Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4598

Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ, Πραγματικοί Αριθμοί Συναρτήσεις... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 7 Μεθοδολογία. Εύρεση Πεδίου Ορισμού... 7 Μεθοδολογία. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης... 8 Μεθοδολογία. Άρτια Περιττή Περιοδική Συνάρτηση... 9 Μεθοδολογία 4. Ισότητα Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 5. Πράξεις Μεταξύ Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 6. Σύνθεση Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 7. Συναρτησιακές Σχέσεις... 4 Μεθοδολογία 8. Εύρεση Συνάρτησης... 6, Μονότονες Συναρτήσεις Αντίστροφη Συνάρτηση... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Μεθοδολογία. Εύρεση Μονοτονίας... Μεθοδολογία. Μονοτονία ± g, g, g... Μεθοδολογία. Ανισώσεις Εξισώσεις... Μεθοδολογία 4. Ακρότατα Συνάρτησης... 5 Μεθοδολογία 5. Συνάρτηση... 7 Μεθοδολογία 6. Συνάρτηση και Λύση Εξίσωσης... 9 Μεθοδολογία 7. Αντίστροφη Συνάρτηση... Μεθοδολογία 8. Οι Εξισώσεις =, =... Μεθοδολογία 9. Θεωρητικές Ασκήσεις... 4, ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ... 6,4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 9 Μεθοδολογία. Εισαγωγή στο Όριο... 9 Μεθοδολογία. Ιδιότητες του Ορίου... 4 Μεθοδολογία. Μεθοδολογία 4. Μορφή σε Ρητή Συνάρτηση... 4 Μορφή σε Άρρητη Συνάρτηση... 4 Μεθοδολογία 5. Κλαδικές Συναρτήσεις Πλευρικά Όρια... 4 Μεθοδολογία 6. Μορφή και Απόλυτη Τιμή... 44 Μεθοδολογία 7. Βοηθητική Συνάρτηση... 46 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

Κεφ. ο Μεθοδολογία 8. Κριτήριο Παρεμβολής... 47 Μεθοδολογία 9. Τριγωνομετρικά Όρια... 48 Μεθοδολογία. Θεώρημα Αλλαγής Μεταβλητής... 5 Μεθοδολογία. Θεωρητικές Ασκήσεις... 5,5 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ... 56 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 57 a Μεθοδολογία. Υπολογισμός Ορίου της Μορφής, a... 57 Μεθοδολογία. Όρια με Παράμετρο... 58 Μεθοδολογία. Βοηθητική Συνάρτηση... 6 Μεθοδολογία 4. Μορφή ±... 6 ± Μεθοδολογία 5. Ανισότητες και Απέιρο... 6,6 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 64 Μεθοδολογία. Όριο Πολυωνυμικής Ρητής Συνάρτησης... 64 Μεθοδολογία. Όριο Άρρητης Συνάρτησης... 64 Μεθοδολογία. Όριο με Απόλυτα... 65 Μεθοδολογία 4. Όρια με Παράμετρο... 66 Μεθοδολογία 5. Όρια με Τριγωνομετρικούς Όρους... 68 Μεθοδολογία 6. Όριο Εκθετικών Λογαριθμικών Συναρτήσεων... 7,7 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 7 Μεθοδολογία. Μελέτη Ως Προς Την Συνέχεια... 7 Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων... 74 Μεθοδολογία. Εύρεση Τιμής Ή του Τύπου της... 75 Μεθοδολογία 4. Συνέχεια και Συναρτησιακές Σχέσεις... 79,8 ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 8 Μεθοδολογία. Θεώρημα Bolzano και Υπάρξη Ρίζας... 8 Μεθοδολογία. Ύπαρξη Μίας Ακριβώς Ρίζας... 85 Μεθοδολογία. Ύπαρξη με Βοηθητική Συνάρτηση... 86 Μεθοδολογία 4. Ύπαρξη Ρίζας σε Κλειστό Διάστημα... 89 Μεθοδολογία 5. Εύρεση Προσήμου Συνάρτησης... 9 Μεθοδολογία 6. Εύρεση Τύπου Συνεχούς Συνάρτησης... 9 Μεθοδολογία 7. Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών... 94 Μεθοδολογία 8. Θεώρημα Μεγίστης - Ελαχίστης Τιμής... 96 Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

Κεφ. ο Μεθοδολογία 9. Σύνολο Τιμών και Εύρεση Ρίζας... 96 Μεθοδολογία. Εφαρμογή του Bolzano σε Ανοικτό Διάστημα... 97 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Συναρτήσεις... Όρια Συνάρτησης... 5 4 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

Κεφ. ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α,β με παρακάτω σύνολα: α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α,β καθένα από τα ( α,β) = { α < < β}: ανοικτό διάστημα [ α,β] = { α β}: κλειστό διάστημα [ αβ, ) = { α < β}: κλειστό-ανοικτό διάστημα ( α,β] = { α < β}: ανοικτό-κλειστό διάστημα. Αν α, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: ( α, + ) = { > α} [ α, + ) = { α} (, α) = { < α} (, α] = { α} Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο το συμβολίζουμε με (, + ). Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Ορισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με () Πώς ορίζουμε πλήρως μία συνάρτηση; Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία: το πεδίο ορισμού της και η τιμή της, (), για κάθε του πεδίου ορισμού της. Πότε δύο συναρτήσεις θα ονομάζονται ίσες; Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει = g( ). a a a a 4 Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

Κεφ. ο Πράξεις με συναρτήσεις Ορίζουμε ως άθροισμα + g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο δύο συναρτήσεων, g τις g συναρτήσεις με τύπους Το πεδίο ορισμού των = g. g( ) ( + g)( ) = + g( ) ( g)( ) = g( ) ( g ) = g( ) + g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g (), δηλαδή το σύνολο Σύνθεση συναρτήσεων { A και B, με g }. είναι το A B, εξαιρουμένων των Ορισμός Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο ( go ) = g( ) Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν A = { A }. B A, δηλαδή αν ( A) B. 6 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ h θέλουμε g() g ατ ίο Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = g θέλουμε g() Αν η συναρτήσει είναι της μορφής = ln (g ) θέλουμε g()> Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = εϕ(g ) τότε θέλουμε g κπ + Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = σϕ(g ) τότε θέλουμε g κπ π αμ υ Έστω ότι μας δίνεται μια συνάρτηση () και μας ζητούν να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής. Τότε ελέγχουμε: Παράδειγμα. α) = 4 απ ασ τ Υπάρχει και περίπτωση σε μια συναρτήσει να έχουμε και ένα συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων. Όποτε περνούμε περιορισμούς για κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις και κατόπιν κάνουμε συναλήθευση των περιορισμών. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: + β) g = + 5 6 γ) h = ln α) Είμαστε στην πρώτη κατηγορία και θέλουμε ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Δηλαδή για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει να ισχύει: ος Π 4 ( )( + ) και + και - β) Είμαστε στην δεύτερη κατηγόρια και θέλουμε η παράσταση που βρίσκεται κάτω από την ρίζα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Δηλαδή για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει και αρκεί να ισχύει: ν/ ν + 5 6 5 + 6 ( )( ) Κω Σχηματίζουμε τον διπλανό πίνακα + - + + - + + + Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο [,] γ) Στη συνάρτηση αυτή παρατηρούμε ότι εκτός από λογάριθμο έχουμε και παρονομαστή. Επόμενος για να μπορέσουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού θέλουμε ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός και η παράσταση που βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Δηλαδή θέλουμε: Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 7

Κεφ. ο + + > ( )( + ) > Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο (,) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω ότι δίνεται μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Για να βρούμε: τα σημεία τομής της C με τον άξονα λύνουμε την εξίσωση ( ) = στο Α. το σημείο τομής της C με τον άξονα yy A την σχετική θέση της C με τον άξονα αληθεύει σε ένα διάστημα [ a, ] διάστημα και κάτω από τον άξονα αρκεί να βρούμε το λύνουμε την ανίσωση 8 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» με την προϋπόθεση ότι >. Αν η εξίσωση β Aτότε η βρίσκεται πάνω από τον άξονα σ αυτό το στο διάστημα A [ a, β ] Έστω τώρα ότι δίνεται μία συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το σύνολο Β. Για να βρούμε: Τα κοινά σημεία των C και C g αρκεί να λύσουμε την εξίσωση = g Α Β Την σχετική θέση των δύο γραφικών παραστάσεων αρκεί να λύσουμε την ανίσωση > g Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση = ln ( e ) α) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα β) Να βρείτε τη σχετική θέση της C με τον άξονα α) Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. Θέλουμε e > e < e < < ln Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A =,ln Για να βρούμε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα λύνουμε την εξίσωση = ln e = e = e = e = e = Παρατηρούμε ότι το ανήκει στο πεδίο ορισμού της άρα είναι δεκτή λύση. β) Για να βρούμε την σχετική θέση της C με τον άξονα λύνουμε την ανίσωση > ln e > e > e < e < < Δημιουργούμε τον πίνακα προσήμων της. - + + + + + + + 5 4.6.4...4

Κεφ. ο ln + + Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η βρίσκεται πάνω από τον άξονα κάτω από τον άξονα για κάθε,ln Παράδειγμα. Έστω οι συναρτήσεις = a β + και για κάθε (,) g = a β. Αν η κατακόρυφη απόσταση των C, C στα σημεία τους με τετμημένη είναι και οι C, C τέμνονται πάνω στην ευθεία ε : + =, τότε να βρείτε τα α, β. g Οι συναρτήσεις και g είναι πολυωνυμικές άρα το πεδίο ορισμού τους είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αρχικά θα βρούμε τα σημεία των C και C με τετμημένη. Έχουμε: β β = a + = a β + g = a g = a β Η κατακόρυφη απόσταση των σημείων των C και ( β ) ( β) a + a = a = a = a =± Για α = = β + και g g = β Βρίσκουμε τα σημεία τομής των C, (ε) και C, (ε). + = = β 7 β = β + = + + = + 8 8 5 g = β = β 4 Επειδή η C και C έχουν κοινό σημείο επάνω στην (ε) έχουμε ότι: g g C με τετμημένη είναι g g = 7 β 5 = g + = β 7 + 4β = 8β β = β = β = 8 4 4 Όμοια εργαζόμαστε και για α = -. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. Έστω μία συνάρτηση : A. Α) Η λέγεται άρτια όταν για κάθε Αισχύει ΆΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α και: = Α g και Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 9

Κεφ. ο Β) Η λέγεται περιττή όταν για κάθε Αισχύει Γ) Η λέγεται περιοδική όταν υπάρχει Α και: T με: ( T) ( T) Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» = Α + = = Α Δ) Τονίζουμε ότι: Αν η είναι άρτια τότε η C είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy και αντίστροφα. Αν η είναι περιττή τότε η C είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Για να είναι μία συνάρτηση άρτια ή περιττή, πρέπει οπωσδήποτε το πεδίο ορισμού να είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το μηδέν, δηλαδή να ισχύει ταυτόχρονα, D για κάθε D. Όπου D το πεδίο ορισμού της. Σημείωση: Μία συνάρτηση μπορεί να μην είναι τίποτε από τα παραπάνω. Παράδειγμα 4. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχουμε: e e e e e e = = = = = = ( ) e + + + e + e e + e e Άρα η είναι περιττή. e = e Παράδειγμα 5. Έστω οι συναρτήσεις, g:. Να δείξετε ότι: α) Αν η είναι άρτια τότε και η g είναι άρτια. β) Αν η είναι περιττή και η g είναι άρτια τότε η g είναι άρτια. γ) Αν η και η g είναι περιττές, τότε η g είναι περιττή. είναι άρτια ή περιττή. + α) Έχουμε ότι η συνάρτηση είναι άρτια δηλαδή ισχύει ότι για κάθε. Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) g = g = g = g για κάθε Άρα η g είναι άρτια. β) Η συνάρτηση είναι περιττή Η συνάρτηση g είναι άρτια g g = για κάθε = για κάθε ( ) = Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) ( ) g = g = g = g = g Άρα η g είναι άρτια. γ) Η συνάρτηση είναι περιττή ( ) = για κάθε Η συνάρτηση g είναι περιττή g( ) = g για κάθε..5 4 4.5.

Κεφ. ο Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) ( ) g = g = g = g = g Άρα η g είναι περιττή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι δύο συναρτήσεις : Α και g : Β είναι ίσες αν και μόνο αν Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Δηλαδή αν A= B και = g δηλαδή έχουν τον ίδιο τύπο. Στην περίπτωση που A B τότε ελέγχουμε την ισότητα στο σύνολο A B δηλαδή στα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β. Παράδειγμα 6. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Στην περίπτωση που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό σύνολο υποσύνολο του στο οποίο ισχύει = g e e e = e = + α) = και g = β) και g α) Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της έχουμε ότι: * e Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της g έχουμε ότι: * Άρα οι και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Ισχύει ακόμη ότι: e e e e e = = = = g e e e Άρα = g β) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της έχουμε ότι: = και και ± Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο {,,} ή (, ) (, ) (,) (, + ) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της g έχουμε ότι: * Παρατηρούμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι διαφορετικό από το πεδίο ορισμού της g. Επομένως οι και g δεν μπορούν να είναι ίσες. Έχουμε όμως ότι: ( + )( ) + = = = = = + = g Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

Κεφ. ο Το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο ισχύει η ισότητα είναι η τομή (τα κοινά σημεία) των δύο πεδίων ορισμών. Δηλαδή το σύνολο {,,} ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ συναρτήσεις με τύπους ( + g ) = + g ( g ) = g =. g g αμ ( g ) = g δύο συναρτήσεων, g τις g υ Ορίζουμε ως άθροισμα + g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο ατ ίο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. απ ασ τ Το πεδίο ορισμού των + g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της είναι το A B, εξαιρουμένων των g τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g (), δηλαδή το σύνολο α) + g β) g Αν ( ) = γ) 4 και g ( ) =, να βρείτε τις συναρτήσεις: + δ) g Π Παράδειγμα 7. { A και B, με g }. ος Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των δύο συναρτήσεων. Για την θέλουμε + { } Για την g θέλουμε: * ν/ ν Το ευρύτερο δυνατό σύνολο στο οποίο ορίζονται οι πράξεις α και β είναι το σύνολο {, } (τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων) ( + g )(= ) ( ) + g (= ) Κω α) 4 + 4 8 + = + ( + ) 4 4 4 β) ( g )( ) = ( ) g ( ) = = = + + ( + ) ( + ) γ) Για να ορίζεται η συνάρτηση. + θέλουμε να ορίζεται η συνάρτηση και ( ) Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

Κεφ. ο είναι το σύνολο { / } {,} Άρα το πεδίο ορισμού της A= D D = Ισχύει ακόμη ότι: + = = + δ) Για να ορίζεται η συνάρτηση θέλουμε να ορίζονται οι συναρτήσεις και g και επιπλέον g 4 g Dg 4 ± Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο g { / και gκαι } {,, } B= D D g = Ισχύει ακόμη ότι: + + = = = 4 g 4 + 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω δύο συναρτήσεις : A και g : Β τότε η σύνθεση g θα έχει πεδίο ορισμό το { g} σύνολο A { A B} Α = D D = Δηλαδή όλα εκείνα τα που ανήκουν στο Α, πεδίο ορισμού της, έτσι ώστε η να ανήκει στο Β, πεδίο ορισμού της g. Για την εύρεση του τύπου της ( g ) = g του να βάλουμε το Σημειώνουμε ότι: { } { } D = D g D g g D = D D Δεν ισχύει πάντα ότι: g = g Ισχύει ότι: g h= g h αρκεί να πάμε στον τύπο της g και στην θέση ( ) ( ), ( + g) h= h+ g h, και ( g) h= ( h) ( g h) Παράδειγμα 8. Δίνονται οι συναρτήσεις = + και g συναρτήσεις: α) g β) g γ) g g Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g = 4. Να βρείτε τις Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

Κεφ. ο Το πεδίο ορισμού της είναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών 4 Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο { } α) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g D g= Dg g D = = = 4 { } { 4 } { { 4 } 4 } { 4} = = + = + 4 ( g) ( g ) ( g ) β) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g g { g} { } { } {, } 4 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» { } { } { } D = D D = + 4 = + 4 = = = ± = + ( g ) g = = = = 4 + 4 γ) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g g Dg g = { Dg g Dg} = { 4 } { 4} = { 4 } 4 = 4 4 7 7 = { 4 } 4 = { 4 } =, + 4 4 4 4 4 4 ( g g) = g( g ) = = = = g 4 4 4+ 7 4 7 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Συναρτησιακές σχέσεις ονομάζουμε κάθε είδους σχέση που περιέχει συναρτήσεις που δεν γνωρίζουμε τον τύπο τους, και ισχύει σε ένα διάστημα Δ. + y = + y y, y = y y, Για παράδειγμα οι σχέσεις ή Επειδή οι σχέσεις αυτές ισχύουν για κάθε, y θέτουμε τιμές που μας διευκολύνουν στο να βρούμε τα ζητούμενα. Για παράδειγμα αν μέσα στην συνάρτηση υπάρχει το + y θέτουμε = y = και y =. Ενώ αν μέσα στην συνάρτηση υπάρχει παράσταση της μορφής y θέτουμε = y = και y = Παράδειγμα 9. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση : με την ιδιότητα + + = για κάθε Για να λύσουμε την άσκηση θα χρησιμοποιήσουμε την επαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση για την οποία ισχύει: Για = η () γράφεται: + + = για κάθε ()

Κεφ. ο + 4 = () Για = η () γράφεται: 4 + = () Από τις () και () έχουμε ότι: = άτοπο. Άρα δεν υπάρχει συνάρτηση για την οποία να ισχύει η σχέση (). Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα: Να αποδειχθεί ότι: = β) η είναι άρτια. α) + y = y + y για κάθε y, α) Από την υπόθεση έχουμε ότι: y y y ( + ) = + για κάθε y, () Επειδή η σχέση () ισχύει για κάθε y,, θέτουμε = y =, οπότε παίρνουμε: + = + = = β) Για να είναι η άρτια αρκεί να δείξουμε ότι Θέτουμε y = στην () και παίρνουμε διαδοχικά: ( ) + = + = = = Άρα η είναι άρτια στο. Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση : με: Να αποδειχθεί ότι: α) e = και ( y) e ( y) β) + για κάθε y, () = e α) Η δοσμένη σχέση () ισχύει για κάθε y,. Θέτουμε y =. Άρα η () γράφεται: β) Η σχέση () για y = γράφεται: e e + () y y y y+ y e y e y e y e () Από τις () και () έχουμε ότι: Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση Σημείωση: e e = e = e ικανοποιεί την δοσμένη σχέση. Ένας από τρόπους που έχουμε για να δείξουμε ότι μία σχέση της μορφής αληθεύει είναι ο εγκλεισμός. = g Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

Κεφ. ο Δηλαδή να δείξουμε ότι g και g τότε θα ισχύει ότι = g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 8. ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όταν μας δίνεται μία συναρτησιακή σχέση και μας ζητείται ο τύπος της συνάρτησης εφαρμόζουμε γενικά τις τεχνικές που περιγράψαμε στην παραπάνω μεθοδολογία. Επιπλέον τονίζουμε ότι: Α) Μετά την εύρεση του τύπου, πρέπει (κατά κανόνα) να εξετάσουμε αν η συνάρτηση που βρήκαμε είναι δεκτή, δηλαδή αν επαληθεύει όλες τις δοσμένες σχέσεις. Β) Αν κατά την εύρεση του τύπου φτάσουμε σε μία σχέση της μορφής g μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: ( ) = για κάθε Α ή g = για κάθε Α Η συνάρτηση επαληθεύει την δοσμένη συνθήκη, άρα είναι η ζητούμενη. 6 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» = τότε δεν Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεται να βρούμε επιπλέον συνθήκες ή να αποδείξουμε ότι για κάθε Α, οπότε g( ) = Για παράδειγμα, αν:, = και, g =, >, < g = για κάθε, ωστόσο καμία από τις, g δεν είναι η μηδενική συνάρτηση. Τότε Στην ίδια περίπτωση ανήκουν και οι σχέσεις τις μορφής: a + β + γ = με a Στις οποίες η εύρεση της συνάρτησης δεν μπορεί να γίνει λύνοντας την παραπάνω σχέση ως δευτεροβάθμια εξίσωση. Παράδειγμα. Μία συνάρτηση : (, ) Να βρεθεί ο τύπος της. + έχει τη ιδιότητα: ln για κάθε > e Από την δοσμένη σχέση μπορούμε να πάρουμε τις ανισώσεις: ln για κάθε > () και ln για κάθε > () e Στη σχέση () θέτουμε y = = e y e y ln e y ln + για κάθε > () Η σχέση () γράφεται: ln ln + για κάθε > (4) Από τις () και (4) έχουμε ότι: ln + ln + = ln + για κάθε >

Κεφ. ο Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση : Να αποδειχθεί ότι η είναι σταθερή. ( ) ικανοποιεί την σχέση: + y + y = για κάθε y, () Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε y,. Θέτουμε = y = οπότε παίρνουμε Για y = έχουμε: ( ) ( ) + = = () Για y = ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( ) + = = () Από τις () και () έχουμε ότι: = Τέλος η ()για = και y = δίνει + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = = = = Άρα ( ) = για κάθε. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 7

Κεφ. ο, ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως αύξουσα συνάρτηση, γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι γνωστές από προηγούμενη τάξη. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με < ισχύει: ) < (Σχ. α) (, Δ γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει: ) > (Σχ. β) ( Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη. Ακρότατα συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ), όταν ( ) ( ) για κάθε A (Σχ. 7α) ( A (ολικό) ελάχιστο, το ( ), όταν ) ( ) για κάθε A (Σχ. 7β). ( Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της. Συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( )., A ισχύει η 8 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

Κεφ. ο Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν ( ) = ( ), τότε =. ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς. Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο Αντίστροφη συνάρτηση Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της Επομένως έχουμε οπότε = y ( y) = ( ) =, A και ( ( y)) = y, y ( A). Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. και συμβολίζεται με. είναι συμμετρικές ως προς Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 9

Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ Για να βρούμε την μονοτονία μιας συνάρτησης εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Ξεκινώντας από την υπόθεση ότι < προσπαθούμε να δημιουργήσουμε την < ανίσωση ( ) ( ). > Αν ( ) < ( ) τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν ( ) > ( ) τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Ξεκινώντας από την υπόθεση ( ) < ( ) προσπαθούμε να καταλήξουμε σε μια από της παρακάτω σχέσεις: < τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα > τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο της διαφοράς () - ( ) με προϋπόθεση < Αν ( ) - ( )< τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν () - ( )< τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα ( ) ( ) Βρίσκουμε το πρόσημο του λόγου μεταβολής λ = Αν λ> τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν λ< τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Παράδειγμα. Έστω Έστω < τότε έχουμε: 4 = με R. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο 4 4 < < < 4 < 4 < Παράδειγμα. = ( ) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση: Λύση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο A = R / = R / R { } { } { } Για μελετήσουμε την ως προς την μονοτονία αρκεί να ( ) ( ) βρούμε το πρόσημο του λόγου λ =. Έχουμε.5..5..5 5 4.5 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

Κεφ. ο λ ( ) ( ) + ( )( ) ( )( ) = = = = ( ) ( )( )( ) ( )( ) = = Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν, > τότε < και < άρα λ> επομένως η είναι γνησίως αύξουσα.. Αν, < τότε άρα λ> επομένως η είναι γνησίως αύξουσα.. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ± g, g, g Παράδειγμα. Δίνονται δυο γνησίως μονότονες συναρτήσεις και g ορισμένες σε ένα σύνολο Α. Να δείξετε ότι αν α), g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. β) ), g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. Λύση α) Έστω, g γνησίως φθίνουσες στο Α. Τότε θα ισχύει ότι < ( ) > ( ) και < g( ) > g( ) Άρα < g( ) > g( ) ( g( )) < ( g) επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω τώρα χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι γνησίως αύξουσα και g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. Έχουμε ότι < g( ) > g( ) ( g( )) > ( g( )) άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. Παράδειγμα 4. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει + e + = για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Θεωρούμε συνάρτηση g = + e + να γραφεί με την μορφή: g,. Έχουμε ότι η συνάρτηση του πρώτου μέλους μπορεί = για κάθε. () Θα μελετήσουμε την μονοτονία της g. Έχουμε ότι: < + < + e e g g + + < + + < < e < e Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο. Έχουμε ακόμη ότι: ( ) g < g < g < Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

Κεφ. ο Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση : κάθε (). Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα. Θα εργαστούμε με την μέθοδο της επαγωγής σε άτοπο. Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Τότε θα ισχύει ότι: < < Α για την οποία ισχύει + + e = για Προσπαθούμε με πράξεις να δημιουργήσουμε το πρώτο μέλος της δοσμένης σχέσης. < ( ) < ( ) ( ) < < + ( ) + e < + + e < ( ) < ( ) < e < e Άτοπο. Άρα η δεν είναι γνησίως αύξουσα. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η μονοτονία είναι ένα από τα πλέον χρήσιμα εργαλεία τόσο στην επίλυση ανισώσεων, όσο και στην επίλυση εξισώσεων που δεν λύνονται με τις συμβατικές μεθόδους που διδαχθήκατε στα προηγούμενα έτη. Α) Έστω : Α μία γνησίως μονότονη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: Αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε: α β a β α β a β < < και Αν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε: α < β ( a) > ( β) και α β ( a) ( β) Οι παραπάνω παρατηρήσεις βρίσκουν εφαρμογή στη λύση ανισώσεων που έχουν ή που μπορεί να πάρουν, ύστερα από κατάλληλο μετασχηματισμό, τη μορφή: ( ϕ ) ( ω ) ή ( ϕ ) ( ω ) Τονίζουμε ότι αν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η φορά αλλάζει. Β) Όταν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση της μορφής = β, έχει μία το πολύ ρίζα. =, αλλά και κάθε εξίσωση Συχνά λοιπόν, για να λύσουμε μία εξίσωση, εντοπίζουμε με παρατήρηση (δοκιμή) μία ρίζα και στην συνέχεια, αφού φέρουμε την εξίσωση στην μορφή ( ) =, αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη. Έτσι, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Γ) Αξίζει ακόμα να τονίσουμε ότι αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε ισχύει η σχέση: ( ϕ ) = ( ω ) ϕ = ω Οι παραπάνω παρατηρήσεις έχουν μεγάλη σημασία σε όλη την έκταση της Ανάλυσης. Παράδειγμα 6. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: γνησίως αύξουσα. Έστω ότι οι όπου η είναι γνησίως φθίνουσα και η g C και C g τέμνονται στην αρχή των αξόνων. Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

Κεφ. ο α) Να βρείτε την σχετική θέση των C και β) Αν για την συνάρτηση h είναι h όταν (, + ) > Cg, = >, να δείξετε ότι η C h είναι κάτω από τον άξονα g α) Για να βρούμε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g αρκεί να λύσουμε την ανίσωση g και να βρούμε τα διαστήματα που αύτη αληθεύει και που αυτή είναι ψευδής. Στην συγκεκριμένη άσκηση η ευθεία απόδειξη του ζητούμενου είναι αδύνατη. Θα χρησιμοποιήσουμε λοιπόν τα δεδομένα για να φτάσουμε στην λύση. Έχουμε ότι το σημείο O(,) C = και ότι O(,) Cg g = Για > έχουμε ότι: > < < g > g > g g > Άρα στο διάστημα (, + ) έχουμε ότι g Για < έχουμε ότι: < > > g < g < g g < Άρα στο διάστημα (,) έχουμε ότι g < < δηλαδή η C βρίσκεται κάτω από την C g. < < δηλαδή η C βρίσκεται πάνω από την C. β) Το ζητούμενο του ερωτήματος είναι να δείξουμε ότι: h <, (, + ) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι,, Άρα h = <,, + g < ( + ) και g >, (, + ) Παράδειγμα 7. Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α (, 5) και Β(5, -). α)να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. e < γ) Να λύσετε την ανίσωση α) Έχουμε ότι η γραφική της διέρχεται από τα σημεία Α (, 5) και Β(5, -). Δηλαδή = 5 και 5 = < ισχύει ότι Παρατηρούμε ότι για 5 > 5 και επειδή γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη συμπεραίνουμε ότι θα είναι γνησίως φθίνουσα. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια g

Κεφ. ο β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο. Άρα θα ισχύει ότι: ( ) ( ) < > < < Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Από την δοσμένη σχέση έχουμε διαδοχικά: ( 5) = = 5 e < e < 5 e < e < ( ) e < < ( ) Παράδειγμα 8. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( ) + ( + 4) = για κάθε. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα να λύσετε α) την εξίσωση = β) την ανίσωση 5 > α) Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε ότι η εξίσωση = θα έχει μία το πολύ λύση στο. Αναζητούμε προφανή λύση της δοσμένης σχέσης. + + 4 = ισχύει για κάθε θα ισχύει και για =. Επειδή η + + 4 = + = = = Άρα για = η = έχει μοναδική λύση. β) Έχουμε ότι: ( 5) > ( 5) > ( ) και επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα συνεπάγεται 5 > 5< 8< + < + + 8 + + Άρα (, ) Παράδειγμα 9. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει Αν η είναι γνησίως αύξουσα να λύσετε α) την εξίσωση ln + = ln +, > = β) την ανίσωση α) Αναζητούμε μία προφανή λύση της εξίσωσης Η δομένη σχέση ( ) = e < ln + = ln + ισχύει για κάθε > άρα θα ισχύει και για = e Έχουμε λοιπόν ότι: e ln e + e = ln e+ e + e = 4 e = 4 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

Κεφ. ο Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) έχει μία το πολύ λύση. Για = e έχουμε ότι ( e ) = επομένως η = e μοναδική λύση της ( ) = β) Έχουμε ότι: ( e ) > ( e ) > ( e ) και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα συνεπάγεται ότι: e > e e > e e > e > Έστω μία συνάρτηση : A ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α) Για να αποδείξουμε ότι η έχει μέγιστο (ελάχιστο) προσπαθούμε να βρούμε Α τέτοιο ώστε: (αντίστοιχα ) για κάθε Α Β) Αν το y είναι ακρότατο της, τότε τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζεται το ακρότατο τις = y προσδιορίζουμε λύνοντας την εξίσωση για κάθε Α, τότε το Μ δεν είναι αναγκαστικά μέγιστο. Αν όμως βρούμε Α Γ) Αν M ώστε M = ( ), τότε το Μ είναι μέγιστο της. Ανάλογα αν Α τέτοιο ώστε ( ) m = τότε οποιοδήποτε m είναι ελάχιστο της. m για κάθε Α και υπάρχει Δ) Τα ακρότατα μίας συνάρτησης βρίσκονται εύκολα αν γνωρίζουμε το σύνολο τιμών της. Έτσι το Α είναι το ελάχιστο, ενώ το μεγαλύτερο, πάνω, άκρο μικρότερο, κάτω, άκρο του διαστήματος είναι το μέγιστο. Παρατηρήσεις: Αν ma < τότε < για κάθε Α > για κάθε Α Αν min > τότε Αν a β και υπάρχουν, Α τέτοια ώστε ( ) = a και ( ) ότι: min = a και ma = β Παράδειγμα. Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων: 4 α) = + β) = + 6 Που παρουσιάζονται τα ακρότατα; α) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Παρατηρούμε ότι: 4 4 = + = + + = + D = = β θα ισχύει.5..5.5..5.5..5 Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

Κεφ. ο Για = έχουμε ( ) = Για = έχουμε ( ) = Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο στο σημεία A(, ) και B(, ) 8 β) Είναι D =, οπότε: ( ) = + 6 = 6 + 9 9 = Από την λύση της εξίσωσης έχουμε ότι: = ( ) = = =± Άρα η παρουσιάζει μέγιστο για = το ( ) = και για = το = Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: για τις οποίες ισχύει ότι + g = για κάθε. Αν οι C και g ε h = g, το μέγιστο της συνάρτησης Έχουμε ότι οι C και g ( ) = g( ) Για = η δοσμένη σχέση γράφεται: C τέμνονται πάνω στην ευθεία ( ε ) : ( ) + ( ) = ( ) = ( ) =± = ( ) C τέμνονται πάνω στην ευθεία : = δηλαδή ισχύει ότι: g g Ισχύει ακόμη ότι + g g h Παρατηρούμε ότι για = έχουμε: h( ) = ( ) g( ) = = h h για κάθε δηλαδή η h παρουσιάζει μέγιστο για = Άρα για ισχύει Παράδειγμα. Έστω μία συνάρτηση : η οποία είναι περιττή και παρουσιάζει ελάχιστο στο. Να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο Η συνάρτηση είναι περιττή = για κάθε Η παρουσιάζει ελάχιστο στο για κάθε Έχουμε ακόμη ότι: = για κάθε =, να βρείτε Άρα η παρουσιάζει μέγιστο στο 6 4 6 4 4 6 6 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΜΕΘΟΔΙΚΟ»

Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α) Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση : Α είναι, θεωρούμε, Αμε ( ) = και προσθέτουμε να αποδείξουμε ότι =. Δηλαδή αποδεικνύουμε τη συνεπαγωγή: αν ( ) = τότε = Σπανιότερα βασιζόμαστε όμως και στον ορισμό. Θεωρούμε δηλαδή και αποδεικνύουμε ότι Β) Για να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» προσπαθούμε να εντοπίσουμε, συνήθως με παρατήρηση, ή να αποδείξουμε ότι υπάρχουν, Α με: = και Γ) Αν δίνεται η C και παρατηρήσουμε ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τέμνει την C το πολύ σε ένα σημείο, τότε η είναι «-». Διαφορετικά η δεν είναι «-». Δ) Αν για μία συνάρτηση θεωρήσουμε την εξίσωση y λύση ως προς, τότε η είναι επίσης «-» =, Α και η εξίσωση αυτή έχει μία Ε) Τέλος, να μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι «-». Προσοχή: Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε. Παράδειγμα. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι. α) 5 = ln + = β) α) Ξεκινώντας από τον ορισμό με την ισότητα έχουμε διαδοχικά: ( ) = = = = Άρα η δεν είναι -. β τρόπος Παρατηρούμε ότι για = ( ) = 5= 4 Και για = ( ) = ( ) 5= 4 Δηλαδή για ( ) = ( ) Άρα η δεν είναι -. β)έχουμε διαδοχικά ότι: = ln + = ln + ln + = ln + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) + = + + = + = Άρα η είναι -. Παράδειγμα 4. Έστω οι συναρτήσεις, g: ( ) > για κάθε για τις οποίες ισχύει: Φροντιστήριο «ΜΕΘΟΔΙΚΟ» Επιμέλεια 7