e0, 1) (14) Táto teória veľmi presne popisuje intenzitu vĺn prechádzajúcich všetkými tromi filtrami a je teda dobrou klasickou teóriou. Mohli b sme ju overiť tak, že b sme merali intenzitu žiarenia pred filtrom F 1 a za filtrom F, napríklad tak, že b sme najprv pred F 1 dali fotografickú platňu a odmerali sčernenie za určitý čas a potom b sme dali platňu za filter F na ten istý čas, odmerali sčernenia a porovnali so (14) pri rôznch smeroch e 0, e 1, e, e 3 Mohli b sme si však povedať, že urobíme eperiment na súčasnej úrovni a namiesto platne dáme detektor, ktorý nám povie, koľko fotónov zaregistroval za daný čas. A tu sa začína problém. Predstavme si, že sústavou troch filtrov prechádza jediný fotón. Postupujeme tak ako v predchádzajúcej úvahe a prídeme k tomu, že filter F1 "pohltí časť fotónu". No dobre, povieme si, keď pohltil, tak pohltil. Ale potom si spomenieme, že farba svetla pred F1 a po prechode všetkými tromi filtrami bola rovnaká. Ak pokus robíme s laserom, ktorý produkuje svetlo určitej vlnovej dĺžk a teda určitej farb, potom je veľmi dobre vidno, že pri prechode filtrami sa farba svetla vôbec nemení - mení sa len intenzita. Energia fotónu je ale viazaná s jeho frekvenciou a vlnovou dĺžkou vzťahom E = hf = hf / c (15) Takže ak sa nemení vlnová dĺžka, nemení sa ani energia fotónu. To ale znamená, že fotón buď prejde celý, alebo sa celý pohltí. Výraz na pravej strane potom prepisujeme tak, že N N za F za F1 3 31 A10 = A A (16) kde A 3 = cos( e, e3 ), A 31 = cos( e3, e1) A 10 = cos( e1, e0 ) sú amplitúd pravdepodobnosti pre prechod fotónu jednotlivými filtrami. Napríklad A 3 je amplitúda pravdepodobnosti pre to, že fotón, ktorý prešiel filtrom F 3, prejde aj filtrom F. Tak ako v prípade dvojštrbinového eperimentu alebo interferencie v Michelsonovom interferometri aj tu je pravdepodobnosť určitého procesu rovná štvorcu absolútnej hodnot príslušnej amplitúd. Poznamenajme ešte, že predstava fotónu ako klasickej častice (povedzme tpu guľk vstrelenej z pušk) b prechod žiarenia filtrami nemohla opísať - a ak tak len dosť umelo. Ak guľka nemôže prejsť dvomi skríženými filtrami F 1 a F, potom nebude môcť prejsť sstémom po tom, čo pridáme ďalšiu prekážku - filter F 3. Na druhej strane priznajme, že keb sme zaviedli pojem polarizácie guľk a pojem pravdepodobnosti prechodu guľk cez daný filter, prepísali b sme pravú stranu v (16) ako súčin P 3 P 31 P 10, pričom P 3 = A 3, atď., dostali b sme síce trocha veselú, ale úspešnú "klasickú teóriu", podľa ktorej guľka buď prejde filtrom s celou svojou energiou, alebo sa celá pohltí. Príslušné pravdepodobnosti b boli P 3 (prechod cez filter F ), atď. Takáto teória b ale nevsvetlila jednoduchý eperiment s prechodom svetla dvomi štrbinami a namiesto interferencie b dala to, čo vidíme na obr. 3.1a. Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

148 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik Už tieto jednoduché eperiment ukazujú, že v kvantovej fzike musíme používať amplitúd pravdepodobnosti, skladať amplitúd pravdepodobnosti prislúchajúce k rôznm možným trajektóriam a počítať intenzit, alebo pravdepodobnosti výsktu častice ako štvorce absolútnch hodnôt príslušných amplitúd. 4.4 Fotón a dvojlom svetla Obr. 4.7 Dvojlom svetla Pohľad na eperiment z boku. ZS Predná stena Peknou ilustráciou toho, že svetlo je priečnm vlnením je tzv. dvojlom svetla. V niektorých látkach, napr. v krštáloch islandského vápenca sa svetlo s rôznmi polarizáciami šíri rôznmi spôsobmi. Z takéhoto krštálu sa dá vbrúsiť platnička, ktorá robí zaujímavú vec - rozštiepi zväzok dopadajúceho svetla na dva zväzk. Situácia je znázornená na obr. 4.7. Na platničku sa pozeráme zboku, takže vidíme len jej bočnú stenu. Lúč svetla sa pohbuje v smere osi z a predná stena platničk (ktorú na obrázku nevidíme) je rovnobežná s rovinou (, ). Dva lúče vchádzajúce z platničk sme označili písmenami R (tzv. riadn lúč) a M (tzv. mimoriadn lúč). Na bočnej stene platničk je nakreslená šípka. Smer šípk je daný tým ako sa platnička vbrúsila, ale to nebude pre nás podstatné. Stačí nám vedieť, že riadn lúč R bude lineárne polarizovaný v smere šípk, ktorú výrobca na platničku nakreslil. Príslušnú polarizáciu lúča R sme vznačili vpravo od písmena R. V istej vzdialenosti nad lúčom R (v smere šípk nakreslenej na platničke) vchádza z platničk lúč M, rovnobežný s lúčom R. Polarizácia lúča M je kolmá na polarizáciu lúča M, čo je tiež vznačené za písmenom M na obrázku). Zdá sa, že obrázok vzerá trocha čudne, pretože lúč M zrejme nespĺňa zákon lomu - ale je to naozaj tak a budeme to jednoducho brať ako eperimentáln fakt. O polarizácii lúčov R a M sa môžeme presvedčiť aj eperimentálne. Použijeme pri tom polarizačné filtre, o ktorých sme hovorili v predchádzajúcom odstavci. ntenzita lúčov M a R bude závisieť od polarizácie dopadajúceho lúča zo zdroja svetla ZS. Ak je lúč ZS nepolarizovaný (má rovnako zastúpené všetk možné polarizácie) bude intenzita lúčov R a M rovnaká. Ak bude mať lúč ZS určitú polarizáciu, potom budú intenzit lúčov R, M dané touto polarizáciou. Určitú polarizáciu zväzku lúčov zo ZS zabezpečíme napríklad tým, že do jeho cest postavíme polarizačný filter, ktorý prepustí len svetlo s určitou polarizáciou e. Vektor jeho polarizácie e leží v rovine kolmej na smer, v ktorom sa polarizovaný lúč ZS šíri, teda e leží v rovine (, ). Vberme teraz súradnicovú sústavu tak, ab os mala smer "hore" tak, ako je to na obr. 4.7 a os smer "k nám". Nakreslíme si teraz druhý pohľad na platničku konkrétne na jej prednú stenu (ktorú sme na obr. 4.7 nevideli) a zadnú stenu platničk (ktorú sme tam tiež nevideli), aj so súradnými osami,. R Zadná stena Obr. 4.8 Pohľad na prednú a zadnú stenu sklenenej platničk V obrázku 4.8 sme na prednej strane platničk vznačili šípkou smer polarizácie e dopadajúceho zväzku svetla ZS. Na zadnej stene platničk v obr. 4.8 vidíme dva vchádzajúce lúče (porovnaj s obr. 4.7). Lúč R je polarizovaný v smere e, lúč M v smere e, pričom e, e sú jednotkové vektor v smere osí,. Klasická teória nám umožňuje spočítať intenzit riadneho a mimoriadneho lúča. Stačí len urobiť rozklad polarizácie e dopadajúceho lúča ZS do smerov a podľa vzťahu e = a e + a e (17) Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

4 Podivné správanie sa fotónov 149 kde a = cos( e, e ), a = cos( e, e ) (18) Ak dopadajúca vlna ZS má amplitúdu e A( (19a) vlna zodpovedajúca mimoriadnemu lúču R bude e A( (19b) a a vlna odpovedajúca riadnemu lúču bude e A( (0) a Pomer intenzít pre R (riadn lúč), M (mimoriadn lúč) a ZS (dopadajúci lúč zo zdroja svetla ZS) budú M ZS = a a R ZS = a (1) Podobne ako v predchádzajúcom odseku 4. aj teraz chceme výsledok interpretovať v jazku kvantovej teórie, teda pomocou fotónov. Ak sa pozrieme na farbu (vlnovú dĺžku) žiarenia v dopadajúcom, v riadnom i v mimoriadnom lúči, zistíme, že farba je stále rovnaká. Ale vlnová dĺžka (farba) určuje energiu fotónu a teda vieme, že energia fotónu sa nezmenila. Ak sústavou prechádza jediný fotón, potom a je úmerná amplitúde pravdepodobnosti pre to, že fotón sa objaví v lúči M a a je úmerná amplitúde pravdepodobnosti pre to, že fotón sa objaví v lúči R. Ak fotón prichádzajú po jednom, potom a je rovné pravdepodobnosti toho, že fotón sa objaví v lúči M a a je to isté pre lúč R. Eperimentom b sme sa mohli ľahko presvedčiť o tom, že fotón sa nedelia. Stačilo b púšťať fotón do eperimentu po jednom a umiestniť jeden detektor do dráh lúča R a jeden do dráh lúča M. Vžd b "šťukol" iba jeden detektor. R Prípad dvoch platničiek Doteraz sme uvažovali dopadajúci lúč a jedinú platničku schopnú oddeliť R - lúč a M - lúč podľa smeru polarizácie. Vec ale môžeme trocha skomplikovať tým, že prvú platničku umiestnime tak, ako sme to robili doteraz a pridáme ešte druhú platničku, ktorú voči prvej pootočíme o nejaký uhol v rovine (, ). Na obr. 4.9 hore máme ešte raz výstup z prvej platničk, M - lúč aj R - lúč s príslušnými polarizáciami. Všimnime si v prvom rade smer šípk v ľavom hornom rohu druhej platničk (dolná časť obr. 4.9). Smer šípk nám hovorí, že smer polarizácie riadneho lúča R v druhej platničke má smer e, kde e je smer osi v druhej platničke. Podobne e bude smer polarizácie mimoriadneho lúča M v druhej platničke. Keď do druhej platničk vstúpi lúč M z prvej platničk, druhá platnička rozloží polarizačný vektor e podľa schém e b1 b e () = e + kde pre druhú platničku časť s e bude predstavovať riadn lúč, teda druhá platnička ho prepustí bezo zmen, čiže s polarizáciou e. Na výstupe z druhej Prvá platnička Druhá platnička Obr. 4.9 Dvojlom na dvoch platničkách Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003

150 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik Obr. 4.10 platničk označíme takýto lúč ako R M, teda ako lúč, ktorý najprv prešiel prvou platničkou ako M a potom druhou platničkou ako R. Na výstupe z druhej platničk sa nám takto objavia 4 lúče R M, M M, R R, M R. Miesta, v ktorých opúšťajú platničku sú vznačené na obr. 4.10. Podrobnejší výpočet amplitúd a intenzít jednotlivých lúčov prenecháme na čitateľa - ak sa prehrýzol tetom až sem, zrejme sa mu to podarí. Keb sme fotón púšťali do eperimentu opäť po jednom a keb sme do cest každého z lúčov R M, M M, R R, M R dali po jednom detektore, vžd b "šťukol" iba jeden v týchto štroch detektorov. Výsledné amplitúd sú: A A M M A R M A R R M R = cos( e, e )cos( e, e) = cos( e, e )cos( e, e) = cos( e, e )cos( e, e) = cos( e, e )cos( e, e) (3) a pravdepodobnosti pre detekciu fotónu v jednom zo štroch zväzkov za druhou doštičkou sú rovné štvorcu absolútnch hodnôt týchto amplitúd. Čitateľom tiež prenecháme návrh toho, ako b sa pomocou polarizačných filtrov presvedčil o tom, že polarizácie lúčov R M, M M, R R, M R sú naozaj také, ako sme to naznačili na obr. 4.10. Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003